C.F.E. Departamento de Matemática
Actualización en Análisis Complejo Prof. Horacio Castagna
Tarea 5
1) Sea f : 0,1, 2 , tal que f z
1 . Halla el desarrollo en serie de z z 1 z 2
Laurent, de f , en cada uno de los siguientes anillos: a) 0 z 1 b) 1 z 2 c) 2 z
d) 0 z 1 1
2) Informa qué tipo de singularidad tiene cada una de las siguientes funciones f : 0 en 0 : sen z z
1
cos z 1 z
1
1
d) f z cos z z Cuando sea evitable, define f 0 de modo que f resulte holomorfa en 0 . Cuando sea a) f z
b) f z
c) f z e z
un polo, informa orden y halla la parte singular.
3) Calcula el residuo en 0 de las siguientes funciones (de 0 ): a)
sen z z
b)
2
ez 1 sen z
c)
1 tan 2 z
4) (Opcional) Sea f : holomorfa, tal que f z 1 para z 1 . Prueba que si f m tiene un cero de orden m en z0 , entonces z0 f 0 .
Sugerencia: Considera la función : D D definida por z m
f z z .
z z0 , y muestra que 1 z0 z