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Un De Matemรกticas Mundo

LA HISTORIA DE LAS CONICAS. APLICACIONES EN LA ACTUALDAD. APRENDIZAJE. CURIOSIDADES.

Contribución Director: Pire. M. Moisés. A. Quintero. P. Jesús. A.

Diseñador Grafico: Pire. M. Moisés. A.

Investigador: Quintero. P. Jesús. A.

Las cónicas de Apolonio de Perga, constaban de ocho libros. Esta obra es el resultado de estudiar las secciones de un cono a las que denominó cónicas. Apolonio descubrió que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones.

Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos , elipses, hipérbolas o parábolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser aplicadas a la ciencia de su época, su importancia ha quedado plenamente justificada el paso del tiempo.

Historia Circunferencia

CONTENIDO

  

 

13-16 Ecuación Constante Elementos

Parábola   

7-10

Ecuación Traslación Ángulos

Elipse 

5-6

Ecuación Traslación Elementos

19-22

Hipérbola   

25-28

Ecuación Traslación Elementos

Entretenimiento y Diversión

29-30

E l m a t e má t i c o g r i e g o M e n e c mo ( vi vi ó s o b r e e l 3 5 0 A . C. ) d e s c u b r i ó e s t a s curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga, e l p r i me r o e n e s t u d i a r d e t a l l a d a me n t e l a s c u r va s cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió quel a s c ó n i c a s se podían clasificar en tres tipos a los q u e d i o e l n o m b r e d e : elipses, hipérbolas y parábolas.

Menecmo (ca. 380 - ca. 320 a. C.)

A p o l o n i o d e mo s t r ó q u e l a s c u r va s c ó n i c a s t i e n e n m u c h a s p r o p i e d a d e s interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de l a s c ó n i c a s s o n l a s l l a m a d a s p r o p i e d a d e s d e r e f l e xi ó n .

S i s e c o n s t r u ye n e s p e j o s c o n l a f o r ma d e u n a c u r va c ó n i c a q u e g i r a a l r e d e d o r d e s u e j e , s e obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz r e f l e j a d a p o r e l e s p e j o s e concentra en el foco. Esta propiedad p e r m i t e encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.

Apolonio de Perge (Perge, c. 262 Alejandría, c. 190 a. C.)

05

Existe la leyenda de que Arquímedes (287 212A . C. ) l o g r ó i n c e n d i a r l a s n a ve s r o ma n a s d u r a n t e l a d e f e nsa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, l a s a n t e n a s d e t e l e vi s i ó n y e s p e j o s solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los a u t o m ó v i l e s concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas.

En el caso delos espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes ( 1 5 9 6 - 1 6 5 0 ) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica.

En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. E l r e s u l t a d o más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas l a s ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672).

Sin lugar a dudas las c ónicas son las curvas más i mportantes que la geometría ofrece a la física.

Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la traye c t o r i a d e c u a l q u i e r c u e r p o s o me t i d o a u n a fuerza gravitatoria es una curva cónica.

El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son e l i p s e s q u e t i e nen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a0.250 de Plutón. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton(1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica

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TIPOS DE CÓNICAS

CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una de las figuras geométricas básicas y más simples de lasque conocemos. Podríamos definir a una circunferencia como la figura generada por una curva cerrada o perímetro en el cual no hay vértices ni ángulos internos. Además, la circunferencia no tiene lados diferenciados, como sí sucede con otras figuras tales como el cuadrado o el triángulo.

Para definir a la circunferencia, podemos comenzar prestando atención al sentido etimológico de la palabra, que en latín quiere decir llevar alrededor de La circunferencia puede ser normalmente confundida con el círculo, pero si hablamos correctamente, deberemos decir que éste es la superficie interna de una circunferencia, mientras esta es su perímetro.

La circunferencia es siempre bidimensional y cuenta con un radio, que es la distancia que existe entre los puntos encontrados (que marcan el límite de la figura) hasta el centro de la misma.

Además, otros elementos que componen a la circunferencia son el centro (el punto equidistante con todos los demás puntos de la figura), el diámetro (la distancia entre los dos puntos más lejanos que pasan por el centro), la cuerda (cualquier segmento que una dos puntos de la circunferencia), las rectas secantes y tangentes (siendo la primera la que pasa por la dentro y fuera de la figura, dividiéndola en dos sectores; siendo la segunda la recta que pasa por fuera y toca a la circunferencia en un sólo punto).

07

ECUACIÓN

DE LA

CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia de centro C (a, b) y radio r , está formada por todos los puntos P (x ,y ) cuya distancia al centro es r:

Elevando al cuadrado esta ecuación obtenemos la ecuación reducida de la circunferencia:

La ecuación general de la circunferencia es: x 2+y 2+Cx +Dy +E = 0.

Esta ecuación se obtiene desarrollando los cuadrados en la ecuación reducida y agrupando todos los términos en el primer miembro.

EJEMPLO:

08

TRANSLACIÓN La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.

Una traslación en el plano está definida por un vector.

Ejemplo: 1 Hallar la imagen por dicha traslación de un punto A (1,3).

2 Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro (3,4) y de radio 1.

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ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.

Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones. Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

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ELIPSE Figura geométrica que es similar a un círculo achatado. Se puede obtener una elipse cortando un cono recto con un plano que se encuentra ligeramente inclinado de la posición paralela a la base del cono, pero antes de volverse paralelo a un elemento del cono.

Curva que une todos los puntos en un plano tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos (llamados focos) se mantiene siempre como constante.

Una elipse parece un círculo achatado.

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse.

Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse.

13

ECUACIÓN DE ELIPSE La ecuación de una elipse con centro en el origen se representa por: x2/a2+ y2/b2= 1 En donde a es la longitud del semieje mayor (la mitad del eje mayor), y b es la longitud del semieje menor (la mitad del eje menor). El eje mayor es la mayor distancia a través de una elipse.

Ejemplo

14

CONSTANTE DE LA ELIPSE En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1(color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

15

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE En la elipse se distinguen los siguientes elementos: Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.  El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.  El eje secundario es la mediatriz del segmento FF´.  El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.  La distancia focal es el segmento FF´, cuya longitud es 2c.  Los vértices son los puntos A y A´, B y B´ en los que los vértices cortan a la elipse.  El eje mayor es el segmento AA´.

El eje menor es el segmento BB´. 

16

PARÁBOLA Parábola es un término que proviene del latín “parabôla” y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, resultante de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz.

La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un balón que es lanzado por un jugador de básquetbol. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

19

ECUACIÓN

DE LA PARÁBOLA

Ejemplo:

20

TRASLACIÓN Traslación vertical y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades.

Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades.

El vértice de la parábola es: (0, k).

El eje de simetría x = 0.

Traslación horizontal

y = x² +2 y = x² y = (x + h)²

Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades.

Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades.

El vértice de la parábola es: El eje de simetría es x =

y = (x + 2)²y = (x

h, 0).

h.

²

21

Traslación oblicua y = (x + h)² + k.

El vértice de la parábola es: (-h, k).

El eje de simetría es x = -h.

y = (x

² + 2y = (x + 2)²

2

Elementos Fundamentales de la Parábola Al punto F se le llama foco y a la recta d directriz. El segmento PF es el radio vector del punto P  A la distancia del foco a la directriz se le llama parámetro, y lo designaremos mediante la letra p  El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. 



El punto de intersección del eje con la parábola recibe el nombre de vértice.

El vértice es el punto medio del segmento perpendicular a la directriz que parte del foco, ya que es un punto de la parábola y, por tanto, ha de equidistar del foco y de la directriz.

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HIPÉRBOLA Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

25

ECUACION DE LA HIPERBOLA Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) yF(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

EJEMPLOS: Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

26

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5,0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Ejemplo:

TRASLACIÓN Las hipérbolas

son las más sencillas de representar.

Sus asíntotas son los ejes.

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

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ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

   

 

 

Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.

El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.

El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F. El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.

La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.

Los vértices son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF. El eje trasverso o eje real es el segmento AA´.

El eje no trasverso o eje imaginario es el segmento BB´.

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