Elementos de Cálculo Diferencial

Page 1




Contenido Prefacio ................................................................................................................................................ 8 Contenido .......................................................................................................................................... 10 Primera Parte: Historia del Cálculo.................................................................................................... 22 Capítulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas ............................................................................. 23 1.1 Thales y Pitágoras .................................................................................................................... 24 1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables ................................................................................ 28 1.3 Zenón y las paradojas .............................................................................................................. 35 1.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 38 Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua ............................................................................. 41 2.1 Eudoxo yArquímedes ............................................................................................................... 42 2.2 El método de Exhausción......................................................................................................... 43 2.3 Ejercicios .................................................................................................................................. 52 Capítulo 3: Medievo, ciencias y matemáticas ................................................................................... 55 3.1 De los romanos a la Escolástica. .............................................................................................. 56 3.2 Los árabes y las matemáticas .................................................................................................. 60 3.3 Técnicas, ideología y sociedad................................................................................................. 64 3.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 65 Capítulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida ................................................................. 67 4.1 Renacimiento y humanismo .................................................................................................... 68 4.2 Navegación y ciencias matemáticas ........................................................................................ 71 4.3 Un poco de matemáticas ......................................................................................................... 72 4.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 76 Capítulo 5: Revolución en la cosmología ........................................................................................... 77 5.1 Copérnico: el heliocentrismo................................................................................................... 79 5.2 Kepler : la geometría celeste ................................................................................................... 82 5.3 Galileo y la nueva cosmología ................................................................................................. 85 5.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 92 Capítulo 6: Los métodos de la nueva ciencia .................................................................................... 95 6.1 Galileo y la nueva ciencia......................................................................................................... 97


6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes......................................................... 102 6.3 Las sociedades científicas ...................................................................................................... 107 6.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 109 Capítulo 7: Problemas para las matemáticas del siglo XVII ............................................................. 111 7.1 Los límites de la matemática antigua .................................................................................... 113 7.2 Cuatro problemas fundamentales ......................................................................................... 115 7.3 Las matemáticas del siglo XVII ............................................................................................... 118 7.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 120 Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes .................................................................. 121 8.1 La geometría analítica ........................................................................................................... 122 8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos ........................................................................... 131 8.3 Ejercicios ................................................................................................................................ 139 Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes ..................................................................................... 141 9.1 Los métodos de Kepler .......................................................................................................... 142 9.2 Galileo y los conjuntos infinitos ............................................................................................. 146 9.3 El área bajo una curva ........................................................................................................... 148 9.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 153 Capítulo 10 : Newton ....................................................................................................................... 154 10.1 La obra científica de Newton ............................................................................................... 156 10.2 El cálculo .............................................................................................................................. 158 10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones............................................................................... 165 10.4

Ejercicios .......................................................................................................................... 168

Capítulo 11: Leibniz ......................................................................................................................... 170 11.2 El cálculo de Leibniz ............................................................................................................. 172 11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz..................................................................................... 176 11.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 178 Capítulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII ............................................................................... 180 12.1 La revolución industrial ....................................................................................................... 181 12.2 La química ............................................................................................................................ 183 12.3 Ejercicios .............................................................................................................................. 186 Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII .................................................................. 188


13.1 El carácter de las matemáticas ............................................................................................ 189 13.2 La época de Euler................................................................................................................. 190 13.3 La Edad Heroica ................................................................................................................... 197 13.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 203 Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX ............................................................. 205 14.1 La preocupación por el rigor................................................................................................ 206 14.2 Gauss y las geometrías ........................................................................................................ 210 14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna ........................................................................... 214 14.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 216 Capítulo 15: La aritmetización del análisis ...................................................................................... 218 15.1 el rigor a través del límite .................................................................................................... 220 15.2 Weierstrass .......................................................................................................................... 224 15.3 La construcción de los números reales ............................................................................... 228 15.4 Un balance ........................................................................................................................... 231 15.5 Ejercicios .............................................................................................................................. 233 Capítulo 16: El análisis no – standard y la naturaleza de las matemáticas ..................................... 235 16.1 Las matemáticas del siglo XIX : un balance general ............................................................ 236 16.2 Los infinitesimales y el análisis No -Standard ...................................................................... 237 16.3 Una síntesis final .................................................................................................................. 244 16.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 246 Segunda Parte: Ejercicios Resueltos ............................................................................................ 248 Presentación ................................................................................................................................ 249 Capítulo 1: Las razones de cambio y la derivada ............................................................................. 251 Capítulo 2: Límites ........................................................................................................................... 259 Capítulo 3: Límites laterales y continuidad ..................................................................................... 269 Capítulo 4: Límites infinitos y al infinito .......................................................................................... 276 Capítulo 5: La derivada .................................................................................................................... 284 Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo................................................................... 298 Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo ............................................... 306 Capítulo 8: Algunas aplicaciones ..................................................................................................... 312 Capítulo 9: Temas adicionales: una introducción............................................................................ 319


Capítulo 10: Definiciones y métodos formales................................................................................ 325 Bibliografía general.......................................................................................................................... 329 Indice de recuadros teóricos ........................................................................................................... 333 Indice analítico................................................................................................................................. 334


Prefacio



Contenido













Primera Parte: Historia del Cรกlculo


CapĂ­tulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas


1.1 Thales y Pitรกgoras





1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables








1.3 Zen贸n y las paradojas




1.4 Ejercicios




Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua


2.1 Eudoxo yArquímedes


2.2 El m茅todo de Exhausci贸n










2.3 Ejercicios




CapĂ­tulo 3: Medievo, ciencias y matemĂĄticas


3.1 De los romanos a la Escolรกstica.





3.2 Los รกrabes y las matemรกticas





3.3 TĂŠcnicas, ideologĂ­a y sociedad


3.4 Ejercicios



CapĂ­tulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida


4.1 Renacimiento y humanismo




4.2 Navegaci贸n y ciencias matem谩ticas


4.3 Un poco de matemรกticas





4.4 Ejercicios


Capítulo 5: Revolución en la cosmología



5.1 CopĂŠrnico: el heliocentrismo




5.2 Kepler : la geometrĂ­a celeste




5.3 Galileo y la nueva cosmologĂ­a








5.4 Ejercicios




CapĂ­tulo 6: Los mĂŠtodos de la nueva ciencia



6.1 Galileo y la nueva ciencia






6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes






6.3 Las sociedades cientĂ­ficas



6.4 Ejercicios



CapĂ­tulo 7: Problemas para las matemĂĄticas del siglo XVII



7.1 Los lĂ­mites de la matemĂĄtica antigua



7.2 Cuatro problemas fundamentales




7.3 Las matemรกticas del siglo XVII



7.4 Ejercicios


Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes


8.1 La geometría analítica










8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos









8.3 Ejercicios



Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes


9.1 Los mĂŠtodos de Kepler





9.2 Galileo y los conjuntos infinitos



9.3 El รกrea bajo una curva






9.4 Ejercicios


CapĂ­tulo 10 : Newton



10.1 La obra cientĂ­fica de Newton



10.2 El cรกlculo








10.3 Cรกlculo, series infinitas y publicaciones




10.4 Ejercicios



CapĂ­tulo 11: Leibniz


11.1 Una mente universal


11.2 El cรกlculo de Leibniz





11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz



11.4 Ejercicios



CapĂ­tulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII


12.1 La revoluci贸n industrial



12.2 La química




12.3 Ejercicios



Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII


13.1 El carรกcter de las matemรกticas


13.2 La ĂŠpoca de Euler








13.3 La Edad Heroica







13.4 Ejercicios



Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX


14.1 La preocupaci贸n por el rigor





14.2 Gauss y las geometrĂ­as





14.3 La teorĂ­a de grupos y el ĂĄlgebra moderna



14.4 Ejercicios



Capítulo 15: La aritmetización del análisis



15.1 el rigor a travĂŠs del lĂ­mite





15.2 Weierstrass





15.3 La construcci贸n de los n煤meros reales




15.4 Un balance



15.5 Ejercicios



Capítulo 16: El análisis no – standard y la naturaleza de las matemáticas


16.1 Las matemรกticas del siglo XIX : un balance general


16.2 Los infinitesimales y el anรกlisis No -Standard








16.3 Una sĂ­ntesis final



16.4 Ejercicios



Segunda Parte: Ejercicios Resueltos


Presentaci贸n



CapĂ­tulo 1: Las razones de cambio y la derivada









Capítulo 2: Límites











CapĂ­tulo 3: LĂ­mites laterales y continuidad








CapĂ­tulo 4: LĂ­mites infinitos y al infinito









CapĂ­tulo 5: La derivada















Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo









Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo







CapĂ­tulo 8: Algunas aplicaciones








Cap铆tulo 9: Temas adicionales: una introducci贸n







CapĂ­tulo 10: Definiciones y mĂŠtodos formales





BibliografĂ­a general





Indice de recuadros te贸ricos


Indice analĂ­tico







Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.