Mónica Vera Picó - DNI 74.38.11.79-F
EL ENIGMA DE FERMAT Pierre de Fermat (Francia, 17 de agosto de 1601 – 12 de enero de 1665) fue uno de los matemáticos principales del siglo XVII. Apodado “el príncipe de los aficionados”, descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Pascal y descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la Teoría de Números, en especial por el conocido como Último Teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años.
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Teorema y Origen Evolución del Teorema Relación con otros ámbitos Conclusión Bibliografía
Teorema y Origen
Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto un problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados. Su propio manuscrito fue el siguiente (con su respectiva traducción a castellano):
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.
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El Enigma de Fermat Traducido a lenguaje matemático, podemos escribir el Teorema de la siguiente forma: Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y, z tales que se cumpla la igualdad: 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 Con la propuesta del Teorema y la afirmación de Fermat de que poseía una excelente demostración pero que no la mostraba pues no le cabía en el margen, se inicia el Enigma de Fermat.
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Evolución del Teorema
A pesar de la simplicidad del enunciado del Teorema, la demostración es tremendamente complicada y extensa y se tardó más de 350 años en llegar a ella. Veamos la evolución histórica de este gran enigma matemático. El primer matemático en abordar el problema fue el propio Fermat, que demostró el caso 𝑛 = 4 con la técnica del Descenso Finito (una variante del Principio de Inducción). En 1735 fue Euler el que tomó el testigo y consiguió probar el caso 𝑛 = 3. Aunque más adelante se le reprobaran algunos detalles de la demostración, de ellos surgió el análisis de números complejos. El siguiente paso lo dieron Sophie Germain y Adrien-Marie Legendre que lograron demostrar un subcaso particular del Teorema aplicado a números primos de la forma 2𝑝 + 1. No fue hasta 1825 cuando Dirichlet y Legendre generalizaron para 𝑛 = 5 la demostración de Euler. En 1839, fue el turno del caso 𝑛 = 7 que fue probado por Lamé. Además, éste publica que la demostración se puede basar en la unicidad de la factorización en números primos de un número cualquiera. Más adelante, en 1843, Kummer afirmó que había encontrado una demostración del Teorema pero fue el propio Dirichlet el que encontró un error en su prueba. Kummer, con ayuda de Mirimanoff, intentó subsanar su fallo pero continuaban habiendo casos como 𝑛 = 37, 𝑛 = 59 o 𝑛 = 67que no pudieron arreglar. No será hasta mediados del siglo XX cuando se obtengan más aportaciones sobre la demostración del Teorema. A lo largo de esta época de sequía, ilustres matemáticos como Gauss descartaron el intento de abordar la prueba. Shimura, Taniyama y Frey trabajaron sobre curvas elípticas y formas modulares (campos tratados por el mismo Fermat) tratando de llegar a un enfoque diferente para la demostración, dejando a un lado los números tal cual y abordando un nuevo campo.
Mónica Vera Picó - DNI 74.38.11.79-F Estos estudios fueron clave para el matemático Andrew Wiles que, mediante la prueba del Teorema de TaniyamaShimura combinado con ideas de Frey y con el Teorema de Ribet, alcanzó la tan ansiada demostración del Último Teorema de Fermat. Aunque la primera versión de la prueba contenía un error, pudo ser corregido en la versión publicada (con la inestimable ayuda de su mentor y compañero Taylor) y por fin se alcanzó la versión final (de unas 100 páginas) de la demostración. Esta prueba le valió el premio Abel a Wiles (el equivalente al Nobel de las matemáticas) y un premio en metálico de unos 700.000$. Wiles consiguió en 1995 que se cerrara el enigma de Fermat, planteado en torno al año 1642, es decir, unos 350 años después.
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Relación con otros ámbitos
Como hemos visto, a lo largo de los años en los que el enigma estuvo vigente, se intentó abordar desde diferentes ámbitos de las matemáticas. El inicio de las pruebas se basa en la Teoría de Números, que llevan aparejadas nuevas ideas sobre números primos o sobre el estudio, prácticamente nulo en la época, de números complejos. Más adelante, se abren nuevos campos de estudio como las curvas elípticas (de gran importancia en Criptografía) o la geometría aritmética moderna. Pero, sin lugar a dudas, el ámbito más importante que se desarrolla gracias a la demostración del Último Teorema de Fermat es la Modularidad. Wiles es considerado uno de sus padres con técnicas prácticamente nuevas e innovadoras que abrieron nuevas vías de las matemáticas. Los trabajos de Wiles ayudaron a la resolución de otras importantes conjeturas no demostradas hasta su llegada como la Conjetura de Serre y la de Sato-Tate, que, curiosamente, proporciona una demostración alternativa al Enigma de Fermat.
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Conclusión
A pesar de que hoy en día ya se encuentra demostrado el Último Teorema de Fermat, a lo largo de la historia ha supuesto una pieza clave para el desarrollo de las matemáticas, ya que gracias a la motivación por su prueba, se han abierto nuevas vías de estudio.
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El Enigma de Fermat Parece curioso como un apunte en el margen de un clásico libro ha podido suscitar un Enigma tan grande y que haya movido a tantos matemáticos históricamente. Por otra parte, me genera intriga el saber si ciertamente Fermat consiguió demostrar su Teorema o simplemente fue una forma de motivación para sus sucesores el escribir junto con la hipótesis que él había logrado una demostración excelente. Parece complicado que fuera cierto y realmente lo demostrara, ya que Wiles tuvo que emplear métodos y técnicas del siglo XX no desarrolladas previamente. Esta incógnita sí que será el Enigma que Fermat se llevó a la tumba.
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Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat http://blogs.elconfidencial.com/tecnologia/relatos-relativos/2016-0319/el-ultimo-teorema-de-fermat-un-enigma-sin-solucion-durante-358anos_1171160/ http://matematicascercanas.com/2015/04/11/el-ultimo-teorema-defermat/ http://elpais.com/diario/1995/02/15/sociedad/792802815_850215.html http://barcedavid.blogspot.com.es/2012/04/sir-andrew-wiles-y-lademostracion-del_28.html