Morfismos, Vol 13, No 1, 2009

VOLUMEN 13 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2009 ISSN: 1870-6525

Morfismos Comunicaciones Estudiantiles Departamento de Matem´aticas Cinvestav

Editores Responsables Isidoro Gitler Jes´ us Gonz´alez Consejo Editorial Luis Carrera Samuel Gitler On´esimo Hern´andez-Lerma Hector Jasso Fuentes Miguel Maldonado Ra´ ul Quiroga Barranco Enrique Ram´ırez de Arellano Enrique Reyes Armando S´anchez Mart´ın Solis Leticia Z´arate Editores Asociados Ricardo Berlanga Emilio Lluis Puebla Isa´ıas L´opez Guillermo Pastor V´ıctor P´erez Abreu Carlos Prieto Carlos Renter´ıa Luis Verde Secretarias T´ecnicas Roxana Mart´ınez Laura Valencia Morfismos, revista semestral, enero a junio de 2009. ISSN: 1870 - 6525. N´ umero de Certificado de Reserva otorgado por el Instituto Nacional del Derecho de Autor: 042008100210441300102. N´ umero de Certificado de Licitud de T´ıtulo: (en tr´ amite). N´ umero de Certificado de Licitud de Contenido: (en tr´ amite). Domicilio del Editor: Avenida Instituto Polit´ecnico Nacional 2508, Colonia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, M´exico, D.F. Impresor y Distribuidor: Cinvestav, Avenida Instituto Polit´ecnico Nacional 2508, Colonia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, M´exico, D.F. Morfismos puede ser consultada electr´ onicamente en “Revista Morfismos” en la direcci´ on http://www.math.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirse al tel´efono (55) 5747-3871. Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matem´ aticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, M´exico, D.F. 07000 o por correo electr´ onico: laura@math.cinvestav.mx.

VOLUMEN 13 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2009 ISSN: 1870-6525

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La publicaci´ on de trabajos no estar´ a restringida a estudiantes del CINVESTAV; deseamos fomentar tambi´en la participaci´ on de estudiantes en M´exico y en el extranjero, as´ı como la contribuci´ on por invitaci´ on de investigadores.

Los reportes de investigaci´ on matem´ atica o res´ umenes de tesis de licenciatura, maestr´ıa o doctorado pueden ser publicados en Morfismos. Los art´ıculos que aparecer´ an ser´ an originales, ya sea en los resultados o en los m´etodos. Para juzgar ´esto, el Consejo Editorial designar´ a revisores de reconocido prestigio y con experiencia en la comunicaci´ on clara de ideas y conceptos matem´ aticos.

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Publication of papers is not restricted to students of CINVESTAV; we want to encourage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics research reports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses will be considered for publication, as well as invited contributed papers by researchers. Papers submitted should be original, either in the results or in the methods. The Editors will assign as referees well–established mathematicians.

Even though Morfismos is a refereed journal, the papers will be considered as preliminary versions which could later appear in other mathematical journals.

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Morfismos

Contenido Base points in homotopy theory and the Fundamental Theorem of Algebra Kristine Bauer, Florian Deloup, and Peter Zvengrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa Blanca Estela Bravo Silverio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Morfismos, Vol. 13, No. 1, 2009, pp. 1–15

Base points in homotopy theory and the Fundamental Theorem of Algebra ∗ Kristine Bauer

Florian Deloup

Peter Zvengrowski

Abstract The importance of the base point in homotopy theory is emphasized, and illustrated with several examples. In particular, one common application of elementary homotopy theory is to prove the Fundamental Theorem of Algebra using the fundamental group, and the rˆole of the base point in this proof is analyzed.

Other topological methods for proving this theorem are discussed, as well as its analogue for quaternions and octonions. A brief survey of some proofs that are primarily non-topological in nature is also made.

2000 Mathematics Subject Classification: 55Q05, 97U20.

Keywords and phrases: Fundamental Theorem of Algebra, homotopy theory, base points.

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Introduction

There are many topology texbooks, including a fair number of recent ones, that introduce basic homotopy theory and the fundamental group.

Almost all of these texts emphasize the importance of the base point in the definitions. This was not always the case. Indeed the classic 1934 text [22] (§42) of Seifert and Threlfall warns the reader that given a continuous map f : X → Y of path-connected spaces, the induced map f∗ of the fundamental groups is not well defined, it is only determined up to an inner automorphism of the fundamental group of Y . This difficulty is overcome by assigning each topological space a distinguished point, ∗

Invited article.

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K. Bauer, F. Deloup, and P. Zvengrowski

i.e. the aforementioned base point. One then considers the fundamental group (as well as the higher homotopy groups) as defined on the category of pointed spaces and pointed maps. In this case f∗ is well defined and the homotopy groups become functors.

In this note we explore the importance of the base point in homotopy theory by means of several illustrative examples, showing that neglect of the base point can in fact lead to absurd results and incomplete proofs. As a final example we consider the Fundamental Theorem of Algebra (henceforth FTA, see §3 for statement). Of course, the FTA has been proved by many authors using diverse techniques, indeed an entire book [9] and an entire chapter of [7] are devoted to this subject.

Perhaps the first to offer a proof was d’Alembert [4]. The first rigorous proof was arguably Lagrange’s (cf.[25], and also [7], Ch. 4, for the early history of the theorem). Gauss proved it in his doctoral dissertation and eventually gave three other proofs during the course of his life, partly because he was not completely satisfied with the rigour of his first proof.

There seem to be two main reasons for the difficulties in establishing a rigorous proof in the early period. The first was logical, in that some of the early proofs started by assuming that a root existed “somewhere or other” ([7], p.109), and then tried to demonstrate that this root was actually a complex number. The algebraic concept of a splitting field makes sense of this idea, but this concept was only formulated in the latter part of the nineteenth century. The second reason was topological, since ideas such as a continuous function necessarily assuming its maximum and minimum values on a closed bounded set were again not properly formulated and understood until the latter part of the nineteenth century.

Good summaries of the history and of the numerous proofs found today can also be found at the websites [10], [11], or in [9]. The methods of proof include complex analysis, real analysis with some complex geometry, topology, Galois theory, linear algebra, etc. Even within the discipline of topology there are various methods of proof. We shall mainly consider the rˆole of the base point in versions using the fundamental group.

The remainder of this Introduction will establish some basic definitions, terminology, and state some basic facts of homotopy theory as well as introduce a couple of lemmas that will be quite useful in the sequel. All of this material (except possibly the two lemmas) is standard in any topology text that introduces homotopy theory. The lemmas are given as exercises in e.g. [14], p.38 and [17], p.235. In Section 2, using

Base points in homotopy theory and the FTA

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a few examples, we illustrate the importance of the base point in the definition of homotopy groups, and examine the relation between free and based homotopy. This is continued in Section 3, where we give a topological proof of FTA using the fundamental group, and point out (in the light of Section 2) where a gap in this proof can occur if the base points are forgotten. We also show that it is easily repaired, and give a couple of methods to do this. In Section 4 other topological proofs are mentioned, including the homology proof of [8] that has some major advantages, e.g. it can be readily generalized to a higher dimensional version of FTA for quaternions and octonions. Other methods of proof for FTA are also discussed and compared in Section 4.

1.1

Basic definitions

By a map we shall always mean a continuous function from one topological space X to another, Y . In case X = I, the closed unit interval [0, 1] ⊂ R, a map f : I → Y is called a path in Y with initial point f (0) and terminal point f (1). If also f (0) = f (1), then the path f is called a loop based at f (0). All our spaces will be based, i.e. each space X has a base point which we write x0 (in particular X is non-empty). A map f : X → Y is called based if f (x0 ) = y0 . For two paths f, g in X satisfying f (1) = g(0), their product path f · g : I → X is defined in the usual way (f followed by g), also simply written f g, and the reverse path to a path f is denoted f . Strictly speaking the product of paths is non-associative, however it is associative up to homotopy (defined in the following paragraph) and it is customary to make a small abuse of notation and write f · g · h, or simply f gh, when this product of paths is being considered only up to homotopy.

A free homotopy between maps f, g : X → Y is a map F : I × X → Y such that F (0, x) = f (x) and F (1, x) = g(x) for any x ∈ X. A based homotopy between based maps f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ) is a free homotopy F : I × X → Y such that F (I × {x0 }) = {y0 }. The homotopy class [f ]∗ (resp. [f ]) of a map f : X → Y is defined as the set of all maps g : X → Y that are based (resp. free) homotopic to f . The set of based (resp. free) homotopy classes of based maps from X to Y is denoted [X, Y ]∗ (resp. [X, Y ]). Since based homotopic maps are trivially free homotopic there is a canonical map φ : [X, Y ]∗ → [X, Y ] where φ[f ]∗ = [f ].

In general φ is neither injective nor surjective, and this will be a key

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point in the discussion to follow.

If need arises, we shall be more specific about our choices of base points. For X = S n , the unit sphere in Rn+1 , the base point is taken to be s0 = (1, 0, ..., 0). For any (as always pointed) space Y , the set [S n , Y ]∗ has a natural group structure for n ≥ 1 which is abelian for n ≥ 2, and is denoted πn (Y, y0 ). The fundamental group of Y based at y0 is π1 (Y, y0 ), and in general is not abelian.

We close this Introduction with the two aforementioned lemmas.

Lemma 1.1.1 In a path-connected space X, let w be any path from a point x0 to a point x1 . Then a loop γ, based at x0 , is freely homotopic to the loop δ = w · γ · w, based at x1 .

Lemma 1.1.2 Two loops γ, δ with base point x0 are freely homotopic in a path-connected space X (i.e. φ[γ]∗ = φ[δ]∗ ) if and only if [γ]∗ , [δ]∗ are conjugate in π1 (X, x0 ).

Other terms and results from basic algebraic topology that are fairly standard and found in all texts on the subject will be used in the sequel, without comment or definition.

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The importance of the base point in homotopy theory

Example 2.1.3 The Antipodal Map. Our first example, due to D. Handel, involves the higher homotopy groups. It shows how neglect of the base point can quickly lead to a “paradox.” Let a : S n → S n denote the antipodal map a(x) = −x for all x ∈ S n , and real projective space RP n be the usual identification space of S n obtained by identifying each x with a(x). Let κ : S n ! RP n denote the canonical projection map: κ(x) = [x] = {x, −x}. Since κ(ax) = κ(x), one has a commutative diagram Sn !

a

!! !!κ !! !"

! Sn . "

κ """

"" #""

RP n

Base points in homotopy theory and the FTA

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It is well known that deg(a) = (−1)n+1 . Assume now that n ≥ 2 is even, so deg(a) = −1. Applying the functor πn yields the diagram a∗ =−1

Z ≈ πn (S n )

!!! !!!κ∗ !! ≈ !!!! "

! πn (S n ) ≈ Z " κ∗ """" " " "" # "" ≈ "

πn (RP n ) ≈ Z

which, since −1 $= 1 ∈ Z, is non-commutative, apparently a blatant contradiction. The explanation is that πn is not a functor on the category T op, rather it is a functor on the category T op∗ of pointed spaces, maps, and homotopies, and the antipodal map a is not a based map.

We remark that, as with many “paradoxes,” this example can also be put to constructive use. Indeed, any great semi-circle in S n from s0 to −s0 induces a loop λ when projected into RP n . We take p0 = κ(s0 ) to be the basepoint of RP n . What the above shows, with suitable interpretation, is that for n ≥ 2 even, [λ]∗ ∈ π1 (RP n , p0 ) ≈ Z2 acts on πn (RP n , p0 ) ≈ Z by the non-trivial automorphism m &→ −m, m ∈ Z. In other words, the fundamental group π1 (RP n , p0 ) acts non-trivially on πn (RP n , p0 ) for n ≥ 2 even. This also gives a nice example of a space RP n with nilpotent fundamental group Z2 , n ≥ 2, but nilpotent as a space if and only if n is odd (cf. [26] p.46).

Example 2.1.4 The Harmonic Comb. p

q

Figure 1: The Harmonic Comb In this example we shall see that φ : [X, Y ]∗ → [X, Y ] need not be injective. The harmonic comb, a space studied in many topology texts, is defined as the set $ % !"

1 ## H= 0, # n ∈ N × I ∪ (I × {0}) ⊂ R2 , n

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endowed with the topology inherited from that of the Euclidean plane.

Consider the two points p = (0, 1), q = (0, 0) as possible base points of H. It is easy to see that H with base point q is contractible (with q remaining fixed), in which case the free homotopy classes [H, H] must be a singleton. However, a slightly more delicate argument (cf. [5], p.48 for an elegant version) shows that with p as base point H is not contractible (again with p fixed during the homotopy). It follows that with p as base point [1H ]∗ != [p]∗ , i.e. the identity map of H is not based homotopic to the constant map p. Thus [H, H]∗ contains at least two elements, and φ cannot be injective.

This example also illustrates that “not all base points are created equal.” More precisely, one should restrict attention to nondegenerate base points, a property that q has but p fails to have. Spanier [23] defines a base point x0 to be nondegenerate if the inclusion map {x0 } "→ X is a cofibration. For compactly generated spaces this is equivalent to Whitehead’s condition [27] that (X, x0 ) be an NDR-pair of spaces.

Furthermore, following [27], p.98, the fundamental group π1 (X, x0 ) is defined only when x0 is a nondegenerate base point. Fortunately, the topological spaces most frequently used in algebraic topology, e.g. CWcomplexes or simplicial complexes, have the property that every choice of base point is nondegenerate, and these spaces are also compactly generated.

Example 2.1.5 The Figure Eight x0

x1

FIGURE 2.

The Figure Eight

In this example we shall see that φ : [W, X]∗ → [W, X] need not be injective when W = S 1 . Let X be the figure eight, a wedge of two circles. For convenience, we take this to be the union of two circles

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of radius one centred at (0, 1) and (0, −1), respectively, meeting at the origin x1 := (0, 0). Suppose that x0 := (0, 2) is the basepoint. Let γl be the path which traverses the left hand portion of the upper circle from x0 to x1 once, and let γr be the path traversing the right hand semicircle between x0 and x1 once. Also, let τ be the loop based at x1 which traverses the bottom circle once counterclockwise. Then γl · τ · γ l and γr · τ · γ r are loops based at x0 . We now show that these two loops can not be based homotopic. The fundamental group π1 (X, x0 ) is the free (non-abelian) group on two generators. It is not difficult to see that these two generators can be chosen to be a := [γl τ γ l ]∗ and b := [γl γ r ]∗ ; this is accomplished by using the usual generators of π1 (X, x1 ) and the isomorphism which moves the basepoint of X from x1 to x0 via the path γl . Also define c := [γr τ γ r ]∗ .

If loops γl τ γ l and γr τ γ r are based homotopic, then a−1 ba = [γl τ γ l γl γ r γl τ γ l ]∗ = [γl τ γ r γl τ γ l ]∗ = [γl τ γ r γr τ γ r ]∗ = [γl γ r ]∗ = b.

We thus conclude that a−1 ba = b, which implies that π1 (X, x0 ) is an abelian group, a glaring contradiction. However, by Lemma 1.1.2, the two loops are freely homotopic since their based homotopy classes a, c are conjugate in π1 (X, x0 ), as shown by the calculation a = [γl τ γ l ]∗ = [γl γ r γr τ γ r γr γl ]∗ = [γl γ r ]∗ [γr τ γ r ]∗ [γr γl ]∗ = bcb−1 .

This example can easily be extended to other popular topological spaces, such as the countable wedge of circles or the Hawaiian earring (see, e.g., [2] for examples and references).

Our last example, illustrating non-surjectivity of φ, is rather trivial.

Example 2.1.6 Target Space not Path Connected Let Y = {a, b} be the space with two points and the discrete topology, with base point y0 = a. Then for any path connected space X, [X, Y ]∗ has just a single element (the constant map taking X to {a}) whereas [X, Y ] has two elements, so φ is not surjective.

These examples demonstrate the importance of the base point in homotopy theory, in particular, knowing whether or not φ : π1 (X, x0 ) = [S 1 , X]∗ → [S 1 , X] is a bijection. This is easily answered, using the two lemmas in Section 1. Indeed Lemma 1.1.1 shows that φ is surjective whenever X is path connected (the converse is also obviously true).

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And Lemma 1.1.2 shows that φ is injective if and only if π1 (X, x0 ) is abelian. We formulate this as follows.

Proposition 2.1.7 Let X be path connected. Then φ : π1 (X, x0 ) = [S 1 , X]∗ → [S 1 , X] is bijective if and only if π1 (X, x0 ) is abelian.

This proposition is covered in the exercises of the two books [14], [17], as already mentioned, and also fully covered in St¨ocker-Zieschang [24].

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Usual topological proof of FTA

The FTA states that every polynomial p(z) of degree n ≥ 1, with real or complex coefficients, has exactly n zeros (roots), when the zeros are counted with multiplicities, in the complex numbers C. The proof of the general statement follows, by an obvious induction and the remainder theorem, from the statement that every polynomial of degree n ≥ 1 has at least one zero in C. This latter statement is also called the FTA, and it is the proof of this with which we are concerned. Since we are using the complex numbers, it will be convenient to write C∗ = C \ {0}, and also to take S 1 ⊂ C∗ as the unit complex numbers, with basepoint s0 = 1. Of course S 1 sits in C∗ as a strong deformation retract, the map z $→ z/|z| providing the retraction of C∗ onto S 1 . As usual, we write S 1 = {e2πis | 0 ≤ s ≤ 1}.

Let us now outline a common topological proof. We shall use the fundamental group π1 (S 1 , s0 ) ≈ Z of the circle, an infinite cyclic group with generator given by the homotopy class of the identity map, i.e. the loop which goes once around the circle counterclockwise. We shall also be “careless” and not worry, at least for the time being, about base points. The proof proceeds by supposing that the polynomial p(z) has no zeros in C, then by using p(z) to produce two elements of π1 (S 1 , s0 ), which should be equal but are not, thus giving a contradiction.

Indeed, suppose without loss of generality that p(z) is monic, so p(z) = z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an ,

ai ∈ C.

Choose any R > 0, and fix any r with 0 ≤ r ≤ R . Note that restricting p to the circle |z| = r produces a loop λr , where λr (s) := p(re2πis ), 0 ≤ s ≤ 1, in C. Furthermore, the assumption that p has no zeros implies that this loop λr lies in C∗ . Letting r vary from 0 to R produces a homotopy

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in C∗ which shows λR is contractible in C∗ to the constant loop λ0 .

Since p has no zeros we are free to define gr (s) := p(re2πis )/|p(re2πis )|, 0 ≤ r ≤ R. This is now a loop in S 1 , so its homotopy class represents an element of π1 (S 1 ). The new loop gR is again contractible; just as for λR one produces a homotopy to the constant map g0 by letting r vary from 0 to R. Thus [gR ] = 0 ∈ π1 (S 1 ).

If we now choose R sufficiently large, so that R > max{|a1 | + · · · + |an |, 1}, then the polynomials pt (z) = z n + t(a1 z n−1 + · · · + an ),

0 ≤ t ≤ 1,

are guaranteed not to have any zeros on the circle |z| = R, by elementary estimations of |pt (z)/z n | (which clearly approaches 1 as |z| → ∞). As t varies from 0 to 1, the polynomials pt thus provide a homotopy ft in C∗ between gR (s) and the well known n’th power function wn (z) = z n .

When n > 0, the latter is known to represent the non-trivial element n ∈ π1 (C∗ ) ≈ π1 (S 1 ) ≈ Z, contradicting the final assertion of the previous paragraph.

The problem is that the above “argument” uses the fundamental group but takes place in the free homotopy classes [S 1 , S 1 ] (or its equivalent [S 1 , C∗ ]), and as we have seen in Section 2, these are not in general the same. Indeed, while wn (1) = 1n = 1 implies wn is a loop based at s0 = 1, the loop gr is based at gr (1) =

1 + a1 + ... + an , |1 + a1 + ... + an |

which in general is not equal to 1. A similar objection applies to the homotopy ft . Thus the proof as presented above has a gap in it, and this does occur in a few texts on the subject.

However, the gap is easily fixed. We present three distinct methods to do so. The first “repair method” is to simply redefine all the above maps so as to be based. Indeed, given any map whatsoever α : X → C∗ , ! given for any space X with base point x0 , changing α to the new map α by α !(x) = α(x)/α(x0 ) does the trick. For example, in the above proof, we use p(re2πis )/p(r) , g!r (s) = |p(re2πis )/p(r)|

and similarly for f!t .

The second “repair method” is equally simple, just apply Proposition 2.1.7 to either of the spaces S 1 or C∗ . Since the fundamental group

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of either space, Z, is abelian, the proposition will apply. One then sees that φ is a bijection in this case. Thus, the proof can legitimately be carried out using free homotopies, as long as the bijectivity of φ in this situation is first established.

The third “repair method” is to use the idea of a nullhomotopic map (which does not involve any base points), first proving a lemma that asserts that for any map f : S 1 → X, where the base point of X is taken to be x0 = f (1), the induced homomorphism f∗ : π1 (S 1 , 1) → π1 (X, x0 ) is trivial if and only if f is nullhomotopic. The remainder of the proof proceeds along lines similar to those outlined above.

Without making any attempt to list all the texts giving topological proofs of FTA similar to this one, we mention McCarty [18] as an early text and Deo [5], Hatcher [14] as recent texts giving a complete proof, using the first repair method (see also [9], Proof 11). The second repair method is implicit in the exercises given in [14], [17], and is given a full, careful treatment in St¨ocker-Zieschang [24]. The third repair method is found in the popular text of Munkres [20], among others.

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Other topological proofs of FTA and its extension to quaternions and octonions

Variations of the topological proofs of FTA given in Section 3 can be found in various texts. Without attempting to list all of them, we mention Bredon [1], where the homotopies are treated in an elegant way, and Lawson [17] where the idea of the degree of an arbitrary map S 1 → S 1 is defined (independent of any choice of base point) and used to complete the proof. Similarly, the notion of winding number is used in the elementary text of Chinn-Steenrod [3].

These methods are actually very close to the proof using homology, as given by Eilenberg-Steenrod [8], which will be discussed in the next paragraph. It is also possible to give proofs of FTA using differential topology (usually involving the notion of degree), again with no attempt at completeness we mention three essentially different proofs to be found in Guillemin-Pollack [13], Hirsch [15], and Milnor [19].

The proof given in Section 3, using the fundamental group π1 (X, x0 ), can easily be mimicked using the first homology group H1 (X). There is, however, the advantage that homology does not depend on base points, thereby removing any need to keep track of base points and simplifying the proof. This is the approach taken in [8], Ch. 11, also see [9], Proof

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6, and has the further advantage that it easily generalizes to a version of FTA for the quaternions and octonions which we shall explain below.

The only disadvantage of this approach may be pedagogical, since it first requires the development of homology theory, which is substantially more involved than elementary homotopy theory.

To state the Eilenberg-Steenrod generalization, one must first carefully define what a polynomial over the quaternions H or octonions O is, since H is non-commutative and O is both non-commutative and non-associative. This involves first defining a general monomial, then a polynomial is simply a sum of monomials. Rather than giving the precise inductive definition as in [8], we will simply illustrate this by giving the example q1 zq2 zq3 , qi ∈ H, as the most general quaternionic monomial of degree 2 in the variable z. For octonions one also must allow all possible insertions of parentheses that give a well formed product, creating even more monomials. Clearly the degree of a monomial is well defined, any polynomial is a sum of distinct monomials, and the degree of a polynomial is then simply the maximum degree of any of these monomials. We will call a polynomial having the usual form p(z) = an z n + ... + a1 z + a0 a standard polynomial (since any twodimensional subalgebra of O is associative, this is well defined even for O).

Theorem 4.1.8 (Eilenberg-Steenrod). Let p(z) be any complex, quaternionic, or octonionic polynomial of degree n > 0 and assume further that it has only a single monomial term of degree n. Then it has a zero in respectively C, H, or O. Corollary 4.1.9 Any standard polynomial p(z) over C, H, or O of degree n > 0 has a zero in respectively C, H, or O. We remark that Eilenberg and Steenrod actually state the theorem in even greater generality, namely for normed division algebras over the reals of dimension at least two. But at the time their book was written it was not yet known that the only normed division algebras over the reals are R, C, H and O. The necessity of the condition of just one monomial term of highest degree is not addressed by them, however the degree 1 quaternionic polynomial p(z) = iz − zi + 1 can easily be seen to have no zeros in H, thereby showing the necessity of this hypothesis. Thus FTA, in its most general form, is false for H, O. Returning to the usual FTA for C, note that all the topological proofs thus far discussed use concepts from algebraic topology. The

12

K. Bauer, F. Deloup, and P. Zvengrowski

proof given in the following paragraph uses only a little general topology and the basic fact from complex analysis that a non-constant holomorphic function is an open map, cf. [16], Chapter 2. This proof, which is roughly outlined in Fulton’s text [12], p.49, will be given in full here, due to its brevity and intrinsic interest.

Letting p(z) = z n +an−1 z n−1 +...+a1 z +a0 , n > 0, we have already noted in §3 that p(z) = 1, lim |z|→∞ z n which implies in particular that p(z) != 0, |z| ≥ R, for some suitably large R > 0. It follows that on the Riemann sphere S 2 ∼ = C $ {∞}, the one-point compactification of C, p extends to a continuous function that we shall call P , with P (∞) = ∞. Since S 2 is compact, P (S 2 ) is closed in S 2 . We have already mentioned that P is an open mapping on C. Assuming for the moment that it is also open at ∞, then its image is a non-empty open and closed subset of S 2 , hence all of S 2 by connectedness. To see that P is also open at ∞, consider the involution τ (z) = z −1 of the Riemann sphere. We shall use the obvious fact that τ is a homeomorphism, in fact it is even a biholomorphic equivalence.

Since P (z) != 0 on some open neighbourhood |z| > R of ∞, it follows that zn 1 = τ P τ (z) = P (z −1 ) 1 + an−1 z + ... + a0 z n is a well defined non-constant holomorphic function on the disc |z| < 1/R with P τ (0) = 0. Thus τ P τ takes some open neighbourhood U of 0 onto an open neighbourhood V of 0, whence P takes the open neighbourhood τ (U ) of ∞ onto the open neighbourhood τ (V ) of ∞, concluding the proof that P is surjective. In particular, 0 ∈ Im(P ).

We finish with a brief discussion of the many “non-topological” proofs of FTA, where by non-topological we mean proofs where the primary method used is outside topology, e.g. complex geometry, field theory, linear algebra, or complex analysis. All proofs must use some topological ideas in one form or another. In particular the non-topological proofs all use compactness (e.g. the max-min theorem for continuous real valued functions on a compact domain), or the intermediate value theorem (usually in the form that a real polynomial of odd degree must have a real zero), at some stage. Of course many such proofs of FTA have been given, indeed an article [21] reviewing nearly 100 proofs of the theorem was written in 1907 by Netto and Le Vavasseur, when the

Base points in homotopy theory and the FTA

13

concepts of algebraic and differential topology (which as we have seen led to many more proofs) were still in their infancy. Finally, it is worth mentioning that the proofs we have been talking about have all been existential. In the light of modern day computer science, as well as logic, it is important to note that constructive proofs of FTA have also been given, starting with attempts by Weierstrass in 1859 and 1891, a solution by H. Kneser in 1940, as well as Hirsch and Smale in 1979 and M. Kneser in 1981. These proofs, of course, give some algorithm for finding successive zn that converge to a zero. For further discussion of this small but important class of proofs cf. [7], p. 114–115.

Kristine Bauer Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, AB T2N 1N4, Canada, kristine@math.ucalgary.ca

Florian Deloup Institut de Math´ematiques, Universit´e de Toulouse III, 31062 Toulouse cedex 9, France, florian.deloup@math.univ-toulouse.fr

Peter Zvengrowski, Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary, Calgary, AB T2N 1N4, Canada, zvengrow@ucalgary.ca

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[4] D’Alembert J., Recherches sur le Calcul Int´egral, Histoire de l’Acad´emie Royale des Sciences et Belles Lettres, Berlin (1748), 182–224.

[5] Deo S., Algebraic Topology – A Primer, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2nd printing 2006.

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[10] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/â&#x2C6;źhistory/HistTopics/ Fund theorem of algebra.html

[11] http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/FunTheoremAlgebraBib/ Links/FunTheoremAlgebraBib lnk 2.html

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[16] Lang S., Complex Analysis, Fourth Edition, Springer-Verlag, New York, 2003.

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Base points in homotopy theory and the FTA

15

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[25] Suzuki J., Lagrange’s proof of the Fundamental Theorem of Algebra, Amer. Math. Monthly 113 (2006), 705–714.

[26] Varadarajan K., The Finiteness Obstruction of C.T.C. Wall (Can. Math. Soc. Series of Monographs and Advanced Texts), J. Wiley and Sons, N.Y., 1989.

[27] Whitehead G., Elements of Homotopy Theory (GTM 61), SpringerVerlag, New York, 1978.

Morfismos, Vol. 13, No. 1, 2009, pp. 17–44

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

*

Blanca Estela Bravo Silverio

Resumen La idea b´asica de la K-teor´ıa para ´algebras C ∗ es asociar a cada a´lgebra C ∗ A dos grupos abelianos, K0 (A) y K1 (A), los cuales reflejan propiedades importantes de A. La K-teor´ıa C ∗ algebraica tiene un comportamiento funtorial covariante y es invariante bajo homotop´ıas.

En este trabajo se calcula la K-teor´ıa del ´algebra de Toeplitz T , utilizando la sucesi´on exacta larga de 6 t´erminos inducida por K0 y K1 . Tambi´en se calcula el grupo K0 de K-teor´ıa del ´algebra de Cuntz On .

2000 Mathematics Subject Clasification: 16E20, 47L30 , 47L80.

Keywords and phrases: K-teor´ıa, ´ algebra de Cuntz, ´ algebra de Toeplitz.

1.

Introducci´ on

Sea A un ´algebra C ∗ , denotamos por K0 (A) al grupo de Groethendieck del semigrupo abeliano de clases ! de equivalencia estable en el conjunto de proyecciones en M∞ (A) = Mn (A). Sea T := {z ∈ C||z| = 1} y S(A) = {f : T −→ A : f continua, f (1) = 0}, los grupos de K-teor´ıa superior est´an definidos de la siguiente manera Kn (A) := K0 (S n A), donde S n A = S(S n−1 A).

Algunas referencias sobre K-teor´ıa de ´algebras C ∗ son el libro de Rørdam [9] y el libro de Blackadar [2], este u ´ltimo es el que usamos para el Teorema de periodicidad de Bott, el cu´al plantea que Kn (A) ∼ = Kn+2 (A) para toda ´algebra C ∗ A. *

Este trabajo es parte de la tesis de maestr´ıa de la autora realizada en el Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV.

17

18

Blanca Estela Bravo Silverio

Dos de los ejemplos m´as importantes de ´algebras de operadores son el ´algebra de Cuntz y el ´algebra de Toeplitz. En este trabajo se calculan los grupos de K-teor´ıa para estas ´algebras.

Sea H un espacio de Hilbert, denotemos por B(H) al espacio de operadores lineales y acotados de H. Supongamos que H es separable con base {en }∞ algebra n=1 y sea S ∈ B(H) definido por S(en ) = en+1 . El ´ de Toeplitz T es el ´algebra C ∗ generada por S. Para calcular los grupos de K-teor´ıa de T , se demuestra que el ideal de operadores compactos K est´a contenido en T y que la imagen de S en el ´algebra de Calkin Q(H) := T /K, denotada por π(S), es un elemento normal en Q(H).

Siendo π(S) un generador normal para Q(H) tenemos que Q(H) ∼ = C(σ(π(S))), donde σ(π(s)) es el espectro de π(S).

Lo anterior da origen a la sucesi´on exacta corta 0

! K! "

!T

! C(σ(π(S)))

!0,

la cu´al induce una sucesi´on exacta larga que nos permite conocer los grupos de K-teor´ıa del ´algebra de Toeplitz T si se conocen previamente los grupos de K-teor´ıa de K y C(σ(π(S))).

En [6] Joachim Cuntz describe el ´algebra C ∗ universal generada por ! un! conjunto de isometr´ıas {Si }ni=1 con la propiedad Si Si∗ = I si n ∈ N o i≤r Si Si∗ ≤ I con r ∈ N si n = ∞. Esta ´algebra se llama ´algebra de Cuntz y se denota por On . En [5] se estudia la relaci´on de equivalencia de Murray-von Neumann en las ´algebras de Cuntz. Y se demuestra que el orden de [I]0 , que es la clase de la identidad del ´algebra de Cuntz On en el grupo K0 (On ), es n − 1. Posteriormente, en [4] se demuestra que el grupo de elementos unitarios de On es conexo y utilizando el Teorema de Periodicidad de Bott se demuestra que K1 (On ) = {0}.

En los art´ıculos de Cuntz, los grupos de K-teor´ıa se describen en base a las propiedades de las ´algebras simples. En el presente trabajo primero se da una descripci´on de los grupos de K-teor´ıa para cualquier ´algebra C ∗ y posteriormente se trabaja con las propiedades b´asicas de las ´algebras de Cuntz para el c´alculo del grupo K0 (On ). La idea b´asica de la demostraci´on de que K0 (On ) es isomorfo a Zn−1 es acotar el orden de K0 (On ) por n − 1 y despu´es demostrar que todo elemento de K0 (On ) es de la forma k[1]0 , donde [1]0 es la clase de la identidad en el grupo K0 (On ) y k es un entero, adem´as el orden de [1]0 es exactamente n − 1.

En este trabajo se utilizan herramientas y propiedades b´asicas del ´algebra de Toeplitz y del ´algebra de Cuntz para calcular sus grupos de K-teor´ıa.

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

2.

19

Preliminares

Es posible asociar a cada semigrupo abeliano un grupo abeliano tal como se obtienen los enteros de los n´ umeros naturales. En [1], secci´on 8.1, puede encontrar una descripci´on detallada de la construcci´on de este grupo, llamado el grupo de Grothendieck.

Sea (S, +) un semigrupo abeliano. Definimos la relaci´on de equivalencia ∼ en S × S por (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) si existe z ∈ S tal que x1 + y2 + z = y1 + x2 + z.

Denotamos por G(S) al cociente S × S/ ∼ y por [x, y] a la clase de equivalencia de (x, y). La operaci´on [x1 , y1 ] + [x2 , y2 ] = [x1 + x2 , y1 + y2 ] est´a bien definida e implica que (G(S), +) es un grupo abeliano. Observe que −[x, y] = [y, x] y que [x, x] = 0 para todo x, y ∈ S. El grupo G(S) se llama el grupo de Grothendieck de S. Sea y ∈ S fijo, definamos la funci´on γS : S → G(S), x &→ [x + y, y].

Esta funci´on es aditiva e independiente de la elecci´on de y. La funci´on on de Grothendieck. γS se llama la funci´ El semigrupo (S, +) se dice que tiene la propiedad de cancelaci´ on si, dados x, y, z ∈ S con x + z = y + z, se sigue que x = y.

Proposici´ on 2.1.1 El grupo de Grothendieck tiene las siguientes propiedades. (i) Propiedad universal. Si H es un grupo abeliano y si ϕ : S → H es una funci´ on aditiva, entonces existe un u ´nico homomorfismo de grupos ψ : G(S) → H que hace al diagrama S γS

"

! #H ! ! !! !!ψ ! !

G(S) conmutativo.

ϕ

20

Blanca Estela Bravo Silverio

(ii) Funtorialidad. Para cada funci´ on aditiva ϕ : S → T entre semigrupos S y T existe un homomorfismo de grupos G(ϕ) : G(S) → G(T ) que hace al diagrama S

ϕ

!T

γS

γT

"

G(S) conmutativo.

"

G(ϕ)

! G(T )

(iii) G(S) = {γS (x) − γS (y) : x, y ∈ S}. (iv) Sean x, y ∈ S. Entonces γS (x) = γS (y) si y s´ olo si x + z = y + z para alg´ un z ∈ S. (v) La funci´ on de Grothendieck γS : S → G(S) es inyectiva si y s´ olo si S tiene la propiedad de cancelaci´ on. (vi) Sea (H, +) un grupo abeliano, y sea S un subconjunto no vac´ıo de H. Si S es cerrado bajo la suma, entonces (S, +) es un semigrupo abeliano con la propiedad de cancelaci´ on. El grupo G(S) es isomorfo al subgrupo H0 generado por S y H0 = {x−y : x, y ∈ S}.

2.2.

K-teor´ıa en ´ algebras C ∗

Los resultados de esta secci´on se encuentran en [2] y en [9].

Sea A un ´algebra C ∗ , una proyecci´on E ∈ A es un elemento autoadjunto, E = E ∗ , e idempotente, E = E 2 . Se denota por P(A) al conjunto de proyecciones de A. Sean E, F ∈ P(A), se dice que E es Murray-von Neumann equivalente a F , se escribe E ∼ F , si existe V ∈ A tal que E = V ∗ V y F = V V ∗ . No es dif´ıcil demostrar que la equivalencia de Murray-von Neumann es una relaci´on de equivalencia.

Para cada n ∈ N, sea Mn (A) el ´algebra de matrices n×n con entradas en A. El ´algebra Mn (A) es un ´algebra C ∗ con la norma &(Aij )& := sup&ϕ" (Aij )&, donde ϕ" : Mn (A) (Aij ) !

! B(H n ) ! (ϕ(Aij ))

y (ϕ, H), ϕ : A −→ B(H), es la representaci´on universal1 de A. 1

V´ease [10], p´ agina 94.

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

21

Sea Pn (A) := P(Mn (A)). Para P∞ (A) :=

∞ !

n=1

Pn (A),

se define la relaci´on de equivalencia ∼0 de la siguiente manera. Sean E ∈ Pn (A) y F ∈ Pm (A), E ∼0 F si existe V ∈ Mn,m (A) tal que E = V ∗ V y F = V V ∗ . Aqu´ı Mn,m (A) es la ∗-´algebra de matrices n×m con entradas en A. Claramente la relaci´on ∼0 restringida a Pn (A) coincide con la equivalencia de Murray-von Neumann.

Definamos una operaci´on binaria en P∞ (A) de la siguiente manera, ⊕ : P∞ (A) × P∞ (A)

! P∞ (A) ,

(E, F ) !

donde E⊕F =

"

E 0 0 F

!E⊕F

#

.

De la definici´on de ⊕ se deduce f´acilmente la siguiente proposici´on.

Proposici´ on 2.2.1 Sean A un ´ algebra C ∗ y E, F, G, E # , F # ∈ P∞ (A), entonces i) E ∼0 E ⊕ 0n donde 0n es la identidad aditiva de Mn (A). ii) Si E ∼0 E # y F ∼0 F # entonces E ⊕ F ∼0 E # ⊕ F # . iii) E ⊕ F ∼0 F ⊕ E. iv) Si E, F ∈ Pn (A) son tales que EF = 0, entonces E + F ∈ Pn (A) y E + F ∼0 E ⊕ F . v) (E ⊕ F ) ⊕ G = E ⊕ (F ⊕ G).

Para cualquier ´algebra C ∗ A se tiene que P∞ (A)/ ∼0 es un semigrupo abeliano.

Sea (1)

D(A) = P∞ (A)/ ∼0 .

Denotemos por [E]D ∈ D(A) a la clase de equivalencia que contiene a E ∈ P∞ (A). Definimos la operaci´on suma sobre D(A) como sigue, [E]D + [F ]D = [E ⊕ F ]D .

22

Blanca Estela Bravo Silverio

Por la Proposici´on 2.2.1, la operaci´on “+” est´a bien definida y (D(A), +) es un semigrupo abeliano.

El grupo K0 (A) se define como el grupo de Grothendieck de D(A), K0 (A) := G(D(A)).

Sea [·]0 : P∞ (A) → K0 (A) la funci´on definida por (2)

[E]0 = γ([E]D ) ∈ K0 (A), E ∈ P∞ (A),

donde γ := γD(A) : D(A) → K0 (A) es la funci´on de Grothendieck.

Sea A un ´algebra C ∗ con identidad. Entonces (3)

K0 (A) = {[E]0 − [F ]0 : E, F ∈ P∞ (A)}

= {[E]0 − [F ]0 : E, F ∈ Pn (A), n ∈ N} .

Sea X un espacio topol´ogico, decimos que dos puntos a, b ∈ X son homot´ opicos en X, a ∼h b en X, si existe una funci´on continua υ : [0, 1] → X tal que υ(0) = a y υ(1) = b. La relaci´on ∼h se llama equivalencia homot´opica.

Proposici´ on 2.2.2 El grupo K0 (A) tiene las siguientes propiedades. (i) [E ⊕ F ]0 = [E]0 + [F ]0 para todas las proyecciones E, F en P∞ . (ii) [0A ]0 = 0, donde 0A es la proyecci´ on cero en A. (iii) Si E, F est´ an en Pn (A) para alg´ un n y E ∼h F en Pn (A), entonces [E]0 = [F ]0 . (iv) Si E, F son proyecciones mutuamente ortogonales en Pn (A), entonces [E + F ]0 = [E]0 + [F ]0 .

Sean A y B ´algebras C ∗ con identidad, y sea ϕ : A −→ B un ∗-homomorfismo. El homomorfismo ϕ se puede extender a un ∗-homomorfismo ϕ : Mn (A) −→ Mn (B), para cada n, de la siguiente manera: (4)

ϕ(Aij )ni,j=1 = (ϕ(Aij ))ni,j=1 .

Puesto que la imagen de una proyecci´on bajo un ∗-homomorfismo es una proyecci´on, ϕ(P∞ (A)) ⊂ P∞ (B). Luego, se define k0 (ϕ) : K0 (A) −→ K0 (B) como k0 (ϕ)[E]0 = [ϕ(E)]0 para E ∈ P∞ (A). De la Ecuaci´on (3), k0 (ϕ) est´a bien definido para todo g ∈ K0 (A).

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

23

El funtor K0 es un funtor covariante de la categor´ıa de ´algebras donde los morfismos son los ∗-homomorfismos, a la categor´ıa de grupos abelianos con los homomorfismos de grupos. En categor´ıas, es com´ un denotar por ϕ∗ al morfismo inducido por un funtor covariante.

La raz´on de que nosotros denotemos por k0 (ϕ) al morfismo inducido por K0 es que en ´algebras C ∗ existe una involuci´on denotada por ∗. Algunos autores denotan a k0 (ϕ) por K0 (ϕ). Hemos decidido usar la letra k para hacer notar la diferencia entre el objeto y el morfismo.

C ∗,

Sea A un ´algebra C ∗ y X un espacio topol´ogico Hausdorff, localmente compacto. Sea C0 (X, A) el conjunto (5) {f ∈ C(X, A) |

∀ ε > 0, ∃K ⊂ X compacto con &f (x)& ≤ ε ∀ x ∈ X\K}.

El n-´esimo grupo de K-teor´ıa de un ´algebra C ∗ A se define como Kn (A) := K0 (S n A), donde SA es la suspenci´on de A: SA := {f ∈ C(T, A)|f (1) = 0} ∼ = C0 ((0, 1), A) y S n A := S(S n−1 A).

Existe otra forma de calcular el grupo K1 (A) de un ´algebra C ∗ A. Sea A un ´algebra C ∗ con identidad 1. Denotamos al grupo de elementos unitarios de A por U(A). Sea U0 (A) el conjunto de todos los u ∈ U(A) tal que u ∼h 1 en U(A). Es f´acil demostrar que i) Para cada elemento autoadjunto h ∈ A, exp(ih) ∈ U0 (A). ii) Si u es un elemento unitario en A con σ(u) )= T, entonces u ∈ U0 (A).

Si u, v ∈ U0 (A), entonces existen trayectorias t *→ ut , s *→ vs que unen u y v con la identidad respectivamente. La trayectoria producto t *→ ut vt une uv con la identidad. Adem´as, la trayectoria t *→ u−1 es t continua y une u−1 con la identidad. As´ı U0 (A) es un subgrupo de U(A).

Si A y B son dos ´algebras C ∗ con identidad y ϕ : A → B es un ∗-homomorfismo sobreyectivo. Entonces iii) ϕ(U0 (A)) = U0 (B).

24

Blanca Estela Bravo Silverio

Sea A un ´algebra C ∗ con identidad. Para cada n ∈ N, denotemos por Un (A) al conjunto de elementos unitarios del ´algebra Mn (A), esto es (6) !∞

Un (A) = U(Mn (A)).

Sea U∞ (A) = n=1 Un (A).

Definamos la operaci´on ⊕ en U∞ (A) de la siguiente manera " # u 0 u⊕v = ∈ Un+m (A), 0 v

con u ∈ Un (A) y v ∈ Um (A). Claramente ⊕ es asociativa, es decir (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) para cualesquiera u, v, w ∈ U∞ (A).

Denotaremos por 1r a la identidad en Mr (A) y u ⊕ 10 = u para cualquier u ∈ U∞ (A).

Ahora definamos la relaci´on ∼1 como sigue. Para u ∈ Un (A) y v ∈ umero natural k ≥ m´ax{n, m} Um (A), se escribe u ∼1 v si existe un n´ tal que u ⊕ 1k−n ∼h v ⊕ 1k−m en Uk (A).

Es claro que ∼1 es una relaci´on de equivalencia en U∞ (A). Adem´as i) u ∼1 u ⊕ 1n para todo u ∈ U∞ (A) y n ∈ N,

ii) si u, v ∈ Un (A) para alg´ un n, entonces uv ∼1 vu ∼1 u ⊕ v, iii) u ⊕ v ∼1 v ⊕ u para cualesquiera u, v ∈ U∞ (A), iv) si u, u$ , v, v $ ∈ U∞ (A) con u ∼1 u$ y v ∼1 v $ , entonces u⊕v ∼1 u$ ⊕v $ .

Para cada ´algebra C ∗ A se define

(7)

K1 (A) = U∞ (A)/ ∼1 ,

Si A˜ denota la unitalizaci´on2 del ´algebra A es f´acil demostrar que ˜ = K1 (A). Si A es un ´algebra C ∗ sin identidad, el grupo K1 (A) K1 (A) ˜ se define como K1 (A).

Denotemos por [u]1 a la clase de equivalencia de u ∈ U∞ (A). Definimos la operaci´on + en K1 (A) por [u]1 + [v]1 = [u ⊕ v]1 ,

donde u, v ∈ U∞ (A).

La operaci´on + est´a bien definida, es asociativa, conmutativa y tiene como elemento neutro a [1]1 . El grupo (K1 (A), +) es un grupo abeliano ˜ donde −[u]1 = [u∗ ]1 para cada u ∈ U∞ (A).

2

V´ease [11], secci´ on 15.1

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

25

Lema 2.2.3 Sean A un ´ algebra C ∗ , G un grupo abeliano y ν una fun˜ ci´ on de U∞ (A) en G con las siguientes propiedades 1. ν(u ⊕ v) = ν(u) + ν(v), 2. ν(1) = 0, ˜ con u ∼h v en Un (A) entonces ν(u) = ν(v).

3. si u, v ∈ Un (A) Entonces existe un u ´nico homomorfismo de grupos α : K1 (A) −→ G que hace al siguiente diagrama conmutativo. ˜ U∞ (A)

!! !! ν !! !! !" ! #G K1 (A) [·]1

α

Sean A y B dos ´algebras C ∗ con identidad, y sea ϕ : A −→ B un ∗-homomorfismo unitario (ϕ(1A ) = 1B ). Entonces ϕ induce un ∗homomorfismo unitario ϕ : Mn (A) −→ Mn (B) para cada n ∈ N. Con esto, obtenemos una funci´on ϕ : U∞ (A) −→ U∞ (B) y definimos ν : U∞ (A) −→ K1 (B) por ν(u) = [ϕ(u)]1 para cada u ∈ U∞ (A). Es inmediato ver que existe un homomorfismo de grupos k1 (ϕ) : K1 (A) −→ K1 (B) tal que (8)

k1 (ϕ)([u]1 ) = [ϕ(u)]1 ,

u ∈ U∞ (A).

Podemos resumir las propiedades de la K-teor´ıa para ´algebras C ∗ como sigue 1. Continuidad: para cada sucesi´on inductiva de ´algebras C ∗ A1

ϕ1

# A2

ϕ2

# ···

con l´ımite inductivo (A, {µn }), existe un isomorfismo entre K0 (A) y G, donde G es el l´ımite inductivo de K0 (A1 )

k0 (ϕ1 )

# K0 (A2 ) k0 (ϕ2 )# · · · .

2. Funtorialidad Covariante: un ∗-homomorfismo ϕ : A −→ B induce un homomorfismo de grupos kn (ϕ) : Kn (A) −→ Kn (B).

26

Blanca Estela Bravo Silverio

3. Invariancia homot´opica: Si ϕ es una equivalencia homot´opica, entonces cada kn (ϕ) es un isomorfismo.

4. Periodicidad de Bott: para cada n, se tiene un isomorfismo natural Kn+2 (X) ∼ = Kn (X).

5. Excisi´on: cualquier sucesi´on exacta corta (9)

0

!I

ϕ

!A

ψ

da origen a la sucesi´on exacta c´ıclica.

(10)

K0 (I) #

!0

!B

! K0 (A)

! K0 (B) .

K1 (A) $

K1 (I)

δ1

K 1 (B) $

"

La funci´on δ1 : K1 (B) −→ K0 (I) se llama la funci´on de ´ındice.

Esta funci´on se construye de la siguiente manera. Sea 0

!A

ι

! ˜$ A

π λ

!

C

!0,

donde ι es la funci´on inclusi´on, π(a, α) = α y λ(α) = (0, α). Sea ˜ Para cada x ∈ A se tiene que s(x) = 0. Si φ : s = λ ◦ π : A˜ −→ A. ˜ C −→ D es un ∗-homomorfismo entre ´algebras C ∗ y φ˜ : C˜ −→ D ˜ su extensi´on unitaria, entonces φ(x, λ) = (φ(x), λ) y ˜ ˜ s(φ(a)) = s(a), ∀a ∈ C. Si tenemos la sucesi´on exacta (9) entonces ˜ ψ˜ ◦ ϕ(x) ˜ = s(x) = s(ϕ(x)), ˜ ∀x ∈ I.

˜ ˜ Luego a ∈ A˜ est´a en la imagen de ϕ˜ si y s´olo si ψ(a) = s(ψ(a)).

Lema 2.2.4 Consideremos la sucesi´ on exacta corta (9) y sea u ∈ ˜ ˜ ˜ tales que Un (B), entonces existen v ∈ U2n (A) y p ∈ P2n (I) ! ! " ! " " 1n 0 u 0 1n 0 ∗ ˜ ψ(v) = , ϕ(p) ˜ =v v , s(p) = .

0 u∗ 0 0 0 0 ˜ los elementos v y p son u ´nicos en el sentido que, si w ∈ U2n (A), ˜ q ∈ P2n (I) satisfacen las mismas condiciones que v y p entonces ˜ s(q) = s(p) y p ∼ q en P2n (I).

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

27

˜ −→ K0 (I) definida por ν(u) = [p]0 − [s(p)]0 , La funci´on ν : U∞ (B) donde p es como en el Lema 2.2.4, est´a bien definida y satisface las condiciones del Lema 2.2.3. As´ı existe un homomorfismo de grupos δ1 : K1 (B) −→ K0 (I) que hace al siguiente diagrama conmutativo ˜ U∞ (B)

!! !! ν !! !! !" ! # K1 (B) K0 (I) [·]1

δ1

La K-teor´ıa C ∗ algebraica tiene la propiedad adicional Estabilidad: para cualquier n se tiene un isomorfismo natural Km (Mn (A)) ∼ = Km (A).

Esta u ´ltima propiedad, junto con la continuidad de K0 , nos permite conocer los grupos de K-teor´ıa del ´algebra de operadores compactos K sobre un espacio de Hilbert ya que K es el l´ımite inductivo de la sucesi´on de matrices con entradas complejas Mn (C). De esta manera K0 (K) ∼ = K0 (C), K1 (K) ∼ = K1 (C).

(11) (12)

Es sencillo demostrar que K0 (C) ∼ = Z y que K1 (C) ∼ = 0. n n Sea C0 (R , A) = {f ∈ C(R , A)| l´ım|x|→∞ %f (x)% = 0}. Como R es homeomorfo a (0, 1) podemos escribir la suspensi´on de un ´algebra C ∗ A como SA = C0 ((0, 1), A) ∼ = C0 (R, A).

Cuando A = C escribiremos C0 (X) para C0 (X, C).

Si X y Y son espacios topol´ogicos Hausdorff, localmente compactos, claramente C0 (X, C0 (Y )) ∼ = C0 (X × Y ). En consecuencia, S n (C) = n−1 n C0 (R, S (C)) = C0 (R ).

Como Kn (C) := K0 (S n (C)) y Kn+1 (C) = K1 (S n (C)) se sigue que Kn (C) = K0 (C0 (Rn )) y Kn+1 (C) = K1 (C0 (Rn )).

Por el Teorema de periodicidad de Bott se cumple que K2n+1 (C) = K1 (C) y K2n (C) = K0 (C), luego K0 (C0 (R )) ∼ = Kn (C) ∼ = n

!

K0 (C) ∼ n par; = Z, ∼ K1 (C) = {0}, n impar.

28

Blanca Estela Bravo Silverio

De igual forma, K1 (C0 (R )) ∼ = n

!

{0}, n par; Z, n impar.

Para cada n ≥ 0, sea Tn := {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : |x1 |2 + . . . + |xn+1 |2 = 1}.

La compactificaci´on unipuntual de Rn es homeomorfa a Tn , n ≥ 1. De esta manera, obtenemos un isomorfismo n n ∼ C0 (Rn ) ⊕ C ∼ = C! 0 (R ) = C(T ).

En consecuencia K0 (C(T )) ∼ = n

K1 (C(T )) ∼ = n

! !

Z ⊕ Z, n par; Z, n impar. {0}, n par; Z, n impar.

En particular K0 (C(T)) ∼ =Z∼ = K1 (C(T)).

(13)

3.

El ´ algebra de Toeplitz

Sea T el c´ırculo unitario sobre el plano complejo y µ la medida de Lebesgue normalizada sobre T, es decir µ(T) = 1.

Como es usual, L∞ (T) denota el espacio de Banach de funciones complejas medibles y acotadas en T con la norma %f %∞ := m´ın{M ∈ R : µ({x ∈ T : |f (x)| > M }) = 0}.

El espacio de Hardy H 2 (T) es el subespacio cerrado de L2 (T) " f χn dµ = 0 para n = −1, −2, −3, . . .} {f ∈ L2 (T) : T

zn.

El conjunto {χn (z) : n ∈ N ∪ {0}} forma una base donde χn (z) = 2 para H (T).

Sea g ∈ L∞ (T), el operador de multiplicaci´on Mg : L2 (T) −→ L2 (T) se define por f )−→ gf . Notemos que Mg es un operador normal con norma %Mg % = %g%∞ .

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

29

Para φ ∈ L∞ (T), el operador de Toeplitz Tφ : H 2 (T) −→ H 2 (T) se define por Tφ (f ) = P Mφ (f ), donde P es la proyecci´on de L2 (T) sobre H 2 (T).

As´ı φ(z) = z ∈ L∞ (T) define al operador de Toeplitz Tz . Observemos que Tz (χn ) = χn+1 . Esto es, Tz es un operador de desplazamiento y Tz = Mz . Es f´acil ver que Tz∗ = Tz¯ y que si 1 denota a la funci´on constante 1 entonces Tz¯(1) = 0.

Adem´as T1 es el operador identidad en H 2 (T), por lo que T1 ∈ C ∗ (Tz ), donde C ∗ (Tz ) es la sub´algebra C ∗ de B(H 2 (T)) generada por Tz . Si n > 0 es claro que Tz n = Mz n = (Mz )n = (Tz )n . Esto implica que Tz n ∈ C ∗ (Tz ). ∗ ∗ n n Sea n < 0, entonces ! Tz |n| =n Tz¯ = Tz n . Es decir ! Tz ∈ C (Tz )∗ tambi´en. As´ı si ϕ(z) = n∈Z an z entonces Tϕ = n∈Z an Tz n ∈ C (Tz ).

Es decir si ϕ ∈ L2 (T) entonces Tϕ ∈ C ∗ (Tz ). Como L∞ (T) ⊂ L2 (T) se sigue que el ´algebra C ∗ (Tz ) contiene a todos los operadores de Toeplitz.

Sea H un espacio de Hilbert separable, y por lo tanto isomorfo al espacio de Hardy H 2 (T), y sea {en }∞ n=1 una base ortonormal para H. Sea S el operador acotado en H dado por S(en ) = en+1 para cada n ∈ N. El operador S ∗ est´a dado por S ∗ (e1 ) = 0 y S ∗ (en ) = en−1 para n ≥ 2. As´ı S ∗ S = I, donde I denota al operador identidad en H. El operador S se llama el operador de desplazamiento unilateral, con respecto a la base {en }∞ n=1 .

El ´ algebra de Toeplitz T se define como la sub´algebra C ∗ de B(H) generada por S, T := C ∗ (S). Note que, dado que Tz es el operador de desplazamiento unilateral en el espacio de Hilbert H 2 (T), el ´algebra C ∗ T es isomorfa a C ∗ (Tz ) mediante el isomorfismo que act´ ua en el generador de la siguiente forma S &→ Tz .

Para i, j ∈ N, sea Eij ∈ B(H) el operador dado por Eij (x) = 'x, ei (ej , donde '·, ·( es el producto interno de H. Definamos Fn =

n "

Ejj .

j=1

Es obvio que Fn es la proyecci´on de H en el subespacio Hn generado por {e1 , . . . , en } y B(Hn ) = Fn B(H)Fn = span{Eij |1 ≤ i, j ≤ n}.

Como SS ∗ (ej ) = ej , para j *= 1 y SS ∗ (e1 ) = 0, entonces

(14)

F1 = E11 = I − SS ∗ ,

30

Blanca Estela Bravo Silverio

donde I denota al operador identidad de B(H). Adem´as Eij = S i−1 F1 (S ∗ )j−1 ,

(15)

i, j ∈ N.

Por lo tanto, cada Eij es un elemento de T .

Sea K el ideal de B(H) formado por los ! operadores compactos en H. El espacio K es la cerradura de la uni´on3 ∞ n=1 Fn B(H)Fn y por lo tanto K ⊂ T .

Consideremos el ´algebra cociente Q(H) := B(H)/K, usualmente llamada el ´ algebra de Calkin. Sea π : B(H) −→ Q(H) la proyecci´on can´onica.

Un operador T ∈ B(H) es un operador de Fredholm si T es invertible en el ´algebra de Calkin Q(H). El ´ındice de Fredholm se define sobre el conjunto de operadores de Fredholm Φ(H) de la siguiente manera: index : Φ(H) T

!Z ! dim ker(T ) − dim ker(T ∗ ) !

La funci´on index es continua4 , por lo tanto si T1 y T2 son homot´opicos entonces tienen el mismo ´ındice de Fredholm.

Dado que S ∗ S es la identidad y F1 = I − SS ∗ ∈ K, π(S) es un elemento unitario en Q(H) y como consecuencia S es un operador de Fredholm. Adem´as, ker(S) = 0 y ker(S ∗ ) = span(e1 ) por lo que (16)

index(π(S)) = index(S) = −1.

Sea a un elemento de un ´algebra C ∗ , denotamos por σ(a) al espectro de a. En un ´algebra C ∗ todo elemento unitario con espectro distinto de T es homot´opico a la identidad. Por lo tanto σ(π(S)) = T pues index(π(S)) = index(S) %= index(I) = 0, es decir [π(S)]1 %= [1]1 = 0.

Observemos que T /K = C ∗ (π(S)). Por el Teorema de Gelfand5 C ∗ (π(S)) ∼ = C(σ(π(S))) = C(T). De esta manera, obtenemos la siguiente sucesi´on exacta corta (17) 3

0

!K

ι

!T

V´ease [12], Lema 3.3.2 y Teorema 3.3.3.

V´ease [10], Teorema 1.4.17.

5 V´ease [10], Teorema 2.1.10.

4

ψ

! C(T)

!0.

31

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

donde ι es la inclusi´on y ψ es la composici´on de π con la transformada de Gelfand que identifica C ∗ (π(S)) con C(T) y tal que manda π(S) a la funci´on f (z) = z de C(T). De aqu´ı obtenemos que ψ(S)(z) = z para todo z ∈ T. Dado que la funci´on index es invariante bajo homotop´ıas, definimos index(f ) := index(Vf ) para todo f ∈ U(C(T)), donde Vf ∈ T es tal que ψ(Vf ) = f . En este caso index(ψ(S)) = −1.

3.1.

K-teor´ıa de T

La sucesi´on exacta corta (17) induce la sucesi´on exacta larga K1 (K)

k1 (ι)

! K1 (T ) k1 (ψ)! K1 (C(T))

#

δ1

K0 (C(T)) $

K0 (T ) $

k0 (ψ)

"

K0 (K)

k0 (ι)

donde δ1 es la funci´on de ´ındice definida en (10).

Observemos que v=

!

S 1 − SS ∗ 0 S∗

"

yp=

!

1 − (1 − SS ∗ ) 0 0 0

"

satisfacen las condiciones del Lema 2.2.4 para ψ(S), luego δ1 ([ψ(S)]1 ) = [p]0 − [s(p)]0 = [1 − (1 − SS ∗ )]0 − [1]0 = −[1 − SS ∗ ]0 = −[F1 ]0 .

Si E y F son dos proyecciones compactas, entonces son de dimensi´on finita y es f´acil ver que E ∼ F si y s´olo si dim(E) = dim(F ). Luego (18)

α:

K0 (K) [E]0 − [F ]0

!Z ! dim(E) − dim(F ) !

es un isomorfismo. Por lo tanto α(−[F1 ]) = −1.

Por la Ecuaci´on (13), tenemos que K0 (C(T)) ∼ = Z ∼ = K1 (C(T)).

Usando la ecuaci´on (12) identificamos K1 (K) con {0}. As´ı obtenemos la sucesi´on exacta 0#

k1 (ι)

! K1 (T )k1 (ψ) ! Z δ1

Z$

K0 (T ) $

k0 (ψ)

k0 (ι)

"

Z

32

Blanca Estela Bravo Silverio

Del hecho que δ1 ([ψ(S)]1 ) = −1 se sigue que δ1 es sobreyectivo, y como index : K1 (C ∗ (T)) −→ Z es un isomorfismo con index(ψ(S)) = −1 se sigue que δ1 es inyectivo y por lo tanto es un isomorfismo.

As´ı, el homomorfismo k1 (ψ) es 1 a 1 y como Im(k1 (ψ)) = ker(δ1 ) = 0 entonces K1 (T ) = {0}.

Por otra parte, como ker(k0 (ι)) = Im(δ1 ) = Z entonces k0 (ι) = 0.

Adem´as ker(k0 (ψ)) = Imk0 (ι) = 0, concluimos que k0 (ψ) es 1-1 y por tanto un isomorfismo. Esto es K0 (T ) ∼ = Z. Hemos demostrado el siguiente Teorema

Teorema 3.1.1 Los grupos de K-teor´ıa K0 (T ) y K1 (T ) para el ´ algebra de Toeplitz son Z y {0}, respectivamente.

4.

El grupo K0 del ´ algebra de Cuntz On

Sea H un espacio de Hilbert. Una isometr´ıa en H es un operador Sea n ∈ N y sea {Si }ni=1 una familia de S en B(H) tal que S ∗ S = !I. n isometr´ıas en H tal que i=1 Si Si∗ = I. El ´algebra C ∗ generada por {Si }ni=1 y denotada por C ∗ ({Si }ni=1 ), es universal en el!sentido que, si n ˆ ˆ∗ {Sˆi }ni=1 es otro conjunto de isometr´ıas que satisface i=1 Si Si = 1, entonces C ∗ ({Si }ni=1 ) ∼ = C ∗ ({Sˆi }ni=1 ).

(19)

Para la demostraci´on de este hecho vea [6], Teorema 1.12.

Denotaremos por On al ´algebra generada por n isometr´ıas {Si }ni=1 !n tales que i=1 Si! Si∗ = I. El ´algebra On se llama el ´algebra de Cuntz.

Notemos que ni=1,i"=j Si Si∗ Sj = 0. Si x ∈ H y y = Sj x, entonces $ " n n # # ∗ Si Si Sj x, y = %Si Si∗ Sj x, y& 0= = =

i=1,i"=j

i=1,i"=j

n #

n #

i=1,i"=j n # i=1,i"=j

%Si∗ Sj x, Si∗ y& = 'Si∗ Sj x'2 .

i=1,i"=j

%Si∗ Sj x, Si∗ Sj x&

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

33

Lo anterior implica que (20)

Si∗ Sj = δij I,

i, j ∈ {1, 2, · · · , n}.

En [4] Joachin Cuntz calcula la K-teor´ıa de las ´algebras On , demostrando primero una serie de resultados en K-teor´ıa para ´algebras simples. Demuestra que el grupo unitario de On es conexo y, usando el Teorema de periodicidad de Bott en K-teor´ıa, demuestra que K1 (On ) es trivial.

En el presente secci´on se utilizaron las propiedades de On como ´algebra C ∗ de operadores, para calcular el grupo K0 (On ). Para ello se tomaron conceptos de [9] para los c´alculos iniciales y se complement´o con los resultados previos de [4] y [6].

4.1.

El orden de K0 (On )

Si A es un ´algebra C ∗ , s ∈ A es una isometr´ıa si s∗ s = 1A , donde 1A es el elemento identidad de A. El siguiente resultado es v´alido para cualquier ´algebra C ∗ .

Proposici´ on 4.1.1 Sea A un ´ algebra funci´ on µ:A a!

C ∗ y s una isometr´ıa en A. La !A

! sas∗

es un endomorfismo de A, es decir un ∗-homomorfismo de A en s´ı mismo. Adem´ as k0 (µ) = Id, donde Id es el homomorfismo identidad de K0 (A) en K0 (A).

Demostraci´ on: Es claro que µ es un endomorfismo de A. Por otra parte, para m ∈ N fijo, se define µm : Mm (A) a = (aij ) Sea



  sm =  

! Mm (A) !

s 0 ··· 0 s ··· .. .. . . . . .

0 0 ···

! (µ(aij )).

0 0 .. . s



  . 

Notemos que µm (a) = sm as∗m y que µm es un endomorfismo de Mm (A).

34

Blanca Estela Bravo Silverio

Extendemos µ a P∞ (A) de la siguiente manera. Para p ∈ P∞ (A) existe m ∈ N tal que p ∈ Pm (A). Definimos µ(p) := µm (p).

Claramente µ(p) ∈ Pm (A) pues µm es un ∗-homomorfismo. Sea r = sm p, entonces r∗ r = p∗ s∗m sm p = p∗ p = p, rr∗ = sm pp∗ s∗m = sm ps∗m = µ(p).

Esto es p ∼0 µ(p), por lo tanto [p]0 = [µ(p)]0 . Como k0 (µ)[p]0 = [µ(p)]0 , concluimos que k0 (µ)[p]0 = [p]0 para cada p ∈ P∞ (A).

Como K0 (A) = {[p]0 − [q]0 : p, q ∈ P∞ (A)}, k0 (µ)(g) = g para todo g ∈ K0 (A).

!

Proposici´ on 4.1.2 Sea λ : On −→ On dado por λ(x) =

n !

Sj xSj∗ .

j=1

Entonces λ es un endomorfismo de On y k0 (λ)(g) = ng para todo g ∈ K0 (On ).

Demostraci´ on:

Para cada j ∈ {1, 2 . . . , n}, la funci´on µj : On

! On

! Sj xSj∗

x!

es un endomorfismo, por la Proposici´on 4.1.1. Luego λ = tambi´en un endomorfismo.

La Ecuaci´on (20) implica que, para i &= j,

"n

j=1 µj

es

µj (x)µi (x) = Sj x(Sj∗ Si )xSi∗ = 0 para todo x ∈ On .

Extendamos λ y µj , j ∈ {1, 2, . . . , n}, a P∞ (On ). Para cada E ∈ P∞ (On ), {µ1 (E), µ2 (E), . . . , µn (E)} es un conjunto de proyecciones ortogonales a pares. As´ı, por la Proposici´on 2.2.2 (iv) se tiene   n n ! !  µj (E) = [µj (E)]0 . j=1

0

j=1

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

Luego k0 (λ)([E]0 ) =

n !

35

k0 (µ)[E]0 .

j=1

Finalmente, por la Proposici´on 4.1.1, se tiene que K0 (λ)[E]0 = n[E]0 .

!

Si U ∈ On es unitario entonces el conjunto {Ti = U Si : i = 1, 2, . . . , n} satisface Ti∗ Ti = Si∗ U ∗ U Si = Si∗ Si = I, "n "n "n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ i=1 Ti Ti = i=1 U Si Si U = U ( i=1 Si Si ) U = U U = I.

Por (19), existe un homomorfismo φU : On −→ On tal que φU (Si ) = U Si .

En la siguiente proposici´on se demuestra que todos los homomorfismos ψ de On con ψ(I) = I satisfacen la propiedad anterior.

Proposici´ on 4.1.3 Sea ψ : On −→ On un ∗-homomorfismo que preserva la identidad, entonces existe U ∈ U(On ) tal que ψ(Si ) = U Si para cada i = 1, 2, . . . , n.

Demostraci´ on:

Def´ınase

(21)

U=

n !

ψ(Si )Si∗ .

i=1

As´ı UU∗ =

# n ! i=1

=

n !

 $ n n ! n ! ! ψ(Si )Si∗  Sj ψ(Sj∗ ) = ψ(Si )Si∗ Sj ψ(Sj∗ ) j=1

i=1 j=1

ψ(Si∗ Si ) = I

i=1

De igual forma se demuestra que U ∗ U = I. Notemos que, usando la Ecuaci´on (20), para cada j ∈ {1, 2, . . . , n} $ # n n ! ! ∗ U Sj = ψ(Si )Si Sj = ψ(Si )Si∗ Sj = ψSj Sj∗ Sj = ψ(Sj ). ! i=1

i=1

36

Blanca Estela Bravo Silverio

Lema 4.1.4 Sea λ : On −→ On dado por λ(x) =

n !

Sj xSj∗ .

j=1

Entonces λ es un endomorfismo de On y k0 (λ)(g) = g para todo g ∈ K0 (On ).

Demostraci´ on: De las Proposiciones 4.1.2 y 4.1.3 se sigue que λ es un endomorfismo y que λ = ϕu donde U est´a dado por la Ecuaci´on (21).

En este caso, U∗ =

n ! i=1

Si λ(Si∗ ) =

n !

Si (Si Si∗ Si∗ )

i=1

=

n !

(Si Si Si∗ )Si∗ =

i=1

n !

λ(Si )Si∗ = U

i=1

Es decir, U adem´as de unitario es autoadjunto. Usando C´alculo funcional continuo6 , el espectro σ(U ) est´a contenido en {−1, 1}. La funci´on ln(z) = ln(|z|) + i arg(z), donde π/2 ≤ arg(z) < 5π/2, es continua en σ(U ) y el elemento H := −i ln(U ) ∈ On est´a bien definido y es normal, por lo tanto σ(H) = σ{−i ln(z)|z ∈ σ(U )} ⊂ [π/2, 5π/2) ⊂ R. Es decir, H es autoadjunto. Adem´as exp(iH) = U , as´ı t &→ Ut := exp(tiH) es una trayectoria de elementos unitarios que une la identidad con U en On .

Entonces U ∈ U0 (On ), la componente conexa de la identidad en U(On ).

Cada t ∈ [0, 1] define el endomorfismo ϕUt de On . Entonces t &→ φUt es una trayectoria continua que une λ con la identidad en On .

De esta forma, k0 (λ) = k0 (id) = id. Es decir k0 (λ)(g) = g, para todo g ∈ K0 (On ). !

El siguiente resultado nos dice que K0 (On ) es un grupo abeliano de, a lo m´as, orden n − 1.

Teorema 4.1.5 Sea n ∈ N fijo. Si g ∈ K0 (On ), entonces (n − 1)g = 0.

En particular K0 (O2 ) = 0.

Demostraci´ on: Por la Proposici´on 4.1.2 y el Lema 4.1.4 se sigue que ! ng = g para todo g ∈ K0 (On ). Por lo tanto (n − 1)g = 0.

Consideremos el ´algebra On+1 generada por las isometr´ıas {V1 , V2 . . . , Vn+1 } 6

V´ease Zhu, secci´ on 10.3

37

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

y su sub´algebra A := C ∗ (V1 , V2 , . . . , Vn ). Sea J el m´ınimo ideal ! bilateral ∗ cerrado de A que contiene a la proyecci´on Vn+1 Vn+1 = I − ni=1 Vi Vi∗ .

El ideal J es isomorfo al ideal K de operadores compactos en un espacio de Hilbert7 .

Sea π : A −→ A/J la proyecci´on can´onica y sea Si = π(Vi ), i = 1, 2, . . . , n. As´ı, cada Si es una isometr´ıa en C ∗ (V1 , V2 , . . . , Vn )/J y adem´as $ # n n n n " " " " ∗ ∗ ∗ ∗ Si Si = π(Vn+1 Vn+1 ) + Si Si = I − Si Si + Si Si∗ = I. i=1

i=1

i=1

i=1

As´ı A/J es isomorfo a On y podemos escribir π : A −→ On , con π(Vi ) = Si para cada i = 1, 2 . . . , n.

Para cada k ∈ {1, 2, . . . , n + 1}, sea λk : On+1

x!

! On+1

! !k

∗ i=1 Vi xVi .

Sea B ⊂ On+1 la m´ınima ´algebra C∗ que contiene a A y tal que λn+1 (A) ⊂ B. Proposici´ on 4.1.6 Consideremos el ∗-homomorfismo restringido λn+1 : A −→ B. Entonces k0 (λn+1 )[E]0 = [E]0 , E ∈ A ⊂ B, donde k0 (λn+1 ) : K0 (A) −→ K0 (B).

Demostraci´ on: En la demostraci´on del Lema 4.1.4 se demostr´o que U = !n+1 ∗ as i=1 Vi λn+1 (Vi ) es un elemento autoadjunto de U0 (On+1 ). Adem´ t &→ ϕUt es una trayectoria de ∗-homomorfismos unitarios de On+1 que unen λn+1 con la identidad en On+1 , y t &→ Ut = exp(itH) es una trayectoria de elementos unitarios tal que U0 = I y U1 = U , donde H = −i ln(U ) es autoadjunto.

Por otra parte Vi λn+1 (Vi∗ ) est´a en B para 1 ≤ i ≤ n. Como ∗ =I− Vn+1 Vn+1 7

V´ease [6], Proposici´ on 3.1

n " i=1

Vi Vi∗

38

Blanca Estela Bravo Silverio

entonces ∗ Vn+1 λn+1 (Vn+1 )

=

∗ ∗ Vn+1 (Vn+1 Vn+1 )Vn+1

= λn+1 (1 −

n ! i=1

= Vn+1 (1 −

Vi Vi∗ ) − λn (1 −

n !

n !

∗ Vi Vi∗ )Vn+1

i=1

Vi Vi∗ )

i=1

es un elemento de B tambi´en. Entonces H ∈ B y por lo tanto, cada Ut ∈ B. As´ı ϕUt |A es una trayectoria de ∗-homomorfismos de A en B. Puesto que K0 es un functor invariante bajo homotop´ıas, se sigue que k0 (λn+1 )[E]0 = [E]0 para todo E ∈ A ⊂ B. !

Sea !B α:B ! ∗ . !

Vn+1 xVn+1 x Entonces, si x ∈ B, λn+1 (x) = λn (x) + α(x). Como (

n !

Vi xVi∗ )α(x)

i=1

se sigue que

n ! = α(x)( Vi xVi∗ ) = 0 i=1

k0 (λn+1 )([E]0 ) = [λn+1 (E)]0 = [λn (E)]0 + k0 (α)[E]0

(22)

= n[E]0 + ko (α)([E]0 ).

Usando la Proposici´on 4.1.6 se sigue que (23)

[E]0 = n[E]0 + k0 (α)([E]0 ) en K0 (B), para todo E ∈ P(A).

∗ . El Sea J " el ideal bilateral cerrado de B generado por Vn+1 AVn+1 ideal J " contiene al ideal J y A ! J " pues si A ∈ A\J con A ∈ J " ∗ entonces A = 0 ya que Vn+1 Vi Vn+1 = 0 para i ∈ {1, . . . , n}. Luego J " es un ideal propio de B y

B/J " ∼ = A/J ∼ = On .

Sea j : A $→ B la funci´on de inclusi´on, entonces el siguiente diagrama conmutativo (24)

J" #

!"

ι

! A" #

π

! On

j

" " ι! "!

J

"

!B

π!

! On

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

39

induce el diagrama conmutativo en K-teor´ıa (25)

K0 (J )

k0 (ι)

"

k0 (ι! )

! K0 (A) k0 (π) ! K0 (On ) k0 (j)

K0 (J ! )

"

! ! K0 (B) k0 (π )! K0 (On )

Lema 4.1.7 Para cada g ∈ K0 (On ) existe k ∈ Z tal que g = k[I]0 . Es decir K0 (On ) = Z[I]0 .

Demostraci´ on: Del diagrama (25) se sigue que k0 (π) = k0 (π ! )k0 (j).

Notemos que si k0 (π)([E]0 ) "= 0 entonces k0 (j)[E]0 "= 0. Luego, de la Ecuaci´on (23) se tiene que k0 (j)([E]0 ) = nk0 (j)[E]0 + k0 (α)k0 (j)([E]0 ) "= nk0 (j)([E]0 ).

Por lo tanto [E]0 "= n[E]0 en K0 (A). Es decir si k0 (π)([E]0 ) "= 0 entonces [E]0 "= n[E]0 . Por otra parte k0 (j)[I]0 = nk0 (j)([I]0 ) + k0 (α)k0 (j)([I]0 ) ∗ = nk0 (j[I]0 ) + k0 (j)[Sn+1 Sn+1 ]0 ∗ = k0 (j)(n[I]0 + [Sn+1 Sn+1 ]0 ).

Luego (26)

∗ ]0 . n[I]0 = [I]0 − [Sn+1 Sn+1

∗ ∗ ] genera genera a J se sigue que r = [Sn+1 Sn+1 Puesto que Sn+1 Sn+1 0 a k0 (ι)(K0 (J )), es decir ker k0 (π) = Zr. Luego para cada g ∈ K0 (A) existe k ∈ Z tal que (n − 1)g = kr. Por la Ecuaci´on (26) se tiene

n(g + k[1]0 ) = g + kr + k[1]0 − kr = p + k[1]0 .

Entonces, necesariamente k0 (π)(g) = −kk0 (π)([1]0 ) = −k[1]0 en K0 (On ).

!

Por el Lema anterior, para on E ∈ On existe k ∈ !kcada proyecci´ ∗ {0, 1, . . . , n − 2} tal que E ∼ i=0 Si Si y esto implica que dim(E) = ! ! dim( ki=0 Si Si∗ ). Notemos que si k "= 0 entonces dim( ki=0 Si Si∗ ) = ∞.

En consecuencia, (27)

[E]0 = 0 para toda proyecci´on finita E ∈ On .

40

Blanca Estela Bravo Silverio

Para obtener el grupo K0 (On ) consideremos ahora V1 , V2 , . . . una sucesi´on de isometr´ıas en un espacio de Hilbert tales que ∞ ! i=1

Vi Vi∗ ≤ I.

Sea O∞ = C ∗ (V1 , V2 , . . .).

Sea n ∈ N fijo. Denotemos por J al m´ınimo ideal bilateral cerrado con"n ∗ tenido en C (V1 , V2 , . . . , Vn ) que contiene a la proyecci´on I − i=1 Vi Vi∗ .

El ideal J es isomorfo a K, el ideal de operadores compactos sobre un espacio de Hilbert de dimensi´on infinita(v´ease [6], Proposici´on 3.1).

Sea π : C ∗ (V1 , V2 , . . . , Vn ) −→ C ∗ (V1 , V2 , . . . , Vn )/J la proyecci´on can´onica. Sea Si = π(Vi ). Es f´acil ver que Si es una isometr´ıa para todo i = 1, . . . , n y que n !

Si Si∗ = I. i=1

C ∗ (V

Identificamos 1 , V2 , . . . , Vn )/J con On . De esta manera, pode∗ mos escribir π : C (V1 , V2 , . . . , Vn ) −→ On , con π(Vi ) = Si para cada i = 1, 2 . . . , n.

Teorema 4.1.8 Sean r, s ∈ Z, entonces r[I]0 = s[I]0 en K0 (On ) si y s´ olo si r ≡ s m´ odulo n − 1, donde I denota la identidad en On Demostraci´ on: Si r ≡ s m´odulo n − 1 entonces r = r# (n − 1) + t y # s = s (n − 1) + t donde r# , s# , t ∈ Z. Luego, por el Teorema 4.1.5, se sigue que r# (n − 1)[I]0 = s# (n − 1)[I]0 = 0. Por lo tanto r[I]0 = r# (n − 1)[I]0 + t[I]0 = t[I]0 = s# (n − 1)[I]0 + t[I]0 = s[I]0 .

Rec´ıprocamente, supongamos que r[I]0 = s[I]0 en K0 (On ). Por lo anterior, podemos suponer que 1 ≤ r, s ≤ n − 1.

Consideremos las isometr´ıas {V1 , V2 , . . .} descritas anteriormente y On = C ∗ (V1 , V2 , . . . , Vn )/J .

Sea k ∈ {1, 2, . . . , n} fijo, y como antes λk : On −→ On dada por λk (x) =

k ! i=1

Si xSi∗ .

41

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

Siendo {Si xSi∗ } un conjunto de proyecciones mutuamente ortogonales, la Proposici´on 2.2.2 (iv) y la Proposici´on 4.1.1 implican que k0 (λk )([x]0 ) = [λk (x)]0 = k[x]0 .

Si tomamos x = I se tiene k0 (λr )([I]0 ) = [λr (I)]0 = r[I]0 , k0 (λs )([I]0 ) = [λs (I)]0 = s[I]0 . como r[I]0 = s[I]0 se sigue que [λr (I)]0 = [λs (I)]0 , es decir existe una isometr´ıa parcial U ∈ On tal que U ∗ U = λr (I) = U U ∗ = λs (I) =

r !

i=1 s !

Si Si∗ , Si Si∗ .

i=1

ˆ ∈ C ∗ (V1 , V2 , . . . , Vn ) tal que π(U ˆ ) = U . Para cada k ∈ N se define Sea U Ek =

k !

Vi Vi∗ .

i=1

Notemos que ˆ) = U U = π(U U ˆ∗

∗

r ! i=1

Si Si∗

=

r ! i=1

π(Vi Vi∗ )

=π

" r ! i=1

Vi Vi∗

#

= π(Er ).

ˆ ∗U ˆU ˆ ∗ = Es + k2 ˆ = Er + k1 para alg´ Luego U un k1 ∈ J . An´alogamente U para alg´ un k2 ∈ J . ˆ Er ) = U , entonces podemos escribir k1 = Observemos que π(U ˆ , σ(U ˆ ∗U ˆ ), contiene al cero. Esto es porˆ ∗U Er k1 Er . El espectro de U ˆ ∗U ˆ es no invertible. que U ˆ ). En efecto, si ˆ ∗U El cero es un punto aislado de σ(U ˆ )\{0, 1} con λn → 0, ˆ ∗U {λn } ⊂ σ(U ˆ −λn I es no invertible en C ∗ (V1 , . . . , Vn ). Para esto existen ˆ ∗U entonces U dos posibilidades:

42

Blanca Estela Bravo Silverio

ˆ ∗U ˆ − λn I no es inyectivo. Entonces existe h ∈ H − {0} tal Caso 1 : U que ˆ − λn I)h ˆ ∗U 0 = (U

= (Er − Er k1 Er − λn I)h

Aplicando Er se tiene que (Er k1 Er − (1 − λn ))Er h = 0 es decir (1 − λn ) es un elemento del espectro del compacto Er k1 Er .

ˆ − λn I no es suprayectivo. Entonces existe h ∈ H tal que ˆ ∗U Caso 2 : U ∗ ˆ − λn I)H. Notemos que ˆ U h∈ / (U ˆ − λn I) = (Er − Er k1 Er − λn I) ˆ ∗U (U

= −(Er k1 Er + (I − Er ) − (1 − λn )I)

ˆ ∗U ˆ −λn I no es suprayectivo entonces (Er k1 Er +(I−Er )− luego si U (1 − λn )I)g #= h para todo g ∈ H. Si (Er k1 Er − (1 − λn )I)f = h para alg´ un f ∈ H entonces (Er k1 Er + (I − Er ) − (1 − λn )I)f " = h " para f = Er (f ) + (I − Er )h/λn . Esto es (Er k1 Er − (1 − λn )I) tampoco es suprayectivo. Por lo tanto (1 − λn ) es un elemento del espectro del operador compacto Er k1 Er .

Es decir {1 − λn } ⊂ σ(Er K1 Er ) converge a 1, pero el u ´nico punto de acumulaci´on posible del espectro de un operador compacto es el cero. ˆ ∗U ˆ ). De igual forma, usando Por lo tanto, cero es un punto aislado de σ(U Es se puede demostrar que cero tambi´en es un punto aislado del espectro ˆU ˆ ∗ ). de σ(U ˆ ∗U ˆ tal que f (0) = 0 Sea f continua y positiva en el espectro de U ˜ = U ˆ f (U ˆ ∗U ˆ ), donde f (U ˆ ∗U ˆ) y f (x) = x−1/2 si x #= 0. Definamos U est´a dado por el c´alculo funcional. Si g(z) = 1 − χ0 (z) con χ0 (z) la funˆ ∗U ˆ ) y g(U ˆ ∗U ˆ) ci´on caracter´ıstica de {0}, entonces g es continua en σ(U es una proyecci´on. As´ı ˜ = f (U ˆ ∗U ˆ )∗ U ˆ ∗U ˆ f (U ˆ ∗U ˆ) ˜ ∗U U ˆ ∗U ˆ )U ˆ ∗U ˆ = f 2 (U ˆ) ˆ ∗U = g(U ˆ ∗U ˆ) = I − χ0 (U

ˆ ∗U ˆ) = Er − (Er − I) − χ0 (U ∞ ! ˆ ∗U ˆ ). = Er + Vi Vi∗ − χ0 (U i=r+1

43

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa

Notemos que χ0 (z) = 1 − z en σ( π(

∞ "

i=r+1

!r

ˆ ∗U ˆ )) = Vi Vi∗ − χ0 (U

=

∗ i=1 Si Si ),

n "

i=r+1 n " i=r+1

Es decir, Como

!∞

r " Si Si∗ − χ0 ( Si Si∗ )

Si Si∗ − I +

∗ ˆ∗ ˆ i=r+1 Vi Vi − χ0 (U U ) ∈ J . ˜ ∗U ˜ =U ˆ ∗U ˆ f 2 (U ˆ ) = f 2 (U ˆ )U ˆ ∗U ˆ ˆ ∗U ˆ ∗U U

Sea P1 := −( (28)

luego

i=1 r "

Si Si∗ = 0.

i=1

entonces

˜ ∗U ˜ ∗U ˜ =U ˜ ∗U ˜ Er = U ˜.

Er U

!∞

∗ i=r+1 Vi Vi

ˆ ∗U ˆ )), entonces − χ0 (U

˜ ∗U ˜ ∗U ˜ − Er )2 = −(U ˜ − Er ) = P1 .

P12 = (U

Por lo tanto, P1 es una proyecci´on compacta y en consecuencia de dimensi´on finita. Adem´as (29)

˜ = Er − P1 . ˜ ∗U U

An´alogamente se puede demostrar que existe una proyecci´on de dimensi´on finita P2 ∈ J tal que

(30)

˜U ˜ ∗ = Es − P2 .

U

Luego r[I]0 + [P2 ]0 = s[I]0 + [P1 ]0 en K0 (O∞ ). Por la Ecuaci´on (27) tenemos que [P1 ]0 = [P2 ]0 = 0, luego r[I]0 = s[I]0 y por lo tanto r = s. !

En resumen. El orden de [1]0 es n − 1 y sabemos que el orden de cada g ∈ K0 (On ) es a lo m´as n − 1, adem´as por el Lema 4.1.7 tambi´en se sabe que cada g ∈ On es m´ ultiplo de [I]0 . Por lo tanto concluimos que el orden del grupo K0 (On ) es n − 1. Finalmente: Teorema 4.1.9 El grupo K0 (On ) es isomorfo a Zn−1 .

Agradecimientos Agradezco a la Doctora Maribel Loaiza por su paciencia y su tutela.

Blanca Estela Bravo Silverio Departamento de Matem´ aticas CINVESTAV del IPN A.P. 14-740, M´exico D.F., 07000 M´exico bbravo@math.cinvestav.mx

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Blanca Estela Bravo Silverio

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Morfismos, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV, se termin´ o de imprimir en el mes de enero de 2010 en el taller de reproducci´ on del mismo departamento localizado en Av. IPN 2508, Col. San Pedro Zacatenco, M´exico, D.F. 07300. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm consta de 500 ejemplares con pasta tintoreto color verde.

Apoyo t´ecnico: Omar Hern´ andez Orozco.

Contenido Base points in homotopy theory and the Fundamental Theorem of Algebra Kristine Bauer, Florian Deloup, and Peter Zvengrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Algunas ´algebras C ∗ y su K-teor´ıa Blanca Estela Bravo Silverio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17