Morfismos, Vol 6, No 1, 2002 by Morfismos, Department of Mathematics, Cinvestav

VOLUMEN 6 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2002 ISSN: 1870-6525

MORFISMOS Comunicaciones Estudiantiles Departamento de Matem´aticas Cinvestav Editores Responsables • Isidoro Gitler • Jes´ us Gonz´alez

Consejo Editorial • Jorge Alvarez Mena • Iliana Carrillo Ibarra • Samuel Gitler • On´esimo Hern´andez-Lerma • Francisco Hern´ andez Zamora • Ra´ ul Quiroga Barranco • Enrique Ram´ırez de Arellano • Francisco Ram´ırez Reyes • Carlos Valencia Oleta • Heraclio Villarreal Rodr´ıguez

Editores Asociados • Ricardo Berlanga • Emilio Lluis Puebla • Isa´ıas L´ opez • Guillermo Pastor • V´ıctor P´erez Abreu • Carlos Prieto • Carlos Renter´ıa • Luis Verde

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Morfismos puede ser consultada electrónicamente en “Revista Morfismos” de la direcci´ on http://www.math.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirse al teléfono 57 47 38 71. Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matem´ aticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, México, D.F. 07000 o por correo electr´ onico: laura@math.cinvestav.mx.

VOLUMEN 6 NÚMERO 1 ENERO A JUNIO DE 2002 ISSN: 1870-6525

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Contenido

Shallow potential wells for the Schr¨ odinger equation and water waves Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces with discounted payoﬀ Fernando Luque-V´ asquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Delta-matroides rueda ternarios M. Guadalupe Rodr´ıguez S´ anchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Gr´ aficas con una cubierta maximal independiente y cotas para algunos invariantes Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Morfismos, Vol. 6, No. 1, 2002, pp. 1-13

Shallow potential wells for the Schro¨dinger equation and water waves ∗ Peter Zhevandrov

Anatoli Merzon

Abstract We propose a simple method for constructing asymptotics of eigenfunctions for the Schro ¨dinger equation with a shallow potential well and its generalization to the problem of water waves trapped by an underwater ridge.

2000 Mathematics Subject Classification: 81Q05, 76B15. Keywords and phrases: Potential well, trapped wave.

Introduction

It is well-known that the Schro¨dinger equation (1.1)

(−∆ + U )Ψ = EΨ

in the case when U describes a shallow potential well (i.e., U = εV (x), V (x) ∈ C0∞ (Rn ), ε → 0) has exactly one eigenvalue E0 = −β 2 , β ∈ R, below the essential spectrum [0, ∞) in the case when Rn V (x)dx ≤ 0 and the dimension n of the configuration space is 1 or 2. This was established for n = 1 and in the radially symmetric case for n = 2 already in the famous textbook of Landau&Lifshitz [5] and later was demonstrated in the general case in dimension 2 by Simon [7]. The methods used by those authors are quite diﬀerent and consist, in brief, in the following. Landau&Lifshitz construct the asymptotics of the eigenfunction in the ∗

Invited article. Institute of Mathematics, UNAM (campus Morelia); on leave from Institute of Physics and Mathematics, University of Michoaca ´n, Morelia, Mich., MEXICO. 1

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

domains where V ≡ 0 and V ̸≡ 0 separately and then glue them together; thus, the asymptotics of the eigenfunction is nonuniform and the method per se is applicable only in the radially symmetric case for n = 2. The asymptotics of the eigenvalues is obtained from the gluing conditions. On the other hand, Simon reduces the problem to an equation for the eigenvalues (secular equation) which he solves by means of a Taylor expansion using the implicit function theorem; thus in his approach the asymptotics of the eigenfunction does not appear at all. Moreover, Simon’s method is by no means trivial because it uses, for example, the theory of nuclear operators. Close results on the limiting behavior of the resolvent can be found in [1]. Our goal here is to construct a uniform asymptotics of the eigenfunction in this situation assuming that (1.2)

C1 ≥ ∥Ψ∥ ≥ C2 > 0 as

ε → +0,

where C1,2 do not depend on ε and the norm is that of L2 (R). It turns out that this construction is completely elementary when one passes to the momentum representation. Moreover, our method is equally efficient for the Schrödinger equation and the problem of water waves trapped by a submarine ridge, which, as it is known in the folklore, is analogous to the Schrödinger equation with a potential well. The corresponding problem after the passage to dimensionless variables reads as follows: (1.3)

∆Φ − Φ = 0, −h(x) < y < 0, ∂φ/∂n = 0, y = −h(x), Φy = ω 2 Φ, y = 0;

here Φ ∈ H1 (−h < y < 0, x ∈ R) is the velocity potential, h(x) is the depth, x and y are the horizontal and vertical coordinates, respectively, and ω is the frequency and at the same time the spectral parameter. We assume that h(x) = h0 + εV (x), V (x) ∈ C0∞ (R). From the results of [2] it follows that for suﬃciently small ε there exists exactly one eigenvalue ! ω 2 below the essential spectrum [tanh h0 , ∞) when R V (x) ≤ 0. The asymptotics of this eigenvalue was obtained in [4] for the strict inequality in the last formula and in a closely related but diﬀerent asymptotic regime (long-wave approximation). We prove the following theorems. Denote V˜ (p) = (2π)−n/2

e−ipx V (x)dx.

Shallow potential wells

Theorem 1.1 (Schr¨ odinger equation, the case of dimension 1) 1) Let ! (1.4)

V (x)dx < 0.

Then

(1.5)

Ψn (x) = µ3/2 n

eipx R

a0 (p) + εa1 (p) + . . . + εn an (p) dp, p2 + µ2n

n = 0, 1, 2, . . ., is the asymptotics of the eigenfunction Ψ satisfying condition (1.2) and belonging to the eigenvalue E = −µ2n + O(εn+5/2 ),

(1.6) i.e. (1.7) Moreover,

∥Ψ − Ψn ∥ = O(εn+1/2 ) n

µn = ε(β0 + εβ1 + . . . + ε βn ),

β0 = −

ε → +0. π˜ V (0), 2

a0 (p) =

V˜ (p) , V˜ (0)

and the remaining values β1 , . . . , βn and functions a1 , . . . , an are determined from# system (3.10-3.13) 2) Let R V (x)dx = 0. Then

(1.8)

Ψn (x) = µn

eipx

a0 (p) + εa1 (p) + . . . + εn an (p) dp, p2 + µ2n

n = 1, 2, . . ., is the asymptotics of the eigenfunction Ψ satisfying condition (1.2) and belonging to the eigenvalue E = −µ2n + O(εn+4 ) in the sense that ∥Ψ − Ψn ∥ = O(εn ). (1.9) Moreover,

µn = ε2 (β1 + εβ2 + . . . + εn βn ), ! 1 |V (t)|2 dt, β1 = 2 ! !2 R ˜ t 1 V (t − s)V˜ (s)V˜ (−t) β2 = − √ dtds, t2 s 2 2 2π R+i R+i a0 (p) = V˜ (p), " ! " π˜ 2 V˜ (p − t)V˜ (t) ′ ˜ ˜ V (p)V (0) − dt, a1 (p) = −β2 V (p) − i 2 π R+i t2 and the remaining values of β3 , . . . , βn and the functions a2 , . . . , an are determined from system (3.10-3.13).

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

Theorem !1.2 (Schr¨ odinger equation, the case of dimension 2) 1) Let R2 V (x)dx < 0. Then Ψ0 (x) = µ1

eipx

a0 (p) dp, p2 + µ21

where 1 , ε(α0 + εα1 ) " 1 V˜ (p)V˜ (−p) α1 = − − dp, 2π R2 p2 a0 (p) = V˜ (p),

µ1 = exp (1.10)

α0 = V˜ (0),

is the asymptotics of the eigenfunction belonging to the eigenvalue E = −µ21 + O(µ21 ε2 )) in the sense ∥Ψ − Ψ1 ∥ = O(ε).

(1.11) "

f (p) f (p) − f (0) dp + Here − 2 dp = p! p2 |p|<1 2) Let R2 V (x)dx = 0. Then Ψ1 (x) =

(1.12)

µ3 ε

eipx

|p|>1

f (p) dp. p2

a0 (p) + εa1 (p) dp, p2 + µ23

where µ3 = exp

1 ε(εα1 +

ε2 α

+ ε3 α3 )

α1 , a0 are determined from (1.10), "

V˜ (−p)V˜ (p − t)V˜ (−p)a0 (t) dpdt, p 2 t2 R4 " α2 V˜ (−p)V˜ (p − t)V˜ (−p)a0 (t) dpdt α3 = (2π)2 R4 p 2 t2 $ # " " α1 V˜ (p) V˜ (p − s)a1 (s) + − ds dp, (2π)2 R2 p2 s2 R2 " α1 V˜ (p − t)a0 (t) dt − α2 a0 (p), a1 (p) = − 2π R2 t2 α2 =

α1 (2π)2

is the asymptotics of the eigenfunction belonging to the eigenvalue E = −µ23 + O(µ23 ε) in the sense ∥Ψ − Ψ1 ∥ = O(ε).

Shallow potential wells

Remark. It is possible to construct corrections of any order to the asymptotic eigenfunction Ψ1 . Theorem 1.3 1) Let Ψn (x) = µ3/2 n (1.13)

(x)dx < 0. Then

eipx

a0 (p) + εa1 (p) + . . . + εn an (p) dp, cosh h0 [L(p) + µ2n ]

1 + p2 tanh( 1 + p2 h0 ) − tanh h0 ,

L(p) =

is the asymptotics of the trapped wave Ψ satisfying condition (1.2) and corresponding to the frequency (1.14)

ω 2 = tanh h0 − µ2n + O(εn+5/2 )

in the sense (1.7). Moreover,

(1.15)

µn = ε(β0 + εβ1 + . . . + εn βn ), " 1 V (x)dx, a0 (p) = β0 = √ 2l cosh2 h0 R

V˜ (p) , V˜ (0)

l = tanh h0 − h0 (tanh h0 )2 + h0 ,

where

and the remaining values β1 , . . . , βn and functions a1 , . . . , an are determined from! the corresponding system. 2) Let R V (x)dx = 0. Then (1.16)

Ψn (x) = µn

eipx

a0 (p) + εa1 (p) + . . . + εn an (p) dp cosh h0 [L(p) + µ2n ]

is the asymptotics of the trapped wave Ψ satisfying condition (1.2) and corresponding to the frequency (1.17)

ω 2 = tanh h0 − µ2n + O(εn+4 )

in the sense (1.9). Moreover, µn = ε2 (β1 + εβ2 + . . . + εn βn ), 1 β1 = √ 2l cosh2 h0

|V˜ (p)|2 f (p)dp,

√ ˜ π V (p) a0 (p) = √ , β1 l cosh2 h0

τ 2 − τ tanh h0 tanh(τ h0 ) ,τ= τ tanh τ h0 − tanh h0 # 1 + p2 , l is defined from (1.15) and the remaining values β2 , . . . , βn and functions a1 , . . . , an are determined from the corresponding system. where f (p) is a positive function, f (p) =

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

Heuristic considerations

Before we go further, we would like to give some heuristic considerations which explain the specific form of the asymptotics of the eigenfunctions in Theorems 1.1-1.3. We will present these arguments only in the simplest case of the Schr¨odinger equation in dimension 1; their generalizations for other cases are straightforward. Thus we would like to construct an approximate solution of −Ψ′′ + εV (x)Ψ = EΨ. (2.1) We already know (although we will also obtain this fact) that in the case ! V (x)dx < 0 the energy E = O(ε2 ), E = −µ2 , say. After performing the Fourier transform in (2.1) we obtain (2.2)

2 ˜ + µ2 ) = −ε Ψ(p)(p

˜ ′ )dp′ , V˜ (p − p′ )Ψ(p

where the tilde denotes the Fourier transform. Obviously, for x ̸∈ supp V (x) we have Ψ ∼ e−µ|x| with appropriate constants and the Fourier transform of this function is a δ-type sequence. Hence the integral in the RHS of (2.2) is approximately equal to −εC V˜ (p) ˜ with some normalization constant C. Therefore, by (2.2), Ψ(p) is approximately equal to A(p) Const 2 (2.3) , p + µ2 where A(p) = V˜ (p) is a function from S(R). The singular dependence of the eigenfunction on ε is reflected in the denominator in (2.3). We note that the structure of (2.3) is identical to formulas of Theorems 1.11.3. Further, expanding A and µ in regular series in ε, calculating the asymptotics of the integral in (2.2) and equating to zero the coeﬃcients of like powers of ε, one obtains the complete asymptotic series for Ψ. The theorem on closeness of formal asymptotics to the exact solution [6] provides the final step of the proof. In conclusion, a few words about the water wave problem. As shown in [9], problem (1.3) reduces to the following integral equation for the function φ(x) = Φ|y=0 : (2.4)

˜ φ(p)(L(p) + µ2 ) = ε

˜ ′ )dp′ , M (ϵ, p, p′ )φ(p

Shallow potential wells

where µ2 = tanh h0 − ω 2 , L(p) is defined in (1.13), γ is an appropriate contour in the complex plane, and the function M (ε, p, p′ ) is analytic in p, p′ along γ and linear in ε. Since L(p) ∼ Const p2 for small p, we see that (2.4) is similar to (2.2) and our arguments are still valid if we change the denominator in (2.3) to L(p) + µ2 .

Sketch of the proof

In this section we will give a (rather detailed) sketch of the proof of the first item of Theorem 1.1; the idea of the proof of the other statements is similar. Passing to the Fourier transform in (1.1) we obtain (3.1)

ε ˜ (p2 − E)Ψ(p) = −√ 2π

˜ ′ )dp′ . V˜ (p − p′ )Ψ(p

According to the scheme outlined in the previous section, we look for the approximate solution of this equation in the form (3.2)

˜ n (p) = εBn Ψ

An (p) , + ε2 Bn2

An (p) = a0 (p) + εa1 (p) + . . . + εn an (p). We assume that a0 (p) ̸≡ 0 and (3.3)

Bn = β0 + εβ1 + . . . + εn βn .

The approximate energy level is En = −ε2 Bn2 .

(3.4)

We will look for the solution satisfying the normalization conditions (3.5)

a0 (0) = 1,

ak (0) = 0,

k = 2, . . . , n.

Our goal is to construct such values of β0 , β1 . . . , βn and functions ˜ n (p) satisfy equation (3.1) up to O(εn+2 ), where a0 (p), . . . , an (p) that Ψ n+2 n+2 ∥O(ε )∥ ≤ Const ε . Substituting (3.2) and (3.4) in (3.1) we obtain an equivalent equation (3.6)

ε 2 Bn εBn An (p) = − √ 2π

V˜ (p − p′ )An (p′ )dp′ . p′2 + ε2 Bn2

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

We will need an auxiliary lemma on the asymptotics expansions of integrals of the form !

(3.7)

φ(p, t) dt t2 + µ 2

as µ → 0, where φ(p, t) is an entire function in t and belongs to S(Rt ) uniformly in p ∈ R. There are several methods of calculating such asymptotics (see [3]); for our case the method based on the calculus of residues turns out to be more convenient. Introduce the contour in the complex plane C: γ1 := (−∞, −1] ∪ {x + iy : x2 + y 2 = 1, |x| ≤ 1, y > 0} ∪ [1, +∞). Lemma 3.1 Let φ(t) be an entire function and φ(t) ∈ S(R), t ∈ R. Then as µ → 0 (3.8)

φ(t)dt t2 + µ 2

n "

α k µk

+µ

2([ n ]+1) 2

k=0

n π "

γ1

φ(t)dt tk+2

γ1

φk (0) + { (iµ)k µ k=0 k! +

(iµ)n+1 n!

φ(t)dt (t2 − µ2 )

2([ n ]+1) 2

(1 − t)n φ(n+1) (tiµ)dt},

where αk = (1 + (−1)k )/2. We do not give the proof of this lemma. Let us continue the proof of Theorem 1.1. Expanding the left hand side of (3.6) in ε, using (3.2) and (3.3), we obtain (3.9)

εBn An (p) =

n+1 " k=1

εk (

k "

¯ a βl ak−l (p)) + εn+2 Rn+2 (ε, β, ¯),

l=0

¯ = (a0 , a1 , . . . , an ) and Rn+2 (·, ·, ·) is a where β¯ = (β0 , β1 , . . . , βn ), a polynomial in its arguments. Substituting in Lemma 3.1 µ = εBn , φ(t) = εBn V˜ (p − t)An (t) and calculating the coeﬃcients of ε0 , ε1 , ε2 and also observing how β0 , . . . , βn−1 , an−2 , an−1 , an enter the coeﬃcient

Shallow potential wells

of εn , we obtain the expansion of the integral in the right hand side of equation (3.6): εBn

V˜ (p − t)An (t)dt t2 + ε2 Bn2

= πa0 (0)V˜ (p) −επ{β0 [ia0 (0)V˜ ′ (p) − ia′0 (0)V˜ (p) − −a1 (0)V˜ (p)}

1 π

γ1

V˜ (p − t) a0 (t)dt] t2

! ˜ 1 V (p − t) ′ ′ ˜ ˜ a1 (t)dt] −ε π{β0 [ia1 (0)V (p) − ia1 (0)V (p)) − π γ1 t2 1 1 +β02 [ a0 (0)V˜ ′′ (p) − a′0 (0)V˜ ′ (p) + a′′0 (0)V˜ (p)] 2 2! 1 V˜ (p − t) ′ ′ +β1 [ia0 (0)V˜ (p) − ia0 (0)V˜ (p) − a0 (t)dt] π γ1 t2 −a2 (0)V˜ (p)} + . . . ! ˜ 1 V (p − t) n ′ ′ ˜ ˜ an−1 (t)dt] −ε π{β0 [ian−1 (0)V (p) − ian−1 (0)V (p) − π γ1 t2 1 1 +β02 [ an−2 (0)V˜ ′′ (p) − a′n−2 (0)V˜ ′ (p) + a′′n−2 (0)V˜ (p)] 2 2! 1 V˜ (p − t) ′ ′ ˜ ˜ +β1 [ian−2 (0)V (p) − ian−2 (0)V (p) − an−2 (t)dt] π γ1 t2 +... ! ˜ 1 V (p − t) ′ ′ ˜ ˜ +βn−1 [ia0 (0)V (p) − ia0 (0)V (p) − a0 (t)dt] π γ1 t2 −an (0)V˜ (p)} 2

¯ a ¯), +εn+1 Sn+1 (p, ε, β, where ¯ a Sn+1 (p, ε, β, ¯) =

γ1

¯ V˜ (p − t)An (t)Pn+1 (t, ε, β) dt tm(n) (t2 − ε2 Bn2 ) $

n+1 " #$ ¯ ∂ ˜ (p − τ )An (τ ) $$ dt, Qn+1 (t, ε, β) V $ ∂τ n+1 τ =itεB n

Pn+1 (·, ·, ·), Qn+1 (·, ·, ·) are polynomials in their arguments, m(n) ∈ N and m(n) → ∞ as n → ∞. √ Multiplying the obtained expression by −ε/ 2π and equating in (3.6) the coeﬃcients of εk , k = 1, . . . , n + 1, to zero, we obtain the

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

system for βk , ak , k = 0, 1, . . . , n: β0 a0 (p) = −

(3.10)

π a0 (0)V˜ (p), 2

(3.11) β0 a1 (p) + β1 a0 (p) =

1 π {β0 [ia0 (0)V˜ ′ (p) − ia′0 (0)V˜ (p) − 2 π ˜ −a1 (0)V (p)},

γ1

V˜ (p − t) a0 (t)dt] t2

(3.12) β0 a2 (p) + β1 a1 (p) + β2 a0 (p) =

" ˜ 1 π V (p − t) ′ ′ ˜ ˜ {β0 [ia1 (0)V (p) − ia1 (0)V (p)) − a1 (t)dt] 2 π γ1 t2 1 1 +β02 [ a0 (0)V˜ ′′ (p) − a′0 (0)V˜ ′ (p) + a′′0 (0)V˜ (p)] 2 2 " ˜ 1 V (p − t) +β1 [ia0 (0)V˜ ′ (p) − ia′0 (0)V˜ (p) − a0 (t)dt] π γ1 t2 −a2 (0)V˜ (p)},

···

(3.13) β0 an (p) + β1 an−1 (p) + . . . + βn−1 a1 (p) + βn a0 (p) ! π {β0 [ian−1 (0)V˜ ′ (p) − ia′n−1 (0)V˜ (p)) = 2 " ˜ V (p − t) 1 − an−1 (t)dt] π γ1 t2 1 1 +β02 [ an−2 (0)V˜ ′′ (p) − a′n−2 (0)V˜ ′ (p) + a′′n−2 (0)V˜ (p)] 2 2 +β1 [ian−2 (0)V˜ ′ (p) − ia′n−2 (0)V˜ (p) " ˜ V (p − t) 1 − an−2 (t)dt] + . . . π γ1 t2 " ˜ 1 V (p − t) ′ ′ ˜ ˜ +βn−1 [ia0 (0)V (p) − ia0 (0)V (p) − a0 (t)dt] π γ1 t2 −an (0)V˜ (p)}.

Shallow potential wells

Lemma 3.2 System (3.10)-(3.13) is uniquely solvable under conditions (3.5) and its solutions a0 , . . . , an belong to S(R). Proof: Setting p = 0 in (3.10) and taking into account that by (1.4) V˜ (0) ̸= 0 we obtain ! π˜ (3.14) V (0). β0 = − 2 By the condition a0 (0) = 1 we obtain from (3.11) a0 (p) =

(3.15)

V˜ (p) . V˜ (0)

Set p = 0 in (3.11). By (3.15) and the condition a1 (0) = 0 we obtain 1 β1 = 2

(3.16)

γ1

V˜ (t)V˜ (−t) dt. t2

Now let us find a1 (p) from (3.11). Substituting (3.14), (3.15) and (3.16) in (3.11), and taking into account the fact that a0 (0) = 1, we obtain (3.17)

a1 (p) =

i ˜ V (0)

π ˜′ ˜ [V (p)V (0) − V˜ ′ (0)V˜ (p)] 2 " ˜ 1 V (t)V˜ (p − t) −√ dt t2 2π V˜ (0) γ1 +√

" ˜ V˜ (p) V (t)V˜ (−t) dt. t2 2π V˜ (0)2 γ1

We see that indeed a1 (0) = 0. Proceeding analogously, we obtain βn and an assuming that β0 , β1 , . . . , βn−1 , a0 , a1 , . . . , an−1 are known and that ak (0) = 0, k = 2, . . . , n − 1. We look for an (p) such that an (0) = 0. Setting p = 0 in (3.13) and taking into account the fact that a0 (0) = 1, we obtain βn =

V˜ (−t)an−1 (t) dt] + . . . t2 γ1 " ˜ 1 V (p − t)a0 (t) ′ ′ ˜ ˜ +βn−1 [iV (0) − ia0 (0)V (0) − dt]}; π γ1 t2 1 π {β0 [−ia′n−1 (0)V˜ (0) − 2 π

that is, βn is uniquely determined. Substituting the last formula and β0 , . . . , βn−1 , a0 , . . . , an−1 in (3.13) we see that an (p) is uniquely determined since β0 ̸= 0. It is not hard to see that indeed an (0) = 0.

Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon

Thus we are left with the proof of the fact that all the ak ∈ S(R). This is obvious for k = 0. For the function a1 this follows from (3.17), the Peetre inequality [8] (1 + |θ|2 )s ≤ 2|s| (1 + |θ − θ′ |2 )|s| (1 + |θ′ |2 )s for all θ, s ∈ R, and the condition V˜ (p−t) ∈ S(R+ ). The corresponding assertions for ak , k > 1, are proved by induction. Lemma 3.2 is proved. ✷ Let us complete the proof of Theorem 1.1. From Lemma 3.5 and (3.10-3.13) it follows that Bn and An expressed in terms of values β0 , . . . , βn and functions a0 . . . , an by means of (3.2), (3.3) solve equa˜ n (p) from tion (3.6) up to O(εn+2 ). This means that the function Ψ n+2 (3.2) solves equation (3.1) up to O(ε ). Using Lemma 1.3 from [6] we obtain after normalization (1.2) the estimate (1.6). Also from Lemma 1.4 of the same book we obtain the estimate (1.7) for the eigenfunction Ψ. The first item of Theorem 1.1 is proved. ✷

Acknowledgement The authors express their deep gratitude for partial financial support to CONACYT and Coordinaci´on de Investigaci´on Cient´ıfica (UMSNH). P. Zhevandrov Institute of Mathematics, UNAM (campus Morelia), Morelia, Mich., MEXICO. pzhevand@zeus.ccu.umich.mx

A. Merzon Institute of Physics and Mathematics, University of Michoac´ an, Morelia, Mich., MEXICO. anatoli@ginette.ifm.umich.mx

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Shallow potential wells

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Morfismos, Vol. 6, No. 1, 2002, pp. 15-29

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces with discounted payoﬀ ∗ Fernando Luque-V´asquez

Abstract We study two-person zero-sum semi-Markov games in Borel spaces with possibly unbounded payoﬀ, under the discounted criterion. We consider the n-stage case as well as the infinite horizon case. Conditions are given for the existence of the value of the game, the existence of optimal strategies for both players, and for a characterization of the optimal stationary policies.

2000 Mathematics Subject Classification: 91A15, 91A25, 90C40. Keywords and phrases: Zero-sum semi-Markov games, Borel spaces, discounted payoﬀ, Shapley equation.

Introduction

This paper deals with two-person zero-sum semi-Markov games with Borel spaces and possibly unbounded payoff function, under the discounted criterion. We consider the n-stage case as well as the infinite horizon case. Under suitable assumptions on the transition law, the payoff function and the distribution of the transition times, we show the existence of the value of the game, the existence of optimal strategies for both players, and we also obtain a characterization for a pair of stationary stategies to be optimal in the infinite horizon case. Markovian stochastic games with discounted payoff have been studied by several authors (for example, [1, 7, 8, 10, 11, 12]) but, to the best of our knowledge, the only paper that studies semi-Markov stochastic ∗

Invited article. Partially supported by the Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACYT) Grant 28309E. 1

Fernando Luque-V´asquez

games with discounted payoﬀ is [5], which considers a countable state space and a bounded payoﬀ function. Our main results generalize to the semi-Markov context some theorems in [8, 10, 11] on which our approach is based. We also extend results in [5, 6]. The remainder of the paper is organized as follows. In Section 2 the semi-Markov game model is described. Next, in Section 3, the discounted criterion is introduced. In Section 4 we introduce the assumptions and present our main results, Theorems 4.3 and 4.4, which are proved in Sections 5 and 6, respectively. Terminology and notation. Given a Borel space X, i.e. a Borel subset of a complete and separable metric space, we denote by B(X) its Borel σ-algebra. P(X) denotes the family of probability measures on X endowed with the weak topology. If X and Y are Borel spaces, we denote by P(X |Y ) the family of transition probabilities (or stochastic kernels) from Y to X. For a transition probability f ∈ P(X |Y ), we write its values as f (y)(B) or f (B |y ) for all B ∈ B(X) and y ∈ Y. If X = Y, then f is called a Markov transition probability on X.

The semi-Markov game

A semi-Markov game model is defined by a collection (X, A, B, KA , KB , Q, F, , r), where X is the state space, and A and B are the action spaces for players 1 and 2, respectively. These spaces are assumed to be Borel spaces, whereas KA ∈ B(X ×A) and KB ∈ B(X ×B) are the constraint sets. For each x ∈ X, the x-section A(x) := {a ∈ A : (x, a) ∈ KA } represents the set of admissible actions for player 1 in state x. Similarly, the x-section B(x) := {b ∈ B : (x, b) ∈ KB } denotes the set of admissible actions for player 2 in state x. Let K := {(x, a, b) : x ∈ X, a ∈ A(x), b ∈ B(x)}, which is a Borel subset of X × A × B (see [9]). Moreover, Q(· | x, a, b) is a stochastic kernel on X given K called the transition law, and F (· | x, a, b) is a probability distribution function on R+ := [0, ∞) given K called the transition time distribution. Finally, r is a realvalued measurable function on K that denotes the payoﬀ function, and it represents the reward for player 1 and the cost function for player 2. The game is played as follows: if x is the state of the game at some decision (or transition) epoch, and the players independently choose

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

actions a ∈ A(x) and b ∈ B(x), then the following happens: player 1 receives an immediate reward r(x, a, b), player 2 incurres in a cost r(x, a, b), and the system moves to a new state according to the probability measure Q(· | x, a, b). The time until the transition occurs is a random variable having the distribution function F (· | x, a, b). Let H0 := X and Hn := (K × R+ ) × Hn−1 for n = 1, 2, ... . For each n, an element hn = (x0 , a0 , b0 , δ1 , ..., xn−1 , an−1 , bn−1 , δn , xn ) of Hn represents the “history” of the game up to the nth decision epoch. A strategy π for player 1 is a sequence π = {πn : n = 0, 1, ...} of stochastic kernels πn ∈ P(A | Hn ) such that πn (A(xn ) | hn ) = 1 ∀hn ∈ Hn .

We denote by Π the family of all strategies for player 1. A strategy π = {πn } is called a Markov strategy if πn ∈ P(A | X) for each n = 0, 1, ... , that is, each πn depends only on the current state xn of the system. The set of all Markov strategies of player 1 is denoted by ΠM . Let Φ1 denote the class of all transition probabilities f ∈ P(A | X) such that f (x) ∈ P(A(x)). A Markov strategy π = {πn } is said to be a stationary strategy if there exists f ∈ Φ1 such that πn = f for each n = 0, 1, ... . In this case, the strategy is identified with f, and the set of all stationary strategies for player 1 with Φ1 . The sets Γ, ΓM and Φ2 of all strategies, all Markov strategies and all stationary strategies for player 2 are defined similarly. Let (Ω, F ) be the canonical measurable space that consists of the sample space Ω := (X × A × B × R+ )∞ and its product σ-algebra F. Then for each pair of strategies (π, γ) ∈ Π × Γ and each initial state x there exist a unique probability measure Pxπγ and a stochastic process {(xn , an , bn , δn+1 ), n = 0, 1, ...}, where xn , an and bn represent the state and the actions for players 1 and 2, respectively, at the nth decision epoch, whereas δn represents the time between the (n − 1)th and the nth decision epoch. Exπγ denotes the expectation operator with respect to Pxπγ .

Optimality criteria

We assume that rewards and costs are continuously discounted and player 1 tries to maximize the expected discounted payoﬀ, while player

Fernando Luque-V´asquez

2 tries to minimize it. Definition 3.1. For n ≥ 1, α > 0, x ∈ X and (π, γ) ∈ Π × Γ, the expected n-stage α-discounted payoﬀ is defined as (1)

Vn (x, π, γ) := Exπγ

n−1 !

e−αTk r(xk , ak , bk ),

k=0

where T0 = 0 and Tn = Tn−1 + δn . The infinite-horizon total expected α-discounted payoﬀ is (2)

V (x, π, γ) := Exπγ

∞ !

e−αTk r(xk , ak , bk ).

k=0

To define our optimality criteria, we need to introduce the following concepts. The functions on X given by (3)

L(x) := sup inf V (x, π, γ) and π∈Π γ∈Γ

U (x) := inf sup V (x, π, γ) γ∈Γ π∈Π

are called the lower value and the upper value, respectively, of the (expected) α-discounted payoﬀ game. It is clear that L(·) ≤ U (·) in general, but if it holds that L(x) = U (x) for all x ∈ X, then the common value is called the value of the semi-Markov game and will be denoted by V ∗ (x). In Section 3 we give assumptions that guarantee that the functions in (1), (2) and (3) are well defined. Definition 3.2. (a) A strategy π ∗ ∈ Π is said to be α-optimal for player 1 if U (x) ≤ V (x, π ∗ , γ) ∀γ ∈ Γ, x ∈ X. (b) A strategy γ ∗ ∈ Γ is said to be α-optimal for player 2 if V (x, π, γ ∗ ) ≤ L(x) ∀π ∈ Π, x ∈ X. (c) A pair (π ∗ , γ ∗ ) ∈ Π × Γ is said to be an α-optimal strategy pair if, for all x ∈ X, U (x) = inf V (x, π ∗ , γ) and L(x) = sup V (x, π, γ ∗ ). γ∈Γ

π∈Π

We note that the existence of an α-optimal strategy either for player 1 or player 2, implies that the game has a value.

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

For the n-stage semi-Markov game, the lower value Ln , the upper value Un , the value Vn∗ and optimal strategies are defined similarily. Remark 3.3. Let βα (x, a, b) :=

(4)

∞

e−αt F (dt | x, a, b).

Then using properties of the conditional expectation we can write (5) V (x, π, γ) = Exπγ [r(x0 , a0 , b0 ) +

∞ n−1 " #

βα (xk , ak , bk )r(xn , an , bn )],

n=1 k=0

and for n ≥ 1 Vn (x, π, γ) =

Exπγ [r(x0 , a0 , b0 )

n−1 " k−1 #

βα (xi , ai , bi )r(xk , ak , bk )].

k=1 i=0

Assumptions and main results

The problem we are concerned with is to show the existence of α-optimal strategies which, as is well known (see for instance [7]), requires imposing suitable assumptions on the semi-Markov game model. The first one is a regularity condition that ensures that an infinite number of transitions do not occur in a finite interval. The second one is a combination of standard continuity and compactness requirements, whereas the third one is a growth condition on the payoﬀ function r. Assumption 1 (A1). There exist θ > 0 and ε > 0 such that F (θ | x, a, b) ≤ 1 − ε ∀(x, a, b) ∈ K. An important consequence of this assumption is the following. Lemma 4.1. If A1 holds, then (6)

ρα :=

sup (x,a,b)∈K

βα (x, a, b) < 1.

Fernando Luque-V´asquez

Proof: Let (x, a, b) ∈ K be fixed. Then integrating by parts in (4) we have ! ∞ βα (x, a, b) = α e−αt F (t |x, a, b )dt 0 ! ∞ ! θ e−αt F (t |x, a, b )dt + e−αt F (t |x, a, b )dt] = α[ 0

≤ (1 − ε)(1 − e−αθ ) + e−αθ = 1 − ε + εe−αθ < 1.

As (x, a, b) ∈ K was arbitrary, we get (6). ! Assumption 2 (A2). (a) For each x ∈ X, the sets A(x) and B(x) are compact. (b) For each (x, a, b) ∈ K, r(x, ·, b) is upper semicontinuous on A(x), and r(x, a, ·) is lower semicontinuous on B(x). (c) For each (x, a, b) ∈ K and each bounded and measurable function v on X, the functions ! ! a $−→ v(y)Q(dy | x, a, b) and b $−→ v(y)Q(dy | x, a, b) are continuous on A(x) and B(x), respectively. (d) For each t ≥ 0, F (t | x, a, b) is continuous on K. Assumption 3 (A3). There exist a measurable function w : X → [1, ∞) and positive constants m and η, with ηρα < 1, such that for all (x, a, b) ∈ K (a) |r(x, a, b)| ≤ mw(x); " (b) w(y)Q(dy | x, a, b) ≤ ηw(x). In addition, part (c) in A2 holds when v is replaced with w. Remark 4.2. By Lemma 1.11 in [8], it follows that if Assumption 2(a) holds then the multifunctions A : X → 2P(A) and B : X → 2P(B) defined as A(x) := P(A(x)) and B(x) := P(B(x)) are measurable compactvalued multifunctions. We now introduce the following notation: for any given function h : K →R, x ∈ X, and probability measures µ ∈ A(x) and λ ∈ B(x) we write ! ! h(x, µ, λ) := h(x, a, b)µ(da)λ(db), B(x)

A(x)

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

whenever the integrals are well defined. In particular, ! ! r(x, a, b)µ(da)λ(db), r(x, µ, λ) := B(x)

βα (x, µ, λ) := and Q(D | x, µ, λ) :=

B(x)

A(x)

βα (x, a, b)µ(da)λ(db), A(x)

Q(D | x, a, b)µ(da)λ(db), D ∈ B(X).

Bw (X) denotes the linear space of measurable functions u on X with finite w-norm, which is defined as ∥u∥w := sup

x∈X

|u(x)| . w(x)

For u ∈ Bw (X) and (x, a, b) ∈ K, we write ! H(u, x, a, b) := r(x, a, b) + βα (x, a, b) u(y)Q(dy | x, a, b). X

For each function u ∈ Bw (X) let (7)

Tα u(x) := sup

inf H(u, x, µ, λ),

µ∈A(x) λ∈B(x)

which defines a function Tα u in Bw (X) (see Lemma 5.1 below). We call Tα the Shapley operator, and a function v ∈ Bw (X) is said to be a solution to the Shapley equation if Tα v(x) = v(x) for all x ∈ X. In the proof of Lemma 5.1, we show that if Assumptions 1, 2 and 3 hold, then for µ ∈ A(x), H(u, x, µ, ·) is l.s.c. on B(x), and for λ ∈ B(x), H(u, x, ·, λ) is u.s.c. on A(x). Thus, by Theorem A.2.3 in [2] the supremum and the infimum are indeed attained in (7). Hence, we can write Tα u(x) := max min H(u, x, µ, λ). µ∈A(x) λ∈B(x)

We are now ready to state our main results. Theorem 4.3. Suppose that A1-A3 hold. Then the n-stage semiMarkov game (n ≥ 1) has a value Vn∗ ∈ Bw (X) and both players have α-optimal Markov strategies. Moreover, for each n ≥ 2, ∗ Vn∗ (x) = Tα Vn−1 (x).

Fernando Luque-V´asquez

Theorem 4.4. If A1-A3 hold, then (a) The semi-Markov game has a value V ∗ , which is the unique function in Bw (X) that satisfies the Shapley equation, V ∗ (x) = Tα V ∗ (x), and, furthermore, there exists an α-optimal strategy pair. (b) A pair of stationary strategies (f, g) ∈ Φ1 × Φ2 is α-optimal if and only if V (·, f, g) is a solution to the Shapley equation.

Proof of Theorem 4.3

First we shall prove a preliminary result. Lemma 5.1. If A1-A3 hold, then for each u ∈ Bw (X), the function Tα u is in Bw (X), and (8)

Tα u(x) = min max H(u, x, µ, λ). λ∈B(x) µ∈A(x)

Moreover, there exist stationary strategies f ∈ Φ1 and g ∈ Φ2 such that Tα u(x) = H(u, x, f (x), g(x)) (9)

= maxµ∈A(x) H(u, x, µ, g(x)) = minλ∈B(x) H(u, x, f (x), λ).

Proof: By Lemma 4.1 and A3, we have that for u ∈ Bw (X) and (x, a, b) ∈ K, |H(u, x, a, b)| ≤ mw(x) + ρα ∥u∥w ηw(x), which, as Tα u is measurable, implies that Tα u ∈ Bw (X). On the other hand, by A2, it follows that the function x %−→ H(u, x, a, b) is in Bw (X) and H(u, x, ·, b) is u.s.c. on A(x). Then, for fixed λ ∈ B(x), by Fatou’s Lemma, the function ! a %−→ H(u, x, a, b)λ(db) B(x)

is u.s.c. and bounded on A(x). Thus, since convergence on A(x) is the weak convergence of probability measures, by Theorem 2.8.1 in [2], the

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

function H(u, x, ·, λ) is u.s.c. on A(x). Similarily, H(u, x, µ, ·) is l.s.c. on B(x). Moreover, H(u, x, µ, λ) is concave in µ and convex in λ. Thus, by Fan’s minimax Theorem [3] we obtain (8). The existence of stationary strategies f ∈ Φ1 and g ∈ Φ2 that satisfy (9) follows from (8) and wellknown measurable selection theorems (see for instance Lemma 4.3 in [8]). ! Proof of Theorem 4.3. The proof proceeds by induction. For n = 1, the theorem follows directly from Definition 3.1 and Lemma 5.1 with u(·) = 0. Suppose the result holds for n − 1 (n ≥ 2). Let π (n−1) = (f1 , f2 , ..., fn−1 ) with fi ∈ Φ1 and γ (n−1) = (g1 , g2 , ..., gn−1 ) with gi ∈ Φ2 be a pair of α-optimal Markov strategies of players 1 and 2, respectively, in the (n − 1)-stage semi-Markov game. Then ∗ Vn−1 (·) = Vn−1 (·, π (n−1) , γ (n−1) ),

(10) and

∗ ∗ (·) = Tα Vn−2 (·). Vn−1

For an arbitrary g ∈ Φ2 put γ g = (g, g1 , ..., gn−1 ). By definition of Un , we have Un (x) ≤ sup Vn (x, π, γ g ), π∈Π

from which we obtain ! ! Un (x) ≤ sup { µ∈A(x)

B(x)

+ βα (x, a, b)

[r(x, a, b) A(x)

sup Vn−1 (y, π, γ (n−1) )Q(dy |x, a, b )]µ(da)g(x)(db)}.

π∈Π

Therefore, by the induction hypothesis, ∗ Un (x) ≤ sup H(Vn−1 , x, µ, g(x)). µ∈A(x)

Hence, since g ∈ Φ2 was arbitrary, Un (x) ≤ inf

∗ sup H(Vn−1 , x, µ, λ),

λ∈B(x) µ∈A(x)

and, by Lemma 5.1, (11)

∗ Un (x) ≤ Tα Vn−1 (x).

Fernando Luque-V´asquez

Similarily we obtain (12)

∗ (x). Ln (x) ≥ Tα Vn−1

∗ (x), i.e. the Combining (11) and (12) we get Ln (x) = Un (x) = Tα Vn−1 ∗ ∗ ∗ . Further, n-stage semi-Markov game has a value Vn and Vn = Tα Vn−1 by Lemma 5.1 Vn∗ ∈ Bw (X), and there exist f0 ∈ Φ1 and g0 ∈ Φ2 such that for every f ∈ Φ1 and g ∈ Φ2 ,

(13)

∗ , x, f (x), g0 (x)) ≤ Vn∗ (x) H(Vn−1

∗ = H(Vn−1 , x, f0 (x), g0 (x))

∗ ≤ H(Vn−1 , x, f0 (x), g(x)).

Let π (n) = (f0 , f1 , ..., fn−1 ) and γ (n) = (g0 , g1 , ..., gn−1 ). Then, from (10) and (13) it follows that π (n) and γ (n) are α-optimal strategies for players 1 and 2, respectively. !

Proof of Theorem 4.4

To prove Theorem 4.4, we need some preliminary lemmas for which we require the following notation. For a pair of stationary strategies (f, g) ∈ Φ1 × Φ2 , we define the operator Tf g on Bw (X) as: Tf g u(x) := H(u, x, f (x), g(x)). It is clear (see the proof of Lemma 5.1) that Tf g u belongs to Bw (X) for each u ∈ Bw (X). Lemma 6.1. If A1-A3 hold, then both Tα and Tf g are contraction operators with modulus ηρα < 1. Proof: First we note that both operators are monotone. That is, if u, v ∈ Bw (X) and u(·) ≤ v(·), then for all x ∈ X Tf g u(x) ≤ Tf g v(x). Similarly, Tα u(x) ≤ Tα v(x) for all x ∈ X. Also, it is easy to see that for k ≥ 0, Tf g (u + kw)(x) ≤ Tf g u(x) + ρα ηkw(x) ∀x ∈ X, and (14)

Tα (u + kw)(x) ≤ Tα u(x) + ρα ηkw(x) ∀x ∈ X.

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

Now, for u, v ∈ Bw (X), by (14), the monotonocity of Tα and the fact that u ≤ v + w ∥u − v∥w , it follows that Tα u(x) ≤ Tα v(x) + ρα η ∥u − v∥w w(x) ∀x ∈ X, so that (15)

Tα u(x) − Tα v(x) ≤ ρα η ∥u − v∥w w(x) ∀x ∈ X.

If we now interchange u and v we obtain (16)

Tα u(x) − Tα v(x) ≥ −ρα η ∥u − v∥w w(x) ∀x ∈ X,

and combining (15) and (16) we get |Tα u(x) − Tα v(x)| ≤ ρα η ∥u − v∥w w(x) ∀x ∈ X, i.e. ∥Tα u − Tα v∥w ≤ ρα η ∥u − v∥w .

Hence, Tα is a contraction operator with modulus ρα η. Using the same arguments we can prove that Tf g is a contraction operator with the same modulus ρα η. ! Remark 6.2. Since Tα and Tf g are contraction operators, by Banach’s Fixed Point Theorem there exist functions v ∗ and vf g in Bw (X) such that Tα v ∗ (x) = v ∗ (x) and Tf g vf g (x) = vf g (x) for all x ∈ X. Lemma 6.3. For a pair of stationary strategies (f, g) ∈ Φ1 × Φ2 , the function V (·, f, g) is the unique fixed point of Tf g in Bw (X). Proof: We have to show that V (x, f, g) = Tf g V (x, f, g) ∀x ∈ X. Now, V (x, f, g) =

Exf g {r(x0 , a0 , b0 )

= r(x, f (x), g(x)) + = r(x, f (x), g(x)) + +

∞ n−1 ! "

n=2 k=1

∞ n−1 ! "

βα (xk , ak , bk )r(xn , an , bn )} n=1 k=0 ∞ n−1 ! " βα (xk , ak , bk )r(xn , an , bn )} Exf g { n=1 k=0 fg Ex {βα (x0 , a0 , b0 )Exf g [r(x1 , a1 , b1 )

βα (xk , ak , bk )r(xn , an , bn ) |h1 ]}

= r(x, f (x), g(x)) + Exf g {βα (x0 , a0 , b0 )V (x1 , f, g)}

= Tf g V (x, f, g).

Fernando Luque-V´asquez

Thus, V (·, f, g) is the fixed point of Tf g . ! Lemma 6.4. Suppose that A1-A3 hold, and let π and γ be arbitrary strategies for players 1 and 2, respectively. Then for each x ∈ X and n = 0, 1, ... (a) Exπγ w(xn ) ≤ η n w(x), (b) |Exπγ r(xn , an ,! bn )| ≤ mη n w(x), πγ (c) limn→∞ Ex ( n−1 k=0 βα (xk , ak , bk )u(xn )) = 0 for each u ∈ Bw (X). Proof: For n = 0, (a) and (b) are trivially satisfied. Now, if n ≥ 1 then, by A3(b), " πγ Ex [w(xn ) | hn−1 , an−1 , bn−1 ] = w(y)Q(dy | xn−1 , an−1 , bn−1 ) ≤ ηw(xn−1 ).

Hence Exπγ w(xn ) ≤ ηExπγ w(xn−1 ), which by iteration yields (a). Part (b) follows immediately from (a) and A3(a). To prove (c), we observe that Lemma 4.1 and (a) yield # # n−1 # # # πγ $ # βα (xk , ak , bk )u(xn )]# ≤ ρnα Exπγ |u(xn )| ≤ ρnα ∥u∥w Exπγ w(xn ) #Ex [ # # k=0

≤ (ρα η)n ∥u∥w w(x).

This yields (c), since ρα η < 1. ! Proof of Theorem 4.4. (a) Let Vα be the unique fixed point in Bw (X) of Tα . Then Vα (x) = Tα Vα (x) = max min H(Vα , x, µ, λ). µ∈A(x) λ∈B(x)

By Lemma 5.1 there exists a pair of stationary strategies (f ∗ , g ∗ ) ∈ Φ1 × Φ2 such that (17)

Vα (x) = H(Vα , x, f ∗ (x), g ∗ (x)) = min H(Vα , x, f ∗ (x), λ) λ∈B(x)

= max H(Vα , x, µ, g ∗ (x)). µ∈A(x)

We will prove that Vα is the value of the semi-Markov game and that (f ∗ , g ∗ ) is an α-optimal strategy pair. The first equality in (17) implies

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

that Vα is the fixed point in Bw (X) of Tf ∗ g∗ . Thus, by Lemma 6.3, Vα (·) = V (·, f ∗ , g ∗ ), so that it is enough to show that for arbitrary π ∈ Π and γ ∈ Γ, V (x, f ∗ , γ) ≥ V (x, f ∗ , g ∗ ) ≥ V (x, π, g ∗ )

(18)

∀x ∈ X.

We will prove the second inequality in (18). A similar proof can be given for the first inequality. By (5) we have ∗

V (x, π, g ∗ ) = Exπg {r(x0 , a0 , b0 ) +

∞ n−1 ! "

βα (xk , ak , bk )r(xn , an , bn )}.

n=1 k=0

From properties of the conditional expectation we have for n ≥ 1, hn ∈ Hn , an ∈ A(xn ), and bn ∈ B(xn ), ∗

Exπg { = = =

k=0 βα (xk , ak , bk )V

(xn+1 , f ∗ , g ∗ ) | hn , an , bn }

πg ∗ k=0 βα (xk , ak , bk )Ex {V

k=0 βα (xk , ak , bk )

#n−1 k=0

(xn+1 , f ∗ , g ∗ ) | hn , an , bn }

V (y, f ∗ , g ∗ )Q(dy | xn , πn (hn ), g ∗ (xn ))

βα (xk , ak , bk ){βα (xn , an , bn )

V (y, f ∗ , g ∗ )Q(dy | xn , πn (hn ),

g ∗ (xn )) + r(xn , πn (hn ), g ∗ (xn )) − r(xn , πn (hn ), g ∗ (xn ))}

≤

#n−1 k=0

βα (xk , ak , bk )[V (xn , f ∗ , g ∗ ) − r(xn , πn (hn ), g ∗ (xn ))].

Equivalently, for n ≥ 1 #n−1 k=0

βα (xk , ak , bk )V (xn , f ∗ , g ∗ )

∗ # −Exπg { nk=0 βα (xk , ak , bk )V (xn+1 , f ∗ , g ∗ ) | hn , an , bn ]

≥

#n−1 k=0

βα (xk , ak , bk )r(xn , πn (hn ), g ∗ (xn )).

We also have

∗

V (x0 , f ∗ , g ∗ ) − Exπg [βα (x0 , a0 , b0 )V (x1 , f ∗ , g ∗ )] ≥ r(x0 , π0 (x0 ), g ∗ (x0 )).

Fernando Luque-V´asquez

Now, taking expectations and summing over n = 0, 1, ..., N we obtain ∗

∗

V (x, f , g ) −

∗ Exπg {

∗

N !

βα (xk , ak , bk )V (xN +1 , f ∗ , g ∗ )}

k=0

≥ Exπg [r(x0 , a0 , b0 ) +

N n−1 " !

βα (xk , ak , bk )r(xn , an , bn )].

n=1 k=0

Finally, letting N → ∞, by (5) and Lemma 6.4 (c) we obtain the required result. (b) (=⇒) Suppose that (f, g) ∈ Φ1 × Φ2 is a pair of α-optimal stationary strategies. Then for all x ∈ X, π ∈ Π and γ ∈ Γ, (19)

V (x, f, γ) ≥ V (x, f, g) ≥ V (x, π, g).

Fix x ∈ X and for an arbitrary λ ∈ B(x) define γˆ = (ˆ γn ) as follows: γˆ0 = λ and γˆn = g for n = 1, 2, .... Then, by the first inequality in (19), # # V (x, f, g) ≤ V (x, f, γˆ ) = [r(x, a, b) B(x) A(x) # + βα (x, a, b) V (y, f, g)Q(dy |x, a, b )]f (x)(da)λ(db). It follows that V (x, f, g) ≤ H(V (·, f, g), x, f, λ), from which we get V (x, f, g) ≤ Tα V (x, f, g). Similarily, we can prove V (x, f, g) ≥ Tα V (x, f, g), and combining the last two inequalities we get the desired result. (⇐=) The proof of this part is contained in the proof of part (a). ! Acknowledgement The author wishes to thank Professor On´esimo Hern´andez-Lerma for his valuable comments and suggestions. Fernando Luque-V´ asquez Departmento de Matem´ aticas, Universidad de Sonora, Rosales y Blvd. Luis Encinas, Hermosillo, Sonora, MEXICO. fluque@gauss.mat.uson.mx

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces

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Morfismos, Vol. 6, No. 1, 2002, pp. 31-55

Delta-matroides rueda ternarios M. Guadalupe Rodr´ıguez S´anchez

∗

Resumen Un problema abierto en la teor´ıa de representacioń de deltamatroides es el de hallar una lista de obstrucciones para GF (3)representabilidad por medio de matrices antisimétricas. Se dá un primer paso en la resolución de este problema para una clase particular de delta-matroides llamados delta − matroides rueda. Estos delta-matroides son binarios y tienen asociadas ruedas como sus gráficas fundamentales. Se exhibe la lista de obstrucciones que caracteriza a esta clase con respecto a su representabilidad sobre el campo GF (3). Por otro lado, también se exhiben dos delta-matroides cuyas gráficas fundamentales son ruedas parciales y que son menores de una clase bien definida de delta-matroides. Estos son DW3,6 , que es obstrucción para la ternaridad de los delta-matroides inducidos por ruedas parciales alternadas del tipo Wk,2k , con k impar, y DW4R que es obstrucción para ternaridad de los delta-matroides DW4,3k1 +3k2 +4 cuyas gráficas fundamentales son ruedas parciales, caracterizadas informalmente, por tener tres rayos consecutivos y un rayo no consecutivo a los anteriores.

2000 Mathematics Subject Clasification: 05B35. Keywords and phrases: delta-matroides, obstrucciones, ternaridad.

Introducci´ on

En este art´ıculo se caracterizan aquellos delta-matroides binarios que tienen como gr´aficas fundamentales a ruedas, as´ı como a dos clases de ∗ El contenido de este trabajo representa parte de la tesis de grado presentada por la autora dentro del programa de doctorado del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV. 1 Universidad Aut´ onoma Metropolitana, UAM-A.

M. Guadalupe Rodr´ıguez S´anchez

delta-matroides binarios cuyas gráficas fundamentales son ruedas parciales, la primera clase es inducida por ruedas del tipo Wk,2k y la segunda por ruedas del tipo W4,3k1 +3k2 +4 . Estos resultados se pueden ver dentro de un contexto más general, determinado por el problema de caracterizar los delta-matroides binarios D=(V, F) representables mediante matrices antisimétricas tales que admiten un signado de su matriz de representación, de tal manera que la matriz signada sea una matriz de representación para el delta-matroide D, sobre el campo GF (3). Es decir, la clase de delta-matroides binarios que a su vez son ternarios. Se tiene que las gráficas fundamentales de los delta-matroides rueda minimales no ternarios están fuertemente conectados con la lista de obstrucciones de gráficas circulares dadas por Bouchet [11]. De hecho ambas listas difieren sólo en el delta-matroide cuya gráfica fundamental es W6 , que es la rueda usual con seis rayos. Las gráficas circulares están relacionadas con estructuras matroidales. Se sabe que las gráficas fundamentales de un matroide son siempre bipartitas y que dado un delta-matroide par, este es ∆-equivalente a un matroide si y sólo su gráfica fundamental es bipartita, ver [8]. Ahora bien, una gráfica bipartita es una gráfica circular si y sólo si es la gráfica fundamental de un matroide plano; es decir, un matroide gráfico constru´ıdo a partir de una gráfica plana. En este contexto, es importante notar que los delta-matroides que no provienen de un matroide tienen gráficas simples como sus gráficas fundamentales. Considérese G = (V, E) una gráfica simple. Sea Gs la gráfica G con una orientación de sus aristas, y sea A la matriz de adyacencia de Gs . A={Auv : u, v ∈ V } es una matriz antisimétrica cuyas entradas pertenecen al conjunto {0, 1, −1} tal que Auv =+1 si y sólo si uv es una arista orientada de u a v, V es el conjunto de los vértices de G. La orientación de Gs se dice que es unimodular si A satisface: det (A[W ]) ∈ {−1, 0, 1},

W ⊆ V.

(*)

Bouchet [4] establece que toda gráfica circular admite una orientación unimodular. Ahora bien, se dice que un delta-matroide binario es regular si existe un signado de su matriz binaria de representación que cumpla la propiedad (*). Se tiene que W6 no puede orientarse de forma unimodular. W5 , que es una obstrucción para las gráficas circulares, está contenida en W6 , como gráfica circular, es decir W5 =((W6 ∆{0})\{0})∆{x} para cualquier x ∈ {1, ..., 6}. Es importante notar que DW5 como delta-matroide, no

Delta-matroides rueda ternarios

es un menor de DW6 , de hecho DW6 es minimal no ternario, en su representación con matrices antisimétricas. El conocido teorema de Tutte para matroides regulares, ha sido generalizado para delta-matroides tanto en su representaci´ on simétrica como antisimétrica [17]. Para el caso antisimétrico se puede enunciar de la siguiente forma: sea D un delta-matroide par, D es regular si y sólo si D es representable sobre los campos GF (2) y GF (3). De esta manera un delta-matroide binario es regular si y sólo si es ternario. Luego las gráficas circulares minimales para las cuales no existe una orientación unimodular, son delta-matroides binarios que no pueden ser representados sobre GF (3), por medio de matrices antisimétricas. Por lo dicho anteriormente, se tiene que la caracterización de los deltamatroides ternarios dá como corolario la caracterización de los deltamatroides regulares, problema fundamental dentro de esta teor´ıa, que a´ un sigue abierto. Esta es una de las motivaciones centrales de este trabajo. Aunque las obstrucciones aqu´ı presentadas se pueden hallar en parte a partir de la unimodularidad de las gráficas circulares y en parte mediante el estudio emprendido por Geelen sobre los delta-matroides regulares, cabe resaltar que aqu´ı se obtienen en forma unificada, por métodos técnicamente distintos, que pueden ser generalizados para la resolución del problema general. De hecho ya se tienen avances importantes en esta dirección.

Conceptos Fundamentales de Delta-matroides

Un delta − matroide es una pareja D = (V, F), con V un conjunto finito y F es una familia de subconjuntos de V , que cumple un axioma de cambio de base: (A∆) Para F1 , F2 ∈ F y x ∈ F1 ∆F2 , existe y ∈ F1 ∆F2 , tal que F1 ∆{x, y} ∈ F. A los elementos de F se les llama bases de D, ∆ es el operador diferencia simétrica entre conjuntos. Una aplicaci´ on ∆ es una operación que convierte a D en D′ = D∆X = (V, F ∆X) donde F∆X = {F ∆X : F ∈ F} y X ⊆ V . Se dice que D′ es un delta-matroide ∆-equivalente a D. (V, F) es un matroide si y sólo si (V, F) es un delta-matroide tal que sus bases son equicardinales. Si M es un matroide entonces M ∆V es el matroide dual de M . Se dice que un delta-matroide D es representable o tiene una rep-

M. Guadalupe Rodr´ıguez S´anchez

resentación lineal sobre un campo F si existe una (V × V )-matriz A simétrica o antisimétrica, con entradas en F, que cumple que: A[F ] es no singular ⇐⇒ F ∈ F, donde A[F ]={Ai,j : i, j ∈ F, F ⊆ V }. A las matrices A[F ] se les llama submatrices principales. Por convención se considera A[F ] no singular, si F = ∅. Si A es una (V × V )-matriz simétrica o antisimétrica, se denota por D(A) al delta-matroide que se obtiene tomando como sus bases a los F ⊆ V tales que A[F ] son las submatrices principales no singulares de A. Un delta-matroide D = (V, F) tal que ∅ ∈ F se dice que es normal. As´ı todo delta-matroide representable es normal. Considérense x ∈ V y los conjuntos dados a continuación: F \ x = {F : F ⊆ V \ x, F ∈ F}, F ◦ x = {F : F ⊆ V \ x, F ∪ {x} ∈ F}. Se definen dos menores elementales de un delta-matroide, el primero como D\x = (V \x, F \x), D\x es un menor elemental de D obtenido por borrado del elemento x; el segundo se define como D ◦ x = (V \ x, F ◦ x), D◦x es un menor elemental de D obtenido por contracci´ on del elemento x. En general, un menor se obtiene tomando varios menores elementales sucesivamente, sin importar el orden en que esto se realice. A. Bouchet [9] probó que todo menor normal de un delta-matroide representable sobre F con una matriz antisimétrica es también F-representable por medio de una matriz antisimétrica. Una propiedad importante, relativa a la toma de menores y su relación con la operación ∆, se encuentra en [9]. Se enuncia a continuación, pues será de gran ayuda en el desarrollo de este trabajo. Para todo delta-matroide D = (V, F), x ∈ V y F ⊆ V , se cumple: (P)

(D∆F ) \ x = (D ◦ x)∆(F − x)

x ∈ F.

Sea D=(V, F) un delta-matroide y sea F una base de D. Se define la gráfica simple GD (F )=(V, ED ), con ED ={xy : F ∆{x, y} ∈ F}. A GD (F ) se la llama la gr´ af ica f undamental del delta-matroide D respecto a F . En este trabajo solamente se usarán gráficas fundamentales respecto al ∅ y se hará referencia a ellas simplemente como las gráficas fundamentales del delta-matroide en cuestión.

Delta-matroides rueda ternarios

Un delta-matroide para el cual todas sus bases tienen la misma paridad, esto es la misma cardinalidad m´odulo 2, se dice que es par. En otro caso, se dice que el delta-matroide es impar. Un matroide es un caso particular de un delta-matroide par, esto debido a la equicardinalidad de sus bases.

Signados y Orientaciones

Dada una (V × V )-matriz antisimétrica A, con entradas {0, 1}, cabe aclarar que en el caso binario, una matriz antisimétrica es una matriz simétrica con su diagonal principal nula. Se define A′ como una matriz signada que proviene de A, si a cada entrada 1 de A le corresponde en A′ , +1 o −1. Se dice que A tiene un signado compatible si para toda submatriz principal de A, sea esta A[X] con X ⊆ V , se cumple que det2 A[X] ̸= 0 ⇒ det3 A′ [X] ̸= 0 para toda X ⊆ V , donde detr denota al determinante de A[X] calculado sobre el campo GF (r), r = 2, 3. Sea D = (V, F) un delta-matroide binario normal que puede ser representado mediante una matriz antisimétrica AD =[aij ] con i, j ∈ V . Se considera la gráfica simple GAD , tal que AD es su matriz de adyacencia. GAD es la gráfica fundamental de D, relativa a AD . As´ı GAD es una gráfica cuyos vértices son los elementos de V y hay una arista de i a j, si ai,j ̸= 0; i, j ∈ V . Dado que existe una correspondencia biyectiva entre las gráficas simples y sus matrices de adyacencia, es equivalente estudiar una matriz antisimétrica A y su gráfica fundamental GA , as´ı se puede ver el signado de A como una orientación de GA . Sea A=[aij ] con i, j ∈ V , si aij = +1, se pone una flecha del vértice i al vértice j, si aij = −1, se pone una flecha del vértice j al vértice i. En las matrices de representación se consideran los renglones y columnas etiquetados por los elementos de V . Considérese x ∈ V , se dice que se realiza una operaci´ on conmutador sobre x en A′ si se cambian los signos en el renglón y la columna de A′ que tienen como etiqueta a x. El efecto de esta operación sobre GA es invertir las orientaciones de las aristas incidentes a x. En GA , a la operación descrita se la llama una operaci´ on v´ alida sobre x. Lema 3.1 La operaci´ on conmutador sobre x ∈ V no altera los determinantes de las submatrices A′ [X], X ⊆ V .

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Este lema se obtiene directamente aplicando las propiedades de los determinantes. Para el estudio de representabilidad de delta-matroides son importantes dos hechos: la obtención y análisis de los delta-matroides ∆equivalentes y la obtención de sus menores. Para un delta-matroide binario D, con una matriz de representación antisimétrica A, se pueden estudiar directamente sobre la gráfica GA las operaciones mencionadas. Considérese GA =(VG , EG ) una gráfica simple. Para U1 , U2 ⊆ VG se define [U1 , U2 ]={u1 u2 ∈ EG : u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 }, complementar [U1 , U2 ] consiste en borrar todas las aristas de [U1 , U2 ] y poner una arista, para todo par no ordenado u1 u2 , u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2 la cual no era una arista en GA . Sean uw ∈ EG , B=N (u) \ N (w), C=N (u) ∩ N (w) y D=N (w) \ N (u), donde N (v) denota el conjunto de los vértices adyacentes a v en una gráfica, v ∈ {u, w}. Una complementaci´ on local a lo largo de uw es la operación que consiste en complementar los conjuntos de aristas [B, C], [C, D] y [D, B]. Un pivoteo de GA en uw es la operación que consiste en efectuar una complementación local de GA a lo largo de uw y después intercambiar las etiquetas u y w. Considérense D1 =(V, F1 ) un delta-matroide, A1 una matriz de representación de D1 sobre GF (2) y GA1 su gráfica fundamental. Sea xy una arista de GA1 , si se realiza un pivoteo en esta gráfica a lo largo de xy, se obtiene GA2 , que es la gráfica fundamental de un delta-matroide D2 =(V, F2 ) que es ∆-equivalente a D1 . Este pivoteo sobre la matriz A1 se ve como un pivoteo respecto a la submatriz no singular A1 [{x, y}]. Para D = (V, F ) un delta-matroide, A una matriz binaria de representación de D y x ∈ V , se puede dar una interpretación de la toma de menores elementales del delta-matroide D utilizando la gráfica fundamental relativa a A. Para obtener la gráfica fundamental de D \ x, se borra el vértice x y todas las aristas de GA incidentes a x. La gráfica fundamental de D ◦ x se obtiene, de la siguiente manera, se considera una arista xy de GA , entonces por (P) se tiene: (D∆{x, y}) \ x = (D ◦ x)∆{y} , luego basta con realizar un pivoteo sobre la arista xy y borrar, después, el vértice x. A continuación se dan dos lemas importantes para abordar el estudio del problema planteado. El primero se refiere al valor de los determinantes asociados a los circuitos inducidos de una gráfica. El segundo relaciona el estudio de representabilidad de los delta-matroides pares, con representaciones mediante matrices antisimétricas.

Delta-matroides rueda ternarios

Lema 3.2 Sean A una matriz antisimétrica con entradas en GF (2) y afica de adyacencia. Para todo circuito inducido C de GA se GA su gr´ cumple que det2 (C)=0. Demostraci´ on: La matriz de adyacencia asociada a un circuito inducido de una gráfica presenta dos 1’s en cada renglón y en cada columna. El lema se tiene, del hecho de que cualquier renglón es combinación lineal de los otros, as´ı el determinante que le corresponde sobre GF (2) es cero. ✷ Lema 3.3 Si A es una (V × V )-matriz antisimétrica, entonces D(A) es un delta-matroide par. Demostraci´ on: Este lema es consecuencia del hecho de que para una matriz antisimétrica se tiene que todos los determinantes de las submatrices principales de orden impar son cero. ✷

Delta-matroides rueda

Un k − ciclo, denotado por Ck , es una gráfica simple, conexa, regular de grado 2, con k vértices. La rueda Wk se construye agregando un vértice central 0, adyacente a cada uno de los vértices de Ck . A Ck se le llama el aro de la rueda y a las aristas que unen el vértice 0 con cada vértice del aro se les llama rayos. Una rueda parcial Wh,k , 2 ≤ h ≤ k, es una rueda Wk , con k − h rayos borrados. Los vértices de Ck , se numeran consecutivamente de 1 a k, de tal manera que a todo vértice i, recorriendo el aro hacia la derecha, le sigue i + 1, para i = 1, ...k − 1. Una rueda parcial alternante es una rueda de la forma Wk,2k tal que hay un rayo del vértice central a cada uno de los vértices impares (o pares) del aro. • •

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Ruedas W5 , W6 y W7 Figura 1.

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M. Guadalupe Rodr´ıguez S´anchez

Un delta-matroide rueda DWk es un delta-matroide binario, tal que su gráfica fundamental es Wk , k ∈ Z + , k ≥ 3 . Si AWk es la matriz de adyacencia de Wk , entonces DWk =D(AWk ). Es decir, DWk =(V, FWk ), donde V = {0, 1, 2, ..., k} y FWk = {X ⊆ V ; AWk [X] es no-singular}. De esta forma AWk es una representación lineal de DWk sobre GF (2). De la misma manera toda rueda parcial Wh,k origina un delta-matroide DWh,k . En esta sección, se demuestra que hay tres delta-matroides rueda minimales que no son ternarios; es decir que no son GF (3)-representables mediante matrices antisimétricas, y que no hay ning´ un otro delta-matroide rueda que sea minimal con esta propiedad. El problema de GF (3)-representabilidad del delta-matroide DWk con AWk su matriz de representación binaria asociada, puede verse como antes, DWk es GF (3)-representable si existe un signado de AWk tal que la matriz signada AsWk es antisimétrica y para todo F , base de DWk sobre GF (2), F es también una base sobre GF (3). O equivalentemente en términos de la gráfica fundamental Wk , correspondiente al deltamatroide DWk , DWk es GF (3)-representable, si existe una orientación compatible de Wk , a partir de la matriz AWk . Lema 4.1 Sea una gr´ afica que consiste s´ olo de un camino cerrado p con un n´ umero impar de aristas. Dada una orientaci´ on arbitraria de sus aristas, p puede transformarse en un camino cerrado con todas sus aristas orientadas en un s´ olo sentido, mediante un n´ umero finito de operaciones v´ alidas sobre los vértices de p. Demostraci´ on: Sea m el n´ umero de aristas de p. Considérese una orientación arbitraria de p, el´ıjase cualquier arista a, considérese la orientación de a, esta conduce a una partición de las aristas de p. Se dice que las aristas que están orientadas con la dirección de a, están en la clase I, las restantes pertenecen a la clase II. Como el n´ umero de aristas de p es impar, la cardinalidad de una clase es par y la de la otra clase es impar. P´ıntense de azul las aristas de la clase con cardinalidad par y de rojo, las restantes, Llámese un segmento a cada subconjunto maximal de aristas de p tal que sus aristas adyacentes tienen un mismo color. El resultado de hacer esto es que se obtiene un n´ umero par de segmentos de aristas, alternados en colores. Sea n=2k, con k ∈ Z+ , el n´ umero de segmentos de p. El lema será demostrado por inducción sobre k. Sea k=1, entonces el camino tiene dos segmentos, uno cardinalidad par y otro impar. Se aplica, sobre el camino par la siguiente estrategia: se consideran los vértices extremos del segmento de cardinalidad

Delta-matroides rueda ternarios

par. Empezando por cualquiera de estos, se numera el primero con 1, el siguiente sobre el camino con 2 y asi sucesivamente hasta terminar en el otro vértice extremo. Se efect´ ua sobre los vértices pares una operación conmutador. De esta manera las aristas azules se convierten en rojas, quedando todo el camino rojo. Es decir, con una u ńica orientación. Supóngase que el lema se cumple para k, se demostrará que también es válido para k + 1. Sea n = 2(k + 1), hay k + 1 segmentos de cada color. Se tienen dos casos: CASO 1. Si k+1 es impar debe haber, al menos, un segmento azul de cardinalidad par, pues si todos los segmentos azules fueran de cardinalidad impar, como hay un numero impar de segmentos, habr´ıa un n´ umero impar de aristas azules, lo cual ser´ıa una contradicción. Se aplica sobre un segmento par la estrategia descrita en el paso 1 de inducción, con lo cual se obtienen k segmentos de cada color. Luego se tiene el lema. CASO 2. Si k + 1 es par, debe haber al menos, un segmento rojo de cardinalidad par. Si no fuera as´ı, todos los segmentos rojos ser´ıan impares y como hay un n´ umero par de ellos, el n´ umero de aristas rojas ser´ıa par, lo cual contradice la coloración inicial. Se procede como en el caso 1 sobre un segmento rojo de cardinalidad par, obteniendo 2k segmentos, los cuales se sabe se pueden orientar en un sólo sentido, por argumentos de inducción. ✷ Teorema 4.2 DW5 , DW6 y DW7 son delta-matroides rueda minimales no representables sobre GF (3), mediante matrices antisimétricas. Demostraci´ on: Supóngase que DW5 , DW6 y DW7 son delta-matroides que son GF (3)-representables con matrices antisimétricas, entonces existen sus correspondientes matrices de representación, sean estas A5 , A6 y A7 . De manera natural, cada una de ellas induce una orientación de las gráficas W5 , W6 y W7 . Sea Abk la matriz de representación de DWk sobre GF (2), esta se obtiene de Ak sustituyendo las entradas -1 por 1, k = 5, 6, 7. Luego, debe cumplirse que: det2 Abk [X] ̸= 0 ⇔ det3 Ak [X] ̸= 0,

(∗∗)

para todo X ⊆ V . Considérese Wk y sean ci los cuadrados, tales que sus vértices son 0, i y los dos vértices consecutivos en el aro, tomados a la derecha de i. Todo cuadrado ci tiene cuatro orientaciones posibles, llamense las tres

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primeras Or1 Or2 y Or3 , en el orden que se presentan a continuaci´on: −→ ←− [↑−→ ←− ↓], [↑−→ ↑], [↑−→ ↓].

Para dichas orientaciones se cumple que: det2 Abk [ci ] = det3 Ak [ci ] = 0. Para la cuarta se tiene que: det3 Ak [↑−→ −→ ↓] ̸= 0, La u ´ltima orientación será llamada orientación µ. Es importante hacer dos observaciones: la primera es que la diagonal que aparece en los ci no contribuye al valor del determinante, la segunda es que toda orientación de Wk induce una orientación de cada uno de los cuadrados c1 , ..., ck , y rec´ıprocamente, al orientar los cuadrados c1 , ..., ck−1 se construye una orientación de Wk , para k = 5, 6, 7. En [9] se demuestra que no existe una orientación compatible para W5 , luego DW5 no es GF (3)-representable con matrices antisimétricas. A7 debe tener un signado compatible, ya que por hipótesis, DW7 es ternario. Considérese la orientación correspondiente para W7 . Por el lema 4.1, se puede efectuar un n´ umero finito de operaciones conmutador sobre las aristas del aro, de manera que el aro de W7 quede orientado en un sólo sentido. Si se hace lo anterior, para W7 existen dos orientaciones posibles, estas son: Or1 Or1 Or2 Or2 Or1 Or1 o Or2 Or2 Or1 Or1 Or2 Or2 . En los dos casos mencionados, los cuadrados c1 , c2 , ..., ck−1 presentan una orientación compatible, pero el cuadrado ck queda con la orientación µ. Esto contradice la representabilidad de W7 . Para el análisis de W6 , se pueden orientar compatiblemente todos los cuadrados c1 , c2 , ..., ck , sin que ocurra la orientación µ, con una orientaci´ on de este tipo, el aro nunca queda orientado en una sola dirección. Considérese cualquier orientación de W6 que evite la orientación µ de sus cuadrados, esta orientación nos induce un signado antisimétrico de la matriz A6 . Esta matriz cumple (**) para los X ⊆ V tales que | X |= 2 y | X |= 4. Sólo resta considerar F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} que corresponde al aro de W6 . Considérense las orientaciones de C6 , el circuito con seis aristas, hay dos clases disjuntas de orientaciones, llámense estas OrA y OrB . Se dirá que dos orientaciones pertenecen a una misma clase si se puede pasar de una a otra mediante un n´ umero finito de operaciones conmutador, aplicadas a los vértices de C6 . Sea OrA la orientación que

Delta-matroides rueda ternarios

tiene un n´ umero par de aristas orientadas en cada dirección y OrB la orientación que tiene un n´ umero impar de aristas en cada dirección. Se tiene que det3 F = 0 con OrA y det3 F ̸= 0 con OrB , pero det2 F = 0. Luego si DW6 es GF (3)-representable, el aro debe tener la orientación OrA . Esto no es posible si todos los cuadrados tienen una orientación distinta de la orientaci´ on µ. Por lo tanto, no existe una orientación para W6 que se traduzca en una representaci´ on de DW6 sobre GF (3). Esto contradice la suposición inicial. Falta mostrar que DW5 , DW6 y DW7 son minimales, no representables sobre GF (3), con matrices antisimétricas. Debido a la simetr´ıa de DWk , sólo se deben analizar cuatro menores elementales distintos, para cada DWk : DWk \ {0}, DWk ◦ {0}, DWk \ {x} y DWk ◦ {x} con x ∈ {1, ..., k}. 3

•

•2

• •

• •4

•

• 0

• 1

•

•4

• 5

• 3

Menores de W5 Figura 2. Para DW5 se tiene que sus cuatro menores elementales son ∆-equivalentes, es decir, partiendo de uno de sus menores elementales se pueden obtener los restantes realizando complementaciones locales sobre las aristas de su gráfica fundamental. Sean M1 =DW5 \ {0}, M2 =DW5 ◦ {5} y M3 =DW5 ◦ {0} ∼ = DW5 \ {5}, tal como aparecen en la figura 2. Se tiene que M2 =M1 ∆{3, 4} y M3 =M2 ∆{0, 1}. Se dá una matriz de representación de DW5 \ {5} sobre GF (3): 0 1 2 3 4

0 0 -1 -1 1 1

1 1 0 -1 0 0

2 1 1 0 -1 0

3 -1 0 1 0 -1

4 -1 0 0 1 0

Para DW6 , DW6 \ {6} es isomorfo a DW6 ◦ {6}, luego basta exhibir las orientaciones de las gr´aficas fundamentales correspondientes a DW6 \

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{6}, DW6 \ {0} y (DW6 ◦ {0})∆{6}. Estas aparecen en la figura 3, en el orden mencionado. 1

•✲

❆ ✁❆ ❆ ✁ ❆❆❯ ❆ ❆❑ ✁ ✕ 0❆ •✁ ✛ ❆• 3 ✁ ✁ ✁☛✁ ❆ ☛✁ ✁ ✁ ✁ ❆❆ ❑ •✁ ✛ ❆•✁

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✁✁ ✕

✒2• ✲ •3 ✁❆ ✁✁❆❆ ✁☛✁ ❆❆❯ ✁✕✁ ❆❑ ✁ ❆ ✁ ✛ ❆❆•✁ ✛ ❆• • 5 6 ✁4 ✻ ❆❆ ✁☛✁ ❆❯ ❆ ✁ ❆•✁

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✛ •✁ 4

Menores de DW6 Figura 3. Para DW7 , se exhiben las gr´aficas fundamentales que corresponden a una GF (3)-representaci´on para cada uno de sus menores elementales. En la figura 4, aparecen en el siguiente orden: DW7 \ {7}, (DW7 ◦ {7})∆{6} y (DW7 ◦ {0})∆{7}. •✲ •

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Menores de DW7 Figura 4.

La gr´afica fundamental correspondiente al menor DW7 \ {0} es un circuito con 7 aristas orientadas en un s´olo sentido. ✷

Proposici´ on 4.3 DW3 y DW4 son GF (3)-representables, mediante matrices antisim´etricas.

Demostraci´ on: Para demostrar esta proposici´on, basta exhibir las matrices de representaci´on de DW3 y DW4 . Estas son, en el orden correspondiente:

Delta-matroides rueda ternarios

0 0 -1 -1 1

0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 0 -1 -1 1 1

1 1 0 -1 1 1 1 0 -1 0 1

2 1 1 0 -1 2 1 1 0 -1 0

3 -1 -1 1 0 3 -1 0 1 0 -1

4 -1 -1 0 1 0

✷ Sea n ∈ Z+ , n ≥ 3. Para tener una caracterización completa de los delta-matroides rueda, falta investigar que ocurre con los DWn , para n ≥ 8. A continuación se dan algunas reducciones sobre Wn que corresponden a una simplificación de los delta-matroides DWn , por medio de toma de menores. Las fórmulas de reducción están referidas a la etiquetas originales de Wn . Las reducciones que se proponen involucran complementaciones locales sobre algunas aristas de la gráfica Wn , en sentido estricto deber´ıa hacerse un pivoteo, pero esta operación implicar´ıa un cambio de etiquetas de algunos vértices, lo cual complicar´ıa bastante la notación. Este proceso preserva la estructura de los delta-matroides involucrados, que es lo que en u ´ltimo caso, importa al realizar las reducciones. Por u ´ltimo, con el objeto de tener claridad al describir las reducciones sobre la rueda Wn , se denotará una arista uv como el conjunto formado por sus vértices, es decir {u, v}. REDU CCION 1. Sea n = 3k. La reducción consiste en realizar una complementación local sobre cada arista de Wn , de la forma (2 + 3i, 3 + 3i) con i = 0, ..., k − 1; seguida del borrado de los vértices que forman las aristas anteriores, es decir: (DWn ∆{2, 3}∆...∆{2 + 3(k − 1), 3 + 3(k − 1)}) \ {2} \ {3} \ ... \ {2 + 3(k − 1)} \ {3 + 3(k − 1)}. REDU CCION R. Se define un 6 − segmento sobre una rueda Wn como una sucesión de seis aristas consecutivas sobre el aro de Wn . As´ı mismo se define un

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cuasi 6 − segmento, como cualquier sucesión de menos de seis aristas consecutivas sobre el aro de Wn . PROCESO DE LA REDUCCION R: Sea Wn una rueda con sus vértices etiquetados como de costumbre. Para n ≥ 9. 1. Considérese la siguiente descomposición de n: n = 6s + r, s es el n´ umero de 6-segmentos en Wn y r es el n´ umero de aristas del cuasi 6-segmento restante, se toman consecutivamente los s 6-segmentos iniciando con el 6-segmento con vértices etiquetados del 1 al 7. 2. Paso general de la reducción: Este paso se efect´ ua sobre cada 6-segmento. Considérese el k-ésimo 6-segmento, k ∈ {0, ..., s − 1}. La numeración en los 6-segmentos es la inicial. La reducción sobre el 6-segmento k, se hace como sigue: i . ∆{2 + 6k, 3 + 6k} ∆{3 + 6k, 4 + 6k} ∆{5 + 6k, 6 + 6k}, ii . \{2 + 6k} \ {3 + 6k} \ {5 + 6k} \ {6 + 6k}. Cada vez que se efect´ ua este paso, se eliminan cuatro vértices del k-ésimo 6-segmento de Wn . El paso 2 se realiza para cada k, con k ∈ {0, ..., s − 1}. 3. No se hace ninguna operación sobre el cuasi 6-segmento. Este forma parte de la rueda reducida. Proposici´ on 4.4 Sean k, n ∈ Z. Si k ≥ 3 entonces todo delta-matroide DW3k contiene como menor a D Wk . Si n ≥ 8 entonces todo delta-matroide DWn contiene como menor a DWn−4s , donde n = 6s + r. Demostraci´ on: La primera afirmación se obtiene aplicando la reducción 1 y la segunda efectuando la reducción R. ✷ Ejemplo 4.5 Aplicaci´ on de la reducci´ on 1 a W15 para obtener W5 . Se muestra DW5 como menor de DW15 : DW5 = (DW15 ∆{2, 3}∆{5, 6}∆{8, 9}∆{11, 12}∆{14, 15})\{2}\{3}\ {5} \ {6} \ {8} \ {9} \ {11} \ {12} \ {14} \ {15}.

Delta-matroides rueda ternarios

En la figura 5 puede verse la rueda W15 después de haberse realizado las cinco operaciones ∆ ( de complementación local) sobre las aristas de la forma (2 + 3i, 3 + 3i) con i ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Si se borran las l´ıneas delgadas con sus respectivos vértices se obtiene W5 . 1

•

•4

13 •

12 6 11

•

•7 8

W5 como menor de W15 . Figura 5. Ejemplo 4.6 W 5 como menor de W 9. Aplicando dos veces la reducción R se obtiene W5 a partir de W21 . Por la proposición 4.4 se sabe que W21 puede reducirse a W9 , pues W21 tiene tres 6-segmentos más un cuasi 6-segmento de tres aristas. Mediante la reducción R , cada 6-segmento queda con sólo dos aristas, as´ı 3 (2 aristas) + 3 aristas = 9 aristas de W9 . Si se aplica la reducción R a W9 se obtiene W5 . En la primera figura correspondiente a la figura 6, se muestran las complementaciones locales sobre el primer 6-segmento de una rueda Wn , los rayos en los que los vértices no han sido remarcados se borran a continuación. En la segunda figura, aparece W5 , formada por los vértices remarcados y n´ umeros más grandes, como reducción de W9 . En términos de menores de DW9 se muestra el delta-matroide DW5 : DW5 = (DW9 ∆{2, 3}∆{3, 4}∆{5, 6}) \ {2} \ {3} \ {5} \ {6}). Las operaciones se efect´ uan en el orden que aparecen. 5

•

•7

•

. ..

9•

•4

•

8•

•

5 6

Operaciones sobre un 6-segmento y W5 como menor de W9 . Figura 6.

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Proposici´ on 4.7 Sea n ∈ Z, n ≥ 8. Todo delta-matroide rueda DWn se puede reducir a DW4 , DW5 , DW6 o DW7 , dependiendo de la clase de n, m´ odulo 4. Sean n = 4k + j, j ∈ {0, 1, 2, 3}. Para k ≥ 2, DWn se reduce a: W4 si n ≡ 0 mod 4, W5 si n ≡ 1 mod 4, W6 si n ≡ 2 mod 4, y W7 si n ≡ 3 mod 4. Demostraci´ on: Para n ≥ 8, efectuando una o más veces la reducción R, se obtiene la proposición. ✷ Proposici´ on 4.8 Los delta-matroides rueda DW4k , para k ∈ Z+ son GF (3)-representables mediante matrices antisimétricas. Demostraci´ on: Se cumple la proposición, pues toda rueda W4k con + k ∈ Z tiene una orientación compatible. Partiendo de la orientación Or1 Or1 Or2 Or2 , esta se repite k veces para W4k : Or1 Or1 Or2 Or2 . . . Or1 Or1 Or2 Or2 (k veces). ✷ Teorema 4.9 DW5 , DW6 y DW7 son los u ńicos delta-matroides rueda minimales no representables sobre GF (3) con matrices antisimétricas. Demostraci´ on:

Este teorema es un corolario de la proposici´on 4.8. ✷

Dos familias de delta-matroides no ternarios cuyas gr´ aficas fundamentales son ruedas parciales

Las cuatro proposiciones que siguen se refieren a delta-matroides cuyas gráficas fundamentales son ruedas parciales. En el caso de ruedas parciales alternadas que inducen delta-matroides se tiene una caracterización para ternaridad de dichos delta-matroides. Se halla otra familia de delta-matroides no ternarios que contienen a un delta-matroide no ternario minimal, cuya gráfica fundamental es una rueda parcial con cuatro rayos, tres consecutivos y otro no consecutivo a los anteriores, tal que los vértices del aro que no contienen un rayo incidente, están divididos en dos grupos de cardinalidad impar. Sea W3,6 , la rueda parcial alternante con C6 como aro y el vértice central unido con cada uno de los vértices del aro que tienen una etiqueta impar. DW3,6 es su delta-matroide correspondiente. Se tiene el siguiente teorema.

Delta-matroides rueda ternarios

•

✁ ✁❆ ✁ ✁ ❆ ✁ 1• •✁0 ❆• 4 ✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ✁ ❆• ❆•✁

W3,6 Figura 7 Teorema 5.1 DW3,6 es un delta-matroide minimal no representable sobre GF (3), mediante matrices antisimétricas. Demostraci´ on: DW3,6 es isomorfo al matroide Fano, denotado como F7 , pues existe X una base de F7 tal que DW3,6 =F7 ∆{X}. Dado que F7 es una obstrucción para matroides ternarios , no es posible dar una representación de F7 sobre GF (3), luego esta propiedad es heredada cuando se considera F7 como delta-matroide. Los menores elementales de F7 son menores elementales de DW3,6 ; es decir, vistos como delta-matroides, son ternarios. ✷ Respecto al teorema 5.1 y con el etiquetado correspondiente a la figura 7, es interesante observar que no es posible orientar los cuadrados {0,1,2,3}, {0,3,4,5} y {0,5,6,1} de DW3,6 evitando la orientación µ y manteniendo el aro orientado en una sola dirección. Si se orientan los cuadrados anteriores sin usar la orientaci´ on µ, se tiene que: det2 (aro) = 0 y det3 (aro) ̸= 0. Luego no existe una orientación compatible para DW3,6 . Cuando se tiene esta configuración de tres cuadrados, dentro de un exágono se dirá que se tiene una conf iguraci´ on de 3 cuadrados sin orientaci´ on compatible. El caso de los delta-matroides que tienen como gráficas fundamentales a ruedas parciales alternadas Wk,2k es interesante, pues estos se dividen en dos grandes clases, dependiendo de la paridad de k. Para k par, DWk,2k es ternario. La orientación de Wk,2k , con k par, se puede obtener partiendo de la orientación de la rueda W2k , como se explica en la demostración de la proposición 4.8 y después borrando todas las aristas 0v donde v es un vértice del aro de W2k con etiqueta par. Los

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delta-matroides DWk,2k tales que k es impar no son ternarios, pues todos contienen como menor a DW3,6 , como se demuestra en la siguiente proposición. Proposici´ on 5.2 Sea k ≥ 5. Todo delta-matroide DWk,2k cuya gr´ afica fundamental es una rueda parcial alternada, no es ternario, si k es impar. Demostraci´ on: DWk,2k no es ternario, pues contiene como menor a DW3,6 . La afirmación anterior se cumple, pues toda rueda parcial alternada Wk,2k , numerando sus rayos consecutivamente con las etiquetas impares de 1 a k , sobre el aro y con 0 como etiqueta del centro, se reduce a W(k−2),2(k−2) efectuando las siguientes operaciones: (∆{2k, 2k − 1}∆{2k − 2, 1} \ {2k} \ {2k − 1}) \ {2k − 2} \ {1}, sobre Wk,2k . ✷ Toda gráfica que tiene como subgráfica la configuración de 3 cuadrados sin orientación compatible no podrá, tener una orientación compatible. Luego, partiendo como base de la configuración DW3,6 y agregando rayos a dicha configuración, se obtienen otras gráficas que inducen deltamatroides que no son representables sobre GF (3) mediante matrices antisimétricas. De esta manera y dada la simetr´ıa de la gráfica DW3,6 sólo falta analizar dos casos: aumentar un rayo y aumentar dos rayos. Ahora bien, resulta que los delta-matroides inducidos por estas dos gráficas que resultan de los dos casos anteriores, son ∆-equivalentes. Por lo tanto, con este procedimiento se puede hallar una nueva obstrucción para ternaridad de delta-matroides pares. Se estudia este nuevo deltamatroide en la siguiente proposición. Proposici´ on 5.3 El delta-matroide DW4R =(VW4R , FW4R ) con VW4R = {0, 1, ..., 6} y que tiene como gr´ afica 3 fundamental a: • 2• •4 • 0 •5 , 1• • 6

es una obstrucci´ on para GF (3)-representabilidad.

Delta-matroides rueda ternarios

Demostraci´ on: La gráfica fundamental de DW4R no se puede orientar compatiblemente pues contiene la configuración de 3 cuadrados no orientables compatiblemente. Resta ver que sus menores elementales son ternarios. Nótese en primer lugar que DW4R \ (◦)2 ∼ = DW4R \ (◦)6 y ∼ DW4R \ (◦)3 = DW4R \ (◦)5. Esto se tiene por la simetr´ıa de la gráfica W4R . En primer lugar, se analizan las gráficas fundamentales correspondientes a los menores elementales obtenidos por borrado. En el caso de DW4R \ 0, la gráfica anterior es un exágono, la orientación compatible se dá en el teorema 4.2. La gráfica correspondiente a DW4R \ 4 consta de dos cuadrados que comparten una arista, la orientación compatible ←− es: ↑−→ afica fundamental ←− ↓−→ ↑ . El menor DW4R \ 2 tiene como gr´ la gráfica descrita en el caso anterior más una diagonal en uno de los cuadrados, esta gráfica se orienta como en el caso anterior, a la diagonal se le dá cualquier orientación, pues esta induce solamente circuitos nuevos con un n´ umero impar de aristas. Es importante observar que las aristas colgantes, en una gráfica, no forman parte de ning´ un circuito, luego se les puede dar cualquier orientación, si el resto de la gráfica tiene una orientación compatible entonces la gráfica completa tendrá una orientación compatible. La gráfica fundamental asociada a DW4R \ 1 es un cuadrado con una diagonal y dos aristas colgantes, adyacentes a los vértices de grado 2, esta gráfica tiene una orientación compatible, como se muestra en la demostración del teorema 4.2. Por u ´ltimo, el menor DW4R \ 3 que tiene por gráfica fundamental un cuadrado unido por una arista a un triángulo, más una arista colgante adyacente a un vértice de grado 2 correspondiente al cuadrado, esta gráfica tiene una orientación compatible, dado que el triángulo no induce pol´ıgonos con n´ umero de aristas de cardinalidad par. En el caso de los menores elementales obtenidos por contracción, es importante se˜ nalar que DW4R ◦ 3 ∼ = DW4R \ 2, DW4R ◦ 2 ∼ = DW4R \ 3. Resta verificar las contracciones con los elementos 0, 1 y 4. Para estos elementos se tiene que: DW4R ◦ 4 ∼ = DW6 \ 6, pues (DW4R ◦ 4)∆{1, 2}=DW6 \ 6, DW4R ◦ 1 ∼ = DW6 ◦ 0, pues (DW4R ◦ 1)∆{3, 6}=DW6 ◦ 0. A continuación se muestra la matriz de representación de DW4R ◦ 1:

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0 2 3 4 5 6

0 0 -1 0 0 0 1

2 1 0 0 -1 -1 0

3 0 0 0 1 0 -1

4 0 1 -1 0 1 -1

5 0 1 0 -1 0 0

6 -1 0 1 1 0 0

✷ Considérese la siguiente familia de gráficas que son ruedas parciales umeros enteros positivos, considérese con 4 rayos. Sean k1 y k2 n´ W4,3k1 +3k2 +4 con el vértice central etiquetado con 0 y los vértices del aro con el etiquetado acostumbrado. Se toman 3 rayos que tienen uno de sus extremos en los vértices del aro, que tienen etiquetas consecutivas, sin pérdida de generalidad, se pueden considerar los rayos: 01, 02 y 03. Se borran los 3k1 rayos siguientes, se conserva el rayo 0 3k1 + 4 y se borran los siguientes 3k2 rayos. Si se consideran los delta-matroides DW k1 k2 , inducidos por los 4,3 +3 +4 elementos de la familia de ruedas parciales introducidos anteriormente, se tiene que todo delta-matroide que es un elemento de esta familia contiene como menor a DW4R . Para ver que DW4R es un menor de D, para todo D ∈ DW k1 k2 , se efect´ uan operaciones de toma de menores 4,3 +3 +4 usando técnicas similares a la Reducción 1, explicada anteriormente. Se deja al lector la verificación de este hecho. Proposici´ on 5.4 DW4R es un menor de todo delta-matroide que es un elemento de la familia de delta-matroides DW k1 k2 . ✷ 4,3

Corolario 5.5 DW5 , DW6 , DW7 , DW3,6 y DW4R son obstrucciones para GF (3)-representabilidad de delta-matroides con matrices antisim´etricas. ✷ DW5 , DW6 , DW7 y DW3,6 y DW4R son obstrucciones ternarias en el contexto de delta-matroides inducidos por ruedas y ruedas parciales. Pero dado que no son GF (3)-representables con matrices antisim´etricas y que todos sus menores son ternarios, entonces los delta-matroides anteriores son obstrucciones ternarias en un contexto general.

Delta-matroides rueda ternarios

Conclusiones

En este trabajo se analizaron los delta-matroides binarios que tienen como gráficas fundamentales a ruedas y ruedas parciales. Si se permite que las gráficas fundamentales correspondientes a ciertos deltamatroides presenten, además de rayos, cuerdas; es decir, aristas que unen dos vértices no adyacentes del aro de una rueda o de una rueda parcial, se pueden obtener nuevos menores prohibidos para GF (3)representabilidad de delta-matroides. Un ejemplo, entre otros que se han obtenido en [20] es el delta-matroide cuya gráfica fundamental aparece en la siguiente figura y que se denotará por D3C : 3

•

✁ ✁❆ ✁ ✁ ❆ ✁ 6• •✁5 ❆• 2 ✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ✁ ❆• ❆•✁

Nueva obstrucción para ternaridad: D3C . Figura 8 El conjunto C={DW5 , DW6 , DW7 , DW3,6 , DW4R } que se presenta aqu´ı, contiene propiamente a la lista de obstrucciones para gráficas circulares. En [17] Geelen propone una lista de obstrucciones para regularidad de delta-matroides. Dicha lista es G=C más las dos gráficas que aparecen a continuación: •

✁✁ ✁ • ❆❆ ❆•

•

✁✁❆❆

❆• ❆❆ ✁✁ ❆•✁

•✁

•

✁✁

❆❆

❆•

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✁✁❆❆

•✁

❆❆

❆•✁

❆• ✁✁

Esta lista de Geelen G no es completa, ya que en [20] se exhiben varios delta-matroides nuevos D = (V, F) con | V |=7 que son obstrucciones para ternaridad, uno de ellos es precisamente D3C , mostrado en la figura 8. La aplicación de las técnicas empleadas en este trabajo, as´ı como de otros análisis y técnicas han permitido extender C y G. Es decir, la lista de obstrucciones para GF (3)-representabilidad de delta-matroides con

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matrices antisimétricas y por lo tanto para regularidad. Estos nuevos resultados serán reportados en un trabajo posterior [20]. Para finalizar este trabajo y como un breve apéndice se explica la forma de obtener D3C , en el siguiente apartado. CONSTRUCCION DE D3C . Considérese la gráfica fundamental de DW9 , etiquetada de la manera usual, correspondiendo 0 al vértice central y las etiquetas del 1 al 9 alrededor del aro, de tal forma que a vértices adyacentes corresponden n´ umeros consecutivos, siendo el 9 adyacente a 8 y a 1. [(DW9 ◦ 0) \ 9] \ 4 ∼ = D3C . De hecho, [(DW9 ◦0)\9]\4 ∆{5, 8}=D3C , si la gráfica fundamental de D3C se considera etiquetada como aparece en la figura 8. Graficamente, para obtener dicha gráfica a partir de W9 , se procede de la manera siguiente: se aplica el operador ∆ sobre la arista 09, a la gráfica que se obtiene se la borra el vértice con etiqueta 0, esta operación corresponde a DW9 ◦ 0. A la gráfica obtenida en el paso anterior se le borran los vértices con etiquetas 9 y 4, esta gráfica es la gráfica fundamental del delta-matroide [(DW9 ◦ 0) \ 9] \ 4. Finalmente, a la u ´ltima gráfica se le aplica el operador ∆ sobre la arista 58 y de esta manera se obtiene la gráfica de la figura 8, la cual es la gráfica fundamental del delta-matroide D3C . Agradecimientos El material que presento en este trabajo es parte de mi tesis doctoral. Agradezco al Dr. Isidoro Gitler, quién fué mi asesor, por sus valiosas observaciones durante nuestras discusiones de trabajo. También agradezco a mi colega, el Dr. Isa´ıas López, por su colaboración en el dise˜ no de las figuras que aparecen en este art´ıculo. M. Guadalupe Rodr´ıguez S´ anchez Departamento de Ciencias B´ asicas, UAM - Azcapotzalco, Av. San Pablo No. 180, 0220 México, D.F., MEXICO. rsmg@correo.azc.uam.mx

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Delta-matroides rueda ternarios

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M. Guadalupe Rodr´ıguez S´anchez

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Delta-matroides rueda ternarios

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Morfismos, Vol. 6, No. 1, 2002, pp. 57-71

Gr´aficas con una cubierta maximal independiente y cotas para algunos invariantes∗ Carlos E. Valencia-Oleta

Rafael H. Villarreal

Resumen Sea G una gráfica con n vértices la cual tiene una cubierta maximal independiente, β0 el nu ´mero de independencia de G y α0 = n−β0 . En este art´ıculo se demuestra que si β0 > α0 , entonces G tiene al menos n − 2α0 vértices aislados. Como consecuencia se obtiene n que si G no tiene vértices aislados, entonces β0 en 2 . Tambi´ se prueba que si q es el nu ´ mero de l´ıneas y e(G) es el nu ´mero de conjuntos maximales independientes con β0 vértices, entonces q ≤ α02 y e(G) ≤ 2α0 , respectivamente. Las gráficas que tienen una cubierta maximal independiente incluyen a las gráficas no mezcladas y a las gráficas cr´ıticas por l´ıneas.

2000 Mathematics Subject Clasification: 13F55, 05C69, 05C40, 05C65. Keywords and phrases: Gr´ afica, cubiertas, invariantes.

Introducci´ on

Sea G una gráfica con vértices V = {x1 , . . . , xn } y R = K[x1 , . . . , xn ] un anillo de polinomios sobre un campo K. El ideal de l´ıneas (resp. anillo de l´ıneas) de la gráfica G es el ideal monomial: I(G) = ({xi xj | xi es adjacente a xj }) ⊂ R ∗

Este trabajo forma parte de la tesis doctoral del primer autor. Estudiante en el Programa de Doctorado del Departamento de Matem´ aticas del CINVESTAV. Becario de CONACyT del proyecto 27931E, M´exico. 2 Apoyado por proyecto CONACyT 27931E. 1

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

(resp. R/I(G)), estos anillos han sido estudiados en [6, 7, 9, 10, 11]. Nosotros estamos interesados en estimar invariantes del anillo de l´ıneas que pueden interpretarse como invariantes de la gráfica G. Nuestros resultados principales son cotas para la dimensión de R/I(G), para la multiplicidad de R/I(G), y para el n´ umero m´ınimo de generadores de I(G); estos tres invariantes del anillo de l´ıneas corresponden a tres invariantes de la gráfica G que son el n´ umero de independencia β0 (G), el n´ umero de conjuntos maximales independientes con β0 (G) elementos (que es precisamente el n´ umero de caras de dimensión máxima del complejo simplicial complementario de G), y el n´ umero de l´ıneas de G, respectivamente. Las cotas que logramos son principalmente para la familia de gráficas que tienen una cubierta maximal independiente, esta familia contiene a las gráficas no mezcladas y a las gráficas cr´ıticas por l´ıneas. Nosotros probaremos que algunos de nuestros resultados no admiten una generalización directa para hipergráficas. Las referencias que usaremos para hipergráficas y gráficas son [1, 5], y para anillos de Stanley-Reisner e ideales de l´ıneas usaremos [8, 10]. En particular aqu´ı adoptaremos la terminolog´ıa y notación usada en estas referencias.

Preliminares

Para facilitar la lectura empezaremos con algunas nociones básicas de gráficas e hipergráficas las cuales jugarán un papel importante en este art´ıculo. Sea G una gráfica (resp. hipergráfica) formada por el conjunto V (G) de vértices y el conjunto E(G) de l´ıneas (resp. hiperl´ıneas). Definici´ on 2.1.1 Un conjunto A de vértices de G, se dice que es independiente si A no contiene ninguna l´ınea de G (resp. hiperl´ınea). Adem´ as, un conjunto independiente será maximal si no está contenido propiamente en ning´ un conjunto independiente. El n´ umero de independencia de G, denotado por β0 (G), se define como β0 (G) = max{|M | | M es un conjunto independiente}. Definici´ on 2.1.2 Un conjunto A de vértices de G, se dice que es una cubierta de vértices si toda l´ınea de G (resp. hiperl´ınea) contiene al menos a un vértice de A. Además, una cubierta de vértices será minimal

Cotas para algunos invariantes

si no contiene propiamente a ninguna cubierta de vértices. El n´ umero de cubierta de vértices de G, denotado por α0 (G), se define como α0 (G) = min{|M | | M es una cubierta de vértices}. Los conceptos anteriores están relacionados pues A es una cubierta de vértices minimal de una hipergráfica G si y solo si V (G) \ A es un conjunto maximal independiente. De donde se deduce que n = α0 (G) + β0 (G), donde n es el n´ umero de vértices de G. Definici´ on 2.1.3 Una gráfica G es no mezclada si todos sus conjuntos maximales independientes tienen la misma cardinalidad. Definici´ on 2.1.4 Una gráfica G es cr´ıtica por l´ıneas si α0 (G) > α0 (G \ e) para toda l´ınea e de G. Definici´ on 2.1.5 Un vértice de la gráfica G (resp. hipergráfica), se llamará aislado si no pertenece a ninguna l´ınea (resp. hiperl´ınea) o equivalentemente si pertenece a todo conjunto maximal independiente de G. Definici´ on 2.1.6 El complejo simplicial complementario ∆(G) de una gráfica G (resp. hipergráfica) está dado por ∆(G) = {A ⊆ V (G) | A es un conjunto independiente de G}. Notar que ∆(G) es el complejo de Stanley-Reisner del ideal de l´ıneas: I(G) = ({xi1 xi2 · · · xir | {xi1 , xi2 , . . . , xir } es una hiperl´ınea}) ⊆ R, donde V (G) = {x1 , . . . , xn } y R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] es un anillo de polinomios sobre un campo K, para simplificar la notación estamos identificando los vértices de G con las variables de R. Es usual denotar a R/I(G), el anillo de Stanley-Reisner de ∆(G), por K[∆(G)]. Una de las nociones centrales de este trabajo es la siguiente:

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

Definici´ on 2.1.7 Una familia de conjuntos independientes C ⊆ ∆(G) se dice que es una cubierta maximal independiente para la gráfica G (resp. hipergráfica) si |M | = β0 (G) para todo M en C y V (G) = ! M . Esto es equivalente a que todo vértice de G pertenezca a M ∈C un conjunto maximal independiente. Definici´ on 2.1.8 Sea G una gráfica y H y L subconjuntos de V (G), entonces H se dice L − aislado si cualesquiera dos vértices uno en H y otro en L no pertenecen a una misma l´ınea. A continuación damos una serie de ejemplos que ilustran el concepto anterior. 1. Todo vértice v ∈ V (G) satisface que {v} es {v} − aislado. 2. Un vértice v ∈ V (G) es aislado si y solo si {v} es V (G) − aislado. 3. Sea v un vértice de G y L un conjunto independiente que lo contiene, entonces v es L − aislado. 4. H es un conjunto independiente si y solo si H es H − aislado, más a´ un el conjunto independiente H será maximal si y solo si no existe un subconjunto H de V (G) tal que H ! H y H sea H − aislado.

Gr´ aficas con cubiertas maximales independientes

En esta sección desarrollaremos los resultados principales del art´ıculo. Teorema 3.1.9 Sea G una gr´ afica con n vértices. Si G tiene una cubierta maximal independiente con β0 (G) > α0 (G), entonces G tiene al menos n − 2α0 (G) vértices aislados. Demostraci´ on: La demostración consiste en construir un conjunto H de vértices aislados en V (G) con |H| ≥ n − 2α0 (G). Si α0 (G) = 0, entonces G = Kn es un conjunto de n vértices aislados y claramente se obtiene el resultado. Por lo tanto podemos suponer α0 (G) > 0. Luego como G tiene una cubierta maximal independiente, entonces existen M y M ′ conjuntos maximales independientes distintos con β0 (G) vértices.

Cotas para algunos invariantes

Tomemos H = M ∩ M ′ y N = M ∪ M ′ . Dado que H ⊂ M (respectivamente M ′ ) y M es M − aislado (resp. M ′ es M ′ − aislado), obtenemos que H es N − aislado. Afirmamos que |H| ≥ n − 2α0 (G). Recordemos que n = α0 (G) + β0 (G). Si N = V (G), entonces |H| = 2β0 (G) − n = n − 2α0 (G). Mas a´ un, los elementos de H son vértices aislados en V (G) ya que H es independiente, M − aislado y M ′ − aislado. Supongamos que N ! V (G), entonces |N | = n − s con 0 < s < α0 (G) de donde |H| = n − 2α0 (G) + s > n − 2α0 (G). Además existe un vértice v ′ en V (G) \ N y, por hipótesis, un conjunto maximal independiente M ′′ que contiene a v ′ con β0 (G) vértices. Consideremos los conjuntos H ′ = H ∩M ′′ y N ′ = N ∪M ′′ , los cuales satisfacen lo siguiente: 1. H ′ ⊆ H y N ! N ′ .

Ya que H ′ = H ∩ M ′′ ⊆ H ⊆ N ! N ∪ {v ′ } ⊆ N ′ .

2. |N ′ | = n − s′ con 0 ≤ s′ < s < α0 (G) y |H ′ | ≥ n − 2α0 (G) + s′ .

Sea s′ tal que |N ′ | = n − s′ , entonces del punto anterior se desprende que 0 ≤ s′ < s < α0 (G). Ahora tenemos que como N ′ = N ∪ (M ′′ \N ) con N ∩ (M ′′ \N ) = ∅, entonces n − s′ = |N ′ | = |N | + |M ′′ \N | = (n − s) + |M ′′ \N | y por lo tanto (1)

|M ′′ \N | = s − s′ .

Adem´as tenemos la desigualdad (2)

|M ′′ ∩ (N \H)| ≤ α0 (G) − s,

ya que M ′′ ∩ (N \H) es un subconjunto de vértices de la subgráfica inducida ⟨N \H⟩ de G que contiene el conjunto de vértices N \H, la cual satisface que β0 (⟨N \H⟩) ≤ α0 (G)−s, ya que de lo contrario se tendr´ıa que existe un conjunto independiente T ⊂ N \H con |T | = α0 (G) − s + 1, y entonces T ∪ H seria un conjunto independiente con al menos β0 (G) + 1 vértices ya que T y H son conjuntos independientes y H es T − aislado, lo cual es imposible. Por u ´ltimo tenemos la descomposición

M ′′ = (M ′′ ∩ H) ∪ (M ′′ ∩ (N \H)) ∪ (M ′′ \N ),

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

con M ′′ ∩H, M ′′ ∩(N \H) y M ′′ \N mutuamente disjuntos. Usando (1) y (2) tenemos β0 (G) = |M ′′ | = |M ′′ ∩ H| + |M ′′ ∩ (N \H)| + |M ′′ \N | ≤ |H ′ | + (α0 (G) − s) + (s − s′ )

y por lo tanto |H ′ | ≥ n − 2α0 (G) + s′ ≥ n − 2α0 (G). 3. H ′ es N ′ − aislado.

Ya que si h ∈ H ′ , entonces h ∈ H y h ∈ M ′′ . Luego h es N − aislado y h es M ′′ − aislado y por lo tanto h es N ′ = N ∪ M ′′ − aislado para todo h ∈ H ′ .

Nuevamente si N ′ = V (G), entonces H ′ es un conjunto de vértices aislados en V (G) y terminamos la demostración; si no es as´ı, tenemos por hipótesis, que existe M ′′′ conjunto maximal independiente con β0 (G) vértices el cual satisface que M ′′′ ̸⊂ N ′ y repetimos el proceso anterior hasta que obtengamos N ′ = V (G) (esto siempre es posible ya que V (G) es finito y N ⊂ N ′ ). Al finalizar obtenemos un conjunto H el cual contiene al menos n−2α0 (G) vértices aislados con lo cual queda demostrado el teorema. ✷ Ejemplo 3.1.10 La siguiente gráfica es una gráfica mezclada (ya que {z2 , z4 , z6 } y {z1 , z4 , z6 , z7 } son dos conjuntos maximales independientes con diferente cardinalidad) con una cubierta maximal independiente C = {{z1 , z4 , z6 , z7 }, {z2 , z3 , z5 , z6 }}. En la Sección 4 veremos que toda gráfica no mezclada o cr´ıtica por l´ıneas tiene una cubierta maximal independiente; sin embargo, el rec´ıproco no es válido como lo muestra este ejemplo. Notar que β0 (G) = 4 = 7 − 3 > ⌊ 72 ⌋ y todo vértice pertenece a un conjunto maximal independiente con 4 vértices.

1 ✟! ✟ !❅ ✟ G ✟ ! ❅ ✟✟ ! ❅ ✟ ✟ ! ❅ z z6 4 ✟ ! ! ! ❅! z5 ! z2 !✟ z 3 ❍❍ ❅ ! Punto aislado ❍❍ ! ❍❍❅❅ ! ❍❍❅ ! ❍ ❅ ❍!!

Cotas para algunos invariantes

Ejemplo 3.1.11 La hipergráfica H con vértices V (H) = {z1 , z2 , z3 } e hiperl´ıneas E(H) = {{z1 , z2 , z3 }} tiene una cubierta maximal independiente y satisface que β0 (H) = 2 > 1 = α0 (H). Notar que H no tiene vértices aislados, lo cual muestra que el Teorema 3.1.9 no se satisface para hipergráficas. Las caretas del complejo simplicial complementario de H son {z1 , z2 }, {z1 , z3 } y {z2 , z3 }. hipergráfica

complejo simplicial

!♣ ✔♣♣ ♣♣♣❚♣♣♣ ♣ ✔♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣❚ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣ ✔♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❚ ♣♣ ♣ ♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❚ ✔ ♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣❚ ✔ ♣♣ ♣♣♣ ♣♣ ♣✔ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ❚! !

✔ ✔ ✔

✔ !

! ✔❚ ✔ ❚

❚

∆(H)

❚ ❚

❚!

El siguiente corolario fue obtenido por Erdös and Gallai [3] bajo las hipótesis de que la gráfica G es cr´ıtica por l´ıneas y sin vértices aislados; véanse también los comentarios en [1, p. 59]. Corolario 3.1.12 Sea G una gr´ afica con n vértices y sin vértices aislados. Si K es un campo y G tiene una cubierta maximal independiente, entonces !n" dim K[∆(G)] ≤ . 2 Demostraci´ on: Notar que β0 (G) = dim K[∆(G)], ver [8]. Procederemos por contradicción. Suponiendo que β0 (G) > ⌊ n2 ⌋, obtenemos que α0 (G) ≤ ⌊ n2 ⌋; entonces aplicando el Teorema 3.1.9 tenemos que G tendr´ıa n − 2α0 (G) = n − α0 (G) − α0 (G) > ⌊ n2 ⌋ − ⌊ n2 ⌋ = 0 vértices aislados, lo cual es una contradicción a la hipótesis de que G no tiene vértices aislados y por lo tanto tenemos que β0 (G) ≤ ⌊ n2 ⌋. ✷ Proposici´ on 3.1.13 Sea G una gr´ afica con n vértices y q l´ıneas. Si G tiene una cubierta maximal independiente, entonces q ≤ α0 (G)2 . Demostraci´ on: Para contar el n´ umero de l´ıneas de G fijaremos una cubierta de vértices minimal M con α0 (G) vértices. Claramente contar las l´ıneas de G es equivalente a contar las l´ıneas incidentes al conjunto

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

M . Además, cada vértice v0 de M no puede tener más de α0 (G) vértices adyacentes ya que de lo contrario v0 no pertenecer´ıa a ning´ un conjunto maximal independiente con β0 (G) vértices, lo cual es una contradicción a la supuesto y por lo tanto el n´ umero de l´ıneas q de G es menor o igual 2 que α0 (G) . ✷ Nota 3.1.14 La cota de la Proposición 3.1.13 puede ser comparada con la cota q ≤ (α0 (G) + α0 (G)2 )/2 dada en [9, remark 4.12(c)] (resp. [4]) para el n´ umero de l´ıneas en una gráfica Cohen-Macaulay (resp. cr´ıtica por l´ıneas). Véase también [1, p. 62]. Ejemplo 3.1.15 La siguiente figura muestra la gráfica bipartita completa Kg,g la cual es no mezclada, tiene α0 (G)2 = g 2 l´ıneas y una cubierta maximal independiente dada por {z1 , . . . , zg } y {zg+1 , . . . , z2g }. Por tanto este ejemplo muestra que la cota de la Proposición 3.1.13 es óptima. z!1

z!2 z!3 z!g ❍ ✟ ◗ ✑ ❆❅❍ ✁❆ ◗ & ✁❅ ✑& ✟✟ ❆❅❍✁❍ ❆ & ◗✁ ❅ ✟✟✑& ❍ ❆ ❅ & ✁ ❆❍ ✁◗◗ ✟ ❅✑✑& ❆✁ ❅& ❆✁❍❍✟✟ ◗ ❅& ✑ ✟ ❍✑ ❍◗& ✁❆ &❅ ✁✟ ❆ ✑ ❍◗❅ ✁ &❆ ✟✟ ✁❅ ❆✑ & ❍◗ ❍❅ ✟ ◗ ❅❆ & ❍❅ ✁&✟ ❆ ✁✑✑ ◗ !✟ ♣ ♣ ♣ ❍❍ ❆!✑ ❅❆!& ◗! ✁&✟ ✁ ❅

zg+1

zg+2

zg+3

Kg,g

z2g

Definici´ on 3.1.16 Sea A un conjunto de vértices de una gráfica G. Al conjunto de vértices que son adyacentes al menos a un vértice de A, se le llamará la vecindad de A y se denotará por N (A). Sea G una hipergráfica y K un campo. La multiplicidad e(G) de G se define como la multiplicidad del anillo K[∆(G)]. Por [8] la multiplicidad e(G) is igual al n´ umero de conjuntos independientes de G con β0 (G) vértices.

Cotas para algunos invariantes

Proposici´ on 3.1.17 Si G es una gr´ afica con n vértices y con una cubierta maximal independiente C, entonces " ! n ≤ e(G). β0 (G) Demostraci´ on: Sean A1 , . . . , Ar los conjuntos de la cubierta C. Por la igualdad V (G) = A1 ∪ · · · ∪ Ar , obtenemos n = |V (G)| ≤ rβ0 (G), lo cual prueba esta cota inferior. ✷ Teorema 3.1.18 Si G es una gr´ afica, entonces e(G) ≤ 2α0 (G) . Demostraci´ on: Primeramente, sin perder generalidad, podemos suponer que la gráfica G no tiene vértices aislados, ya que si esta los tuviera, entonces el n´ umero de conjuntos maximales independientes de la gráfica G y la gráfica G′ = G\{vértices aislados} seria el mismo. Como V (G)\C es un conjunto maximal independiente si y solo si C es una cubierta m´ınima de vértices, entonces el contar los conjuntos maximales independientes con β0 (G) vértices es equivalente a contar a las cubiertas de vértices minimales con α0 (G) vértices. Por otro lado sea C = {C| C es una cubierta de vértices de G con α0 (G) vértices} y C una cubierta de vértices con α0 (G) vértices. Para 0 ≤ i ≤ α0 (G), consideremos el conjunto Ci = {C ′ | C ′ ∈ C y |C ∩ C ′ | = i}. Afirmamos que se tiene la siguiente desigualdad $ # α0 (G) |Ci | ≤ (3) (∀ i ≥ 0). i Vamos a demostrar que solo puede existir una cubierta de vértices con α0 (G) vértices que intersecte a C en un conjunto dado. En efecto sean C ′ y C ′′ dos cubiertas en Ci tal que C ∩ C ′ = C ∩ C ′′ . Usando que C ∩ C ′ = C ∩ C ′′ obtenemos: (4)

N (C \ C ′ ) = N (C \ C ′′ ).

Como C ′ y C ′′ son cubiertas de v´ertices de G tenemos: N (C \ C ′ ) ∪ (C ∩ C ′ ) ⊂ C ′ y N (C \ C ′′ ) ∪ (C ∩ C ′′ ) ⊂ C ′′ .

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Observar que N (C \ C ′ ) ∪ (C ∩ C ′ ) y N (C \ C ′′ ) ∪ (C ∩ C ′′ ) son cubiertas de vértices de G, pues C es una cubierta de vértices de G. Usando la minimalidad de C ′ y C ′′ obtenemos las igualdades: N (C \ C ′ ) ∪ (C ∩ C ′ ) = C ′ y N (C \ C ′′ ) ∪ (C ∩ C ′′ ) = C ′′ , las cuales junto con la Eq. (4) nos permiten concluir que C ′ = C ′′ . " !α0 (G) conjuntos con i vértices en C Por lo tanto, puesto que sólo hay i concluimos que la desigualdad (3) se cumple. Luego α0 (G)

e0 (G) = |C| =

# i=0

|Ci | ≤

α0 (G) $

# i=0

α0 (G) i

= 2α0 (G)

y por lo tanto e0 (G) ≤ 2α0 (G) . ✷ Ejemplo 3.1.19 Para demostrar que la cota de la Proposición 3.1.17 es óptima construiremos una familia de gráficas que la realicen. Sean n n ≥ m enteros positivos con n = sm+r donde s = ⌊ m ⌋. Tomemos como base a la gráfica multipartita completa Km,...,m,r , escojamos un vértice zi de cada uno de las s gráficas discretas Km y quitémosle a Km,...,m,r las l´ıneas que unen los vértices que escogimos consigo mismos y las l´ıneas que unen la gráfica Kr . La gráfica resultante se denotará por K{n\m} , la cual satisface & ' n β0 (K{n\m} ) = m y e(K{n\m} ) = = s + 1. β0 (K{n\m} ) La siguiente figura muestra el caso cuando n = 7 y m = 3.

! !2 !3 ' ❍ ❆❅''' ✁❍ ✁ ❆ ❍ # ❆❅ #❍ ✁ ❆ '❍ ✁'' ❍❍ ' ❆ ❅✁ ❆ # ✁'' '' ❍❍ ❆ ✁❅ #❆ ✁ '' ! ❍ ✏ ❆✁ ❅ # ❆✁ ✟ z7 ✏ ✟ ✏ ✁ ❆ # ❅ ✁ ❆ ✏✏ ✟ ❅✏❆✏✟✟ ✁✏ ✁ #❆ ✏ ❅✟ ❆ ✁ # ✏❆✏ ✁ ✟ ✏ ❆ ✁ ✟ ❅❆ ✏ # ✁ !# !✟ ❅! ✏ ✟

Cotas para algunos invariantes

Ejemplo 3.1.20 Para demostrar que la cota del Teorema 3.1.18 es óptima considere la gráfica G que es unión disjunta de k gráficas del tipo K2 como se muestra en la siguiente figura. Notar que G satisface α0 (G) = β0 (G) = k y e(G) = 2α0 (G) .

zk+1

4 4.1

zk+2

zk+3

zk ♣ ♣ ♣

z2k

Gr´ aficas no mezcladas y cr´ıticas por l´ıneas Gr´ aficas no mezcladas

Lema 4.1.1 Toda gr´ afica G no mezclada tiene una cubierta maximal independiente. Demostraci´ on: Se sigue inmediatamente del hecho de que si v ∈ V (G), entonces v pertenece a un conjunto maximal independiente M y como G es no mezclada, entonces M tiene β0 (G) vértices y por lo tanto G tiene una cubierta maximal independiente. ✷ Corolario 4.1.2 Sea G una gr´ afica no mezclada con n vértices. Si β0 (G) > α0 (G), entonces G tiene al menos n−2α0 (G) vértices aislados. Demostraci´ on:

Se sigue del Lema 4.1.1 y del Teorema 3.1.9. ✷

Corolario 4.1.3 Sea G una gr´ afica sin v´ertices aislados. Si G es no mezclada y tiene n v´ertices, entonces β0 (G) ≤ ⌊ n2 ⌋. Demostraci´ on:

Se sigue del Lema 4.1.1 y del Corolario 3.1.12. ✷

Corolario 4.1.4 Sea G una gr´ afica Cohen-Macaulay sin v´ertices aislados con n v´ertices, entonces β0 (G) ≤ ⌊ n2 ⌋.

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

Demostraci´ on: Usando [2, Corolario 5.1.5] tenemos que toda gr´afica Cohen-Macaulay es no mezclada, por lo tanto aplicando el Corolario 4.1.3 obtenemos el resultado.✷ Ejemplo 4.1.5 Sean n un entero positivo y 1 ≤ k ≤ ⌊ n2 ⌋. Entonces la gr´afica Gn,k : " ♣ ♣ ♣ ✟" ❍ ❍✟✟ ✡❏ Gn,k ✡✡❏❏✟ ❍❍✡ ❏ ✡✟✟ ❏ ✡ ❍ ❏ ❍❍ ✡ " ❏" z2k zn−1 ✟ ❏ ✡ ❍ ✟ ❏❏❍❍ ✡ ❏ ✟✟✡✡ ❍ ✟ ✟❍❏ ✡ ❏ ✡✟❍ ❏"✡ ❍ "✡ ❏✟

zn−2

z2k−1

z2k+1

Kn−2k+2

zk−2 zk−1 ♣ ♣ ♣

zk+1 zk+2

z2k−3z2k−2

es una gráfica Cohen-Macaulay sin vértices aislados con β0 (G) = k. Esta familia de gráficas demuestra que las cotas de los resultados anteriores son óptimas.

4.2

Gr´ aficas cr´ıticas por l´ıneas.

Lema 4.2.1 Sea G una gr´ afica cr´ıtica por l´ıneas con n´ umero de independencia β0 (G), entonces todo vértice de G pertenece a un conjunto maximal independiente con β0 (G) vértices. Demostraci´ on: Sea v un vértice de G, luego tenemos dos casos: que v sea aislado y que no lo sea. Si v no es aislado entonces al menos existe una l´ınea {u, v} = x ∈ E(G). Como G es cr´ıtica por l´ıneas, entonces β0 (G\x) = β0 (G) + 1 de donde tenemos que existe M maximal independiente de G \ x con β0 (G) + 1 vértices y además u, v ∈ M ; de lo anterior se desprende que M \u es un conjunto maximal independiente de G con β0 (G) vértices que contiene a v como se quer´ıa. Si v es aislado, entonces pertenece a todo conjunto maximal independiente y por lo tanto también se obtiene el resultado. ✷ Corolario 4.2.2 ([3]) Si G es una gr´ afica cr´ıtica por l´ıneas con n vértices y β0 (G) > α0 (G), entonces G tiene al menos n−2α0 (G) vértices aislados.

Cotas para algunos invariantes

Demostraci´ on:

Se sigue del Lema 4.2.1 y del Teorema 3.1.9. ✷

Corolario 4.2.3 ([3]) Sea G una gr´ afica sin v´ertices aislados. Si G es cr´ıtica por l´ıneas con n v´ertices, entonces β0 (G) ≤ ⌊ n2 ⌋. Demostraci´ on:

Se sigue del Lema 4.2.1 y del Corolario 3.1.12. ✷

Lema 4.2.4 ([1]) Toda gr´ afica G contiene una subgr´ afica G′ , tal que ′ ′ G es cr´ıtica por l´ıneas con β0 (G) = β0 (G ) y V (G) = V (G′ ). Demostraci´ on: goritmo:

Construiremos a la gr´afica G′ , usando el siguiente al-

1. Tomemos a G′ = G. 2. Tomemos una l´ınea {x, y} ∈ E(G′ ) de G′ . 3. Si β0 (G′ \{x, y}) = β0 (G′ ), entonces hacemos G′ = G′ \{x, y}. 4. Si β0 (G′ \{x, y}) > β0 (G′ ), entonces repetimos el paso 2 hasta que no exista ninguna l´ınea {x, y} en G′ con β0 (G′ \{x, y}) = β0 (G′ ). El algoritmo es finito ya que la gráfica sólo contiene un n´ umero finito de l´ıneas. La gráfica G′ obtenida por este algoritmo es una gráfica cr´ıtica por l´ıneas por la forma en que se construyó y claramente β0 (G′ ) = β0 (G). ✷

Comentarios finales

Esencialmente se ha demostrado que si estamos interesados en gráficas conexas con una cubierta maximal independiente, entonces basta concentrarnos en las gráficas que satisfacen β0 (G) ≤ ⌊ n2 ⌋. Lo anterior también es válido para gráficas Cohen-Macaulay ya que toda gráfica Cohen-Macaulay es no mezclada y toda gráfica no mezclada tiene una cubierta maximal independiente. Nota 5.1.5 Toda gráfica G con β0 (G) ≤ 2 contiene una subgrafica G′ no mezclada con β0 (G) = β0 (G′ ) y V (G) = V (G′ ), más a´ un podemos ′ escoger a G que sea Cohen-Macaulay. La existencia de dicha subgráfica se puede demostrar usando esencialmente el Lema 4.2.4 ya que toda gráfica cr´ıtica por l´ıneas G′ con β0 (G′ ) ≤ 2 es no mezclada.

Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal

Lema 5.1.6 Toda gr´ afica bipartita cr´ıtica por l´ıneas es no mezclada. Demostraci´ on:

Se sigue inmediatamente de [5, Corolary 10.7(b)].✷

Las observaciones anteriores y el análisis de varios ejemplos nos llevan a conjeturar lo siguiente: Conjetura 5.1.7 Toda gr´ afica G con a lo m´ as ocho vértices tiene una ′ ′ subgr´ afica G no mezclada con β0 (G) = β0 (G ) y V (G) = V (G′ ). Conjetura 5.1.8 Toda gr´ afica G con a lo m´ as ocho vértices tiene una ′ subgr´ afica G Cohen-Macaulay con β0 (G) = β0 (G′ ) y V (G) = V (G′ ). Notar que estas dos conjeturas no son válidas en general ya que el pol´ıgono con 9 lados es una gráfica cr´ıtica por l´ıneas, mezclada y por lo tanto ninguna de las conjeturas anteriores es válida en general. Carlos E. Valencia-Oleta Departamento de Matem´ aticas, CINVESTAV-IPN, A. Postal 14–740, 07000 México, D.F., MEXICO. cvalenci@math.cinvestav.mx

Rafael H. Villarreal Departamento de Matem´ aticas, CINVESTAV-IPN, A. Postal 14–740, 07000 M´exico, D.F., MEXICO. vila@math.cinvestav.mx

Referencias [1] Berge, C., Hypergraphs Combinatorics of Finite Sets, Mathematical Library 45, North-Holland, 1989. [2] Bruns, W.; Herzog, J., Cohen-Macaulay Rings, Cambridge University Press, Cambridge, Revised Edition, 1997. [3] Erdös, P.; Gallai, T., On the minimal number of vértices representing the edges of a graph, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int. Közl. 6 (1961), 181–203. [4] Erdös, P.; Hajnal, A.; Moon, J. W., A problem in graph theory, Amer. Math. Monthly, 71 (1964), 1107–1110. [5] Harary, F., Graph Theory, Addison-Wesley, Reading, MA, 1972. [6] Simis, A.; Vasconcelos, W.V.; Villarreal, R., On the ideal theory of graphs, J. Algebra, 167 (1994), 389–416.

Cotas para algunos invariantes

[7] Sousa, T., Grafos Cohen-Macaulay, M.S. Thesis, Instituto Superior T´ecnico, Lisbon, 2001. [8] Stanley, R., Combinatorics and Commutative Algebra, Birkh¨auser Boston, 2nd ed., 1996. [9] Villarreal, R., Cohen-Macaulay graphs, Manuscripta Math. 66 (1990), 277–293. [10] Villarreal, R., Monomial Algebras, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 238, Marcel Dekker, Inc., New York, 2001. [11] Watkins, A., Hilbert Functions of Face Rings Arising From Graphs, M.S. Thesis, Rutgers University, 1992.

MORFISMOS, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matem´aticas del CINVESTAV, se termin´ o de imprimir en el mes de junio de 2002 en el taller de reproducci´ on del mismo departamento localizado en Av. IPN 2508, Col. San Pedro Zacatenco, M´exico, D.F. 07300. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilogramos de 34 × 25.5 cm consta de 500 ejemplares en pasta tintoreto color verde.

Apoyo t´ecnico: Omar Hern´ andez Orozco.

Contenido

Shallow potential wells for the Schro ¨dinger equation and water waves Peter Zhevandrov and Anatoli Merzon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Zero-sum semi-Markov games in Borel spaces with discounted payoﬀ Fernando Luque-V´ asquez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Delta-matroides rueda ternarios M. Guadalupe Rodr´ıguez S´ anchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Gra ´ficas con una cubierta maximal independiente y cotas para algunos invariantes Carlos E. Valencia-Oleta y Rafael H. Villarreal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57