AGRUPAMENTO DE ESCOLAS JOSÉ ESTÊVÃO Escola Secundária José Estêvão
Matemática A
29 . 05 . 2015
Teste 7 – Turma B
12º ano
Professor: António José Antunes
Aluno: ___________________________________________________________________________ nº __________
GRUPO I
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Não apresente cálculos, nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Considere a soma
S
ln 2 ln 22 + ln 23
ln 2n
n
Qual das seguintes expressões também representa S ?
n
ln 2 2
(A)
2
(B)
n 1 ln 2 2
n
(C) ln n 2
1 ln 2 1 ln 2
(D)
n ln 2 2 1 n
2. No referencial o.n. da figura está representado parte do gráfico de uma função f , contínua, de domínio
. Sabe-se que a reta r é assíntota oblíqua do gráfico de f , quando x
A reta r interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas 2,0 e 0,1
Seja xn a sucessão de números reais tal que xn Qual é o valor de
(A) 2
f n , n n
lim xn ?
n
(B)
1 2
(C)
1 2
(D)
1
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3. Seja f uma função de domínio 3 , 3 Na figura está representado o gráfico da função f ıı , segunda derivada da função f O eixo Ox é tangente ao gráfico de f ıı no ponto de abscissa 2 e é secante no ponto de abscissa 2. Quantos pontos de inflexão tem o gráfico da função f ? (A) 0
(B)
1
(C) 2
(D)
3
4. Na figura está representado, no plano complexo, um eneágono regular que pode ser inscrito numa circunferência centrada na origem. Os vértices do eneágono são as imagens das raízes de índice n do número complexo Qual é o número complexo cuja imagem é o ponto B ? (A)
z 8i
4 2 cis 9
4 (B) 3 2 cis 9
(C) (D)
7 2 cis 18 3 2 cis 7
18
5. No plano complexo da figura estão representados: •
a circunferência de diâmetro OB
•
a reta r , que é a mediatriz de OB
•
o ângulo AOE
Sabe-se que
zB 8 6 i
é o número complexo cuja
imagem é o ponto B ; AO E
3
Qual das seguintes condições define a região sombreada? (A)
z 4 3 i 5 0 arg z
z z 8 6i 3
(B)
z 4 3 i 5 0 arg z
z z 8 6i 3
(C)
z 4 3 i 10 0 arg z
(D)
z 4 3 i 5 0 arg z
z z 8 6i 3
z z 8 6i 3
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GRUPO II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
6. Considere, para um certo número real k , a função f , de domínio
, definida por
sen x 1 k se 0 x 1 2 x x 2 f x 1x se x 1 xe
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
6.1. Determine k , de modo que a função f seja contínua em x 1 6.2. Estude a função f quanto à existência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa assíntota.
7. Na figura estão representados em referencial o.n. o círculo trigonométrico e um retângulo OABC
Sabe-se que: • os pontos R e C pertencem ao eixo Ox e o ponto Q pertence ao eixo Oy ; • o ponto P desloca-se sobre a circunferência, no segundo quadrante (eixos não incluídos); • os pontos A , B , C e Q acompanham o movimento de P , de modo que PQ é sempre paralelo a Ox , P pertence a BC e BC é paralelo a Oy ; • o arco de circunferência QB está centrado em P ; • é a amplitude, em radianos, do ângulo ROP , com , Seja f a função que dá a área do retângulo OABC em função de Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
7.1. Mostre que f cos2 sen cos 7.2. Verifique que f ı cos 2 sen 2 . De seguida, mostre que existe um valor de para o qual a área do retângulo OABC é máxima e determine-o. Teste 7 Página 3 de 4
8.
Seja
o conjunto dos números complexos.
8.1. Considere
z1
3 6i 3 2 i
e
z2 cis
z1 z 2
2
Determine os valores de , de modo que calculadora.
8.2. Seja z um número complexo tal que Mostre que z 3
9.
, 2 2
com
z i 2 z i
seja um número real, sem utilizar a
2
20
Uma caixa tem oito bolas distinguíveis apenas pela cor: cinco pretas e três brancas.
9.1. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, três bolas. Qual é a probabilidade de serem todas pretas, sabendo que pelo menos uma é preta? Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
9.2. Considere a caixa com a sua composição inicial. Considere agora a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa uma bola de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta. Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caixa». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.
10. Seja , conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos A e B . Sabe-se que: • A e B são acontecimentos independentes; • B e B são acontecimentos equiprováveis. Mostre que
P A B
1 P A 2
FIM
Grupo II Itens
Grupo I
Cotações
40 5 8pontos 40
6.
7.
8.
9.
10.
34 (18+16)
34 (16+18)
36 (18+18)
36 (18+18)
20
Total 200 pontos
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