Atividades pde2013ultimo

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO OESTE DO PARANÁ

CURSO IV – PDE

MARIA REGINA C. M. LOPES LUCIENE LEINEKER 2013

INTRODUÇÃO AO GEOGEBRA Geogebra foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor Universidade de Salzburg (Áustria), com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática ́

Pรกginas: Oficial: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR Atividades: http://www.geogebra.im-uff.mat.br/ http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/

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Texto Publicado no Site Revista Escola (www.revistaescola.abril.com.br)

1) Por que aliar o Geogebra às aulas comuns?

Por que ele traz muitas vantagens em relação ao trabalho no papel ou no quadro, como movimentar as figuras em diversas direções, comparar e voltar ao aspecto inicial. Por exemplo: para provar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, é possível alterar a figura e ver que, quando um dos ângulos aumenta, os outros diminuem, 4 mas a soma é sempre 180º.

2) Quais trabalhados?

conteúdos

podem

ser

Diversos: as propriedades das figuras geométricas, os conceitos de reflexão, translação e rotação (congruência) e homotetia (semelhança), cálculo de ângulos, e vários conteúdos algébricos - por exemplo, as funções.

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3) Como o programa pode ser usado na sala de aula?

Uma possibilidade são as aulas expositivas, mas é interessante que os estudantes usem o Geogebra para resolver questões em duplas ou individualmente. Ele não serve apenas para trabalhar com mais agilidade e buscar diversos caminhos de resolução de problemas, mas também para checar se o que foi feito está correto. Depois de encontrar a mediatriz de uma reta, por exemplo, os alunos podem movimentá-la e observar se ela conserva a propriedade de dividir6 a reta em duas partes iguais.

4) Antes de resolver um problema no computador, os alunos devem saber fazê-lo no papel?

Não necessariamente, até porque existem desafios que são possíveis de resolver somente no computador. Por exemplo, desenvolver um triângulo isósceles com base em um equilátero. No entanto, independentemente do tipo de exercício proposto, o importante é que a turma compreenda o conceito, seja utilizando o computador, seja desenhando a lápis. "Na escola, o Geogebra é simplesmente uma ferramentas. O objetivo não é que a turma aprenda simplesmente a usá-lo. Ele tem de estar a favor do ensino de algum conteúdo", explica Marcelo Kruppa Villani, professor da Escola Projeto Vida, na7 capital paulista.

5) Como iniciar o trabalho com o Geogebra?

Depois de estudar o software, você pode mostrar para a turma o que é possível fazer com os botões básicos - como "mover" e "polígono". Em seguida, propor uma atividade que permita explorar os demais. Assim, os alunos vão descobrir o que é possível fazer.

O erro mais comum …..................

Ao propor uma atividade para a turma, fornecer um passo a passo de como realizá-la, listando os botões do software que devem ser acessados. O desejável é apresentar a tarefa e deixar os alunos experimentarem as opções do Geogebra a fim8 de escolher a mais apropriada.

6 Há limite de download do software?

Não. Por ser um software livre, cópias são permitidas (desde que feitas para uso não comercial) e gratuitas. Por isso, os estudantes também podem tê-lo no computador pessoal.

Isso permite que você proponha lição de casa para ser feita com a ferramenta. Depois, é só salvar a tarefa para corrigi-la na escola.

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7 Existem bons exercícios prontos desenvolvidos com o Geogebra?

Sim, e é possível acessá-los gratuitamente na internet também (leia o endereço no quadro Quer Saber Mais?).

Membros do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense (UFF) desenvolveram várias atividades interessantes para a garotada. "Uma delas propõe explorar a relação entre a expansão decimal de um número e sua representação geométrica numérica", explica Humberto José Bortolossi, professor da UFF e coordenador do Instituto Geogebra, no Rio de Janeiro.

Essa proposta, em especial, ajuda os alunos a perceber que realmente existem infinitos números decimais entre dois números inteiros.

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PARTE 1 ATIVIDADES INICIAIS Passeando pelas janelas do Geogebra

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1) (a) Crie dois pontos A, B na janela de vizualização

(b) Crie o segmento AB (c) Encontre o ponto médio C de AB. - Tente mover C. Tente mover o ponto B ou A Observe que alguns objetos são “livres” e outros não. Isso garante que na movimentação as propriedades das construções sejam mantidas!

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(d) Apague A, B, C, clicando na janela de álgebra

2) (a)

Construa

um

segmento

de

reta

AB

de

comprimento 5. Apague o segmento (b) Construa a reta r, definida por dois pontos quaisquer. Esconda estes pontos. Mude a cor, espessura da reta (c) Construa reta s perpendicuar a r (d) Marque ponto C fora da reta r. Por C, trace reta reta t paralela a reta r

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3)

(a) Contrua segmento AB (b) Construa um circunferência com centro em A e raio AB (“circulo dados centro e um dos seus pontos” ou “cíclo dados centro e raio” (AB) ) (c) Nomeie esta circunferência como C1 (botão direito)

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3) (d)

continuação Use

mesmo

processo

e

construa

uma

circunferência com centro em B e raio BA (e) Nomeie esta circunferência como C2 (f) Marque os pontos de intersecção entre C1 e C2 (g) Trace uma reta que passe por estes pontos de intersecção (h) Nomeie esta reta como r

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4) (a) Construa um triângulo com a opção polígono (b) Construa um triângulo com a opção polígono rígido (c) Construa um triângulo com a opção polígono semideformável Observe em cada um as possibilidades de deformação ao mover os vértices (d) Escolha um dos triângulos e encontre a medida dos ângulos 16

Animação

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1) Segmento (a) crie controle deslizante “a” (b) crie “segmento com comprimento fixo” e coloque “a” na solicitação do comprimento (c) deslize o ponto “a” do controle deslizante e observe o que acontece no segmento

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(d) agora animie o segmento (propriedades- animar) (e) mude algumas proriedades da animação: - velocidade: 3.....

- repetir: oscilando.....

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2) Ângulo (a) Contrua um controle deslizante ângulo com nome alfa α

selecione a opção

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(b) Construa uma circunferência de raio 3, centrada em (0,0)

(c) Marque um ponto B na circunferência (d) Use a opção “ângulo com amplitude fixa”, clique em B e no centro. Quando abrir tela abaixo escreva ângulo α

(e) Com a opção ponteiro, varie a amplitude do ângulo no controle deslizante. Observe. (f) Botão direito, sobre o controle deslizante, clique na opção21 animar.Observe.

ANIMAÇÃO ÂNGULO

22 Arquivo: animaangulo http://www.youtube.com/watch?v=Zy-xZwSjueY

Como criar novas ferramentas?

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(a) Vamos criar uma ferramenta de construção do baricentro (medianas) de um triângulo (b) Criar para o circuncentro (mediatrizes) (c) Criar para o ortocentro (alturas) (d) Criar para o incentro (bissetrizes) Lembrar: Mediana: o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto a este vértice Mediatriz : reta perpendicular ao segmento que passa pelo 24 seu ponto médio

- Contrua um triangulo qualquer (polígono) - Construa o Baricentro Na Janela “Ferramentas” – criar uma nova ferramenta - Objetos finais: baricentro e os 3 lados - Objetos iniciais: ponto A, ponto B, ponto C (já discriminados pelo programa)

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Como exportar uma figura?

26

Vamos verificar o Teorema de Pitágoras (a) Construa triângulo retângulo qualquer (b) Construa com a opção polígono regular, quadrados sobre os lados (c) Use a opção “área” (d) Verifique o teorema

27

28

TEXTO NO GEOGEBRA: Na janela de entrada escreva:

"Area do quadrado azul+area do quadrado verde=" +pol2"+"+pol3+"="+pol1 A lógica é: texto que deve aparecer está entre aspas e cálculos tem o símbolo de + e o nome da figura 29

Teorema de Pitágoras Movimente os vértices do triângulo e preencha a tabela

Hipotenusa

Cateto

Cateto

Area do quadrado de lado a

Area do quadrado de lado b

Area do quadrado de lado c

A(a)+A(b)

30

Vamos exportar a figura:

exportar janela de visualização como imagem resolução dpi 150

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PARTE 2 Sugest천es de atividades desenvolvidas no Geogebra para serem utilizadas na sala de aula

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Possibilidades de trabalho em sala no Geogebra

1) Geometria 2) Números e Álgegra 3) Funções 4) outros (complexos, cálculo....)

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1 GEOMETRIA

34

Geometria Atividade 1: Ângulo 4° e 5° Anos

Objetivo: introduzir o conceito e desmistificar a relação entre o tamanho do segmento e a amplitude Qual dos ângulos internos é maior?

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http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/papel-angulos-matematica-espaco-forma-545967.shtml

Geometria Atividade 2: Reproduzir a figura 6° e 7° Anos Objetivo: retomar o estudo de figuras planas, estimular o uso de estratégia de construção

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Ref: http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/cepa/geometria.pdf

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38

c贸pia do aluno

39

Geometria

Atividade 3: Homeotetia 5° ao 9° Ano Objetivo: Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram

40

Geometria

3.1 Reflexão: • Construa uma polígono • Construa reta • Use opção: • Observe a reflexão • Movimente a reta • Deforme o objeto

41

Geometria

3.2 Rotação: • Use o mesmo polígono • Use opção: • Clique no polígono, em um ponto do polígono (que será referência para a rotação) e defina o ângulo de rotação

42

Geometria

3.3 Translação: • Use o mesmo polígono • Construa um vetor com origem, ou não, no polígono. Esse vetor determinará a direção e sentido da translação.

• Use opção: • Clique no polígono e no vetor

43

Geometria

3.4 Ampliação: • Use o mesmo polígono • Use opção: • Clique no polígono, no ponto B e digite o fator de escala desejado (neste caso:1.5)

44

Geometria

Atividade 4: Condição de Existência do Triângulo 8° Ano

Expectativa de Aprendizagem: 







Compreenda a condição de existência de um triângulo na superfície plana; Identifique e represente os pontos notáveis de um triângulo; Aplique a propriedade de soma dos ângulos internos de um triângulo; Aplique a propriedade de soma dos ângulos externos de um triângulo.

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Geometria Lembrar:

|b-c| < a < (b+c) a, b, c medidas dos lados do triângulo Para verificar a condição de existência de um triângulo proponha aos alunos que formem triângulos com lados com diversas medidas para que possam verificar que algumas construções não são possíveis.

46

Geometria

4.1 Forme um triângulo com lados 2,3,4 cm (a) Construa um segmento com 2cm (b) Em uma das extremidades do segmento construa um círculo com raio 3cm (c) Na outra extremidade construir um círculo de raio 4cm (d) Nomeie de C a interseção dos círculos e nomeie de C (e) Construia o segmento AC (f) Construia o segmento BC

4.2 Forme um triângulo com lados 1,1,3 cm 47

Geometria

4.3 Construa um triâgulo qualquer e calcule a soma de seus ângulos internos.

Movimente seus vértices e observe.

4.4 Calcule a soma de seus ângulos externos. Movimente seus vértices e observe.

48

Geometria

4.5 Atividade Complementar: Construa quadriláteros quaisquer (opção polígono), calcule a soma de seus ângulos internos. Movimente seus vértices e observe

49

Geometria Atividade 5: Localização no mapa 8° Ano Expectativa de Aprendizagem: Identificar a localização e movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas Encontre o ponto equidistante das cidades: Pato Branco, Londrina e Ponta Grossa Use a opção imagem para inserir o mapa na área de visualização

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Arq: maparana

Geometria Construção

(a) Unir as cidades (Pato Branco e Londrina e Guarapuava) (b) Encontrar os pontos médios dos dois segmentos (c) Traçar perpendiculares aos dois segmentos passando pelos médios O ponto de intersecção das retas é o procurado Observe que ele é o raio da circunferência passando pelas três cidades

Vamos aproveitar a atividade para introduzir o conceito de lugar geométrico

51

Geometria

O QUE É LUGAR GEOMÉTRICO ?

52

Geometria

Conjunto de pontos p que possuem a mesma propriedade Exemplo: O lugar geométrico dos pontos que distam 5cm de um ponto A é a circunferência de centro A e 5cm (atividade do mapa).

Mediatriz é o lugar geométrico equidistantes de um ponto dado Paralela é o lugar geométrico.....

Bissetriz o lugar geométrico.......

dos

pontos

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Geometria

Atividade Extra: Aplicação de Arco Capaz

Você está perdido no mar, mas consegue avistar três pontos que estão indicados na sua carta náutica: o farol 01, o rochedo e a boia. Pela escala da carta náutica você sabe a distância entre estes três pontos. Além disso, do ponto em que seu barco se encontra, você conseguiu mensurar um ângulo de 70° entre o farol 01 e o rochedo e 60° entre o rochedo e a boia.

Com estas informações, qual é o local do seu barco 54 na carta náutica?

Geometria Resposta 1.

Trace segmento ligando farol 1(F1) ao rochedo (R) 2.

Trace a matriz deste segmento 3.

Pelo farol1 trace semi reta com ângulo de 70° com F1R 4.

Por F1 trace perpendicular a semi reta contruída 5.

A intersecção entre esta perpendicular e a mediatriz do início é a origem do arco 6.

Repetir o processo para o conjunto bola rochedo

55

2 NÚMEROS E ÁLGEBRA

56

Números e Álgebra

Atividade 1: Resolução de sistemas de equações lineares 8° Ano

Expectativa de Aprendizagem:

• reconhecer e determinar equações do 1º grau

sistemas

de

• resolver sistemas de equações do 1º grau

• resolver situações problemas com equações e sistemas de equações do 1º grau.

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Números e Álgebra

1. 1: Descubra dois números cuja soma é 6 













Discutir como escrever matematicamente a expressão; Construir uma tabela com os valores sugeridos pelos alunos; Escrever a equação x+y = 6 no geogebra, observar que o gráfico obtido é uma reta; Exibir malha; Observar que todos os pontos sugerido estão sobre a reta; Marcar os pontos sugeridos sobre a reta; Discutir a existência de outros pontos que satisfazem a equação 58

Números e Álgebra

1.2 Descubra dois números cuja diferença é 4 

Promover a mesma discussão inicial;



Marcar os pontos no plano cartesiano;



Definir a reta com “reta definida por dois pontos”;



Deixar claro aos alunos que podem utilizar quaisquer dois pontos

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Números e Álgebra

1.3 Os valores satisfazem as duas equações?









Inserir no geogebra as duas equações; Observar que as retas se interceptam em um ponto; Utilizando o recurso “interseção de dois objetos”, marcar a interseção; Discutir a existência da interseção

60

Números e Álgebra

1.4 Para cada atividade responda: Qual a posição relativa das retas? São paralelas? São concorrentes? O que se pode concluir sobre a solução do sistema? (a) Escrever as equações x+y = 3 e 2x + 2y = 5 (b) Escrever as equações x+ y = 4 e 2x + 2y = 8 61

NĂşmeros e Ă lgebra

Matrizes

62

Números e Álgebra

Matriz A: Matriz B: Matriz C:

A={{1,2},{3,4}} B={{3,4},{5,6}} C={{7,8},{9,10},{11,12}}

Adição:

D=A+B

Multiplicação:

E=A*B

Inversa:

F=MatrizInversa[A]

Determinante:

Determinante[A]

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Números e Álgebra

Atividade 2: Estudo de Matrizes, Determinante e Propriedades 8° Ano Expectativa de Aprendizagem:

•

Conceitue, interprete matrizes e suas operações

•

Reconheça, interprete e transcreva dados em linguagem matricial.

• • • •

Determine, a partir de uma matriz dada, a sua transposta.

Identifique matrizes invertíveis, determinando sua inversa.

Calcule o determinante de matrizes de diferentes ordens.

Resolva situações-problema envolvendo a igualdade e as operações de adição, subtração e multiplicação de matrizes 64

Números e Álgebra

2.1) Faça: A={{1,2},{3,4}}, B={{3,4},{5,6}} , C={{7,8},{9,10},{11,12}}

e

calcule:

Observe a janela de Álgebra

a) A+B b)A*B. Faça B*A. O que observa. c) A+C. Por que não é possível essa adição?

Obs:

Para

escrever

TabelaDeTexto[M]

na

janela

de

vizualização: 65

NĂşmeros e Ă lgebra

2.2 (a) Calcule o determinante da matriz A (b) Encontre a inversa de A (c) Chame a inversa de A, de A1 (d) Faça A1*A e A*A1. O que observa (e) Repita para a Matriz B. Comandos: Determinante[A], A1=MatrizInversa[A] 66

Números e Álgebra

2.3 (a) Escreva a Matriz M={{6,3},{2,1}}. (b) Calcule o determinante de M (c) É possível calcular a inversa de M? Por que? Teste no Geogebra. (d) Calcule inversa da matriz C. Qual a sua conclusão? Justifique

67

R:

Não

é

possível

porque

o

determinante de M é igual a zero R: Para se ter inversa a matriz necessita ser quadrada 68

NĂşmeros e Ă lgebra

2.4 (a) Calcule a transposta da matriz A Comando: W=MatrizTransposta[M] (b) Calcule determinante da matriz transposta.

Compare

determinante da matriz A.

com

o 69

R: Propriedade do Determinante

T ( det ( A ) =det A )

70

3 FUNÇÕES

71

Funções

Atividade 1: Função Afim 9° Ano

Expectativa de Aprendizagem: 







Compreenda o conceito de função, identificando suas variáveis e lei de formação Resolva situações-problema envolvendo a relação de dependência de grandezas Reconheça uma função afim nas representações algébrica e gráfica

suas

Reconheça uma função quadrática nas suas representações algébrica e gráfica 72

Funções

Função Afim: - Na janela de entrada, escreva a função: f(x)=5*x+4 Observe o gráfico.

- Agora construa as funções: f(x)= -5*x+4 Observe o gráfico f(x)=5 f(x)=0 f(x)=-5 Observe o símbolo “alfa” no lado direito da janela de entrada. Lá você recupera funções já escritas!

73

Funções

Vamos Generalizar!

Escreva na janela de entrada a formulação geral da função linear: f(x)=a*x+b - Na opção

crie dois controles deslizantes: a e b

- Equação no gráfico: cursor sobre a reta, botão direito, propriedades exibir rótulo, nome e valor - Com o cursor, varie a e b Pergunta: O que se observa ao variar a? À medida que a aumenta a inclinação em relação ao eixo x aumenta ou diminui?

O que se observa ao variar b?

74

Funções

75

Atividade 2: Função Quadrática 9° Ano

Expectativa de Aprendizagem: 





Reconheça uma equação do 2º grau e determine suas raízes Interprete e represente equações do 2º grau algébrica e graficamente Resolva situações-problema envolvendo equações do 2º grau 76

Funções Função Quadrática: - Na janela de entrada, escreva a função: f(x)=x^2. Observe o gráfico.

- Agora construa a função: g(x)= -x^2. Observe que como você chamou de g, a função f permanecerá no gráfico.

- Apague, com o botão direito, a função g. Construa a função f(x)=x^2+1

77

Funções - Apague a função g.

- Construa a função g(x)=(x+5)^2.

- Construa a função w(x)=(x-5)^2.

Observe a translação do gráfico.

78

Funções

Função Quadrática (continuação): - Na janela de entrada, escreva a função: f(x)=a*x^2+b*x+c - Crie os seletores a, b e c.

- Varie a, b e c e observe as translações do gráfico.

Pergunta: O que se observa ao variar a?

O que se observa ao variar b?

O que se observa ao variar c?

79

Funções

80

Funções

Conclusões: 

a diferente de zero;



a >0 parábola voltada para cima



a < o parábola voltada para baixo



c ordenada onde a parábola corta o eixo y, se c>0 o gráfico corta o eixo y acima da origem, c<0 o gráfico corta o eixo y abaixo da origem, 81

Funções







b>0 a parábola atinge o eixo y no seu lado crescente; b<0 a parábola atinge o eixo y no seu lado decrescente; Pelo vértice da parábola passa seu eixo de simetria.

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Funções Atividade 3: Função Trigonométrica - Na

janela de entrada, escreva a função: f(x)=sin(x). Observe

o gráfico.

- Mudança da Distancia e Unidade no eixo X: botão direito- janela de vizualização-eixo x-mudar a distancia e a unidade - Na janela de entrada, escreva a função: g(x)=cos(x).

83

Funções

84

Qual a relação entre o círculo trigonométrico e a função sen(x)?

85

Estudo de Funções

86

Funções

- Construir circunferência de raio fixo (1) e centro em A

(0,0) - Marcar ponto B na circunferência - Construir segmento AB - Marcar ponto C (1,0) - Construir ângulo BAC (esse ângulo é α (alfa)) - Marcar ponto D fora da circunferência

( α, sin ( α ) )

- Em D, botão direito - “exibir rastro” e mudar em “propriedades” - básico – valor : - Mover o ponto C e observar a construção Agora é só mudar o ”valor” do ponto D para cos, tan, etc

87

Funções

Atividade 4: Função Log e Exp - Na

janela de entrada, escreva a função:

f(x)=2^x - Na janela de entrada, escreva a função: g(x)=log2(x) 88

Funções

Atividade 4: continuação“Os gráficos das funções inversas são simétricos em relação à reta y=x” Vamos verificar!

- Na janela de entrada, escreva a função: w(x)=x - Marque ponto A no grafico de w - Construa perpendicular a w, passando por A - Marque os pontos C e D em f e g, respectivamente - Com a ferramenta

verifique que a distância:

(A,C)=distância(A,D)

89

Funções

90

Funções ATIVIDADE COMPLEMENTAR - Na janela de entrada, escreva a função: f(x)=-4x⁴ + 4x² + 0.5x + 0.3 Observe o gráfico.

- Na janela de entrada, escreva a função: g(x)=-16*x^2+8*x+0.5 Observe o gráfico.

Zeros das funções - Na janela de entrada, escreva: R=Raiz[f] - Na janela de entrada, escreva: R=Raiz[g] Extremo das funções - Na janela de entrada, escreva:E=Extremo[f]. Repita para função g

91

Funções

92

http://www.youtube.com/watch? v=W9nG0rCIsQw&feature=related

ATIVIDADES EXTRAS

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ATIVIDADE: O ângulo inscrito em um semicírculo é reto.

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Generalização do Teorema de Pitágoras: Figuras construídas sobre os Lados de um triângulo retângulo tem a relação entre as áresa: A=B+C, conforme a figura

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Atividade: Construção de um hexágono regular • Construir segmento AB • Construir circunferência de raio AB • Construir circunferências de raio AB com centro em B, determinando C • Construir circunferências de raio AB com centro em C, determinando J.......

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Como movimentar objeto (quadrado) sem alterar suas medidas?

• Construa ponto A • Construa circunferência com centro em A • Marque o ponto B na circunferência • Use a opção polígono regular para construir o quadrado • Movimente!

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