Suku Banyak

BAB 5 SUKU BANYAK (POLINOMIAL) A. Definisi dan Unsur-Unsur Pada Suku Banyak Definisi 1: Jika a0, a1, a2, …,an Є Real bukan nol dan n Є Cacah, maka a0+a1x+a2x2+ … +an-1xn-1+anxn adalah suku banyak berderajat n dengan x sebagai variable dan a0 sebagai konstanta/suku tetap.

Contoh 1: Suatu polynomial 7x5-3x2+2x-1 berderajat (pangkat tertinggi) 5, memiliki 4 suku, dan konstanta -1 Contoh 2 Derajat, banyak suku, konstanta dari polynomial 2x2(3x+4).(x-2) adalah ….

Jawab: Untuk menentukan derajat, banyak suku, dan konstanta dari suku banyak diatas, kita perlu mengubah dahulu bentuk diatas 2x2(3x+4).(x-2) = (6x3+8x2).(x-2) = 6x4-12x3+8x3-16x2 = 6x4-4x3-16x2 Berdasarkan bentuk diatas, dapat diketahui bahwa polynomial tersebut berderajat 4, memiliki 3 suku, tidak memiliki konstanta.

B. Menentukan Nilai Suku Banyak Definisi 2: Jika diketahui polynomial f(x) = a0+a1x+a2x2+ … +an-1xn-1+anxn, jika x = p, maka f(p) = a0+a1p+a2p2+ … +an-1pn-1+anpn adalah nilai dari suku banyak. Selanjutnya, nilai dari suku banyak dapat kita peroleh dengan menggunakan dua metode, yakni substitusi langsung dan metode horner 1. Metode substitusi langsung Jika diketahui f(x) = 6x4-4x3-16x2, maka nilai dari f(1) adalah ….

Jawab: Melalui metode substitusi langsung, kita substitusikan 1 kedalam x, menjadi f(1) = 6(1)4-4(1)3-16(1)2 = 6 – 4 - 16 = -14  Nilai dari suku banyak adalah -14 Metode substitusi ini sangat mudah dilakukan dan sangat akrab sekali bagi kita, namun demikian, metode ini kurang efektif untuk nilai x yang cukup besar, misalnya jika kita diminta untuk menentukan nilai f(45) dari fungsi pada contoh diatas.

2. Metode Horner Selain dengan menggunakan metode substitusi, kita dapat menggunakan metode horner, yakni dengan mengalikan dan menjumlahkan secara berturut-turut koefisien suku banyak dan nilai dari variable suku banyak. Misal jika diketahui f(x) = ax3+bx2+cx+d, maka nilai suku banyak dapat diperoleh dengan

Mawan/2012/Polinomial

x

a

a

b

c

d

ax

ax2+bx

ax3+bx2+cx

ax+b ax2+bx+c

ax3+bx2+cx+d

Nilai suku banyak

Contoh Nilai dari suku banyak f(x) = 2x3+4x+1 jika diketahui x = 2 adalah ….

Jawab: Secara lengkap, fungsi dari suku banyak dapat ditulis sebagai berikut: f(x)= 2x3+0x2+4x+1 dengan x = 2. Maka, dapat disusun tabel horner sebagai berikut: 2 2 0 4 1

2

4

8

24

4

12

25

Nilai suku banyak

Soal Latihan 1. Tentukan derajat, banyak suku, dan konstanta dari suku banyak berikut! a. 2x4+5x2+1 b. x5+2x3+x2+3x-1 c. (x3+3x2+1)(x+4) x 6  2 x 4  3x 2 d. x2 x 2  5x  6 e. x3 2 f. (4x +1)2 g. (2x+6)2+3x h. (3x-1)3    2. Diketahui suatu suku banyak (2 sin ) x 3  (tg ) x 2  8Sin . Tentukan nilai dari 4 4 6 koefisien dan konstanta suku banyak tersebut!

3. Jika b menyatakan rata-rata bilangan 1 sampai 10 dan a! factorial a, maka a. Jumlah koefisien suku ke 2 dan ke 3 dari suku banyak 3!x5+2! b x3+4!x2+3 b x-1 b. Hasil kali antara konstanta dan koefisien pertama suku banyak 3!x5+2! b x3+4!x2+3 b x-1 4. Tentukan nilai suku banyak dari a. 2x4+5x2+1 dengan x = 3 b. x5+2x3+x2+3x-1 dengan x = -2 c. (2x+6)2+3x dengan x = 0 d. x4-x3+3x2-5x+7 dengan x=8 e. 8x4+4x3+2x2+5x+2 untuk x=-1 x 2  5x  6 untuk x = 74 f. x3 5. Jika f(x) = 9x3+x2-x+1, g(x) = 7x2-5, dan h(x) = f(x) + g(x), maka nilai dari h(16) adalah ….

Mawan/2012/Polinomial

6. Jika nilai fungsi f(x) = 8x3+50x2+53x+m untuk x = -5 adalah 0, maka nilai dari m adalah ….

Kuis Kerjakan soal di bawah ini dalam waktu 20 menit!

1. Tentukan derajat, banyak suku, dan konstanta dari suku banyak (3x-2)3 2. Tentukan selisih koefisien kedua dan konstanta dari suku banyak 9x4+8x2-2x+5!

3. Jika diketahui suatu fungsi f(x)= 2x4+5x2+1, tentukan nilai dari f(-2)!

Diskusi (pengayaan) Berdasarkan pemahaman anda mengenai definisi suku banyak, diskusikan dengan 0 kelompok anda apakah x Sin 45  2 x log 5  6 adalah termasuk suku banyak?

C. Operasi Antar Suku Banyak 1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan dan pengurangan suku banyak dapat dilakukan dengan mengelompokkan tiap suku kedalam suku sejenisnya. Setalah tiap-tiap suku sejenis dikelompokkan, kemudian kita operasikan penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis tersebut Contoh 1: Jumlah dari suku banyak x3+3x2+3x+1 dengan 4x2-5x+1 adalah ….

Jawab: (x3+3x2+3x+1)+(4x2-5x+1) x3+3x2+3x+1+4x2-5x+1 x3+(3x2+4x2)+(3x-5x)+(1+1) x3+7x2-2x+2 Contoh 2: Selisih suku banyak 3x4-2x3+x2-2 dari 5x3-7x2+3x+1 adalah ….

Jawab: (5x3-7x2+3x+1) – (3x4-2x3+x2-2) 5x3-7x2+3x+1-3x4+2x3-x2+2 -3x4+(5x3+2x3)+(-7x2-x2)+3x+(1+2) -3x4+7x3-8x2+3x+3 2. Perkalian Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih, kita dapat menggunakan sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan, kemudian kita hitung hasil jumlahnya.

Contoh: Hitunglah (3x7-6x2).(-2x3+x2+1)!

Jawab: (3x7-6x2).(-2x3+x2+1) = 3x7(-2x3+x2+1)-6x2(-2x3+x2+1) = -6x10+3x9+3x7+12x5-6x4-6x2 3. Pembagian Pembagian pada suku banyak dapat deselesaikan dengan menggunakan pembagian bersusun sebagaimana yang sudah kita pelajari pada sekolah dasar.

Contoh:

Mawan/2012/Polinomial

Hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak x4-2x3+x2-2x+5 dengan x2+x+2 adalah ….

Jawab: x 2  3x  2 ( x 2  x  2) x 4  2 x 3  x 2  2 x  5

x 4  x3  2x 2  3x 3  x 2  2 x  3x 3  3x 2  6 x 2x 2  4 x  5 2x 2  2 x  4 2x  1 2 x -3x+2 adalah hasil pembagian suku banyak, 2x+1 adalah sisa pembagian suku banyak. Suku banyak x4-2x3+x2-2x+5 adalah suku banyak yang dibagi dan x2+x+2 adalah pembagi suku banyak Jika pembagi pada suku banyak berderajat satu, kita dapat gunakan metode horner untuk menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak.

Contoh: Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak x4-2x3+x2-2x+5 dibagi x-2 Jawab: Misal x-2 = 0 x=2 2

1

1

-2

1

-2

5

2

0

2

8

0

1

4

16

+

x3 x2 x Konstanta Sehingga, hasil bagi suku banyak adalah 1x3+0x2+1x+4 atau 1x3+1x+4 dan sisa pembagian adalah 16.

Jika sisa dari pembagian suku banyak adalah nol, maka pembagi dari suku banyak tersebut adalah factor dari suku banyak dapat dikatakan pula bahwa suku banyak tersebut habis dibagi Contoh 1: Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak x4-4x3+6x2-4x+1oleh x-1!

Jawab: x-1=0 x=1 1 1 -4 6 -4 1

1

1

-3

3

-1

-3

3

-1

0

+

Mawan/2012/Polinomial

Karena sisa dari pembagian suku banyak adalah sama dengan nol, maka (x-1) adalah factor dari x4-4x3+6x2-4x+1. Sedangkan hasil pembagian suku banyak adalah x3-3x2+3x-1.

Maka, dapat kita tulis x4-4x3+6x2-4x+1=(x-1).( x3-3x2+3x-1) Contoh 2: (x-3) adalah factor dari suku banyak 4x3-10x2-px+3. Tentukan! a. Nilai p b. Hasil bagi dari pembagian suku banyak diatas adalah ‌.

Jawab: x-3=0 x=3 3

4

4

-10

-p

3

12

6

-3p+18

2

-p+6

0

+

3-3p+18 = 0 -3p+21 = 0 -3p = -21 p=7 Hasil Bagi suku banyak adalah 4x2+2x+(-p+6). Dengan mensubstitusikan 7 kedalam p, diperoleh, 4x2+2x+(-7+6) = 4x2+2x-1 Soal Latihan 1. Jika diketahui g(x) = 2x4-3x3+2x2-9x+5, f(x)= 7x5-+6x2-4x-1, dan h(x)= 4x4-1, tentukan suku banyak dari g. h2(a) a. f(x)+g(x) d. h2(x) b. f(x)+g(x)+h(x) e. f(x).h(x) c. 3f(x)+5h(x) f. f(1).h(3) 2. Diketahui suku banyak h(x)=x5+2x4-3x3+2x2-9x+5,g(x) = 3x+4,dan f(x)= x3+x2+x+1 . Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian suku banyak! h( x ) h( x ) f ( x) g ( x) a. b. c. d. g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) 5 4 3 2 3. Suatu suku banyak h(x)=x +k -3x +2x -9x+5 dibagi dengan x-1 memiliki sisa -2.

Tentukan nilai dari k!

4. Hasil bagi dari [2x2+5x-1]:[2x-3] adalah ‌.

5. Nilai p yang dipenuhi jika (6x3-x2-9x+a)habis dibagi (2x+3) adalah ‌.

6. Tentukan nilai darin jika (12x2-36x+p) dibagi (2x-1) mempunyai sisa nol!

7. Suatu suku banyak x3+7x2+16x+12 dibagi dengan (x+2). a. Buktikan(x+2) merupakan factor dari x3+7x2+16x+12 atau bukan! b. Jika ya, Tentukan factor dari suku banyak yang lain!

Mawan/2012/Polinomial

Kuis Kerjakan soal di bawah ini dalam waktu 20 menit!

1. Bentuk sederhana dari (4x3-3x2-1).(2x+5) adalah ….

2. Hasil bagi dan sisa dari (4x4+16x2+8x_12):(2x2+x+2) adalah ….

3. Jika x+2 adalah factor dari x3+7x+16x+r, maka nilai dari r adalah ….

Diskusi (pengayaan) Apakah kita dapat menentukan akar-akar dari suatu polynomial berderajat lebih dari 2?

E. Teorema Sisa Pada pembahasan sebelumnya, kita ketahui bahwa jika suku banyak F(x) kita bagi dengan G(x) menghasilkan suku banyak pula, sebut saja H(x) dan sisa (misalkan S).

Sehingga, secara umum dapat kia tulis F(x) = G(x).H(x) + S…………………………….

Pada pembahasan kali ini konsep tersebut akan kita perdalam.

Teorema sisa 1(Pembagi berderajat 1) Jika suku banyak F(x) dibagi dengan (x-k), maka sisanya sama dengan f(k) Bukti: Berdasarkan bentuk , maka F(x) = (x-k).H(x) + S Untuk x = k, maka F(k) = (k-k).H(k) + S F(k) = 0.H(k) + S F(K) = S Terbukti bahwa sisa dari pembagian suku banyak adalah F(k) Konsep diatas dapat kita perluas dengan membagi F(x) dengan (ax-b) sebagai berikut: F(x) = (ax-b).G(x) + S b Untuk x  maka a b b F( ) = (a( )-b).H(k) + S a a b F( ) = (b-b).H(k) + S a b F( ) = 0 .H(x) + S a b F( ) = S a b Sehingga, untuk Sisa dari pembagian F(x) dengan (ax-b) adalah F( ) a

Teorema Sisa 2 (pembagi berderajat dua) Jika suku banyak F(x) dibagi dengan (x-a).(x-b) maka sisanya adalah F (a)  F (b) a.F (b)  b.F (a ) x+ ab ab Mawan/2012/Polinomial

Bukti: Karena kita membagi F(x) dengan suku banyak berderajat 2, maka sisanya adalah suku banyak berderajat 1, sebut saja mx+n F(x) = (x-a).(x-b).H(x) + (mx+n) Untuk x = a, diperoleh F(a) = (a-a).(a-b).H(x) + (ma+n) F(a) = 0.(a-b).H(x) + (am+n) F(a) = am + n …………. (1) Untuk x = b, diperoleh F(b) = (b-a).(b-b).H(x) + (mb+n) F(a) = (b-a).0.H(x) + (bm+n) F(a) = bm + n …………. (2) Dengan mengeliminasi (1) dan (2), maka am + n = F(a) bm + n = F(b) (-) am – bm = F(a) – F(b) m(a-b) = F(a) – F(b) F (a )  F (b) m ab Dengan mensubstitusi (1), maka am + n = F(a) F (a)  F (b) a( ) + n = F(a) ab F (a)  F (b) ) n = F(a) - a( ab Dengan menyamakan penyebut, maka (a  b).F (a) F (a)  F (b) n= - a( ) ab ab a.F (a )  b.F (a)  a.F (a)  a.F (b) n= ab  b.F (a )  a.F (b) a.F (b)  b.F (a ) n=  ab ab Karena sisa pembagian suku banyak adalah mx+n, maka F (a)  F (b) a.F (b)  b.F (a ) x+ ab ab Terbukti bahwa sisa pembagian suku banyak F(x) oleh (x-a).(x-b) adalah F (a)  F (b) a.F (b)  b.F (a ) x+ ab ab Sulit? Simaklah contoh soal di bawah ini!

Contoh 1 Tentukan sisa dan hasil pembagian dari f(x) = x3-7x2-4x+3 dengan x-3!

Jawab: x-3=0 x=3 Karena pembagi berderajat 1, maka S = f(3), sehingga Mawan/2012/Polinomial

3

1

1

-7

-4

3

3

-12

-48

-4

-16

-45

+

Sisa dari suku banyak adalah -45 dan hasil baginya adalah x2-4x-16 Contoh 2 Sisa dan hasil bagi dari suku banyak x3+2x2+4x+8 oleh 2x-3 adalah ….

Jawab: 2x-3 = 0 2x = 3 3 x 2 3 Karena pembagi berderajat 1, maka S = f( ), sehingga 2 3 1 2 4 8 2 3 21 111 + 2 4 8 37 175 4 8 175 7 37 Sisa dari suku banyak adalah , sedangkan hasil baginya adalah x2 + x + 8 2 4 Contoh 3 Suku banyak F(x) memiliki sisa 19 jika dibagi dengan (x-3). Jika dibagi dengan (x-6) akan memiliki sisa 4. Jika suku banyak dibagi dengan x2-9x+18 akan memiliki sisa ….

Jawab: Misal S = mx + n, maka F(x) = (x2-9x+18). H(x) + (mx+n) F(x) = (x-3).(x-6).H(x) + (mx+n) Untuk x-3 F(3) = (3-3).(3-6).H(x) + (3m+n) = 19 3m+n = 19 ……………………….(1) Untuk x-6 F(6) = (6-3).(6-6).H(x) + (6m+n) = 4 6m+n = 4 …………………………(2) Dengan mengeliminasi (1) dan (2), maka diperoleh m = -5 dan n = 34, seingga S = -5x+34

1

7 2

Soal Latihan 1. Tentukan sisa dari pembagian suku banyak berikut ini ! a. x2+5x+6 dibagi dengan 2x+4 b. 6x2+4x+6 dibagi dengan x-2 c. x3+3x2+3x+1 dibagi dengan 2x-1 Mawan/2012/Polinomial

d. 4x3+8x2+12 dibagi dengan 4x+16 e. x3+2x2+2x+2 dibagi dengan 3x+1 2. Tentukan sisa dari pembagian suku banyak berikut! a. x3+3x2+3x+1 dibagi dengan x2+2x+1 b. x4-1 dibagi dengan x2+4x+4 c. x3+4x2 dibagi dengan x2-5x-6 d. 4x2-8x+1 dibagi dengan x2+x+1 e. x4+x3+x2+x+1 dibagi dengan x2-1 3. Suku banyak F(x) memiliki sisa 3 jika dibagi dengan x-4, jika dibagi dengan 2x-12 akan memiliki sisa 13. Maka sisa dari pembagian F(x) dengan 2x2-20x+48 adalah ….

4. Suku Banyak x4-ax2+bx+12 habis dibagi (x+1).(x-2). Nilai a+b adalah ….

5. Hasil bagi dan sisa suku banyak 3x3+10x2-8x+3 dibagi x2+3x-1 berturut-turut adalah ….

6. Suku banyak x4-3x3-5x2+x-6 dibagi x2-x-2 sisanya sama dengan ….

7. Suatu suku banyak dibagi (x-5) sisanya 13, sedangkan jika dibagi x-1 sisanya 5. Suku banyak tersebut jika dibagi x2-6x+5 sisanya adalah ….

8. Suku banyak (2x3+ax2-bx+3) dibagi oleh (x2-4) bersisa x+23. Nilai a+b adalah ….

9. Suku banyak f(x) jika dibagi (x-1) bersisa 4 dan bila dibagi (x+3) bersisa -5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x-1)bersisa 2 dan bila dibagi (x+3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2+2x-3 adalah ….

10. Suku banyak f(x) jika dibagi (x-1), (x-2), dan (x-3) sisanya berturut-turut -1, -12, dan 31. Jika f(x) dibagi (x-1)(x-2)(x-3), maka sisanya adalah ….

11. Diketahui suku banyak 2x3+ax2+bx+2 mempunyai factor (2x-1) dan (x+1). Nilai dari a dan b adalah berturut-turut ….

12. Suku banyak (x3+kx2-x-2) mempunyai factor (x+2). Faktor-faktor linear yang lain adalah ….

Kuis 1. Hasil bagi dan sisa dari suku banyak 2x3-2x2+x+2 oleh x-3 adalah ….

2. Suku banyak F(x) memiliki sisa 2 jika dibagi x-4, sedangkan jika dibagi dengan x-5 akan memiliki sisa -4. Maka sisa dari pembagian F(x) oleh x2-9x+20 adalah ….

3. Jika (x3-6x2+3x+10) dibagi dengan x-a maka akan bersisa 3. Nilai dari a adalah ....

Diskusi 1. Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar dan berilah penjelasan atas jawabanmu x 2  3x  2 ( x 2  x  2) x 4  2 x 3  x 2  2 x  5

x 4  x3  2x 2  3x 3  x 2  2 x  3x 3  3x 2  6 x 2x 2  4 x  5 2x 2  2 x  4 2x  1 Ataukah Mawan/2012/Polinomial

x 2  3x  2  2 x 1  x 2  .... ( x 2  x  2) x 4  2 x 3  x 2  2 x  5 x 4  x3  2x 2  3x 3  x 2  2 x  3x 3  3x 2  6 x 2x 2  4 x  5 2x 2  2 x  4 2x  1 2x  2  4x -1 - 1 - 4x -1 1  x -1  2 x  2 , 2 - 5x -1 - 2x -1 ....

2. Berdasarkan pemahaman kalian mengenai teorema sisa 1 dan teorema sisa 2, dapatkah kalian tentukan sisa dari pembagian suku banyak jika pembaginya berderajat tiga!

F. Teorema Faktor Suku banyak F(x) mempunyai factor (x-k) jika dan hanya jika F(k) = 0 Teorema diatas mengandung pengertian bahwa  Jika (x-k) adalah faktor dari F(x), maka F(k) = 0  Jika F(k) = 0 maka (x-k) adalah faktor dari F(x) Bukti:  Misal, jika G(x) dan (x-k) adalah faktor dari F(x), F(x) = (x-k).G(x) Untuk x = k, maka F(k) = (k-k).G(k) F(k) = 0.G(k) F(k) = 0 Terbukti!  F(x) = (x-k).G(x) Untuk F(x) = 0, maka F(k) = (x-k).G(k) = 0 (x-k).G(x) = 0, 0 (x-k) = 0 G ( x) (x-k) = 0 , Terbukti!

Contoh Soal 1. Buktikan Bahwa (x-2) adalah faktor dari x3-6x2+3x+10!

Jawab : Mawan/2012/Polinomial

2

1

1

-6

3

10

2

-8

-10

-4

-5

0

+

Karena sisa dari pembagian suku banyak (x-2) dengan (x3-6x2+3x+10) adalah nol, maka (x-2) adalah faktor dari x3-6x2+3x+10 2. Pemfaktoran dari suku banyak x3+2x2-x-2 Jawab Untuk memgaktorkan bentuk diatas, hal pertama yang perlu kita lihat adalah konstanta suku banyak. Konstanta suku banyak adalah 2. faktor dari 2 adalah ď‚ą 1 dan ď‚ą 2 , sehingga kita perlu mencoba-coba beberapa bilangan diatas Untuk x+1, maka -1 1 2 -1 -2

1

-1

-1

2

1

-2

0

+

Karena Sisa = 0, maka x+1 faktor dari x3-2x2-x-2 Untuk menentukan faktor yang lain, kita gunakan jhasil bagi pembagian diatas, yaitu x2+x-2. Faktor dari -2 adalah ď‚ą 1 dan ď‚ą 2 , sehingga kita melakukan coba-coba dari bilangan tersebut.

Untuk x-1, maka 1 1 1 -2

1

1

2

2

0

+

Karena sisa = 0, maka x-1 faktor dari x2+x-2 dan hasil bagi suku banyak adalah x+2, sehingga faktor dari x3+2x2-x-2 adalah (x+1).(x-1).(+2) Soal Latihan 1. Gunakan teorema faktor untuk membuktikan bahwa: a. (x-6) adalah faktor dari (x2-7x+6) b. (x-2) adalah faktor dari (x3-6x2+3x+10) c. (x+3) adalah faktor dari (x3-3x2-10x+24) d. (2x+3) adalah faktor dari (x4+13x3-32x2-59x-3) e. (x+5) adalah faktor dari 4x4+8x3-15x2+45x-900 f. (x-1) adalah faktor dari x4+4x3+6x2+4x+1 g. (m-2) adalah faktor dari x3+4x2+4x 2. Tentukan faktor-faktor dari bentuk aljabar a. x3+9x2+26x+24 b. x3+2x2-x-2 c. x4-5x2-36 Mawan/2012/Polinomial

3.

4.

5.

6.

d. x4-2x2+1 e. t3-8t2+19t-12 f. 2x3+7x2+2x-3 g. 3α3-4 α2-3 α+4 Tentukan nilai dari k jika 2x3+(k-3)x2-2x-4 memiliki faktor (x-1)!

Jika G(x) = x3+9x2+(3z-2)x+24 dan G(1) = 0, maka nilai dari z adalah ....

Salah satu faktor dari suku banyak r3-2ar2+11r-6 adalah (r-2), maka faktor dari suku banyak yang lain adalah ....

Salah satu faktor dari suku banyak r2-2ar+(a+2) adalah (r-1), maka nilai dari a adalah....

Kuis Kerjakan soal di bawah ini dalam waktu 20 menit!

1. Buktikan bahwa (x-1) bukanlah faktor dari (x4+x3-x2-x+1)!

2. Faktor-faktor dari x4-8x2+16 adalah ....

Diskusi Diskusikan bersama kelompok kalian, benar atau salahkah pernyataan berikut!

Faktor dan akar-akar dari persamaan suku banyak x2+x+1=0 adalah 1   3 1   3 [x-( )].[x-( )] dan akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 = 2 2 1  3 1  3 dan x2 = 2 2 G. Hubungan Akar – Akar Suku Banyak Dengan Koefisien-Koefisien Suku Ketika kelas X, kita ketahui bahwa jika akar-akar dari persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0 adalah x1 dan x2, maka hasil jumlah dari akar-akar persamaan kuadrat dinyatakan b dengan x1+x2 =  sedangkan hasil kali dari akar-akar persamaan kuadrat a c dinyatakan dengan x1.x2 = . Konsep tersebut dapat kita perluas untuk suku banyak a yang berderajat lebih dari dua.

Jika kita mengalikan (x-a) dengan (x-b) dan (x-c), maka (x-k).(x-l).(x-m) = x3-kx2-lx2-mx2+klx+lmx+kmx-klm = x3-(k+l+m)x2+(kl+lm+km)x-klm Jika kita misalkan koefisien x3 adalah a Koefisien x2 adalah b Koefisien x adalah c Konstanta adalah d, maka x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1.x2.x3 = ax3-bx2+cx-d c d b x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1.x2.x3 = x3  x2+ x  a a a

Mawan/2012/Polinomial

x1+x2+x3

=

x1x2+x2x3+x1x3 = x1.x2.x3

b a

c a

=

d a

Konsep tersebut jika diperluas untuk suku banyak berderajat ax4+bx3+cx2+dx+e dengan akar-akar suku banyak x1, x2, x3, dan x4 diperoleh =

x1+x2+x3+x4

x1.x2+x2.x3+x3.x4+x1.x3+x1.x4+x2x4 =

empat

b a

c a

x1.x2.x3+x1.x2.x4+x2..x3.x4

= 

x1.x2.x3.x4

=

d a

e a

Pembuktian dari rumus diatas diserahkan kepada pembaca Soal Latihan 1. Tentukan akar-akar dari setiap suku banyak berikut ini ! a. x3-6x2+11x-6 = 0 b. x3+4x2+5x2 = 0 c. x4-6x3+12x2-10x+3 = 0 d. x3-9x2+20x-12 = 0 e. 6x3-23x2+26x-8 = 0 2. Buktikan kebenaran dari pernyataan di bawah ini ! a. (x+4) adalah salah satu faktor dari suku banyak 5x3+7x2-58x-24 = 0 b. (5x+2) adalah salah satu faktor dari suku banyak 10x4-11x3-151x2-208x-60 = 0 1 c. adalah akar persamaan 6x4-5x3-38x2-5x+6 = 0 3 3. Berdasarkan soal nomor 3, tentukan pula akar-akar dan faktor yang lain dari suku banyak diatas!

4. Tentukan akar-akar real dari persamaan berikut a. x3+6x2-7x-60 = 0 b. x3-17x2+84x-108 = 0 c. x4-6x3-9x2+94x-120 = 0 5. Tentukan hasil jumlah dan hasil kali pada soal nomor 4 (tanpa memfaktorkan) 6. Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar dari persamaan x3-2x2+3x-4 = 0.

Tentukan: a. x1+x2+x3 b. x1x2 + x1x3 + x2x3 c. x1.x2.x3 d. x12+x22+x32 Mawan/2012/Polinomial

1 1 1   x1 x 2 x2 1 f. x1 .x 2 .x3 7. Susunlah persamaan suku banyak yang akar-akarnya adalah -1,-3, 2, dan 4 8. Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan suku banyak x3-8x2+9x+n = 0.

Tentukan nilai dari n jika x1 = 2x2 9. Diketahui hinpunan penyelesaian dari setiap persamaan berikut ini untuk 00≤ x ≤ 3600! a. 2sin3x + 3sin2x – 8sinx + 3 = 0 b. 6tan3x – 7tan2x – 7tanx + 6 = 0 10. Diketahui persamaan x4 – ax3 + (3a+b)x2 – (2a+5b+c)x +24 = 0 akar-akarnya adalah x1 = 1, x2 = 2, dan x3 – x4 = 1. Tentukan nilai dari a,b,c,x3, dan x4

e.

Kuis (waktu 18 menit) 1. Tentukan akar-akar dari persamaan suku banyak x3- 4x2 -1x - 4 = 0 2. Berdasarkan soal pada nomor 1, tentukan nilai dari a. x1+x2+x3 b. x1x2 + x1x3 + x2x3 c. x1.x2.x3 1 d. x1 .x 2 .x3 1 1 1 e.   x1 x 2 x 2 Diskusi Ketika anda belajar matematika di bangku smp, anda mengatakan bahwa jika x=  1 akar khayal, sehingga anda katakan bahwa dalam suatu persamaan “tidak “ memiliki penyelesaian. Akan tetapi, apakah anda dapat menerangkan bahwa pada persamaan kuadrat x2+2x+2= 0 memiliki akar-akar  1   1 (rumus abc) yang merupakan akar-akar khayal, namun hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya b 2 c 2 adalah bilangan rasional, yakni x1+x2 =   2 dan x1.x2 =   2. a 1 a 1 Diskusikanlah bersama teman-temanmu!

Mawan/2012/Polinomial

Peta Konsep Pembelajaran Polinomial

Š

POLINOMIAL

Definisi

Operasi Suku Banyak

(+)

(-)

f(x)+g(x)

(x)

f(x) - g(x)

(:) f(x).g(x)

f (x) g (x) F(x)=G(x).H(x)+S

Bentuk Umum F(x)=G(x).H(x)+S (S=0 atau S≠0)

Teorema sisa

Berderajat 1

Teorema Sisa 1

F(x)=G(x)+H(x) (S=0)

Teorema Faktor

Berderajat 2

Teorema Sisa 2

Mawan/2012/Polinomial

x1+x2+x3

x1.x2.x3

Mawan/2012/Polinomial

Mawan/2012/Polinomial

Mawan/2012/Polinomial

Mawan/2012/Polinomial

Mawan/2012/Polinomial

Mawan/2012/Polinomial