Matemáticas

Es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia la ciencia de las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas, iconos, glifos, o símbolos en general. La matemática en realidad es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantear problemas de manera ambiguas en contextos específicos. Por ejemplo, el siguiente enunciado podemos decirlo de dos formas: X es mayor que Y e Y es mayor que Z, o en forma simplificada podemos decirlo de dos formas que X > Y >Z. Este es el motivo por el cual las matemáticas son tan solo un lenguaje simplificado en una herramienta por cada problema específico (por ejemplo 2+2=4 o 2x2=4).

Las ciencias naturales han hecho un uso extensivo de las matemáticas para explicar diversos fenómenos observables, tal como lo expresó Eugene Paul Wigner (premio nobel de Física en 1963). “La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que hallan leyes de la naturaleza, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirla, el milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la fórmula de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni merecemos” Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad. Hoy día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación del conocimiento matemático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

La importancia de las matemáticas

Las matemáticas son fundamentales para el desarrollo intelectual de los niños, les ayuda a ser lógicos, a razonar ordenadamente y a tener una mente preparada para el pensamiento, la crítica y la abstracción. Las matemáticas configuran actitudes y valores en los alumnos pues garantizan una solidez en sus fundamentos, seguridad en los procedimientos y confianza en los resultados obtenidos. Todo esto crea en los niños una disposición consciente y favorable para emprender acciones que conducen a la solución de los problemas a los que se enfrentan cada día. su vez, las matemáticas contribuyen a la formación de valores en los niños, determinando sus actitudes y su conducta. Sirven como patrones para guiar su vida, un estilo de enfrentarse a la realidad lógico y coherente, la búsqueda de la exactitud en los resultados, una comprensión y expresión clara a través de la utilización de símbolos, capacidad de abstracción, razonamiento y generalización y la percepción de la creatividad como un valor. Podemos dividir estos valores en tres grupos:

1. Valores de Inteligencia: Afán de saber, adquirir conocimientos, estudiar, hábitos y técnicas de trabajo intelectual para utilizar la información, sentido crítico de lo verdadero. 2. Valores de Voluntad: Capacidad de decisión, prudencia, predicción, iniciativa, seguridad, confianza en sí mismo. 3. Valores Morales: respecto a las creencias e ideas de los demás, colaboración, solidaridad, honradez, honestidad, laboriosidad, optimismo.

Sin embargo, en el colegio la asignatura de matemáticas suele ser, de lejos, la más odiada. Y ¿Por qué? Parece que nos estamos dando cuenta de que las matemáticas llevan años enseñándose mal. Es necesario que desde la escuela se transmita una idea positiva de las matemáticas y para ello hay que cambiar la manera en la que se les presentan a los alumnos.

Es bien sabido que las matemáticas son una habilidad sumamente necesaria para todos, pues son la principal herramienta con la que los seres humanos han podido comprender el mundo a su alrededor. Cuando somos estudiantes es común que nos preguntemos ¿por qué debo estudiar matemáticas? Podríamos comenzar diciendo que son muchas las actividades de la vida cotidiana que tienen relación con esta ciencia, por ejemplo, administrar dinero, preparar una receta de cocina, calcular la distancia que tenemos que recorrer para llegar a algún lugar, entre otras cosas, pero la respuesta va más allá.

Aprender matemáticas nos enseña a pensar de una manera lógica y a desarrollar habilidades para la resolución de problemas y toma de decisiones. Gracias a ellas también somos capaces de tener mayor claridad de ideas y del uso del lenguaje. Con las matemáticas adquirimos habilidades para la vida y es difícil pensar en algún área que no tenga que ver con ellas. Todo a nuestro alrededor tiene un poco de esta ciencia.

Las habilidades numéricas en general son valoradas en la mayoría de los sectores habiendo algunos en los que se consideran esenciales. El uso de la estadística y la probabilidad efectiva es fundamental para una gran variedad de tareas tales como el cálculo de costos, la evaluación de riesgos y control de calidad y la modelización y resolución de problemas. Hay quienes plantean que en el mundo actual tan cambiante en el que vivimos, particularmente en términos de los avances tecnológicos, la demanda de conocimientos matemáticos está en aumento.

La Matemática y su relación con las demás ciencias

La matemática es una herramienta esencial en muchos campos diferentes de la ciencia sin esta no podríamos gozar de la tecnología actual, la aplicación de la matemática en observa en Ingeniería, Física, Química, etc. La matemática es la madre de todas las ciencias, todo tiene que ver con las matemáticas, desde la música con sus tiempos, rimas y su poesía con los versos, la cocina con medidas, peso y tiempo de cocción, fotografía tiempo de velocidad y de obturación, la construcción con material y distribución de espacios. Todo tiene ver con las matemáticas.

Las ciencias con las que se relaciona son: • Ingeniería • Contaduría y Administración • Física • Química • Biología • Arquitectura • Astronomía • Mecánica • Música • Artes

• Ingeniería La ingeniería matemática (también matemáticas para ingeniería) es una rama de la ingeniería que utiliza la matemática aplicada y que se apoya en el uso de herramientas computacionales para resolver problemas de la ingeniería, principalmente relacionados con el modelamiento de diversos procesos (tanto naturales como artificiales).

• Contaduría y Administración Las matemáticas se pueden decir que es la ciencia que más se relaciona con las demás áreas del saber, su versatilidad no tiene límites y su aplicación es inimaginable. La matemática que es para los estudiantes de Contaduría Pública una herramienta principal, y que les provee con las bases suficientes para enfrentarnos a aquellos retos dentro de nuestra labor a desempeñar”.

• Física Algunas veces la física ha generado matemáticas y otras veces las matemáticas han ido por su lado. La física es una ciencia que necesariamente necesita de las matemáticas para existir, si queremos analizar un fenómeno físico, necesitamos traducirlo de algún modo a una expresión matemática, como una ecuación.

• Química La química matemática es el área de la química dedicada a las nuevas y no triviales aplicaciones de las matemáticas a la química, y se ocupa principalmente de los modelos matemáticos de los fenómenos químicos. La historia del enfoque matemático en la química se remonta a finales del siglo XIX.

• Biología Biología Matemática o Biomatemática es un área interdisciplinaria de estudios que se enfoca en modelamiento de los procesos biológicos utilizando técnicas matemáticas. Tiene grandes aplicaciones teóricas y prácticas en la investigación biológica.

• Arquitectura Sin las matemáticas en ninguna época histórica, las estructuras carecerían de integridad. Para que un edificio tenga resistencia y estabilidad, debe tener ángulos precisos, longitudes correctas de sus muros y medidas adecuadas para el techo, no solo en eso, sino también en todos los cálculos que sea necesario hacer.

• Astronomía Probablemente piensas en el Sol, los planetas, el Sistema Solar o la Vía Láctea. O quizás piensas en las noticias de los últimos años tal como la detección de las ondas gravitacionales, la predicción por medio de ordenadores de la existencia de un noveno planeta, o el hallazgo de un sistema con 7 planetas en la zona habitable. Mas si estos descubrimientos revolucionaron a la astronomía, aquel 1609 se produjo otro hecho crucial para el desarrollo de la ciencia. Se trataba de un logro matemático de primera magnitud: Johannes Kepler (1571-1630), tras una década de investigaciones, publicaba Astronomía nova. En esta obra se muestran dos resultados rotundos a los que se conoce como primera ley de Kepler y segunda ley de Kepler. (La tercera apareció diez años más tarde en Harmonice mundi.) Conviene aquí recordar sus enunciados:

Primera ley: Los planetas se mueven según órbitas elípticas que tienen al Sol como uno de sus focos. Segunda ley: El radio que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Tercera ley: Los cubos de los radios medios de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cuadrados de los tiempos que invierten en recorrerlas.

Estas tres sentencias describían y cuantificaban las evoluciones de las llamadas estrellas errantes. Además, permitían calcular con precisión las posiciones que ocuparían los planetas en la esfera celeste a una fecha dada.

• Mecánica Es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, y su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas. Modernamente la mecánica incluye la evolución de sistemas físicos más generales que los cuerpos másicos. En ese enfoque la mecánica estudia también las ecuaciones de evolución temporal de sistemas físicos como los campos electromagnéticos o los sistemas cuánticos donde propiamente no es correcto hablar de cuerpos físicos.

• Música Aunque se sabe que los antiguos chinos, egipcios y mesopotámicos estudiaron los principios matemáticos del sonido, son los pitagóricos de la Grecia antigua quienes fueron los primeros investigadores de la expresión de las escalas musicales en términos de proporcionalidad [ratio] numéricas, particularmente de proporciones de números enteros pequeños. Su doctrina principal era que “toda la naturaleza consiste en armonía que brota de números”.

• Artes Matemáticas y el arte están relacionados de varias maneras. De hecho, es frecuente encontrar las matemáticas descritas como un arte debido a la belleza o la elegancia de muchas de sus formulaciones, y se puede encontrar fácilmente su presencia en manifestaciones como la música, la danza, la pintura, la arquitectura, la escultura y las artes textiles.

DESARROLLO DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO

La inteligencia lógico matemática, tiene que ver con la habilidad de trabajar y pensar en términos de números y la capacidad de emplear el razonamiento lógico. Pero este tipo de inteligencia va mucho más allá de las capacidades numéricas, nos aporta importantes beneficios como la capacidad de entender conceptos y establecer relaciones basadas en la lógica de forma esquemática y técnica. Implica la capacidad de utilizar de manera

casi natural el cálculo, las cuantificaciones, proposiciones o hipótesis.

Todos nacemos con la capacidad de desarrollar este tipo de inteligencia. Las diferentes capacidades en este sentido van a depender de la estimulación recibida. Es importante saber que estas capacidades se pueden y deben entrenar, con una estimulación adecuada se consiguen

importantes logros y beneficios.

10 estrategias para estimular en desarrollo del pensamiento matemático

1. Permite a los niños y niñas manipular y experimentar con diferentes objetos. Deja que se den cuenta de las cualidades de los mismos, sus diferencias y semejanzas; de esta forma estarán estableciendo relaciones y razonando sin darse cuenta. 2. Emplea actividades de ejercicios de memoria 3. Muéstrales los efectos sobre las cosas en situaciones cotidianas. Por ejemplo, como al calentar el agua se produce un efecto y se crea vapor porque el agua transforma su estado. 4. Genera ambientes adecuados para la concentración y la observación 5. Utiliza diferentes juegos que contribuyan al desarrollo de este pensamiento, como sudokus, domino, juegos de cartas, adivinanzas, etc. 6. Plantéale problemas que les supongan un reto o un esforzó mental. Han de motivarse con el reto o esfuerzo mental. Han de motivarse con el reto, pero esta dificultad debe estar adecuada a su edad y capacidades, si es demasiado alto, se motivarán y puede verse dañado su auto concepto. 7. Haz que reflexione sobre las cosas y que a poco a poco valla relacionándolas. Para ello puedes buscar eventos inexplicables y jugar a buscar eventos inexplicables y jugar a buscar una explicación lógica. 8. Deja que manipule y emplee cantidades, en situaciones de utilidad. Puedes hacerles pensar en los precios, jugar a adivinar cuantos lápices habrá en un estuche, etc. 9. Deja que ellos solos se enfrenten a los problemas matemáticos. Puedes darles una pista o guía, pero deben ser ellos mismos los que elaboren el razonamiento que los lleve a la solución 10. Anímalos a imaginar posibilidades y establecer hipótesis. Pregúntales: ¿qué pasaría sí?

Importancia de la comprensión lectora en matemáticas

Uno de los hitos más importantes que tienen lugar durante la etapa escolar sucede cuando los niños pasan de aprender a leer a “leer para poder aprender”. Por eso, y puesto q ue una buena comprensión lectora es esencial en la adquisición de nuevos conocimientos, mejorarla tendría un efecto positivo en el rendimiento académico de los niños en todas aquellas asignaturas en las que la lectura sea la fuente principal de acceso a la información. Y las matemáticas se encuentran entre ellas. Son muchos los estudios que han puesto de manifiesto la relación que existe entre determinados aspectos lingüísticos y las capacidades matemáticas (ver, por ejemplo, Zhang, Koponen, Räsänen, Aunola, Lerkkanen y Nurmi, 2014). Uno de los ámbitos en los que más evidente se hace esta conexión es en el de la resolución de los problemas verbales. El importante papel de los problemas verbales y sus implicaciones en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas merece ser tratado con detalle (esperamos hacerlo en próximos posts). Por el momento, basta con recordar que, desde nuestro punto de vista, la enseñanza de las

matemáticas debe estar basada en la comprensión y que los problemas verbales tienen que constituir contextos significativos para los niños, en los que sea necesario realizar un proceso

de reflexión. Sin embargo, este proceso de reflexión no siempre tiene lugar. Algunos autores sugieren que cuando los niños se enfrentan a un problema, en lugar de pararse a entender la

situación planteada, se limitan a aplicar algoritmos y a operar con todas las cantidades disponibles, sin detenerse a pensar si todas son necesarias o no (Verschaffel, Green y De Corte, 2000).

Un grupo de investigadores norteamericanos ha partido de esta última afirmación para diseñar un estudio en el que se pretendía demostrar, entre otras cosas, que enseñar a los niños un determinado tipo de estrategia de comprensión lectora puede repercutir positivamente en la resolución de los problemas verbales (Glenberg, Willford, Gibson, Goldberg y Zhu, 2011).

El método que proponen Glenberg y colaboradores se denomina “Moved by Reading” y, según ellos, enseña a los niños una estrategia fundamental para la comprensión de cualquier tipo de texto: la de representar mentalmente la situación descrita. Brevemente, el método consta de dos fases. En la primera, se leen al niño una serie de frases y se le pide que manipule determinado tipo de elementos (juguetes u otros objetos) para simular o representar lo que se acaba de leer. Reproducir las frases de este modo aumenta la riqueza de la información que está siendo procesada (por realizarse tanto a nivel sensorial, como cognitivo, motor o emocional) y, por tanto, favorece su comprensión. Además, la simula ción que realiza el niño permite comprobar rápidamente si realmente ha entendido la frase o texto leído. Una vez que los niños tienen práctica en la representación física de las historias, comienza la segunda fase. En ella tienen que aprender a prescindir de los elementos manipulativos y a reconstruir los textos de la misma manera, pero mentalmente. Es lo que ellos llaman “manipulación imaginaria “. Los autores encontraron que los niños que fueron instruidos en este método mejoraban la comprensión lectora (Glenberg et al., 2011).

Por eso, en el estudio que estamos comentando, los investigadores decidieron ampliar los ámbitos de aplicación del método y diseñaron una serie de textos consistentes en problemas matemáticos, todos ellos con información adicional irrelevante para solucionar el problema. Comprobaron que los niños que habían trabajado la estrategia de construcción de modelos mentales vía “Moved by Reading” resolvieron correctamente más problemas que aquellos a los que no se les enseñó esa estrategia. La causa de esta mejora, según los autores, se debe al hecho de que la manipulación imaginaria del texto les ayudaba a entender la situación

problema y a identificar cuáles eran los datos numéricos realmente relevantes.

Es necesario seguir validando el método “Moved by Reading” y comprobar si sus efectos se mantienen a largo plazo en nuevas investigaciones antes de sacar conclusiones precipitadas. Sin embargo, lo que sí se ha vuelto a poner de manifiesto en este artículo es la necesidad de ayudar a los

niños desarrollar una serie de habilidades para resolver de

forma efectiva los problemas verbales y, entre otras cosas, estas pasan por ayudarles a establecer conexiones entre lo

simbolizado en los problemas y el mundo real.

NOCIONES DE LÓGICA

También llamada lógica simbólica, lógica teoretica, lógica formal o logística, es el estudio formal y simbólico de la lógica, y su aplicación a algunas áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a la construcción y el desarrollo de las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.

La lógica matemática estudia la inferencia mediante la construcción de sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden o la lógica modal. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas.

La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: 1. Teoría de modelos 2. Teoría de la demostración 3. Teoría de conjuntos 4. Teoría de la computabilidad

La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática.

La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del teorema de Cantor, el axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación.

La teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.

La lógica matemática también estudia las definiciones de nociones y objetos matemáticos básicos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos. La lógica matemática estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades metodológicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es un método para descubrir verdades del mundo físico real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional. Por otra parte, la lógica matemática no estudia el concepto de razonamiento humano general o el proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero con lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que se pueden formalizar por completo.

Lógica proposicional

Una lógica proposicional, o a veces lógica de orden cero, es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. Las lógicas proposicionales carecen de cuantificadores o variables de individuo, pero tienen variables proposicionales (es decir, que se pueden interpretar como proposiciones con un valor de verdad definido), de ahí el nombre proposicional. Los sistemas de lógica proposicional incluyen además conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica se puede analizar la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples. Como las lógicas proposicionales no tienen cuantificadores o variables de individuo, cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada admite una valoración en la proposición es verdadera o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. Esto implica que cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en un número finito de pasos se puede determinar la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica proposicional sea completa y con una semántica muy sencilla de caracterizar.

Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos su nivel absoluto de verdad. Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbolice, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que lo acercan al lenguaje matemático.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Los conjuntos son una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica. El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas (puras) del infinito en la segunda mitad del siglo 1531, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zemelo y Abraham Fraenkel.

Georg Canton Bernard Bolzano Gattlob Frege Bertrand Russell

Conjuntos

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que “pertenecen” al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈ la expresión 1 ∈ B se lee entonces como “1 está en B”, “1 pertenece a B”, “B contiene a 1”, etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: D ∉ B, ♠ ∉ B, amarillo ∉ B, z ∉ B, etc.

Notación de conjuntos

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que: B = {verde, blanco, rojo} C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad: A = {Números naturales menores que 5} D = {Palos de la baraja francesa}

Igualdad de conjuntos

Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También: B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México} C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}

Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota simplemente por {}. Algunas teorías axiomáticas de conjuntos aseguran que el conjunto vacío existe incluyendo un axioma del conjunto vacío. En otras teorías, su existencia puede deducirse. Muchas posibles propiedades de conjuntos son trivialmente válidas para el conjunto vacío.

Subconjuntos

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B. Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A»

Tipos de Conjunto

A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de como los agrupamos puede variar, dando lugar entonces a los diferentes tipos de conjuntos: • Conjuntos finitos: La característica de este conjunto es que sus elementos pueden ser contar o enumerar en su totalidad. Por ejemplo, los meses del año establecen un conjunto finito: enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre. • Conjunto infinito: Un conjunto será infinito cuando sus elementos sean imposibles de contar o enumerar en su totalidad, debido a que no tienen fin. Los números son un claro ejemplo de un conjunto infinito. • Conjunto unitario: Aquel que está compuesto por un único elemento. La luna se encuentra dentro de este conjunto, pues es el único satélite natural del planeta tierra. • Conjunto vacío: se trata de un conjunto el cual no presenta ni tiene elementos. • Conjunto homogéneo: Conjuntos cuyos elementos presentan una misma clase o categoría. • Conjunto heterogéneo: Los elementos de estos conjuntos difieren en clase y categoría. • Conjuntos equivalentes: Serán equivalentes aquellos conjuntos cuya cantidad de elementos sea la misma. • Conjuntos iguales: Podrá decirse que dos o más conjuntos son iguales, cuando estén compuestos por elementos idénticos.

La importancia de la aritmética y aplicación en la vida cotidiana

Es que permite sistematizar los cálculos simples y sencillos hasta de la vida diaria, poniendo al alcance de toda la posibilidad de resolver muchas operaciones que de lo contrario serían muy arduas. La aritmética es una de las ciencias matemáticas a la que muchos le huyen mientras que otros aceptan el desafío, así que es importante que sepas que estudia la aritmética y todo lo que puede ofrecerte. La opinión mayoritaria es que las matemáticas juegan un papel importante en la sociedad. En efecto, las matemáticas están presentes en cualquier faceta de nuestra vida diaria: el uso de los cajeros automáticos de un banco, las comunicaciones por telefonía móvil, la predicción del tiempo, las nuevas tecnologías, la arquitectura e incluso, aunque no es tan conocido, también en una obra de arte, en la música, en la publicidad, en el cine o en la lectura de un libro. De hecho, muchas veces el papel que juegan las matemáticas en la vida cotidiana es el de detectar mentiras y engaños que, en ocasiones, se producen en las facturas con el IVA desglosado, en un crédito financiero, en las tasas de interés de un préstamo hipotecario o en la adecuación de los salarios a la pérdida de poder adquisitivo. Incluso el sistema ISBN de los libros o el propio NIF que identifica a cada persona presenta algún factor de comprobación basado en el concepto matemático de congruencia.

ARITMÉTICA

Es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: • Adición • Sustracción • Multiplicación • División

Al igual que en otras áreas de la Matemática, como el Álgebra o la Geometría, el sentido de la “Aritmética” ha ido evolucionando con el amplio y diversificado desarrollo de las ciencias. Originalmente, la Aritmética se desarrolló de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «Ciencias Naturales». En la actualidad, puede referirse a la Aritmética Elemental, enfocada a la enseñanza de la Matemática Básica; también al conjunto que reúne el Cálculo Aritmético y las Operaciones Matemáticas, específicamente, las cuatro Operaciones Básicas aplicadas, ya sea a números (números naturales, números enteros, números fraccionarios, números decimales, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc.); también a la así llamada alta aritmética, mejor conocida como Teoría de Números.

• Adición La adición es una operación básica de la aritmética de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos; por su naturalidad, que se representa con el signo "+", el cual se combina con facilidad matemática de composición en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La adición también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.

• Sustracción Sustracción es una operación de aritmética que se representa con el signo (–), representa la operación de eliminación de objetos de una colección. Por ejemplo, en la imagen de la derecha, hay 5-2 manzanas significando 5 manzanas con 2 quitadas, con lo cual hay un total de 3 manzanas. Por lo tanto, 5 – 2 = 3. Además de contar frutas, la sustracción también puede representar combinación otras.

• Multiplicación Es una operación binaria que se establece en un conjunto numérico. Tal el caso de números naturales, consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase “cuatro multiplicado por tres” o, simplemente, “cuatro por tres”) es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). Es una operación diferente de la adición, pero equivalente. No es igual a una suma reiterada; sólo son equivalentes porque permiten alcanzar el mismo resultado. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

• División En matemática, la división es una operación parcialmente definida en el conjunto de los números naturales y los números enteros; en cambio, en el caso de los números racionales, reales y complejos es siempre posible efectuar la división, exigiendo que el divisor sea distinto de cero, sea cual fuera la naturaleza de los números por dividir. En el caso de que sea posible efectuar la división, esta consiste en indagar cuántas veces un número (divisor) está "contenido" en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación, siempre y cuando se realice en un campo.

CONJUNTO NUMÉRICO

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.

Comenzaremos por estudiar tres conjuntos en particular, los números naturales, los números enteros y los números racionales o fraccionarios. Estos conjuntos de números han ido apareciendo a medida que la humanidad se ha visto en la necesidad de solucionar problemas y retos cada vez más complejos y más profundos.

Números Naturales

La exigencia y oportunidad de contar derivó necesariamente en la invención y el uso de los llamados actualmente números naturales. Aparecen en una gama de sistemas de numeración, en principio de carácter oral. Son los números más simples de los que hacemos uso, el conjunto de ellos se denota por N. Entre estos números, en sucesión ascendente en representación indo-arábiga, son: 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivo. Sin embargo, José Peano en una de sus versiones, y Paul Halmos, entre otros, consideran el 0 (cero) como número natural. Que responde al número de alumnos en un aula vacía, entre infinidad de casos.

Números Enteros

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por Z y están formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, N C Z

Números Racionales

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por Q y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma de ecuación donde p y y son enteros y q≠0. Estos pueden ser enteros decimales finitos o decimales infinitos periódicos.

Métodos para resolver problemas de ampliación

En esta asignatura se trata de que los alumnos/as completen los conocimientos en Matemática Aplicada. A saber: integración en varias dimensiones, teoría de campos, ecuaciones diferenciales, transformadas de Fourier y de Laplace. Finalmente, se completan los conocimientos de Estadística adquiridos por los alumnos/as en la asignatura de “Métodos Matemáticos”.

Estos consejos te ayudarán a pensar mejor: • Debes tener una actitud positiva. Curiosidad y ganas de aprender. Gusto por el reto • Confía en tus posibilidades. Somos lo que pensamos. Actúa con tranquilidad, sin miedo. • Ten paciencia. No abandones a la menor dificultad. Si te atascas, piensa en un nuevo enfoque del problema. • Concéntrate. Resolver problemas es una actividad compleja y requiere atención. • No busques el éxito a corto plazo. Llegar a la solución es un proceso lento, pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.

Importancia de la algebra y su aplicación en la vida cotidiana

El Algebra es útil principalmente para agilizar la mente, aunque aparentemente pienses que no sirve de nada en tu vida diaria es importante puesto que ayuda a deducir y procesar toda la información que se recibe durante el día de tal forma que podemos sacar conclusiones y resolver problemas que se presentan

Todos hemos preguntado alguna vez para qué sirve aprender álgebra en la vida cotidiana, muchos estudiantes a nivel medio superior tratan de facilitar su futuro buscando una carrera profesional que no tenga relación alguna con este tema, pero esto siempre estará presente en la vida de todo ser humano, tenga la especialidad que tenga. Todos nosotros pensamos de manera algebraica alguna vez, por ejemplo, para resolver o facilitar un problema matemático podemos acudir a una calculadora o a un formato Excel para exponer la ecuación con una simbología, estamos seguros de que el ordenador lo resolverá; pero nosotros ponemos de nuestra parte ya que de manera mental vamos analizando y repitiendo valores para que la máquina entienda y lo solucione. No hay que ver el álgebra como sólo literales, sumas o factorizaciones; también hay que verlo como un ejercicio mental, pues abre la mente, encuadra el pensamiento y ejercita el cerebro para poder resolver problemas de cualquier índole en nuestra vida cotidiana; haremos algoritmos con pasos a seguir y analizaremos a detalle cada situación, ya que si uno aprende bien el álgebra también aprenderá a hablar con las palabras correctas, haciendo de lo complicado algo más simple. No sólo es aprender por aprender, podemos retomar todo este conocimiento y manejarlo de manera inteligente, aquí es donde nos percataremos de su gran importancia.

ALGEBRA

La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Es la rama de la matemática que estudia la

combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre: • Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas. • Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

Algebra Elemental

El álgebra elemental incluye los conceptos básicos de álgebra, que es una de las ramas principales de las matemáticas. Mientras que en la aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, –, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números. Estos se denominan variables, incógnita, coeficientes, índices o raíz, según el caso. El término álgebra elemental se usa para distinguir este campo del álgebra abstracta, la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas.

Algebra Abstracta

El álgebra abstracta, ocasionalmente llamada álgebra moderna, es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo (a veces llamado campo) o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. En álgebra abstracta, los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebra abstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas las matemáticas y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas. El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna".

Polinomios Algebraicos

Dentro de los monomios y los polinomios vamos a ver cuáles son semejantes y el grado que tienen, entre otras cosas. También veremos las operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación, división y también las propiedades de la suma y de la multiplicación.

Es una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos llamados coeficientes), o bien una sola variable. Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales. En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Operaciones Básicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

• Monomio Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan incógnitas de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio, que posee un único término.

• Binomio

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios. Todo binomio es un polinomio, pero las expresiones algebraicas pueden contar con más de dos términos por lo cual existen polinomios que no son binomios, de tres, cuatro o más términos. Para averiguar las potencias de un binomio se recurre a la llamada fórmula del binomio de Newton, que consiste en un algoritmo donde se emplean una sucesión de números combinatorios o coeficientes binomiales.

• Trinomio Expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de tres términos o monomios. En álgebra, un trinomio es una expresión algebraica de únicamente tres monomios, sumados o restados.

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que aparece una (o más) incógnita. Normalmente, la incógnita es x. La incógnita x representa al número (o números), si existe, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación. Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras

ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales).

La variable X representa la incógnita, mientras que el coeficiente 6 y los números 2, 7, 3 y 8 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta. En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. El símbolo “=”, que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recordé, que consideró que no había nada más igual que dos líneas rectas paralelas de la misma longitud.

Ecuaciones de Primer Grado

Una ecuación de primer grado o lineal o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuación de segundo grado. donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola.

FUNCIONES

En matemática, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la magnitud de la que depende (el radio y la velocidad) es la variable independiente. En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Las funciones son relaciones entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural.

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

Tipos de Funciones

A continuación, mostramos algunos de los principales tipos de funciones matemáticas, clasificadas en diferentes grupos según su comportamiento y el tipo de relación que se establece entre las

variables X e Y.

Funciones Inyectivas

Reciben el nombre de funciones inyectivas aquel tipo de relación matemática entre dominio y codominio en el que cada uno de los valores del codominio se vincula únicamente a un valor del dominio. Es decir, x solo va a poder tener un único valor para un valor y determinado, o bien puede no tener valor (es decir un valor concreto de x puede no tener relación con y).

Funciones Suryectivas

Las funciones suryectivas son todas aquellas en las que todos y cada uno de los elementos o valores del codominio (y) están relacionados con al menos uno del dominio (x), aunque pueden ser más. No tiene por qué ser necesariamente inyectiva (al poder asociarse varios valores de x a un mismo y).

Funciones Biyectivas

Se denomina como tal al tipo de función en que se dan propiedades tanto inyectivas como suryectivas. Es decir, hay un único valor de x para cada y, y todos los valores del dominio se corresponden con uno del codominio.

Funciones No Inyectivas y No Suryectivas

Este tipo de funciones indican que existen múltiples valores del dominio para un codominio concreto (es decir diferentes valores de x nos van a dar una misma y) a la par que otros valores de y no se encuentran vinculados a ningún valor de x.

Función Lineal

En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.

Función Afín

Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0). Es una relación que asocia a cada elemento del conjunto de partida con un único elemento del conjunto de llegada. Nota: para que una relación sea función debe cumplirse que todos los elementos del conjunto de partida tengan una imagen y además estos deben tener una sola imagen. A las funciones suelen representarse por letras minúsculas tales como: f, g, h entre otras.

Función Par

Una función par es una función que satisface la relación f (x) =f (-x) y si x y -x están en el dominio de la función. Desde un punto de vista geométrico, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Función Impar

Una función impar es cualquier función que satisface la relación: f (-x) = -f (x) para todo x en el dominio de f.

Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Función Polinómica

Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.

Función Constante

Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x1y x2del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

Función Exponencial

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

Función Logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Funciones trigonométricas

las funciones trigonométricas f son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Funciones Definidas a Trozos

Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x). Por ejemplo:

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

Función Derivada de una Función

La función derivada f’ de una función f que sea derivable en un intervalo I es una nueva función que hace corresponder para cada valor de x ∈I el valor de la derivada de f en ese punto. En otras palabras, la función derivada f’ recoge todos los valores de las derivadas de f existentes en todos los puntos de su dominio.

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Puede ocurrir que f no tenga derivada en todo su dominio. En ese caso, el dominio de la función derivada f’ es más pequeño que el dominio de f. La expresión de la función derivada respecto a la función inicial es el siguiente límite:

La función derivada f’ de una función f, derivable en I, cuando el incremento de la variable x ∈I tiende a cero, es el cociente entre el incremento de la función inicial y el incremento de la variable independiente x.

Función de Valor Absoluto

La función valor absoluto devuelve el valor numérico del segundo término, pero afectado siempre del signo positivo. Tiene sentido para caracterizar distancias, longitudes. La expresión más simple de una función valor absoluto es: f(x) = |x| y la gráfica son dos rectas simétricas en el primer y segundo cuadrante, con pendientes 1 y -1 (forma de “V”) que se cortan en el origen (0,0).

SECCIONES GEOMÉTRICAS

En geometría descriptiva, la sección de un sólido es la intersección de un plano con dicho sólido. Existen dos tipos especiales de sección; la sección longitudinal, cuando el plano de corte α es paralelo al eje principal del sólido K, y la sección transversal cuando el plano α es perpendicular al eje del sólido K. Las secciones suministran información de todos los elementos que aparecen ocultos en la planta y alzados principales, siendo de gran utilidad en las representaciones gráficas de elementos arquitectónicos y de ingeniería. Formando parte, casi imprescindible, de los planos de todo proyecto técnico.

Bases

• Sección cónica • Parábola • Elipse • Hipérbola • Circunferencia

• Sección Cónica Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto interior a la parábola llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

• Elipse Una elipse es una curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

• Hiperbola Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

• Circunferencia La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro. Distíngase de círculo, cuyo lugar geométrico que queda determinado por una circunferencia y la región del plano que encierra esta.

GEOMETRÍA

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística etc., y es útil en la preparación de diseños e incluso en la fabricación de artesanía.

Su palabra proviene de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir). La geometría es la parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medida del espacio o del plano, fundamentalmente se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos o geométricos. El cuerpo geométrico es un cuerpo real considerado tan solo desde el punto de vista de su extensión espacial. La idea de figura es aún más general, pues se abstrae también de su extensión espacial. Así, el espacio tiene tres dimensiones, una superficie solo dos, una recta una y un punto carece de dimensiones. La geometría se ocupa de la forma de un cuerpo independientemente de las demás propiedades del mismo.

Importancia de la geometría

El aprendizaje de la geometría en la escuela es de suma importancia ya que todo nuestro entorno está lleno de formas geométricas; en la vida cotidiana es indispensable el conocimiento geométrico básico para orientarse adecuadamente en el espacio, haciendo estimaciones sobre formas y distancias. Seguramente muchos habremos oído de la importancia que tienen las Matemáticas en la vida cotidiana, sea como un instrumento que nos ayuda con la Contabilización y Operaciones que realizamos en forma prácticamente automática (como lo es en el momento en que nos dedicamos a hacer Compras y Ventas, controlando que se nos del dinero del cambio o pagando el precio exacto por los productos) o bien nos ayuda a ejercitar nuestra inteligencia a través de operaciones que requieren de lógica, razonamiento y deducción.

FIGURAS GEOMETRICAS

Las figuras geométricas son el objeto de estudio de la geometría, rama de las matemáticas que se dedica a analizar las propiedades y medidas de las figuras en el espacio o en el plano. Una figura geométrica es un conjunto no vacío cuyos elementos son puntos. Para definir y clasificar las figuras geométricas, comúnmente se debe recurrir a conceptos fundamentales, tales como el de punto, recta, plano y espacio, que en sí mismas también se consideran figuras geométricas. A partir de ellas es posible obtener todas las figuras geométricas, mediante transformaciones y desplazamientos de sus componentes.

• Punto • Recta • Semirrecta • Segmento • Curva • Plano • Polígono • Triangulo • Cuadrilátero • Elipse • Circunferen cia • Parábola • Hipérbola

CUERPOS GEOMETRICOS

Un cuerpo geométrico es una figura geométrica tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto, que ocupa un lugar en el espacio y que por lo tanto posee un volumen. Los cuerpos geométricos se pueden clasificar a su vez en poliedros y cuerpos geométricos redondos o no poliedros.

• Poliedros Los poliedros son cuerpos geométricos del espacio formado por polígonos, llamados caras, y unidos de tal modo que encierran una porción del espacio. Entre los más conocidos se encuentran los siguientes: o Prismas o Sólidos platónicos o Sólidos arquimedianos o Pirámides

• Redondos Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras curvada. Entre los más conocidos se encuentran: o Cilindro o Cono o Esfera o Toro

MEDIDAS

La teoría de la medida es una rama del análisis y de la geometría que investiga las medidas, las funciones medibles y la integración. Es de importancia central en geometría, probabilidad y en estadística. En matemáticas, una medida de un conjunto es una forma sistemática y rigurosa de asignar un número a cada subconjunto apropiado de dicho conjunto. Intuitivamente, dicho número puede ser interpretado como una cierta medida del tamaño de dicho subconjunto. En este sentido, la medida es una generalización de los conceptos de "longitud”, “área", y "volumen". Dicha generalización se extiende tanto a mayores dimensiones (en el sentido de "hipervolúmenes") como a conceptos más abstractos, puesto que el conjunto sobre el que se aplica una medida no tiene por qué ser un subconjunto de un espacio geométrico. En general, si uno pretende asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado y al mismo tiempo satisfacer el resto de axiomas de una medida, las únicas medidas que uno suele poder definir son ejemplos triviales como la medida de conteo. Este problema fue resuelto definiendo la medida como aplicable a unas familias reducidas de subconjuntos, usualmente llamados los conjuntos medibles.

• Medida de Jordan Los conjuntos elementales son muy restrictivos, pues solo pueden construirse con base en intervalos. La medida de Jordan es la primera generalización del concepto de medida. La idea general es la de demarcar el conjunto E con otros dos conjuntos, uno que lo inscribe y otro que lo circunscribe. Dichos dos conjuntos pueden ser expresados como conjuntos elementales, y en el límite, conforme las cajas que conforman dichos conjuntos aumentan en número e inscriben al conjunto E mejor, las medidas elementales de dichos conjuntos acabarán por converger a la medida (de Jordan) de E.

• Medida de Lebesgue La medida de Lebesgue es una generalización de la medida de Jordan que extiende el conjunto de conjuntos medibles (y, por tanto, integrables). El problema con la medida de Jordan está relacionado con la definición de medida externa de Jordan.

PROPIEDAD Y FUNCIONES

Una función es una relación entre variables que debe cumplir con ciertas condiciones de unicidad. Por ejemplo, si trabajamos con dos variables: X, Y Una función es la relación en la que a cada valor de X” le corresponde un único valor de la variable “Y”

En cualquier función, una cantidad es dependiente de la otra. En el ejemplo del carro, el número de llantas depende del número de carros en el estacionamiento. Algebraicamente, podemos representar esta relación con una ecuación.

llantas = 4 • carros

El número 4 nos describe cómo es la relación entre el número de carros y el número de llantas. Todas las funciones proporcionales funcionan de la misma manera. Llamamos a esa proporción constante de variación, o constante de proporcionalidad. Es una constante porque este número no cambia dentro de la función. Como la entrada y la salida están ligadas por una constante, cambios en la variable independiente causan un cambio proporcional en la variable dependiente en una forma constante. Esta relación proporcional les da su nombre a las funciones proporcionales.

Podemos utilizar la ecuación de los carros y las llantas como base para escribir una ecuación algebraica general que funcionará para todas las funciones proporcionales. En nuestro ejemplo, las llantas son la salida, 4 es la constante, y los carros son la entrada. Pongamos estos términos genéricos en la ecuación. Obtenemos salida = constante • entrada. Ésa es la fórmula para todas las funciones proporcionales. llantas = 4 • carros

salida = constante • entrada

Cambiémosla de una fórmula verbal a una simbólica será más rápido de escribir. La salida de una función es también conocida como la variable dependiente y es generalmente representada simbólicamente como y. La entrada se llama variable independiente, representada por el símbolo x. Representemos la constante con la letra k. Ahora pondremos esos símbolos en la ecuación. llantas = 4 • carros

salida = constante • entrada y = kx

NOCIONES DE PROBABILIDAD

La noción de probabilidad mide la frecuencia y posibilidad con la que puede suceder un resultado ya sea en un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %). Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a 0), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno). La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la administración, contaduría, economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina los experimentos o fenómenos aleatorios.

• FACTORIAL: La factorial está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas puede arreglarse en orden. El número de maneras en el que las n cosas pueden arreglarse en orden es:

• PERMUTACIONES: En muchos casos se necesita saber el número de formas en las que un subconjunto de un grupo completo de cosas puede arreglarse en orden. Cada posible arreglo es llamado permutación. Si un orden es suficiente para construir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones. El número de maneras para arreglar r objetos seleccionados a la vez de n objetos en orden, es decir, el número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez es:

• COMBINACIONES: En muchas situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que r objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjuntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se trata de combinaciones. El número de

Análisis y Representación de Datos

Los datos de la investigación y el respectivo análisis, deben preferentemente ser organizados en función a las hipótesis para poder más fácilmente ofrecer resultados que la acepten o rechacen, a partir de ello los resultados se presentan en cuadros y gráficos. Si se considera que los cuadros y gráficos son numerosos, el i n v e st i ga d o r p u e d e c on s i gn a r p a r t e d e e st o s e n l a s e c c i ón d e a n e x o s , p r e se n t a n d o e n e l c u e r p o d e informe sólo los más importantes. Con la tabulación se dispone de la suma o total de los datos, pero esto no basta. Existe la necesidad des or d en a r los y p r e se n t a r lo s d e m a n e r a , s i s te m á t ic a p a r a fa c i l it a r s u l e c t u r a y a n á l i s i s . L a s f or m a s d e p r e s e n t a r l o s d a t o s a r r oj a d os p o r l a i n v e s t ig a c i ón e s t a d í s t ic a s e d e s a r r o ll a n c on e l f ir m e p r op ó s i t o d e esclarecer la forma de lectura de los mismos. e s r e c o me n d a b l e ut i li z a r # c a d a v e z q u e s e a p o s ib le $ m á s d e u n m é t o d o , s ie n d o e l m i xt o e l mé t od o p o r excelencia. La forma de presentación de datos puede ser escrita, semi tabular, tabular, gráfica y mixta.

Patrones

Un patrón es un tipo de tema de sucesos u objetos recurrentes, como por ejemplo grecas, a veces referidos como ornamentos de un conjunto de objetos. Más abstractamente, podría definirse patrón como aquella serie de variables constantes, identificables dentro de un conjunto mayor de datos.

Estos elementos se repiten de una manera predecible. Puede ser una plantilla o modelo que puede usarse para generar objetos o partes de ellos, especialmente si los objetos que se crean tienen lo suficiente en común para que se infiera la estructura del patrón fundamental, en cuyo caso, se dice que los objetos exhiben un único patrón. Los patrones más básicos, llamados teselaciones, se basan en la repetición y la periodicidad. Una única plantilla, azulejo o célula, se combina mediante duplicados sin cambios o modificaciones. Por ejemplo, osciladores armónicos simples producen repetidos patrones de movimiento.

Otros patrones, como la teselación de Penrose y los patrones indios Pongal o Kolam, usan simetría, que es una forma de repetición finita, en lugar de una traslación, que puede repetirse hasta el infinito. Los patrones fractales también utilizan aumentos o escalas que producen un efecto conocido como autosimilaridad o invariancia de escala. Algunas plantas, como los helechos, incluso generan un patrón usando una transformación afín que combina la traslación, con el escalado, la rotación y la reflexión.

La concordancia de patrones es el acto de comprobar la presencia de los componentes de un patrón, mientras que la detección de patrones subyacentes se conoce como el reconocimiento de patrones. La cuestión de cómo surge un patrón es llevado a cabo a través del trabajo científico de la formación de patrones. El reconocimiento de patrones es tanto más complejo cuando las plantillas se utilizan para generar variantes. La informática, la etología y la psicología son ámbitos donde se estudian los patrones.

Progresiones

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

• Progresiones Aritméticas Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1. an = a1 + (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.

Progresiones Geométricas

Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón. El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:

an = a1 × rn-1

Física Fundamental