Libro probabilidad

PROBABILIDAD LIBRO DE CONCEPTOS Y EJERCICIOS

MONICA GISELLA MURILLO SANCHEZ Master en Estadística Aplicada

PROBABILIDAD Pensamiento Estadístico: El pensamiento estadístico puede utilizarse en todas las partes de una organización y en todas las funciones de un trabajo.  Empresas de producción  Servicios financieros  Funciones de mercadeo

 Contabilidad  Producción  Investigación  Recursos Humanos

 Ventas  Finanzas

Los administradores sustentan sus decisiones en un análisis de incertidumbres como las siguientes: -

¿Qué posibilidades hay de que disminuyan las ventas si aumentamos los precios?

-

¿Qué posibilidad hay de que un método nuevo de ensamblado aumente la productividad?

-

¿Cuáles son las posibilidades de que el producto se tenga listo a tiempo?

-

¿Qué oportunidad existe de que una nueva invención sea rentable?

“El pensamiento estadístico será algún día tan necesario para el ciudadano competente como la habilidad de leer y escribir.

(H.G. Wells)”

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento.

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Experimento Aleatorio:  Se conocen con antelación todos los posibles resultados.  No se sabe lo que ocurrirá en cada experiencia particular.  Se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones

Ejemplos:     

Tazas de mortandad para cálculo de pólizas de seguros.

Predicción de niveles de ventas Predicción de tiempos de realización de proyectos empresariales.

Estimación de segmentos de mercado.

Toma de decisiones en materia de inversión.

Resultado: Es el valor particular de un experimento

ESPACIO MUESTRAL:

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E o Ω.

Evento Es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Los eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la característica de ser subconjuntos de Ω. Los eventos pueden ser:

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ďƒ˜

Evento Seguro: es aquel que tiene todos los posibles resultados.Ί = đ??´. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuaciĂłn menor que 7.

ďƒ˜

Evento Imposible: es aquel que no tiene un posible resultado. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuaciĂłn de 7.

ďƒ˜

Eventos Compatibles: dos eventos, A y B, son compatibles cuando tienen algĂşn elemento en comĂşn. Ejemplo si A es sacar puntuaciĂłn par al tirar un dado y B es obtener mĂşltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un elemento en comĂşn.

ďƒ˜

Eventos Incompatibles: dos eventos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningĂşn elemento en comĂşn. Ejemplo si A es sacar puntuaciĂłn par al tirar un dado y B es obtener mĂşltiplo de 5, A y B son incompatibles.

ďƒ˜

Eventos independientes: dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo al lazar dos dados los resultados son independientes.

ďƒ˜

Eventos dependientes: dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo extraer dos cartas de una baraja, sin reposiciĂłn, son eventos dependientes.

ďƒ˜

Evento contrario: el evento contrario a A es otro evento que se realiza cuando no se realiza A. Ejemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Ejemplos Experimentos ProbabilĂ­sticos: EXPERIMENTO CampaĂąa publicitaria de un artĂ­culo Estudio de control de calidad de un producto Monto de las ventas efectuadas a crĂŠdito en un mes Invertir en un producto

POSIBLES RESULTADOS Aumentan las ventas / quedan igual / disminuyen Aprobado / No aprobado $0 - $xxxxxxx Ganar / recuperar la inversiĂłn / perder

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Ejemplo Experimento Aleatorio Lanzamos una consecutivas.

moneda

3

veces

a) Determinar el espacio muestral de este experimento. b) describir los siguientes eventos: A=obtener dos caras exactamente, B=obtener al menos una cara.

SoluciĂłn: Primero determinamos la cantidad de elementos del espacio muestral, utilizando la formula de la exponencial: 23 = 8 đ??¸đ?‘™đ?‘’đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ Ahora se puede recurir a un diagrama de arbol para establecer los elementos que conforman este espacio muestral: Cara Cara Sello Cara Sello Sello

Cara Sello Cara

Luego: (đ?‘?đ?‘?đ?‘?), (đ?‘?đ?‘?đ?‘ ), (đ?‘?đ?‘ đ?‘?), (đ?‘?đ?‘ đ?‘ ), (đ?‘ đ?‘?đ?‘?) Ί={ } (đ?‘ đ?‘?đ?‘ ), (đ?‘ đ?‘ đ?‘?), (đ?‘ đ?‘ đ?‘ )

Sello Cara

Los eventos son:

Sello

đ??´ = {(đ?‘?đ?‘?đ?‘ ), (đ?‘?đ?‘ đ?‘?), (đ?‘ đ?‘?đ?‘?)}

Cara

(đ?‘?đ?‘?đ?‘?), (đ?‘?đ?‘?đ?‘ ), (đ?‘?đ?‘ đ?‘?), (đ?‘?đ?‘ đ?‘ ), (đ?‘ đ?‘?đ?‘?) đ??ľ={ } (đ?‘ đ?‘?đ?‘ ), (đ?‘ đ?‘ đ?‘?)

Sello

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DefiniciĂłn Probabilidad: ď ś Es una medida numĂŠrica que refleja la posibilidad de que ocurra un evento. ď ś Permite obtener conclusiones sobre las caracterĂ­sticas de las variables de una poblaciĂłn. ď ś A todo suceso se le puede asociar un nĂşmero entre cero y uno, al que se denomina probabilidad. “La probabilidad de un suceso no es mĂĄs que la proporciĂłn de individuos de la poblaciĂłn considerada en los que se verifica dicho sucesoâ€?

đ?‘ƒ(đ??´) =

đ?‘ đ?‘œ. đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘Žđ?‘Łđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘ đ?‘œ. đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘

Ejemplo: Hallar la probabilidad de los eventos del ejemplo del lanzamiento de 3 monedas

đ?‘ƒ(đ??´) =

3 = 0,375 8

đ?‘ƒ(đ??ľ) =

7 = 0,875 8

Propiedades: 1. Para cada evento A, su probabilidad es un nĂşmero entre 0 y 1

0 ≤ đ?‘ƒ(đ??´) ≤ 1 2. La probabilidad del evento seguro es 1

đ?‘ƒ(Ί) = 1 PĂĄgina 6

3. Si A y B son dos eventos incompatibles, la probabilidad de la uniĂłn

đ?‘ƒ(đ??´ âˆŞ đ??ľ) = đ?‘ƒ(đ??´) + đ?‘ƒ(đ??ľ) 4. Si A y B son dos eventos compatibles, la probabilidad de la uniĂłn

đ?‘ƒ(đ??´ âˆŞ đ??ľ) = đ?‘ƒ(đ??´) + đ?‘ƒ(đ??ľ) − đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) 5. La probabilidad del complemento de un evento

đ?‘ƒ(đ??´)đ?‘? = 1 − đ?‘ƒ(đ??´) 6. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de la diferencia

đ?‘ƒ(đ??´ − đ??ľ) = đ?‘ƒ(đ??´) − đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) 7. Si A y B son dos eventos independientes, la probabilidad de la intersecciĂłn

đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) = đ?‘ƒ(đ??´) ∗ đ?‘ƒ(đ??ľ) 8. Si đ??´ ⊆ đ??ľ, entonces:

đ?‘ƒ(đ??´) ≤ đ?‘ƒ(đ??ľ)

Ejercicios: ď ś Datos sobre las 30 principales acciones y fondos balanceados proporcionan los rendimientos porcentuales anuales y a 5 aĂąos para el periodo que termina el 31 de marzo de 2015. Suponga que se consideran altos: un rendimiento anual arriba de 50% y un rendimiento a cinco aĂąos arriba de 300%. Nueve de los fondos tienen un rendimiento anual arriba de 50%, siete de los fondos a cinco aĂąos lo tienen arriba de 300% y cinco de los fondos tienen tanto un rendimiento anual arriba de 50% como un rendimiento a cinco aĂąos arriba de 300%. a) Al seleccionar un rendimiento ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que sea un rendimiento anual alto o un rendimiento a cinco aĂąos alto? b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que no haya un rendimiento anual alto ni un rendimiento a cinco aĂąos alto?

ď ś El Departamento de EstadĂ­stica Laboral de Estados Unidos reĂşne datos sobre las ocupaciones de las personas entre 25 y 64 aĂąos. La tabla siguiente presenta el

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nĂşmero de hombres y mujeres (en millones) en cada una de las categorĂ­as ocupacionales.

OcupaciĂłn Hombres Mujeres Directivo/Profesional 19079 19021 EnseĂąanza/Ventas/ Administrativo 11079 19315 Servicio 4977 7947 ProducciĂłn con precisiĂłn 11682 1138 Operadores/Obrero 10576 3482 Agricultura/GanaderĂ­a/Silvicultura/Pesca 1838 514 a) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un trabajador mujer sea directivo o agricultor? b) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que trabaje como obrero y sea hombre? c) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que sea mujer pero que no trabaje en la enseĂąanza?

Probabilidad Condicional La probabilidad de que ocurra un suceso A condicionado a que otro suceso B con probabilidad no nula haya ocurrido es:

đ?‘ƒ(đ??´/đ??ľ) =

đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ) đ?‘ƒ(đ??ľ)

La probabilidad de la intersecciĂłn de sucesos es:

đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ ) = đ?‘ƒ(đ??´/đ??ľ) ∗ đ?‘ƒ(đ??ľ) Ejercicios: ď ś En un colectivo de inversores bursĂĄtiles, el 20 % realiza operaciones vĂ­a Internet.

De los inversores que realizan operaciones vĂ­a Internet, un 80 % consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursĂĄtiles que no realizan operaciones vĂ­a Internet sĂłlo un 20 % consulta InfoBolsaWeb. Se pide: a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursĂĄtil elegido al azar en ese colectivo consulto InfoBolsaWeb.

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b) Si se elige al azar un inversor bursĂĄtil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que realice operaciones por Internet?

ď ś Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a trabajos tĂŠcnicos, 40 de los cuales son graduados. SĂ­ se toma al azar uno de estos empleados, cuĂĄl es la probabilidad de que: a) Sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo tĂŠcnico? b) No sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo tĂŠcnico?

Probabilidad Total Dado un sistema completo de sucesos đ??´1, đ??´2,â‹Ż, đ??´đ?‘› la probabilidad de un suceso B es:

đ?‘ƒ(đ??ľ) = đ?‘ƒ(đ??ľ/đ??´1 ) ∗ đ?‘ƒ(đ??´1 ) + đ?‘ƒ(đ??ľ/đ??´2 ) ∗ đ?‘ƒ(đ??´2 ) + â‹Ż + đ?‘ƒ(đ??ľ/đ??´đ?‘› ) ∗ đ?‘ƒ(đ??´đ?‘› ) El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas.

A1

đ?‘ƒ(đ??´2 )

B

BC B

A2

BC B

An

BC

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Ejercicio: ď ś Una empresa se dedica a la construcciĂłn y venta de viviendas en tres islas del archipiĂŠlago canario GC, TF y LZ, vende en GC el 60% de las viviendas, en TF el 30% y en LZ el 10% de las viviendas construidas. De experiencias anteriores tanto de esta empresa como de otras se sabe que un determinado porcentaje de las familias no efectĂşan el pago de las letras mensuales que previamente habĂ­an aceptado, siendo este porcentaje del 2%, del 4% y del 6% respectivamente.

Determinar la probabilidad de que una familia cualquiera pague sus letras.

Teorema de Bayes El teorema de Bayes se aplica cuando los eventos, para los cuales deseamos calcular sus probabilidades posteriores, son mutuamente excluyentes, y la uniĂłn de todos ellos es el espacio muestral.

đ?‘ƒ(đ??´đ?‘– /đ??ľ) =

đ?‘ƒ(đ??´đ??ź ) ∗ đ?‘ƒ(đ??ľ/đ??´đ?‘– ) đ?‘ƒ(đ??ľ)

Probabilidad de que ocurra un suceso debido exactamente a una de sus posibles causas

Ejercicios: ď ś En el departamento de lĂĄcteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur estĂŠ caducado es 0,01 para la marca A; 0,02 para la marca B y 0,03 para la marca C. Un comprador elige un yogur al azar. a) Calcular la probabilidad de que el yogur estĂŠ caducado. b) Sabiendo que el yogur elegido estĂĄ caducado, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que sea de la marca B?

ď ś El estudio sobre los crĂŠditos concedidos por un banco multinacional el pasado aĂąo revela que el 42 % de dichos crĂŠditos se ha concedido a clientes espaĂąoles, el 33% a clientes del resto de la UniĂłn Europea y el 25 % a clientes del resto del mundo. De esos crĂŠditos, los crĂŠditos hipotecarios suponen, respectivamente, el 30 %, el 24 % y el 14 %. Elegido un cliente al azar que ha recibido un crĂŠdito, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que el crĂŠdito concedido no sea hipotecario? ?si es un crĂŠdito hipotecario cuĂĄl es la probabilidad de que sea un cliente EspaĂąol?

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Bibliografía 

Lind, D. A.- Marchal, W. – Wathen, S. A. (2012). Estadística Aplicada a los negocios y la Economía. McGraw-Hill

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Anderson, David R. – Dennis J. & Thomas A., Williams. (2008). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning Editores, S.A.

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Webster, A. L. (2006). Estadística Aplicada a los negocios y la Economía. McGrawHill.

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Lind, Marchal, & Mason. Estadística para Administración y Economía

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http://es.slideshare.net/luisirak/conceptos-bsicos-de-probabilidad1705541?related=6

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http://www.definicionabc.com/general/probabilidad.php

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