VOLUMEN 10 NÚMERO 2 JULIO A DICIEMBRE DE 2006 ISSN: 1870-6525
Morfismos Comunicaciones Estudiantiles Departamento de Matem´aticas Cinvestav
Editores Responsables • Isidoro Gitler • Jes´ us Gonz´alez
Consejo Editorial • Luis Carrera • Samuel Gitler • On´esimo Hern´andez-Lerma • Hector Jasso Fuentes • Miguel Maldonado • Ra´ ul Quiroga Barranco • Enrique Ram´ırez de Arellano • Enrique Reyes • Armando S´anchez • Mart´ın Solis • Leticia Z´arate
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Secretarias T´ecnicas • Roxana Mart´ınez • Laura Valencia ISSN: 1870 - 6525 Morfismos puede ser consultada electr´onicamente en “Revista Morfismos” en la direcci´on http://www.math.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirse al tel´efono 50 61 38 71. Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matem´aticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, M´exico, D.F. 07000 o por correo electr´onico: laura@math.cinvestav.mx.
VOLUMEN 10 NÚMERO 2 JULIO A DICIEMBRE DE 2006 ISSN: 1870-6525
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Lineamientos Editoriales “Morfismos” es la revista semestral de los estudiantes del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV, que tiene entre sus principales objetivos el que los estudiantes adquieran experiencia en la escritura de resultados matem´ aticos. La publicaci´ on de trabajos no estar´ a restringida a estudiantes del CINVESTAV; deseamos fomentar tambi´en la participaci´ on de estudiantes en M´exico y en el extranjero, as´ı como la contribuci´ on por invitaci´ on de investigadores. Los reportes de investigaci´ on matem´ atica o res´ umenes de tesis de licenciatura, maestr´ıa o doctorado pueden ser publicados en Morfismos. Los art´ıculos que aparecer´ an ser´ an originales, ya sea en los resultados o en los m´etodos. Para juzgar ´esto, el Consejo Editorial designar´ a revisores de reconocido prestigio y con experiencia en la comunicaci´ on clara de ideas y conceptos matem´ aticos. Aunque Morfismos es una revista con arbitraje, los trabajos se considerar´ an como versiones preliminares que luego podr´ an aparecer publicados en otras revistas especializadas. Si tienes alguna sugerencia sobre la revista hazlo saber a los editores y con gusto estudiaremos la posibilidad de implementarla. Esperamos que esta publicaci´ on propicie, como una primera experiencia, el desarrollo de un estilo correcto de escribir matem´ aticas.
Morfismos
Editorial Guidelines “Morfismos” is the journal of the students of the Mathematics Department of CINVESTAV. One of its main objectives is for students to acquire experience in writing mathematics. Morfismos appears twice a year. Publication of papers is not restricted to students of CINVESTAV; we want to encourage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics research reports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses will be considered for publication, as well as invited contributed papers by researchers. Papers submitted should be original, either in the results or in the methods. The Editors will assign as referees well–established mathematicians. Even though Morfismos is a refereed journal, the papers will be considered as preliminary versions which could later appear in other mathematical journals. If you have any suggestions about the journal, let the Editors know and we will gladly study the possibility of implementing them. We expect this journal to foster, as a preliminary experience, the development of a correct style of writing mathematics.
Morfismos
Contenido An approximation scheme for the mass transfer problem J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares Pedro Aceves S´ anchez et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A note on the rigidity of the stable norm Osvaldo Osuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Morfismos, Vol. 10, No. 2, 2006, pp. 1–13
An approximation scheme for the mass transfer problem∗ J. Rigoberto Gabriel
Beatris Escobedo-Trujillo
Abstract This paper presents an approximation scheme for the MongeKantorovich mass transfer (MT) problem in separable metric spaces. A sequence of finite-dimensional linear programs (transport problems) are introduced and it is proven that the value of the MT problem is the limit of a subsequence of the optimal values of these programs.
2000 Mathematics Subject Classification: 90C48,90C31 Keywords and phrases: mass transfer problem, transport problem, approximation of optimization problems.
1
Introduction
The Monge-Kantorovich mass transfer (MT) problem (introduced in Section 3; see (3.1),(3.2)) is among the oldest and most well known problems in probability theory and its applications. It was originally introduced by Gaspar Monge in 1781 [19] but it was posed as a mathematical programming problem by L.V. Kantorovich in 1942 [17]. For comments on the historical development and applications of the MT problem see, for instance, [1, 7, 20, 21]. The MT problem has been studied by many authors with several approaches [1, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 22, 23]. In general, there are many results on the MT problem, but how to obtain explicit solutions, however, is still an open problem. ∗
Invited Article. Research partially supported by PROMEP:UVER-EXB-01-
01.
1
2
J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo
In this paper we show how to approximate the MT problem by a sequence of finite-dimensional linear programs. These programs are solvable and each one has associated a probability measure (p.m.) with a finite support. Moreover, there exists a subsequence of these p.m.s that converges weakly to the optimal solution of the MT problem. We also prove that the subsequence of optimal values converges to the optimal value of the MT problem. Actually, approximation schemes for the MT problem have been studied by several authors. For example, in [1],[2] an algorithm is studied in the case in which the underlying spaces are the unit interval [0, 1] (see Section 3). Hern´andez-Lerma and Lasserre [15] study the problem in compact metric spaces and they give an approximation scheme based on finite-dimensional linear programs. Other schemes are studied in [4, 5, 6, 11, 13]. The remainder of the paper is organized as follows: In Section 2 we study the so-called transport or transportation problem and under very mild conditions we show that the problem is consistent and solvable. In Section 3 we present our main results concerning the approximation scheme described above.
2
The transportation problem
The classical transportation problem (TP) is a linear program defined as follows: (2.1)
TP
minimize
M ! N !
ckj λkj
k=1 j=1
(2.2)
subject to :
N !
λkj = ak ,
1 ! k ! M,
λkj = bj ,
1 ! j ! N,
j=1
(2.3)
M ! k=1
(2.4)
λkj ≥ 0,
1 ! k ! M,
1 ! j ! N.
The decision variables λkj represent the amounts shipped from source k to destination j. The demand at destination j is bj , the supply at source k is ak and ckj is the unit shipping cost from source k to destination j.
3
The mass transfer problem
The transportation problem is said to be consistent if there exists a matrix Λ = (λkj ) that satisfies (2.2),(2.3) and (2.4). As an example, when the total supply equals the total demand, we have that TP is consistent; see Theorem 2.3. Let ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ c11 c12 ... c1N λ11 λ12 ... λ1N ⎜ c21 c22 ... c2N ⎟ ⎜ λ21 λ22 ... λ2N ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ , C=⎜ . Λ=⎜ . ⎟ ⎟, . . ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . cM 1 cM 2 ... cM N λM 1 λM 2 ... λM N A= a=
'
'
1 1 ... 1
(
1×N
a1 a2 . . . aM
(
, B=
and b =
We use the following notation: a≥0
if
ak ≥ 0
'
1 1 ... 1 '
(
1×M
b1 b2 . . . bN
,
(
.
for all k = 1, 2, ..., M
and a≫0
if
ak > 0
for all k = 1, 2, .., M.
We can then express the TP problem in matrix form as: (2.5) TP
(2.6)
minimize ⟨Λ, C⟩ subject to : AΛT = a,
where ⟨Λ, C⟩ =
M ) N )
BΛ = b,
Λ ≥ 0,
λkj ckj and ΛT is the transpose of Λ.
k=1 j=1
A matrix Λ is said to be a feasible solution for the TP problem if it satisfies (2.6). Remark 2.1 The space of M × N matrices is a normed space, with norm M ) N ) |Λkj |. ∥Λ∥ = k=1 j=1
4
J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo
Definition 2.2 A matrix Λ∗ is said to be an optimal solution to TP if it is feasible and ⟨Λ∗ , C⟩ = inf (TP) := inf{⟨Λ, C⟩|Λ is af easible solution}. TP is solvable if it has an optimal solution. Theorem 2.3 If
ak =
k=1
solvable. Proof:
M !
N ! j=1
bj , a ≫ 0, b ≫ 0 and C ≥ 0, then TP is
Define IF := {Λ|AΛT = a and BΛ = b, Λ ≥ 0}
and S := {⟨Λ, C⟩|Λ ∈ IF}. Let t :=
M ! k=1
λij =
ak =
N !
bj . Then it can be proved that
j=1
ai bj for all i = 1, 2, ..., M and j = 1, 2, ..., N t
is a feasible solution for TP. Therefore IF and S are both nonempty. Moreover, as ckj ≥ 0, S is bounded from below, which implies that inf (TP) ∈ IR. Let {Λn } be a minimizing sequence for TP; that is, each Λn is a feasible solution for TP and (2.7)
⟨Λn , C⟩ ↓ inf (TP) = inf S.
Furthermore ⟨Λn , C⟩ ≤ ⟨Λ0 , C⟩ for all n in N, where Λ0 is some feasible solution for TP. Since a ≫ 0, b ≫ 0 and Λn is feasible for all n, then it can be proved that {Λn } is bounded in IRnm . Hence by the Theorem of BolzanoWeierstrass ([3], pp. 93), there is a subsequence {Λm } of {Λn } and a matrix Λ∗ such that Λm → Λ∗ . Clearly, Λ )→ ⟨Λ, C⟩ is a continuous function. Hence (2.8)
⟨Λm , C⟩ → ⟨Λ∗ , C⟩
The mass transfer problem
5
and, by (2.7), we obtain ⟨Λ∗ , C⟩ = inf (TP). Thus, to complete the proof it suffices to show that Λ∗ is a feasible solution for TP. Since Λm is in IF, we have AΛtm = a, BΛm = b and Λm ≥ 0. Also, t AΛ and BΛ are continuous functions in Λ, and so, by (2.8), AΛ∗ = a, BΛ∗ = b and, in addition, by the convergence of {Λm } we have that ! Λ∗ ≥ 0. Therefore, Λ∗ is a feasible solution. In next section we introduce the MT problem and show how can we approximate it by transportation problems.
3
The mass-transfer problem
In the MT problem we are concerned with the following data are given: a) two metric spaces X and Y endowed with the corresponding Borel σ-algebras IB(X) and IB(Y ); b) A nonnegative measurable function c : X × Y → IR, and c) A probability measure (p.m.) v1 on X, and a p.m. v2 on Y . Moreover, let M (X ×Y ) be the linear space of finite signed measures on X × Y , endowed with the topology of weak convergence, and let M + (X × Y ) be the convex cone of nonnegative measures in M (X × Y ). If µ is in M (X × Y ), we denote by Π1 µ and Π2 µ the marginals (or projections) of µ on X and Y , respectively; that is, for all A ∈ IB(X) and B ∈ IB(Y ) Π1 µ(A) := µ(A × Y ) Π2 µ(B) := µ(X × B). ! Then, with ⟨µ, c⟩ := cdµ, the MT problem can be stated as follows:
(3.1) MT (3.2)
minimize
⟨µ, c⟩
subject to : Π1 µ = v1 , Π2 µ = v2 , µ ∈ M + (X × Y ).
A measure µ ∈ M (X × Y ) is said to be a feasible solution for the MT problem if it satisfies (3.2) and ⟨µ, c⟩ is finite. The MT problem is called consistent if the set of feasible solutions is nonempty, in which case its (optimal) value is defined as inf(MT) := inf{⟨µ, c⟩| µ is a f easible solution f or MT}.
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J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo
It is said that the MT problem is solvable if there is a feasible solution µ∗ that attains the optimal value. In this case, µ∗ is called an optimal solution for the MT problem and the value inf(MT) is written as min(MT) = ⟨µ∗ , c⟩. Remark 3.1 a) Since v1 and v2 are p.m.’s, a feasible solution for MT is also a p.m. b) If c is a bounded function, then the product measure µ := v1 × v2 is a feasible solution. The latter fact is not necessarily true if c is unbounded; see Example 1.2 in [12]. However, even for unbounded c, mild assumptions ensure that the MT problem is consistent [12]. We will need either one of the following assumptions. Assumption 3.2 a) X and Y are separable metric spaces. b) The “cost” function c(x, y) is nonnegative, continuous and inf-compact, which means that, for each r ∈ R, the set Kr = {(x, y)|c(x, y) ≤ r} is compact. Assumption 3.3 a) X and Y are σ-compact and separable metric spaces. b) The “cost” function c(x, y) is nonnegative and continuous. The following Theorem from [14] establishes that the MT problem is solvable. Theorem 3.4 If either Assumption 3.2 or 3.3 holds, then the MT problem is solvable. Now we introduce a sequence of finite-dimensional linear programs in the following way. By the proof of Proposition 6.3 in [13], there are two sequences of probability measures {v1i } on IB(X) and {v2i } on i IB(Y ) with supports in finite sets {xi1 , ..., xiMi +1 } and {y1i , ..., yN }, i +1 i i respectively, such that {v1 } converges weakly to v1 and {v2 } converges i } ⊂ Y∞ weakly to v2 . In addition, {xi1 , ..., xiMi +1 } ⊂ X∞ , {y1i , ..., yN i +1 with X∞ , Y∞ denumerable dense sets in X and Y , respectively.
The mass transfer problem
7
For each positive integer i, consider the following MT problem (3.3)
MTi :
minimize
⟨µ, ci ⟩
subject to : Π1 µ = v1i , Π2 µ = v2i , µ ≥ 0,
(3.4)
where ci = min{c, i}. Proposition 3.5 If µ is a feasible solution for MTi , then µ has a finite support and, moreover, i supp(µ) ⊂ {xi1 , ..., xiMi +1 } × {y1i , ..., yN }, i +1
where supp(µ) means the support of µ. Proof:
Let S1 := supp(v1i ) and S2 := supp(v2i ). Then (S1 × S2 )c ⊂ (S1c × Y ) ∪ (X × S2c ),
which implies 0 ≤ µ[(S1 × S2 )c ] ≤ µ(S1c × Y ) + µ(X × S2c ) = v1i (S1c ) + v2i (S2c ) = 0. Therefore µ[(S1 × S2 )c ] = 0, i.e., supp(µ) ⊂ (S1 × S2 ). ! Let µi be a feasible solution for the MTi problem. Then µi is of the form (3.5)
µi (E) =
M i +1 N i +1 ! ! k=1
j=1
λikj δ(xi ,yi ) (E) ∀ E ∈ IB(X × Y ), k
j
where δ(x,y) denotes the Dirac measure concentrated at (x, y) ∈ X × Y . Since µi is a p.m., (3.6)
M i +1 N i +1 ! ! k=1
j=1
λikj = 1 and λikj ≥ 0
∀ 1 ≤ k ≤ Mi + 1, 1 ≤ j ≤ Ni + 1. In addition, (3.3) becomes (3.7)
⟨µi , ci ⟩ =
"
ci dµi =
M i +1 N i +1 ! ! k=1
j=1
λikj ci (xik , yji ).
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J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo
Let cikj := ci (xik , yji ), and let S1 and S2 be as in the proof of Proposition 3.5. To calculate the marginals v1i and v2i on sets A ⊂ IB(X) and B ⊂ IB(Y ), respectively, it suffices to calculate the marginals on A ∩ S1 and B ∩ S2 . In particular, for any fixed xik0 ∈ X, by (3.4) and (3.5) we have: v1i ({xik0 }) = Π1 µi ({xik0 })
= µi ({xik0 } × Y )
= (3.8)
=
M i +1 N i +1 ! ! k=1
j=1
N i +1 !
λik0 j .
λikj δ(xi ,yi ) ({xik0 } × Y ) k
j
j=1
We define aik := v1i ({xik }) for all k = 1, 2, ..., Mi + 1. Similarly, v2i ({yji0 }) = Π2 µi ({yji0 })
= µi (X × {yji0 }) =
(3.9)
=
M i +1 i +1 N ! ! k=1
j=1
M i +1 !
λkj0 .
λikj δ(xi ,yi ) (X × {yji0 }) k
j
k=1
We define bij := v2i ({yji }) for all j = 1, 2, ..., Ni + 1. By (3.6),(3.8) and (3.9) we have that MTi is equivalent to the transportation problem
(3.10)
M i +1 N i +1 ! !
TPi : minimize
k=1
(3.11)
subject to :
N i +1 !
cikj λikj
j=1
λikj = aik , 1≤k≤Mi +1
j=1
(3.12)
M i +1 ! k=1
λikj = bij ,
1≤j≤Ni +1.
9
The mass transfer problem
Since M i +1 !
aik =
k=1
M i +1 ! k=1
v1i ({xik }) = 1 =
N i +1 ! j=1
v2i ({yji }) =
N i +1 !
bij ,
j=1
it follows from Theorem 2.3 that TPi is solvable for each i in IN. Let µ∗i be an optimal solution for the TPi problem, that is, µ∗i (·)
=
M i +1 N i +1 ! ! k=1
λikj δ(xi ,yi ) (·).
j=1
k
j
(Recall (3.5).) We can now state our main result as follows Theorem 3.6 If either Assumption 3.2 or Assumption 3.3 holds, there exists a subsequence {µ∗in } of {µ∗i } and a probability measure µ∗ such that a) {µ∗in } converges weakly to µ∗ , b) µ∗ is an optimal solution to the MT problem and ⎛ ⎞ Min +1 Nin +1 ! ! c) lim ⟨µ∗i , cin ⟩ = lim ⎝ cikj λikj ⎠ n→∞
n
n→∞
k=1
j=1
= ⟨µ∗ , c⟩ = min(MT).
Proof: The hypothesis (Assumption 3.2 or 3.3) implies that the sequence {µ∗i } is tight; see Lemma 2.4 and Remark 2.5 in [14]. Hence, by Prohorov’s Theorem there is a subsequence {µ∗in } of {µ∗i } and a p.m. µ∗ on IB(X × Y ), such that {µ∗in } converges weakly to µ∗ . Observe that µ∗in is a feasible solution to MTin . Hence Π1 µ∗in = v1in and Π2 µ∗in = v2in , and by Lemma 2.7 in [14], we have that the marginals Π1 µ∗in and Π2 µ∗in converge to the marginals Π1 µ∗ and Π2 µ∗ , respectively. This implies that Π1 µ∗ = v1 and Π2 µ∗ = v2 , that is, µ∗ is a feasible solution for the MT problem. By Theorem 3.4 there exists an optimal solution µ for the MT problem and by Theorem 6.4 in [13], there is a sequence {µin } of p.m.s on
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J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo
IB(X × Y ) such that {µin } converges weakly to µ, and µin is a feasible solution for TPin . Since µ is an optimal solution for MT and µ∗ is feasible for MT, we have ⟨µ, c⟩ ≤ ⟨µ∗ , c⟩.
(3.13) Now, for each i, we have
⟨µi , ci ⟩ ≥ ⟨µ∗i , ci ⟩, and by Theorem 6.4 in [13], we have (3.14)
⟨µ, c⟩ = lim ⟨µin , cin ⟩ ≥ lim sup⟨µ∗in , cin ⟩ ≥ 0 n→∞
n→∞
Pick an arbitrary ε > 0. Since cn ↑ c, there exists an integer m such that (3.15) ⟨µ∗ , c⟩ ≥ ⟨µ∗ , cm ⟩ ≥ ⟨µ∗ , c⟩ − ε. For each in ≥ m we have
0 ≤ ⟨µ∗in , cm ⟩ ≤ ⟨µ∗in , cin ⟩, and as µ∗in → µ∗ we obtain ⟨µ∗ , cm ⟩ = lim ⟨µin , cm ⟩ ≤ lim sup⟨µ∗in , cin ⟩. n→∞
n→∞
Therefore, by (3.15), it follows that ⟨µ∗ , c⟩ ≤ lim ⟨µ∗in , cin ⟩ + ε. n→∞
Consequently, as ε was arbitrary, ⟨µ∗ , c⟩ ≤ lim sup⟨µ∗in , cin ⟩, n→∞
which together with (3.14) gives (3.16)
⟨µ∗ , c⟩ ≤ ⟨µ, c⟩.
Thus, from (3.13) and (3.16) we obtain ⟨µ, c⟩ = ⟨µ∗ , c⟩, that is, µ∗ is an optimal solution for MT. ! Observe that the same reasoning of the former theorem, can be applied for any subsequence {µ∗k } of {µ∗i } and we get that there are a subsequence {µ∗l } of {µ∗k } and probability measure µ, such that µ∗l converges weakly to µ. Therefore µ is also an optimal solution for MT problem. Then we have following theorem
The mass transfer problem
11
Theorem 3.7 If either Assumption 3.2 or 3.3 holds, then lim ⟨µ∗i , c⟩ = ⟨µ∗ , c⟩ = min(MT).
i→∞
Acknowledgement The authors wish to thank Dr. On´esimo Hern´andez-Lerma for his very valuable comments and suggestions. J. Rigoberto Gabriel Facultad de Matem´ aticas, Universidad Veracruzana, A.P. 270, Xalapa, Ver., 91090, M´exico jgabriel@uv.mx
Beatris Escobedo-Trujillo Departamento de Matem´ aticas, CINVESTAV-IPN, A.P. 14-740, m´exico, D.F., 07000, M´exico bet@math.cinvestav.mx
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12
J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo
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The mass transfer problem
13
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Morfismos, Vol. 10, No. 2, 2006, pp. 15–43 Morfismos, Vol. 10, No. 2, 2006, pp. 15–43
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares * Pedro Aceves S´anchez Florian Luca Juan Pablo Maldonado L´opez Diego F. N´ un ˜ez Sabbagh Ricardo Noel Pacheco Venegas
Resumen En este trabajo daremos la prueba detallada del teorema de Ball y Rivoal, presentada en el 2001, sobre el hecho de que la sucesi´ on {ζ(2n + 1)}n≥1 contiene una infinidad de n´ umeros irracionales.
2000 Mathematics Subject Clasification: 11J82, 11M06, 33C20. Palabras y expresiones claves: funci´ on zeta de Riemann, n´ umeros irracionales.
1.
Introducci´ on
La irracionalidad de π fue conjeturada por Arist´oteles. La primera prueba de este hecho fundamental se debe a Lambert en 1766. Una prueba muy elegante fue dada por Niven [3]. Adaptando las ideas de la prueba de transcendencia de e de Hermite [2], Lindemann prob´o en 1882 que π es transcendental, es decir no cumple ninguna ecuaci´on polinomial con coeficientes racionales. Para s > 1 ponemos ζ(s) =
! 1 ns
n≥1 *
Art´ıculo realizado como parte del “Taller Aprendiendo a Investigar en Morelia”, del 21 de Agosto al 2 de Septiembre de 2005, realizado con el apoyo del proyecto PAPIIME-UNAM, EN-100304.
15
16
P. Aceves S´anchez et al
para la funci´on zeta de Riemann. Euler prob´o que ζ(2n) = (−1)n−1 22n−1 B2n
π 2n , (2n)!
donde los coeficientes (B2m )m≥0 se obtienen como los coeficientes de la serie ! z z 2m z + = , B 2m ez − 1 2 (2m)! m≥0
z ∈ C.
En particular, B2n ∈ Q para toda n ∈ N, lo que prueba que ζ(2n) es irracional para cada n ∈ N. Nada se supo del comportamiento de ζ(2k + 1) para k ∈ N hasta en 1978 cuando Ap´ery prob´o que ζ(3) ̸∈ Q. Una exposici´on del m´etodo de Ap´ery se encuentra en [5]. En 2001, Ball y Rivoal [1] probaron que la sucesi´on {ζ(2k + 1)}k≥1 contiene una infinidad de irracionales, resultado que exponemos en este trabajo (Teorema 1.1). Cabe mencionar que todav´ıa no se sabe si ζ(5) es irracional o no, aunque Zudilin [6] prob´o que uno de los n´ umeros ζ(5), ζ(7), ζ(9) y ζ(11) es irracional. Teorema 1.1. La sucesi´ on {ζ(2k + 1)}k≥1 contiene una infinidad de n´ umeros irracionales.
2.
Resultados auxiliares
Primero vamos a recordar un poco de terminolog´ıa. Si (ai )i∈ y (bi )i∈ son dos sucesiones de n´ umeros complejos con bi ̸= 0 para i = 1, 2, . . . , entonces decimos que (ai )i∈ y (bi )i∈ son equivalentes, y escribimos an ∼ bn , si l´ımn→+∞ an /bn = 1. Sean f : N → C y g : N → C. Decimos que f es o-peque˜ no de g si l´ımn→+∞ f (n)/g(n) = 0. En este caso, escribimos f = o(g). Para un n´ umero complejo α y un entero positivo k escribimos (α)k = (α)(α + 1) · · · (α + k − 1) y le llamamos el s´ımbolo de Pochammer. No es dif´ıcil darse cuenta que el s´ımbolo de Pochammer cumple la propiedad (1)
(α)k = (−1)k (−α − k + 1)k .
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
17
Las siguientes funciones jugar´an un papel muy importante en lo que sigue. Para un n´ umero complejo z ̸= 0 y enteros positivos a, n, r con r < a/2, ponemos (2)
Rn (z) =
(3)
(z − rn + 1)rn (z + n + 2)rn , (z + 1)an+1
Sn (z) = n!a−2r
!
Rn (k)z −k ,
k≥0
y (4)
Lin (z) =
! k≥0
zk , (k + 1)n
(|z| ≤ 1),
y n > 1.
Es f´acil ver que Lin (z) converge para |z| ≤ 1 si n ≥ 2 por que |Lin (z)| ≤ Lin (|z|) ≤ Lin (1) = ζ(n), por otro lado, si n = 1 y |z| < 1, el resultado se sigue por el criterio de la ra´ız. Adem´as, se tiene (5)
l´ım Lin (z) = ζ(n),
z→1 |z|<1
(n ≥ 2).
Para ver el l´ımite (5), observamos que si n ≥ 2 y |z| < 1, entonces |Lin (z) − ζ(n)| ≤
! |z k − 1| k≥1
< |z − 1|
kn ! k≥1
≤ |z − 1| 1
k n−1
! 1 + |z| + · · · + |z|k−1 k≥1
kn
= |z − 1|ζ(n − 1),
mientras que si n = 2, entonces observamos que para cada N > 1
18
P. Aceves S´anchez et al
natural |Li2 (z) − ζ(n)| ≤
N ! |z k − 1| k=1
k2
+
N !
! 2 k2
k>N
! 1 + |z| + · · · + |z|k−1 1 +2 2 k k(k + 1) k=1 k≥N " # # ! "1 1 1 1 − < |z − 1| 1 + + · · · + +2 2 N k k+1 k≥N " $ N # dt 2 ≤ |z − 1| 1 + + t N 1 2 = |z − 1|(1 + log N ) + . N ≤ |z − 1|
Poniendo N = ⌊(1 − z)−1 ⌋, haciendo z → 1, y usando el hecho de que l´ımx→0 x log(1/x) = 0, obtenemos el l´ımite (5) para n = 2. En lo que sigue deduciremos una identidad que utilizaremos m´as adelante. Comencemos multiplicando por z a ambos lados de la ecuaci´on (4) en n = 1 para obtener zLi1 (z) =
! z k+1 , k+1
(|z| < 1).
k≥0
Derivando ambos lados de la formula de arriba obtenemos ⎛ ⎞ k+1 ! ! z d d ⎝ z ⎠= (zLi1 (z)) = , (|z| < 1). zk = dz dz k+1 1−z k≥0
k≥1
Integrando la relaci´on de arriba respecto a z, evaluando en 0 y despu´es dividiendo por z obtenemos Li1 (z) = −
log(1 − z) − 1, z
donde log denota una rama donde la funci´on logaritmo natural est´a bien definida. En particular, (6)
l´ım (z − 1)Li1 (z) = − l´ım z −1 (z − 1) (log(1 − z) + z) = 0.
|z|<1 z→1
|z|<1 z→1
El siguiente lema es bastante conocido.
19
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
Lema 2.1. Sea P (z) = Q(z)/R(z), donde Q(z), R(z) ∈ C[z]. Suponemos que R(z) = (z − z1 )l1 (z − z2 )l2 · · · (z − zk )lk donde z1 , z2 , . . . , zk son las ra´ıces distintas de R(z) y l1 , l2 , . . . , lk son sus multiplicidades. Entonces (7)
P (z) = F (z) +
l=lj k ! ! j=1 l=1
en donde cl,j =
cl,j , (z − zj )l
" dlj −l 1 lj " (R(z)(z − z ) ) , " j (lj − l)! dz lj −l z=zj
y F (z) ∈ C[z] es de grado ≤ grado(Q) − grado(R).
Demostraci´ on. Comencemos con la siguiente identidad P (z) = F (z) +
lj k ! ! j=1 l=1
cl,j , (z − zj )l
que se conoce por el desarrolo en fracciones parciales. Para obtener el coeficiente cl,j , multiplicamos P (z) por (z − zj )lj y de esta forma obtenemos P (z)(z − zj ) = lj
lj ! l=1
cl,j (z − zj )lj −l + (z − zj )lj G(z),
en donde G(z) es una funci´on anal´ıtica en una vecindad de zj . Ahora derivando la relaci´on de arriba lj − l veces y evaluando el resultado en z = zj , obtenemos precisamente $" dlj −l # lj " R(z)(z − z ) = (lj − l)!cl,j . " j z=zj dz lj −l
% ⊓
Si λ ≥ 1 es un entero, denotamos Dλ =
1 dλ . λ! dtλ
Con esta notaci´on y la ayuda del Lema 2.1, podemos expresar Rn (z) en fracciones parciales. Comencemos este desarrolo por observar que los
20
P. Aceves S´anchez et al
u ´nicos polos de Rn (z) son {−1, −2, . . . , −j − 1} y cada uno es de orden a. Adem´as, su grado es 2rn − a(n + 1) = n(2r − a) − a < 0, por lo tanto F (z) = 0 en la f´ormula (7) para P (z) = Rn (z) y Rn (z) =
(8)
a ! n ! l=1 j=0
donde cl,j,n
cl,j,n , (z + j + 1)l
" " = Da−l (Rn (t)(t + j + 1) )" a
t=−j−1
.
Adem´as es claro que cl,j,n ∈ Q. Ahora introducimos los siguientes polinomios: (9)
(10)
P0,n (z) = −
Pl,n (z) =
a ! n !
cl,j,n
l=1 j=1
n !
j−1 ! k=0
1 z j−k , (k + 1)l
si l ≥ 1.
cl,j,n z j ,
j=0
El siguiente lema muestra que bajo algunas h´ıp´otesis acerca de las paridades de n y a, el n´ umero Sn (1) es una combinaci´on lineal de ζ(2k + 1) para 1 ≤ k ≤ (a − 1)/2. Lema 2.2. Sean a y n enteros positivos. Entonces (11)
Sn (1) = P0,n (1) +
a !
Pl,n (1)ζ(l).
l=2
Adem´ as, si (n + 1)a + l es impar, se tiene que Pl,n (1) = 0. En particular, si n es par y a ≥ 3 es impar, entonces Pl,n (1) = 0 para toda on lineal de los l ∈ {2, . . . , a} par, y por lo tanto Sn (1) es una combinaci´ ζ evaluado en los enteros impares: a−1
(12)
Sn (1) = P0,l (1) +
2 !
l=1
P2l+1,n (1)ζ(2l + 1).
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
21
Demostraci´ on. Sustituyendo el desarrollo (8) de Rn (k) en fracciones parciales en Sn (z) obtenemos a ! n !
! 1 1 k z (t + j + 1)l l=1 j=0 k≥0 ⎛ ⎞ j−1 a ! n ! 1 ! ! 1 1 1 ⎠ − = cl,j,n z j ⎝ z k (k + 1)l z k (k + 1)l
Sn (z) =
cl,j,n
l=1 j=0
=
a ! l=1
k≥0
k=0
& '! j−1 n a ! n ! ! 1 1 j Lil cj,l,n z − z j−k . cl,j,n z (k + 1)l j=0
l=1 j=1
k=0
Por lo tanto, Sn (z) =
a ! l=1
& ' 1 Pl,n (z)Lil + P0,n (z). z
Como 2r < a, el grado total de la fracci´on racional Rn (t) es n(a − 2r) − a ≤ −3. Por lo tanto, P1,n (1) =
n ! j=0
( ) ) Res Rn (t))
t=−j
*
= 0,
y en particular P1,n (z) es un polinomio que es divisible por z −1. Usando (6), concluimos que & ' 1 l´ım P1,n (z)Li1 = 0. z→1 z
|z|>1
Como l´ım Lin (z) = ζ(n),
z→1 |z|<1
para n ≥ 2 (ver la f´ormula (5)), esto demuestra la primera igualdad. Ahora mostraremos que si n es par y a ≥ 3 es impar, entonces Pl,n = 0 para todo l par en {2, 3, . . . , a}. Comencemos por notar que ) ) cl,j,n = (−1)a−l Da−l (Φn,j (x)))
x=j
,
22
P. Aceves S´anchez et al
en donde Φn,j (x) = Rn (−x − 1)(j − x)a (−x − rn)rn (−x + n + 1)rn = n!a−2r (j − x)a . (−x)an+1 Entonces Φn,n−j (n − x) = n!a−2r
(x − (r + 1)n)rn (x + 1)rn (x − j)a . (x − n)an+1
Aplicando la identidad de Pochammer tres veces obtenemos Φn,n−j (n − x) = (−1)rn (−x + n + 1)rn (−1)rn (−x − rn)rn = n!a−2r (−1)a (j − x)a (−1)(n+1)a (−x)an+1 = (−1)an Φn,j (x), y por lo tanto, si k ≥ 0 es un entero, entonces (k)
(k)
Φn,n−j (n − x) = (−1)k (−1)na Φn,j (x). En particular, con k = a − l y x = j, se tiene que cl,n−j,n = (−1)a−l (−1)na cl,j,n , asi que Pl,n (1) = (−1)(n+1)a+l Pl,n (1). Por lo tanto, deducimos que Pl,n = 0 si (n + 1)a + l es impar.
$ ⊓
Consideremos el polinomio (13)
Qr,a (s) = rsa+2 − (r + 1)sa+1 + (r + 1)s − r.
Observemos que Qr,a (s) = s
a+1
(rs − r − 1) + ((r + 1)s − r) < 0
! si s ∈ 0,
Adem´as, ′
Qr,a (s) = r(a + 2)sa+1 − (r + 1)(a + 1)sa + r + 1
" r . r+1
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
y
23
′′
Qr,a (s) = (a + 1)sa−1 (r(a + 2)s − (r + 1)a),
de donde se ve f´acil que ′
Qr,a (0) = r + 1 > 0
′
y
Qr,a (1) = 2r − a < 0.
′′
Como Qr,a (s) < 0 para toda s ∈ [0, 1], concluimos que Qr,a (s) tiene una sola ra´ız s0 ∈ [0, 1], y que dicha ra´ız est´a en el intervalo (r/(r + 1), 1). Lema 2.3. Se tiene l´ım |Sn (1)|1/n = ϕr,a ,
(14)
n→∞
de donde ϕr,a = ((r + 1)s0 − r)r (r + 1 − rs0 )r+1 (1 − s0 )a−2r . Adem´ as, se cumplen las siguientes desigualdades: (i) 0 < ϕr,a ≤ 2r+1 r−a+2r , (ii) ea ϕr,a < 1 si r ∈ (e4 , a/4) y a > 4e4 . Demostraci´ on. Consideremos (15)
!n (k) = n!a−2r (k − rn + 1)rn (k + n + 2)rn = (k + 1)a Rn (k), R (k + 2)an
!n (k) = 0. si r < a/2. Obviamente si 0 ≤ k ≤ rn − 1, entonces R N´otese que (k − rn + 1)rn = (k − rn + 1) · · · (k) =
k! , (k − rn)!
y de manera similar (k + n + 2)rn =
(k + n(r + 1) + 1)! (k + n + 1)!
y
(k + 2)an =
(k + n + 1)!a , (k + 1)!a
por lo que haciendo una simple sustituci´on se observa que (16)
!n (k) = n!a−2r k!(k + 1)! (k + n(r + 1) + 1)! . R (k − rn)!(k + n + 1)!a+1 a
24
P. Aceves S´anchez et al
!n (k) = 0 para 0 ≤ k ≤ rn − 1 y que r < a/2, se ve Puesto que R f´acilmente de (15) que !n (k) < n!a−2r (k + n(r + 2)) R k an " #a−2r " #−n(a−2r) $ n! k n %2rn 1 + (r + 2) = nn n k " #a−2r " #−n(a−2r) n! k < e2r(r+2)n(n/k) , n n n 2rn
(17)
mientras que (ver (15) de nuevo) !n (k) > n!a−2r (k − rn) R (k + 2n)an " #a−2r " #−n(a−2r) $ n %2rn $ n %−an n! k 1 − r 1 + 2 = nn n k k " #a−2r " #−n(a−2r) n! k 2 (18) > e−(r +2a)n(n/k) , n n n 2rn
si k > 2rn. En las desigualdades de arriba, hemos usado el hecho de que 1 + x < ex para todo x ∈ IR\{0} y 1 − x > e−x/2 si x ∈ (0, 1/2) (esta u ´ltima con x = rn/k). Los c´alculos de arriba muestran f´acilmente que si n es fijo, entonces existe c = c(a, r) > 0 tal que !n (k) = m´ax R !n (k). m´ax R
(19)
0≤k
rn≤k≤cn
De hecho, un c´alculo f´acil basado en (17) y (18) muestra que se puede 2 tomar c = e4a . Llam´emosle a este m´aximo (19) simplemente Mn . Ahora bien, sabemos que Sn (z) =
∞ & k=0
Rn (k)z −k =
∞ & !n (k)z −k (k + 1)−a R k=0
(ver la f´ormula (3)). Entonces, como & (k + a)−a < 1 y rn≤k
deducimos que (20)
!n (k) ≥ 0, R
Mn ≤ Sn (1) ≤ Mn . (cn)a
25
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
1/n
Por lo tanto, basta probar que Mn converge a ϕr,a . A continuaci´on usaremos la f´ormula de Stirling cuya demostraci´on se encuentra en mucho libros de c´alculo. √ (21) n! ∼ e−n nn 2πn, para n → ∞. Las f´ormulas (21) y (16) nos brindan una nueva perspectiva del tama˜ no !n (k): de R !n (k) = R " #a k+1 k + n(r + 1) + 1 n!a−2r (k + n(r + 1))!(k!)a+1 = a+1 (k − rn)!(k + n)! k+n+1 k+n+1 =
na−2r (k + n(r + 1))k+n(r+1) k k(a+1) ρn (k), (k − rn)k−rn (k + n)(a+1)(k+n)
donde ρn (k) es equivalente a "
k+1 k+n+1
#a
a−2r
1
a+1 2
k + n(r + 1) + 1 n 2 (k + n(r + 1)) 2 k a+1 1 k+n+1 (k − rn) 2 (k + n) 2
(2π)
Por lo tanto, como rn ≤ k ≤ cn, tenemos que ρn (k)1/n → 1. Sea F (x) = Observemos que
xx(a+1) (x + r + 1)x+r+1 . (x + 1)(x+1)(a+1) (x − r)x−r
!n (k)|1/n = F (k/n), |R
y por lo tanto,
l´ım |Mn |1/n =
(22)
n→∞
=
l´ım
!n (k)|1/n = m´ax |R
n→∞ k∈[rn,cn]
m´ax F (x) = m´ax F (x) = F (x0 ),
x∈[r,c]
x≥r
para alg´ un x0 ≥ r. Escribiendo F (x) = exp G(x), en donde G(x) = x(a + 1) log x + (x + r + 1) log(x + r + 1) − (x + 1)(a + 1) log(x + 1) − (x − r) log(x − r),
a−2r 2
.
26
P. Aceves S´anchez et al
para encontrar el m´aximo de F (x) derivamos con respecto a x e igualamos con cero obteniendo F ′ (x0 ) = eG(x0 ) G′ (x0 ) = 0, y por lo tanto G′ (x0 ) = 0. Es claro que 0 = G′ (x0 ) = (a + 1) log x0 + (a + 1) + log(x0 + r + 1) + 1 − (a + 1) log(x0 + 1) − (a + 1) − log(x0 − r) − 1
= (a + 1) log x0 − (a + 1) log(x0 + 1) que nos da
+ log(x0 + r + 1) − log(x0 − r),
(x0 + r + 1)xa+1 − (x0 − r)(x0 + 1)a+1 = 0. 0
Al hacer un cambio de variable x0 = s0 /(1 − s0 ), la f´ormula de arriba nos dice que s0 es una ra´ız de Qr,a . Adem´as, como x0 ≥ r, deducimos r , 1). Por lo tanto, que F (x) alcanza su m´aximo en x0 = que s0 ∈ ( r+1 s0 /(1 − s0 ). Para calcular F (x0 ), observamos que ! a+1 "x 0 x0 (x0 + r + 1) (x0 + r + 1)r+1 (x0 − r)r F (x0 ) = (x0 + 1)a+1 (x0 − r) (x0 + 1)a+1 (x0 + r + 1)r+1 (x0 − r)r = , (x0 + 1)a+1 y sustituyendo x0 = s0 /(1 − s0 ) obtenemos que
(23)
F (x0 ) = 1 (s0 + (r + 1)(1 − s0 ))r+1 (s0 − r(1 − s0 ))r = (1 − s0 )2r+1−a−1 (s0 + (1 − s0 ))a+1 = φr,a .
El l´ımite (14) se obtiene ahora inmediatamente de (20), (22) y (23). Para probar (i), notemos que por la desigualdad de Bernoulli (1 + x)a > 1 + ax tenemos 2
1+1/r
si x > 0 y a > 1,
! ! "" 1 k k = (1 + 1) k > 1+ 1+ k = 2k + r r k(r + 1) > k + n(r + 1), para k > rn, = k+ r 1+1/r
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
27
y por lo tanto " # k + n(r + 1) + 1 rn 1 k+1 (k + 1)(a−r)n " # k + n(r + 1) rn 1 (a−2r)n rn < n k k k (a−r)n & ' $ n %a−2r 21+1/r k rn < k k " r+1 #n 2 ≤ , ra−2r
!n (k) < n(a−2r)n k rn R
donde la u ´ltima desigualdad de arriba se cumple por que k/n ≥ r ≥ 1. Aqu´ı hemos usado tambi´en el hecho de que (y + 1)/(x + 1) < y/x si 0 < x < y. Tomando ra´ıces n-esimas y pasando al l´ımite con n obtenemos (i). Para (ii), basta hacer notar que si r < a/4, entonces a − 2r > a/2, y por lo tanto a
e φr,a
2r+1 e2a < e a−2r < a/2 = r r a
"
e4 r
#a/2
<1
si r > e4 .
% ⊓
Lema 2.4. Sea a un entero. Para ℓ ∈ {0, . . . , a}, se tiene la siguiente desigualdad: l´ım sup |Pl,n (1)|1/n ≤ 2a−2r (2r + 1)2r+1 . n→∞
Demostraci´ on. Tomemos ℓ ∈ {1, . . . , a}. Usando la f´ormula integral de Cauchy, reescribamos a cl,j,n de la siguiente manera: cl,j,n =
(24)
= Da−l (Rn (t)(t + j + 1)a )|t=−j−1 ( Rn (z)(z + j + 1)a 1 = dz 2πi γ (z + j + 1)a−l+1 ( 1 Rn (z)(z + j + 1)l−1 dz, = 2πi γ
donde γ es el c´ırculo de radio 1/2 con centro en −j − 1. Para z ∈ γ y k ∈ ZZ tenemos: (25)
|z − k + 1| ≤ j + k + 1
para k = 1, . . . , rn.
28
P. Aceves S´anchez et al
Multiplicando las desigualdades (25) obtenemos |(z − rn + 1)rn | ≤ (j + 2)rn .
(26) Adem´as, (27)
|z + n + k + 1| ≤ n − j + k + 1
para k = 1, . . . , rn.
Multiplicando las desigualdades (27) se tiene: |(z + n + 2)rn | ≤ (n − j + 2)rn .
(28) Finalmente (29)
|z + j + k| ≥ |k − 1| − 1/2,
para toda k ∈ ZZ.
Tomando primeramente k = 0, . . . , n − j + 1, y enseguida k = −1, . . . , −j + 1 en la desigualdad (29), y multiplicando las desigualdades que resultan se tiene que: |(z + 1)n+1 | ≥ 2−3 (j − 1)!(n − j − 1)!.
(30)
Por lo tanto, multiplicando las desigualdades (26), (28) y (30) y usando (24) obtenemos ! 1 |Rn (z)(z + j + 1)l−1 ||dz| |cl,j,n | ≤ 2π γ 8a n!a−2r (rn + j + 1)! ((r + 1)n − j + 1)! (j + 1)! (n − j + 1)! ((j − 1)!(n − j − 1)!)a ((r + 1)n − j + 1)! (rn + j + 1)! ≤ r (j + 1)!(j!(n − j)!) (n − j + 1)!(j!(n − j)!)r " #a−2r n! × (j(n − j))a 8a . j!(n − j)! ≤
Para acotar los coeficientes multinomiales, usamos la igualdad " # $ n (x1 + · · · + xk )n = xn1 1 · · · xnk k n , n , . . . , n 1 2 k n +···+n =n 1
k
ni ≥0
con x1 = x2 = · · · = xk = 1. De esta manera, " # n ≤ kn . n1 , n2 , . . . , nk
29
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
Junto con j(n − j) ≤ obtenemos
!
j + (n − j) 2
"2
=
n2 , 4
|cl,j,n | ≤ (2r + 1)rn+j+1 (2r + 1)(r+1)n−j+1 2(a−2r)n (2n2 )a = (2r + 1)(2r+1)n+2 2(a−2r)n (2n2 )a .
Finalmente, l´ım sup |Pl,n (1)|1/n n→∞
# #1/n #$ # # n # # = l´ım sup # cl,j,n ## n→∞ # # j=0
% &1 n ≤ l´ım sup (n + 1)(2r + 1)(2r+1)n+2 2(a−2r)n (2n2 )a n→∞ a−2r
= 2
(2r + 1)2r+1 .
Si l = 0,
# # # # # a n # # $ # j−1 a $ n $ # #$ $ # # 1 # # # #, n ≤ |P0,n (1)| = # cl,j,n c l,j,n # # (k + 1)l ## # # l=1 j=1 # k=0 l=1 j=1
puesto que
j−1 $ k=0
y por tanto
j−1
$ 1 1 ≤ j ≤ n, ≤ (k + 1)l (k + 1) k=0
% &1 n l´ım sup |P0,n (1)|1/n ≤ l´ım sup n2 a(2r + 1)(2r+1)n+2 2(a−2r)n (2n2 )a n→∞
= 2
n→∞ a−2r
(2r + 1)2r+1 ,
lo que concluye la demostraci´on.
$ ⊓
Recordemos del c´alculo elemental la regla de Leibniz (f · g)′ = f ′ g + g ′ f para funciones derivables f y g. Si las funciones f y g son derivables n veces, podemos generalizar de manera natural el resultado anterior, obteniendo ! " n $ (n) (n−s) (s) n (f g) = f g . s s=0
30
P. Aceves S´anchez et al
La prueba de la f´ormula de arriba se puede hacer por inducci´on sobre n. Otra generalizaci´on para la f´ormula de Leibniz es considerar el producto de k funciones, todas ellas diferenciables n veces. Entonces, usando nuevamente inducci´on, ahora sobre k y n, obtenemos que " # ! n (µ1 ) (µ2 ) (µk ) (n) (f1 f2 · · · fk ) = f1 f2 · · · fk , µ1 , µ2 , . . . , µk µ +µ +···+µ =n 1
2
µi ≥0
k
lo que se puede tambi´en escribir como (31)
Dn (f1 f2 · · · fk ) = " # ! n = Dµ1 (f1 )Dµ2 (f2 ) · · · Dµk (fk ) . µ1 , µ2 , . . . , µk µ +µ +···+µ =n 1
2
µi ≥0
k
Lema 2.5. Sea dn = mcm[1, 2, ...n]. Entonces, para l ∈ {0, 1, . . . , a}, se tiene que Z[z]. da−l n Pl,n (z) ∈ Z Demostraci´ on. Reescribiremos Rn (t) para poder obtener informaci´on sobre los coeficientes cl,j,n . Dejemos fijos a n y j. Tenemos que Rn (t)(t + j + 1)a =
$ r %
&
Fl (t)
l=1
×
$ r %
&
Gl (t)
l=1
× H(t)a−2r ,
donde, para l ∈ {1, 2, . . . , r}, Fl (t) =
(t − nl + 1)n (t + j + 1), (t + 1)n+1
Gl (t) =
(t + nl + 2)n (t + j + 1), (t + 1)n+1
y H(t) =
n! (t + j + 1). (t + 1)n+1
Pongamos ahora Fl (t) = 1 +
n !
m=0 m̸=j
Al,m , t+m+1
donde Al,m son algunos coeficientes que vamos a determinar. Para calcular el coeficiente Al,m , multiplicamos la expresi´on anterior por (t+1)n+1
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
31
y evaluamos en t = −m − 1. Haciendo esta operaci´on para Fl (t), obtenemos Al,m = (j−m) !
(−1)n ((l − 1)n + m + 1)n (−m − nl)n = (j−m) . (−1)m m!(n − m)! h=0,h̸=m (−m + h)
Multiplicando el numerador y el denominador de la fracci´on de arriba por n! obtenemos " #" # n n−m nl + m Al,m = (j − m)(−1) , n m
que es un entero divisible por j − m. An´alogamente, obtenemos que, al descomponer Gl (t) y H(t) en sumas parciales, los numeradores correspondientes a t+m+1 son enteros divisibles por j − m. Notemos ahora que para un entero positivo λ se tiene (Dλ Fl (t))|t=−j−1 = δ +
n $
(−1)λ
h=0,h̸=j
Al,h , (h − j)λ+1
δ ∈ {0, 1}.
Como Al,h se divide por h−j, concluimos que al multiplicar la expresi´on de arriba por dλn , obtenemos un entero. An´alogamente, dλn (Dλ Gl )|t=−j−1 ∈ ZZ
y
dλn (Dλ H)|t=−j−1 ∈ ZZ.
Finalmente, por la f´ormula de Leibniz (31), obtenemos (32) $ Da−l (R(t)(t + j + 1)a ) = (Dµ1 f1 )(Dµ2 f2 ) · · · (Dµa fa ), µ1 +µ2 +···+µa =a−l µi ≥0
donde fi ∈ {F1 , . . . , Fr , G1 , . . . , Gr , H} para i = 1, . . . , a. Al y evaluar en t = multiplicar ambos lados de la igualdad (32) por da−l n −j − 1, concluimos que los coeficientes cl,j,n son enteros, lo que termina la demostraci´on de nuestro lema. $ ⊓
3.
Demostraci´ on del Teorema 1.1
Para demostrar nuestro teorema, vamos a usar el siguiente resultado cuya demostraci´on aparece al final de la secci´on 4.
32
P. Aceves S´anchez et al
Teorema 3.1. Sean N n´ umeros reales θ1 , . . . , θN (N ≥ 2) y supongamos que existen sucesiones (pℓ,n )n≥0 tal que (i) pℓ,n ∈ ZZ para todo ℓ ∈ {1, . . . , N } y n ≥ 0; ! !" ! ! n+o(n) n+o(n) ≤! N p θ con 0 < α1 ≤ α2 < 1; (ii) α1 ℓ=1 ℓ,n ℓ ! ≤ α2
(iii) |pℓ,n | < β n+o(n) para todo ℓ ∈ {1, . . . , N } y n ≥ 0, donde β > 1.
En estas condiciones, (33)
dimQ (Qθ1 + · · · + QθN ) ≥
ln β − ln α1 . ln β − ln α1 + ln α2
A continuaci´on, recordemos el siguiente resultado.
Lema 3.2. Sea dn = mcm[1, 2, . . . , n]. Entonces se tiene que dn = en+o(n) , cuando n → ∞.
Demostraci´ on. Para un entero positivo n ponemos π(n) = #{p ≤ n : p primo}. El Teorema de los n´ umeros primos afirma que π(n) ∼ n/ log n. Ahora comencemos observando que # # dn = p⌊log n/log p⌋ ≤ plog n/log p = nπ(n) = en+o(n) , 1<p≤n p primo
1<p≤n p primo
en donde la u ´ltima igualdad se cumple gracias al Teorema de los n´ umeros primos. Por otro lado, es claro que $ $ log dn ≥ log p ≥ log p 1<p≤n p primo
≥ log
as´ı que
%
n (log n)2
n/(log n)2 ≤p≤n p primo
&%
%
n (log n)2
&&
π(n) − π % & n n (1 + o(1)) − ≥ (1 + o(1)) log n ≥ n(1 + o(1)), log n (log n)2
y por lo tanto dn = en+o(n) .
dn ≥ en(1+o(1)) ,
) ⊓
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
Si n ≥ 0 es un entero, definimos (34) ln = da2n S2n (1), p0,n = da2n P0,2n (1)
y
33
pl,n = da2n P2l+1,2n (1)
para l ∈ {1, . . . , (a − 1)/2}. Para un entero impar a ≥ 5 notemos con δ(a) la dimensi´on del espacio vectorial Qζ(3) + Qζ(5) + · · · + Qζ(a). Nuestro teorema principal ser´a una consecuencia inmediata del siguiente resultado. Lema 3.3. Si a > 4e4 es un entero impar y r es un entero en (e4 , a/4), entonces δ(a) ≥ donde
(a − 2r) log 2 + (2r + 1) log(2r + 1) − log(ϕr,a ) , a + (a − 2r) log 2 + (2r + 1) log(2r + 1)
ϕr,a = ((r + 1)s0 − r)r ((1 − s0 )r + 1)r+1 (1 − s0 )a−2r , y s0 es la ra´ız en (r/r + 1, 1) del polinomio Qr,a (s) que aparece en (13). En particular, δ(a) ≥
(a−r) (a+1) log 2 (2r+1) (a+1) log(r
log r + 1 + log 2 +
+ 1)
.
Demostraci´ on. Por el Lema 2.2, a−1
Sn (1) = P0,n (1) +
2 !
P2l+1,n (1)ζ(2l + 1).
l=1
Sustituyendo la relaci´on de arriba en la definici´on (34) de ln obtenemos a−1
ln = p0,n +
2 !
pl,n ζ(2l + 1).
l=1
Verifiquemos que las hip´otesis del Teorema 3.1 se cumplen. Primero, por el Lema 2.5 sabemos que pl,n ∈ Z para l ∈ {0, . . . , (a − 1)/2} y n ≥ 0. Por Lema 2.3, tenemos que |S2n (1)| = (ϕr,a )2n(1+o(1)) .
34
P. Aceves S´anchez et al
Multiplicando la estimaci´on de arriba por da2n , tomando logaritmos, y usando el Lema 3.2, obtenemos log |ln | = 2n log(κ) + o(n),
en donde κ = ea ϕr,a .
Para r > e4 , tenemos que κ < 1 si a > 4e4 (ver Lema 2.3). An´alogamente, obtenemos que log |pl,n | ≤ 2n log(τ ) + o(n),
en donde τ = ea 2a−2r (2r + 1)2r+1 .
Es claro que τ > 1. Aplicando el Teorema 3.1 con los valores α1 = α2 = κ2 y β = τ 2 , obtenemos δ(a) ≥ =
log τ − log κ log τ (a − 2r) log 2 + (2r + 1) log(2r + 1) − log(ϕr,a ) . a + (a − 2r) log 2 + (2r + 1) log(2r + 1)
Utilizando la desigualdad ϕr,a ≤
2r+1 ra−2r
(ver (i) del Lema 2.3), se obtiene δ(a) ≥ = =
(a − 3r − 1) log 2 + (2r + 1) log(2r) + (a − 2r) log r a + 1 + (a − 2r) log 2 + (2r + 1) log(2r + 2) (a − r) log 2 + (a + 1) log(r) a + 1 + (a + 1) log 2 + (2r + 1) log(r + 1) (a−r) (a+1) log 2 (2r+1) (a+1) log(r
log r + 1 + log 2 +
que es lo que quer´ıamos demostrar.
+ 1)
,
% ⊓
Teorema 3.4. Existe una constante a0 tal que si a ≥ a0 es un entero impar, entonces 1 δ(a) ≥ log a. 8
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
35
√ Demostraci´ on. Tomando r = ⌊ a⌋ en el Lema 3.3 obtenemos que si a > e8 (es decir r > e4 ), entonces δ(a) ≥ = ≥
(a−r) (a+1) log 2 log 2 + (2r+1) (a+1) log(r + 1) √ √ a⌋) log(⌊ a⌋) + (a−⌊ (a+1) log 2 √ √ a⌋+1) log 2 + (2⌊(a+1) log(⌊ a⌋ +
log r +
1+
1+ 1 2 (1
1)
+ o(1)) log a log a > , 1 + log 2 8
si a es grande.
& ⊓
Es posible obtener mejores cotas inferiores para δ(a) tomando otros valores de r. Para el prop´osito de nuestro Teorema 1.1, solamente es necesario hacer notar que δ(a) tiende a infinito con a, como corolario del Teorema 3.4. Por lo tanto, el Teorema 1.1 queda demostrado. S´olo falta probar el Teorema 3.1, que es lo que haremos en la siguiente secci´on.
4.
El Criterio de Nesterenko En esta secci´on, daremos la prueba del Teorema 3.1.
4.1.
Resultados previos del ´ algebra lineal
m Consideremos un espacio vectorial E ∼ = IR !m con producto escalar (x, y) definido para x, y ∈ E como ⟨x, y⟩ =" i=1 xi yi . Denotamos de manera usual la norma de un vector ∥x∥ = ⟨x, x⟩. Se tienen entonces los siguientes hechos: Si V ⊂ E es un subespacio vectorial de E, denotamos por V ⊥ al complemento ortogonal de V . Adem´as, dado un ⊥ y b ∈ V tales que vector b ∈ E, existen dos u ´nicos vectores b⊥ V V ∈ V b = b⊥ + b . V V
Lema 4.1. Los vectores a1 , a2 , . . . , ar ∈ E son linealmente independientes sobre R ⇐⇒ el determinante △r = det (⟨ai , aj ⟩) cumple que △r > 0.
Con esta notaci´on, escribimos el volumen del √ paralelep´ıpedo formado por a1 , a2 , . . . , ar como Vol(a1 , a2 , . . . , ar ) = △r . Tenemos tambi´en el siguiente resultado.
36
P. Aceves S´anchez et al
Lema 4.2. Si a1 , a2 , . . . , ar es una base de V, entonces para cualquier b ∈ E, Vol(b, a1 , . . . , ar ) = ∥b⊥ V ∥Vol(a1 , . . . , ar ) En lo siguiente, denotaremos por V ∗ al espacio dual de V , es decir, V ∗ = {L : V #→ IR : L es una forma lineal}.
4.2.
Lemas previos
Para simplificar un poco la notaci´on en la demostraci´on de los dos lemas siguientes, escribamos ρ(b, V ) = ∥b⊥ V ∥. Tenemos entonces nuestro primer resultado. Lema 4.3. Sean V1 y V2 subespacios vectoriales de E tales que V2 ⊂ V1 . Entonces, dado b ∈ E ρ(b, V2 ) ≥ ρ(b, V1 ). La demostraci´on es obvia. Hasta ahora simplemente nos hemos ocupado de recordar algunos hechos conocidos del ´algebra lineal en espacios vectoriales sobre IR. Sin embargo, para la demostraci´on del siguiente lema, es necesario hacer algunas definiciones y observaciones para el caso de espacios vectoriales sobre Q. Decimos que un subespacio V ⊆ E es racional si tiene la propiedad que los vectores que pertenecen a ´el son soluciones de un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales con coeficientes en Q. Observemos ahora que si V es un subespacio racional tal que dimV = m − r, el conjunto de las formas lineales con coeficientes racionales que se anulan en V es un subespacio de dimensi´on r en E ∗ sobre Q, en tanto que las formas con coeficientes enteros forman una ret´ıcula (lattice) en dicho subespacio. Denotamos por Vol(V ) al volumen del paralelep´ıpedo formado por la base de vectores de esta ret´ıcula. De acuerdo a nuestra definici´on de volumen, es inmediato que Vol(V ) ≥ 1. Si L(x) = ⟨a, x⟩ es una forma lineal con coeficientes enteros y primos relativos, y V es un hiperplano en E (i.e., un subespacio de dimensi´on m − 1), definido por la ecuaci´on L(x) = 0, tenemos que Vol(V ) = ∥a∥
y
ρ(θ, V ) =
|L(θ)| . Vol(V )
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
37
Lema 4.4. Sean U y V ⊂ E subespacios racionales, dimV = m − 1, U ! V . Sea W = U ∩ V . Entonces (1) Vol(W ) ≤ Vol(U )Vol(V ). (2) Vol(W )ρ(θ, W ) ≤ Vol(U )Vol(V )(ρ(θ, V ) + ρ(θ, U )). Demostraci´ on. Supongamos que ⟨a1 , x⟩, ⟨a2 , x⟩, . . . , ⟨ar , x⟩ y ⟨b, x⟩ son bases de las ret´ıculas de formas enteras correspondientes a U y a V , respectivamente. Es claro que Vol(W ) ≤ Vol(b, a1 , a2 , . . . , ar ). Entonces, por el Lema 4.2, tenemos que: (35) Vol(b, a1 , a2 , . . . , ar ) = ∥bU ∥Vol(a1 , a2 , . . . , ar ) ≤ ∥b∥Vol(a1 , a2 , . . . , ar ), donde el lado derecho de la desigualdad es Vol(U )Vol(V ). N´otese que por (35), tenemos que Vol(W ) ≤
∥bU ∥ Vol(U )Vol(V ), ∥b∥
y por lo tanto para probar la segunda desigualdad basta demostrar que ρ(θ, W )∥bU ∥ ≤ ∥b∥(ρ(θ, U ) + ρ(θ, V )). Si θ ∈ W , entonces el lado izquierdo de la desigualdad es cero mientras que el lado derecho es no negativo. Entonces basta verificar el caso θ ∈ W ⊥ . Podemos suponer que ∥θ∥ = ∥b∥ = 1. Entonces, al simplificar la desigualdad que queremos probar, obtenemos ∥bU ∥ ≤ ∥θU⊥ ∥ + ∥θV⊥ ∥. Por un lado, dim(U ∩ W ⊥ ) ≥ dimU + dimW ⊥ − m = dimU − dimW ≥ 1, adem´as, (36) 0 = dim(W ∩ W ⊥ ) = dim(V ∩ U ∩ W ⊥ ) ≥ dimV + dim(U ∩ W ⊥ ) − m. El lado izquierdo de la desigualdad (36) es cero mientras que el lado derecho es dim(U ∩ W ⊥ ) − 1. Esto concluye que dim(U ∩ W ⊥ ) = 1. Ahora, como W ⊂ U y U ⊥ ⊂ W ⊥ , deducimos que θU = θ−θU⊥ ∈ U ∩W ⊥ por las inclusiones anteriores y el hecho de que θ ∈ W ⊥ . An´alogamente,
38
P. Aceves S´anchez et al
⊥ b ∈ V ⊥ ⊂ W ⊥ y bU = b − b⊥ U ∈ U ∩ W . Las inclusiones que hemos probado hasta ahora y el hecho de que dim(U ∩ W ⊥ ) = 1 implican que
∥θU ∥ ∥bU ∥ = |⟨θU , bU ⟩| = |⟨θU , b⟩| = |⟨θ, b⟩ − ⟨θU⊥ , b⟩|
≤ |⟨θ, b⟩| + |⟨θU⊥ , b⟩|.
(37)
Como ∥b∥ = 1, tenemos que (38)
θV⊥ = ⟨θ, b⟩b
y
|⟨θ, b⟩| = ∥θV⊥ ∥.
De las desigualdades (37) y (38), se deduce que ∥θU ∥ ∥bU ∥ ≤ ∥θV⊥ ∥ + ∥θU⊥ ∥ ∥b⊥ U ∥.
(39)
Elevando al cuadrado la desigualdad (39) y sustituyendo (∥θU ∥ ∥bU ∥)2 , por (∥bU ∥)2 −(∥θU⊥ ∥ ∥bU ∥)2 , (ya que 1 = ∥θ∥2 = ∥θU ∥2 +∥θU⊥ ∥2 ) y usando el hecho de que ∥b⊥ U ∥ ≤ 1, obtenemos ! "2 ∥bU ∥2 ≤ (∥θU⊥ ∥ ∥bU ∥)2 + ∥θV⊥ ∥ + ∥θU⊥ ∥ ∥b⊥ U∥
2 ⊥ 2 ⊥ ⊥ ⊥ = (∥θU⊥ ∥ ∥bU ∥)2 + (∥θU⊥ ∥ ∥b⊥ U ∥) + ∥θV ∥ + 2∥θU ∥ ∥θV ∥ ∥bU ∥
2 ⊥ 2 ⊥ ⊥ ≤ ∥θU⊥ ∥2 (∥bU ∥2 + ∥b⊥ U ∥ ) + ∥θV ∥ + 2|θU ∥ ∥θV ∥
= (|θU⊥ ∥ + ∥θV⊥ ∥)2
= (ρ(θ, V ) + ρ(θ, U ))2 ,
lo que concluye nuestra demostraci´on del lema.
* ⊓
En lo que sigue, denotaremos por ∥L∥ la norma del vector asociado a la forma L, es decir, la norma de a, si L(x) = ⟨a, x⟩.
4.3.
El Teorema de Nesterenko
Enunciamos y demostramos a continuaci´on el siguiente teorema. Teorema 4.5. Sean δ, N0 , c1 , c2 , τ1 , τ2 ∈ IR+ , tales que 0 ≤ τ1 −τ2 < δ, σ(t) es una funci´ on mon´ otona creciente para t ≥ N0 que cumple l´ım σ(t) = ∞,
t→∞
l´ım sup t→∞
σ(t + 1) = 1. σ(t)
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
39
Sea θ = (θ1 , θ2 , . . . , θm ) ∈ IRm y supongamos que para cualquier natural N ≥ N0 , existe una forma lineal LN (x) con coeficientes enteros que satisface las siguientes condiciones: ∥LN ∥ ≤ eσ(N ) ,
c1 e−τ1 σ(N ) ≤| LN (θ) |≤ c2 e−τ2 σ(N ) .
Entonces, para cualquier entero r que se localice dentro del intervalo 0 ≤ r < (τ1 + 1)/(δ + 1), existe una constante Υr > 0 tal que para cada on r se satisface la siguiente subespacio racional V ⊂ IRm de dimensi´ desigualdad ρ(θ, V ) ≥ Υr Vol(V )
1+τ1 1 −r(1+δ)
− 1+τ
.
Para el prop´osito de nuestro art´ıculo, lo que nos interesa es el siguiente corolario. Corolario 4.6. Bajo las condiciones del teorema anterior, entre los n´ umeros θ1 , θ2 , . . . , θm hay al menos (τ1 + 1)/(1 + τ1 − τ2 ) de ellos que son linealmente independientes sobre Q. Demostraremos primero el Corolario 4.6 y despu´es el Teorema 4.5. Demostraci´ on. Sea r el la mayor cantidad de n´ umeros linealmente independientes sobre Q entre los n´ umeros θ1 , θ2 , . . . , θm . De manera natural, construimos m − r formas linealmente independientes Mj (x) con coeficientes racionales tal que Mj (θ) = 0 para j = 1, 2, . . . , m − r. Sea V el subespacio racional definido igualando estas formas a cero. Entonces tenemos dimV = r, y θ ∈ V y por tanto, ρ(θ, V ) = 0. Esto implica que r ≥ (1 + τ1 )/(1 + δ) por el Teorema 4.5. ( ⊓ Ahora damos la demostraci´on del Teorema 4.5. Demostraci´ on del Teorema 4.5. Demostraremos el teorema por inducci´on sobre r. El caso r = 0 es trivial, pues el u ´ nico subespacio de dimensi´on cero en IRm satisface Vol(V ) = 1 y ρ(θ, V ) = ∥θ∥. Tomando Υ0 = ∥θ∥, todo funciona bien.
Ahora supongamos que 1 < r < (1 + τ1 )/(1 + δ), y que todo subespacio de dimensi´on r − 1 satisface la desigualdad que queremos demostrar. Fijamos un ε tal que 0 < ε < (δ − τ1 + τ2 )(τ1 + 1)−1 . Tomamos un n´ umero natural N1 ≥ N0 tal que σ(t + 1) ≤ (1 + ϵ)σ(t), si t ≥ N1 . Para k ≤ r, definimos (40)
λk =
1 + τ1 , 1 + τ1 − k(1 + δ)
40
P. Aceves S´anchez et al
escogiendo dos constantes positivas µ y Υr que satisfagan las siguientes desigualdades (41)
µeτ1 σ(N1 ) ∥LN1 ∥ < 1,
2c2 µ
λr−1 λr
< Υr−1 ,
Υr < c1 µ.
Sea V un subespacio racional de dimensi´on r que contradice el teorema, es decir, para el cual ρ(θ, V ) < Υr Vol(V )−λr . Sea N el mayor entero tal que (42)
Vol(V )λr ≥ µeτ1 σ(N ) ∥LN ∥.
Es claro que dicho entero existe, pues el conjunto de n´ umeros que satisfacen esta condici´on es no vac´ıo (N1 pertenece a este conjunto gracias a la elecci´on de µ), y es acotado por que σ(t) tiende a infinito con t. Denotamos por V1 el subespacio de IRm definido por la ecuaci´on LN (x) = 0. Entonces tenemos que ρ(θ, V1 ) =
|LN (θ)| ≥ c1 e−τ1 σ(N ) ∥LN ∥−1 ∥LN ∥
≥ c1 µVol(V )−λr > Υr Vol(V )−λr > ρ(θ, V ). Por el Lema 4.3, deducimos que V ! V1 . Haciendo W = V ∩ V1 y utilizando el Lema 4.4, obtenemos que Vol(W )ρ(θ, W ) ≤ Vol(V )∥LN ∥2ρ(θ, V1 ) = 2Vol(V )|LN (θ)|, y que Vol(W ) ≤ Vol(V )∥LN ∥.
Notemos que λr−1 > 1 y que adem´as, por la hip´otesis de inducci´on, Vol(W )Υr−1 Vol(W )−λr−1 ≤ Vol(W )ρ(θ, W ). Trataremos de llegar a una contradicci´on en el tama˜ no de Υr−1 . Para esto, despejamos esta constante de las desigualdades anteriores, quedando que:
(43)
Υr−1 ≤ 2Vol(V )|LN (θ)|Vol(W )λr−1 −1
≤ 2Vol(V )λr−1 ∥LN ∥λr−1 −1 |LN (θ)|.
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
41
Gracias a la elecci´on de N , escribimos la desigualdad contraria a (42) para N + 1 Vol(V )λr (44)
< µeτ1 σ(N +1)∥LN +1 ∥ ≤ µe(τ1 +1)σ(N +1) ≤ µe(τ1 +1)(1+ϵ)(σ(N )) .
Despejando Vol(V ) en (44) y sustituyendo en la desigualdad (43) para Υr−1 , obtenemos que (45)
Υr−1 ≤ 2µ
λr−1 λr
c2 e[
λr−1 (τ1 +1)(1+ϵ)+λr−1 −1−τ2 ]σ(N ) λr
.
Comparando (45) con (41), notemos una contradicci´on si λr−1 (τ1 + 1)(1 + ϵ) + λr−1 − 1 − τ2 < 0. λr
(46)
Usando las f´ormulas (40) para λk observemos que la desigualdad (46) se sigue de (1 + ε)(τ1 + 1 − r(1 + δ)) − (τ2 + 1 − (r − 1)(1 + δ)) < −1, que es equivalente a ε<
τ2 − τ1 + δ τ2 − τ1 + δ τ2 − (r − 1)(1 + δ) −1= < , τ1 + 1 − r(1 + δ) τ1 + 1 − r(1 + δ) τ1 + 1
que es cierta por la manera de escoger ε. Esto concluye la demostraci´on del Teorema 4.5. $ ⊓
Finalmente, daremos la prueba del Teorema 3.1, que es una reformulaci´on del Teorema 4.5. Demostraci´ on del Teorema 3.1. Observemos que si tomamos σ(t) = (β + ε)t,
τ1 =
α1 − ε β+ε
y
τ2 =
α2 + ε , β+ε
entonces las condiciones (i)–(iii) del enunciado del Teorema 3.1 implican que las condiciones del Corolario!4.6 se cumplen con c1 = c2 = 1 y N0 grande para las formas LN (θ) = N ℓ=1 pℓ,N θℓ con N ≥ N0 . Por lo tanto, la dimensi´on del espacio generado de los θi sobre Q es mayor o igual τ1 + 1 . Al hacer ε → 0, se obtiene la desigualdad (33). $ ⊓ que 1 + τ1 − τ2 Concluimos este trabajo sugeriendo la siguiente pregunta:
42
P. Aceves S´anchez et al
Pregunta 1. ¿ Que se puede decir sobre la estructura del ZZ-m´ odulo ! ZZζ(2n + 1)? n≥1
Agradecimientos Agradecemos al referee por sus valiosos comentarios.
Pedro Aceves S´ anchez Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´ aticas UMSNH Morelia, Michoac´ an, M´exico shilambala@hotmail.com
Juan Pablo Maldonado L´ opez Instituto de F´ısica y Matem´ aticas UMSNH Morelia, Michoac´ an, M´exico pablo@ifm.umich.mx
Florian Luca Instituto de Matem´ aticas UNAM Apartado Postal 61-3 (Xangari) Morelia, Michoac´ an, M´exico fluca@matmor.unam.mx
Diego F. N´ un ˜ez Sabbagh Facultad de Ciencias UNAM Distrito Federal, M´exico dfns@ciencias.unam.mx
Ricardo Noel Pacheco Venegas Centro de Investigaci´ on en Matem´ aticas CIMAT Guanajuato, M´exico rnoel4@yahoo.com.mx
Referencias [1] Ball K.; Rivoal T., Irrationalit´e d’une infinit´e de valeurs de la fonction zeta aux entiers impairs, Inventiones Mathematicae 146 (2001), 193-207. [2] Hermite C., Sur la fonction exponentielle, C. R. Acad. Sci. Paris 77 (1873), 18-24; Tambien en Oeuvres de Charles Hermite, Vol. III, Gauthier-Villars, Paris, 1912, pp. 150–181. [3] Niven I., A simple proof that π is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509. [4] Nesterenko Y. V., On the linear independence of numbers, Mosc. Univ. Math. Bull. 40 (1985). Traducci´on de Vest. Mosk. Univ. Ser. I no.1, 46-54.
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares
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[5] van der Poorten A. J., A proof that Euler missed ... Ap´ery’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, Math. Intelligencer 1 (1979), 195–203. [6] Zudilin V. V., One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, Uspekhi Mat. Nauk 56 (2001), 149–150. Traducci´on a ingl´es en Russian Math. Surveys 56 (2001), 774–776.
Morfismos, Vol. 10, No. 1, 2006, pp. 45–50 Morfismos, Vol. 10, No. 1, 2006, pp. 45–50
A note on the rigidity of the stable norm Osvaldo Osuna
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Abstract Given two metrics on a closed manifold, we ask, in analogy with the marked length spectrum problem, if two metrics with negative curvature and the same stable norm are isometric. We give a negative answer to this question; however, we obtain some affirmative results in the case of the n-torus.
2000 Mathematics Subject Classification: 53D25. Keywords and phrases: Poincar´e duality, stable norm, conjugate points, Lipschitz currents, marked lenght spectrum.
1
Introduction
Let (M, g) be a compact manifold equipped with a smooth Riemannian metric. We define a function called the stable norm on H1 (M, R) by ! |h|s := inf{ |ri |l(δi )}, ∀h ∈ H1 (M, R),
" where δi are simplexes, ri ∈ R, ri δi is a cycle representing h, and l(δi ) is the length element induced by the metric g. This function defines a norm on H1 (M, R). The stable norm has been extensively used in geometry and analysis as the next results show. A conjecture closely related to Hopf’s conjecture recently proved in [2] states that the stable norm of a Riemannian n-torus is Euclidean if and only if the metric is flat. This generalized a result of Hopf (see [4]) according to which a 2-torus without conjugate points is flat. Now we briefly recall Mather’s theory [5] of action minimizing measures in case the variational principle is given by a Riemannian metric 1
Ph.D. student, CIMAT, Gto, M´exico.
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Osvaldo Osuna
g. Let M denote the set of Borel probability measures µ on T M that are invariant under the geodesic flow ϕ of g and satisfy A(µ) :=
1 2
!
TM
g(v, v)dµ < ∞.
If x : [a, b] → M is an absolutely continuous curve, then the integral A(x) :=
!
b
g(x(t), ˙ x(t))dt, ˙
a
is called the action of x. The curve x is said to be minimizing if it minimizes the action over all absolutely continuous curves defined over the same interval, with the same endpoints. A curve x : R → M is said to be minimizing if its restriction to any compact interval is minimizing. For a C ∞ function f : M → R the invariance of µ under the geodesic flow implies that ! df dµ = 0.
TM
Hence, every µ ∈ M defines a homology class ρ(µ) ∈ H1 (M, R) by ! ⟨[w], ρ(µ)⟩ = ωdµ, TM
for every closed 1-form ω on M . Further, Mather defines a pair of convex function β : H1 (M, R) → R, α : H 1 (M, R) → R by β(h) := min{A(µ) | µ ∈ M and ρ(µ) = h}, α(ω) = −min{A(µ) − ⟨w, [µ]⟩ | µ ∈ M}. One easily sees that α and β are conjugate convex functions. It is well-known that 12 |h|2s = β(h), for all h ∈ H1 (M, R). Now, the stable norm on H1 (M, R) induces a stable norm on H 1 (M, R), and in this case also the Mather’s function α and the stable norm in cohomology are related by 12 |[ω]|2s = α([ω]). These facts give certain dynamical interest of the function stable norm.
A note on the rigidity of the stable norm
2
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Setting the problem and results
Let M be a manifold. We say that two Riemannian metrics g1 and g2 have the same marked length spectrum if in each homotopy class of closed curves in M the infimum of g1 -lengths of curves and the infimum of g2 -lengths of curves are the same. The marked length spectrum problem consists in showing that any two metrics with the same marked length spectrum must be isometric. Of course, this cannot hold for arbitrary metrics (for example, if we allow conjugate points). If the metrics do not have conjugate points, then this problem has a solution as the rigidity theorem in [3], [6] show. The strongest of these results (see [3]) states that Theorem 1 Let M be a closed surface and g1 , g2 be two Riemannian metrics on M , with g1 non-positive curvature and g2 without conjugate points. If g1 and g2 have the same marked length spectrum, then they are isometric by an isometry homotopic to the identity. Inspired by the above results, we can ask if two metrics with the same stable norm are isometric. The next proposition shows that this question has a negative answer. Proposition 1 There exists two metrics g, g1 on a surface of genus two with the same stable norm and such that g has constant curvature -1, g1 has negative curvature, but g, g1 are not isometric. Proof: We consider a surface of genus two, and take a metric g with constant curvature equal to -1 on this. In this case the notion of minimizing is just that of least lenght with the hyperbolic metric g.
If the length of the neck of this surface (see figure) is suďŹ&#x192;ciently long with respect to its diameter, then we can find a neighborhood around
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Osvaldo Osuna
the closed curve α such that all minimizing curves with respect to g do not cross this neighborhood. This is because any closed curve that crosses the neck will be longer than the closed curves around the holes of the surface, therefore we can make on this neighborhood a smooth perturbation of the metric g and obtain another metric g1 with negative curvature but not isometric to g. Now, it is not difficult to see that all minimizing curves with respect to g1 do not cross this neighborhood, therefore g, g1 have the same stable norm. ✷ If ω ∈ H 1 (T n , R), we denote by the same symbol! the unique har" monic form in the cohomology class ω. The integral T n ω ∧ ⋆ω de-
fines an L2 -norm on the space of differential one-forms on T n , and a Euclidean norm on H 1 (T n , R). The duality between homology and cohomology transfers the latter to H1 (T n , R). We will use the notation ∥ · ∥2 for both of them.
As it was commented, we have some positive results in the case of the n-torus. The next result gives an affirmative solution for the question of ridigity in this situation. Proposition 2 Suppose that a Riemannian metric g on the n-torus T n satisfies that for any cohomology class ω we have |ω|s =∥ ω ∥2 , and that it has the same stable norm as a flat metric g0 on T n , then (T n , g) and (T n , g0 ) are isometric by an isometry homotopic to the identity. Proof: The condition |ω|s =∥ ω ∥2 implies that the constant functions are solutions of the Hamiltonian equation |dx u + ωx |2 = c, with c constant. Thus we have that the unique harmonic representative in [ω] for any cohomology class has constant Riemanninan norm. Now given a covector p ∈ Tx∗ T n , there exists a unique harmonic 1-form ω such that ωx = p. As the Hamiltonian is constant on Graph(ω), the Hamilton-Jacobi theorem implies that Graph(ω) is a Lagrangian submanifold invariant under the Hamiltonian flow. Thus, by a theorem of Ma˜ ne, T n is free of conjugate points. By the result in [2], T n is flat. Therefore the result follows from the next claim.
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Claim: For any two flat metrics g1 , g2 on an n-torus T n with the same stable norm, we have that (T n , g1 ) and (T n , g2 ) are isometric by an isometry homotopic to the identity. Proof: For any differential one-form ω and for x ∈ T n , we denote by ∥ ω(x) ∥ the norm of the corresponding linear form on Tx T n induced by g1 . Then ω ∧ ⋆ω(x) =∥ ω(x) ∥2 (dvol)(x) where dvol is the volume form associated with g1 . Let {v1 , · · · , vn } be a lattice of Rn associated with (T n , g1 ). We denote by Xi the constant vector field defined by vi , and by ωi the dual 1-form of Xi . Now, as (T n , g1 ) is flat, we have |vi |s =∥ vi ∥2 . Thus |vi |2s
=∥
vi ∥22 =
!
Tn
ωi ∧ ⋆ωi =
!
Tn
∥ ωi (x) ∥2 (dvol)(x) =∥ vi ∥2 ,
for all i = 1, . . . , n. Since the same is valid for (T n , g2 ), and as the stable norms are equal, we conclude that g1 and g2 are isometric. ✷ Motivated by these results, it seems interesting to solve the next question: Question: Suppose that a Riemannian metric g on the n-torus T n , n ≥ 3, has the same stable norm as a flat metric g0 on T n . Can we conclude that (T n , g) and (T n , g0 ) are isometric by an isometry homotopic to the identity? The case n = 2 was essentially proved by Bangert in [1]. Acknowledgements I would like to thank Matilde Mart´ınez and Gonzalo Contreras for posing the problem. Osvaldo Osuna CIMAT Apartado Postal 402, 3600, Guanajuato, Gto., M´exico. osvaldo@cimat.mx
References [1] Bangert V., Geodesic rays, Busemann functions and monotone twist maps, Calc. Var. Partial Differential Equations 2(1994), 49–63.
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Osvaldo Osuna
[2] Burago D. Yu.; Ivanov S., Riemannian tori without conjugate points are flat, GAFA 4 (1994), 259–269. [3] Croke C.; Fathi A.; Feldman J., The marked length-spectrum of a surface of nonpositive curvature, Topology 31 (1992), 847–855. [4] Hopf E., Closed surfaces without conjugate points, Proc. Nat. Acad. of Sci. 34 (1948), 47–51. [5] Mather J., Action minimizing measures for positive definite Lagrangian Systems, Math. Z. 201 (1991), 169–207. [6] Otal J.P., Le spectre marque des longueurs des surfaces a courbure negative, Ann. Math. 131 (1990), 151–162.
Morfismos, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV, se termin´ o de imprimir en el mes de junio de 2007 en el taller de reproducci´ on del mismo departamento localizado en Av. IPN 2508, Col. San Pedro Zacatenco, M´exico, D.F. 07300. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm consta de 500 ejemplares con pasta tintoreto color verde.
Apoyo t´ecnico: Omar Hern´ andez Orozco.
Contenido An approximation scheme for the mass transfer problem J. Rigoberto Gabriel and Beatris Escobedo-Trujillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Valores irracionales de la funci´on zeta de Riemann en los impares Pedro Aceves S´ anchez et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A note on the rigidity of the stable norm Osvaldo Osuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45