Contenido Prefacio ................................................................................................................................................ 8 Contenido .......................................................................................................................................... 10 Primera Parte: Historia del Cálculo.................................................................................................... 22 Capítulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas ............................................................................. 23 1.1 Thales y Pitágoras .................................................................................................................... 24 1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables ................................................................................ 28 1.3 Zenón y las paradojas .............................................................................................................. 35 1.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 38 Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua ............................................................................. 41 2.1 Eudoxo yArquímedes ............................................................................................................... 42 2.2 El método de Exhausción......................................................................................................... 43 2.3 Ejercicios .................................................................................................................................. 52 Capítulo 3: Medievo, ciencias y matemáticas ................................................................................... 55 3.1 De los romanos a la Escolástica. .............................................................................................. 56 3.2 Los árabes y las matemáticas .................................................................................................. 60 3.3 Técnicas, ideología y sociedad................................................................................................. 64 3.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 65 Capítulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida ................................................................. 67 4.1 Renacimiento y humanismo .................................................................................................... 68 4.2 Navegación y ciencias matemáticas ........................................................................................ 71 4.3 Un poco de matemáticas ......................................................................................................... 72 4.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 76 Capítulo 5: Revolución en la cosmología ........................................................................................... 77 5.1 Copérnico: el heliocentrismo................................................................................................... 79 5.2 Kepler : la geometría celeste ................................................................................................... 82 5.3 Galileo y la nueva cosmología ................................................................................................. 85 5.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 92 Capítulo 6: Los métodos de la nueva ciencia .................................................................................... 95 6.1 Galileo y la nueva ciencia......................................................................................................... 97
6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes......................................................... 102 6.3 Las sociedades científicas ...................................................................................................... 107 6.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 109 Capítulo 7: Problemas para las matemáticas del siglo XVII ............................................................. 111 7.1 Los límites de la matemática antigua .................................................................................... 113 7.2 Cuatro problemas fundamentales ......................................................................................... 115 7.3 Las matemáticas del siglo XVII ............................................................................................... 118 7.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 120 Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes .................................................................. 121 8.1 La geometría analítica ........................................................................................................... 122 8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos ........................................................................... 131 8.3 Ejercicios ................................................................................................................................ 139 Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes ..................................................................................... 141 9.1 Los métodos de Kepler .......................................................................................................... 142 9.2 Galileo y los conjuntos infinitos ............................................................................................. 146 9.3 El área bajo una curva ........................................................................................................... 148 9.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 153 Capítulo 10 : Newton ....................................................................................................................... 154 10.1 La obra científica de Newton ............................................................................................... 156 10.2 El cálculo .............................................................................................................................. 158 10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones............................................................................... 165 10.4
Ejercicios .......................................................................................................................... 168
Capítulo 11: Leibniz ......................................................................................................................... 170 11.2 El cálculo de Leibniz ............................................................................................................. 172 11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz..................................................................................... 176 11.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 178 Capítulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII ............................................................................... 180 12.1 La revolución industrial ....................................................................................................... 181 12.2 La química ............................................................................................................................ 183 12.3 Ejercicios .............................................................................................................................. 186 Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII .................................................................. 188
13.1 El carácter de las matemáticas ............................................................................................ 189 13.2 La época de Euler................................................................................................................. 190 13.3 La Edad Heroica ................................................................................................................... 197 13.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 203 Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX ............................................................. 205 14.1 La preocupación por el rigor................................................................................................ 206 14.2 Gauss y las geometrías ........................................................................................................ 210 14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna ........................................................................... 214 14.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 216 Capítulo 15: La aritmetización del análisis ...................................................................................... 218 15.1 el rigor a través del límite .................................................................................................... 220 15.2 Weierstrass .......................................................................................................................... 224 15.3 La construcción de los números reales ............................................................................... 228 15.4 Un balance ........................................................................................................................... 231 15.5 Ejercicios .............................................................................................................................. 233 Capítulo 16: El análisis no – standard y la naturaleza de las matemáticas ..................................... 235 16.1 Las matemáticas del siglo XIX : un balance general ............................................................ 236 16.2 Los infinitesimales y el análisis No -Standard ...................................................................... 237 16.3 Una síntesis final .................................................................................................................. 244 16.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 246 Segunda Parte: Ejercicios Resueltos ............................................................................................ 248 Presentación ................................................................................................................................ 249 Capítulo 1: Las razones de cambio y la derivada ............................................................................. 251 Capítulo 2: Límites ........................................................................................................................... 259 Capítulo 3: Límites laterales y continuidad ..................................................................................... 269 Capítulo 4: Límites infinitos y al infinito .......................................................................................... 276 Capítulo 5: La derivada .................................................................................................................... 284 Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo................................................................... 298 Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo ............................................... 306 Capítulo 8: Algunas aplicaciones ..................................................................................................... 312 Capítulo 9: Temas adicionales: una introducción............................................................................ 319
Capítulo 10: Definiciones y métodos formales................................................................................ 325 Bibliografía general.......................................................................................................................... 329 Indice de recuadros teóricos ........................................................................................................... 333 Indice analítico................................................................................................................................. 334
Prefacio
Contenido
Primera Parte: Historia del Cรกlculo
CapĂtulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas
1.1 Thales y Pitรกgoras
1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables
1.3 Zen贸n y las paradojas
1.4 Ejercicios
Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua
2.1 Eudoxo yArquímedes
2.2 El m茅todo de Exhausci贸n
2.3 Ejercicios
CapĂtulo 3: Medievo, ciencias y matemĂĄticas
3.1 De los romanos a la Escolรกstica.
3.2 Los รกrabes y las matemรกticas
3.3 TĂŠcnicas, ideologĂa y sociedad
3.4 Ejercicios
CapĂtulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida
4.1 Renacimiento y humanismo
4.2 Navegaci贸n y ciencias matem谩ticas
4.3 Un poco de matemรกticas
4.4 Ejercicios
Capítulo 5: Revolución en la cosmología
5.1 CopĂŠrnico: el heliocentrismo
5.2 Kepler : la geometrĂa celeste
5.3 Galileo y la nueva cosmologĂa
5.4 Ejercicios
CapĂtulo 6: Los mĂŠtodos de la nueva ciencia
6.1 Galileo y la nueva ciencia
6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes
6.3 Las sociedades cientĂficas
6.4 Ejercicios
CapĂtulo 7: Problemas para las matemĂĄticas del siglo XVII
7.1 Los lĂmites de la matemĂĄtica antigua
7.2 Cuatro problemas fundamentales
7.3 Las matemรกticas del siglo XVII
7.4 Ejercicios
Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes
8.1 La geometría analítica
8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos
8.3 Ejercicios
Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes
9.1 Los mĂŠtodos de Kepler
9.2 Galileo y los conjuntos infinitos
9.3 El รกrea bajo una curva
9.4 Ejercicios
CapĂtulo 10 : Newton
10.1 La obra cientĂfica de Newton
10.2 El cรกlculo
10.3 Cรกlculo, series infinitas y publicaciones
10.4 Ejercicios
CapĂtulo 11: Leibniz
11.1 Una mente universal
11.2 El cรกlculo de Leibniz
11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz
11.4 Ejercicios
CapĂtulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII
12.1 La revoluci贸n industrial
12.2 La química
12.3 Ejercicios
Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII
13.1 El carรกcter de las matemรกticas
13.2 La ĂŠpoca de Euler
13.3 La Edad Heroica
13.4 Ejercicios
Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX
14.1 La preocupaci贸n por el rigor
14.2 Gauss y las geometrĂas
14.3 La teorĂa de grupos y el ĂĄlgebra moderna
14.4 Ejercicios
Capítulo 15: La aritmetización del análisis
15.1 el rigor a travĂŠs del lĂmite
15.2 Weierstrass
15.3 La construcci贸n de los n煤meros reales
15.4 Un balance
15.5 Ejercicios
Capítulo 16: El análisis no – standard y la naturaleza de las matemáticas
16.1 Las matemรกticas del siglo XIX : un balance general
16.2 Los infinitesimales y el anรกlisis No -Standard
16.3 Una sĂntesis final
16.4 Ejercicios
Segunda Parte: Ejercicios Resueltos
Presentaci贸n
CapĂtulo 1: Las razones de cambio y la derivada
Capítulo 2: Límites
CapĂtulo 3: LĂmites laterales y continuidad
CapĂtulo 4: LĂmites infinitos y al infinito
CapĂtulo 5: La derivada
Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo
Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo
CapĂtulo 8: Algunas aplicaciones
Cap铆tulo 9: Temas adicionales: una introducci贸n
CapĂtulo 10: Definiciones y mĂŠtodos formales
BibliografĂa general
Indice de recuadros te贸ricos
Indice analĂtico