Morfismos, Vol 12, No 1, 2008

VOLUMEN 12 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2008 ISSN: 1870-6525

Morfismos Comunicaciones Estudiantiles Departamento de Matem´aticas Cinvestav

Editores Responsables • Isidoro Gitler • Jes´ us Gonz´alez

Consejo Editorial • Luis Carrera • Samuel Gitler • On´esimo Hern´andez-Lerma • Hector Jasso Fuentes • Miguel Maldonado • Ra´ ul Quiroga Barranco • Enrique Ram´ırez de Arellano • Enrique Reyes • Armando S´anchez • Mart´ın Solis • Leticia Z´arate

Editores Asociados • Ricardo Berlanga • Emilio Lluis Puebla • Isa´ıas L´opez • Guillermo Pastor • V´ıctor P´erez Abreu • Carlos Prieto • Carlos Renter´ıa • Luis Verde

Secretarias T´ecnicas • Roxana Mart´ınez • Laura Valencia ISSN: 1870 - 6525 Morfismos puede ser consultada electr´onicamente en “Revista Morfismos” en la direcci´on http://www.math.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirse al tel´efono 57 47 38 71.

Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matem´aticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, M´exico, D.F. 07000 o por correo electr´onico: laura@math.cinvestav.mx.

VOLUMEN 12 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2008 ISSN: 1870-6525

Informaci´ on para Autores El Consejo Editorial de Morfismos, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV, convoca a estudiantes de licenciatura y posgrado a someter art´ıculos para ser publicados en esta revista bajo los siguientes lineamientos: • Todos los art´ıculos ser´ an enviados a especialistas para su arbitraje. No obstante, los art´ıculos ser´ an considerados s´ olo como versiones preliminares y por tanto pueden ser publicados en otras revistas especializadas.

• Se debe anexar junto con el nombre del autor, su nivel acad´ emico y la instituci´ on donde estudia o labora.

• El art´ıculo debe empezar con un resumen en el cual se indique de manera breve y concisa el resultado principal que se comunicar´ a.

• Es recomendable que los art´ıculos presentados est´ en escritos en Latex y sean enviados a trav´ es de un medio electr´ onico. Los autores interesados pueden obtener el foron web mato LATEX 2ε utilizado por Morfismos en “Revista Morfismos” de la direcci´ http://www.math.cinvestav.mx, o directamente en el Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV. La utilizaci´ on de dicho formato ayudar´ a en la pronta publicaci´ on del art´ıculo.

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Lineamientos Editoriales “Morfismos” es la revista semestral de los estudiantes del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV, que tiene entre sus principales objetivos el que los estudiantes adquieran experiencia en la escritura de resultados matem´ aticos.

La publicaci´ on de trabajos no estar´ a restringida a estudiantes del CINVESTAV; deseamos fomentar tambi´en la participaci´ on de estudiantes en M´exico y en el extranjero, as´ı como la contribuci´ on por invitaci´ on de investigadores.

Los reportes de investigaci´ on matem´ atica o res´ umenes de tesis de licenciatura, maestr´ıa o doctorado pueden ser publicados en Morfismos. Los art´ıculos que aparecer´ an ser´ an originales, ya sea en los resultados o en los m´etodos. Para juzgar ´esto, el Consejo Editorial designar´ a revisores de reconocido prestigio y con experiencia en la comunicaci´ on clara de ideas y conceptos matem´ aticos.

Aunque Morfismos es una revista con arbitraje, los trabajos se considerar´ an como versiones preliminares que luego podr´ an aparecer publicados en otras revistas especializadas.

Si tienes alguna sugerencia sobre la revista hazlo saber a los editores y con gusto estudiaremos la posibilidad de implementarla. Esperamos que esta publicaci´ on propicie, como una primera experiencia, el desarrollo de un estilo correcto de escribir matem´ aticas.

Morfismos

Editorial Guidelines “Morfismos” is the journal of the students of the Mathematics Department of CINVESTAV. One of its main objectives is for students to acquire experience in writing mathematics. Morfismos appears twice a year.

Publication of papers is not restricted to students of CINVESTAV; we want to encourage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics research reports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses will be considered for publication, as well as invited contributed papers by researchers. Papers submitted should be original, either in the results or in the methods. The Editors will assign as referees well–established mathematicians.

Even though Morfismos is a refereed journal, the papers will be considered as preliminary versions which could later appear in other mathematical journals.

If you have any suggestions about the journal, let the Editors know and we will gladly study the possibility of implementing them. We expect this journal to foster, as a preliminary experience, the development of a correct style of writing mathematics.

Morfismos

Contenido Pozos potenciales poco profundos para la ecuaci´on discreta de Schr¨ odinger Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova . . . . . . . . . . . . 1

A proof of the multiplicative property of the Berezinian Manuel Vladimir Vega Blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Morfismos, Vol. 12, No. 1, 2008, pp. 1–43

Pozos potenciales poco profundos para la ecuaci´on discreta de Schro¨dinger * Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos Petr Zhevandrov Bolshakova

Resumen Vamos a considerar la ecuaci´on unidimensional discreta de Schro ¨dinger de paso h cuando ´esta tiene un cierto potencial suficientemente pequen ˜o (ver Ec. (4)). Se sabe que el espectro esencial del correspondiente operador discreto de Schro ¨dinger (v´ease Definicio´n 3.1.9) consiste en un segmento de longitud finita del eje real.

Dos valores propios aislados aparecen en el exterior de dicho espectro, pr´oximos, respectivamente, a cada uno de sus extremos. En este art´ıculo se construye una expresi´on expl´ıcita para cada uno de esos valores propios y las funciones propias correspondientes.

2000 Mathematics Subject Classification: 39A12, 35P15.

Palabras y expresiones claves: ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger, asint´ otica, funciones propias, serie de Neumann.

1.

Introducci´ on

La ecuaci´on unidimensional (continua) de Schro¨dinger ! " d2 (1) − 2 + εV (x) Ψ(x) = EΨ(x) dx # cuando V (x) ∈ C0∞ (Rx ), R V (x)dx ≤ 0 y ε → 0 , tiene un u ´nico va2 lor propio negativo Eε = −µ (ε), µ(ε) > 0 a la izquierda del espectro *

El material de este art´ıculo est´ a basado en la tesis doctoral del primer autor, ex-becario del CONACyT, realizada en el Instituto de F´ısica y Matem´ aticas de la Universidad Michoacana de San Nicol´ as de Hidalgo.

1

2

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

esencial [0, ∞). Aproximaciones asint´oticas (respecto al par´ametro peque˜ no ε) de ese valor propio fueron encontradas expl´ıcitamente Landau & Lifshitz [10], Simon [16] y Zhevandrov & Merzon [19], [20], usando diferentes m´etodos (v´eanse tambi´en [1], [5]). Con E = −µ2 , Zhevandrov & Merzon pasan a la representaci´on de momentos correspondiente, para obtener " ε 2 2 ! ! ′ )dp′ , √ (2) (p + µ )Ψ(p) = − V! (p − p′ )Ψ(p 2π R

donde la tilde denota la transformada de Fourier (ver [3]). Ya que V (x) = 0 para |x| grande, para tales x tenemos Ψ(x) ∼ e−µ|x| , y Ψ(x) es casi constante porque µ → 0. Luego su transformada de Fourier es una funci´on tipo δ y el lado derecho en (2) es aproximadamente igual a V! (p) salvo una constante multiplicativa. De aqu´ı que es natural escoger el ansatz sugerido por (2), a saber, (3)

! Ψ(p) =

a0 (p) + εa1 (p) + . . . , p2 + ε2 (β0 + εβ1 + . . .)2

con nuevas inc´ognitas ak (p) ∈ S(R), βk ∈ C, con el fin de construir una soluci´on asint´otica formal. Sustituyendo (3) en (2), descomponemos la integral resultante1 usando el m´etodo de residuos y desarrollamos cada lado de la igualdad que queda en serie de potencias de ε. Igualando entre s´ı los coeficientes de potencias del mismo grado se obtienen ecuaciones para ak (p), βk . A continuaci´on, por medio de un razonamiento standard, se prueba que la asint´otica formal aproxima en efecto a la funci´on propia.

Por otra parte las ecuaciones en diferencias surgen frecuentemente en an´alisis num´erico, cuando se busca aproximar sistemas continuos por discretos, y en modelos discretos con aplicaciones (v´ease [7]), lo que incluye a la mec´anica cu´antica (v´ease [12]). En este contexto la pregunta natural de si aparece tambi´en un valor propio para la ecuaci´on unidimensional discreta de Schr¨odinger con un potencial “peque˜ no” puede contestarse afirmativamente. Primeramente veremos la aparici´on de valores propios aislados para un potencial rectangular centrado en el origen, hecho del cual se deduce, haciendo uso del principio variacional, la unicidad de los valores propios aislados que aparecen cuando tenemos un pozo de potencial peque˜ no con forma arbitraria.

Para poder aplicar al caso discreto la t´ecnica de Zhevandrov-Merzon comentada se interpola la ecuaci´on discreta de Schr¨odinger a todo el 1

Note que el integrando correspondiente s´ olo tiene 2 polos.

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos

3

eje real, pasando a continuaci´on a la transformada de Fourier (Secc.

3). El proceso subsecuente, an´alogo al de la ecuaci´on continua, para la obtenci´on de las aproximaciones asint´oticas de los valores propios y funciones propias en el caso de la ecuaci´on discreta, se presenta en la Secc. 5 (v´ease adem´as [13]). En la Secci´on 6 se expone una modificaci´on de este acercamiento, obteni´endose como resultado neto una soluci´on exacta al problema del potencial peque˜ no para la ecuaci´on discreta de Schr¨odinger (que por supuesto coincide con la expansi´on asint´otica —de hecho convergente— encontrada previamente).

2.

El problema y los resultados

Consideremos la versi´on discreta, usando diferencias divididas finitas centrales, de la ecuaci´on (1), a saber, la ecuaci´on unidimensional discreta de Schr¨odinger (4)

−

1 (ψj+1 − 2ψj + ψj−1 ) + εVj ψj = Eψj , {ψj } ∈ ℓ2 , h2

donde ψj y Vj designan los valores de las funciones Ψ(x) y V (x) en los nodos de la malla (uniforme) con paso h > 0, e. g., ψj = Ψ(jh), j ∈ Z, y ε → 0+ . As´ı V ≡ {Vj } es un potencial discreto de soporte compacto, i.e., (5)

Vj = 0,

|j| ≥ R,

R ∈ R+

!∞ ![R] suficientemente grande; as´ı que j , donde [R] j=−∞ Vj = j=−[R] V! significa la parte entera de R. Podemos entonces escribir j Vj simplemente. Adem´as, definimos (6)

m0 ≡ |m´ınVj | , j ∈ Z.

La formulaci´on matem´atica del problema consiste en la b´ usqueda de las soluciones no triviales {ψj } de la Ec. (4) con las condiciones dadas en los p´arrafos precedentes en esta secci´on. Enunciamos los siguientes resultados. ! ´nico valor propio negativo Teorema 2.1.1. Sea j Vj ≤ 0. Entonces el u 2 del problema (4) es E = −βh (ε), donde # " dζ h4 ε2 hε " (7) βh (ε) = − Vj + + O(ε3 ) Vj Vk ei(k−j)hζ hζ 2 2 16π sen 2 j j, k Γs,h

4

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

es la soluci´ on de la ecuaci´ on secular para β (136). El contorno Γs,h est´ a definido por (66). El vector propio perteneciente a este valor propio es {ψj }, donde ψj = Ψh (jh) y Ψh (x) es la transformada inversa de Fourier de # √h Vj e−ijhp + εfβ (h, ε, p) " 2π π ε j !h (p) = − (8) Ψ χ[−π/h,π/h] (p).

4 2 2 βh (ε) sen2 hp 2 + βh (ε) h2

Aqu´ı fβ es anal´ıtica en la banda Bπ/h dada por (55) y 2π/h-peri´ odica.

Adem´ as, ∥fβ ∥ = O(1) uniformemente en ε, donde ∥ · ∥ es la norma del supremo. # ´nico valor propio positivo Teorema 2.1.2. Sea j Vj ≥ 0. Entonces el u 2 2 del problema (4) es E = 4/h + γh (ε), donde (9)

hε $ h4 ε2 γh (ε) = Vj + 2 j 16π

% $ (−1)j+k Vj Vk ei(k−j)hζ

Γc,h j, k

dζ + O(ε3 ) cos2 hζ 2

es la soluci´ on de la ecuaci´ on secular para γ (145). El contorno Γc,h est´ a definido por (142). El vector propio perteneciente a este valor propio es {ψj }, donde ψj = Ψh (jh) y Ψh (x) es la transformada inversa de Fourier de (10)

!h (p) = Ψ

"

π ε 2 γh (ε)

√h 2π

# (−1)j Vj e−ijhp + εfγ (h, ε, p) j

4 2 hp h2 cos 2

+ γh2 (ε)

χ[−π/h,π/h] (p).

Aqu´ı fγ es anal´ıtica en la banda Bπ/h dada por (55) y 2π/h-peri´ odica.

Adem´ as, ∥fγ ∥ = O(1) uniformemente en ε, donde ∥ · ∥ es la norma del supremo.

3.

Reducci´ on a un caso continuo

Para aplicar la t´ecnica de Zhevandrov-Merzon comentada en la Introducci´on, interpolamos la Ec. (4) a todo el eje real. Cu´al interpolaci´on es la m´as recomendable se decide por analog´ıa a lo ocurrido en el caso continuo. Introducimos entonces la siguiente ' & Definici´ on 3.1.3. Sea el operador Dh dado por Dh ≡ Eh/2 −E−h/2 /h, donde Ey : L2 (R) −→ L2 (R) es el operador de traslaci´ on por y ∈ R tal que (11)

[Ey u] (x) = u(x + y), u ∈ L2 (R).

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos

5

Luego la interpolaci´on correspondiente del primer t´ermino de (4) resulta ser (12)

−[Dh 2 ΨInt ](x),

donde ΨInt (x) es una interpolaci´on de {ψj }.

Definici´ on 3.1.4. El operador pseudodiferencial L(x, p!) : L2 (R) −→ L2 (R), p! = −id/dx est´ a definido por su s´ımbolo L(x, p) en la siguiente forma [15], [17], [18] " 1 eipx L(x, p)# u(p)dp , u(x) ∈ L2 (R).

[L(x, p!)u] (x) = √ 2π R De esta forma, ya que2 (13)

[Ey u]#(p) = eipy u #(p),

tenemos que eipy es el s´ımbolo del operador de traslaci´on Ey dado por (11). As´ı [Dh2 u]#(p) = −

hp 4 ·u #(p) sen2 2 h 2

y Dh =

h! p 2i sen . h 2

Note que el s´ımbolo de −d 2 /dx2 es p2 , mientras que el de −Dh 2 es 4 hp sen2 .

2 h 2 Esto ocasiona que el integrando an´alogo al que aparece en (2) con el ansatz (3) tenga un n´ umero infinito de polos. La interpolaci´on para (4) debe ser tal que dicho integrando se anule fuera de un intervalo finito y al reducirse el c´alculo de la integral solamente a dicho intervalo, se reduzca a dos a su vez el n´ umero de polos efectivos del integrando. Por la forma de la ecuaci´on para los polos, a saber, (14)

hz 4 + β 2 = 0, sen2 h2 2

E = −β 2 , β → 0, ε → 0, el intervalo en cuesti´on m´as natural es [−π/h, π/h]. Es decir, dicha interpolaci´on debe pertenecer al espacio 2

Usaremos consistentemente la notaci´ on [. . .]e(p) para la transformada de Fourier de [. . .].

6

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

de Hilbert de las funciones de banda limitada a frecuencias f = p/2π tales que f ≤ 1/2h, (v´ease [6] Lecc. 38) definido por ! # Mh ≡ u(x) ∈ L2 (R) : supp v"(p) ⊂ [−π/h, π/h] .

Introduzcamos entonces la funci´on seno cardinal dada mediante la f´ormula senc x ≡ senx/x, x ̸= 0; senc 0 = 1. Si b ∈ R+ , $ π1 χ (15) [senc bx]"(p) = (p), 2 b [−b, b]

donde χI denota la funci´on caracter´ıstica del conjunto I. Observemos que la familia de traslaciones de funciones seno cardinal dada por % '( &x −j (16) senc π h j∈Z constituye una base ortogonal para Mh ya que el intervalo [−π/h, π/h] es el soporte de la transformada de Fourier ) '* &x h − j "(p) = √ χ[−π/h, π/h] (p)e−ijhp senc π h 2π de cada miembro de dicha familia y + senc π(x − k) senc π(x − l)dx = δkl , k, l ∈ Z, (17) R

donde δjk es el s´ımbolo de Kronecker. Por ello usamos para la Ec. (4) la interpolaci´on definida en seguida.

Definici´ on 3.1.5. Para una sucesi´ on dada {vj } ∈ ℓ2 definimos la interpolaci´ on de Whittaker-Kotelnikov vh (x) por (18)

∞ . vh (x) ≡ Koth {vj } (x) = vj senc π(x/h − j).

,

j=−∞

La transformada de Fourier de (18) es entonces (19)

∞ . , h v"h (p) ≡ Koth {vj } "(p) = √ χ[−π/h, π/h] (p) vj e−ijhp .

2π j=−∞

Nota 3.1.6. Por el teorema de Riesz-Fischer, vh (x) ∈ Mh ; de hecho, el soporte de [Koth {vj }]"(p) sigue siendo [−π/h, π/h].

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos

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Aplicando la f´ormula (18) al primer t´ermino en la Ec. (4) obtenemos ! " 1 (20) Koth 2 {ψj+1 − 2ψj + ψj−1 } (x) h $ 1# = 2 Ψh (x + h) − 2Ψh (x) + Ψh (x − h) . h & % Por (12) vemos que el lado derecho de (20) es igual a Dh2 Ψh (x), con Dh2 : Mh −→ Mh .

Definici´ on 3.1.7. Sea V'h : L2 (R) −→ Mh el operador tal que

(21)

% & [V'h u](x) = Koth {Vj uj } (x), u ∈ L2 (R), uj = u(jh).

Nota 3.1.8. V'h puede representarse en la forma integral ( ' (22) [Vh u](x) = Kh (x, x′ )uh (x′ )dx′ R

con n´ ucleo (23)

Kh (x, x′ ) =

1) Vj senc π(x/h − j) senc π(x′ /h − j). h j

En efecto, sustituimos (23) y la f´ormula (18) aplicada a uh (x) en el lado derecho de (22). Obtenemos (21) observando la propiedad (17). % Luego & la interpolaci´on del segundo t´ermino en la Ec. (4) es igual a V'h Ψh (x), con V'h : Mh −→ Mh . Finalmente obtenemos para el problema (4) la ecuaci´on interpolada a todo R: * + (24) −Dh 2 + εV'h Ψh = EΨh ,

an´aloga a (1).

' h,ε : Mh −→ Mh Definici´ on 3.1.9. Al operador pseudodiferencial H dado por (25)

' h,ε ≡ −Dh 2 + εV'h , H

que act´ ua sobre Ψh en el lado izquierdo de (24), lo llamamos operador discreto de Schr¨ odinger (aunque involucra una variable continua).

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Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

El paso a la transformada de Fourier de la interpolaci´on de WhittakerKotelnikov (24) de la ecuaci´on discreta de Schr¨odinger viene caracterizada por el siguiente !h (p) (usamos la definici´ on (19)) satisface la ecuaci´ on Lema 3.1.10. Ψ

(26)

"

4 sen2 hp 2 h2

#

!h (p) = − √ε −E Ψ 2π

$

π/h

−π/h

!h (p′ )dp′ W (p − p′ )Ψ

en p ∈ [−π/h, π/h]. Aqu´ı W (p) denota la 2π/h-continuaci´ on peri´ odica ! a dada a todo R de Vh (p) (la transformada de Fourier de Vh (x)) y est´ por h % Vj e−ijhp .

W (p) = √ 2π j

(27)

Nota 3.1.11. Note que W (p) ∈ C ∞ (Rp ) y depende de h tambi´en. √ & ′ ′ Demostraci´ on: Sustituimos (1/ 2π ) R e−ip x Ψh (x′ )dx′ en lugar de !h (p′ ) en el integrando de (26), y suponemos que el lado derecho de (26) Ψ est´a multiplicado por χ[−π/h, π/h] (p). Aplicando la transformada inversa de Fourier a (26), tenemos ' ( −Dh2 − E Ψh (x) =− )

ε

(2π)3

hε =− (2π)2

$π/h

−π/h

ipx

e

$π/h

W (p − p )

−π/h

$∞ $π/h $π/h %

−∞ −π/h −π/h

′

$∞

′ ′

e−ip x Ψh (x′ )dx′ dp′ dp

−∞

′

′ ′

Vj eipx−ijh(p−p )−ip x dp′ dp Ψh (x′ )dx′

j

$ ε % =− Vj senc π(x/h − j) senc π(x′ /h − j) Ψh (x′ ) dx′ . h R

j

Igualando la primera y u ´ltima l´ıneas, usando (22) y transponiendo obtenemos (24). !

Vamos ahora a precisar el espectro del operador que act´ ua en el lado * d,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 tal que izquierdo de la Ec. (4), a saber, H

(28)

* d,h,ε {ψj } = −Dd,h 2 {ψj } + ε{Vj ψj }, H

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos

9

donde Dd,h : ℓ2 −→ ℓ2 (que es un operador acotado) act´ ua de la forma Dd,h 2 {ψj } =

" 1! ψ − 2ψ + ψ j+1 j j−1 h2

y {Vj } es el potencial discreto de soporte compacto de la misma Ec. (4). # Tenemos entonces que la sucesi´on $ Hd,h,ε {ψ%j } = [Hh,ε Ψh ](jh), donde 2 {ψj } ∈ ℓ2 y Ψh (x) ≡ Koth {ψj } (x). El operador Dd,h es sim´etrico: (29)

& & (ψj+1 + ψj−1 )ψ j = (ψk−1 ψ k + ψk ψ k−1 ), j

k

donde la suma del lado derecho es real ya que ψk−1 ψ k + ψk ψ k−1 = 2{Reψk−1 Reψk + Imψk−1 Imψk }, y por la igualdad (29), & & (ψj+1 + ψj−1 )ψ j = ψl (ψ l+1 + ψ l−1 ).

(30) j

l

Puesto que el t´ermino ε{Vj ψj } en (28) es una perturbaci´on autoadjunta y compacta en ℓ2 (Z) del operador −Dd,h 2 , el teorema de Weyl nos indica que el espectro esencial de (4) coincide con el de la ecuaci´on libre (Vj ≡ 0). Entonces tenemos el siguiente # d,h,ε ) del operador H # d,h,ε es el Lema 3.1.12. El espectro esencial σess (H 2 intervalo [0, 4/h ] del eje real.

Demostraci´ on: En' efecto, sea λ ∈( C![0, 4/h2 ]. Tenemos que λ+Dh 2 u )(p) = 0 implica u = 0. Si para es uno-uno, ya que λ − h42 sen2 hp 2 v ∈ Mh existe alguna u ∈ Mh tal que (λ + Dh 2 )u = v, entonces 2 −1

u = (λ + Dh )

1 v=√ 2π

*π/h

−π/h

eipx v)(p)

λ−

4 sen2 hp 2 h2

dp.

Vemos que el operador (λ + Dh 2 )−1 es acotado: + +2 + + + + v ) (p) 2 + + +(λ + Dh 2 )−1 v + = v + + L2 (R) hp 4 2 + λ − 2 sen + 2 L2 (R) h * π/h 1 1 ≤ 2 |) v (p)|2 dp = 2 ∥v∥2L2 (R) , m1 −π/h m1

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Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

donde m1 es la distancia de λ al segmento [0, 4/h2 ]. Luego C![0, 4/h2 ] ⊂ el conjunto resolvente ρ(−Dh 2 ).

Tomemos ahora λ ∈ [0, 4/h2 ] y consideremos la sucesi´on de funciones uυ (x) ∈ Mh , υ > 0, υ → 0+ tales que (p−p0 )2 υ −1/4 1 χ[−π/h,π/h] (p)e− 4υ eip0 p , rυ ≡ √ u !υ (p) = √ 2rυ 2

"

π/h−p0 √ 2υ

π/h+p − √ 0 2υ

2

e−τ dτ,

donde# p0 ∈ R+ es una soluci´on de la Ec. (14) con β 2 = −λ. N´otese que rυ → π/2, υ → 0+ . Tenemos entonces que ∥uυ ∥2L2 (R)

υ −1/2 √ = 2υ 2rυ

"

π/h−p0 √ 2υ

π/h+p − √ 0 2υ

2

e−τ dτ = 1,

donde τ 2 = (p − p0 )2 /2υ. Por otra parte % & $2 $ $ 16 $ $ $ 2 hp0 2 hp u $(λ + Dh 2 )uυ $2 sen = − sen 'υ $ $ 2 2 L2 (R) h4 L2 (R) " π/h −1/2 (p−p0 )2 8υ (p − p0 )2 F 2 (p, p0 )e− 2υ dp = 4 h rυ −π/h √ " π/h−p 0 √ 2υ 16 2M0 υ 2 τ 2 e−τ dτ ≤ 4 π/h+p h rυ − √ 0 2υ √ ( * ) (π/h−p0 )2 8 2M0 υ √ 2 π − 2υ 2rυ − υ h e = −−−→ 0, υ→0 h4 rυ donde F (p, p0 ) =

"1 % 0

+

&′ + 2 hξ sen 2 ++ ds ξ ξ=p +s(p−p ) 0 0

∈ C ∞ (Rp )

(lema de Hadamard) y M0 es el m´aximo de F (p, p0 ) en [−π/h, π/h]. , d,h,ε ) = [0, 4/h2 ].

Luego σess (−Dd,h 2 ) = σess (H !

4.

Unicidad de los Valores Propios

Comenzaremos enunciando el siguiente

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 11

Lema 4.1.13. Sea (31)

Vj = ±m

N !

δjk ,

k=−N

m > 0, N ∈ N, donde δjk es el s´ımbolo de Kronecker. Entonces el u ´nico 2 valor propio del problema (4) es E = 4 + γ (ε) (si se toma el signo + en (31)) o E = −β 2 (ε) (si se toma el signo − en (31)), donde (32)

β = γ = (2N + 1)mhε/2 + O(ε2 ).

Demostraci´ on: Consideremos primeramente la Ec. (4) cuando Vj = −mχ{0} (j), con m > 0, E = −β 2 (ε), β > 0, β → 0+ , ε → 0+ : (−ψj+1 + 2ψj − ψj−1 )/h2 − χ{0} (j) mεψj = −β 2 ψj , de donde tenemos # " (33) ψj+1 + χ{0} (j) mε − 2/h2 − β 2 h2 ψj + ψj−1 = 0.

Buscamos ψ = {ψj } con (34)

∥ψ∥ℓ2 (Z) = 1

para la Ec. (33), y encontramos β, como funci´on de la profundidad mε del potencial {εVj }. Para ello procedemos a resolver la ecuaci´on " # (35) ψj+1 + V mh2 ε − p1 (β) ψj + ψj−1 = 0,

donde V es una constante (no depende de j) igual a 0 o 1, y donde (36)

p1 (β) = 2 + h2 β 2 .

Proponemos una soluci´on {rVj }, donde rV denota una constante distinta de 0 (no depende de j pero s´ı de V ); tenemos ahora la ecuaci´on algebraica para rV # " rV2 + V mh2 ε − p1 rV + 1 = 0, cuyas soluciones son

(37)

rV ±

β 2 − V mε 2 h ±h = 1+ 2

$

% & β 2 − V mε 2 h . (β 2 − V mε) 1 + 4

12

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

La soluci´on general de la Ec. (35) est´a dada por ψ V = {ψV,j } con (38)

ψV,j = AV rVj + + BV rVj − ,

donde AV , BV son constantes arbitrarias . As´ı, la soluci´on general de la Ec. (33) est´a dada por ψ = {ψj } con ψj = χ{0} (j)ψ1,j + χZ!{0} (j)ψ0,j .

Para satisfacer la condici´on (34) hacemos C = A1 + B1 , B0 = BχZ+ (j) y A0 = AχZ− (j). As´ı (39)

⎧ j ⎪ ⎨ Ar+ , j ≤ −1; C, j = 0; ψj = ⎪ ⎩ j Br− , j ≥ 1,

donde r± = r0± . En particular (40)

−2 ψ−2 = Ar+ ,

−1 ψ−1 = Ar+ ,

ψ1 = Br+ ,

ψ2 =

ψ0 = C,

2 Br− .

Pegando las tres secciones de (39) observando que (33) es satisfecha cuando j = −1, j = 0 y j = 1 tenemos ψ0 − p1 ψ−1 + ψ−2 = 0,

ψ1 + (mh2 ε − p1 )ψ0 + ψ−1 = 0, ψ2 − p1 ψ1 + ψ0 = 0.

Sustituyendo las correspondientes ψj ’s dadas por (40) en estas ecuaciones obtenemos (41)

−1 −2 + Ar+ = 0, C − p1 Ar+

−1 = 0, Br− + (mh2 ε − p1 )C + Ar+

2 Br− − p1 Br− + C = 0.

Este sistema tiene soluciones no triviales para A, B y C si % % −1 −2 % % −p1 r+ + r+ 0 1 % % −1 2 % (42) r− mh ε − p1 %% = 0. r+ % 2 −p r % % 0 r− 1 1 −

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 13

Note que (43)

r±

h2 β 2 ± hβ = 1+ 2

!

h2 β 2 , 4

1+

el cual se obtiene haciendo V = 0 en (37); adem´as, note que r+ r− = 1, r+ + r− = p1 . Por lo tanto, simplificando (42) se convierte en " " " " −1 0 1 " " 2 " r− r− mh ε − p1 "" = 0. " " " 0 −1 1

Esto nos provee la ecuaci´on

2r− + mh2 ε − p1 = 0, de la cual, de acuerdo a (36) y (43), podemos escribir en su turno ! h2 β 2 = 0.

(44) mhε − 2β 1 + 4 Considere la funci´on (45)

Fr (β, ε) = mhε − 2β

!

1+

h2 β 2 .

4

As´ı tenemos que la funci´on Fr (β, ε) es continuamente diferenciable en cada argumento. Adem´as, Fr (0, 0) = 0, y como 2 + h2 β 2 ∂β Fr = − # , 2 2 1 + h 4β

tenemos que [∂β Fr ](0, 0) = −2. De aqu´ı que, por el teorema de la funci´on impl´ıcita, la soluci´on β(ε) para β de la ecuaci´on secular (44), la cual tiende a cero cuando ε → 0, existe, es u ´nica y est´a dada por (47). Para encontrar esta u ´ltima expresi´on tenemos, de la Ec. (44), que ! h2 β 2 .

(46) mhε = 2β 1 + 4 Ya que

!

1+

h2 β 2 = 1 + O(h2 β 2 ) 4

14

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

cuando β → 0, sustituimos la u ´ltima expresi´on en (46) y obtenemos

mhε + O(ε2 ).

2 Resolviendo el sistema (41) tenemos que A = B = C. Aqu´ı la constante libre, digamos C, se determina por la condici´on (34).

Consideremos ahora la Ec. (4) en el caso en que Vj = mχ{0} (j), m > 0. Suponga adem´as que E = 4 + γ 2 (ε), γ > 0, γ → 0+ , ε → 0+ .

Por un proceso an´alogo al precedente tambi´en tenemos que γ es u ´ nico 2 y est´a dado por γ = mhε/2 + O(ε ). En forma similar, consideremos la Ec. (4) cuando Vj est´a dado por (31), es decir, cuando V es un potencial discreto de barrera (tomando el signo + en (31) o pozo (tomando el signo −) que tiene altura o profundidad m, respectivamente, sobre [−N h, N h], y que vale 0 en cualquier otro lugar. Suponga adem´as que E = 4 + γ 2 (ε) (para la barrera) o E = −β 2 (ε) (para el pozo), β, γ > 0, β, γ → 0+ , ε → 0+ . Por un proceso an´alogo a los de los potenciales previamente analizados en esta demostraci´on podemos ver que β o γ son u ´nicos, para los casos del pozo o la barrera respectivamente, y est´an dados por (32). !

Ahora vamos a abordar la cuesti´on de la unicidad de los valores propios para el problema (4). Tenemos el siguiente (47)

β=

Lema 4.1.14. Supongamos que existe alg´ un valor propio E = −β 2 (ε), + + β > 0, β → 0 , ε → 0 , para el problema (4). Entonces para ε suficientemente peque˜ no tal valor propio es u ´nico. ! d ,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 tal que Demostraci´ on: Sea el operador H 1 # " ! d ,h,ε {ψj } = −(ψj+1 − 2ψj + ψj−1 )/h2 − m0 εχ[−[R], [R]] (j)ψj , H 1

siendo R la referida en (5) y m0 el definido en (6). Observemos que este ! d,h,ε , lo que podemos ver operador es un caso particular del operador H sustituyendo en el lado izquierdo de la Ec. (28) el potencial Vj dado por el signo negativo de (31), con m = m0 y N = [R]. El potencial discreto ! d ,h,ε es un pozo rectangular de profundidad m0 que va del operador H 1 de −[R]h a [R]h. Este potencial lo expresamos como " # {Vj,1 } ≡ −m0 χ{j∈Z ! |j|<R} (j) .

! d ,h,ε y H ! d,h,ε son autoadjuntos. Por otra parte teneRecordemos que H 1 mos que los potenciales de ambos operadores est´an acotados por debajo por −m0 , a saber, (48)

−m0 ≤ Vj,1 ≤ Vj ,

j ∈ Z.

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 15

! d ,h,ε y H ! d,h,ε son operadores que est´an acotados por debaLuego H 1 jo. En efecto, observemos que −Dd,h 2 es un operador no negativo ya que pasando a la transformada de Fourier F de su interpolaci´on de Whittaker-Kotelnikov tenemos $ π/h % % " # 4 F◦Koth &h (p)%2 dp ≥ 0, %Ψ −Dd,h 2 {ψj }, {ψj } −−−−−−−−− −−→ 2 sen2 hp 2 h −π/h de lo cual ' # " ! d,h,ε {ψj }, {ψj } ≥ ε Vj |ψj |2 ≥ −εm0 ∥{ψ}∥2ℓ2 (Z) .

H j

Tambi´en, de (48) y del hecho de que el dominio de definici´on de estos operadores es todo el espacio de Hilbert ℓ2 (Z) puede verse que

Luego, siendo

! d ,h,ε ≤ H ! d,h,ε .

H 1

N (λ; T ), λ ∈ R

la funci´ on de distribuci´ on del espectro de T sobre el intervalo (−∞, λ), se cumple que ([2], Secc. S1.3, Prop. 3.1 y [14], Teorema 1.6) ( ) ! d,h,ε ≤ 1 N 0; H

para ε suficientemente peque˜ no, ya que, seg´ un la conclusi´on del Lema 4.1.13, ( ) ! d ,h,ε = 1 N 0; H 1 en este caso. As´ı, hemos mostrado que para ε suficientemente peque˜ no, ! d ,h,ε , si existe, es u el valor propio del operador H ´ nico. !

1 De manera an´aloga, tenemos el siguiente

Lema 4.1.15. Supongamos que existe alg´ un valor propio E = 4/h2 + γ 2 (ε), γ > 0, γ → 0+ , ε → 0+ , para el problema (4). Entonces para ε suficientemente peque˜ no se tiene tambi´en la unicidad de tal valor propio.

Demostraci´ on: En efecto, la Ec. (4) con las condiciones ahora mencionadas se puede reducir a 1 (ψj+1 + 2ψj + ψj−1 ) − εVj ψj = −γ 2 ψj , {ψj } ∈ ℓ2 , h2

16

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

!′ Definimos el operador H d,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 como aquel tal que ! ′ {ψj } = Dd,h ′ 2 {ψj } + ε{Vj ′ ψj }, H d,h,ε

(49)

ua de la forma donde Dd,h ′ : ℓ2 −→ ℓ2 es tal que act´ 2

Dd,h ′ {ψj } =

# 1" ψj+1 + 2ψj + ψj−1 2 h

!′ y {Vj ′ } ≡ −{Vj }. Adem´as el operador H d1 ,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 es aquel tal que # " 2 ′ !′ H d1 ,h,ε {ψj } = (ψj+1 + 2ψj + ψj−1 )/h − m0 εχ[−[R], [R]] (j)ψj ,

siendo R la referida en (5) y m′0 el que corresponde a Vj ′ seg´ un (6). ′ ′ ! !

Note que Hd1 ,h,ε es un caso particular de Hd,h,ε . Como se da la igualdad 2

(30), el operador Dd,h ′ es sim´etrico y, por su dominio de definici´on, autoadjunto. El operador de multiplicaci´on por una sucesi´on finita cuyo resultado es la sucesi´on en el u ´ltimo t´ermino de (49), es autoadjunto y compacto en ℓ2 (Z), ya que la simetr´ıa de dicho operador viene de que Vj ′ ∈ R y la compacidad se ve de manera similar a como se hace para el operador de multiplicaci´on por una sucesi´on finita de (28). Tenemos !′ !′ entonces que H en autoadjuntos. Adem´as los d1 ,h,ε y Hd,h,ε son tambi´ potenciales de ambos operadores est´an acotados por debajo por −m′0 : −m′0 ≤ Vj,1 ′ ≤ Vj ′ ,

(50)

j ∈ Z.

2 !′ !′ an acotados por debajo, ya que Dd,h ′ es un Por ello H d1 ,h,ε y Hd,h,ε est´ operador no negativo, a saber, & π/h ' ' $ % 4 F◦Koth ′2 (h (p)'2 dp ≥ 0, 'Ψ Dd,h {ψj }, {ψj } −−−−−−−−−−−→ 2 cos2 hp 2 h −π/h

de lo cual

$

% ! ′ {ψj }, {ψj } ≥ −εm′0 ∥{ψ}∥2 H d,h,ε ℓ2 (Z) .

Tambi´en, de (50) y del hecho de que el dominio de definici´on de estos operadores es ℓ2 (Z), puede verse que !′ !′ H d1 ,h,ε ≤ Hd,h,ε .

Luego podemos concluir que

) * !′ N 0; H d,h,ε ≤ 1

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 17

para ε suficientemente peque˜ no, ya que ! # "′ N 0; H d1 ,h,ε = 1

para este caso seg´ un lo dicho en la conclusi´on del Lema 4.1.13. As´ı, hemos mostrado que para ε suficientemente peque˜ no, el valor propio del "′ operador H , si existe, es u ´ nico. ! d1 ,h,ε

5.

La Soluci´ on Asint´ otica

En esta secci´on daremos, considerando [R/h]

$

(51)

Vj < 0.

j=−[R/h]

en la Ec. (4), la construcci´on de un vector propio asint´otico uniforme ψ n = {ψnj } del vector propio normalizado ψ (en adelante en esta secci´on omitiremos el sub´ındice fijo h), dado por % An (p) c(ε) π/h ihpj (52) ψnj = √ e dp, 4 2 2 2π −π/h sen hp 2 + (εBn ) h2 donde (53)

An (p) = a0 (p) + εa1 (p) + . . . + εn an (p), a0 (p) =

[R/h]

1 [R/h] &

Vj

(54)

Vj e−ihpj ,

j=−[R/h]

j=−[R/h]

Bn = β0 + εβ1 + · · · + ε βn , n

$

h β0 = − 2

[R/h]

$

Vj ,

j=−[R/h]

siendo β1 , . . . , βn determinados por el sistema de ecuaciones (98)–(103).

Las funciones ak (p), k = 1, . . . , n son anal´ıticas en la banda ( ) ' (55) Bπ/h = z ∈ C ( |Im z| < π/h

y se determinan por medio del sistema de ecuaciones (98)–(103) tambi´en. c(ε) es una constante de normalizaci´on dada por * 2β03 3/2 n (56) c(ε) = ε (d0 + d1 ε · · · + dn ε ), d0 = , π

18

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

donde los valores restantes d1 , d2 , . . . , dn se determinan mediante el sistema de ecuaciones (125). ψ n pertenece al valor propio (57)

E = −ε2 Bn2 + O(εn+5/2 )

y satisface las condiciones (58)

∥ψ n ∥ = 1 + O(εn+1 ),

∥ψ − ψ n ∥ = O(εn+1/2 )

cuando ε → 0+ . La norma es la de ℓ2 (Z). El proceso de esta construcci´on ![R/h] se modifica ligeramente cuando eanse [19], [20]) y −[R/h] Vj = 0 (v´ ![R/h] cuando −[R/h] Vj > 0.

Definici´ on 5.1.16. Denotemos por Ωh el espacio de funciones anal´ıodicas. Usamos ticas sobre Bπ/h , continuas en su cerradura y 2π/h-peri´ la norma del supremo en Ωh , ∥φ∥ = supz∈Bπ/h |φ(z)| para todo φ ∈ Ωh .

Buscamos la soluci´on aproximada de la ecuaci´on (26) en la forma (prescindimos del sub´ındice h) (59)

ψ"n (p) =

An (p) , 4 2 2 sen2 hp 2 + ε Bn h2

donde An (p) est´a dado por (53) con las funciones ak (p) ∈ Ωh , para buscar la asint´otica respecto a ε, suponiendo que a0 (p) ̸≡ 0 y denotando expl´ıcitamente (60)

Bn = β0 + εβ1 + . . . + εn βn .

El nivel de la energ´ıa aproximado es En = −ε2 Bn2 .

(61)

La soluci´on buscada deber´a satisfacer las condiciones de normalizaci´on (62)

a0 (0) = 1,

ak (0) = 0,

k = 2, . . . , n.

Construiremos tales valores de β0 , β1 , . . . , βn y funciones a0 (p), . . . , an (p) de forma que ψ"n (p) satisfaga la ecuaci´on (26 ) hasta O(εn+1 ), donde ∥O(εn+1 )∥L2 (R) ≤ Const εn+1 . Sustituyendo (59) y (61) en (26) obtenemos una ecuaci´on equivalente # π/h W (p − p′ )An (p′ )dp′ ε (63) An (p) = − √ .

2 2 2π −π/h h42 sen2 hp 2 + ε Bn

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 19

Requerimos el desarrollo asint´otico de la integral ! φ(z) (64) dz 4 2 hz 2 [−π/h,π/h] h2 sen 2 + β cuando β → 0+ , donde φ(z) ∈ Ωh . El integrando en (64) es singular en el origen cuando β = 0. Note que, por los ceros de la expresi´on 4 2 "h (z) de Ψ "h (p) a todo el plano sen2 hz on anal´ıtica Ψ 2 + β , la continuaci´ h2 complejo C tiene polos simples 2kπ/h± zβ,h , k ∈ Z, donde zβ,h est´a dado por # % $ hβ 2i h2 β 2 + 1+ .

(65) zβ,h = − ln − h 2 4 "h en |Re z| ≤ π/h cuando Sin embargo, ±zβ,h son las singularidades de Ψ + β → 0 . Usamos entonces el m´etodo basado en el c´alculo de residuos (ve´ase [4]). Cambiamos el contorno de integraci´on en el plano complejo en tal forma que el polo z = zβ,h est´e alejado de ´el. Introducimos as´ı el contorno (66) Si

Γs,h : = [−π/h, −1] ∪ {p + iq : p2 + q 2 = 1, q > 0} ∪ [1, π/h].

(67)

β < h2 senh h2

entonces zβ,h est´a localizado debajo de Γs,h . Por el teorema del residuo de Cauchy, ! φ(ζ)dζ 4 2 hζ 2 sen 2 [−π/h,π/h] h

=

!

φ(ζ)dζ

Γs,h

=

!

(68)

4 sen2 hζ 2 h2

+ β2

φ(ζ)dζ

Γs,h

Consecuentemente !

+ β2

4 sen2 hζ 2 h2

+ β2

+ 2πi Res

ζ=zβ,h

+

φ(ζ) 4 sen2 hζ 2 h2

+ β2

hzβ,h π φ(zβ,h )sec . β 2

φ(ζ)dζ

4 2 hζ 2 sen 2 h [−π/h;π/h]

=

!

Γs,h

+ β2 φ(ζ)dζ

4 sen2 hζ 2 h2

π & + + β2 β 1 +

h2 β 2 4

φ(i|zβ,h |).

20

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

Atendiendo ahora al u ´ ltimo t´ermino de (68), evaluemos el desarrollo de φ en ζ = zβ,h , haciendo primero la siguiente Definici´ on 5.1.17. Para cada x = {xm } e y = {ym }, ym ∈ C, m = 0, 1, . . . , definimos ⎧ k = 0; χ{0} (j), ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ yj , k = 1; ck,j (y) = (69) j1% (j,2) j1% (j,k) ⎪ ⎪ ⎪ ··· yj2 · · · yjk yj1 (j,k)−jk , k > 1; ⎩ j2 =0

(70)

dj (x, y) =

j &

jk =0

xk ck,j−k (y)

k=0

donde jk = 0, 1, . . . , j1 (j, k), r−j(r)

j1 (j, r) = j − j(r)

&

jr1 , j(r) = χN!{2} (r),

r1 =2

r &

r1 =2

jr1 ≤ j, r = 2, . . . .

Lema 5.1.18. Sea φ(z) ∈ Ωh . Entonces (71)

φ(i|zβ,h |) =

n &

dk (φ, l)(hβ)k + Un (hβ) + O((hβ)n+1 )

k=0

cuando β → 0+ , donde ( ' φ(m) (0) m i , φ= m! m

2 & (−1)k ck+1,m−k (b) (72) l = {lm } , lm = − h k+1 k=0 ⎧ ⎪ −1/2, m = 0; ⎪ ⎪ ⎨ (m−1)/2 ) 2k1 −1 b = {bm }, bm = (−1/8)(m+1)/2 k1 +1 , m impar ; ⎪ ⎪ k =0 1 ⎪ ⎩ 0, m par > 0. * 1 n+1 n+1 + , Mn (hβ)(hβ) i (73) Un (hβ) = (1 − z)n φ(n+1) iZn (hβ)z dz ; n!

0 Mn (hβ) =

n & j=0

cn+1,j (l)(hβ)j + O((hβ)n+1 ),

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 21

Zn (hβ) =

n !

cj (hβ)j + O((hβ)n+1 ),

j=1

a = {am },

am =

⎧ ⎨

0, m−1 ⎩ (−1) , m

cj = −dj (a, b),

m = 0; m > 0.

Demostraci´ on: Evaluemos el desarrollo de φ en zβ,h : n & ! &k % 1 φ(k) (0) % i|zβ,h | + φ i|zβ,h | = k! n! k=0

' i|zβ,h | 0

% &n φ(n+1) (ζ) i|zβ,h | − ζ dζ.

% &n Factorizando i|zβ,h | en el integrando, haciendo z = ζ/i|zβ,h | y simplificando obtenemos (74)

n ! φ(k) (0) (i|zβ,h |)k φ(i|zβ,h |) = k! k=0 ' 1 1 + (1 − z)n φ(n+1) (i|zβ,h |z)dz(i|zβ,h |)n+1 . n! 0

Ahora expresemos cada una de las potencias de zβ,h en serie de potencias de hβ. Para las sucesiones a = {am } y b = {bm }, am , bm ∈ R, m = 0, 1, . . . y la serie n !

(75)

bj z j + O(z n+1 ),

j=0

se tiene (76)

b0 ̸= 0,

z→0

⎛ ⎞k n n ! ! j n+1 ⎠ ⎝ bj z + O(z ) = ck,j (b)z j + O(z n+1 ), j=0

j=0

k ∈ N, donde ck,j (b) se define de acuerdo a (69), y (77)

n ! n !

ak ck,j (b)z k+j + O(z n+1 ) =

n !

dj (a, b)z j + O(z n+1 ),

j=0

k=0 j=0

un (70). con dj (a, b) seg´ Ahora, desarrollando el radical que aparece en (65) en serie tenemos , n h2 β 2 ! = (78) 1+ pj (hβ)j + O((hβ)n+1 ) 4 j=0

22

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

para cada n ∈ N, con ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (79) pj = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ de all´ı que (80)

&

hβ + ln − 2

1,

j = 0;

0,

j impar;

j/2−1 (−1)j/2 % 2k1 −1 k1 +1 , 23j/2 k1 =0

'

(hβ)2 1+ 4

(

⎛

j par > 0;

n+1 +

= ln ⎝

j=0

⎞

pj (hβ)j + O((hβ)n+2 )⎠ ,

redefiniendo p1 = − 12 . Escribiendo (80) como ln(1+νhβ) su desarrollo es n +

(81)

ak ν k (hβ)k + O(ν n+1 (hβ)n+1 ),

k=0

con

ak =

⎧ ⎨ ⎩

0,

k = 0;

(−1)k−1

, k > 0. k Podemos expresar ν en la forma (75) (con bj = pj+1 ); elevando esta expresi´on a las potencias p y n + 1 respectivamente, aplicando (76), sustituyendo los resultados a su vez en (81), aplicando a continuaci´on (77), y observando que c0 = 0 llegamos a |zβ,h | = Zn (hβ) ≡

n + j=1

cj (hβ)j + O((hβ)n+1 ), cj = −2dj (a, b).

De esto k

|zβ,h | = (hβ)

k

.& n + j=0

Aplicando (76) tenemos &

(82)

|zβ,h | = (hβ) k

lj (hβ)

k

n + j=0

j

(k

+ O((hβ)

n+1

ck,j (l)(hβ) + O((hβ) j

/

) , lj ≡ cj+1 .

n+1

(

) , l ≡ {lm }

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 23

=

(83)

n !

ck,j (l)(hβ)k+j + O((hβ)n+1 ).

j=0

Sustituyendo esta u ´ltima expresi´on en (74), aplicando luego (77) y sustituyendo nuevamente lo indicado en (82), (83) nos queda " n ! n ! φ(k) (0) k in+1 (hβ)n+1 k+j φ(i|zβ,h |) = i ck,j (l)(hβ) + k! n! k=0 j=0 $% n & ' # 1 ! n (n+1) j n+1 i (1 − z) φ cj (hβ) + O((hβ) ) z dz × (84) 0

×

$ n !

j=1

cn+1,j (l)(hβ)j + O((hβ)n+1 )

j=0

'(

+ O((hβ)n+1 ), !

con Un (hβ) dado en (73); simplificando (84) obtenemos (71).

Sustituimos (71) en la)Ec. (68) y multiplicamos ambos lados de la ecuaci´on resultante por β 1 + h2 β 2 /4, teniendo β

*

h2 β 2 1+ 4

$#

[−π/h,π/h]

π

−

$ n !

#

Γs,h

'

φ(z)dz = + β2

4 sen2 hz 2 h2

'

dk (φ, l)hk β k + Un (hβ) + O((hβ)n+1 ) .

k=0

Sustituyendo (78) en la ecuaci´on anterior se tiene (85) β

$

n ! j=0

'$# pj hj β j + O((hβ)n+1 ) =π

$ n !

[−π/h,π/h]

# −

Γs,h

'

φ(z)dz + β2 '

4 sen2 hz 2 h2

dk (φ, l)hk β k + Un (hβ) + O((hβ)n+1 ) .

k=0

En (85) sustituimos β por (86)

εBn ,

φ(ζ) por φn (ζ) = W (z −ζ)An (ζ), con W (z −ζ) continuaci´on anal´ıtica de W (p−p′ ), y sustituimos √ tambi´en la primera integral en el lado izquierdo de (85) por −An (z) 2π/ε, al tener en cuenta (63). Nos queda

24

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

! n "

(87) εBn

j=0

% $ # pj (εhBn )j + O (εhBn )n+1

% & 2π W (z − ζ)An (ζ)dζ An (z) − × − 2 4 2 hζ ε Γs,h h2 sen 2 + (εBn ) % ! n " # k n+1 $ , =π dk (φn , l) (εhBn ) + O (εhBn ) ! √

k=0

' ( (q) donde φn = iq φn (0)/q! . Definamos el operador integral Tβ,h,n : Ωh −→ Ωh por la f´ormula & W (z − ζ)ϕ(ζ)dζ 1 [Tβ,h,n A](z) = √ , 2 2 2π Γs,h h42 sen2 hζ 2 + ε Bn Note que Tβ,h,n es acotado. En efecto, ) ) & ) 1 W (z − ζ)ϕ(ζ) dζ )) ) ∥Tβ,h,n ϕ∥ = sup ) √ 2 2) 2π Γs,h h42 sen2 hζ z∈B h 2 + ε Bn ) & )) ϕ(ζ)W (z − ζ) dζ ) 1 ≤√ sup 2 2 2π z∈B h | 42 sen2 hζ 2 + ε Bn | Γs,h h & Cs,h ∥ϕ∥ |dζ| ≤ √ 4 2 2 2 2π | h2 sen hζ 2 + ε Bn | Γs,h

para alguna constante adecuada Cs,h . Por lo tanto ε ∥Tβ,h,n ∥ < 1 para ε suficientemente peque˜ no. Entonces de (87) se sigue ! n % " √ $ # n+1 n+1 n+1 $ # j j j 1 + ε Tβ,h,n An (z) pj ε h Bn + O ε h Bn − 2π Bn j=0

= π

n " k=0

$ # dk (φn , l)εk hk Bnk + O εn+1 hn+1 Bnn+1 ,

donde 1 es el operador identidad. Finalmente tenemos % ! n " √ $ # pj εj hj Bnj + O εn+1 hn+1 Bnn+1 Bn An (z) − 2π j=0

(88)

#

= π 1 + ε Tβ,h,n

! n $−1 " k=0

dk (φn , l)εk hk Bnk

% $ # + O (εhBn )n+1

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 25

Desarrollando el producto Bn An (p) en serie de potencias de ε obtenemos " k # n ! ! εk βl ak−l (p) + εn+1 R0,n (ε, β¯n , a ¯n ), (89) Bn An (p) = k=0

l=0

donde β¯n = (β0 , β1 , . . . , βn ), a ¯n = (a0 , a1 , . . . , an ) y R0,n (·, ·, ·) es un polinomio en sus argumentos.

Considerando el lado izquierdo de (88), sustituimos el producto Bn An (z) por la expresi´on dada por (89) y An (z) y Bn por los desarrollos (53) y (60). Tenemos # " n ! √ $ n+1 n+1 n+1 % j j j Bn An (z) − 2π pj ε h Bn + O ε h Bn j=0

" n n # !! √ j m+j n+1 n+1 ¯ = − 2π pj h cj,m (β)ε +ε F1,n (ε, βn ) + O(ε ) j=0 m=0

× (90)

"

n !

ε ik (z) + ε k

n+1

R0,n (ε, β¯n , a ¯n )

k=0

#

& n " k # ' ! ! √ = − 2π dj (p, β)ik−j (z) εk + O(εn+1 ) k=0

j=0

donde β = {βj }, ik (z) =

(k

l=0 βl ak−l (z)

y p = {pj hj }.

Consideremos ahora el lado derecho de (88). Calculamos n ! $ %(j) (k) W (z − ζ) ζ = (−1)j W (j) (z − ζ), A(k) (ζ) = al (ζ)εl , n l=0

por lo cual aplicando la f´ormula de Leibniz tenemos n ! k ) * ! k (k−j) (ζ) = (ζ)εl . (−1)j W (j) (z − ζ)al φ(k) n j l=0 j=0

Luego (91)

dk (φn , l) =

k (j) ! φn (0) j=0

donde G1,k,l (z) =

j k ! !

j=0 k1 =0

j!

(−1)k1

ij cj,k−j (l) =

n !

G1,k,l (z)εl ,

l=0

ij cj,k−j (l) (j−k ) W (k1 ) (z)al 1 (0). k1 !(j − k1 )!

26

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

Entonces, por sustituci´on de (91) en lugar de dk (φn , l) en el primer t´ermino del argumento del operador (1 + ε Tβ,h,n )−1 en el lado derecho de (88), dicho t´ermino puede expresarse como n !

(92)

dk (φn , l)ε h

k k

Bnk

k=0

=

n ! k=0

donde G1,k (z) =

k !

hm G2,m,k−m (z),

# " G1,k (z)εk + O εn+1

G2,k,l (z) =

m=0

l !

G1,k,m (z)ck,l−m (β).

m=0

Escribamos el lado derecho de (88), mediante la sustituci´on (92) en lugar del primer t´ermino del argumento de (1 + ε Tβ,h,n )−1 , sustituyendo a su vez esta expresi´on de dicho operador por su serie de Neumann, y desarrollemos el producto resultante: %$ n % $ n ! ! " n+1 # l l l n+1 k1 G1,k1 (z)ε + O ε (−1) ε Tβ,h,n + ε Trsen,n (93) π l=0

k1 =0

' % & n $ k ! ! " n+1 # l l l k , (−1) ε Tβ,h,n G1,k−l (z) ε + O ε = π k=0

l=0

n+1 0 donde Tβ,h,n = 1 y Trsen,n = (−1)n+1 Tβ,h,n (1 + ε Tβ,h,n )−1 . Sustituyendo (90) y (93) en los lados izquierdo y derecho de (88) respectivamente, obtenemos la igualdad

(94)

√

2π

& n $ k ! ! k=0

j=0

%

dj (p, β)ik−j (z) εk + O(εn+1 ) = π

& n ! k=0

donde Gk (z) =

'

' # " Gk (z)εk + O εn+1

k ! l (−1)l+1 Tβ,h,n G1,k−l (z). Notemos que l=0

(95)

" # Gk (z) = − G1,k (z) + Tβ,h,n Gk−1 (z) .

Despu´es, calculando los coeficientes de ε0 , ε, ε2 , etc., observando tambi´en c´omo figuran β 0 , . . . , β n−1 , an−2 , an−1 , an en los coeficientes de

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 27

εn en ambos lados de (94) y teniendo en mente (95) en el lado derecho de (94), obtenemos una igualdad entre dos series de potencias de ε equivalente a la ecuaci´on (85):

(96)

√

!

" # 2π β0 a0 (z) + ε β0 a1 (z) + β1 a0 (z)

% $ β03 a0 (z) + β2 a0 (z) + ε β0 a2 (z) + β1 a1 (z) + 8 ' k k−j ( n−1 & & & + dj (p, β)βl ak−j−l (z) εk 2

j=0 l=0

k=3

+ε

n

' n n−j &&

dj (p, β)βl an−j−l (z)

j=0 l=0

()

+ O(εn+1 )

= − πa0 (0)W (z) ! * + + επ β0 ia0 (0)W ′ (z) − ia′0 (0)W (z)

) , W (z − ζ)W (ζ) 1 a (0)dζ − a1 (0)W (z) +√ 2B2 0 2π Γs,h h42 sen2 hζ + ε n 2 ! * + + ε2 π β0 ia1 (0)W ′ (z) − ia′1 (0)W (z)

* + + β1 ia0 (0)W ′ (z) − ia′0 (0)W (z) .

1 ′′ 2 1 ′′ ′ ′ + β0 a0 (0)W (z) − a0 (0)W (z) + a0 (0)W (z) 2 2 , W (z − ζ) 1 × ··· −√ 4 2B2 2π Γs,h h2 sen2 hζ + ε n 2 ' * + · · · × β0 ia0 (0)W ′ (ζ) − ia′0 (0)W (ζ) − a1 (0)W (ζ) 1 +√ 2π )

− a2 (0)W (z)

,

W (ζ − ζ1 )W (ζ1 )

4 Γs,h h2

sen2

hζ1 2

+ ε2 Bn2

(

a0 (0)dζ1 dζ

28

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

+

n−1 ! k=3

"

$ # (¯ı) ε π Pk β¯0,k−1 , a ¯0,k−1 (0), W (z), W ′ (z), . . . , W (k) (z) k

1 −√ 2π

%

W (p − ζ)Gk−1 (ζ) sen2

hζ 2

+ ε2 Bn2 ' * ( + εn π β0 ian−1 (0)V) ′ (z) − ia′n−1 (0)W (z) 4 Γs,h h2

dζ

&

+ , + β1 ian−2 (0)W ′ (z) − ia′n−2 (0)W (z) .

1 ′′ 2 1 ′′ ′ ′ + β0 an−2 (0)W (z) − an−2 (0)W (z) + an−2 (0)W (z) 2 2 $ # (¯ı) ¯2,n−3 (0), W (z), . . . , W (n) (z) + Rn β¯3,n−2 , a + , + βn−1 ia0 (0)W ′ (z) − ia′0 (0)W (z) / % W (p − ζ)Gn−1 (ζ) 1 dζ − an (0)W (z) −√ 2 2 2π Γs,h h42 sen2 hζ 2 + ε Bn

+ O(εn+1 ) donde

β¯p1 ,r = (βp1 , . . . , βr ), p1 < r; 0 1 a ¯p1 ,r (ζ) = ap1 (ζ), . . . , ar (ζ) , p1 < r; 0 1 β¯ = (β0 , . . . , βn ), a ¯(ζ) = a0 (ζ), . . . , an (ζ) , $ # 1 0 (i ) (ir−p1 +1 ) ı) (i1 ) n) , , a ¯(¯ı) (ζ) = a0 1 , . . . , a(i a ¯(¯ p1 ,r (ζ) = ap1 , . . . , ar n

(97)

¯ı = (i1 , i2 , . . . , in ), ik ≤ n + 1;

Sk , Pk para k = 3, . . . , n − 1, Tn , Rn , Sn+1 , Pn+1 , Qn+1 son polinomios de sus argumentos que contienen solamente los t´erminos proporcionales a potencias de W (z) (o a potencias de W (z − iZn (εhBn )ζ) para Qn+1 ) y sus derivadas.

Ya que sen(1/2) ≤ |sen(z/2)| cuando 1 ≤ |z| ≤ π y a consecuencia de (67) se tiene que |εBn /[(2/h)sen(hζ/2)]| < 1 para ζ ∈ Γs,h si h < 1. Por lo tanto reconocemos en los integrandos de (97) una serie geom´etrica convergente: 1 4 sen2 hζ 2 h2

+ ε2 Bn2

=

1

∞ !

4 sen2 hζ 2 m=0 h2

(−1)m 4m h2m

sen2m hζ 2

ε2m Bn2m .

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 29

Hacemos justamente esta sustituci´on en (97) y desarrollamos W (z) en serie. Igualando los coeficientes de εk , k = 0, . . . , n en ambos lados de la ecuaci´on resultante obtenemos el sistema de ecuaciones para βk , ak , k = 0, 1, . . . , n: ! π a0 (0)W (z), (98) β0 a0 (z) = − 2 ! " # π β0 ia0 (0)W ′ (z) − ia′0 (0)W (z) (99) β0 a1 (z) + β1 a0 (z) = 2 & % $ W (z − ζ) h2 a0 (ζ)dζ − a1 (0)W (z) , − 4π Γs,h sen2 hζ 2 1 (100) β0 a2 (z) + β1 a1 (z) + β2 a0 (z) + β03 a0 (z) 8 ( ! " ' $ π W (z − ζ) h2 ′ ′ β0 ia1 (0)W (z) − ia1 (0)W (z) − = a1 (ζ)dζ 2 4π Γs,h sen2 hζ 2 ' ( 1 ′′ 2 1 ′′ ′ ′ + β0 a0 (0)W (z) − a0 (0)W (z) + a0 (0)W (z) 2 2 ' ( $ W (z − ζ) h2 ′ ′ a0 (ζ)dζ + β1 ia0 (0)W (z) − ia0 (0)W (z) − 4π Γs,h sen2 hζ 2 & − a2 (0)W (z) ,

(101)

3 1 β0 a3 (z) + β1 a2 (z) + β03 a1 (z) + β2 a1 (z) + β02 β1 a0 (z) + β3 a0 (z) 8 8 ! ) # % $ 2 π W (z − ζ) h ′ ′ a2 (ζ) dζ = β0 ia2 (0)W (z) − ia2 (0)W (z) − 2 4π Γs,h sen2 hζ 2 % # 1 ′′ 2 1 ′′ ′ ′ + β0 a1 (0)W (z) − a1 (0)W (z) + a1 (0)W (z) 2 2 # 1 1 1 + β03 ia′ (0)W (z) − ia0 (0)W ′ (z) + ia′′′ (0)W (z) 24 0 24 6 0 1 1 1 − ia′′0 (0)W ′ (z) + ia′0 (0)W ′′ (z) − ia0 (0)W ′′′ (z) 2 2 6

30

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

" ! !

W (z − ζ) W (z − ζ) h4 h2 + a0 (ζ) dζ − a0 (ζ)dζ 16π Γs,h sen4 hζ 32π Γs,h sen2 hζ 2 2 " # !

W (z − ζ) h2 + β1 ia1 (0)W ′ (z) − ia′1 (0)W (z) − a (ζ) dζ 1 4π Γs,h sen2 hζ 2 " # ′′ ′ ′ ′′ + β0 β1 a0 (0)W (z) − 2a0 (0)W (z) + a0 (0)W (z) " # !

W (z − ζ) h2 a (ζ) dζ + β2 ia0 (0)W ′ (z) − ia′0 (0)W (z) − 0 4π Γs,h sen2 hζ 2 $ − a3 (0)W (z) ···

(102) β0 ak (z) + β1 ak−1 (z) + . . .

· · · + βk a0 (z) + =

!

&

k−j k % %

dj (p, β)βl ak−j−l (z)

j=1 l=0

W (z − ζ)Sk β¯0,k−1 , a ¯0,k−1 (ζ), sen hζ 2 Γs,h

senlk

hζ 2

'

dζ

& ' (¯ı) + Pk β¯0,k−1 , a ¯0,k−1 (0), W (z), W ′ (z), . . . , W (k) (z)

(103) β0 an (z) + β1 an−1 (z) + β2 an−2 (z) + . . . · · · + βn−1 a1 (z) + βn a0 (z) +

n−j n % % j=1 l=0

dj (p, β)βl an−j−l (z)

( ) * π = β0 ian−1 (0)W ′ (z) − ia′n−1 (0)W (z) 2 + !

W (z − ζ) h2 an−1 (ζ)dζ − 4π Γs,h sen2 hζ 2 + * 1 ′′ 2 1 ′′ ′ ′ + β0 an−2 (0)W (z) − an−2 (0)W (z) + an−2 (0)W (z) 2 2 * + !

W (z − ζ) h2 ′ ′ + β1 ian−2 (0)W (z) − ian−2 (0)W (z) − an−2 (ζ)dζ 4π Γs,h sen2 hζ , - 2 !

W (z − ζ)Tn β¯3,n−2 , a ¯2,n−3 (ζ) dζ + senln hζ Γs,h 2

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 31

! " (¯ı) + Rn β¯3,n−2 , a ¯2,n−3 (0), W (z), . . . , W (n) (z) # % 2 $ W (z − ζ) h a0 (ζ)dζ + βn−1 ia0 (0)W ′ (z) − ia′0 (0)W (z) − 4π Γs,h sen2 hζ 2 & − an (0)W (z)

Lema 5.1.19. El sistema (98)–(103) tiene soluci´ on u ´nica bajo las condiciones a0 (0) = 1, a1 (0) = 0, . . . , (62) y sus soluciones ak (z) ∈ Ωh , k = 0, 1, . . . .

Demostraci´ on: Poniendo p = 0 en (98) y teniendo en cuenta que por (51) (notemos que para p ∈ [−π/h, π/h], W (p) = [Vh (x)]'(p)) [R/h]

(104)

W (0) =

(

j=−[R/h]

Vj

$

h ( sencπ(x/h − j)dx = √ Vj < 0, 2π j R

obtenemos ) π W (0). β0 = − 2

(105)

Por la condici´on a0 (0) = 1 obtenemos de (99) (106)

a0 (z) =

W (z) .

W (0)

Fijemos z = 0 en (99). Por (106) y la condici´on a1 (0) = 0 obtenemos $ W (ζ)W (−ζ) h2 dζ.

(107) β1 = 8 Γs,h sen2 hζ 2

Ahora encontremos a1 (z) de (99). Sustituyendo (105), (106) y (107) en (99), y tomando en cuenta el hecho de que a0 (0) = 1, obtenemos )

+ π* ′ W (z)W (0) − W ′ (0)W (z) 2 $ W (ζ)W (z − ζ) h2 √ dζ − 4 2πW (0) Γs,h sen2 hζ 2 $ W (ζ)W (−ζ) h2 W (z) dζ. + √ , -2 sen2 hζ Γs,h 4 2π W (0) 2

i (108) a1 (z) = W (0)

32

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

Observamos que de hecho a1 (0) = 0. Procediendo an´alogamente, obtenemos βn y an suponiendo que conocemos β0 , β1 , . . ., βn−1 , a0 , a1 , . . ., an−1 , y que ak (0) = 0, k = 2, . . . , n − 1. Buscamos an (z) tal que an (0) = 0. Poniendo z = 0 en (103) y tomando en cuenta el hecho de que a0 (0) = 1, obtenemos " ! π ′ a (0)W (0) (109) βn = β0 − i 2 n−1 $ # W (−ζ)an−1 (ζ) h2 − √ dζ 4 2π Γs,h sen2 hζ 2 " !" π ′ π ′ + . . . + βn−1 i W (0) − i a (0)W (0) 2 2 0 $ # W (−ζ)a0 (ζ) h2 √ dζ ; − 4 2π Γs,h sen2 hζ 2 esto es, βn est´a determinado de manera u ´nica. Sustituyendo (109) y β 0 , β1 , . . . , βn−1 , a0 , a1 , . . . , an−1 en (103) vemos que an (p) se determina en forma u ´nica puesto que β0 ̸= 0. Y as´ı no es dif´ıcil ver que de hecho an (0) = 0. !

Del Lema 5.1.19 y de (98)-(103) se sigue que Bn y An , expresados en t´erminos de los valores β0 , . . . , βn y las funciones a0 , . . . , an mediante (53), (60), resuelven la ecuaci´on (63) hasta un orden mayor que O(εn+1 ) en la norma de L2 (R). Para demostrar esto, consideremos el coeficiente de εn+1 en (97). Tenemos que Pn+1 ∈ Ωh , ya que W (z), ak (z) ∈ Ωh , k = 0, 1, . . . , n. El primer sumando en el coeficiente en εn+1 pertenece a Ωh por la finitud del contorno Γs,h y la misma propiedad para W (z) y ak (z). Finalmente, el tercer sumando en el mismo coeficiente pertenece a Ωh de igual manera. Esto significa que (110)

% h,ε ψn = En ψn + O(εn+1 ) H

en L2 (R).

A continuaci´on multiplicaremos la soluci´on aproximada ψn por cierta constante c(ε) para que la norma de la funci´on propia as´ı obtenida (es decir, normalizada) Ψn satisfaga la condici´on de normalizaci´on (111)

∥Ψn ∥ = 1 + O(εn+1 ).

De (59) y la identidad de Parseval se sigue que & # π/h '1/2 |An (p)|2 dp (112) ∥ψn (x)∥ = . hp 4 2 |2 −π/h | h2 sen2 2 + ε2 Bn

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 33

Notemos que β0 > 0 por (54) y (104). As´ı, para ε suficientemente peque˜ no tenemos |Bn | = Bn . De (60) se sigue que la expresi´on (Bn )−3/2 es anal´ıtica en ε para ε peque˜ no. Tambi´en necesitamos la asint´otica de la integral en (112). Para obtener el primer t´ermino de esta expansi´on, usamos el siguiente m´etodo. Hacemos la partici´on de la unidad formada por las tres funciones χ1,2,3 (p) ∈ C ∞ tales que χ2 (p) = χ3 (−p), ! j χj (p) = 1, y ⎧ ⎨ 0, p ∈ [−π/h, −π/2h] ∪ [π/2h, π/h];

χ1 (p) =

⎩ 1, p ∈ [−1/h, 1/h],

χ3 (p) = Luego %

−π/h

(113)

⎩ 1, p ∈ [π/2h, π/h].

A2n (p)dp

π/h

&

⎧ ⎨ 0, p ∈ [−π/h, 1/h];

4 sen2 hp 2 h2

'2 =

%

π/h

Haciendo el cambio de variable q = demos escribir (115)

χj (p) &

A2n (p)dp

4 −π/h j=1 2 2 + ε2 Bn2 sen2 hp 2 + ε Bn h2 % π/h A2n (p)dp = χ1 (p) & '2 4 −π/h 2 hp + ε2 B 2 sen 2 n 2 h % π/h ) * A2n (p)dp χ2 + χ3 (p) & + '2 4 −π/h 2 hp + ε2 B 2 sen n 2 h2

(114)

%

3 (

2/h

−2/h

χ1

&

=

hp 2 h sen 2

'2

en la integral (113) la po-

& ' A2n h2 arcsen hq 2 dq + *2 ) 2 2 q 2 + ε2 Bn2 1 − h 4q

hq 2 h arcsen 2

%

√ 2/h

√ − 2/h

'

) *) * κ1 (q) 1 + O(q) + O(q)O(ε) 1 + O(q 2 ) dq ) *2 q 2 + ε2 Bn2

ya que sucesivamente (tomando en cuenta las condiciones de normalizaci´on (62) An (p) = a0 (p) + O(p)O(ε), a0 (p) = 1 + O(p), A2n (p) =

34

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

! " 2 2 arcsen hq = 1 + O(p) + O(p)O(ε), h2 arcsen hq = O(q) y por ende A n h 2 2 1 + O(q) + O(q)O(ε), y donde κ1 (q) ∈ C ∞ y # $ 2 hq arcsen κ1 (q) = χ1 h 2 ⎧ √ ) (√ ) ( ⎨ 0, q ∈ −2/h, − 2/h ∪ 2/h, 2/h ; = ⎩ 1, q ∈ (− 2 sen 1 , 2 sen 1 ) , h 2 h 2 Luego la integral (115) se puede sucesivamente escribir , * √2/h * ∞ + 1 + O(q) + O(q)O(ε) dq A1,n (q)dq (116) + , = + ,2 √ 2 2 − 2/h q 2 + ε2 Bn −∞ q 2 + ε2 Bn2 donde

" ! κ1 (q) A2n h2 arcsen hq 2 A1,n (q) = 2 2 1 − h 4q

est´a en C0∞ y su serie asint´otica es 1 + O(q) + O(q)O(ε). Haciendo otro cambio de variable, q = εBn t, en (116), dicha integral la podemos expresar como ! + ," * ¯ " ! β, ε, t dt 1 + O(ε)P 1 1 −3 −3 π + O(ε) , = ε B (117) n ε3 Bn3 R 2 (t2 + 1)2 tomando en cuenta (62) y el hecho que * dt = π/2.

2 2 R (t + 1)

Por otra parte, la integral (114) podemos escribirla como + , * χ2 + χ3 (p)A2n (p)dp h4 . /2 16 2B2 ε n 1/h≤|p|≤π/h 1+ 4 sen4 hp 2 2 hp sen 2 2 +h , + ,+ , * χ2 + χ3 (p) 1 + O(ε) 1 + O(ε2 Bn2 ) dp 2 4 = Const h sen4 hp 2 1/h≤|p|≤π/h

(118) = Const h 2

4

*

π/h

1/h

χ3 (p)dp sen4 hp 2

+ O(ε),

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 35

! " 2 π 1 + O(p) y χ (p) = χ (−p). Sustituyendo ya que csc2 hp = csc 2 3 2 4 (117) y (118) en (113) y (114) respectivamente tenemos que (119)

#

A2n (p)dp

π/h

−π/h

!

4 sen2 hp 2 h2 −3

=ε

Bn−3

por lo que la norma

+

!π 2

ε2 Bn2

"2

"

+ O(ε) + Const h 2

4

#

π/h

1/h

χ3 (p)dp sen4 hp 2

+ O(ε)

& $% "1/2 π −3/2 −3/2 + O(ε) + O(ε) =ε Bn ∥ψn (x)∥ = ε 2 2 % ( π' −3/2 −3/2 (120) 1 + O(ε) = β0 ε 2 −3/2

Bn−3/2

!π

Aplicando argumentos similares a aquellos del Lema 5.1.18 y toman−3/2 do en cuenta la analiticidad de Bn podemos escribir la expansi´on asint´otica de la norma (112): (121) ∥ψn (x)∥

) ' ( ' ( * ¯ a ¯ a = ε−3/2 l0 β, ¯(p) + . . . + εn ln β, ¯(p) + O(εn+1 ) ' ( ¯ a ¯(p) cuando ε → 0. Luego, de acuerdo a (120) el t´ermino principal l0 β, es % π (122) .

2β03

Vamos a normalizar la funci´on propia ψn seleccionando la constante apropiada c(ε). De (121) se sigue que esta constante tiene la forma (123)

c(ε) = ε3/2 (d0 + d1 ε + . . . + dn εn ) + O(εn+5/2 ).

Multiplicando la expresi´on (121) por la que es para ∥ψn ∥, obtenemos (124) c(ε)∥ψn ∥ = d0 l0 + (d0 l1 + d1 l0 )ε + . . .

+ (d0 ln + · · · + dn l0 )εn + O(εn+1 ).

Ahora es claro que podemos hacer este producto igual a 1 + O(εn+1 ).

De hecho, para este fin, es suficiente resolver el sistema de ecuaciones con inc´ognitas di , i = 0, . . . , n: (125)

d0 l0 = 1,

d0 lk + · · · + dk l0 = 0,

k = 1, . . . , n.

36

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

Esto es posible ya que l0 ̸= 0 por (122). Adem´as, !

2β03 .

(126) d0 = π As´ı hemos encontrado la constante c(ε) tal que la funci´on propia aproximada (127)

Ψn (x) ≡ c(ε)ψn (x)

satisface la condici´on (111). Es evidente que esta funci´on propia normalizada Ψn satisface (110) con un nuevo t´ermino residual O(εn+1 ε3/2 ), i.e., (128)

" h,ε Ψn = En Ψn + O(εn+5/2 ), H

n = 0, . . . .

Esta normalizaci´on fue necesaria para la aplicaci´on del siguiente Lema 5.1.20 (Lema 1.3 de [11]). Sea T un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert H. Sea µ alg´ un punto sobre la recta real, r la distancia de µ al espectro del operador T . Entonces para cada g ∈ D(T ) es v´ alida la siguiente desigualdad: # # (129) r∥g∥ ≤ #(T − µ)g #.

Este lema nos provee de un fundamento riguroso para esta construcci´on. Para aplicarlo consideramos el operador discreto de Schr¨odinger " h,ε (dado por (25)) como el operador T del lema. El espacio de HilH bert H en este caso es L2 (R). Vamos a sustituir la distancia del valor propio aproximado En al espectro en vez de r en la desigualdad (129) y la funci´on propia aproximada Ψn en lugar de g. As´ı obtenemos de la estimaci´on (129) la estimaci´on (57). En una forma parecida aplicamos el Lema 1.4 de [11] para obtener la estimaci´on (58).

6.

La Soluci´ on Exacta

Resulta que la soluci´on asint´otica de la Ec. (26), E = −β 2 , β → 0+ , construida en la secci´on precedente, es en realidad una soluci´on exacta. $h (p) (no distinguimos entre ´esta Para verlo, consideremos la soluci´on Ψ y su continuaci´on peri´odica) de dicho problema en la forma (130)

$h (p) = Ψ

Ah (p) 4 sen2 hp 2 + h2

β2

,

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 37

donde suponemos que Ah (z) ∈ Ωh (probaremos que ´este es en efecto el !h dada por (130) obtenemos la caso). Sustituyendo en (26) la funci´on Ψ ecuaci´on equivalente " π/h W (p − p′ )Ah (p′ )dp′ ε (131) .

Ah (p) = − √ ′ 2π −π/h h42 sen2 hp2 + β 2 As´ı (131) toma la forma % $ # " √ W (p − ζ)Ah (ζ)dζ h2 β 2 −Ah (p) 2π/ε − (132) β 1 + 4 2 hζ + β 2 4 Γs,h 2 sen 2

h

= πW (p − i|zβ,h |)Ah (i|zβ,h |).

Definici´ on 6.1.21. Definimos el operador integral Tβ,h : Ωh −→ Ωh por la f´ ormula " 1 W (z − ζ)ϕ(ζ)dζ , z ∈ Ωh .

(133) [Tβ,h ϕ(ζ)](z) = √ 2 2π Γs,h h42 sen2 hζ 2 +β Nota 6.1.22. [Tβ,h ϕ(ζ)](z) ∈ Ωh porque el integrando es anal´ıtico. Por lo tanto& Tβ,h est´a bien definida.

[Tβ,h ϕ(ζ)](z) es anal´ıtica en β tambi´en & ya que &β/[(2/h)sen(hζ/2)]& < 1 para ζ ∈ Γs,h y 1

4 sen2 hζ 2 h2

+

β2

=

1

∞ '

4 sen2 hζ 2 m=0 h2

(−1)m

4m h2m

sen2m hζ 2

β 2m .

Adem´as, Tβ,h es acotado, digamos, en la norma del supremo, y como ε → 0, ε ∥Tβ,h,n ∥ < 1 para ε suficientemente peque˜ no.

Ahora, de (132) se sigue que

√ − 2π β

#

1+

+ * h2 β 2 () 1 + ε Tβ,h Ah (ζ) (z) 4 = π εW (z − i|zβ,h |)Ah (i|zβ,h |),

donde 1 es el operador identidad. Supongamos que Ah (i|zβ,h |) = 1 (probaremos que siempre puede suponerse esto). Tenemos que (134) Ah (z) = # π − 2

ε , β 1+

h2 β 2 4

()

1 + ε Tβ,h, ζ→z

*−1

+ W (ζ − i|zβ,h |) (z).

38

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

"−1 !

Ya que εTβ,h es un operador de contracci´on, 1 + ε Tβ,h es igual a su serie de Neumann y (134) se expresa como # ∞ & ' % π ε l $ (−1)l εl Tβ,h, W (ζ − i|z |) (z), Ah (z) = − β,h ζ→z 2 2 2 β 1 + h 4β l=0

0 ≡ 1. As´ ı, por la Nota 6.1.22, tenemos una serie uniformedonde Tβ,h mente convergente de funciones anal´ıticas en z sobre Bπ/h . Por lo tanto Ah (z) es anal´ıtica en z ∈ Bπ/h .

Nota 6.1.23. Aplicando l veces el operador Tβ,h a una funci´on ϕ ∈ Ωh , l = 1, 2 . . . , tenemos l (135) [Tβ,h ϕ(ζ)](z) −l/2

= (2π)

(

Γs,h

donde ζ0 ≡ z, ζl ≡ ζ.

···

(

Γs,h

ϕ(ζ)

l ) W (ζn−1 − ζn )

4 2 hζn n=1 h2 sen 2

+ β2

dζn ,

Evaluando en z = i|zβ,h |, de (134) obtenemos la ecuaci´on secular para β: # h2 β 2 (136) β 1 + 4 # ' "−1 π &! ε 1 + ε Tβ,h, ζ→z =− W (ζ − i|zβ,h |) (i|zβ,h |).

2

Consideremos la funci´on #

h2 β 2 1+ 4 # & ' "−1 π ! ε 1 + ε Tβ,h, ζ→z + W (ζ − i|zβ,h |) (i|zβ,h |).

2 ! "−1 Sustituyendo nuevamente 1 + ε Tβ,h por su serie de Neumann en (137), ´esta se convierte en # h2 β 2 (138) Fh (β, ε) = β 1 + 4 # ∞ & ' % π l ε + (−1)l εl Tβ,h, ζ→z W (ζ − i|zβ,h |) (i|zβ,h |).

2 (137) Fh (β, ε) = β

l=0

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 39

l Nota 6.1.24. Observemos que [Tβ,h, ıζ→z W (ζ −i|zβ,h |)](i|zβ,h |) es anal´ tica en β. En efecto, en la Ec. (135) podemos sustituir i|zβ,h | en lugar de z y W (ζ − i|zβ,h |) en lugar de ϕ(ζ), teniendo en cuenta las expansiones

W (i|zβ,h | − ζ1 ) = W (ζ − i|zβ,h |) = l "

1

4 2 hζn n=1 h2 sen 2

+

β2

=

l "

n=1

∞ ! k=0

∞ ! k=0

⎛ ⎝

|zβ,h |k =

ik W (k) (−ζ1 )|zβ,h |k /k!,

(−1)k ik W (k) (ζ)|zβ,h |k /k!, 1

∞ !

(−1)kn

k 4 sen2 hζ2n kn =0 h42knn sen2kn hζ2n h2 ∞ ! ck,j (l)hk+j β k+j , j=0

⎞

β 2kn ⎠,

donde los coeficientes ck,j (l) se definen de acuerdo a (69) y (72).

As´ı tenemos que la funci´on Fh (β, ε) es anal´ıtica en cada argumento, y por el teorema de Hartogs ([9], Secc. 2.2), es anal´ıtica en C2 . Adem´as, Fh (0, 0) = 0, [∂β Fh ](0, 0) = 1, lo u ´ltimo por el factor ε en el segundo t´ermino de (138). De aqu´ı que, por el teorema de la funci´on impl´ıcita ([8], Teor. I,B4), la soluci´on βh (ε) para β de la ecuaci´on secular (136), la cual tiende a cero cuando ε → 0, existe, es u ´nica y est´a dada por (7).

De igual manera, tomemos ahora E = 4/h2 + γ 2 , γ → 0+ en la Ec. (26); entonces tenemos * π/h ( ' ε hp 4 2 2 )h (p′ )dp′ ) √ cos 2 + γ Ψh (p) = W (p − p′ )Ψ (139) h2 2π −π/h en p ∈ [−π/h, π/h]. Similarmente a lo anterior, buscamos la soluci´on en la forma (140)

)h (p) = Ψ

Dh (p) 4 cos2 hp 2 + h2

γ2

,

donde Dh (z) es una funci´on anal´ıtica en Bπ/h y 2π/h-peri´odica. Susti)h dada por (140) obtenemos la ecuaci´on tuyendo en (139) la funci´on Ψ equivalente * π/h W (p − p′ )Dh (p′ )dp′ ε √ (141) .

Dh (p) = ′ 2π −π/h h42 cos2 hp2 + γ 2

40

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

Nota 6.1.25. Note que el integrando en el lado derecho de Ec. (141) es singular en p′ = −π/h y p′ = π/h cuando γ = 0. Para reducir nuestra ecuaci´on a una situaci´on similar a la de la Secci´on 6, observemos que ya que se supuso que Dh es 2π/h-peri´odica, tenemos !" " 2π/h # 0 W (p − p′ )Dh (p′ )dp′ = . ′ 4 cos2 hp2 + γ 2 −π/h π/h h2 As´ı podemos calcular la integral en la Ec. (141) de 0 a 2π/h con el mismo integrando, la cual, dentro del nuevo intervalo de integraci´on, es solamente $ singular en p′ = π/h cuando γ = 0 (similarmente al caso discreto con j Vj no positiva).

Nota 6.1.26. La u ´nica singularidad con parte imaginaria positiva de % ψγ (z) en 0 ≤ Re z < 2π/h cuando γ → 0+ es ! # & hγ 2i h2 γ 2 + 1+ . zγ,h ≡ π/h − ln − h 2 4 En forma an´aloga a la de la Secci´on 6, suponemos que Dh (z) ∈ Ωh e introducimos el contorno formado por la traslaci´on de Γs,h a la derecha por π/h: (142) Γc,h : = [0, π/h − 1]

∪ {p + iq : (p − π/h)2 + q 2 = 1, q > 0} ∪ [π/h + 1, 2π/h].

Si γ < h2 senh h2 , por el teorema del residuo de Cauchy tenemos !" & " # W (p − ζ)Dh (ζ)dζ h2 γ 2 γ 1+ − 4 2 hζ + γ 2 4 [0,2π/h] Γc,h 2 cos h

2

= πW (p − zγ,h )Dh (zγ,h ),

y (141) se convierte en # ! & " √ W (p − ζ)Dh (ζ)dζ h2 γ 2 Dh (p) 2π/hε − (143) γ 1 + 4 2 hζ + γ 2 4 Γc,h 2 cos h

2

= πW (p − zγ,h )Dh (zγ,h ).

Definimos el operador integral Tγ,h : Ωh −→ Ωh por la f´ormula " W (z − ζ)ϕ(ζ)dζ 1 [Tγ,h ϕ(ζ)](z) = √ .

2 2π Γc,h h42 cos2 hζ 2 +γ

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 41

Tenemos que [Tγ,h ϕ(ζ)](z) ∈ Ωh y es anal´ıtica en γ. Adem´as, Tγ,h es acotado. Por lo tanto ε ∥Tγ,h ∥ < 1 para ε suficientemente peque˜ no.

Ahora, de (143) se sigue que ! √ $ % h2 γ 2 "# 1 − ε Tγ,h Dh (ζ) (z) = π εW (z − zγ,h )Dh (zγ,h ).

2π γ 1 + 4

Suponiendo Dh (zγ,h ) = 1, tenemos ! ( '# $−1 π ε & W (ζ − zγ,h ) (z), 1 − ε Tγ,h, ζ→z (144) Dh (z) = 2 2 2 γ 1 + h 4γ la cual se convierte en ! π ε & Dh (z) = 2 γ 1+

∞ )

h2 γ 2 l=0 4

( ' l εl Tγ,h, W (ζ − z ) γ,h (z). ζ→z

Por lo tanto, Dh (z) es anal´ıtica en z ∈ Bπ/h .

Evaluando (144) en z = zγ,h , obtenemos la ecuaci´on secular para γ: ! ! ( $−1 h2 γ 2 π '# = ε 1 − ε Tγ, ζ→z W (ζ − zγ,h ) (zγ,h ).

(145) γ 1+ 4 2

Consideremos la funci´on ! ! ( $−1 h2 γ 2 π '# − ε 1 − ε Tγ, ζ→z Gh (γ, ε) ≡ γ 1 + W (ζ − zγ,h ) (zγ,h ) 4 2 ! ! ∞ ( h2 γ 2 π ) l' l − ε ε Tγ, ζ→z W (ζ − zγ,h ) (zγ,h ). =γ 1+ 4 2 l=0

l Ya que [Tγ, ıtica en γ tambi´en, por el teoζ→z W (ζ − iγ)](zγ,h ) es anal´ rema de Hartogs, tenemos que Gh (γ, ε) es anal´ıtica en C2 . As´ı, por las igualdades Gh (0, 0) = 0, [∂γ Gh ](0, 0) = 1 y el teorema de la funci´on impl´ıcita, la soluci´on γh (ε) para γ de la ecuaci´on secular (145), la cual tiende a cero cuando ε → 0, existe y es u ´ nica. Est´a dada por (9), ya que expandiendo Gh (γ, ε) en serie de Taylor, tenemos, hasta t´erminos del segundo orden, ! * W (ζ)W (−ζ) π ε2 W (0) − dζ − . . . .

Gh (γ, ε) = γ − ε 4 2 hζ 2 2 cos 2 2 h Γc,h

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Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

Adem´as, por sustituci´on de (9) en (144) obtenemos Dh (z). En la misma forma que antes, podemos verificar que Dh (zγh (ε),h ) = 1. As´ı los Teoremas 2.1.1 y 2.1.2 quedan probados.

Agradecimientos El primer autor agradece profundamente a Dios, a su familia, a la Universidad Michoacana, al CONACyT, al Dr. Petr Zhevandrov por su valiosa asesor´ıa y a la revista Morfismos.

Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos Instituto de F´ısica y Matem´ aticas, Universidad Michoacana de San Nicol´ as de Hidalgo, Edificio C3, Ciudad Universitaria 58060 Morelia, Michoac´ an, M´exico. joel@ifm.umich.mx

Petr Zhevandrov Bolshakova Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de la Sabana, Campus Puente del Com´ un, Km. 21 Autopista Norte, Ch´ıa, Colombia; con licencia de la Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´ aticas, Universidad Michoacana de San Nicol´ as de Hidalgo, Edificio B Planta Baja, Ciudad Universitaria - 58060 Morelia, Michoac´ an, M´exico. pzhevand@zeus.umich.mx

Referencias [1] Albeverio S.; Gesztesy F.; Høegh-Krohn R.; Holden H., Solvable Models in Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1988.

[2] Berezin F. A.; Shubin M. A., The Schr¨odinger Equation, Kluwer Academic Publishers, 1991.

[3] Egorov Yu. V.; Schulze B. W., Pseudo-Differential Operators, Singularities, Applications, Birkh¨auser Verlag, 1997.

[4] Fedoryuk M. V., Asymptotics integrals and Series, Nauka, 1987.

[5] Gadyl’shin R., Local perturbations of the Schr¨ odinger operator on the axis, Theor. Math. Phys. 132 (2002), 976–982.

[6] Gasquet C.; Witomski P., Fourier Analysis and Applications. Filtering, Numerical Computation, Wavelets, Springer-Verlag, 1999.

[7] Greenspan D., Discrete Models, Addison-Wesley, 1973.

Ecuaci´ on discreta de Schr¨ odinger con pozos potenciales poco profundos 43

[8] Gunning R. C.; Rossi H., Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, 1965.

[9] H¨ormander L., An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1973.

[10] Landau L. D.; Lifschitz E. M., Quantum Mechanics, Pergamon, 1958.

[11] Maslov V. P., Asymptotic Methods and Theory of Perturbations, Nauka, 1988.

[12] Montvay J.; M¨ unster G., Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, 1994.

[13] Rodriguez J. A.; Zhevandrov P., Shallow potential wells for the discrete Schr¨ odinger equation, En: Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation WAVES 2003, Springer-Verlag 2003, 857–861.

[14] Rozenblum G. V.; Shubin M. A.; Solomyak M. Z., Spectral Theory of Differential Operators, En: Partial Differential Equations, VII, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 64, SpringerVerlag 1994.

[15] Saint Raymond X., Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, CRC Press, Florida, 1991.

[16] Simon B., The bound state of weakly coupled Schr¨ odinger operators in one and two-dimensions, Ann. Phys. 97 (1976), 279–288.

[17] Taylor M., Partial Differential Equations, Vol. I Basic Theory, Springer-Verlag, 1996.

[18] Treves F., Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators, Vol. I, Plenum Press, 1982.

[19] Zhevandrov P.; Merzon A., Asymptotics of eigenfunctions in shallow potential wells and related problems, AMS Translations, series 2, 208 (2003), 235–284.

[20] Zhevandrov P.; Merzon A., Shallow potential wells for the Schr¨ odinger equation and water waves, En: Progress in Analysis, Proceedings of the 3rd International ISAAC Congress, World Scientific, 1 2003, 589–598.

Morfismos, Vol. 12, No. 1, 2008, pp. 45–61

A proof of the multiplicative property of the Berezinian ∗ Manuel Vladimir Vega Blanco

Abstract The Berezinian is the analogue of the determinant in super-linear algebra. In this paper we give an elementary and explicative proof that the Berezinian is a multiplicative homomorphism. This paper is self-conatined, so we begin with a short introduction to superalgebra, where we study the category of supermodules. We write the matrix representation of super-linear transformations. Then we can define a concept analogous to the determinant, this is the superdeterminant or Berezinian. We finish the paper proving the multiplicative property.

2000 Mathematics Subject Classification: 81R99.

Keywords and phrases: Berezinian, superalgebra, supergeometry, supercalculus.

1

Introduction

Linear superalgebra arises in the study of elementary particles and its fields, specially with the introduction of super-symmetry. In nature we can find two classes of elementary particles, in accordance with the statistics of Einstein-Bose and the statistics of Fermi, the bosons and the fermions, respectively. The fields that represent it have a parity, there are bosonic fields (even) and fermionic fields (odd): the former commute with themselves and with the fermionic fields, while the latter anti-commute with themselves. This fields form an algebra, and with the above non-commutativity property they form an algebraic structure ∗

Research supported by a CONACyT scholarship. This paper is part of the autor’s M. Sc. thesis presented at the Department of Mathematics of CINVESTAV-IPN.

45

46

Manuel Vladimir Vega Blanco

called a which we call a superalgebra. Super-linear algebra is the first stage in the development of super-geometry [1, 2, 3, 4].

The purpose of this paper is to develop super-linear algebra as far as proving in an elementary fashion that the super-determinant or Berezinian1 satisfies: Ber(T R) = Ber(T )Ber(R).

In order to do this we follow an elegant idea sketched in a paragraph of Manin’s book [2] filling up all the details. Let us start by introducing some elementary definitions.

2

Rudiments of superlinear algebra

Definition 2.0.1. A supervector space is a Z2 -graded vector space V over a field K, this means that there are two subspaces V0 and V1 of V such that V = V0 ⊕V1 . The elements of V0 ∪V1 are called homogeneous.

In particular the elements of V0 (V1 ) are called even (odd). The parity function p : V0 ∪ V1 \ {0} −→ Z2 over the homogeneous elements is defined by the rule v %→ α for each v ∈ Vα . There is a problem with the parity of 0, our convention is that 0 is of any parity. Let V and W be supervector spaces. A linear map f : V −→ W that is Z2 -degree preserving (namely p(f (v)) = p(v) for each v in V homogeneous) is called a graded morphism or a superlinear morphism.

Thus supervector spaces and the graded morphisms between them naturally form a category, denoted by SVect.

Example 2.0.2. Consider the vector space Rp+q . We have that Rp is naturally embedded in Rp+q and with its orthogonal complement Rq in Rp+q forms a supervector space R(p|q), naturally isomorphic to Rp+q , p|q where R(p|q)0 = Rp and R1 = Rq .

Example 2.0.3. Let M(2n; R) the vector space of 2n × 2n matrices with entries in R. Note that each matrix in M(2n; R) can be written as " !

X11 X12 , X21 X22 1 The Berezinian is named after the russian physicist Felix A. Berezin (1931-1980), and it is fundamental in the theory of integration over super-manifolds also known as Berezin integration.

Multiplicative property of the Berezinian

47

where each Xij is a n × n matrix for i = 1, 2.

Define M(2n; R)0 as the matrices of the form " !

X11 0 0 X22 and M(2n; R)1 as the matrices of the form ! " 0 X12 .

X21 0 Given this structure M(2n; R) becomes a supervector space of even (odd) dimension 2n2 .

As in the case of usual vector spaces it is possible to define a tensor product for supervector spaces. Making this category into a symmetric monoidal category.

Definition 2.1.4. Let V and W supervector spaces, the tensor product of V and W is a supervector space V ⊗ W together with a bilinear map u : V × W −→ V ⊗ W satisfying the following universal property: for each supervector space U and for each bilinear map f : V × W −→ U there exists a unique graded morphism k : V ⊗ W −→ U such that k ◦ u = f . The bilinear map u is called a universal bilinear map. This is equivalent to the existence of a unique k filling up the following commutative diagram: (1)

f

V × W! !!! !!! u !!! " V

!U #" " "k

⊗W

Proposition 2.1.5. The tensor product is unique up to unique isomorphism. That is, if T is a supervector space and u′ : V × W −→ T is a graded morphism satisfying the universal property of the previous definition, then T ∼ = V ⊗ W by an unique isomorphism. We say that the unique isomorphism k is canonical or natural.

Proof. The hypothesis give unique graded morphisms k : V ⊗ W −→ T and k′ : T −→ V ⊗ W such that u′ = k ◦ u and u = k ′ ◦ u′ . Hence k ′ ◦ k ◦ u = u and k ◦ k′ ◦ u′ = u′ . Since the identities idV ⊗W and idT are unique, then k ′ ◦ k = idV ⊗W and k ◦ k ′ = idT . Whence T ∼ = V ⊗ W. !

48

Manuel Vladimir Vega Blanco

Proposition 2.1.6. Let V and W supervector spaces. The tensor product V ⊗ W satisfies !

(V ⊗ W )k = Vi ⊗ Wj i+j=k

for each k in Z2 , where Vi ⊗ Wj is the usual tensor product of vector spaces.

Proof. Define the map φ : V × W −→ T :=

! !

k∈Z2 i+j=k

Vi ⊗ Wj

by (v, w) %→ v ⊗ w on homogeneous elements, and extend it on all V × W by linearity. Whence φ is bilinear. Let U a supervector space and let f : V × W −→ U a bilinear map. Define k : T −→ U by k(v ⊗ w) = f (v, w) on homogeneous elements, extending by linearity is clear that k is graded morphism and f = k ◦ φ, moreover is unique: if k′ : V ⊗ W −→ U is other graded morphism such that f = k ′ ◦ φ, must be happen that k = k ′ on homogeneous elements. Therefore k = k ′ on T . As a consequence, by the uniqueness up to unique isomorphism of the tensor product we have T ∼ = V ⊗ W .!

Proposition 2.1.7. Let V and W supervector spaces, then V ⊗W exists

Proof. Consider the set G = (V0 ∪ V1 ) \ {0} × (W0 ∪ W1 ) \ {0}. Let S a supervector space. Define a parity map p : G −→ Z2 by p(v, w) = p(v) + p(w). Now consider the set F (G, S, p) of functions from G to S that vanishes at each g in G except at finitely many elements. We show that this is a supervector space. In fact, we define the sum by (f + f ′ )(g) = f (g) + f ′ (g) and the left product by elements in K as (af )(g) = af (g). Thus F (G, S, p) is a vector space. Now for each i in Z2 set F (G, S, p)i as the elements in F (G, p) with image into Si−p(g) .

It is easy to verify that F (G, S, p) satisfies the definition of supervector space.

Define the following sets: Hsum as the set that contains the elements of the form f (v + v ′ , w) − f (v + w) − f (v ′ , w) and Hprod as the set that contains the elements f (av, w)−af (v, w), f (v, aw)−f (va, w) for all v, v ′ in Vi , w in W1−i and a in K for each i in Z2 . Let I the space generated

by Hsum ∪Hprod , write V ⊗W := F (G, S, p)/I. The canonical projection is the map π : F (G, S, p) −→ V ⊗ W defined by f (v, w) %→ [f (v, w)].

Multiplicative property of the Berezinian

49

Where [f (v, w)] is the equivalence class with representant f (v, w). Set u : F (G, S, p) −→ V ⊗ W as ! f (v, w) −→ π(f (vi , wj )). i,j∈Z2

We have that u is a bilinear map satisfying the universal property of the tensor product. !

The tensor product of supervector spaces satisfies the following properties whose proofs can be found in [4].

Proposition 2.1.8. Let U , V and W supervector spaces. Then U ⊗ (V ⊗ W ) ∼ = (U ⊗ V ) ⊗ W canonically.

Definition 2.1.9. Let V and W supervector spaces. The commutativity isomorphism cV, W : V ⊗ W −→ W ⊗ V is defined by v ⊗ w %→ (−1)p(v)p(w) w ⊗ v on homogeneous elements, hence by linear extension can be defined over all V ⊗ W .

Proposition 2.1.10. Let V1 , . . . , Vn a finite collection of supervector spaces, let k and l two integers such that 1 ≤ k < l ≤ n and let τ the transposition with τ (k) = l,τ (l) = k, τ (j) = j if j ̸= k and j ̸= l. Then, there exists a canonical isomorphism η:

"

1≤i≤n

Vi −→

"

Vσ(i)

1≤i≤n

such that, on homogeneous elements, η is given by " " vi %−→ (−1)N vτ (i) 1≤i≤n

1≤i≤n

where N is the number of pairs of odd elements such that i < j and τ (i) > τ (j).

3

Superalgebras

Definition 3.0.11. Let A a supervector space and K an algebraically closed field (v.g R or C). A graded bilinear morphism A ⊗ A −→ A; a ⊗ b %→ ab, is called product and A with this graded morphism is called

50

Manuel Vladimir Vega Blanco

a superalgebra over the field K. The superalgebra A is associative if x(yz) = (xy)z for all x,y and z in A. A unit is an even element 1 in A such that 1x = x1 = x for each x in A. It is common to reserve the name superalgebra only for an associative superalgebra A with unity.

Remark 3.0.12. Note that a superalgebra A is not necessary commutative as an usual algebra. Also it is not difficult to show that if the unit exists, then it is unique.

Definition 3.0.13. Let A a superalgebra we say that a supervector space M is called a left (resp. right) A-module if there exist a graded morphism that is bilinear and posses a unity element 1 ̸= 0, also called product, A ⊗ M −→ M (resp. M ⊗ A −→ M ). The superalgebra A is called supercommutative if xy = (−1)p(x)p(y) yx.

Remark 3.0.14. If A is supercommutative, clearly a left A-module M is also a right A-module. This can be done writing m · a := (−1)p(m)p(a) a · m for each a in A and m in M .

Example 3.0.15. (The exterior algebra of a real vector space with the wedge product). Let V a real n-dimensional vector space. Define the exterior algebra Λ∗ (V ) of V as the direct sum of the exterior powers Λ1 (V ), . . ., Λn (V ). Remember that the k-th exterior power Λk V is defined as the quotient of the k-fold tensor product V ⊗k modulo the ideal I generated by the elements of the form v ⊗ v with v in V . The wedge product ∧ : Λn (V ) × Λm (V ) −→ Λn+m (V ) induces in a natural way a product ∧ : Λ∗ (V ) ⊗ Λ∗ (V ) −→ Λ∗ (V ).

A well-know fact is that Λ∗ (V ) ∼ = R[θ1 , . . . , θn ] where R[θ1 , . . . , θn ] is the ring of polynomials in n variables with coefficients in R and the variables θj satisfies θi θj =! −θj θi for each i, j = 1, . . . , n. Thus a typical element can be written as J aJ θi1 · . . . · θik where J is the ordered set {1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n} and k varying between 1 up to n. Such element will be even (odd) iff k is even (odd).

51

Multiplicative property of the Berezinian

Definition 3.0.16. Let M and N A-modules. The tensor product of M and N respect to A is defined by M ⊗A N := (M as right module) ⊗ (N as left module). With this definition we get a new A-module. Also we have the commutativity isomorphism and its definition is analogous to the tensor product of supervector spaces. Namely we can write: (M ⊗A N )γ =

!

γ=α+β

Mα ⊗A Nβ

Definition 3.0.17. On SVect we define the parity reversing functor by # # ( V )0 := V1 , ( V )1 := V0 .

4

"

Supermodules and linear transformations

In this section we study the linear maps between supervector spaces.

These can be represented by a matrix with entries in a superalgebra.

We shall define the analogous concepts of trace, transpose and bases.

In what follows A denotes a superalgebra over R. Definition 4.0.18. Let A be a superalgebra and let {e1 , . . . , ep } and {o1 , . . . , oq } be finite sets. Define Ap|q :=

⎧ p ⎨' ⎩

i=1

ai ei +

q ' j=1

⎫ ⎬ bj oj |∀i, j ai , bj ∈ A , ⎭

we call to Ap|q the standard free supermodule of rank p|q.

Remark 4.0.19. The ranks of the free supermodules are pairs of integers rather that just integers Naturally in the case A = R we have a real supervector space of finite dimension p + q, with even dimension p and odd dimension q.

We write Rp|q for the free supermodule of+rank p|q on+R. A standard free supermodule is Z2 -graded: let x = pi=1 ai ei + qj=1 bj oj where the ai , bj are in A, we say that the element x is even (odd) when p(ai ) = 0(p(ai ) = 1) and p(bj ) = 1 (p(bj ) = 0) for each i and j. The standard free supermodules over the super algebra A form a category.

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Manuel Vladimir Vega Blanco

Definition 4.0.20. Let Ap|q and Ar|s A-free supermodules. A morphism of supermodules T : Ap|q −→ Ar|s is a usual linear transformation such that exclusively preserve (or exclusively anti-preserve) the parity of the homogeneous elements, that is p(T (v)) = p(v) (or p(T (v)) = −p(v)), for all v in Ap|q . We denote the morphisms from Ap|q to Ar|s as HomA (Ap|q , Ar|s ), if p = s and q = s we write End(Ap|q ) for that morphisms and we use the suggestive notation GL(Ap|q ) for the invertible morphisms in End(Ap|q ). If T is in HomA (Ap|q , Ar|s ) and preserves (anti-preserves) the parity of the homogeneous elements, then we say that T is an even morphism ( odd morphism). Clearly the even morphisms form a real vector space (similarly the odd), we denote the even morphisms by HomA (Ap|q , Ar|s )0 and HomA (Ap|q , Ar|s )1 for the odd. It is also clear that HomA (Ap|q , Ar|s )0 ∩ HomA (Ap|q , Ar|s )1 = {0} Proposition 4.0.21. HomA (Ap|q , Ar|s ) is a graded vector space.

Proof Let T in HomA (Ap|q , Ar|s ) and choose ordered basis for Ap|q and Ar|s B = {e1 , . . . , ep , o1 , . . . , oq } and B ′ = {e′1 , . . . , e′r , o′1 , . . . , o′s } respectively. For each element X in B we have that T (x) =

r ! k=1

ak e′k

+

s !

bk o′k .

l=1

r|s

Since al = al,0 + al,1 and bl = bl,0 + bl,1 , where ak,0 , bl,0 are in A0 and r|s ak,1 , bk,1 are in A1 for each 1 ≤ k ≤ r and for each 1 ≤ l ≤ s, we can define T0 and T1 on each element in B by T0 (x) :=

r !

ak,0 e′k +

k=1

and T1 (x) :=

r ! k=1

s !

bl,0 o′l

l=1

ak,1 e′l +

s !

bl,1 o′l .

l=1

It is clear that for each x in B, T (x) = T0 (x) + T1 (x), p(T0 (x)) = p(x) and p(T1 (x)) = p(x) + 1, hence T0 is even and T1 is odd, and extending by linearity we have that T (v) = T0 (v) + T1 (v), then HomA (Ap|q , Ar|s ) = HomA (Ap|q , Ar|s )0 ⊕ HomA (Ap|q , Ar|s )1 .!

Multiplicative property of the Berezinian

53

Let A a superalgebra, Ap|q and Ar|s standard free supermodules an even morphism T : Ap|q −→ Ar|s have a matrix representation ⎞ ⎛ X11 X12 ⎠ (2) XT = ⎝ X21 X22

where the sizes of X, X11 , X12 , X21 and X22 are (p + q) × (r + s), r × p, r × q, s × p and s × q respectively. The matrices Xii are composed by even elements and the other two by odd elements. When the morphism is odd, the matrices in the diagonal Xii are composed by odd elements and the off-diagonal matrices by even elements. An element x in Ap|q can be represented by a column vector ⎛ ⎞ a1 ⎜ .. ⎟ ⎜.⎟ ⎜ ⎟ ⎜ap ⎟ ⎟ ux = ⎜ ⎜ b1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝.⎠ bq

then T (x) is represented by the matrix product XT ux . And by abuse of notation we simply write T for XT , and x for ux , hence T x represents to XT ux .

The appropriate generalization for the concept of trace of a square matrix in the case when T is in End(Ap|q ) is as follows: Definition 4.0.22. Let T in End(Ap|q ) with matrix representation as in (2), the supertrace of T , denoted by Str(T ) is defined by Str(T ) := tr(X11 ) − (−1)p(T ) tr(X22 ) for each homogeneous morphism T in End(Ap|q )

In the case q = 0, we have Str(T ) = tr(T ), the usual trace. It is straightforward that Str(T + T ′ ) = Str(T ) + Str(T ′ ) for each T and T ′ in End(Ap|q ).

In ordinary linear algebra when we have a matrix X we can construct t := X . In the super case we its transpose denoted by X t defining Xij ji need to consider whether the matrix is even or odd. The following definition is useful

54

Manuel Vladimir Vega Blanco

Definition 4.0.23. Let X in HomA (Ap|q , Ar|s ) with matrix representation, again, as in 2. Then the graded transpose o supertranspose of X, denoted by X t is defined by & ⎧ % t t X X ⎪ 11 21 ⎪ , T even; ⎨ t t −X12 X21 t % & T = t t X11 −X12 ⎪ ⎪ , T odd. ⎩ t t X12 X22

An immediate consequence of this definition is that for each X and Y matrices of appropriated dimensions we have that (XY )t = (−1)p(X)p(Y ) Y t X t . Also if X is in End(Ap|q ) we have that Str(X) = Str(X t ).

Now we motivate the concept of superdeterminant. As the superdeterminant will be a generalization of the usual determinant it must be satisfies, at least, the following requisites: 1. For each X and Y matrices, Ber(XY ) = Ber(X)Ber(Y ) that is: the Berezinian is multiplicative.

2. If X is an endomorphism of Rp|0 , then Ber(X) = det(X).

An important difference between the classical determinant and the Berezinian is that while the determinant is defined on any endomorphism, the Berezinian is defined only on invertible endomorphisms. As a first step, to understand the concept, we can define the Berezinian in the simplest case A = R, each T in End(Rp|q ) has a matrix representation % & X11 0 .

0 X22 We provide a provisional definition of Ber as Ber(T ) := det(X11 )/ det(X22 ).

In this case if X=

%

X11 0 0 X22

&

and Y =

%

Y11 0 0 Y22

&

Multiplicative property of the Berezinian

55

! " ′ X11 X11 0 Ber(XY ) = Ber( ) ′ 0 X22 X22

′ ′ −1 ) det(X22 X22 ) = det(X11 X11 ′ det(X11 ) det(X11 ) · = ′ ) det(X22 ) det(X22 = Ber(X)Ber(Y ).

The invertible matrices can be nicely characterized as the following result shows: Lemma 4.0.24. If T is in End(Ap|q ) and has a matrix representation as in (2) then X is invertible if and only if X11 and X22 are invertible matrices over the commutative ring A0 , equivalently, det(X11 ) and det(X22 ) are units of A0 .

Proof. First we need proof the case when all the odd variables are zero.

For this define the ideal J of A as J = A1 + A21 , this is the ideal generated by A1 . Then consider the quotient [A] = A/J. We have a natural quotient map q : A −→ [A] defined by a #→ a + I, so to each matrix X with entries in A correspond a matrix [X] with entries the images of entries by q of the entries of X, that is [Xij ] = q(Xij ), then q can be extended to End(Ap|q ).

The first step is to prove that X is invertible if and only if [X] is invertible. Is clear that if X is invertible, then [X] is invertible, for XX −1 = I implies [X][X −1 ] = [I]. Reciprocally suppose that [X] is invertible, then we can find a matrix Z such that XZ = I + Y where Y is a matrix with Yij is in J for all i, j. To see that I + Y is invertible note that Y r = 0 for some r integer, that is Y is nilpotent. For, if Y is nilpotent r−1 # (I + Y ) (−1)i Y i = I − Y r = I, i=0

where r = min{k ∈ N|Y k = 0}, hence X −1 = Z

r−1 # (−1)i Y i . i=0

To see that Y is nilpotent note that there are$odd elements o1 , . . . , ok in A such that any entry of Y take the form i ai oi for some suitable

56

Manuel Vladimir Vega Blanco

elements ai in A, thus when we calculate X r , we have that each entry of Y r have the form ! a′i1 ...ir oi1 · · · oir i1 ...ir

then choose r such that the product oi1 · · · oir has at least two equal factors, so it vanishes. As consequence [X] invertible if and only if X is invertible. Observe that if X is an even matrix we have that " # [X11 ] 0 [X] = , 0 [X22 ]

thus X is invertible if and only if [X11 ] and [X22 ] are invertible, and this will be true if and only if X11 and X22 are invertible. This proves the lemma. !

We are in position to define the Berezinian in the general case, that is when A1 ̸= 0.

Definition 4.0.25. Let T even in GL(Ap|q ) that have the matrix representation as in 2. The Berezinian of T ,denoted by Ber(T ) is defined by −1 Ber(X) := det(X11 − X12 X22 X21 ) det(X22 )−1 .

Remark 4.0.26. Note that Ber(X) = 1 for the identity matrix X11 = Ip , X22 = Iq , X12 = 0 and X21 = 0, the two latter matrices has odd entries.

In the way to prove the multiplicative property of the Berezinian we require the following lemma, whose easy proof we leave to the reader as an exercise.

Lemma 4.0.27. For each matrix " # X11 X12 X= , X21 X22

we have

#" " #" # −1 −1 1 0 1 X12 X22 X21 0 X11 − X12 X22 X= , −1 X22 0 X22 0 1 X21 1

when X22 is invertible, and " #" #" # −1 1 0 X11 0 1 X11 X21 X= , −1 −1 X21 X11 1 X12 0 1 0 X22 − X21 X11 when X11 is invertible.

Multiplicative property of the Berezinian

57

The proof of the multiplicative property of the Berezinian can be divided into two steps. The first one is to prove the property for certain families of matrices, this is the content of lemmas 1 y 2 and, then, show that any matrix can be decomposed in terms of matrices of those families. Let us to begin defining the following subsets of GL(Ap|q ): ! " I 0 1 p|q ∆ = {X ∈ GL(A )|X = } X21 I ! " I X12 ∆−1 = {X ∈ GL(Ap|q )|X = } 0 I ! " X11 0 0 p|q }, ∆ = {X ∈ GL(A )|X = 0 X22

each one of this is closed by the usual multiplication of matrices, as easily one can prove. Then we have: Lemma 4.0.28. For each X in ∆k and Y in ∆l , where k, l ∈ {−1, 0, 1}, we have (3)

Ber(XY ) = Ber(X)Ber(Y ).

Proof. The statement is clear for X and Y in ∆k since in the case k = −1 if we let ! " !

I 0 I X= and Y = ′ X21 I X21 we have that !

I 0 X21 I

"!

I 0 ′ X21 I ′

"

=

with k ∈ {−1, 0, 1} 0 I

"

!

" I 0 , ′ X21 + X21 I

and !

Ber(

" I 0 ) = det(I) det(I)−1 ′ I X21 + X21

= det(I) det(I) det(I)−1 det(I)−1

= [det(I) det(I)−1 ][det(I) det(I)−1 ] = Ber(X)Ber(Y ), the other cases are similar since for each X in ∆0 X∆k ⊂ ∆k . The important case is X in ∆−1 ∪ ∆1 , then we have that

58

Manuel Vladimir Vega Blanco

X= and

!

I 0 X21 I

XY = hence

"

!

and Y =

! " ′ I X12 , 0 I

′ I X12 ′ X21 X21 X12 + I

"

!! "" ′ I X12 Ber(XY ) = Ber ′ +I X21 X21 X12

′ ′ ′ (X21 X12 + I)−1 X21 ) det((X21 X12 + I))−1 , = det(I − X12

then we need to prove that ′ ′ ′ (X21 X12 + I)−1 X21 ) = det((X21 X12 + I)). det(I − X12 ′ is elementary, this means that there exists a For this suppose that X12 single nonzero entry, namely b, and the others are zero. This b is odd, ′ )2 = 0 and (X ′ X ) = 0 since each hence b2 = 0. Therefore (X21 X12 12 21 ′ )−1 = I − X X ′ , as entry is multiple of b. So is clear that (I + X21 X12 21 12 consequence ′ ′ −1 ′ ′ (I + X21 X12 ) X21 = I − X12 (I − X21 X12 )X21 I − X12 ′ ′ = I − X12 X21 − (X12 X21 )2 ′ = I − X12 X21 . ′ X We have that X12 21 is a square matrix, then ′ ′ ′ X21 ) = 1 + det(−X12 X21 ) + tr(−X12 X21 ) det(I − X12 ′ X ) = 0 for b2 = 0, hence but det(X12 21 ′ ′ X21 ) = 1 + tr(−X12 X21 ). det(I − X12 ′ ) = 1 + tr(X X ′ ), and tr(X X ′ ) = In the other hand det(I + X21 X12 21 12 21 12 ′ ′ ′ and X are odd.

Thus det(I − −tr(X12 X21 ) = tr(−X12 X21 ) for X12 21 ′ ′ X12 X21 ) = det(I + X21 X12 ), hence ′ ′ ′ (X21 X12 + I)−1 X21 ) det((X21 X12 + I))−1 = 1 det(I − X12

as we want, and this proves the lemma.!

Multiplicative property of the Berezinian

59

Theorem 4.0.29. Let T and R in GL(Ap|q ) even morphisms such that its matrix representations are X and Y respectively, then Ber(T R) = Ber(T )Ber(R).

Equivalently we can say that the Berezinian is an homomorphism.

Proof. Let X=

!

X11 X12 X21 X22

"

and Y =

!

" Y11 Y12 , Y21 Y22

that represents to T and R in GL(Ap|q ) respectively. Now, by the lemma we have that X = Ux Vx Wx and Y = Uy Vy Wy , where Ux , Uy is in ∆−1 ,Vx , Vy is in ∆0 and Wx , Wy is in ∆1 . Precisely we have ! ! " " I 0 I X12 X22 Ux = Uy = −1 0 I Y21 Y11 I ! ! " " −1 Y11 0 X11 − X12 X22 X21 0 Vx = Vy = −1 0 X22 0 Y22 − Y21 Y11 Y12 ! ! " " −1 I 0 I Y11 Y12 Wx = Wy = . −1 X22 X21 I 0 I By direct calculation we have that Ber(Ux ) = Ber(Wx ) = Ber(Uy ) = Ber(Wy ) = 1, and Ber(Vx ) = Ber(T ), Ber(Vy ) = Ber(R), hence by the lemma 4.0.28 is clear that Ber(T R) = Ber(Ux )Ber(Vx )Ber(Wx )Ber(Uy )Ber(Vy )Ber(Wy ) = Ber(Ux Vx Wx )Ber(Uy Vy Wy ) = Ber(T )Ber(R).!

Corollary 4.0.30. Let Rp|q , Ber ∈ HomA (GL(Ap|q )0 , A0 ) is well defined, that is let B = {e1 , . . . , eq , o1 , . . . , oq } and B ′ = {e′1 , . . . , e′p , o′1 , . . . , o′q } be two ordered basis of Rp|q , T in GL(Ap|q ); X the matrix representation of T for B and X ′ the matrix representation of T for B′ , we have that Ber(X) = Ber(X ′ ).

60

Manuel Vladimir Vega Blanco

Proof. Each element in B′ can be expressed in terms of the elements of B as a linear combination in such way that for each 1 ≤ i ≤ p and 1 ≤ j ≤ q we have that e′i =

!p

k=1 ai,k ek

+

!q

l=1 ci,l ol

and o′j =

!p

k=1 bj,k ek

+

!q

l=1 dj,l ol .

Define the matrices A, B, C and D by Aki := ai,k , Bkj := bj,k , Cli := ci,l and Dlj := dj,l respectively, now define the matrix Y as " # A B C D

The matrix Y is even and invertible for B is linearly independent. Hence X ′ = P XP −1 , then by theorem 4.0.29 Ber(X ′ ) = Ber(P XP −1 ) = Ber(P )Ber(X)Ber(P −1 ) = Ber(P P −1 )Ber(X) = Ber(I)Ber(X) = Ber(X).!

When X is an odd matrix its Berezinian can be defined as follows.

First suppose that p = q, and consider the following matrix " # 0 Ip Υ= −Ip 0

where Ip denote the identity of size p × p. Then ΥX is an invertible matrix. Define Ber(X) := Ber(ΥX).

It is immediate that again Ber(X) satisfies the multiplicative property.

Acknowledgement The author express its gratitude to Dr. Ernesto Lupercio Lara for his appreciable guide and valuable suggestions. Also the author wishes to thank to his wife Griselda Ortigoza Alcal´a for her patience and unconditional support.

Manuel Vladimir Vega Blanco Departamento de Matem´ aticas, CINVESTAV, A. Postal 14-740, ´ 07000, M´exico D.F., MEXICO, mvega@math.cinvestav.mx

Multiplicative property of the Berezinian

References [1] Claudio Bartocci, Ugo Bruzzo and Daniel Hernndez-Ruiprez. The geometry of supermanifolds, Kluwer Academic Publishers, (1991).

[2] Yuri I. Manin, Gauge Field Theory and Complex Geometry, Translated from the Russian by N. Koblitz and J. R. King, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, (1988).

[3] Pierre Deligne, Pavel Etingof, Daniel S. Freed, Lisa C. Jeffrey, David Kazhdan, John W. Morgan, David R. Morrison, and Edward Witten, Quantum Field Theory and Strings: A Course for Mathematicians, American Mathematical Society, (1999).

[4] Manuel Vladimir Vega Blanco, Supermanifolds as superalgebras, M. Sc. Thesis, Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV-IPN, M´exico, (2007).

61

Morfismos, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV, se termin´ o de imprimir en el mes de diciembre de 2008 en el taller de reproducci´ on del mismo departamento localizado en Av. IPN 2508, Col. San Pedro Zacatenco, M´exico, D.F. 07300. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm consta de 500 ejemplares con pasta tintoreto color verde.

Apoyo t´ecnico: Omar Hern´ andez Orozco.

Contenido Pozos potenciales poco profundos para la ecuaci´on discreta de Schro ¨dinger Joel Arturo Rodr´ıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova . . . . . . . . . . . . 1

A proof of the multiplicative property of the Berezinian Manuel Vladimir Vega Blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45