Morfismos, Vol 15, No 2, 2011

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VOLUMEN 15 NÚMERO 2 JULIO A DICIEMBRE DE 2011 ISSN: 1870-6525

Morfismos Departamento de Matem´aticas Cinvestav

Chief Editors - Editores Generales • Isidoro Gitler • Jes´ us Gonz´alez

Associate Editors - Editores Asociados • Ruy Fabila • Ismael Hern´andez • On´esimo Hern´ andez-Lerma • H´ector Jasso Fuentes • Sadok Kallel • Miguel Maldonado • Carlos Pacheco • Enrique Ram´ırez de Arellano • Enrique Reyes • Dai Tamaki • Enrique Torres Giese

Apoyo T´ecnico • Irving Josu´e Flores Romero • Omar Hern´andez Orozco • Roxana Mart´ınez • Carlos Daniel Reyes Morales • Iv´ an Mart´ın Su´ arez Barraza • Laura Valencia Morfismos est´ a disponible en la direcci´ on http://www.morfismos.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirse al tel´efono +52 (55) 5747-3871. Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matem´aticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, M´exico, D.F. 07000, o por correo electr´ onico a la direcci´ on: morfismos@math.cinvestav.mx.

VOLUMEN 15 NÚMERO 2 JULIO A DICIEMBRE DE 2011 ISSN: 1870-6525

Morfismos Departamento de Matem´aticas Cinvestav

Morfismos, Volumen 15, N´ umero 2, julio a diciembre de 2011, es una publicaci´ on semestral editada por el Centro de Investigaci´on y de Estudios Avanzados del Instituto Polit´ecnico Nacional (Cinvestav), a trav´es del Departamento de Matem´ aticas. Av. Instituto Polit´ecnico Nacional No. 2508, Col. San Pedro Zacatenco, Delegaci´ on Gustavo A. Madero, C.P. 07360, D.F., Tel. 55-57473800, www.cinvestav.mx, morfismos@math.cinvestav.mx, Editores Generales: Drs. Isidoro Gitler Golwain y Jes´ us Gonz´ alez Espino Barros. Reserva de Derechos No. 04-2012-011011542900-102, ISSN: 1870-6525, ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Certificado de Licitud de T´ıtulo No. 14729, Certificado de Licitud de Contenido No. 12302, ambos otorgados por la Comisi´ on Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretar´ıa de Gobernaci´ on. Impreso por el Departamento de Matem´aticas del Cinvestav, Avenida Instituto Polit´ecnico Nacional 2508, Colonia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, M´exico, D.F. Este n´ umero se termin´o de imprimir en marzo de 2012 con un tiraje de 50 ejemplares. Las opiniones expresadas por los autores no necesariamente reflejan la postura de los editores de la publicaci´ on. Queda estrictamente prohibida la reproducci´on total o parcial de los contenidos e im´ agenes de la publicaci´ on, sin previa autorizaci´on del Cinvestav.

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Contents - Contenido La obra matem´ atica de Jos´e Adem Chah´ın Alejandro Adem D´ıaz de Le´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Grupoide de movimientos y modelos de Gelfand para el grupo di´edrico D2n Gamaliel Cerda-Morales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Categories of fractions revisited Tobias Fritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Morfismos, Vol. 15, No. 2, 2011, pp. 1–8

La obra matema´tica de Jos´e Adem Chah´ın

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Alejandro Adem D´ıaz de Leo´n

2010 Mathematics Subject Classification: 55-02, 5506. Keywords and phrases: Jos´e Adem Chah´ın, cuadrados de Steenrod, relaciones de Adem, Departamento de Matema ´ticas del Cinvestav.

Hasta 1940, las matema ´ticas en M´exico eran u ´nicamente para los aficionados; exista ´n pocos matema ´ticos y la investigacio´n era algo casi desconocido. Esto cambio ´ en forma decisiva cuando Solomon Lefschetz comenzo´ una serie de visitas a la Ciudad de M´exico. Matema´tico brillante y de un cara ´cter indomable, puede decirse que ´el personalmente jugo´ un papel cr´ıtico en la aparicio ´n de matema´ticos a nivel internacional en M´exico. Su m´etodo fue sencillo: interesar a jo´venes en la investigacio´n y posteriormente colocarlos como estudiantes de doctorado en Princeton y otras universidades de primer nivel en los Estados Unidos. As´ı fue como Jos´e Adem Chah´ın, quien se interesaba en aspectos de a´lgebra y topolog´ıa, fue a dar a Princeton. Una vez ah´ı, tuvo el acierto de escoger a Norman Steenrod como su asesor. Steenrod es considerado un gigante de la topolog´ıa algebraica, una figura que cimento´ esta disciplina como una de las ma ´s importantes de las matema´ticas ´ modernas. Adem estudio ´ en Princeton alrededor del an ˜o 1950. Esta era una ´epoca de esplendor en la topolog´ıa: Lefschetz, Hopf, Hurewicz, Eilenberg, MacLane y Steenrod (entre otros) hab´ıan desarrollado las herramientas y conceptos formales, y el campo se hallaba colmado de problemas de gran relevancia y naturalidad, esperando ser atacados con esta nueva tecnolog´ıa. En los an ˜os subsecuentes ocurrio´ una verdadera ∗ Basado en los art´ıculos [1, 2] del autor escritos en o casio ´n de los homena jes post mo ´rtem al Dr. Jos´e Adem Chah´ın. Se agradece el permiso del Bolet´ın de la Sociedad M a t em a ´tica Mexicana y del Colegio Nacional por permitir la repro duccio ´n de partes de esos textos.

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Alejandro Adem D´ıaz de Le´on

explosi´on de teoremas en la topolog´ıa algebraica, con la tesis magistral de Serre y el trabajo de Borel, Thom, Milnor, Adams y Atiyah. El trabajo de Jos´e Adem debe considerarse una contribuci´on fundamental en este caudal del avance matem´atico. Es dif´ıcil exagerar la importancia de las “Relaciones de Adem” en la teor´ıa de homotop´ıa, no solamente por su trascendencia sino tambi´en por la influencia de estos resultados en el trabajo de otros. Como veremos posteriormente, la contribuci´on de Adem sirvi´ o como motivaci´on para los m´etodos desarrollados por J. F. Adams, que hoy en d´ıa son la base de la homotop´ıa estable. A continuaci´ on har´e un bosquejo del trabajo de Jos´e Adem, procurando evitar detalles t´ecnicos con el fin de hacer accesible el material a aquellos que no son especialistas en la topolog´ıa algebraica. Un invariante calculable e importante de un espacio topol´ogico X es su cohomolog´ıa con coeficientes m´ odulo 2. El funtor X → H ∗ (X, F2 ) le asocia a un espacio X un espacio vectorial (sobre F2 ) con graduaci´on natural. Estos grupos difieren de la homolog´ıa en que poseen una estructura de ´ algebra graduada, es decir vienen dotados de un producto (suprimimos coeficientes de ahora en adelante): H p (X) ⊗ H q (X) → H p+q (X) x ⊗ y → x ∪ y.

Es f´acil convencerse de que la cohomolog´ıa es un invariante m´as efectivo que la homolog´ıa para distinguir espacios no homeomorfos o del mismo tipo de homotop´ıa (por ejemplo, para distinguir S n ∨ S n ∨ S 2n de S n × S n ).

Un problema central en la topolog´ıa algebraica es el de entender las clases de homotop´ıa de aplicaciones de un complejo X en otro Y , conjunto denotado por clases de homotop´ıa de funciones [X, Y ] = . continuas f : X → Y

En particular si X = S n (la esfera de dimensi´on n) y consideramos un punto base, se puede dotar a este conjunto de un producto, y obtenemos as´ı πn (Y ) = n-´esimo grupo de homotop´ıa de Y.

La obra matem´ atica de Jo´se Adem Chah´ın

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Para analizar estos objetos matem´aticos, Eilenberg y MacLane introdujeron espacios denotados por K(π, n) donde π es un grupo abeliano (si n > 1) tales que π si j = n, ∼ πj (K(π, n)) = 0 si j = n. La relevancia de estos espacios se sigue de la relaci´on H n (Y, π) ∼ = [Y, K(π, n)], es decir, estos espacios representan a la cohomolog´ıa. Distinguir el tipo de homotop´ıa de un espacio o de una aplicaci´on puede ser sumamente dif´ıcil, aun con el uso de la cohomolog´ıa. Este proceso depende de propiedades homot´opicas dif´ıcilmente detectables sin alguna estructura adicional. Steenrood introdujo esta estructura adicional, en la forma de sus c´elebres “cuadrados de Steenrod”. Los Sqi son transformaciones naturales de funtores H n ( , F2 ) → H n+i ( , F2 ) es decir, s´ı f : X → Y es continua, entonces el diagrama Sqi

H n (Y, F2 ) −−−−→ H n+i (Y, F2 )   f ∗ f ∗ Sqi

H n (X, F2 ) −−−−→ H n+i (X, F2 ) conmuta. Estos cuadrados satisfacen los siguientes axiomas, y son caracterizados por ellos: 1. Sqi es un homomorfismo ∀i ≥ 0. 2. Si dim x = n, Sqn x = x2 , mientras que Sq0 (x) = x. 3. Si i > dim x, Sqi x = 0. 4. (F´ormula de Cartan) k

Sq (xy) =

k i=0

Sqi x · Sqk−i y.

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Alejandro Adem D´Ĺaz de Le´on

La siguiente es una construcci´ on homol´ogica de los Sqi . Sea X un ua por permutaci´on en el producto espacio topol´ ogico, entonces Z2 act´ n X Ă— X. Ahora sea x ∈ H (X), representado por f : C∗ (X) → F2

(f (u) = 0, si u ∈ / Cn (X)).

En estas condiciones definimos P : C ∗ (X) → C ∗ (EZ2 Ă—Z2 (X Ă— X)) mediante P (f )(w ⊗ x1 ⊗ x2 ) = Îľ(w)f (x1 )f (x2 )

donde EZ2 denota al Z2 -espacio universal y Îľ : C∗ (E Z2 ) → F2 la aumentaci´on (n´ otese que esto se debe a que P es equivariante con respecto a la permutaci´ on anterior a nivel de cocadenas). Esto define una funci´on natural H n (X) → H 2n (EZ2 Ă—Z2 (X Ă— X)) tal que si i : X Ă— X → EZ2 Ă—Z2 (X Ă— X) es la inclusi´on de la fibra del haz asociado, entonces i∗ P (f ) = f Ă— f ∈ H 2n (X Ă— X). Por otro lado la inclusi´ on de puntos fijos j : X → X Ă— X induce jZ∗ 2 : H 2n (EZ2 Ă—Z2 (X Ă— X)) → H 2n (BZ2 Ă— X) donde BZ2 denota al espacio clasificante. Por definici´on, j∗P x =

n j=0

en−j ⊗ Sqj x

donde H ∗ (BZ2 ) âˆź = F2 [e], con dim e = 1. Serre introdujo el concepto de operaciones cohomol´ogicas como transformaciones naturales de funtores : H n ( , A) → H q ( , B) y demostr´o que ´estas corresponden en forma biun´Ĺvoca con elementos del grupo H q (K(A, n), B) âˆź = [K(A, n), K(B, q)]. Si X es un espacio y gx : X → K(A, n)

La obra matem´ atica de Jo´se Adem Chah´Ĺn

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representa a x ∈ H n (X, A), tenemos un diagrama conmutativo g∗

H n (K(A, n), A) −−−x−→ H n (X, A)    (K(A,n))  (X)

{id}  

H q (K(A, n), B) −−−∗−→ H q (X, B)

Îą

gx

El elemento (K(A, n))(id) ∈ H q (K(A, n), B) representa a la operaci´on . Serre demostr´ o que las operaciones estables1 (es decir que conmutan con la suspensi´ on y as´Ĺ dan lugar a homomorfismos) forman un ´algebra, generada por los Sqi , la denominada ´algebra de Steenrod, A(2). Esto significa que la estructura adicional, que generaliza al producto, est´ a contenida totalmente en el ´algebra de Steenrod. Ante esto es evidente que conocer las relaciones globales entre estas operaciones es de singular importancia, ya que repercutir´an en la cohomolog´Ĺa de cualquier complejo. En 1951, Jos´e Adem obtuvo una colecci´on completa de relaciones entre los Sqi . La formula exacta, conocida como las Relaciones de Adem, es la siguiente (los coeficientes binomiales se reducen m´odulo 2): Para 0 < a < 2b, a

b

Sq Sq =

0≤c≤a/2

b−c−1 Sqa+b−c Sqc . a − 2c

Adem tambi´en obtuvo relaciones parecidas entre las operaciones cohomol´ogicas correspondientes a primos impares. Preferible a discutir la demostraci´ on, mencionar´e algunas aplicaciones inmediatas. Teorema 1 (Adem). Sqn es factorizable si y solamente si n no es una i potencia de 2; es decir los Sq2 generan el ´ algebra A(2). Corolario 2. Si x ∈ H q (X) con x2 = 0, entonces existe alguna i tal i que 0 < 2i ≤ q y Sq2 x = 0. i monomios en Sq2 x. Demostraci´ on. 0 = x2 = Sqq x =

Corolario 3. Si H ∗ (X) es un anillo polinomial o un anillo polinomial truncado generado por x ∈ H q (X) y x2 = 0, entonces q = 2k para alguna k. 1

En el caso A = B = F2 .

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Alejandro Adem D´ıaz de Le´on

i

Demostraci´ on. Como H ∗ (X) es polinomial, H q+2 (X) = 0 para 0 < i 2i < q, de modo que Sq2 x = 0 para 0 < 2i < q. El corolario anterior implica que q = 2k . Ahora consideraremos algunas aplicaciones concretas de estos resultados. Dada una funci´ on continua f : S 2n−1 → S n , construimos el complejo Xf = S n ∪f e2n tal que H (Xf ) ∼ = ∗

Z/2 ∗ = 0, n, 2n, 0 otros casos.

El invariante de Hopf m´ odulo 2 de f , denotado por H(f ), se define mediante la relaci´ on a2 = H(f ) · b

donde a y b denotan generadores de H n (Xf ) y H 2n (Xf ), respectivamente. Una pregunta cl´ asica de la topolog´ıa es la de saber para qu´e valores de n existe un mapeo f con H(f ) = 0. La importancia de este problema puede verse por su relaci´ on a un problema algebraico: ¿Para qu´e valores de n admite Rn una estructura de ´algebra de divisi´on? Esta segunda propiedad implica la existencia de un mapeo f con H(f ) = 0 (se usa multiplicaci´ on

normalizaci´ on

S n−1 × S n−1 −−−−−−−−−→ Rn − {0} −−−−−−−−−→ S n−1 y una construcci´ on de Hopf para obtener f : S 2n−1 = S n−1 ∗ S n−1 → ΣS n−1 = S n ). Por otro lado la existencia de tal f es equivalente a la existencia de una estructura de “grupo salvo homotop´ıa” (H-espacio) en S n−1 . Adem´as, si S n−1 tiene estructura de H-espacio, entonces es paralelizable. Los resultados de Adem implican: Teorema 4 (Adem). Los u ´nicos valores de n para los que alguna de las siguientes condiciones puede suceder son de la forma n = 2k , k ≥ 0 : 1. Existe f : S 2n−1 → S n con H(f ) = 0. 2. Rn admite estructura de ´ algebra de divisi´ on. 3. S n−1 tiene estructura de H-espacio.

La obra matem´ atica de Jo´se Adem Chah´ın

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4. S n−1 es paralelizable. Estos resultados son un modelo del poder de la topolog´ıa algebraica cuando se aplica a ciertos problemas geom´etricos. Inspirado por los resultados de Adem, J. F. Adams extendi´o este teorema en forma notable, obteniendo una de las m´ as impresionantes aplicaciones de m´etodos algebraicos en la topolog´ıa hasta la fecha: Teorema 5 (Adams). En el teorema anterior n s´ olo puede ser 1, 2, 4, u 8. En (2) se tienen los reales, complejos, cuaternios y octonios de Cayley, respectivamente. La demostraci´ on del teorema de Adams utiliza de forma esencial las operaciones cohomol´ ogicas, en particular la noci´on de operaciones secundarias introducidas por Adem. Quiz´as m´ as importante que el resultado fue la herramienta que Adams introdujo (la sucesi´ on espectral de Adams) para calcular clases de homotop´ıa a partir de la cohomolog´ıa como m´odulo sobre el ´algebra de Steenrod. La idea seminal de esta revolucionaria t´ecnica radica en los resultados descritos anteriormente, y el trabajo de Adem fue una fuente importante de motivaci´ on. Podemos concluir observando que los resultados de Adem no solamente son de inter´es general, sino que de hecho representan un trayecto fundamental en la evoluci´ on de la teor´ıa de la homotop´ıa a su estado actual. Adem´ as, su visi´ on clara y bien determinada de lo que debe ser el trabajo en matem´ aticas y su deseo de materializar en M´exico un modelo de desarrollo del ´ area de la matem´atica se hizo patente en su labor como iniciador, a partir de 1956, de la II Serie del Bolet´ın de la Sociedad Matem´ atica Mexicana, y como editor de dicha publicaci´on desde entonces hasta su fallecimiento. El prop´osito de esta revista ha sido proporcionar a los matem´ aticos mexicanos y extranjeros un medio para publicar en M´exico los resultados de sus investigaciones, con el nivel de una revista internacional de prestigio. Alejandro Adem D´ıaz de Le´ on Departamento de Matem´ aticas, Universidad de la Columbia Brit´ anica, Vancouver, Canada.

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Alejandro Adem D´ıaz de Le´on

Referencias [1] Adem A., Las relaciones de Adem, Bolet´ın de la Sociedad Matem´atica Mexicana (2) 36 (1991) 1-5. [2] Adem A., Las relaciones de Adem en la topolog´ıa algebraica, Obra Matem´ atica de Jos´e Adem, El Colegio Nacional, 1992, xii–xix, ISBN 968-6664-59-7. [3] Adem J., The relations on Steenrod powers of cohomology classes, Algebraic Geometry and Topology (a symposium in honor of Solomon Lefschetz), Princeton University Press, Princeton NJ, 1957. [4] Steenrod N. E.; Epstein D., Cohomology Operations, Annals of Mathematics Studies 50, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1962. [5] Whitehead G. W., Fifty years of homotopy theory, Bulletin of the American Mathematical Society 8 No. 1 (1983), 1–29.

Morfismos, Vol. 15, No. 2, 2011, pp. 9–18

Grupoide de movimientos y modelos de Gelfand para el grupo di´edrico D2n ∗ Gamaliel Cerda-Morales

Resumen A cada accio ´n de un grupo G sobre un conjunto X podemos asociar naturalmente un grupoide de movimientos M (G, X) cuyos objetos son puntos de X y sus flechas (g, x) ∈ G × X. Los caracteres unidimensionales de M (G, X ) permiten torcer la representacio ´n natural de G asociada al par (G, X ). Esta construccio ´n suministra, de mo do geom´etrico, un modelo de Gelfand, es decir, una suma directa de todas las representaciones irreducibles del grupo G. En particular, ´n sobre la dimensio ´n de las involuciones conjeturamos una aplicacio en el grupo di´edrico D2n .

2010 Mathematics Subject Classification: 18A05, 20C30. Keywords and phrases: grupoide, modelos de Gelfand, grupo di´edrico.

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Intro duccio ´n

Los grupoides han sido introducidos en [1] por H. Brandt en 1926, para un art´ıculo sobre composicio ´n de formas cuadra´ticas. En topolog´ıa algebraica P. Higgins, R. Brown y otros, exploran grupoides fundamentales asociados a un espacio topolo ´gico, generalizando en el contexto de teor´ıa de grafos propiedades fundamentales de grupos y generadores. Desde un aspecto catego ´rico observado en [3] por A. Connes, analizamos una aplicacio´n de grupoide de movimientos a la representacio´n del grupo di´edrico. ∗ Tesis de Maestr´ ıa en Matema ´ticas presentada en la Pontificia Universidad Cato ´lica de Valpara´ıso, Chile, 2011, ba jo la direccio ´n del Dr. Jorge Soto Andrade. Una versio ´n extensa de este trabajo ha sido enviado para evaluar su posible publicaci´ on en el Bolet´ın de Matem´ aticas de la Universidad Nacional de Colombia.

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Gamaliel Cerda-Morales

1.1

Desde una peque˜ na categor´ıa

Un conjunto C de morfismos, que conecta elementos de un conjunto de objetos, denotados por Obj(C) se llama categor´ıa, si posee la siguiente estructura: (1) existen dos aplicaciones i, t : C → Obj(C), que especifican objetos de inicio y t´ermino de cada morfismo en C, (2) existe una operaci´ on de composici´ on asociativa sobre morfismos en C o = {(f1 , f2 ) : i(f1 ) = t(f2 )}, y finalmente, (3) para cada A ∈ Obj(C), existe una identidad eA ∈ C que asocia un morfismo cerrado a todo objeto; es decir, i(eA ) = t(eA ) = A. Para nuestro estudio, un grupoide es una categor´ıa, donde todo morfismo es invertible. Entonces, para cada f ∈ HomC (A, B) morfismo de A en B, existe f −1 ∈ HomC (B, A), tal que f ◦ f −1 = eB y f −1 ◦ f = eA .

1.2

Nociones de grupos a grupoides

Sea A un objeto del grupoide C, el conjunto de todos los morfismos con inicio y t´ermino A es un grupo. En efecto, para todo A ∈ Obj(C) se tiene asociada una identidad eA , su ley de composici´on es asociativa, y cada morfismo tiene un inverso, que es u ´nico. Observaci´ on 1.2.1. Para A, B ∈ Obj(C), si existe γ ∈ HomC (A, B), se cumple HomC (A, A) HomC (B, B), pues γ −1 ∈ HomC (B, A) y para la aplicaci´ on conjugaci´ on Cγ : HomC (A, A) → HomC (B, B), definida Cγ (f ) = γ ◦ f ◦ γ −1 , es un isomorfismo. Adem´ as, si f ∈ HomC (A, B), γ ∈ HomC (A, B), tenemos γ −1 ◦ f ∈ HomC (A, A). Lo que muestra la suficiencia de: Proposici´ on 1.2.2. Dados A, B ∈ Obj(C). Si existe γ ∈ HomC (A, B), entonces HomC (A, B) = γ ◦ HomC (A, A), donde γ ◦ HomC (A, A) es el conjunto {γ ◦ f : f ∈ HomC (A, A)}. Todo grupoide C es conexo, si existe γ ∈ HomC (A, B), ∀A, B ∈ Obj(C). Este tipo de grupoide, muestra que Obj(C) es un G-conjunto, donde G es un grupo, salvo isomorf´ıa, asociado a dicho grupoide, llamado grupo de holonom´ıa generado por los morfismos con inicio y t´ermino un objeto de C. Notar que en este caso, los grupos son isomorfos. Definici´ on 1.2.3. Llamamos tipo de holonom´ıa del grupoide C conexo, a la clase de isomorf´ıa del grupo HomC (A, A), asociado a A ∈ Obj(C).

Grupoides y modelos de Gelfand

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Rec´ıprocamente, dado un grupo finito G, es posible definir un grupoide sobre un G-conjunto X, cuya acci´ on σ : G × X → X, est´a dada por multiplicaci´ on izquierda σg (x) = gx. ∀g ∈ G, x ∈ X. Si tal acci´on existe, llamamos (G, X) un par geom´etrico. Definici´ on 1.2.4. El grupoide de movimiento sobre X , denotado M (G, X), es una categor´ıa, donde Obj(M ) = X y su conjunto de morfismos (o flechas) es G×X, con multiplicaci´ on sobre pares M o = {((h, gx), (g, x)) : g, h ∈ G}, seg´ un regla asociativa: (1)

(h, gx) ◦ (g, x) = (hg, x),

donde las aplicaciones i, t : M (G, X) → X son la proyecci´on en la segunda componente y la acci´ on de grupo, respectivamente.

1.3

Grupo de isotrop´ıa y G-acci´ on

Sean x, y ∈ X, los morfismos del grupoide M de x en y, denotados por G(x, y). Es claro que el subgrupo de isotrop´ıa asociado a x, es isomorfo a su grupo de holonom´ıa G(x) de morfismos de x en x, pues basta identificar (g, x) → g de G(x) en Gx un homomorfismo de grupos. En efecto, sean g, h ∈ Gx , tenemos gh ∈ Gx , al aplicar regla de composici´on (1). Observaci´ on 1.3.1. Denotemos por F l(M ) el conjunto de flechas (o morfismos) del grupoide M (G, X). Como M (G, X) = x,y∈X G(x, y), la car-

|G| dinalidad de F l(M ) es |G||X|, en efecto, |G(x, y)| = |G(x)| = |X| cuando X es un G-conjunto transitivo. En caso contrario, debemos considerar las orbitas asociadas a la acci´ ´ on, pues G act´ ua transitivamente sobre Ox , y X = ∪x∈X Ox . En este caso, F l(M ) = ∪x∈Λ F l(M (G, Ox )), donde Λ es un sistema de representantes para la G-acci´on.

Ejemplo 1.3.2. Sea D2n el grupo de simetr´ıas del n-´agono regular, con acci´ on natural sobre sus v´ertices In = {1, 2, ..., n}. Esta acci´on es transitiva, y el subgrupo de isotrop´ıa asociado a i ∈ In , denotado por Gi , es el conjunto {1, si }, donde 1 es la identidad del grupo, y si la simetr´ıa que fija el v´ertice i. Entonces, el conjunto de flechas G(i) del grupoide M (D2n , In ) est´ a representado por {(1, i), (si , i)}, el grupo c´ıclico de orden 2, Z2 .

2 2.1

Acci´ on de grupos de simetr´ıa Representaci´ on natural torcida

Un car´ acter asociado a M (G, X), es una aplicaci´on : M (G, X) → C× , que satisface (f ◦ h) = (f ) (h), para todo elemento f, h ∈ M (G, X). (G, X). De esto: El grupo de caracteres asociado al grupoide, se denota M

12

Gamaliel Cerda-Morales

Observaci´ on 2.1.1. Si (g, x) = z, entonces (g −1 , gx) = z −1 , pues −1 (g , gx) ◦ (g, x) = (1, x), y (1, x) = 1. Dada g ∈ G una reflexi´on, que fija el objeto x ∈ X, tenemos 2 (g, x) = 1, pues (g, gx) (g, x) = (g 2 , x) sobre C× . Sean x, y sobre X, un conjunto G-transitivo, notemos que G(x) es isomorfo a G(y), por lo tanto, el car´ acter restringuido a dichos grupos de isotrop´ıa, satisface (G(x)) (G(y)). Para el grupoide M (D2n , In ), asociado a la acci´on del grupo D2n sobre los v´ertices del n-´ agono regular, obtenemos: (D2n , In ), est´ a parametrizado Proposici´ on 2.1.2. El grupo de caracteres M por el conjunto:

(2)

Z2 × {(v1 , v2 , ..., vn ) ∈ Cn : v1 v2 ...vn = 1}.

Demostraci´ on. Como G(x, y) = γG(x), para alg´ un γ ∈ G(x, y), ∀x, y ∈ In , notemos que |G(x, y)| = 2. Luego, los morfismos que conectan x con sus v´ertices adyacentes est´ an parametrizados por una rotaci´on de orden n, θ, y una reflexi´ on η que env´ıa x en y. Por lo tanto, existe una reflexi´on ζ ∈ D2n que fija x, tal que (η, x) = (θ, x) ◦ (ζ, x). Aplicando el car´acter , tenemos (η, x) = z (θ, x), donde z ∈ C, tal que z 2 = 1. Por la propiedad n−1 de funtor covariante, aplicada sobre i=1 (θ, θi 1) = (1, 1), obtenemos la proposici´ on si vi = (θ, θi 1). Ahora, si los v´ertices son no adyacentes, el argumento es an´ alogo sobre las rotaciones y reflexi´on asociada. (D2n , In ), obtenemos representaciones (C, |D (j) ) del Dado ∈ M 2n grupo de isotrop´ıa D2n (j) asociado al v´ertice j. En general, dada (L2 (X), ρ) un la representaci´ on natural de G, definida por ρg ∈ AutC (L2 (X)), seg´ ρg (f )(x) = f (g −1 x); Aubert y Soto-Andrade, definen en [6], una repre (G, X): sentaci´ on torcida por elementos ∈ M

Definici´ on 2.1.3. Sea (L2 (X), ρ) representaci´on natural de G. La representaci´ on natural torcida por , se define como ρ : G → Aut(L2 (X)), tal que (3)

(ρ )g (f )(x) = (g, g −1 x)(ρg f )(x),

(G, X). denotada por (L2 (X), ρ ), para ∈ M

Observaci´ on 2.1.4. Notar que (L2 (X), ρ ) es una representaci´on de G, tal que (ρ )g ∈ End(L2 (X)), (ρ )g (ρ )h (f )(x) = (g, g −1 x)(ρg (ρ )h (f ))(x) = (g, g −1 x) (h, h−1 g −1 x)(ρg (ρh (f ))(g −1 x) = (gh, h−1 g −1 x)f (h−1 g −1 x) = (ρ )gh (f )(x),

Grupoides y modelos de Gelfand

13

2 luego, (ρ )g−1 = (ρ )−1 g , con lo cual (ρ )g ∈ Aut(L (X)) y (ρ ) es una representaci´ on del grupo G, denominada representaci´on natural torcida por el car´ acter del grupo G.

Un modelo de Gelfand para G, es la descomposici´on de (L2 (X), ρ) en suma directa de todas sus representaciones irreducibles con multiplicidad uno. En [6], el G-conjunto X define un espacio de Gelfand, si (L2 (X), ρ ) es un modelo de Gelfand para G. Una proposici´on u ´til para construir este tipo de espacios, verifica: Proposici´ on 2.1.5. Sea X un G-conjunto. Si X = ∪sk=1 Ok es la deorbita asociada al punto scomposici´ on en G-´ orbitas de X, donde Ok es la ´ xk ∈ X. Si Gxk es el grupo de isotrop´ıa de cada punto xk para cada k = 1, .., s, entonces, (4)

(L2 (X), ρ )

s k=1

IndGxk ↑G ( |Gxk ),

tal que ( |Gxk )(g) = (g, xk ), ∀g ∈ Gxk . Demostraci´ on. (C, |Gxk ) es una representaci´on 1-dimensional de Gxk , pues es un car´ acter del grupoide M (G, X); en particular, si consideramos x = xk y f ∈ L2 (xk ), para todo g ∈ Gxk , obtenemos (ρ )g (f )(xk ) = (g, xk )f (xk ). Por lo tanto, (ρ )g (f ) = ( |Gxk )(f ), sobre {xk }, donde L2 ({xk }) se identifica con el subespacio Gxk -estable de L2 (X) formado por las funciones de soporte contenido en {xk }. En general, L2 (Ok ) es suma directa de L2 ({x}), si x ∈ Ok . Observaci´ on 2.1.6. Si µ es otro car´ acter asociado al grupoide M (G, X), tal que |Gxk = µ |Gxk , para todo k = 1, .., s, entonces, ρ ρµ .

2.2

Un peque˜ no ejemplo di´ edrico

Ilustremos la proposici´ on (2.1.5) sobre el grupo de simetr´ıas del tri´angulo equil´ atero, isomorfo al grupo di´edrico de orden 6, D6 . Consideremos el D6 conjunto X = {1, 2, 3} ∪ {b}, donde b es el baricentro del tri´angulo. Dado que G = r, s , donde r es la rotaci´ on en 2π/3 grados, y s es la reflexi´on que fija el v´ertice 1. La acci´ on de G sobre X es natural sobre los v´ertices, y σg (b) = b, para todo g ∈ G, es claramente una acci´on no transitiva, tal que X = O1 ∪ Ob , donde O1 = {1, 2, 3} y Ob = {b}. Los grupos de isotrop´ıa asociados son G1 = {1, s} Z2 y Gb = G. Si es un car´ acter del grupoide M (G, X), su restricci´on a los subgrupos Gi , con i ∈ I3 , es la misma, deducimos (5)

ρ IndG1 ↑G ( |Z2 ) ⊕ IndGb ↑G ( |G ),

14

Gamaliel Cerda-Morales

y basta considerar un car´ acter tal que |Z2 = sgn y |G = 1. Luego, es claro que IndGb ↑G ( |G ) = 1, veamos que la representaci´on IndG1 ↑G ( |Z2 ) de dimensi´ on 3, se descompone como suma de dos representaciones irreducibles, una de dimensi´ on 1 y otra de dimensi´on 2. Usando la inducida de Mackey, la aplicaci´ on |Z2 = sgn corresponde al conjunto {f : G → C : f (gs) = −f (g), ∀g ∈ G}, y es claro que sgn ∈ IndG1 ↑G ( |Z2 ); pues sgn(gs) = sgn(g)sgn(s) = −sgn(g). De esto, tenemos IndG1 ↑G ( |Z2 ) sgn ⊕ sgn⊥ . Observaci´ on 2.2.1. Este u ´ltimo isomorfismo, se obtiene de la siguiente condici´ on: si f ∈ IndG1 ↑G ( |Z2 ), tal que sgn, f = 0; al identificar f con el vector f (D6 ) ∈ C6 , obtenemos f (1) = −f (r) − f (r2 ), basta considerar el C-espacio U = sgn , para tener U ⊥ = f1 , f2 , cuyos vectores son f1 = (−1, 1, 0, 1, 0, −1) y f2 = (−1, 0, 1, 1, −1, 0). El espacio (U ⊥ , ρ|U ⊥ ) es una subrepresentaci´on de IndG1 ↑G ( |Z2 ), pues en caso contrario, existe U0 ≤ U ⊥ generado por un vector no nulo f0 , si un z1 , z2 ∈ C. Entonces, por f0 ∈ U ⊥ , entonces f0 = z1 f1 + z2 f2 , para alg´ estabilidad, podemos aplicar la acci´ on ρg , y obtenemos: (6)

ρg (f0 ) = z1 f1 (g −1 t) + z2 f2 (g −1 t) = z(z1 f1 (t) + z2 f2 (t)),

para alg´ un z ∈ C, y t, g ∈ G. En particular, si g = r y t = sr en D6 , obtenemos de (6), z2 = zz1 , lo que es una contradicci´on, pues no pueden ser ambos nulos z1 y z2 . Finalmente, si denotamos π = ρ|U ⊥ , la representaci´on irreducible de dimensi´ on dos, tenemos: (7)

ρ = 1 ⊕ sgn ⊕ π,

un modelo de Gelfand para el grupo di´edrico D6 .

3 3.1

Generalizaci´ on de un modelo para D2n Simetr´ıas del cuadrado

Antes de la generalizaci´ on al grupo di´edrico de orden 2n, veamos el caso n = 4, para el grupoide de movimientos asociado al D8 -conjunto, dado ua naturalmente sobre los por {1, 2, 3, 4} ∪ {{1, 3}, {2, 4}}. Este grupo act´ v´ertices del cuadrado, mientras que σg ({{1, 3}, {2, 4}}) = {{g(1), g(3)}, {g(2), g(4)}}, determina una acci´ on no transitiva, cuyas ´orbitas son O1 = {1, 2, 3, 4} y O{1,3} igual a {{1, 3}, {2, 4}}. A su vez, el estabilizador del v´ertice 1 es {(1, 1), (s, 1)} isomorfo a Z2 , y de {1, 3}, denotado por G({1, 3}), es {1, s, r2 , sr2 } Z2 ⊕ Z2 .

Grupoides y modelos de Gelfand

15

Observaci´ on 3.1.1. Sea un car´ acter asociado al grupoide M (D8 , I4 ), entonces Ď IndG(1)↑G ( |Z2 )⊕IndG({1,3})↑G ( |Z2 ⊕Z2 ). Consideremos el car´ acter tal que |Z2 = sgn y |Z2 ⊕Z2 = 1; ocupando para la inducida el modelo izquierdo de Mackey, tenemos IndG({1,3})↑G ( |Z2 ) isomorfo a 1 ⊕ β, donde β = 1⊼ . Considerando un vector f ∈ IndZ2 ⊕Z2 ( |Z2 ), tal que 1, f = 0 e identificando f con el vector f (D8 ) ∈ C8 , se deduce β = (1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1).

Por otro lado, IndG(1)↑G ( |Z2 ) sgn ⊕ sgn⊼ , m´as a´ un, el espacio sgn⊼ δ ⊕ δ ⊼ , con δ = (1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1). Finalmente, al igual que en ejemplo anterior, podemos mostrar que la representaci´on 2-dimensional Ď€ = δ ⊼ es irreducible, tal que Ď = 1 ⊕ sgn ⊕ δ ⊕ β ⊕ Ď€,

(8)

es un modelo de Gelfand para el grupo D8 . Para el caso general, sobre el n´ umero de v´ertices del n-´agono: Proposici´ on 3.1.2. Sea X un espacio de Gelfand para G = D2n , entonces, si n es impar |X| = n + 1 y si n es par |X| = n + 2. Demostraci´ on. Sea Cn el n-´agono regular y la acci´on natural de G sobre sus v´ertices In . Basta considerar los G-espacios siguientes: • Caso n par. X = In âˆŞ{X1 , X2 }, donde X1 y X2 son los dos n2 -´agonos, que surgen al colorear los nodos del n-´agono alternadamente con s´olo dos colores. Es decir, X1 = {1, 3, .., 2n − 1} y X2 = {2, 4, .., 2n}, con la acci´ on Ďƒg (Xi ) definida por {g(x) : x ∈ Xi }, para i = 1, 2. • Caso n impar. X = In âˆŞ {b}, donde b es el baricentro del n-´agono. En este caso, la acci´ on trivial sobre b, se define por Ďƒg (b) = b, ∀g ∈ G. En el caso par, existen dos ´ orbitas, a saber In y {X1 , X2 }, y los estabilizadores, son isomorfos (salvo conjugaci´on) a G1 = {1, s} Z2 y para GX1 = GX2 , r2 , s isomorfo a Dn , donde s es la reflexi´on que fija los on en 2Ď€ orbitas son nodos 1 y n2 + 1; y r la rotaci´ n . En el otro caso, las ´ G1 {1, s} Z2 y G{b} = G, donde s es la reflexi´on que fija el v´ertice 1 de Cn . Proposici´ on 3.1.3. Sea G = D2n . Los G-espacios X de la proposici´ on (3.1.2), son espacios de Gelfand para el grupo G, seg´ un su paridad.

3.2

Conjugaci´ on sobre involuciones

Lo anterior, nos permite identificar una correspondencia entre el cardinal del conjunto de involuciones de G = D2n y el cardinal de su espacio de Gelfand X. A suma, las involuciones del grupo, resultan ser otro modelo de Gelfand, dado por la acci´ on de conjugaci´on Ďƒg (t) = gtg −1 , ∀g, t ∈ G.

16

Gamaliel Cerda-Morales

Observaci´ on 3.2.1. Si n es impar, existen dos ´orbitas, O1 = {1} y Os = on que fija el v´ertice 1. Luego, existen {srk : 1 ≤ k < n}, donde s es la reflexi´ dos grupos de holonom´Ĺa, a saber, G(1) = G y G({s}) = {1, s} Z2 . Como en el caso particular, consideramos el car´acter de la forma |G = 1 y |Z2 = sgn, cuyos grupos asociados a cada v´ertice coinciden, como en la acci´ on natural del grupo di´edrico. Es f´ acil notar, que ´este es un modelo de Gelfand, como (9)

Ď IndG(1)↑G ( |G ) ⊕ IndG({s})↑G ( |Z2 ),

utilizamos el teorema de Frobenius, sobre el car´acter torcido por . Es decir: Ď , χ = IndG(1)↑G ( |G ), χ + IndG({s})↑G ( |Z2 ), χ = ( |G ), χ + ( |Z2 ), χ 1 1 ( |G )(g)χ(g) + ( |Z2 )(g)χ(g), = 2n 2 g∈G

g∈Z2

1 1 por elecci´ on de , tenemos Ď , χ = 2n g∈G χ(g) + 2 g∈Z2 sgn(g)χ(g), y al comparar con el car´ acter escogido, , tenemos Ď , 1 = Ď , sgn = 1. Y para alg´ un car´ acter de representaci´ on, de dimensi´on 2, χk , se concluye que Ď , χk = 1, para 1 < k < n2 . El caso par, se presenta en el siguiente resultado: Proposici´ on 3.2.2. Sea G = D2n con n par, y X = {g ∈ G : g 2 = 1} el conjunto de involuciones del grupo G, entonces X es un espacio de Gelfand para G. Demostraci´ on. Si s es la reflexi´ on que fija los v´ertices 1 y n2 + 1, y 2Ď€ r la rotaci´ on en n grados de Cn . Existen cuatro ´orbitas, O1 = {1}, n Or n2 = {r 2 }, Os las involuciones que fijan dos v´ertices, y Osr las que no fijan v´ertices, tales que |Os | = |Osr | = n2 . Entonces, salvo conjugaci´on, n existen 4 estabilizadores, cuyos tipos de holonom´Ĺa son G(1) = G(r 2 ) = G y G(s) = G(sr) = Z2 Ă—Z2 respectivamente. Como la restricci´on del car´acter coincide en los grupos de isotrop´Ĺa conjugados, tenemos Ď isomorfo a 1 ⊕ sgn ⊕ IndH↑G ( |H ) ⊕ IndK↑G ( |K ), donde H = G(s), K = G(sr), y es tal que |G(1) = 1 y |G(r n2 ) = sgn. Para el caso n2 par, consideramos |K = Îą tal que Îą(rk ) = 1 y Îą(srk ) = −1, n n si k = 1, ..., n − 1; y |H = β donde β(1) = β(sr) = 1 y β(r 2 ) = β(sr 2 +1 ). Finalmente, usando notaci´ on anterior, Ď , Îą = Ď , β = 1; y si χk es el car´ acter de una representaci´ on 2-dimensional de G, entonces Ď , χk = 1, para ambos casos de paridad.

Grupoides y modelos de Gelfand

3.3

17

Un ejemplo sobre el grupo del tetraedro

Como extensi´ on de los modelos geom´etricos de representaci´on por car´acter de grupoide inducido, tenemos los grupos sim´etrico S3 y S4 , que aparecen en los poliedros regulares. Por ejemplo, el grupo del tetraedro, un resultado conocido, sobre su grupo de simetr´ıa, determina que S4 es suma semidirecta de los grupos S3 y Z2 × Z2 . ua Ejemplo 3.3.1. Si T es un tetraedro de nodos I4 , el grupo G = S4 act´ naturalmente sobre ellos. Consideremos el G-conjunto X = I4 ∪{a1 , a2 , a3 }, donde ai aparece como el par de aristas opuestas del tetraedro, conteniendo el nodo i: definida la acci´ on σg (ai ) = {g(k) : k ∈ ai }, ∀g ∈ G. Es claro que, la acci´ on no es transitiva, |X| = 10, y los grupos de isotrop´ıa asociados al grupoide M (G, X) son G(1) = r1 , s14 S3 y el grupo Ga1 isomorfo a on del tetraedro que fija el nodo 1, y s14 la Z2 × Z2 , donde r1 es la rotaci´ reflexi´ on que intercambia los nodos 2 y 3.

4

A modo de conclusi´ on

En este tipo de construcci´ on, existe una correspondencia expl´ıcita entre involuciones de un grupo sim´etrico, y su modelo de Gelfand. Aplicando, resultados de teor´ıa de caracteres e inducci´on finita de Mackey, los grupos de holonom´ıa, nos permiten descomponer la representaci´on de grupo, en todas sus representaciones irreducibles, libre de multiplicidad. As´ı, generaliza resultados probados para grupos de tipo An−1 , desde un ´ambito geom´etrico a poliedros regulares, en la descomposici´on usual de sus simetr´ıas. Ser´ıa importante, deducir en un estudio posterior, los casos de acci´on del grupo sim´etrico Sn , sobre su conjunto de involuciones, y proponer un an´alogo de Kodiyalam y Verma, en [4], sobre la acci´on signada. Agradecimientos Agradezco a mi profesor, Dr. Jorge Soto Andrade, sus comentarios y conversaciones sobre el tema de esta investigaci´on; resultado de un trabajo personal sobre grupoides y teor´ıa de representaciones geom´etricas. Gamaliel Cerda-Morales Instituto de Matem´ aticas, Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso, Blanco Viel 596, Cerro Bar´ on Valpara´ıso, Chile gamaliel.cerda.m@mail.pucv.cl

Referencias [1] H. Brandt, Ueber eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Ann., 96 (1926). pp. 360–366.

18

Gamaliel Cerda-Morales

[2] R. Brown, From groups to groupoids: a brief survey, Bull. London Math. Soc., 19 (1987). pp. 113–134. [3] A. Connes, Noncommutative geometry, Academic Press, New York, (1994). [4] V. Kodiyalam and D. Verma, A natural representation model for the symmetric groups. Arxiv:math.RT/0402216 V1, 2006. [5] J. Soto-Andrade, Geometric Gelfand Models, tensor quotients and Weil representations, In Proceeding of Symposia in Pure Mathematics, 47, (1987). pp. 306–316. [6] J. Soto-Andrade, M. Aubert, Geometric Induction and Gelfand Models, preprint 2010.

Morfismos, Vol. 15, No. 2, 2011, pp. 19–38

Categories of fractions revisited

∗

Tobias Fritz

Abstract The theory of categories of fractions, as originally developed by Gabriel and Zisman [1], is reviewed in a pedagogical manner giving detailed proofs of all statements. A weakening of the category of fractions axioms used by Higson [4] is discussed and shown to be equivalent to the original axioms.

2010 Mathematics Subject Classification: 18E35, 18A32. Keywords and phrases: category of fractions, calculus of fractions, localization.

Contents 1 Intro duction 1.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 21 21

2 Lo calization of categories

21

3 Categories of fractions

23

4 Weakening the requirements

32

5 Additive categories of fractions

34

∗

This article is a revised version of a part of the author’s Master’s thesis written at the University of Mu ¨nster in 2007.

19

20

1

Tobias Fritz

Introduction

In category theory, the concept of localization is a tool for constructing a new category from a given one. The idea is as follows: a category may have a certain class of morphisms which are not all invertible, although “morally” they “should” be invertible. As an example, one may consider weak homotopy equivalences in the homotopy category of topological spaces: some weak homotopy equivalences are homotopy equivalences, and hence isomorphisms, but not all of them are [3]; on the other hand, two weakly homotopy equivalent spaces behave in absolutely the same way concerning the properties probed by maps from or to suitably nice spaces, and hence should morally be isomorphic. Given such a class of morphisms in a category, one can form a localization of the original category, which is a new category which guarantees all “morally invertible” morphisms to be invertible, while approximating the original category as closely as possible. This idea can be made precise in terms of a universal property; see Section 2. Localizations exist not only for categories, but also for other kinds of algebraic structures. For example for rings: adjoining formal inverses for a certain class of ring elements yields a new ring from a given one. Under certain conditions on the class W of elements to be inverted—the so-called Ore conditions—there is a particularly nice way to describe the elements of the localized ring in terms of an equivalence class of formal fractions, where a formal fraction is defined to have an element of the original ring in the numerator and an element of W in the denominator. It turns out that pretty much the same technique that works for rings can also applied to categories. Under certain conditions, the localization of a category with respect to a class of morphisms can be described in terms of “formal fractions”. If this construction is possible, the resulting localization is a category of fractions. In some cases, such an abstract construction can be more useful than a concrete (in the category-theoretical sense!) description of the localization. Furthermore, categories of fractions can be relevant for other general categorical constructions; the theory of Verdier localization in the context of triangulated categories is an example. Due to the metamathematical nature of category theory, the objectives in category theory are quite different from those in ring theory: thinking of a category as representing the collection of models of a mathematical theory, we take the category of fractions as a tool to construct a new mathematical theory from a given one.

Categories of fractions revisited

1.1

21

Summary

In Section 2, the concept of localization of a category is introduced and compared with the process of taking a quotient category. Section 3 then gives a detailed account of the category of fraction axioms and their consequences; in particular, all proofs are presented in complete detail. Section 4 goes on to study a weakening of the category of fraction axioms which was originally introduced by Higson [4] in the context of bivariant K-theory of C ∗ -algebras. It is shown that this weakening is equivalent to the usual set of axioms. This is the only new result of the present work. Finally, Section 5 shows that a category of fractions is additive in case the original category is additive.

1.2

Notation and terminology

In all commutative diagrams, the objects are simply denoted by fat dots “•”. Unless noted otherwise, all diagrams commute. Identity ”. The words “isomorphisms are pictured as double lines “ morphism” and “monomorphism” are abbreviated respectively as “iso” and “mono”. A split mono is a morphism which has a left inverse; it automatically is a mono. Domain and codomain of a morphism f are written as dom(f ) and cod(f ), respectively.

2

Localization of categories

In some contexts it may happen that we have a category C which is — in a sense depending on the situation — not well-behaved. For example, it might be that it is too hard to do concrete calculations, or it might be that C does not have some desired formal property. Then one can try to find a second category C which has the same objects as C together with a functor C → C which is the identity on objects, such that C is better-behaved and approximates C in some appropriate sense also depending on the situation. Then instead of working in C directly, one can transport the morphisms from C to C via the functor C → C and prove theorems about the morphisms in the well-behaved category C. The price one has to pay is that in general some information about the structure of C is lost on the way. Now there are at least two concrete ways to make this precise. The first one is the notion of a quotient category. Suppose we are given an equivalence relation ∼ on every morphism set C(A, B) which is preserved

22

Tobias Fritz

under composition, meaning that (1)

(f1 ∼ f2 ) =⇒ (f1 g ∼ f2 g) ∧ (hf1 ∼ hf2 )

∀f1 , f2 , g, h ∈ C

whenever these compositions are defined. Then, the composition of equivalence classes is well-defined and defines the quotient category C/∼ together with the canonical projection functor C → C/∼. Any kind of homotopy theory serves as a good example. The second way is a concept called localization. It may be familiar from ring theory. Suppose we are given a category C and a subclass of morphisms called W, which “morally” ought to be isos, but in C not necessarily all of them are; using the letter W is supposed to suggest a reading like “weak equivalence” [5]. We try to turn all the morphisms in W into isos by adjoining formal inverses for them. More precisely, we are looking for a category C = C[W −1 ] equipped with a localization functor Loc : C → C[W −1 ] which has the following universal property: (a) Loc(w) is an iso for all w ∈ W,

(b) if F : C → D is any functor which maps W to isos, then F factors uniquely over Loc as in the diagram

(2)

Loc

C F

D

C[W −1 ] ∃!

In case such a functor exists, the category C[W −1 ] is called the “localization of C with respect to W”. It serves as the desired approximation C to C. Since C[W −1 ] is defined via a universal property, it is certainly unique (up to a unique iso). Proving existence is the nontrivial part. Theorem 2.1. C[W −1 ] and Loc always exist. Proof. (from [2, III.2.2] and [1, 1.1]). The category C[W −1 ] can be constructed in two steps: start with the category of paths—call it P(C, W −1 )—which has as objects the objects of C, and as morphisms finite strings l1 , . . . , ln of composable literals, where a literal lk is either a morphism of C (including W) or a formal inverse of a morphism in W. Composition of these morphisms is defined as concatenation of strings. For every object A ∈ C, we also have the empty string A which starts

23

Categories of fractions revisited

and ends at A and is the identity morphism of A in P(C, W −1 ). This whole definition can be summarized by saying that P(C, W −1 ) is the free category generated by the graph C ∪ W −1 . There is a canonical map C → P(C, W −1 ) which is the identity on objects and maps every morphism f ∈ C to the corresponding singleliteral string f . This map already has the desired universal property (b). However, neither is this map a functor nor does it map W to isos. We can easily fix both of these issues by taking a quotient category of P(C, W −1 ) in which these properties are enforced. To this end, we introduce the equivalence relation ∼ on strings generated by closure under composition together with the elementary equivalences (a) A ∼ idA

∀A ∈ Obj(C),

(b) g, f ∼ gf

∀f, g ∈ C for which the composition gf exists,

(c) w, w−1 ∼ cod(w) ,

w−1 , w ∼ dom(w)

∀w ∈ W.

Then it is clear that the induced map Loc : C → P(C, W −1 )/ ∼ is a functor and maps W to isos. As for universality, suppose we are given some functor F : C → D mapping W to isos. It induces a unique functor P(C, W −1 ) → D. This functor maps the above elementary equivalences to equalities, thus uniquely factors over the quotient category P(C, W −1 )/∼. Remark 2.2. (a) For locally small C, the localization C[W −1 ] need not be locally small. Even under the conditions to be discussed in the next section, it may well happen that the localization has proper classes as the collections of morphisms between some pairs of objects. Showing that this does not happen in a concrete case seems to be a hard problem; one case where local smallness is known is for model categories and localizing with respect to the class of weak equivalences (see [5, p.7 and 1.2.10]). (b) The canonical quotient functor C → C/∼ is full by definition of C/∼. However, this is usually not true for a localization functor Loc : C → C[W −1 ].

3

Categories of fractions

In all diagrams dealing with categories of fractions, a wiggly arrow is denotes a morphism in W, while a straight arrow any morphism of C.

24

Tobias Fritz

In certain situations, the localization C[W −1 ] can be described much more explicitly, which implies a large gain of control over the structure of this category. We say that W ⊆ C allows a calculus of left fractions, if the following conditions are satisfied: (L0) W contains all identity morphisms and is closed under composition. In other words, W is a subcategory of C containing all objects. (L1) Given any w ∈ W and an arbitrary morphism f with dom(f ) = dom(w), we can find w ∈ W with dom(w ) = cod(f ) and some morphism f with cod(f ) = cod(w ), such that the diagram •

w

•

f

•

w

f

•

commutes. (L2) Given w ∈ W and parallel morphisms f1 , f2 such that f1 w = f2 w, there exists w ∈ W such that w f1 = w f2 . •

w

f1

•

f2

•

w

•

These conditions are exact analogues of the Ore conditions in the theory of (not necessarily commutative) rings [6, p. 3]. Remark 3.1. Condition (L0) is not an essential restriction: if (L1) and (L2) hold for some class of morphisms W, then both also hold for the C-subcategory generated by W ∪ {idA , A ∈ Obj(C)}. Hence W can be replaced by this subcategory. Proof. We assume that W satisfies (L1) and (L2), but not necessarily (L0). Then W ∪ {idA , A ∈ Obj(C)} certainly also satisfies (L1) and (L2), so it is enough to show that closing W under composition which also satisfies (L1) and (L2). gives a morphism class W Let w1 , w2 ∈ W be composable to w = w2 w1 . Given any f with dom(f ) = dom(w1 ), two applications of (L1) show that we can find

25

Categories of fractions revisited

w1 , w2 ∈ W and f , f ∈ C such that the diagram w1

•

• w2 • f

f

•

w1

•

f

•

w2

and f have the required properties commutes. Now w = w2 w1 ∈ W with respect to w = w2 w1 and f . Applying this argument inductively, we get the claim. Concerning (L2), we similarly consider the situation f1 w2 w1 = f2 w2 w1 , and obtain •

w1

• w2 •

f1 f2

w1

•

•

w2

•

where, thanks to (L2), we could choose w1 such that w1 f1 w2 = w1 f2 w2 , and then w2 such that w2 w1 f1 = w2 w1 f2 , as desired. Definition 3.2. A roof (f, w) between two objects dom(f ) and dom(w) is a diagram of the form f

•

w

•

•

From now on, we assume that W ⊆ C satisfies (L0), (L1) and (L2), and derive some consequences from this assumption. The way to think of a roof (f, w) is as being a formal “left fractionâ€? w−1 f , defining a formal morphism from the lower left object to the lower right object. Then (L1) intuitively states that it is possible to turn any formal “right fractionâ€? f w−1 into a left fraction w −1 f , since w f = f w together with invertibility of w and w implies f w−1 = w −1 f . Definition 3.3. Two roofs (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) are equivalent if there are morphisms g and h forming a third roof (gf1 , gw1 ) = (hf2 , hw2 ) as in the diagram • g

hw2 =gw1

h f1

•

• f2

• w1

w2

•

26

Tobias Fritz

Note that it is not required for g or h to be elements of W, only the composition gw1 = hw2 has to be in W. The equality of (gf1 , gw1 ) = (hf2 , hw2 ) is expressed by commutativity of the two squares in the diagram. The goal of this section is to establish that the equivalence classes of roofs form a category under the appropriate composition operation, and that this category is the localization C[W −1 ]. This will be done in a sequence of small steps. Intuitively, the first step is to show that the roof (f , w ) one obtains from using (L1) to turn a formal right fraction f w−1 into a formal left fraction w −1 f is unique up to equivalence. This will let us define the composition of equivalence classes of roofs later on. Lemma 3.4. Any two ways to choose f and w in (L1) define equivalent roofs. Proof. Imagine two possible choices (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) as in the partially commutative diagram •

g

f1

w

•

• f2

•

w

•

w1

w

w2

• f

• By (L1), g and w were chosen such that gw1 = ww 2 . This is not yet an 2 . However, we do know equivalence of roofs, since, in general, gf1 = wf 2 w, so by (L2) we can choose w such that wgf 1 = w wf 2 . that gf1 w = wf and w w. This makes (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) equivalent via wg Lemma 3.5. The equivalence of roofs from Definition 3.3 is an equivalence relation.

Proof. Reflexivity and symmetry are obvious. For transitivity, suppose we are given an equivalence between (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ), and one be-

27

Categories of fractions revisited

tween (f2 , w2 ) and (f3 , w3 ), as in the partially commutative diagram • w

•

k

•

g

w1

•

g

h

g w

gw1 =hw2

•

w

f2

•

2

h

=h w

3

•

f3

w2

w3

f1

•

•

Here, the equivalence between (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) is assumed to be implemented by g and h, while the one between (f2 , w2 ) and (f3 , w3 ) is implemented by g and h . The commutativity conditions for the two equivalences are (3)

gf1 = hf2 ,

gw1 = hw2 ;

g f2 = h f3 ,

g w2 = h w3

In the upper part of the diagram, k and w were obtained by applying (L1) to the two wiggly arrows gw1 = hw2 and g w2 = h w3 . The w2 . corresponding commutativity assertion of (L1) then is khw2 = wg By virtue of (L2), we can then find the drawn w such that wkh =w wg . Together with the relations (3), this means that the compositions wkg and w wh of the morphisms which go up along the sides implement an equivalence between (f1 , w1 ) and (f3 , w3 ). Under a closer look, the above argument is actually a special case of the argument used to prove Lemma 3.4. In fact, we could also have applied Lemma 3.4 directly to the two roofs (h, hw2 ) and (g , g w2 ), since both are (L1)-complements of the formal right fraction iddom(w2 ) w2−1 .

Remark 3.6. We can also take a 2-categorical point of view which gives some more intuitive insight on the notion of equivalence of roofs. We get something resembling a 2-category as follows: on the objects of C we define a 1-morphism to be a roof in C with respect to W. For a roof (f, w), we define dom((f, w)) = dom(f ) and cod((f, w)) = dom(w). A

28

Tobias Fritz

2-morphism from a roof (f1 , w1 ) to a parallel roof (f2 , w2 ) is then defined to be a commutative diagram

f1

•

• f2

•

w1

w2

•

The existence of such a 2-morphism makes (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) equivalent; we call such a 2-morphism an elementary equivalence. A 2morphism from (f1 , w1 ) to (f2 , w2 ) can be composed with a 2-morphism from (f2 , w2 ) to (f3 , w3 ). This resembles the vertical composition in a 2-category. Now the observation is that two roofs are equivalent if and only if they can be connected by a finite path of 2-morphisms, where each 2-morphism is either traversed from its domain to its codomain or in the reverse direction. To see this, note that the third roof (gf1 , hw2 ) in the diagram of Definition 3.3 is connected to each of the other two roofs by a 2-morphism. The other implication direction follows from the transitivity statement of Lemma 3.5 and the fact that two parallel roofs connected by a single 2-morphism are equivalent. Hence Lemma 3.5 can also be reinterpreted as a connectivity statement about the category of parallel roofs between some pair of objects. In what follows, we will define a (weakly associative) composition of 1-morphisms. A horizontal composition of 2-morphisms does not seem to exist in general, although it seems related to the upcoming proof that the composition of 1-morphisms is well-defined up to equivalence. We end this remark by pointing out again that this 2-categorical picture is a non-rigorous intuition.

Lemma 3.4 also allows the definition of composition for equivalence classes of roofs: Definition 3.7. Given two roofs (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) which are composable in the sense that dom(w1 ) = dom(f2 ), we define their composition as 2) (f2 , w2 ) ◌ (f1 , w1 ) ≥ (f f1 , ww

29

Categories of fractions revisited

where f and w in

f1

•

•

f

w

w1

•

w2

f2

•

•

•

were obtained by means of (L1). Thanks to lemma 3.4, the equivalence class of (f , w) is unique. Therefore, so is the equivalence class of (f f1 , ww 2 ). Lemma 3.8. This composition does not depend on the equivalence class of either of the two roofs. Proof. For both pairs of roofs, it is sufficient to consider the case that they are connected by an elementary equivalence as described in Remark 3.6. Thus suppose we are given the lower half of the diagram

f1

•

• f1

g1

• w1

f

•

w f2

w1

•

• f2

g2

• w2

w2

•

which represents two pairs of elementarily equivalent roofs. After possible renamings (f1 , w1 ) ↔ (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) ↔ (f2 , w2 ), we can assume that g1 goes from cod(f1 ) to cod(f1 ), while g2 similarly points from cod(f2 ) to cod(f2 ). Applying (L1) to the pair w1 , f2 yields f and w. Then (f f1 , ww 2) is a possible roof representing the composition (f2 , w2 ) â—Ś (f1 , w1 ). Sim 2 w2 ) is a possible roof representing the composition ilarly, (f g1 f1 , wg (f2 , w2 ) â—Ś (f1 , w1 ). By commutativity, these roofs coincide, so in particular they are equivalent. Theorem 3.9. If W ⊆ C admits a calculus of left fractions, then the category C[W −1 ] can be described as the category with the same objects as C, morphisms equivalence classes of roofs, and composition as defined above. The localization functor Loc : C → C[W −1 ] is given by f → (f, id).

30

Tobias Fritz

Proof. Associativity of composition follows from the symbolic diagram • •

•

•

•

•

•

•

•

•

where the three lower roofs are those to be composed; the rest of the diagram is obtained by three applications of (L1). Then the large roof from the left to the right formed by composing the morphisms along the sides is a representative for the composition of the three lower roofs in both possible ways of bracketing. This shows associativity. Furthermore, the equivalence classes of the roofs (id, id) obviously play the rˆole of identity morphisms. Therefore, taking equivalence classes of roofs as morphisms on Obj(C) gives a well-defined category C[W −1 ]. Concerning functoriality, Loc preserves identities by definition, and preserves composition by the diagram g

f

•

•

•

g

•

•

•

which says that the roof (gf, id) is a representative for the equivalence class of (g, id) ◦ (f, id). Under Loc, the image of some w ∈ W is (w, id), and this image has as its inverse element the class of (id, w) since (w, w) is a representative of both (id, w) ◦ (w, id) and (w, id) ◦ (id, w), and there is an obvious equivalence (w, w) ∼ (id, id). In particular, Loc maps W to isos. It remains to check universality. Suppose we have some functor F : C → D which maps W to isos. First we need to show that F uniquely extends to roofs. By the desired commutativity of (2), any such extension has to map the roof (f, id) to F (f ). Similarly, since the class [(id, w)] is the inverse of the class [(w, id)], any such extension maps

31

Categories of fractions revisited

(id, w) to F (w)−1 . But now (f, w) is a representative of the composition (id, w) â—Ś (f, id), so we need (f, w) → F (w)−1 F (f ). We still have to check that this assignment is well-defined on equivalence classes and that it is functorial. Consider an elementary equivalence of roofs as in Remark 3.6, g

f1

•

• f2

•

w2

w1

•

Then in D we have F (w2 ) = F (g)F (w1 ), so F (w1 )−1 = F (w2 )−1 F (g). Then the calculation (4)

F (w1 )−1 F (f1 ) = F (w2 )−1 F (g)F (f1 ) = F (w2 )−1 F (f2 )

shows that the equivalent roofs get mapped to identical morphisms in D. Functoriality follows by very similar reasoning. Given a pair of composable roofs together with their composition as in Definition 3.7, it holds that (5) so that we get (6)

(f2 ) F (f )F (w1 ) = F (w)F F (w) −1 F (f ) = F (f2 )F (w1 )−1

Applying first the functor and composing the roofs afterwards yields (7) F (w2 )−1 F (f2 ) â—Ś F (w1 )−1 F (f1 )

while for the other direction we end up with F (ww 2 )−1 F (f f1 ), which coincides with (7) by (6) and functoriality of F .

If W ⊆ C satisfies (L0) (which is self-dual) and additionally the conditions (R1) and (R2), which are defined to be the category-theoretic duals of (L1) and (L2), then we say that W allows a calculus of right fractions. In this case, the dual theorem holds: C[W −1 ] can be described in terms of equivalence classes of roofs (w, f ) which now represent right fractions f w−1 . If all five of the (L∗) and (R∗) conditions hold, we say that W admits a calculus of left and right fractions.

32

4

Tobias Fritz

Weakening the requirements

In [4], a notion of category of fractions is introduced which, on first sight, is seemingly weaker in its premises than the one discussed in the previous section. While keeping (L0) and (L1), the axiom (L2) is replaced by the condition (L2’) Denote by WL the class of morphisms in C generated by W and all split monos in C. Then given w ∈ W and parallel morphisms f1 , f2 such that f1 w = f2 w, there exists w ∈ WL such that w f1 = w f2 . f1

w

•

•

f2

•

w

•

Proposition 4.1. Given w ∈ WL , we can find k ∈ C such that kw ∈ W. Proof. Let us consider the cases how w might look like, one by one and in increasing order of difficulty. If already w ∈ W, we are done since where m is a split mono and we can take k = idcod(w ) . If w = mw, w ∈ W, we can take k to be a left-inverse of m, so we are done as well. The only non-trivial type of situation occurs when w is a composition of morphisms in W and split monos such that morphisms of W come after split monos. The prototype for this situation is a morphism with w ∈ W and m a split mono. By assumption, m has like w = wm, a left inverse e, which means em = id. Now apply (L1) to the pair w, e, •

m

e

w

w

•

•

k

w

•

which gives the morphism k and some morphism w ∈ W. The commutativity assertion of (L1) states in this case we = k w, so after composing with m on the right we have w = wem = k wm = kw ∈ W. Now for the general case. By definition of WL and (L0), our w is of the form (8)

w = wn mn ¡ ¡ ¡ w1 m1

33

Categories of fractions revisited

where the mj are split monos and wj ∈ W. Starting from the left, we can iteratively apply the previous argument and use (L0) to compose the morphisms in W to a single morphism in W, until we have only a single morphism in W left. Corollary 4.2. (a) Given (L0) and (L1), the assertions (L2) and (L2’) are equivalent. (b) Two roofs (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) are equivalent if and only if there is a diagram •

g

f1

h

•

•

w2

w1

f2

•

•

where now we only demand commutativity and hw2 ∈ WL (instead of hw2 ∈ W). Proof. These are both immediate consequences of the previous proposition. Remark 4.3. As already noticed in [4, 1.2.4], when (L0) holds the axiom (L1) is in fact equivalent to the following variant where w ∈ WL : (L1’) Given any w ∈ WL and an arbitrary morphism f with dom(f ) = dom(w), we can find w ∈ W and some morphism f with cod(f ) = cod(w ), such that the diagram •

w

•

f

•

f

w

•

commutes. Clearly, (L1) is trivially implied by this. For the other implication direction, by Remark 3.1 it is sufficient to show that (L1’) holds if w is

34

Tobias Fritz

any split mono as in the diagram e

•

w

•

f

fe

•

•

with e some left-inverse of w. Then by (L0) we have w ≥ idcod(f ) ∈ W, so together with f ≥ f e this does the job; commutavity f ew = f holds since e is left-inverse to w.

5

Additive categories of fractions

Often, the working mathematician deals with additive categories. In particular, they may want to do localization completely within the framework of additive categories. In other words, given an additive category C and a class of “moral isomorphisms� W in C, is there an additive category C[W −1 ] and an additive localization functor Loc : C → C[W −1 ] which maps W to isos and is the universal additive functor with this property? And if yes, how can this localization be constructed? For simplicity, we only consider the case of the category of fractions. Then, in fact, the localization constructed in Theorem 3.9 already is additive. Inituitively, the reason is that one can find a “common denominator� for pairs of roofs representing parallel morphisms in C[W −1 ]. The purpose of this section is to turn this intuitive explanation into a formal proof. In the following, C is an additive category, and W ⊆ C is a class of morphisms satisfying (L0), (L1) and (L2) (or the alternatives (L1’) and (L2’) discussed in the previous section). We start by constructing “common denominators� and using them to define an addition operation on equivalence classes of roofs. Given parallel roofs (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ), we apply (L1) to the pair w1 , w2 and obtain a diagram g

(9) f1

•

• f2

•

w

•

w1

w2

•

35

Categories of fractions revisited

2 . There is an equivawhich commutes only in the sense that gw1 = ww 2 ), and similarly (f2 , w2 ) âˆź (wf 2 , ww 2 ). Thus lence (f1 , w1 ) âˆź (gf1 , ww we have identified ww 2 as a “common denominatorâ€?. Now we can define the sum of (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) as (f1 , w1 ) + (f2 , w2 ) ≥ (gf1 + wf 2 , ww 2) .

(10)

It needs to be checked that the class of (gf1 + wf 2 , ww 2 ) does not depend on the particular choice of g and w. Thanks to Lemma 3.4, the class ) is another choice [(g, w)] is well-defined by w1 and w2 . Now if (g , w connected to (g, w) by an elementary equivalence h, then we have the diagram h

g

f1

• g

•

•

w

•

w2

w1

f2

•

w

•

which commutes only in the sense that gw1 = ww 2 , g w1 = w w2 , =w . The equation g f1 + w f2 = h(gf1 + wf 2 ) shows hg = g and hw that h likewise implements an equivalence (g f1 + w f2 , w w2 ) âˆź (gf1 + wf 2 , ww 2) ,

as was to be shown. While it has been proven that the definition (10) produces a welldefined class of roofs from every pair of roofs, it is still unclear whether the sum depends on the particular representatives of the summands or only on their classes. Lemma 5.1. The class of the sum only depends on the classes of the summands and not on the particular representatives. Proof. Still using the same notation, it is sufficient to consider an elementary equivalence between (f1 , w1 ) and some (f1 , w1 ): h f1

•

• f1

•

w1

w1

•

36

Tobias Fritz

Then taking the common denominator of (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) as above yields the partially commutative diagram g

h

f1

•

•

•

w1

f1 f2

•

w

w1

•

w2

•

Now the sum of (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) is the class of 2 , ww 2) (gf1 + wf

(11)

while the sum of (f1 , w1 ) and (f2 , w2 ) is the class of 2 , ww 2) (ghf1 + wf

(12)

which coinides with (11) by commutativity of the diagram. Theorem 5.2. Suppose C is additive and allows a calculus of left fractions with respect to W. Then the category of fractions C[W −1 ] is additive. Proof. A category is additive if it is preadditive, has a zero object, and has a biproduct for every pair of objects. It was already shown how to add equivalence classes of roofs and that this operation is well-defined. Its associativity can be seen from a diagram of the symbolic form • •

• •

•

•

•

Its commutativity is evident from (9) by realizing that g and w play identical rˆ oles in (9): it is not relevant that w ∈ W, but only that ww 2 ∈ W. Neutral elements of the addition operation are given by the

Categories of fractions revisited

37

equivalence classes [(0, id)]. An additive inverse of [(f, w)] is [(−f, w)]. Hence the category of fractions is preadditive. The localization functor was defined as Loc : f → (f, id). For parallel morphisms f, g ∈ C, adding roofs gives [(f, id)]+[(g, id)] = [(f +g, id)]; in other words, Loc is additive. In particular, Loc maps biproduct diagrams to biproduct diagrams. Then since the functor is surjective on objects, C[W −1 ] has biproducts. Any null object of C also is a null object in C[W −1 ]. All in all, this makes C[W −1 ] additive. Remark 5.3. In an additive category, we can obviously replace the axiom (L2) by the slightly simpler requirement (L2”) Given w ∈ W and a morphism f such that f w = 0, there exists w ∈ W (or w ∈ WL ) such that w f = 0. •

w

•

f

•

w

•

Tobias Fritz ICFO-Institut de Ciencies Fotoniques, Mediterranean Technology Park, 08860 Castelldefels (Barcelona), Spain tobias.fritz@icfo.es

References [1] Gabriel P.; Zisman M., Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1967. [2] Gelfand S. I.; Manin Y. I., Methods of Homological Algebra, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, second edition, 2003. [3] Hatcher A., Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [4] Higson N., Categories of fractions and excision in KK-theory, Journal Pure Appl. Algebra 65 No. 2 (1990), 119–138. [5] Hovey M., Model Categories, Mathematical Surveys and Monographs 63, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

38

Tobias Fritz

[6] Jategaonkar A. V., Localization in Noetherian Rings, London Mathematical Society Lecture Note Series 98, Cambridge University Press, Cambridge, 1986.

Morfismos se imprime en el taller de reproducci´ on del Departamento de Matem´ aticas del Cinvestav, localizado en Avenida Instituto Polit´ecnico Nacional 2508, Colonia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, M´exico, D.F. Este n´ umero se termin´ o de imprimir en el mes de marzo de 2012. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm. consta de 50 ejemplares con pasta tintoreto color verde.

Apoyo t´ecnico: Omar Hern´ andez Orozco.

Contents - Contenido La obra matema ´tica de Jos´e Adem Chah´ın Alejandro Adem D´ıaz de Le´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Grupoide de movimientos y modelos de Gelfand para el grupo di´edrico D2n Gamaliel Cerda-Morales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Categories of fractions revisited Tobias Fritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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