12ano 2015 mat a t7

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS JOSÉ ESTÊVÃO Escola Secundária José Estêvão

Matemática A

29 . 05 . 2015

Teste 7 – Turma B

12º ano

Professor: António José Antunes

Aluno: ___________________________________________________________________________ nº __________

GRUPO I    

Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.

Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item.

Não apresente cálculos, nem justificações.

Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Considere a soma

S 

ln 2  ln 22 + ln 23 

 ln 2n

n

Qual das seguintes expressões também representa S ?



n

ln 2  2

(A)



2

(B)

n 1  ln 2 2

n

(C) ln n 2 

1   ln 2  1  ln 2

(D)



n ln 2  2 1 n



2. No referencial o.n. da figura está representado parte do gráfico de uma função f , contínua, de domínio

. Sabe-se que a reta r é assíntota oblíqua do gráfico de f , quando x   

A reta r interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas  2,0  e  0,1

Seja xn  a sucessão de números reais tal que xn  Qual é o valor de

(A)  2

f n  , n  n

lim xn ?

n 

(B)



1 2

(C)

1 2

(D)

1

Teste 7  Página 1 de 4

3. Seja f uma função de domínio   3 , 3  Na figura está representado o gráfico da função f ıı , segunda derivada da função f O eixo Ox é tangente ao gráfico de f ıı no ponto de abscissa  2 e é secante no ponto de abscissa 2.

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico da função f ?

(A) 0

(B)

1

(C) 2

(D)

3

4. Na figura está representado, no plano complexo, um eneágono regular que pode ser inscrito numa circunferência centrada na origem.

Os vértices do eneágono são as imagens das raízes de índice n do número complexo Qual é o número complexo cuja imagem é o ponto B ?

(A)

z   8i

 4  2 cis    9 

 4  (B) 3 2 cis    9 

(C) (D)

 7  2 cis    18  3 2 cis  7 

 18   

5. No plano complexo da figura estão representados: •

a circunferência de diâmetro OB 

•

a reta r , que é a mediatriz de OB 

•

o ângulo AOE

Sabe-se que

zB  8  6 i 

é o número complexo cuja

imagem é o ponto B ; AO E 

 3

Qual das seguintes condições define a região sombreada?

(A)

z  4  3 i  5  0  arg z  

  z  z  8  6i 3

(B)

z  4  3 i  5  0  arg z  

  z  z  8  6i 3

(C)

z  4  3 i  10  0  arg z  

(D)

z  4  3 i  5  0  arg z  

  z  z  8  6i 3

  z  z  8  6i 3

Teste 7  Página 2 de 4

GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

6. Considere, para um certo número real k , a função f , de domínio



, definida por

 sen  x  1  k se 0  x  1  2  x  x  2 f x     1x se x  1  xe 

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

6.1. Determine k , de modo que a função f seja contínua em x  1 6.2. Estude a função f quanto à existência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa assíntota.

7. Na figura estão representados em referencial o.n. o círculo trigonométrico e um retângulo OABC 

Sabe-se que: • os pontos R e C pertencem ao eixo Ox e o ponto Q pertence ao eixo Oy ; • o ponto P desloca-se sobre a circunferência, no segundo quadrante (eixos não incluídos); • os pontos A , B , C e Q acompanham o movimento de P , de modo que PQ  é sempre paralelo a Ox , P pertence a BC  e BC  é paralelo a Oy ; • o arco de circunferência QB está centrado em P ;    •  é a amplitude, em radianos, do ângulo ROP , com    ,      Seja f a função que dá a área do retângulo OABC  em função de  Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

7.1. Mostre que f     cos2  sen  cos  7.2. Verifique que f ı      cos 2  sen 2 . De seguida, mostre que existe um valor de  para o qual a área do retângulo OABC  é máxima e determine-o.

Teste 7  Página 3 de 4

8.

Seja

o conjunto dos números complexos.

8.1. Considere

z1 

3  6i  3 2 i

e

z2  cis 

z1  z 2 

2

Determine os valores de  , de modo que calculadora.

8.2. Seja z um número complexo tal que Mostre que z 3

9.

     ,   2 2 

com

z  i 2 z  i

seja um número real, sem utilizar a

2

 20

Uma caixa tem oito bolas distinguíveis apenas pela cor: cinco pretas e três brancas.

9.1. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, três bolas.

Qual é a probabilidade de serem todas pretas, sabendo que pelo menos uma é preta?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

9.2. Considere a caixa com a sua composição inicial.

Considere agora a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa uma bola de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta.

Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caixa».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.

10. Seja  , conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos A   e B   .

Sabe-se que: • A e B são acontecimentos independentes; • B e B são acontecimentos equiprováveis.

Mostre que

P A  B  

1  P  A 2

FIM

Grupo II Itens

Grupo I

Cotações

40 5  8pontos  40

6.

7.

8.

9.

10.

34 (18+16)

34 (16+18)

36 (18+18)

36 (18+18)

20

Total 200 pontos

Teste 7  Página 4 de 4