Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 LA XO ¿UN RECURSO POTENTE O MÁS DE LO MISMO? Un análisis desde la enseñanza de la Matemática Graciela Arámburu1 Ma. Del Carmen Curti2 Con este trabajo se pretende promover la reflexión sobre la integración de algunas de las actividades3 de la XO en la enseñanza de la Matemática en la escuela, más específicamente de la Geometría. Partimos del planteo de que la tarea docente exige precisar, en primer término, qué se pretende enseñar para luego escoger una actividad que consideremos potente para promover la construcción de nuevos conocimientos en relación al contenido objeto de enseñanza. Los recursos que se elijan para el desarrollo de la actividad han de contribuir asimismo en esa dirección. En muchas oportunidades la disponibilidad de determinados recursos materiales ha conducido a un uso irreflexivo de ellos, utilizándolos sin definir con claridad su potencial en función del contenido que se pretende enseñar. La inclusión de la XO exige también el estudio de las posibilidades que ofrece para la enseñanza en las distintas disciplinas. Es necesaria la exploración de las potencialidades de sus diferentes programas para validar su inclusión en cada instancia. Con frecuencia se cuestionan los logros educativos y el uso de los tiempos pedagógicos. En ese sentido habría que analizar si todas las actividades que se proponen son pertinentes en función de los objetivos que se plantean. Importa reflexionar acerca del beneficio o sentido de la incorporación de ciertos recursos en algunas oportunidades. A veces la justificación de su incorporación se centra únicamente en los intereses de los niños o en hacer atractiva una propuesta. Como expresa Edith Litwin “…nos preguntamos si el tiempo que implica crear y emplear dispositivos para sostener el interés no es en desmedro del desarrollo de los contenidos.” 4 Es necesario evitar perder la direccionalidad de los procesos de enseñar seleccionando actividades que pueden ser atractivas, pero poco valiosas desde la perspectiva del conocimiento. “Hacer atractiva la enseñanza no es un tema de herramienta aún cuando las herramientas pueden posibilitar un tratamiento atractivo.”5 Como la XO está presente en el aula desde el comienzo del ciclo escolar, incluyendo Educación Inicial, vale la pena reflexionar acerca de los programas que posibiliten y potencien la enseñanza y el aprendizaje de determinados contenidos matemáticos en el nivel escolar.
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Formadora del Equipo de Matemática. Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU. Formadora del Equipo de Matemática. Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU. 3 A lo largo del trabajo se utilizará el término “programas” en lugar de “actividades de la XO” a los efectos de diferenciar con las actividades que se proponen. 4 LITWIN, Edith, “De caminos, puentes y atajos: el lugar de la tecnología en la enseñanza”. Conferencia Inaugural del II Congreso Iberoamericano de Educación y Nuevas Tecnologías, junio-julio 2005, Buenos Aires. Disponible en http://www.litwin.com.ar/. Último acceso 19 de noviembre de 2011. 5 Ídem 2
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 En esta oportunidad y coherentes con lo planteado al inicio del artículo (al respecto de determinar en primera instancia el objetivo - contenido a enseñar), nos proponemos explorar las posibilidades del trabajo con la XO, entre otros recursos, en el tratamiento de algunos contenidos de Geometría.
Memory (Memorizar) El primer programa sobre el cual reflexionaremos será el Memory o Juego de la Memoria. Son bien conocidos por docentes y alumnos los mecanismos de este juego, sobretodo porque la XO trae algunas propuestas predeterminadas para trabajar numeración y operaciones. No obstante ello, vale la pena recordarlas, porque las características del juego tendrán incidencia directa sobre el diseño de propuestas posibles. En una cuadrícula cuyo número de casillas puede llegar hasta 6 x 6, es decir que da la posibilidad de organizar 18 parejas, se vincularán formando pares, números, letras, palabras, dibujos e incluso imágenes y sonidos. Las fichas quedarán visibles o sea se considerarán válidas, solo si se constituye la pareja relacionada en el diseño del juego; de lo contrario se volverán a ocultar, esperando que el jugador recuerde su ubicación para vincularlas con nuevas opciones. Este aspecto, que la pareja de fichas válida es solo aquella que se creó como tal, aunque existan posibilidades de formar el par con otras respuestas, será la limitación que habrá que neutralizar o por el contrario tratar de potenciar. Así planteado, la primera observación que merece el juego es que puede ser resuelto por ensayo y error, o en último caso, es suficiente memorizar una ubicación sin necesidad de reflexionar sobre el contenido. Será el docente mediante las propuestas, las discusiones que promueva, las anticipaciones que solicite, quien podrá superar estas limitaciones. El programa Memory (Memorizar) para trabajar contenidos de Geometría puede utilizarse tanto para figuras del plano como del espacio y permite pensar en dos variantes. En la primera, es el docente quien diseña el juego buscando una propiedad que distinga la o las figuras con las cuales pretende trabajar. En una de las fichas aparecerá la propiedad y en la otra la representación de la figura, ya sea el nombre, un dibujo o una imagen que se puede obtener de otra actividad de la XO o de internet. Para contrarrestar la tendencia a usar el ensayo y error hasta encontrar la respuesta correcta, es importante promover la anticipación por parte de los niños. Ésta, realizada a partir de una ficha visualizada, deberá ser fundamentada para promover interesantes discusiones en torno al contenido que se está trabajando.
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Como el juego es elaborado por el docente, éste deberá cargarlo en las XO de los niños y podrá actualizarlo o modificarlo al proponer otras figuras y otras propiedades para que realmente se pongan en juego las características de las figuras geométricas que los niños ya conocen y en función de las nuevas propiedades que se van incorporando al concepto. Por ejemplo, puede crearse un juego que tenga las siguientes fichas:
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La selección de figuras realizada, indica que ya se ha trabajado con poliedros y no poliedros y dentro de los primeros con prismas y pirámides. Además hubo un cuidadoso análisis de las propiedades seleccionadas para que correspondan a una sola de las figuras que están registradas en las fichas y que formarán la pareja. El grado de complejidad que se alcance puede ser diferente según aparezca en la ficha una representación gráfica, la cual permite usar la percepción e incluso el conteo de caras, vértices, etc., o si aparece el nombre de la figura lo cual implica conocer y poder evocar sus propiedades. La cantidad y variedad de figuras podrá modificarse de un nivel a otro en la medida que se vaya ampliando el trabajo con las mismas. Las características del juego lo muestran como inadecuado para una actividad de clasificación, ya que se necesitaría que varias figuras se vincularan con la misma propiedad para constituir un grupo y en este juego a cada figura le corresponderá una y solo una propiedad o viceversa. La otra posibilidad es que sean los niños en grupo o individualmente los que creen el juego, para luego proponerlo a otros compañeros. Es importante tener en cuenta que se debe corroborar la veracidad de los datos a relacionar, ya que la actividad Memory solo obedece la orden de programación, aunque esta sea errónea.
Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 Vale la pena recordar que la potencialidad de esta propuesta está en buscar las propiedades distintivas o “únicas” de las figuras de manera que haya solo una a quien le corresponda, dejando de lado todas aquellas que, aunque pertenezcan a la figura, son compartidas con otras. Esta opción requiere mayor trabajo por parte de quien la diseñe. Por ejemplo, si en la ficha dice “caras triangulares”, esta propiedad incluye a todas las pirámides y al tetraedro, octaedro, icosaedro. Esta cualidad no es suficiente si se quiere pensar en una nota distintiva para una pirámide particular de base determinada. Otro ejemplo con figuras del plano puede ser: si en la ficha dice “cuadrilátero”, muchas serán las figuras que podrían formar pareja con este concepto. Sin embargo si en una de ellas dice “polígono de tres lados”, o “polígono de tres ángulos”, o “polígono de tres vértices”, cualquiera de ellas podrá formar pareja únicamente con triángulo. En los grados superiores se podrían incluir otras propiedades que identifiquen a los triángulos (“polígono con solo tres alturas”, “polígono sin diagonales”) que también equivalen, al igual que las primeras, a definir triángulo. Si se trata de un triángulo particular se deberán agregar, algunas propiedades relacionadas con los ángulos, como por ejemplo: “triángulo con dos de sus alturas coincidentes con lados”, “con una altura no contenida en la figura”, “con el ortocentro exterior”, etc. Mencionamos como limitación que cada propiedad hace pareja solo con la figura con la que se creó aunque la propiedad sea común a varias figuras. Por tal motivo no sería pertinente usar características generales como poliedro, cuadrilátero o polígono. Sin embargo esta limitación puede ser potenciada en el sentido que exige buscar lo que distingue a una determinada figura dentro de un conjunto más amplio de propiedades que puede ser compartido por varias. Es posible aprovecharla para hacer tantas parejas con una figura como cualidades se puedan integrar en su descripción, de acuerdo con el nivel de conocimiento de los niños y confeccionar un “legajo” para dos figuras teniendo la precaución de que las elegidas no tengan cualidades en común. Listar las propiedades que arman pareja con “cilindro” por ejemplo, nos permite elaborar el legajo de esa figura en cuestión.
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 Otra posibilidad de juego podría se a partir de pares de figuras cuya imagen o nombre se repita cada vez que se vincule con una de sus características. Ej. “Prisma de base cuadrada”, armará pareja con:
8 vértices,
8 aristas “cortas” iguales,
4 aristas “largas” iguales,
2 bases iguales y paralelas (si se posee la idea de paralelismo ),
a cada vértice concurren 3 aristas,
en cada arista se “unen” dos caras,
4 caras laterales rectangulares,
4 caras laterales iguales.
En este juego se podría incluir la pirámide de base hexagonal (regular) y listar sus cualidades.
7 vértices,
6 caras triangulares,
6 caras laterales iguales,
a un vértice concurren o “llegan” 6 aristas,
a 6 vértices concurren o “llegan” 3 aristas,
una sola base,
base con 6 lados iguales.
Es importante tener en cuenta que, aunque el nombre o la imagen de pirámide hexagonal estén repetidos varias veces, la pareja se formará solamente entre una propiedad y la figura con la que fue creada.
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Paint (Pintar) otro programa que permite abordar contenidos geométricos Es posible pensar algunas propuestas para trabajar estos contenidos geométricos con el programa Paint (Pintar). A diferencia de Memorizar que posibilita el trabajo con figuras del plano y del espacio, en Pintar las opciones son solo para figuras del plano. Permite trabajar con formas variadas y a su vez cada una admite modificaciones. Una limitación es que las figuras se generan de diferentes formas de manera que es muy difícil usarlas para composición de figuras siendo este uno de los contenidos que aparece repetidamente en el programa escolar de Geometría. Por ejemplo el círculo se genera desde un punto de la circunferencia, y por lo tanto no aparece representado el centro; los polígonos, cualquiera sea el número de lados, se generan a partir de un vértice; los rectángulos y paralelogramos a partir de un ángulo; el triángulo y trapezoide (trapecio) son únicamente isósceles y se generan a partir del lado diferente en el primer caso y de la base mayor en el caso del trapecio. Los polígonos ofrecen como ventaja que todos, cualquiera sea la cantidad de lados, pueden rotarse, ponerse en diversas posiciones y adoptar diferentes tamaños, pero son todos regulares, es decir se obtienen siempre polígonos semejantes. Dentro de los polígonos regulares están incluidos el cuadrado y el triángulo equilátero que se generan a partir de un vértice como todos los demás polígonos. También es posible obtener un cuadrado como caso particular del rectángulo que se encuentra en otro grupo de figuras en el programa Paint y se origina como dijimos a partir del ángulo. Estas distintas formas de obtener una misma figura, en vez de considerarse un obstáculo, puede aprovecharse analizando las propiedades que comparte el cuadrado con los polígonos regulares y con los rectángulos. Con Paint es posible proponer actividades de clasificación, atendiendo a que los polígonos se construyen indicando el número de lados. En este caso será el docente el encargado de seleccionar las figuras en concordancia con el criterio que desea indicar para clasificar.
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 Los rectángulos y paralelogramos tienen como desventaja el hecho de poder representarse en una única posición: con los lados paralelos a los márgenes de la pantalla. Esta forma de presentación es además la más habitual para estas figuras. No obstante ello, se puede aprovechar esta limitación buscando la manera de transformar el rectángulo en cuadrado, analizando las propiedades que tienen en común, cuáles permanecen durante la modificación y cuáles cambian y de qué forma. Una exploración similar permite la transformación del paralelogramo tipo en rombo o en rectángulo. Así se puede constatar lo que sucede cuando se produce la modificación y realizar un registro de cualidades “en tránsito” para pasar de una figura a la otra, así como proponer la anticipación de las modificaciones necesarias, lo cual implica tener presente tanto las propiedades de cada figura como las que pueden compartir. El programa Paint incluye otras figuras como la flecha que se origina desde un lado y la estrella que como los otros polígonos, se crea desde un vértice y por lo tanto se puede rotar. Estas figuras parecen estar incluidas con una intención más de diseño gráfico creativo que con alguna intencionalidad geométrica. No obstante, se trata de polígonos que no son de presencia habitual en el trabajo escolar y además al ser polígonos no convexos permite explorar la convexidad y verificar algunas de sus características. Entre las actividades potentes para construir conocimientos geométricos, es decir los que tienen relación con las propiedades de las figuras, consideramos valiosa la copia de figuras. El Paint incluye segmentos de recta, por lo que a partir de una de las figuras ya diseñadas es interesante proponer a los niños copiarla usando esta herramienta. Las dificultades a ser superadas por los niños durante el proceso, las diferencias o inexactitudes de la copia respecto del original deberán ser aprovechadas por el docente para promover el surgimiento de múltiples discusiones, argumentos y correcciones que generarán avances en relación al conocimiento de las figuras objeto de la copia.
Posibilidades de algunos programas adecuados a los grados superiores El análisis de potencialidades y limitaciones de algunos programas de la XO para el trabajo en los grados superiores, se realiza a través de algunas actividades pensadas para el abordaje del contenido “Polígonos inscriptos” que aparece en 5º año del Programa Escolar. Consigna de la actividad propuesta a los alumnos de 5º grado: Un compañero dice que puede trazar diferentes polígonos que tengan todos sus vértices en una circunferencia. ¿Tú compartes lo que él plantea? ¿Cuáles puedes trazar? Fundamenta tu respuesta.
Con gran frecuencia, cuando en la escuela se proponen actividades sobre polígonos inscriptos, solamente se limita al trabajo con polígonos regulares y ello restringe el concepto objeto de enseñanza ya que se deja de lado la inmensa variedad de polígonos irregulares. La actividad exploratoria propuesta da la posibilidad de construir polígonos de diferente número de lados y que no necesariamente
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 reproduzcan los estereotipos que tenemos cuando pensamos en determinadas figuras (cuadrado, triángulo equilátero, hexágono regular,...). El niño podría realizar con lápiz y papel diferentes figuras de análisis para ejemplificar posibles soluciones. Quizás se limite a dibujar un polígono con tres lados (posiblemente equilátero o isósceles), uno con cuatro lados (posiblemente cuadrado) y luego otros con mayor número de lados pudiendo concluir que podría aumentarse muchísimo el número de lados y obtener igualmente polígonos inscriptos. También podría desarrollar esa actividad exploratoria recurriendo a la regla y al compás. La utilización para esta actividad de algunos programas previstos para la enseñanza de la Geometría (Cabri, Geogebra, Dr. Geo) brinda otras oportunidades. Nos centraremos en esta instancia en el análisis de algunas posibilidades que ofrece Dr. Geo para el trabajo en los grados superiores de la escuela primaria. Este programa permite que una vez construido un polígono, por ejemplo un triángulo, el niño pueda obtener muchísimos más a partir del desplazamiento de sus vértices por la circunferencia que lo inscribe. Podrá analizar cuáles son las propiedades que se mantienen por ser inherentes a todos los triángulos y cuáles cambian. Así también a partir de la realización de un cuadrado, desplazando uno o más vértices por la circunferencia, podrá obtener otros cuadriláteros diferentes en los que no sólo cambian las longitudes de los lados sino también las amplitudes angulares. Se analizarán a continuación algunos procedimientos que podrían desarrollar los niños y los posibles conocimientos que podrían poner en juego.
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Posibles procedimientos que podrían desarrollar los Conocimientos que se podrían poner en juego: niños utilizando Dr. Geo: Trazar una circunferencia, determinar sobre ella los Circunferencia. puntos que serán los vértices del polígono inscripto. Vértices como puntos de la circunferencia en el Con la herramienta “segmentos” trazar los lados del polígono inscripto y como intersección de dos polígono utilizando como extremos los puntos antes lados consecutivos del polígono. representados. Segmentos de recta como lados del polígono. Polígono determinado por una poligonal cerrada. Trazar una circunferencia y luego los lados del polígono Segmentos de recta como lados de los polígonos. a partir de la herramienta “segmento”. Extremos de los segmentos contenidos en la circunferencia que inscribe al polígono que se construye. Polígono determinado por una poligonal cerrada.
Trazar una circunferencia y, a partir de la herramienta Circunferencia, polígono. Vértices del polígono “polígono”, construir un polígono cuyos vértices sean incluidos en la circunferencia. puntos de la circunferencia. Trazar un polígono y luego la circunferencia buscando Polígono. Equidistancia de los vértices respecto al que su centro equidiste de todos los vértices del centro de la circunferencia. polígono. Modificar el polígono cuando comprueba que no todos los vértices pertenecen a la circunferencia. Utilizar rectas auxiliares (paralelas, perpendiculares) Perpendicularidad o paralelismo entre las rectas para obtener determinados polígonos (ej. rectángulos, que contienen a algunos lados de los polígonos. trapecios, etc.).
Los diferentes procedimientos de los alumnos dan cuenta de los conocimientos que ponen en juego y permiten planificar las intervenciones docentes para promover avances. Cuando los alumnos escogen la herramienta “segmentos”, en forma reiterada, para representar los distintos lados del polígono sólo verán representada la poligonal; en cambio cuando eligen la herramienta “Polígono” la figura aparece representada por un trozo del plano sombreado, limitado por la poligonal. Estas distintas representaciones permiten centrar la atención en diferentes propiedades del polígono contribuyendo a su conceptualización. Muchas veces el concepto de polígono se confunde con el de poligonal cuando las actividades se restringen a trazados y no se incluyen otros recursos (recortado de polígonos, sombras, sellos, etc.) en su representación.
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 El hecho de que al trabajar con Dr. Geo, aparezcan en pantalla los nombres de las herramientas que se escogen (punto, recta, segmento, paralelas, perpendiculares, etc.), todos términos de la Geometría, contribuye a que esos nombres cobren sentido. Esa frecuentación favorece la integración del vocabulario matemático. La explicación del uso de cada herramienta que se despliega en la pantalla al señalar cada una, también contribuye a los procesos de conceptualización. En una segunda instancia se previó limitar el estudio a determinados polígonos (triángulos) y analizar las variaciones que la actividad admite. Consigna:
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¿Es posible construir algún triángulo donde el centro de la circunferencia que lo inscribe:
pertenezca al triángulo? esté incluido en un lado del triángulo? sea exterior al triángulo?
Una vez que los alumnos hayan obtenido distintos triángulos se dará la segunda parte de la consigna para resolver en equipos: ¿En qué se parecen o diferencian esos triángulos?
La exploración permitirá diferenciar los triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos a través de relaciones interfigurales (entre el triángulo y la circunferencia en la que está inscripto). Los lados de los triángulos serán siempre cuerdas y por tanto su longitud no puede exceder la de un diámetro.
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Ejemplos de triángulos que contienen el centro de la circunferencia que los inscribe.
Ejemplos de triángulos que no contienen el centro de la circunferencia que los inscribe.
Ejemplos de triángulos que tienen el centro de la circunferencia que los inscribe incluido en un lado.
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 Entre las potencialidades del Programa Dr. Geo para el trabajo en Geometría en la escuela podemos reconocer: Habilita distintos procedimientos de construcción que toman en cuenta las propiedades geométricas de las figuras. Posibilita relacionar figuras estableciendo dependencia entre ellas. Así cuando se realiza la modificación en un elemento (ejemplo vértice de un triángulo) también varían las líneas dependientes (alturas, medianas). El movimiento de las figuras representadas permite cambiar algunos elementos (amplitudes angulares, longitud de segmentos, etc.). Ello posibilita analizar propiedades que se mantienen (ej. relación entre los ángulos del triángulo y los lados opuestos o casos en los que la altura está o no contenida en el polígono) y que pueden ser objeto de estudio contribuyendo al proceso de conceptualización. Ayuda a la incorporación de vocabulario geométrico. ¿Se podrían desarrollar estas actividades planteadas con otros programas de la XO? Si bien los programas Tortugarte y Scratch posibilitan la representación de circunferencias, existen numerosas limitaciones en estas actividades que obstaculizan la conceptualización de esa figura. Nada contribuye a pensar la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro (centro) ya que el centro no aparece representado. Sin embargo, aparece el ángulo al centro y eso puede llevar a confundir la circunferencia con un ángulo completo. Nos preguntamos: ¿Qué aporta a la construcción del concepto de circunferencia esa línea que aparece trazada con ese ángulo de 360º? Una vez obtenida igualmente la circunferencia, Tortugarte no permite trazar cuerdas que se constituyan en los lados del polígono ya que no se puede prever la longitud de los segmentos de modo de asegurar que sus extremos pertenezcan a la circunferencia. Además, la exigencia de la medida para el “desplazamiento” de la tortuga lleva a aritmetizar el trabajo que se desarrolla, dejando en segundo lugar las propiedades geométricas de las figuras. Cabe mencionar que Tortugarte no fue pensado para la enseñanza de la Geometría. La integración de conceptos espaciales (adelante, atrás, derecha, izquierda) desvía la atención hacia éstos en lugar de centrarla en propiedades geométricas. Un ejemplo de esto es que en muchas oportunidades los niños logran modificar los ángulos haciendo girar la tortuga al arrastrar su cabeza sin recurrir a propiedades geométricas.
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Tercer Proyecto de Apoyo a la Escuela Pública Uruguaya. PAEPU Equipo de Matemática - 2011 Por otra parte, la utilización de los bloques de Tortugarte tal como aparecen diseñados promueve que los niños flos utilicen “cliqueando” repetidamente sobre ellos por ensayo y error sin analizar la información que contienen. Estas reflexiones no pretenden agotar, ni mucho menos, la valoración de las posibilidades y limitaciones del trabajo con la XO en la enseñanza de la Geometría, pero sí promover en los maestros una actitud reflexiva, libre de preconceptos, crítica y rigurosa. La misma solo puede provenir de la exploración exhaustiva de las actividades, de su confrontación con los recursos habituales (para el abordaje de los contenidos geométricos) para establecer si hay aportes; si ofrece una mirada diferente que pueda ampliar o problematizar el enfoque y por supuesto del reconocimiento de las limitaciones que necesariamente se deberán explicitar e intentar superar. Este análisis crítico debería ser tarea de los colectivos docentes que pueden discutir posibilidades y limitaciones de cada programa de la XO así como la pertinencia o no de su inclusión en los distintos grados escolares. Así por ejemplo no es pertinente pensar en actividades geométricas en los primeros grados escolares utilizando el programa Dr. Geo o Geogebra; en cambio, sí ofrecen posibilidades para los grados superiores. Estas discusiones de los colectivos docentes serán generadoras de conocimientos que podrán enriquecer la tarea de enseñanza.
Montevideo, noviembre 2011
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