MODUL PEMBELAJARAN LIMIT FUNGSI KELAS 11 SMA PROGRAM IPA
Oleh Bagoes Darmawan, S.Pd
www.mawan24.wordpress.com
www.mawan24.wordpress.com
LIMIT FUNGSI
A. Pengertian Limit Fungsi Pada pelajaran terdahulu, kita sering menjumpai notasi f(x) yang berarti fungsi dari x, dengan x adalah suatu bilangan yang ditentukan. Akan tetapi, tidak semua fungsi terdefinisi, misalnya pada fungsi f ( x) =
x −3 tidak terdefinisi untuk x = 2. Namun, apakah ada suatu x −2
bilangan a (tetapi x ≠ 2) sehingga fungsi f(x) menjadi terdefinisi? Jawabnya adalah ya, yakni dengan mensubstitusikan domain a yang mendekati 2 kedalam fungsi f ( x) =
x −3 . Pernyataan diatas dapat kita katakan bahwa limit dari fungsi x −2
x −3 dimana x mendekati 2. Limit fungsi tersebut dapat kita tulis x −2 x −3 f ( x) = L lim . Sehingga secara umum limit fungsi dapat dinotasikan lim x →a x →2 x − 2 f ( x) =
Sebagai ilustrasi, misalkan seorang peneliti berharap memperoleh pengukuran terhadap suatu objek ketika tekanan udara nol. Karena tidak mungkin tekanan udara di dalam laboratorium kosong, maka peneliti berusaha memperoleh tekanan udara yang sekecil-kecilnya, yakni tekanan udara yang mendekati nol. Jika objek yang diteliti kita misalkan M dan tekanan udara adalah p, maka ilustrasi diatas dapat kita nyatakan dalam bentuk limit lim M ( p ) = L , dimana L adalah hasil pengukuran dengan tekanan udara yang mendekati p →0 nol. Berdasarkan contoh dan ilustrasi diatas dapat kita katakan bahwa limit merupakan suatu pencapaian hasil yang sedekat-dekatnya, akan tetapi pencapaian tersebut tidak sampai mencapai hasil yang sebenarnya. Dengan kata lain limit fungsi merupakan suatu nilai yang fungsi dengan domain yang merupakan pendekatan sedekat-dekatnya dari suatu bilangan tertentu. Contoh 1: 2 g ( x) jika g ( x) = x − 4 , x ≠ 2 Tentukan lim x→2
x −2
Jawab: Untuk menentukan limit dari g(x), kita buat tabel pendekatan nilai g(x) (x) 1,8 1,99 1,999 …. 2,001 2,01 2,05 g(x) 3,8 3,99 3,999 …. 4,001 4,01 4,05 Berdasarkan tabel diatas, untuk nilai x yang mendekati 2, maka nilai g(x) mendekati 4. Sehingga lim g ( x) = 4 yang berarti bahwa untuk x yang mendekati 2 diperoleh nilai g(x) x →2
yang mendekati 4. Penggambaran limit fungsi diatas secara grafis adalah sebagai berikut:,
www.mawan24.wordpress.com
4
2 B. Syarat Terdapatnya Limit Jika f(x) =
x +1 maka nilai f(x) untuk x yang mendekati 1 dapat ditentukan dengan x −1
(x) 0,8 0,99 0,999 …. 1,001 1,01 1,05 f(x) -9 -199 -1999 …. 2001 201 41 Berdasarkan tabel diatas, dapat kita lihat bahwa nilai f(x) untuk pendekatan kiri tidak sama dengan pendekatan dari kanan. Sehingga dapat kita katakan bahwa fungsi f(x) = untuk x mendekati 1 tidak memiliki limit. Sebagai bahan pembanding, perhatikan contoh di bawah ini! Nilai f(x)=
x +1 x −1
x 2 − 2 x +1 untuk x mendekati 1 adalah x −1
Dengan menggunakan tabel pendekatan x, maka (x) 0,8 0,99 0,999 …. 1,0001 1,001 1,01 f(x) O,2 0,01 0,001 …. 0,0001 0,001 0,01 Berdasarkan tabel tersebut, jika x mendekati 1 dari kiri maka nilai f(x) mendekati nol. Sedangkan jika x mendekati 1 dari kanan nilai f(x) juga mendekati nol pula. Sehingga dapat kita kita katakan bahwa nilai f(x)= juga kita tulis lim x →1
x 2 − 2 x +1 untuk x mendekati 1 adalah nol, atau dapat x −1
x2 − 2x +1 =0. x −1
Berdasarkan kedua contoh diatas, untuk f(x) yang didekati dari kiri dapat kita katakan
f ( x) , sedangkan untuk f(x) yang didekati dari kanan sebagai limit kiri dan dinotasikan xlim →a − f ( x ) . Jika limit kiri sama dapat kita katakan sebagai limit kanan dan dinotasikan xlim →a +
f ( x) = lim+ f ( x ) = dengan limit kanan maka dapat dikatakan mempunyai limit, atau xlim →a − x →a lim f ( x) .
x →a
Contoh 2 2x f ( x) memiliki limit. Jika ya, tentukan nilainya! Jika f(x) = x tentukan apakah lim x →0 Jawab: Untuk menentukan ada tidaknya limit, kita perlu membuat tabel nilai pendekatan nilai f(x) (x) -0,1 -0,01 -0,001 …. 0,001 0,01 0,05 g(x) -2 -2 -2 …. 2 2 2 Berdasarkan tabel diatas kita peroleh
www.mawan24.wordpress.com
lim f ( x) = −2 dan lim+ f ( x) = 2 x →0
x →0 −
f ( x ) ≠ lim+ f ( x) , maka tidak mempunyai limit. Karena xlim →0 − x →0 Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut 2 0 -2 Soal Latihan Untuk soal nomor 1-10, tentukan apakah limit-limit berikut ada! x 6 2 x − 3x − 4 7. lim x →1 x −1 1 8. lim x →1 ( x −1) 2
(5 x − 3) 1. lim x →2 2.
(9 − ) 6. lim x →1
lim (10 − 9 x)
x →−6
x 4 x −3 4. lim x →3 x − 3 1 5. xlim →−5 x + 5
( + 2) 3. lim x →5
x 9. lim x →0
10. lim x →1
x2 − 2x +1 x −1
Untuk soal nomor 11-16, buktikan nilai limit-limit berikut ini! 1 (6 x + 3) = 9 =1 11. lim 14. lim x →1 x →1 x 2
x2 − 4 3 = x →1 2 x − 4 2 4−x =4 16. lim x →4 2 − x
3x + 4 − x = 2 12. lim x →0
13. lim x →9
15. lim
x =0 x +3
Kuis Waktu 12 menit 1. Buktikan bahwa
lim x→ 0
2x x
2. Tentukan apakah limit lim x →3
ada dan tentukan pula nilainya x ada atau tidak 2x − 6
Diskusi Diskusikan dengan teman sebangku atau kelompok mengenai masalah berikut Seorang kimiawan ingin menguji suatu C. Teorema limit Untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian suatu limit fungsi, kita perlu menggunakan teorema-teorema limit sebagai berikut: www.mawan24.wordpress.com
Teorema 1 c =c Untuk setiap a dan c bilangan real, maka lim x →a Teorema diatas menyatakan bahwa limit dari konstanta adalah konstanta itu sendiri 6 =6 Contoh xlim →−17 Teorema 2 Jika f(x) adalah suatu polynomial dan a adalah sembarang bilangan real, maka lim f ( x ) = f (a ) x →a
Teorema diatas memberikan arti bahwa limit dari f(x) dapat kita peroleh dengan mensubstitusi x dengan a. Contoh lim(3 x 2 + x + 1) = 3(2) 2 + 2 + 1 = 15 x→ 2
Teorema 3 Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi dari x dan a adalah sembarang bilangan real, maka lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) x →a
x →a
x →a
Dengan kata lain, limit dari jumlah atau selisih dari suatu fungsi adalah sama dengan jumlah atau selisih masing-masing limit fungsi tersebut. lim[4 x 2 + 3 x − 1] = lim 4 x 2 + lim 3 x − lim1 = 16 + 6 − 1 = 21 x→2
x→2
x→2
x→2
Teorema 4 Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi dari x dan a adalah sembarang bilangan real, maka lim[ f ( x ).g ( x)] = lim f ( x ). lim g ( x) x →a
x →a
x →a
Dengan kata lain, limit dari perkalian fungsi adalah sama dengan perkalian masingmasing limit fungsi tersebut. lim[(2 x + 1).( x 2 − 2)] = lim(2 x + 1).lim( x 2 − 2) = 9.0 = 0 x→4
x→4
x→4
Akibat dari teorema 4 adalah lim f n ( x ) = [lim f ( x)]n x →a
x →a
Teorema 5 Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi dari x dan a adalah sembarang bilangan real, maka
lim f ( x ) f ( x) lim[ ] = x →a x →a g ( x) lim g ( x ) x →a
Dengan kata lain, limit dari pembagian fungsi adalah sama dengan pembagian masingmasing fungsi tersebut. Contoh
lim[ x→ 2
(2 x + 6) 2.2 + 6 10 5 2 x + 6 lim ] = x→ 2 = = = x+2 lim g ( x + 2) 2 + 2 4 2 x→ 2
www.mawan24.wordpress.com
Contoh Soal dan Pembahasan n n 1. Buktikan bahwa lim f ( x) = [lim f ( x)] ! x →a
x →a
Jawab: lim f n ( x) = [lim f ( x )]n x→a
x→a
lim f ( x ) =[lim( f ( x). f ( x ). f ( x )... f(x)] x →a x →a n
sebanyak n
Berdasarkan teorema 4 lim f n ( x) = lim f ( x). lim f ( x). lim f ( x) ... lim f ( x) x →a x →a x→a x →a x→a
[
lim f ( x) = lim f ( x) n
x →a
x →a
]
sebanyak n n
f n ( x ) = [lim f ( x)]n Terbukti bahwa lim x →a x →a
2. Dengan menggunakan teorema limit, tentukan Jawab:
( 4t lim
x → −1
(
)
)
3 lim 4t 2 + 5t − 3 + 5t − 3 x → −1 = 4 ( 6t + 5) 4 lim ( 6t + 5) 2
( 4t lim
x →−1
+ 5t − 3) ! ( 6t + 5) 4 3
2
3
x → −1
[ lim ( 4t + 5t − 3)] = [ lim ( 6t + 5) ]
3
2
x → −1
4
x → −1
[( 4(−1) =
+ 5( −1) − 3 [ ( 6(−1) + 5) ] 4 2
)]
3
3 ( [ 4.1 − 5 − 3) ] = [ ( − 6 + 5) ] 4
=
- 64 = −64 1
Soal Latihan
5 1. xlim →−2
( x + 3) 2. xlim →−1
5(3 x 2 + 2) 3. xlim →−24 4. xlim →−2
x x +2
9.
(2 + h) −2 − 2−2 h →0 h
lim
1 . 10. lim h →0
1 −1 h 1+ h
x2 + 6x + 5 x →−2 x 2 − 3 x − 4
11. lim
v 2 .(3v − 4).(9 − v 3 ) 12. lim v →3 www.mawan24.wordpress.com
x2 + 6x + 5 5. lim 2 x →−2 x − 3 x − 4 t 2 − 5t + 6 6. lim t →2 t −2 x2 + 4 − 2 7. lim x →2 x2
8. lim t →2
x + 2 − 2 x −1 2x −3 −3 − x
x +8 x +2 x2 1 + 14. lim x →−2 x −1 x −1
13. xlim →−2 3
54 = .... 15. lim x →α x2 + 6x + 5 16. lim 2 x →−2 x + 3 x + 4
Kuis Dengan menggunakan teorema limit, tentukan ! a. xlim →−2
x2 + 6 x + 5 x 2 + 3x + 4
3 2x2 + 8 b. lim x→2
Dikusi Diskusikan dengan kelompok kalian, bagaimana membuktikan teorema dibawah ini! Jika f(x) adalah suatu polynomial yang dinyatakan f(x)= axn+bxn-1+cxn-2+ … +rx+s dan x mendekati a, maka lim f ( x) = f (a ) x →a
D. Cara Menentukan Limit Untuk menentukan limit, jelas memerlukan waktu dan nilai pendekatannya kadang-kadang kurang tepat jika hanya menggunakan tabel atau grafik. Berikut ini akan dijelaskan cara menentukan nilai limit dengan berbagai metode menurut bentuknya a. Substitusi Langsung Untuk menentukan nilai suatu limit, kita dapat mensubstitusikan langsung nilai dari x dalam fungsi yang diketahui. Metode ini digunakan untuk menentukan limit fungsi yang bentuknya sederhana, misalkan untuk fungsi linier, fungsi kuadrat, atau fungsi polynomial. Akan tetapi, metode ini juga dapat digunakan untuk fungsi yang berupa pecahan dengan syarat hasil substitusi untuk penyebutnya tidak sama dengan nol atau kedua-duanya tidak sama dengan nol (pembilang dan penyebut tidak sama dengan nol). Contoh 1 x2 + 6x + 5 lim 2 dapat kita substitusikan langsung, karena x →−2 x − 3 x − 4 x 2 + 6 x + 5 (−2) 2 + 6.( −2) + 5 − 3 1 lim 2 = = =− 2 x →−2 x − 3 x − 4 (−2) − 3.(−2) − 4 6 2 Contoh 2 x2 − 4x + 4 lim 2 jika kita substitusikan, maka x →2 x + x − 6 x 2 − 4 x + 4 22 − 4.2 + 4 0 lim 2 = 2 = x →2 x + x − 6 2 +2−6 0 www.mawan24.wordpress.com
0 disebut juga bentuk tak tentu, sehingga metode substitusi tidakdapat digunakan untuk menye 0
lesaikan limit diatas. b. Metode Pemfaktoran Metode ini digunakan untuk menyelesaikan limit yang tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Langkah penyelesaian dengan metode pemfaktoran adalah 1. Faktorkan pembilang, penyebut, atau keduanya 2. Sederhanakan hasil pemfaktoran tersebut 3. Substitusikan x Contoh 1 x2 − 4x + 4 lim 2 Berdasarkan metode substitusi, kita peroleh x →2 x + x − 6 x 2 − 4 x + 4 22 − 4.2 + 4 0 lim 2 = 2 = . Karena hasil substitusi merupakan bentuk tak tentu, x →2 x + x − 6 2 +2−6 0 maka kita perlu menggunakan metode pemfaktoran lim x →2
x2 − 4x + 4 ( x − 2).( x − 2) ( x − 2) ( 2 − 2) 0 = lim = lim = = =0 2 x → 2 x → 2 x + x −6 ( x − 2).( x + 3) ( x + 3) (2 + 3) 5
Contoh 2 x2 − 4x − 5 lim x →5 x 2 − 25 Sebelum memfaktorkan, kita perlu mensubstitusikan terlebih dahulu x 2 − 4 x − 5 52 − 4.5 − 5 0 lim = = . Karena substitusi menghasilkan bentuk tak tentu, x →5 x 2 − 25 52 − 25 0 maka kita perlu memfaktorkan lim x →2
x2 − 4x − 5 ( x − 5).( x + 1) ( x + 1) ( 2 + 1) 3 = lim = lim = = 2 x → 2 x → 2 x − 25 ( x − 5).( x + 5) ( x + 5) (2 + 5) 7
c. Metode Akar Sekawan Metode ini digunakan jika kita menjumpai limit dengan fungsi yang berbentuk akar. Contoh lim x→5
x −5 = x − 25
Penyelesaian limit diatas adalah dengan menggunakan metode akar sekawan, karena pada pembilang kita jumpai bentuk akar, yakni x −5 . lim x→5
x −5 x −5 = lim ⋅ x → 5 x − 25 x − 25
x +5 x +5
( x − 25) x→5 ( x − 25).( x + 5) 1 = lim x →5 ( x + 5) 1 1 1 = = = ( 25 + 5) 5 + 5 10 = lim
www.mawan24.wordpress.com
Contoh lim x→4
x 2 −12 + 2 = .... x −4
Jawab: lim x→4
x 2 −12 + 2 x 2 −12 + 2 x 2 −12 − 2 = lim ⋅ x→4 x −4 x −4 x 2 −12 − 2 x 2 −12 − 4 = lim x→4 ( x − 4).( x 2 −12 − 2) = lim x →4
= lim x →4
= lim
x 2 −16 ( x − 4).( x 2 −12 − 2) ( x − 4).( x + 4)
( x − 4).( x 2 −12 − 2) ( x + 4)
( x 2 −12 − 2) ( 4 + 4) 8 = = 16 − 12 − 2 42 − 12 − 2
x →4
=
8 8 = =∞ 4 −2 0
Contoh Soal dan Pembahasan 1. lim x→3
x2 − x − 6 = .... x −2
Jawab: Untuk menyelesaikannya, langkah pertama kita substitusi x 2 − x − 6 32 − 3 − 6 9 − 3 − 6 0 x2 − x − 6 = = = = 0 . Maka lim =0 x→3 x→3 x −2 3−2 3−2 1 x −2 x 2 − 7 x +12 = .... 2. lim x→3 x −3 lim
Jawab: Dengan mensubstitusi kita dapatkan
x 2 − 7 x + 12 32 − 7.3 + 12 9 − 21 + 12 0 = = = yang merupakan bentuk tak tentu, sehingga x→3 x −3 3−3 3−3 0 x 2 − 7 x +12 ( x − 3).( x − 4) lim = = ( x − 4) = 3 − 4 = −1 x→3 x −3 ( x − 3)
lim
3. lim x→1
4x − x + 3 = .... x 2 −1
Jawab: Dengan mensubstitusi kita dapatkan lim x→1
4x − x + 3 = x 2 −1
gunakan metode akar sekawan lim x→1
4x − x + 3 = x 2 −1
4.1 − 1 + 3 2 − 2 0 = = merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita 1 −1 1 −1 0
4x − x + 3 4x + x + 3 ⋅ x 2 −1 4x + x + 3
www.mawan24.wordpress.com
= lim x →1
4 x − ( x + 3) ( x − 1).( 4 x + x + 3 ) 2
3x − 3 ( x −1).( x +1).( 4 x + x + 3 ) 3( x −1) lim x →1 ( x −1).( x + 1).( 4 x + x + 3) 3 lim x →1 ( x + 1).( 4 x + x + 3) 3 (1 +1).( 4.1 + 1 + 3 ) 3 3 = 2.( 2 + 2) 8
= lim x →1 = = = = 4. lim x→1
x 3 −1 = .... 2x −2
Jawab: Dengan mensubstitusikan x = 3 kita peroleh lim x →1
x 3 −1 13 −1 0 = = merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menyelesaikannya 2 x − 2 2 .1 − 2 0
dengan metode pemfaktoran, yakni lim x→1
x 3 −1 ( x −1).( x 2 + x +1) ( x 2 + x +1) (12 +1 +1) 3 = = = = 2x − 2 2( x −1) 2 2 2
Soal Latihan Dengan menggunakan metode dalam menentukan nilai limit yang telah kita pelajari, tentukan nilai limit-limit berikut ini!
( x + 1) 5 = .... 1. lim x→1 x 3 +1 = .... x →1 2 x + 2 x 2 − 3 x − 28 = .... 3. lim x→3 3x − 9
2. lim
1 1 − x 2 4 = .... 4. lim x→2 1 1 − x 2 2x2 − 5x − 3 5. lim 2 = .... x→3 x − 5 x + 6 ( x + 1) 2 − 4 6. lim = .... x→1 x 2 −1 7. lim
2x2 −8 x2 − 2x − = .... x −2 2x − 4
8. lim x→3
( x − 3).( x + 3) = .... x− 3
x→2
9.
lim x→2
x 4 −16 = .... 2x −4
x 3 −1 = .... x→1 2x − 2 x = .... 11. lim x→0 2+x − 2−x
10. lim 3
12. lim x →1
x −1 = .... 5x − 4 − x
13. lim
x − 25 = .... x − 625
14. lim x →2
x 2 + 2 x +1 − 3 = .... 1 − x −1
x→625
15. lim x→3
www.mawan24.wordpress.com
x + 2 − 2 x −1 = .... 2 x −3 − x
Kuis Setelah kalian mempelajari bagaimana cara menentukan limit, selesaikan soal dibawah ini dalam waktu 15 menit! x2 + 4 − 2 = .... x2
1. lim x →0
2. lim x→3
( x − 3).( x + 3) = .... x− 3
x −2 = .... x +3 2 x3 − 6 x 2 + 6 x − 2 = .... 4. lim x→3 x −1
3. lim x →1
Soal Tantangan t t ... memiliki limit? Jika ya, tentukan limitnya! 1. Buktikan apakah lim t →2
2. lim 8 + w − 2 = .... w→1
w −1
f ( x) = .... E. Limit Fungsi Aljabar Berbentuk lim x →~ Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari limit fungsi f(x) dengan x yang mendekati suatu bilangan. Konsep tersebut dapat kita perluas dengan limit fungsi f(x) dengan x yang mendekati tak hingga. Untuk memahami limit di tak hingga, misal diberikan f(x) = 1 1 dan akan ditentukan nilai lim . x → ~ x x
Berdasarkan uraian pada pembahasan sebelumnya, lim x →~
1 dikatakan memiliki limit jika x
1 1 = lim+ , sehingga kita perlu membuat tabel pendekatan nilai f(x) untuk x x → ~ x x mendekati ~ x -1 -10 -102 -103 -104 -105 -10n f(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 ………. 1 Berdasarkan tabel diatas, maka lim− = 0 x →~ x Sedangkan untuk x yang didekati dari kanan x 1 10 102 103 104 105 10n f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ………. 1 Berdasarkan tabel diatas, maka lim+ = 0 x →~ x 1 1 1 Karena lim− = lim+ =0, maka lim =0 x →~ x x →~ x x →~ x Konsep diatas merupakan konsep dasar sebelum kita menentukan nilai dari limit yang berbentuk lim f ( x ) = .... lim
x →~ −
x →~
www.mawan24.wordpress.com
Selain konsep tersebut, hal-hal yang perlu kita ketahui dalam mempelajari ketakhinggaan adalah 1. ~ - ~ ≠ 0, akan tetapi ~ - ~ = ~ 2. ~ + ~ ≠ 2(~), akan tetapi ~ + ~ = ~ 3. ~ . ~ ≠ (~)2, akan tetapi ~ . ~ = ~ 4. 5. 6. 7. 8.
~ ~ ≠ 1 , akan tetapi =~ ~ ~ a = 0 untuk setiap a ∈ Real ~ ~ =~ untuk setiap a ∈ Real a 0 = 0 untuk setiap a ∈ Real a a =~ untuk setiap a ∈ Real 0
a. Menentukan lim x→~
f ( x) g ( x)
Cara menentukan nilai limit bentuk diatas adalah dengan cara membagi (x) dan g(x) dengan variable x yang memiliki pangkat tertinggi. Setelah menjadi sederhana, kemudian kita substitusikan dengan x = ~. Contoh 1 3x 2 + 4 x + 1 lim 2 = .... x →~ 6 x + 5 x + 1 Jawab:
3x 2 4 x 1 + 2+ 2 2 3x + 4 x + 1 x x lim 2 = lim 2 x (pangkat tertinggi dari x adalah 2, sehingga dibagi x2 x→ ~ 6 x + 5 x + 1 x→ ~ 6 x 5x 1 + + x2 x2 x2 4 1 3+ + 2 x x = lim x→ ~ 5 1 6+ + 2 x x Substitusi x dengan ~ diperoleh, 4 1 3+ + 2 ~ ~ = lim x→~ 5 1 6+ + 2 ~ ~ 2
Karena
1 ≈ 0 , maka ~
3+0+0 3 1 = = x →~ 6 + 0 + 0 6 2
= lim
www.mawan24.wordpress.com
Contoh 2 3x 4 + x 3 + 2 lim 3 = x→~ x + 2 x − 5 Jawab:
3x 4 x 3 2 + 4+ 4 4 3x 4 + x 3 + 2 x lim 3 = lim x 3 x x→ ~ x + 2 x − 5 x→ ~ x 2x 5 + 4− 4 4 x x x 1 2 3+ + 4 x x = lim x→ ~ 1 2 5 + 3− 4 x x x 1 2 3+ + 4 ~ ~ = 3+ 0+ 0 = lim x→ ~ 1 2 5 0+0+0 + 3− 4 ~ ~ ~ =
3 =~ 0
( f ( x) − g ( x )) b. Menentukan nilai dari bentuk lim x →~ ( f ( x) − g ( x )) jika diselesaikan dengan cara substitusi, maka diperoleh hasil Bentuk lim x →~ bentuk tak tentu (~ - ~). Selanjutnya cara menyelesaikan limit fungsi seperti bentuk diatas digunakan cara perkalian sekawan sehingga diperoleh:
lim( f ( x) − g ( x )) = lim( f ( x ) − g ( x )). f ( x ) + g ( x ) . Setelah kita menyederhanakan limit x →~ x →~ f ( x) + g ( x)
tersebut, kemudian kita membaginya dengan pangkat tertinggi. Contoh 1 lim( 5 x + 1) − 2 x − 1) ) x →~
Jawab: lim( 5 x +1) − 2 x −1) ) = ( 5 x +1) − 2 x −1) ). x →~
=
=
( 5 x +1) + 2 x −1) ) ( 5 x +1) + 2 x −1) )
(5x + 1) - (2x - 1) 5 x +1) + 2 x −1)
3x + 2 ( 5 x + 1) + 2 x − 1)
2 x(3 + ) x = 5 1 2 1 x( + 2 + − ) x x x x2
www.mawan24.wordpress.com
2 (3 + ) (3 + 0) ~ = = 5 1 2 1 ( 0 + 0 + 0 − 0) ( + + − ) ~ ~ ~ ~ 3 = =~ 0
Contoh Soal dan Pembahasan 3x 4 + x 3 + 2 1. lim 3 = x→~ x + 2 x − 5 Jawab: x 2 2x 3 + 3+ 3 3 x 2 + 2x + 3 x x x lim = lim 3 x→ ~ 2 x 3 + 5 x x→ ~ 2x 2x + 3 3 x 5x 1 2 3 + 2 + 3 x = lim x x x→ ~ 2 2+ 2 5x 1 2 3 + 2+ 3 ~ = 0+0+0 = lim ~ ~ x→ ~ 2 2+0 2+ 2 5~ 0 =0 2 (2 x 2 + 3) 2 + ( x − 1) 2 = .... 2. lim x →~ (4 x 3 − 1).(3 x − 1) =
Jawab: ( 2 x 2 + 3) 2 + ( x −1) 2 (2 x 2 + 3).(2 x 2 + 3) + ( x −1).( x −1) lim = lim x →~ x →~ (4 x 3 −1).(3 x −1) ( 4 x 3 −1).(3 x −1) ( 4 x 4 +12 x 2 + 9 + x 2 − 2 x +1) x →~ (12 x 4 − 4 x 3 − 3 x +1)
= lim
( 4 x 4 + 12 x 2 + 9 + x 2 − 2 x + 1) x →~ (12 x 4 − 4 x 3 − 3 x + 1)
= lim
www.mawan24.wordpress.com
(4 x 4 + 13x 3 − 2 x + 10) = lim x → ~ (12 x 4 − 4 x 3 − 3 x + 1) 4 x 4 13 x 3 2 x 10 ( 4 + 4 − 4 + 4) x = lim x 4 x 3 x x → ~ 12 x 4x 3x 1 ( 4 − 4 − 4 + 4) x x x x 3 13 x 2 x 10 (4 + − + ) ~ ~ ~ = ( 4 + 0 − 0 + 0) = 4 = 1 = 3 (12 − 0 − 0 + 0) 12 3 4x 3x 1 (12 − − + ) ~ ~ ~ ( x 2 + x) − x 2 − x ) 3. lim x→ ~
Jawab: lim( x 2 + x − x 2 − x ) = ( x 2 + x − x 2 − x ). x →~
= =
=
=
( x2 + x + x2 − x) ( x2 + x + x2 − x)
(x 2 + x) - (x 2 - x)
Tips Jitu! Untuk mempermudah dalam menyelesaikan soal disamping, ikuti trik berikut:
( x + x) + x − x ) 2
2
2x
lim( x 2 + x) − x 2 − x) ) dapat kita x→~
( x + x) + x − x ) 2
2
tulis lengkap menjadi
2x x
lim( x 2 + x + 0) − x 2 − x + 0 ) x→ ~
1 ( x 2 + x) + x 2 − x ) x 2
a1=1, b1=1, c1=0 dan a2=1, b2=-1, c2=0 Maka nilai limit tersebut dicari menggunakan
=
2
rumus:
b1 − b2 a1 + a 2
, sehingga
1 1 x x − 2 ) ( 1+ + 1− ) 2 ~ ~ x x lim( x 2 + x) − x 2 − x ) = x→ ~ 2 2 = = = =1 1 − (−1) 1 + 1 2 ( 1 + 0 + 1 − 0 ) 1 +1 2 = = =1 1 + 1 1 +1 2 2 2
(
x x + 2)+ 2 x x 2
2
( 9 x 2 + 5 x + 11) − 9 x − x + 5 ) = .... 4. lim x→ ~
(rumus ini berlaku jika a1=a2!
Jawab: lim( 9 x 2 + 5 x + 11 − 9 x 2 − x + 5 ) = ( 9 x 2 + 5 x + 11 − 9 x 2 − x + 5 ). x →~
=
(9x 2 + 5x + 11) - (9x 2 - x + 5) ( 9x 2 + 5x + 11 + 9x 2 - x + 5 )
www.mawan24.wordpress.com
( 9 x 2 + 5 x + 11 + 9 x 2 − x + 5 ) ( 9 x 2 + 5 x + 11 + 9 x 2 − x + 5 )
=
6x + 6 ( 9 x 2 + 5 x + 11) + 9 x 2 − x + 5 ) 6x 6 + x x
=
1 ( 9 x 2 + 5 x + 11) + 9 x 2 − x + 5 ) x 6 6+ x = 2 9x 5 x 11 9x 2 x 5 ( + + + − 2 + 2) x2 x2 x2 x2 x x 6 6+ ~ = 5 11 1 5 ( 9+ + + 9− + ) ~ ~ ~ ~ 6+0 6 6 = = = =1 ( 9 + 0 + 0 + 9 − 0 + 0) 3 + 3 6
Dengan menggunakan tips jitu, maka lim( 9 x 2 + 5 x + 11) − 9 x 2 − x + 5 ) = x →~
5. lim x →~
x +3 2 x −3
5 − (−1) 9+ 9
=
6 6 = =1 3+3 6
=
Jawab: lim x →~
x +3 x +3 2x +3 = ⋅ 2 x − 3 ( 2 x − 3) ( 2 x + 3)
2x 2 + 3 x + 3 2x + 9 = 2x − 9 x 2 x 2x 9 +3 +3 + x x x x = 2x 9 − x x
x 2x 9 +3 2 + 2 x x x = 2x 9 − x x 1 2 9 2 +3 +3 + x x x = 9 2− x 1 2 9 2 +3 +3 + ~ ~ ~ = 2 +3 0 +3 0 +0 = 2 = 9 2−0 2 2− ~ 2 +3
www.mawan24.wordpress.com
Ingat! 1 = x
1 x2
Soal Latihan Untuk nomor 1-22, tentukan nilai tiap limit fungsi berikut ini! 3x − 4 x −2 3x 2 + x + 2 lim 2 x→~ x + 2 x − 5 x2 −9 lim 2 x →~ x + 3 3x 4 + x 3 + 2 lim x→~ 2x − 5 4 3x + x 3 + 2 lim 3 x→ ~ x + 2 x − 5 ( 2 x −1) 3 lim x →~ 7 x ( −2 x +1)
2x + 1 − x 14. lim x→~
1. lim x →~ 2. 3. 4. 5. 6.
4x + 2 − x + 1 15. lim x→~ 5x + 6 − 7 − x 16. lim x→~ 2x + 5 − 4x 2 + 6 17. lim x→ ~
4 x 2 + 16 x − 9 x 2 + 3 x + 11 18. lim x→ ~ x 2 + 4x + 4 − x 2 − 2x + 1 19. lim x→ ~
x2 + x3 + 2 x→ ~ x 3 + x − 1 3( x − 2) 2 − 2(2 x + 3) 8. lim x →~ x 2 + 2x +1 (1 − 2 x ).(3 x +1) 2 lim 9. x →~ ( 2 x +1).( x 2 −1)
(3 x + 1) − 2 x − 1 − x 2 − 4 20. lim x→~
7. lim
10. lim x →~ 11. lim x →~ 12. lim x →~
( x − 3) − x 2 21. lim x →~ 2x + x − 2x +1 22. lim x →~
x +2 2 x −5
3x 4 + x 3 + 2 x 4 + 2x − 5 3x
4 x +1
1 3x + 5 x + . 2 13. lim x→~ x x + 2
23. Jika diketahui f(x) = 3x3+6x2+6x, maka nilai dari lim x →~
f ( x) − 3 x adalah …. x
x 2 + 12 x − ( x + a ) = a 2 , maka nilai a adalah …. 24. Jika berlaku lim x→~ 4a 2 x 2 + (b + 1) x − 4a 2 x 2 − (4a + 2) x + 9 = 25. Buktikan lim x →~
4a + b − 1 untuk setiap a,b ∈ Real! 4a
Kuis (waktu: 15 menit) 4 x 3 + 3x + 1 1. lim 3 x→~ 8 x − x 2 + 3 2. lim x →~
(2 x + 3) 2 x 3 + ( x + 1) 2
16 x 2 + 13 x + 1 − 16 x 2 − 11x + 11 3. lim x →~
www.mawan24.wordpress.com
(2 x + 1) 2 − 9 x 4. lim x→~
Penemuan Untuk setiap a,b,c,d,e, ∈ Real, buktikan bahwa lim ax 2 + bx + c − ax 2 + dx + e = x →~
b−d ! 2 a
F. Limit Fungsi Trigonometri Semua limit yang kita pelajari sebelumnya adalahsuatu limit dimana semua fungsinya berupa fungsi aljabar, namun bagaimana cara menentukan limit yang fungsinya berupa fungsi trigonometri? Untuk menjawab pertanyaan diatas, kita perlu mengetahui kedua rumus penting berikut ini! sin x x = lim =1 x → 0 x sin x tan x x = lim =1 2. lim x →0 x → 0 x tan x
1. lim x →0
cos x = 1 3. lim x →0 Untuk memahami aplikasi dari rumus-rumus tersebut, perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh Soal dan Pembahasan sin 3 x. tan 2 x = 1. lim x →0 x2 Jawab: sin 3 x. tan 2 x sin 3 x. tan 2 x.(3).(2) = lim 2 x → 0 x x 2 .(3).(2) sin 3 x. tan 2 x.(3).( 2) = lim x →0 (3x).(2x) = 3.2 = 6 tan( 2 x − 6) = 2. lim x →3 ( x 2 + 2 x − 15) lim x →0
Jawab:
www.mawan24.wordpress.com
lim x →3
3. lim x →4
tan(2 x − 6) tan(2 x − 6) = lim 2 ( x + 2 x −15) x →3 ( x − 3).( x + 5) tan 2( x − 3) = lim x →3 ( x − 3).( x + 5) tan 2( x − 3).( 2) = lim x →3 ( x − 3).( x + 5).( 2) tan 2( x − 3).(2) = lim x →3 ( 2)( x − 3).( x + 5) (2) = ( x + 5) (2) 2 1 = = = (3 + 5) 8 4
sin( 2 x − 8) = ( 2 x 2 −32)
Jawab: Sebelum menyelesaikan soal diatas, perlu kita ingat bahwa sin2x = 2sinx.cosx sin( 2 x − 8) 2 sin( x − 4). cos( x − 4) = lim 2 x →4 ( 2 x −32) x →4 2( x 2 −16) 2 sin( x − 4). cos( x − 4) = lim x →4 2( x − 4).( x + 4) 2 sin( x − 4). cos( x − 4) = 2( x − 4).( x + 4) cos( x − 4) = ( x + 4) cos( 4 − 4) cos(0) 1 = = = (4 + 4) (8) 8
lim
sin 4 2 x + 2 sin 2 2 x. cos 2 x + sin 2 x. cos 2 2 x x →0 x2 Jawab: sin 4 2 x + 2 sin 2 2 x. cos 2 x + sin 2 x. cos 2 2 x sin 4 2 x + sin 2 x. cos 2 2 x + sin 2 x( 2 sin 2 x. cos 2 x) lim = lim x →0 x →0 x2 x2 sin 2 2 x(sin 2 2 x + cos 2 2 x) + sin 2 x. sin 4 x = lim x →0 x2 sin 2 2 x.(1) + sin 2 x. sin 4 x = lim x →0 x2 sin 2 2 x sin 2 x. sin 4 x = lim + lim 2 x →0 x →0 x x2 sin 2 x. sin 2 x.( 2).(2) sin 2 x. sin 4 x.( 2).(4) = lim + lim 2 x →0 x → 0 x .( 2).(2) x 2 .( 2).(4) sin 2 x. sin 2 x.( 2).(2) sin 2 x. sin 4 x.( 2).(4) = lim + lim x →0 x → 0 (2x).(2x) ( 2 x ).(4 x)
4. lim
www.mawan24.wordpress.com
= 4+8=12 Soal Latihan
sin( 2 x − 8) = (8 x − 32) sin( x − 4) = 2. lim x →4 ( x 2 −16)
1. lim x →4
tan( x 2 − 6 x −16) = sin( x 2 −4) sin 4 x + sin 8 x = 4. lim x →0 2x2
3. lim x →4
sin(2 x − 8) + sin( 2 x + 8) = x →0 2x3 + x 2
5. lim
6. lim x →4
sin( 2 x − 8) = ( 2 x 2 −32)
www.mawan24.wordpress.com