2
Веска Динева
3
МАТЕМАТИЧЕСКИ ХИТРИНКИ УЧЕБНО ПОМАГАЛО ЗА ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА
гр. Нова Загора, 2012 г.
Използвани са следните означения:
4
Правило
Примери
Опитай сам
Изказвам благодарност на старши учител Милена Милкова, учител по ИТ в СОУ «Христо Ботев», гр. Нова Загора, за дадените съвети и препоръки и най-вече за техническото оформление на помагалото. Веска Динева
I. ЛЕСНО И БЪРЗО СМЯТАНЕ 1. Умножение на еднакви числа, завършващи на 5.
ПРАВИЛО: Умножаваме цифрата на десетиците с число, по-голямо с единица и записваме резултата. Умножаваме 5.5 = 25 и дописваме до полученото число. 5
ПРИМЕРИ: 25 . 25 =252 45 . 45=45
2
135 . 135=135
2
2 .3 / 5.5 6 / 25 4 . 5 / 5.5 20 /25 13 . 14 / 5.5 182 /25
625 2 025 18 225
ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 35 .35 = 115 .115 = 65 .65 = 125 . 125 =
2. Умножение на две числа, намиращи се между 2 еднакви десетици (между 10 и 20, 20 и 30 и т.н.) ПРАВИЛО: 1) Към единия множител прибавяме единиците на другия. 2) Сборът умножаваме с 10 (20, 30 и т.н.). 3) Към резултата прибавяме числото, получено от умножението на единиците на двете числа. ПРИМЕРИ: 13 . 15 = ...13 + 5 = 18 ... 18 . 10 = 180 + (3 . 5) = 195 82 . 86 = ...82 + 6 = 88 ... 88 . 80 = 7040 + (2 . 6) = 7052 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ:
6
43 . 44 =
62 .65 =
77 .74 =
53 . 57 =
34 .35 =
28 . 29 =
3. Умножение на числа с еднакви десетици и сбор на единиците равен на 10 ПРАВИЛО:
Умножаваме цифрата на десетиците с число, по-голямо с единица и записваме. Умножаваме единиците и дописваме.
ПРИМЕРИ: 23 . 27 = 62 . 68 = ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 34 .36 = 56 . 54 =
2 .3 / 3.7 6 /21 6 .7 / 2.8 42 / 16
621 4 216
71 .79 =
87 .83 =
4. Умножение на произволно число с 11
ПРАВИЛО: 342 . 11 = ? Поставяме 0 в началото и в края на числото 03420 Събираме от дясно на ляво по 2 съседни числа 0+3 /3+4 /4+2 /2+0/ 3 7 6 2 3762 ПРИМЕРИ: 4 932 . 11 049320 0+4 /4+9 /9+3 /3+2 /2+0 1 1 4 3 2 5 2 5 4 2 5 2 54 252 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 89 . 11 = 23 762 . 11 = 72 . 11 = 175 283 . 11 =
7
5. Умножение, когато единият множител е само единици ПРАВИЛО:
2 475 . 111 = 274 725 1) Последната цифра на множителя пишем последна за произведението (5 единици); 2) Десетиците получаваме, като съберем последната и предпоследната цифра на числото (5 + 7) = 12 2 и едно наум; 3) Стотиците – като съберем последните три цифри (5 +7 + 4 +1-наум ) = 17 7 и 1 наум; 4) Сборуваме следващите 3 цифри без 5 (7 + 4 + 2 + 1(наум)) = 14 пишем 4 и 1 наум; 2 + 4 + 1 (наум) = 7 и накрая пишем 2 2 475 . 111 = 274 725 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 3 347 . 111 = 1 789 . 111 =
25 178 . 1111 = 187 423 . 1111 =
6. Умножение на произволно число с 22 ПРАВИЛО: Представяме 22 като произведение на 2 и 11 и използваме съдружителното и разместителното свойство на умножението.
ПРИМЕРИ: 312 .22 = (312 . 2) . 11= =624 . 11 =6 864 /Виж умножение с 11/ 312 .22 =(312 .11) . 2 =(0+3).2/(3+1).2/(1+2).2 /(2+0).2 6 8 6 4 6 864 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 8
32 . 22 =
234 . 22 =
453 . 22 =
7. Квадрати на числа от 10 – 19 132 = ?
ПРАВИЛО: 1) Към числото прибавяме единиците 2) Повдигаме единиците на квадрат 3) Дописваме до полученото число 4) Ако квадратът е двуцифрено число,десетиците записваме над единиците на първото число ПРИМЕРИ: 132 13 +3 / 32 16 / 9 169 2 2 14 14 + 4 / 4 1 18 /6 19 /6 196 2 2 16 16+6 / 6 3 22 /6 25 /6 256 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 152 =
172 =
182 =
8. Квадрати на числа от 20 - 29 222 = ? ПРАВИЛО: 1) Към числото прибавяме единиците 22 + 2 = 24 2) Удвояваме полученото число и записваме 24.2 =48 9
3) Повдигаме единиците на квадрат и дописваме 22=4 484 4) Ако квадратът е двуцифрено число записваме десетиците над единиците на първото число 262 26+6 =32 3 32.2 =64 646 2 6 =36 676 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 232 =
262 =
282 =
9. Квадрати на числа от 30 – 70 (около 50) 502 = 2 500 /четирицифрено/ +2 522 = ? ПРАВИЛО: 1) Повдигаме 52 и прибавяме единиците 52 + 2 = 27 2) Повдигаме числото 2 /над 50/ на квадрат 22 = 4 и дописваме до числото 04 /за да получим четирицифрено число/. 2704 ПРИМЕРИ: +3 532 52 + 3 = 28 /09 и дописваме до числото 09 32= 9 2 809 2 + 12 62 1 2 5 +12 =37 /44 и дописваме до числото 1/44 3 844 2 12 =144 Изваждаме недостигащите единици до 50 от числото 25 (5 2) и записваме. Повдигаме същото число на квадрат и дописваме. -2 482 52 – 2 = 23 /04 и дописваме 04 2 2 =4 2 304 10
462 52 – 4 =21 /16 42= 16 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: -4
552 =
582 =
2 116
422 =
612 =
10. Квадрати на числа от 80-120 /около 100/ 1002=10 000 /петцифрено число/ +4 1042 ПРАВИЛО: Прибавяме единиците към числото и записваме резултата 104+4=108 /16 Повдигаме прибавеното число на квадрат и дописваме 42=16 10 816 Ако числото е по-малко от 100 изваждаме недостигащите единици до 100 от числото и записваме. Повдигаме същото число на квадрат и дописваме. ПРИМЕРИ: +13 1132 113+13 /132 1 126/69 127/69 12 769 -2 982 98 - 2/ 22 96/04 9 604 -11
892
89-11/11 2 1 78/21 79/21 7 921
ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 1052 = 1122 =
942 = 882 = 11
11. Квадрати на числа около 200 2002 = 40 000 /петцифрено число/ +3 203 2 = ? ПРАВИЛО: Ако числото е по-голямо от 200. 1) Прибавяме числото над 200 към повдигнатото число (в случая 3) 203+3 = 206 2) Удвояваме полученото число 206.2 = 412 3) Повдигаме числото на квадрат и дописваме 32 = 9 412/09 ПРИМЕР: +12 2122 212+12 = 224 224.2 = 448/122 1 448/44 449/44 44 944 ПРАВИЛО: Ако числото е по-малко от 200. -4 1962 1) Изваждаме недостигащите единици до 200 от числото и записваме. 196 - 4 = 192 2) Удвояваме полученото. 192.2 = 384 3) Повдигаме същите единици на квадрат и дописваме. 4 2=16 384/16 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 2062 = 1942 = 2082 =
1922 =
12. Умножение на едноцифрено число с 9 8.9 = ? ПРАВИЛО: 1) Изваждаме от 8 единица 8 - 1 = 7 и записваме 7 2) Изваждаме от 9 полученото число 9 - 7 = 2 и резултата го дописваме до 7/2 72
12
ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 6.9 = 7.9 = 5.9 =
9.9 =
13. Умножение на двуцифрено число с 99 ПРАВИЛО: 1) Изваждаме от числото единица и записваме. 2) Изваждаме от 9 цифрата на десетиците на полученото число и дописваме. 3) Изваждаме от 9 цифрата на единиците на полученото число и отново дописваме. ПРИМЕР: 79.99 79 – 1 = 78/2/1 7 821 9–7=2 9–8=1 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 87.99 =
64.99=
83.99=
45.99=
14. Деление с 9 ПРАВИЛО: 23:9 = 2 остатък 5 1) Първата цифра на частното е равна на първата цифра на числото - 2 2) Остатъкът е сбор от 2+3=5 ПРИМЕРИ: 43:9 = 4 остатък 7
1. Първа цифра - 4 2. Остатък – 4 + 3 = 7 134:9 = 14 остатък 8 1. Първа цифра - 1 2. Втора цифра – 1 + 3 = 4 3. Остатък – 4 + 4 = 8 (по-малко от 9)
1 13
842:9 = 82 oст.14 = 1) Първа цифра - 8 = 92+1+ост.5 2) Втора цифра – 2, защото 8+4 =12 /остатъкът 12 = 93 остатък 5 е по-голям от 9, затова пишем 1 над 8 и 2 до 8/ 3) 12 + 2 = 14 /отново остатъкът е по-голям от 9, но числото няма повече цифри, затова 14:9 =1 ост.5/ ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 195:9 = 928:9 = 68 : 9 =
10348:9 =
15. Умножение на числа между 100 и 110 103.104 = ? ПРАВИЛО: 1) Към първия множител прибавяме единиците на втория множител и записваме резултата. 103+4 = 107 2) Умножаваме единиците на двата множителя и полученото дописваме до вече записаното число. 3.4 = 12 107/12 103.104 = 10 712 ПРИМЕР: 107.106 107+6 = 113 /42 7.6 = 42 11 342 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 102.105 = 104.108 = 105.107 = 103.106 =
16. Специален начин на умножение 29.31 = ? 30 – средно между 29 и 31 ПРАВИЛО: 1) Умножаваме средното число само на себе си. 30.30 =900 2) От полученото произведение изваждаме квадрата на допълващото число. 900 - 1 = 899
14
ПРИМЕРИ: 1) 39.41=1 599 40.40=1 600 1600-1=1 599 2) 72.68=4 896 70.70=4 900 4 900-4=4 896 3) 43.37=1 591 40.40=1 600 1 600-9=1 591 4) 16.14=224 15.15=225 225-1=224 5) 19.17=323 18.18 =324 324-1 =323 6) 87.93 =8 091 90.90 =8100 8 100-9 =8 091
17. ”Вертикално” и „напречно” умножение
8 . 7 =56 ПРАВИЛО: 1. Записваме числата и техните разлики до 10 /100/ 8 2 10-8=2 7 3 10-7=3 2. Изваждаме 8 – 3 =5 или 7 – 2 = 5 и записваме резултата 5 3. Умножаваме разликите 2 . 3 =6 и дописваме до 5 5/6 56
ПРИМЕРИ: 98 86
88 . 98 =8 624 2 24 8 624
12 . 13 = 156 1. Записваме числата и техните плюсове над 10 12
88
12
2 15
13 3 2. Събираме 12 + 3 =15 /13 + 2 =15/ и записваме 15 3. Умножаваме 2 . 3 =6 и дописваме до 15/6 156 9 . 13 =117 1. Записваме числата и техните разлики и плюсове до 10 9 -1 13 +3 2. Събираме 9 + 3 = 12 /13 – 1 =12 / и записваме 12 /0 /числото е трицифрено/ 3. Умножаваме -1 . 3 =-3 4. Изваждаме от 120 – 3 =117 117 950 . 985 =93 5750
48 . 46 =2 208
29 . 26 =754
411 . 396 =162 756
16
950 -50 /до 1000/ 985 -15 935 / 75 / 0 93 5750 Изчисляваме с основа 50 /100 : 2 =50 / 48 -2 48 -4 =44 46 -4 44 : 2 =22 -записваме 22 / 08 2 208 Изчисляваме с основа 25 /100:4=25/ 29 4 29 + 1 = 30 26 1 30 : 4 =7,5 записваме 75 / 4 754 Изчисляваме с основа 400 /100.4/ 411 11 411 – 4 =407 396 -4 407.4 =1 628 -44 -4.11 = -44 162 8/00 -44 162 756 162 756
18. Интересни произведения 1.
231 . 7 / . 11 / . 13 =231 231 884 . 7 / . 11 / . 13 =884 884 Забележка: Важи за всяко трицифрено число
2.
123456789 . 9 =111 111 111 123456789.18 =222 222 222 123456789.27 =333 333 333 ............................................. 3. 122 = 144 обратното число на 12 е 21 21 2 =441 132 = 169 обратното число на 13 е 31 31 2 = 961 1022=10 404 2012 =4 0401 С подобно свойство са и двойките числа: 112 и 211 122 и 221 133 и 331 и други 4. Интересен факт Съществуват три числа, равни на сумата на своите цифри, повдигната на степен, равна на броя на цифрите им (81, 512 и 2 401). 81 =(8 + 1)2 512 = (5 + 1 + 2)3 2 401 = (2 + 4 + 0 + 1)4 81 = 92 = 81 512 = 83 =512 2 401 = 74 = 2 401
19. Намиране на сбор от последователни числа ПРАВИЛО: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = = I начин /10 + 1) : 2 / . 10 = 5,5 . 10 = 55 = II начин (10 . 11) : 2 = 110 : 2 = 55 1 + 2 + 3........................+20 = I начин /(20 + 1 ) : 2/ . 20 = 210 = II начин (20.21) : 2 = 420 : 2 = 210 1 + 2 + 3 +.....................+200 = I начин /(200 + 1 ) : 2/ .200 = 20 100
17
= II начин (200.201) : 2 = 20 100 ПРИМЕРИ: (1 + 2 + 3 + ……….+30 ) – (1 + 2 + 3+………+ 19 ) = =(30 . 31) : 2 – ( 19 . 20 ) : 2 = 15 .31 – 19 . 10 = = 5 .(3 .31 – 19 . 2 ) = 5 . (93 – 38 ) = 5 .55 = 275 20 + 21 + 22 +…………..+ 30 =/ ( 20 + 30 ) : 2/ . 11 = 25 .11 =275
20. Намиране на сбор от 5 последователни числа между 10 и 100 51 + 52 +53 +54 +55 =265
1) Намери средното число 53 2) Умножи го по 10 53.10 =530 3) Раздели го на 2 530:2 =265
II. РАЦИОНАЛНО СМЯТАНЕ 2.1. ЧИСЛА 2.1.1. Допълващи се числа ПРАВИЛО: Две числа са допълващи се до 10, до 100, до 1000 когато сумата им е равна на 10, 100, 1000. ПРИМЕРИ: 30 + 70 = 100
45 + 55 = 100
78 + 22 = 100
75 + 25 = 100
2.1.2. Кръгли числа и симетрични числа 40 – кръгло число ПРИМЕРИ: 40 – 3 = 37 40 + 3 = 43
18
37 и 43 са симетрични относно 40
39 и 41; 58 и 62; 63 и 77
2.2. СЪБИРАНЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА 2.2.1. Основно правило Прибавят се последователно към първото събираемо стотиците, десетиците и единиците на второто събираемо. ПРИМЕРИ: 252 + 34 = 252 + 30 ... 282 + 4 = 286 137 + 42 = 137 + 40 ... 177 + 2 = 179
2.2.2. Частни случаи
Двете събираеми завършват на 0 - събираме десетиците и
добавяме 0 ПРИМЕРИ: 280 + 70 28 + 7 ... 35 350 80 + 30 8 + 3 ... 11 110 240 + 50 24 + 5 ... 29 290 Само едно от събираемите завършва на 0 – събираме десетиците и добавяме цифрата на единиците ПРИМЕРИ: 174 + 50 17 + 5 ... 22 224 76 + 40 7 + 4 ... 11 116 542 + 150 = 692 Цифрите на единиците се допълват до 10 ПРИМЕРИ: 19
128 + 62 128 + 2 ... 130
130 + 60 ... 190
24 + 36 24 + 6 ...30
30 + 30 ... 60
Числата са симетрични ПРИМЕРИ: 36 и 44 са симетрични, защото 36 = 40 – 4 и 44 = 40 + 4 36 + 40 + 44 = 3 . 40 = 120 66 + 70 + 74 = 3 . 70 = 210
2.3. ИЗВАЖДАНЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА 2.3.1. Основно правило Изваждаме от умаляемото стотиците, десетиците и след това единиците на умалителя. ПРИМЕРИ: 586 – 165 = 586 – 100 = 486 – 60 ... 426 – 5 = 421 67 – 24 67 – 20 ... 47 – 4 = 43
2.3.2. Метод на цялото число
Изваждаме най-близкото по-голямо кръгло число (завършващо на 0) и после прибавяме към резултата допълващите единици. (използва се, когато умалителят завършва на 9, 8 или 7) ПРИМЕРИ: 54 – 39 54 – 40 ... 14 14 + 1 = 15
20
275 – 97 275 – 100 ... 175 175 + 3 = 178
2.3.3. Метод на допълване до цяло число Прибавяме или изваждаме едно и също число от единиците на двете числа, така че да стане цяло число ПРИМЕРИ: 57 – 22 = 55 – 20 = 35 87 – 51 = 36
2.3.4. Метод на последователните събирания 71 – 24 =47 от 24 до 30
от 30 до 71 6
+
41 = 47
ПРИМЕРИ: 56 – 32
8 + 16 = 24
Забележка: Използва се при връщане на монети.
2.3.5. Частни случаи
Изваждане на число, завършващо на 8 или 9 Закръгляме умалителя към по-голямата десетица и прибавяме 1 или 2 към умаляемото ПРИМЕРИ: За 93 – 39 казваме 76 – 48
94 – 40 = 54 78 – 50 = 28
Изваждане на число, завършващо на 1 или 2
Закръгляме умалителя към по-малката десетица и изваждаме от умаляемото 1 или 2 21
ПРИМЕРИ: 75 – 32 73 – 30 = 43
57 – 41 56 – 40 = 16
2.4. ОСНОВНИ МЕТОДИ ЗА УМНОЖЕНИЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА 2.4.1. Метод на разлагане на сбор Разлагаме един от множителите на сбор от събираеми от различен ред. Този метод се прилага, когато множителят завършва на 1, 2, 3. Може да се приложи при умножение с 11, 21, 31..., 12, 22, 32... ПРИМЕРИ: 23 . 16 = (20 + 3) . 16 = 320 +48 = 368
ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 37 . 14 = 28 . 13 = 14 . 11 =
24 . 12 =
23 . 18 = 24 . 21 =
2.4.2. Метод на разлагане на множители ПРАВИЛО: Разлагаме един от множителите на произведение от множители. ПРИМЕР: 32 . 4 = 32 . 2 . 2 = 64 . 2 = 128 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 46 . 6 =
22
62 . 16 =
23 . 12 =
54 . 12 =
2.4.3. Метод на замяна с разлика ПРАВИЛО: Заменяме един от множителите с разлика на единици от различен ред. ПРИМЕР: 38 . 14 = (40 – 2) . 14 = 560 – 28 = 532 Този метод е приложим, когато някой от множителите завършва на 9, 8. Използва се при умножение с 9, 19, 29..., 8, 18, 28... ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 28.14 = 39.16 = 48.14 =
71.19 =
13.18 =
2.4.4. Метод на замяна с умножение и деление
ПРАВИЛО: Правим единият от множителите 2, 3, 4 пъти по-голям, а другия – 2, 3, 4 пъти по-малък. ПРИМЕРИ: 45 . 16 = (45 . 2) . (16 : 2) = 90 . 8 = 720 32 .125 =(32 :2) . (125 . 2) = 16 .250 = 8 . 500 = 4 . 1000 =4 000 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 28 . 14 = 22 . 18 =
34 . 16 =
2.5. УМНОЖЕНИЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА 2.5.1. Умножение на число с 10, 100, 1000... ПРАВИЛО: Прибавяме 1, 2, 3 .... нули вдясно на числото.
23
ПРИМЕРИ: 24 . 10 = 240 64 . 1000 = 64 000
2.5.2. Умножение с 11, 21, 31... ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 10, 20, 30... и прибавяме умножаваното число към получения резултат. ПРИМЕР: 45 . 21 = 45 . 20 + 45 = 900 + 45 = 945 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 37 . 11 = 42 . 31 = 55 . 21 =
2.5.3. ЧАСТЕН СЛУЧАЙ: ПРАВИЛО:
За да умножим двуцифрено число с 11 събираме цифрите на числото и поставяме между тях получения резултат. Ако сумата минава 10, прибавяме единица към цифрата на десетиците на умножаваното число. ПРИМЕРИ: 45 . 11 4 + 5 = 9 495 48 . 11 4 + 8 = 12 528 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 34 . 11 =
24
58 . 11 =
99 . 11 =
2.5.4. Умножение с 12, 22, 32...
Умножаваме числото с 10, 20, 30... и после прибавяме удвоеното число към получения резултат. ПРИМЕР: 54 . 32 = (54 . 30) + (2 . 54) = 1620 + 108 = 1728
ЧАСТЕН СЛУЧАЙ: При умножение с 12, умножаваме числото с (10 + 2) или първо умножаваме по 3, резултата по 4. ПРИМЕР: 23 . 12 = 23 . (10 + 2) = 230 + 46 = 276 23 . 12 = (23 . 3) . 4 = 69 . 4 = 276
2.5.5. Умножение на число с 9, 19, 29, ... Умножаваме числото с 10, 20, 30..., а след това изваждаме от резултата умножаваното число. ПРИМЕР: 23 .
29 = (23 . 30) – 23 = 690 – 23 = 667 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 24 . 9 = 13 . 19 =
2.5.6. Умножение на число с 8, 18, 28, ...
ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 10, 20, 30...,и от получения резултат изваждаме удвоеното число.
25
ПРИМЕР: 47 . 18 = (47 . 20) - (2 . 47) = 940 – 94 = 846 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 35 . 8 = 54 . 28 =
2.5.7. Умножение на число с 15 ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 10 и към резултата прибавяме половината от полученото число или умножаваме с 3 и после с 5. ПРИМЕР: 18 . 15 = (18 . 10) + 90 = 180 + 90 = 270 18 . 5 = (18 . 3) . 5 = 54 . 5 = 270 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 26 . 15 = 35 . 15 = 41 . 15 = 84 . 150 =
2.6. Умножение на десетични дроби 2.6.1. ... с 10, 100, 1000
ПРАВИЛО: За да направим десетична дроб 10, 100, 1000 пъти по-голяма, преместваме запетаята 1, 2, 3 реда по-надясно. Ако е необходимо прибавяме 1 или повече нули вдясно на това число.
ПРИМЕР:
26
7,3 . 10 = 73 6,24 . 1000 = 6240 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 7,5 . 100 = 0,42 .1 000 = 6,73 . 10 = 0,27 . 100 =
2.6.2. Умножение на число с 0,1; 0,01; 0,001... ПРАВИЛО: Числото се дели с 10, 100, 1000... ПРИМЕР: 135 . 0,01 = 1,35 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 21 . 0,1 = 4 . 0,01 = 72 . 0,001 =
2.6.3. Умножение на число с 0,2; 0,3; 0,4... ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 2, 3, 4... и после делим резултата с 10.
ПРИМЕР: 42 . 0,3 42 . 3 126 : 10 = 12,6 27
ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 27 . 0,3 = 52 . 0,3 = 62 . 0,2 =
84 . 0,2 =
45 . 0,4 =
2.6.4. Умножение на число с 0,5 ПРАВИЛО: Делим числото с 2. ПРИМЕР: 24 . 0,5 = 24 : 2 = 12 72 . 0,5 = 72 : 2 = 36 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 8,4 . 0,5 = 45 . 0,50 =
2.6.5. Умножение на число с 0,25; 2,5 ПРАВИЛО: Делим числото с 4. За да умножим с 2,5 умножаваме резултата с 10. ПРИМЕР: 24 . 0,25 = 24 : 4 = 6 24 . 2,5 24 : 4 = 6 . 10 = 60 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 32 . 0,25 = 36 . 2,5 = 12 . 0,25 = 28
2.6.6. Умножение на число с 0,75; 7,5 ПРАВИЛО: Разделяме числото с 4 и умножаваме получения резултат с 3 (в действителност вземаме ¾ от числото). За да умножим със 7,5 умножаваме втория резултат с 10. ПРИМЕРИ: 12 . 0,75 = (12 : 4) . 3 = 3 . 3 =9 18 . 7,5 = (18 : 4) . 3 . 10 = (4,5 . 3) . 10 = 13,5 . 10 = 135 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 24 . 0,75 = 28 . 7,5 =
2.6.7. Умножение на число с 0,125. ПРАВИЛО: За да умножим число с 0,125 (или 1/8) делим числото на 8,или вземаме ¼ от числото и после половината от получения резултат. ПРИМЕР: 16 . 0,125 (16 : 4) 4 : 2 = 2 16 . 0,125 = 16 : 8 = 2 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 10 . 12,5 = 12 . 12,5 = 24 . 0,125 =
2.6.8. Умножение на число с 1,5; 1,25 и 1,05. ПРАВИЛО:
29
За да умножим число с 1,5; 1,25 или 1,05 прибавяме към числото половината, четвъртината или 1/20 от него. ПРИМЕРИ: 26 . 1,5 = 26 + 13 = 39 320 . 1,25 = 320 + 80 = 400 60. 1,05 = 60 + 3 = 63 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 12 . 1,25 = 56 . 1,5 = 48 . 1,05 =
2.6.9. Умножение на число с 2,5; 3,5 и 4,5. Можем да запишем: 2,5 = 2 + ½
3,5 = 3 + ½
4,5 = 4 + ½
ПРАВИЛО: За да умножим с 2,5 , с 3,5 или с 4,5 умножаваме с 2, с 3 или с 4 и прибавяме към резултата половината на числото. ПРИМЕР: 16 . 2,5 16 . 2 = 32 … + 16 : 2 … 32 + 8 = 40 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 36 . 3,5 = 18 . 2,5 =
16 . 4,5 =
2.6.10. Умножение на число с 2,25; 3,25 и 4,25.
Можем да запишем: 2,25 = 2 + ¼ 3,25 = 3 + ¼ ПРАВИЛО:
30
За да умножим число с 2,25; 3,25 или 4,25 умножаваме числото с 2, 3 или 4 и прибавяме към резултата ¼ от числото. ПРИМЕР: 24 . 2,25 24 . 2 = 48 … + 24 : 4 … 48 + 6 = 54 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 16 . 2,25 = 24 . 3,25 = 44 . 4,25 =
2.6.11. Умножение на число с 2,75; 3,75 и 4,75. Можем да запишем: 2, 75 = 2 + ¾ 3, 75 = 3 + ¾ ПРАВИЛО: За да умножим число с 2, 75; 3, 75 или 4, 75 умножаваме числото с 2, 3, 4 и прибавяме към числото ¾ от него. ПРИМЕР: 36 . 3,75 = 36 . 3 + 36 . ¾ = 108 + 27 = 135
2.7. ДЕЛЕНИЕ 2.7.1. Деление на цяло число с 10, 100, 1000... ПРАВИЛО:
31
За да разделим цяло число с 10, 100, 1000 ..., отделяме отдясно наляво със запетая 1, 2, 3... десетични реда. При нужда поставяме 0 пред числото. ПРИМЕРИ: 368 : 10 = 36,8 368 : 1000 = 0, 368 Ако числото завършва на нули, премахваме 1, 2, 3...нули отдясно. 1400 : 100 = 14 700 : 10 = 70 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 34 : 10 =
2 700 : 1 000 =
421 : 100 = 4 007 :100 =
2.7.2. Деление на десетична дроб с 10, 100, 1000... ПРАВИЛО: За да разделим десетична дроб с 10, 100, 1000... преместваме десетичната запетая 1, 2, 3...реда наляво. При нужда прибавяме 0 пред числото. ПРИМЕР: 914,5 : 10 = 91,45 914,5 : 1000 = 0,9145 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 47,5 : 100 =
8,7 : 10 =
2.7.3. Деление с 5, 50, 500... ПРАВИЛО:
32
7,6 :100 =
16,4 : 1000 =
За да разделим числото с 5, 50, 500... умножаваме с 2 и делим резултата с 10, 100, 1000... ( 5 =
10 ) 2
ПРИМЕР: 24 : 5 = (24 . 2) : 10 = 48 : 10 = 4,8
2.7.4. Деление на число с 2,5; 25; 250... ПРАВИЛО: Делим числото с 2,5; 25; 250... като умножаваме числото с 4 и делим получения резултат на 10, 100, 1000... ( 2,5 =
10 ) 4
ПРИМЕР: 15 : 2,5 = (15 . 4) : 10 = 60 : 10 = 6 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 28 : 2,5 =
36 : 25 =
64 : 250 =
2.7.5. Деление на число със 7,5; 75; 750. ПРАВИЛО: За да разделим число със 7,5; 75; 750... вземаме 4/3 от числото и делим резултата с 10, 100, 1000... ПРИМЕР: 15 : 75 (15 . 4) : 3 = 60 : 3 = 20 ... 20 : 100 = 0,20 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 30 : 7,5 =
45 : 75 =
450 : 750 =
33
2.7.6. Деление с 0,1; 0,01; 0,001...
ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 10, 100, 1000... ПРИМЕР: 24 : 0,001 = 24 . 1000 = 24 000
ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 3 : 0,01 = 2,3 : 0,001 = 42 : 0,1 =
2.7.7. Деление с 0,2; 0,3; 0,4...
ПРАВИЛО: Делим числото с 2, 3, 4... и после умножаваме резултата по 10. ПРИМЕР: 66 : 0,3 66 : 3 = 22 ... 22 . 10 = 220 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 6 : 0,3 =
25 : 0,4 =
41 : 0,4 =
2.7.8. Деление с 1,25; 12,5; 125... ПРАВИЛО: При деление с 1,25; 12,5; 125... умножаваме числото с 8 и делим резултата с 10, 100, 1000...
34
ПРИМЕР: 24 : 1,25 = 24 . 8 = 192 192 : 10 = 19,2 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 31 : 1,25 = 111 : 12,5 = 403 : 125 =
2.7.9. Деление с 0,5 ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 2 (0,5 = 1/2) ПРИМЕР: 12 : 0,5 = 12 . 2 = 24 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 32 : 0,5 =
26 : 0,5 =
13 : 0,5 =
2.7.10. Деление с 0,25
ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 4 (0,25 = 1/4)
ПРИМЕР: 8 : 0,25 = 8 . 4 = 32 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 21 : 0,25 =
402 : 0,25 =
60 : 0,25 =
35
2.7.11. Деление с 0,75
ПРАВИЛО: За да разделим число с 0,75, го умножаваме с 4/3 (0,75 = 4/3) ПРИМЕР: 24 : 0,75 = (24 : 3) . 4 = 8 . 4 = 32 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 48 : 0,75 =
240 : 0,75 =
36 : 0,75 =
300 : 0,75 =
2.7.12. Деление с 0,125
ПРАВИЛО: Умножаваме числото с 8 (0,125 = 1/8) ПРИМЕР: 3 : 0,125 = 3 . 8 = 24 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 6 : 0,125 =
8 : 0,125 =
10: 0,125 =
2.7.13. Деление с 15 ПРАВИЛО: Делим на 5 и получения резултат делим на 3 ПРИМЕР: 105 : 15 ... 105 : 5... 21 21 : 3 7 ЗАДАЧИ ЗА УПРАЖНЕНИЕ: 75 : 15 =
36
135 : 15 =
90 : 15 =
III. ПРОВЕРКА НА ДЕЛЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ С 9 3.1. Остатък при деление на число с 9. Задача: Изчислете остатъка при деление на 4 765 с 9. Решение: 4 765 : 9 = 459 и остатък 4 ПРАВИЛО: Този остатък можем да получим още: Разделяме сумата от цифрите на числото с 9. 4 + 7 +6 +5 = 22 22 : 9 = 2 и остатък 4 ПРАВИЛО: Практически достатъчно е да съберем цифрите на числото. Ако се получи двуцифрено число, събираме цифрите му. 4 +7 = 11 1 + 1 = 2 2 + 6 = 8 8 + 5 = 13 1 + 3 = 4 остатъкът е 4
3.2. Проверка на умножение (с числото 9) Постъпваме по следния начин: 6 475 . 26 38 850 + 12 950 168 350
1
5
4
4 3
5
2
8
1 - остатък при деление с 9 на първия множител 4 2 - остатък при деление с 9 на втория множител 8 3 - произведение на тези остатъци 4 . 8 = 32 3 и 2 = 5
37
4
- остатък при деление с 9 на произведението
168 350 1 и 6 7 и 8 15 (1 и 5) 6 и 3 9 и 5 14 (1 и 4) 5 Умножението е сгрешено ако последните 2 остатъка не са равни.
3.3. Проверка на деление (с числото 9) ПРАВИЛО: 7 842 : 43 = 182 остатък 16 Знаем, че: делимото = делител . частно + остатък 7 842
=
43
. 182
+ 16
1
- остатък при деление с 9 на делителя 7
2
- остатък при деление с 9 на частното 2
- произведението на остатъците 7 . 2 = 14 (1 и 4) 5, което 3 увеличаваме с остатъка от делението 16 (1 и 6) 7 Оттам 5 + 7 = 12 (1 и 2) 3 - остатък при деление с 9 на делимото 7 и 8 15 (1 и 5) 6 и 4
4
10 (1 и 0) 1 и 2 3 Делението е грешно ако последните 2 остатъка не са равни! 1
3
4
3 2
2
38
7 3
IV. ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИМОСТ 4.1. Признак за делимост на 7
ПРАВИЛО: Извадете 2 пъти последната цифра от оставащото число. Повторете, ако стъпката е необходима. Ако резултатът се дели на 7 и числото се дели на 7. ПРИМЕР: 945 94 – 2.5 = 94 – 10 = 84 84 : 7 =12 945 се дели на 7
4.2. Признак за делимост на 13 ПРАВИЛО: Прибави 4 пъти последната цифра към останалото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 13 и числото се дели на 13. ПРИМЕР: 3 146 314 + 4.6 =314 + 24 =338 33 + 4 . 8 = 33 + 32 =65 65 : 13 =5 3 146 се дели на 13
4.3. Признак за делимост на 17
ПРАВИЛО: Извади 5 пъти последната цифра от оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 17 и числото се дели на 17.
ПРИМЕР: 2 278
227 – 5 . 8 = 227 – 40 = 187 187 : 17 = 11 2 278 се дели на 17
39
4.4. Признак за делимост на 19 ПРАВИЛО: Прибави 2 пъти последната цифра към останалото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 19 и числото се дели на 19. ПРИМЕР: 11 343 1 134 +2 . 3 = 1 140 11 + 2 . 4 =19 19 : 19 = 1 11 343се дели на 19
4.5. Признак за делимост на 23 ПРАВИЛО: Прибави 7 пъти последната цифра към оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 23 и числото се дели на 23. ПРИМЕР: 53 935 5 393 + 7 . 5 =5 428 542 +7 . 8 = 598 59 + 7 .8 =115 115 : 23 =5 53 935 се дели на 23
4.6. Признак за делимост на 29 ПРАВИЛО: Прибави 3 пъти последната цифра към оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 29 и числото се дели на 29. ПРИМЕР: 12 528 1 252 + 3 . 8 =1 276 127 + 3 . 6 =145 14 + 3 . 5 = 29 29 : 29 =1 12 528 се дели на 29
40
4.7. Признак за делимост на 31 ПРАВИЛО: Извади 3 пъти последната цифра от оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 31 и числото се дели на 31. ПРИМЕР: 49 507
4 950 – 3 . 7 = 4929 492 – 3 . 9 = 465 46 - 3 . 5 = 31 31 :31 = 1 49 507 се дели на 31
4.8. Признак за делимост на 37
ПРАВИЛО: Извади 11 пъти последната цифра от оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 37 и числото се дели на 37. ПРИМЕР: 11 026
1 102 – 11 . 6 =1 137 113 – 11 . 6 =37 37 : 37 = 1
11 026 се дели на 37
4.9. Признак за делимост на 41 ПРАВИЛО: Извади 4 пъти последната цифра от оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 41 и числото се дели на 41. ПРИМЕР: 14 145 1 414 – 4 . 5 =1 394 139 – 4 . 4 =123 12 – 4 . 3 =0 0 : 41 = 0 4 145 се дели на 41 41
4.10. Признак за делимост на 43
ПРАВИЛО: Прибави 13 пъти последната цифра към оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 43 и числото се дели на 43. ПРИМЕР: 11 739 1 173 +13 . 9 =1 290 129 : 43 =3 11 739 се дели на 43
4.11. Признак за делимост на 47 ПРАВИЛО: Извади 14 пъти последната цифра от оставащото число. Повтори стъпката, ако е необходимо. Ако резултатът се дели на 47 и числото се дели на 47. ПРИМЕР: 45 026 4 502 – 14 . 6 =4 418 441 – 14 . 8 =329 329 : 47 =7 45 026 се дели на 47
4.12. Признак за делимост на 8 ПРАВИЛО: Ако последните 3 цифри образуват число, което се дели на 8, то и числото се дели на 8. ПРИМЕР: 414 144 144 : 8 =18 4144 144 се дели на 8
4.13. Признак за делимост на 11
ПРАВИЛО: Ако разликата от сбора на стоящите на нечетни места цифри и стоящите на четни места цифри се дели на 11, то и числото се дели
на 11. ПРИМЕР: 4 832 718
42
(4 + 3 + 7 + 8 ) – ( 8 + 2 + 1 ) = 22 – 11 = 11
11 : 11 =1
4 832 718 се дели на 11
V. МОГА ДА ПОЗНАЯ 5.1. Мога да позная на колко години си
1. Умножи първата цифра на годините си с 5
5.5=
25 2. Прибави 3 към този резултат 3. Удвои полученото число
25 + 3 =28 28 . 2 =56
4. Прибави втората цифра от годината към полученото
59 + 9 = 65
5. Извади от него 6
65 – 6 = 59
Отг.: Ти си на 59 години.
5.2. Мога да позная кога си роден и на колко години си 1. Напиши месеца и рождената си дата 0313 2. Умножи по 2 0313 . 2 =626 3. Прибави 5 626 + 5 = 631 4. Умножи по 50 631 . 50 =31 550 5. Прибави възрастта си 31 550 + 59 =31 609 6. Прибави 365 31 609 + 365 =31 974 7. Извади 615 31 974 – 615 =3 13 59 Отг.: Роден си на 13 март и си на 59 г.
5.3. Мога да позная кое число ще получиш 1. Намисли число близо до 10 2. Удвои числото,което намисли 3. Прибави 6 към резултата 4. Раздели резултата на 2 5. Извади намисленото число
5 5 . 2 = 10 10 + 6 =16 16 : 2 = 8 8–5=3
Отговорът винаги е 3
43
5.4. Мога да позная кое число ще получиш 1. Намисли число 2. Извади 1 от намисленото число 3. Резултата умножи с 3 4. Прибави 12 към полученото 5. Раздели резултата на 3 6. Прибави 5 към полученото 7. Извади намисленото число
20 20 – 1 =19 19 . 3 = 57 57 + 12 =69 69 : 3 =23 23 + 5 =28 28 – 20 = 8
Отговорът винаги е 8
5.5. Мога да позная кое число ще получиш 1. Намисли число 2. Умножи го с 3 3. Прибави 45 към резултата 4. Удвои резултата 5. Раздели отговора на 6 6. Извади намисленото число Отговорът винаги е 15
8 8 . 3 =24 24 + 45 =69 69 . 2 =138 138 : 6 =23 23 – 8 = 15
5.6. Мога да позная кое число ще получиш 1. Намисли трицифрено число с еднакви цифри 2. Събери цифрите 3. Раздели намисленото число с полученото Отговорът е винаги 37
444 3 . 4 = 12 444 : 12 =37
5.7. Мога да отгатна намисленото число. 1. 2. 3. 4. 5. 44
Намисли число. Удвои го. Към полученото произведение прибави 5 Полученият резултат увеличи 5 пъти Прибави 10
9 9.2=18 18+5=23 23.5=115 115+10=125
6. Получената сума увеличи 10 пъти 125 . 10 =1250 7. Кое число получи? 1 250 1 250 – 350 =9/00 Отговор: От полученото число изваждаме 350 и премахваме две нули
5.8. Мога да отгатна рождения ти ден. 1. Умножи рождената си дата с 2
13 . 2 = 26
2. Полученият резултат умножи с 10
26 . 10 = 260
3. Прибави 75
260 + 75 = 335
4. Получената сума умножи с 5
335.5=1675
5. Към произведението прибави номера на месеца, в който си роден 1675+3=1678 6. Съобщи полученото число
1678
1 678 – 365 = 1 313
Отговор: От полученото число изваждаме 365. Двете цифри отдясно показват месеца, а двете цифри отляво – датата на раждане. 13 – ти месец няма, следователно месецът е март, а датата е 13.
5.9. Мога да отгатна на колко години си.
ПРАВИЛО: Колко се получава, ако от числото, което е 10 пъти по-голямо от вашата възраст, извадим произведението, на кое да е едноцифрено число с 9? ПРИМЕР: Напр. 390 – 27 = 363 36 l 3 събираме двете числа = 39 години
5.10. Познай кое число намислих 1. 2. 3. 4. 5.
Намисли число. Прибави към него 2. Полученото число умножи по3. Към произведението прибави 4. От сбора извади 10
5 5+2=7 7 . 3 = 21 21 + 4 = 25 25+10=15 45
Кое число получи? 15 15 : 3 = 5 Отговор: Получената разлика делим на 3.
5.11. Познай кое число намислих
1. Намисли число. 8 2. Извади от него 1. 8-1=7 3. Полученото число умножи по2. 7 . 2 = 14 4. Към полученото число прибави намисленото. 14 + 8 = 22 Кое число получи? 22 (22 + 2) : 3 = 24 : 3 = 8 Отговор: Полученото число събираме с 2 и сбора делим на 3.
5.12. Познай кое число намислих
1. Намисли число. 11 / 12 2. Раздели го на 2 (ако е нечетно, вземи по-малката половина 11 : 2 = 5,5 (вземаме 5) /12 : 2 = 6 3. Прибави към полученото число 1. 5+1=6 / 6+1=7 4. Умножи получения сбор по 4. 6.4 =24 / 7.4=28 5. Извади от произведението намисленото число. 24-11=13 / 28-12=16 Кое число получи? 13 13 - 2 = 11 16 16 – 4 = 12 Отговор: От полученото число вадим 2 (ако числото е нечетно, а ако е четно вадим 4).
5.13. Мога да позная на колко години си. 1. Броя на годините умножи по 2. 13.2 = 26 2. Прибави 5 към полученото число. 26+5=31 3. Сбора умножи по 5. 31.5=155 Кое число получи? 155 Отговор: Последната цифра на полученото число е 5. От останалото число се вади 2.
5.14. Мога да позная кой ден от седмицата сме. 1. Умножи номера на намисления ден по2. 3.2 = 6 2. Прибави 5 към полученото число. 6+5=11 3. Сбора умножи по 5. 11.5=55 Кое число получи? 55 55 – 25 = 30 3 – цифра на десетиците
46
Отговор: От полученото число изваждаме 25 и цифрата на десетиците на полученото число показва деня от седмицата.
Вече си разлистил „хитринките”, скъпи приятелю! А може би си се зачел в някои от тях? Не мислиш, че съм измислила нещо аз, нали? Така е! Единственото, което направих, бе да подредя част от видяното, прочетено и записано в тетрадките ми и съобразено с учебното съдържание по математика за учениците, на които преподавам (V – VII клас). Сигурно и ти познаваш много от тия хитринки. Хайде заедно да продължим да допълваме своите знания за бързото, лесно и интересно смятане. Можем да го направим! Разчитам на всички вас! Веска Динева
47
СЪДЪРЖАНИЕ .............................................................................................................................1 Веска Динева......................................................................................................3 МАТЕМАТИЧЕСКИ..............................................................................................4 ХИТРИНКИ..........................................................................................................4 УЧЕБНО ПОМАГАЛО...........................................................................................4 ЗА ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА.......................................................................4 гр. Нова Загора, 2012 г.......................................................................................4 Изказвам благодарност на старши учител Милена Милкова, учител по ИТ в СОУ «Христо Ботев», гр. Нова Загора, за дадените съвети и препоръки и най-вече за техническото оформление на помагалото..................................5 I. ЛЕСНО И БЪРЗО СМЯТАНЕ..............................................................................5 1. Умножение на еднакви числа, завършващи на 5........................................5 2. Умножение на две числа, намиращи се между 2 еднакви десетици (между 10 и 20, 20 и 30 и т.н.)...........................................................................6 3. Умножение на числа с еднакви десетици и сбор на единиците равен на 10.........................................................................................................................7 4. Умножение на произволно число с 11.........................................................7 5. Умножение, когато единият множител е само единици............................8 6. Умножение на произволно число с 22.........................................................8
48
7. Квадрати на числа от 10 – 19.........................................................................9 8. Квадрати на числа от 20 - 29.........................................................................9 9. Квадрати на числа от 30 – 70 (около 50)....................................................10 10. Квадрати на числа от 80-120 /около 100/................................................11 11. Квадрати на числа около 200...................................................................12 12. Умножение на едноцифрено число с 9....................................................12 13. Умножение на двуцифрено число с 99....................................................13 14. Деление с 9................................................................................................13 15. Умножение на числа между 100 и 110....................................................14 16. Специален начин на умножение..............................................................14 17. ”Вертикално” и „напречно” умножение.................................................15 18. Интересни произведения..........................................................................17 19. Намиране на сбор от последователни числа...........................................17 20. Намиране на сбор от 5 последователни числа между 10 и 100.............18 II. РАЦИОНАЛНО СМЯТАНЕ..............................................................................18 2.1. ЧИСЛА........................................................................................................18 2.1.1. Допълващи се числа..............................................................................18 2.1.2. Кръгли числа и симетрични числа........................................................18 2.2. СЪБИРАНЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА......................................................................19 2.2.1. Основно правило...................................................................................19
49
2.2.2. Частни случаи.........................................................................................19 2.3. ИЗВАЖДАНЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА..................................................................20 2.3.1. Основно правило...................................................................................20 2.3.2. Метод на цялото число..........................................................................20 2.3.3. Метод на допълване до цяло число.....................................................21 2.3.4. Метод на последователните събирания..............................................21 2.3.5. Частни случаи.........................................................................................21 2.4. ОСНОВНИ МЕТОДИ ЗА УМНОЖЕНИЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА...........................22 2.4.1. Метод на разлагане на сбор.................................................................22 2.4.2. Метод на разлагане на множители......................................................22 2.4.3. Метод на замяна с разлика...................................................................23 2.4.4. Метод на замяна с умножение и деление...........................................23 2.5. УМНОЖЕНИЕ НА ЦЕЛИ ЧИСЛА.................................................................23 2.5.1. Умножение на число с 10, 100, 1000....................................................23 2.5.2. Умножение с 11, 21, 31..........................................................................24 2.5.3. ЧАСТЕН СЛУЧАЙ:....................................................................................24 2.5.4. Умножение с 12, 22, 32.........................................................................25 2.5.5. Умножение на число с 9, 19, 29, ...........................................................25 2.5.6. Умножение на число с 8, 18, 28, ...........................................................25 2.5.7. Умножение на число с 15......................................................................26
50
2.6. Умножение на десетични дроби.............................................................26 2.6.1. ... с 10, 100, 1000....................................................................................26 2.6.2. Умножение на число с 0,1; 0,01; 0,001..........................................27 2.6.3. Умножение на число с 0,2; 0,3; 0,4................................................27 2.6.4. Умножение на число с 0,5.............................................................28 2.6.5. Умножение на число с 0,25; 2,5.....................................................28 2.6.6. Умножение на число с 0,75; 7,5.....................................................29 2.6.7. Умножение на число с 0,125..........................................................29 2.6.8. Умножение на число с 1,5; 1,25 и 1,05..........................................29 2.6.9. Умножение на число с 2,5; 3,5 и 4,5..............................................30 2.6.10. Умножение на число с 2,25; 3,25 и 4,25......................................30 2.6.11. Умножение на число с 2,75; 3,75 и 4,75......................................31 2.7. ДЕЛЕНИЕ....................................................................................................31 2.7.1. Деление на цяло число с 10, 100, 1000.................................................31 2.7.2. Деление на десетична дроб с 10, 100, 1000.........................................32 2.7.3. Деление с 5, 50, 500...............................................................................32 2.7.4. Деление на число с 2,5; 25; 250............................................................33 2.7.5. Деление на число със 7,5; 75; 750.........................................................33 2.7.6. Деление с 0,1; 0,01; 0,001.....................................................................34 2.7.7. Деление с 0,2; 0,3; 0,4............................................................................34
51
2.7.8. Деление с 1,25; 12,5; 125.......................................................................34 2.7.9. Деление с 0,5..........................................................................................35 2.7.10. Деление с 0,25......................................................................................35 2.7.11. Деление с 0,75......................................................................................36 2.7.12. Деление с 0,125....................................................................................36 2.7.13. Деление с 15.........................................................................................36 III. ПРОВЕРКА НА ДЕЛЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ С 9.............................................37 3.1. Остатък при деление на число с 9...........................................................37 3.2. Проверка на умножение (с числото 9)....................................................37 3.3. Проверка на деление (с числото 9)..........................................................38 IV. ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИМОСТ..........................................................................39 4.1. Признак за делимост на 7........................................................................39 4.2. Признак за делимост на 13......................................................................39 4.3. Признак за делимост на 17......................................................................39 4.4. Признак за делимост на 19......................................................................40 4.5. Признак за делимост на 23......................................................................40 4.6. Признак за делимост на 29......................................................................40 4.7. Признак за делимост на 31......................................................................41 4.8. Признак за делимост на 37......................................................................41 4.9. Признак за делимост на 41......................................................................41
52
4.10. Признак за делимост на 43....................................................................42 4.11. Признак за делимост на 47....................................................................42 4.12. Признак за делимост на 8......................................................................42 4.13. Признак за делимост на 11....................................................................42 V. МОГА ДА ПОЗНАЯ........................................................................................43 5.1. Мога да позная на колко години си.........................................................43 5.2. Мога да позная кога си роден и на колко години си.............................43 5.3. Мога да позная кое число ще получиш..................................................43 5.4. Мога да позная кое число ще получиш...................................................44 5.5. Мога да позная кое число ще получиш..................................................44 5.6. Мога да позная кое число ще получиш..................................................44 5.7. Мога да отгатна намисленото число.......................................................44 5.8. Мога да отгатна рождения ти ден...........................................................45 5.9. Мога да отгатна на колко години си........................................................45 5.10. Познай кое число намислих...................................................................45 5.11. Познай кое число намислих...................................................................46 5.12. Познай кое число намислих...................................................................46 5.13. Мога да позная на колко години си.......................................................46 5.14. Мога да позная кой ден от седмицата сме...........................................46 СЪДЪРЖАНИЕ...................................................................................................48
53
ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА:.............................................................................54
ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА: 1. Courtet, Grill, François; Arithmétique pratique, Education de l’école, Paris, 1963 2. http://www.vedic-maths-ebook.com/vedic/ 3. http://www.memorymentor.com/ 4. http://youtube.com 5. http://www.glad2teach.co.uk 6. http://www.magicalmethods.com 7. http://www.math10.com
54
55