Pythagoras

De stelling van Pythagoras Pythagoras (Grieks: Πυθαγόρας) (Samos, ca. 582 v.Chr. – Metapontum, ca. 500 v.Chr.) was een Grieks wiskundige, wijsgeer, filosoof en hervormer. Hij werd door sommigen als een van de Zeven Wijzen beschouwd.

Pythagoras (Grieks: Πυθαγόρας) (Samos, ca. 582 v.Chr. – Metapontum, ca. 500 v.Chr.) was een Grieks wiskundige, wijsgeer, filosoof en hervormer. Hij werd door sommigen als een van de Zeven Wijzen beschouwd.

Project Algemene Vakken Deze cursus werd opgesteld door de vakwerkgroep PAV 4 BSO M. Supeley Onze Jeugd Roeselare PAV De stelling van Pythagoras

4 BSO 1

PAV

De stelling van Pythagoras

2

Probleem: Hoe kunnen we rechte hoeken uitzetten voor de bouw van een garage of een tuinhuis?

Hieronder het antwoord op deze vraag op de site van Brico. Om rechte hoeken uit te zetten voor een groot oppervlak ( bv. de bouw van een garage of tuinhuis) kan men gebruik maken van de 3-4-5-regel. Maak met een touw (dat niet uitrekt!) of een staalkabel een gesloten lus van 3+4+5 = 12 m. Plaats een merkteken op het touw met tussenafstanden van 3, 4 en 5 meter, bv. met tape (gebruik voor het merkteken tussen 3 en 4 meter een ander kleur). Als je nu het touw opspant tussen 3 stokken in de grond waarbij je het touw strak houdt en de stokken plaatst op elk merkteken, dan vorm je een perfect rechthoekige driehoek. De hoek bij het merkteken tussen 3 en 4 is de rechte hoek ( = 90째). Dit principe kan je ook maken met elke afstandenverhouding die een veelvoud zijn van de 3-4-5-regel. Bijvoorbeeld (3/2) - (4/2) - (5/2) = 1,5 - 2 - 2,5. Zo kan je ook kleinere touwen maken voor iets kleinere oppervlakken waar je met het 3-4-5 touw niet tussen kan. ( Dirk Govers, 18-08-2005) Bron: http://www.brico.be/wabs/nl/tips/61/bouw.do?lg=NL&LNpos=50

In feite is het praktisch voorbeeld hierboven beschreven een toepassing van de stelling van Pythagoras. Maar vooraleer we deze stelling kunnen begrijpen moeten we eerst nog wat wiskundige begrippen herhalen.

PAV

De stelling van Pythagoras

1

Oppervlakte van een vierkant z

z

z

z

Een vierkant heeft 4 gelijke zijden.

oppervlakte vierkant = z x z Zijde maal zijde ( z x z ) kunnen we ook noteren als z² ( z in het kwadraat) ( z tot de tweede macht) We meten nu de zijde van het bovenstaand vierkant z = ………. cm De oppervlakte van dit vierkant is: z² = z x z = 4² = 4 x 4 = 16 cm² Bereken de oppervlakte van het vierkant met als zijde: z = 3cm

oppervlakte: ………………………………………………………………….

z = 5cm

oppervlakte: ………………………………………………………………….

PAV

De stelling van Pythagoras

2

Pythagoras vroeg zich af of er een verband bestond tussen de 2 rechthoekzijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek ( = met een rechte hoek = 90°) Hij kwam op het idee om vanuit elke zijde van die driehoek een vierkant te tekenen Hij berekende de oppervlakte van deze 3 vierkanten: zijde a : oppervlakte vierkant = ………………………………………………………………. zijde b : oppervlakte vierkant = ………………………………………………………………. zijde c : oppervlakte vierkant = ……………………………………………………………….

Pythagoras zag al onmiddellijk een verband:

…………….. cm² =

…………….. cm² +

…………….. cm²

= a x a

= b x b

= c x c

a²

=

b²

+

c²

a

a

c

c

c

a

a b

c

b

b

b PAV

De stelling van Pythagoras

3

Probleem: Als we de oppervlakte van een vierkant kennen, kunnen we dan hieruit berekenen wat de zijde van dat vierkant is?

Antwoord: JA De oppervlakte van het vierkant a = 25 cm² Die oppervlakte is niets anders dan a x a = a² dus a² = 25 cm² In de wiskunde bestaat er een bewerking om van a² tot a te komen. Deze bewerking noemen we "de vierkantswortel trekken" Het symbool = Dus

a² =

a

of

25 =

?

Dit kunnen we berekenen met de rekenmachine.

25 =

………. cm

De vierkantswortel van een getal is een getal dat met zichzelf vermenigvuldigd weer het oorspronkelijk getal geeft.

De vierkantswortel van 25 = 5 omdat 5 x 5 = 25 Bepaal de vierkantswortel van de volgende getallen:

9 = ………….

49 = ………….

40 = ………….

36 = ………….

16 = ………….

64 = ………….

PAV

De stelling van Pythagoras

4

Toepassing 1 Gegeven: een rechthoekige driehoek heeft volgende afmetingen, rechthoekzijde b = 5 cm rechthoekzijde c = 3 cm Gevraagd: bereken de schuine zijde a

b

a=?

c Formule: a²

=

b²

+

c²

= ……………………………. a² =

…………… cm²

Je hebt nu de oppervlakte van het vierkant a berekend. Om nu de zijde te berekenen moet je van a² de vierkantswortel trekken. a =

a²

=

…………

a = …………………. cm

Toepassing 2 Deze ladder staat op 2 meter van de muur.

De ladder raakt de muur op een hoogte van 5 meter.

Bereken de lengte van de ladder.

Geg: b = ……. m

Gevr: a = ?

c = …... m a=?

Formule: a² = b² + c²

c

a² = ………………………………………... a

= ………….

m b

PAV

De stelling van Pythagoras

5

Natuurlijk zal niet altijd gevraagd worden om de schuine zijde a te berekenen.

a = 8,6 m b=5m

c=? a² = b² + c² je omkringt wat je moet zoeken wat naar de andere kant komt van het gelijkheidsteken wordt tegengesteld a² - b² = c² of

c² = a² - b² = …………………………… = ……………………… c=

c²

= ………………… m ( afronden tot geheel getal)

Los volgende opdracht zelf op. a = 7,81 m c=5m

b=?

a² = b² + c² …………………………………………………………………… …………………………………………………………………... …………………………………………………………………... …………………………………………………………………... b = …………… m

PAV

( afronden tot op geheel getal)

De stelling van Pythagoras

6

Extra oefeningen Geg: ……………….. ………………..

a= ? b = 4 cm

Gevr: ………………..

Opl: …………………………………………….. c= 12 cm

……………………………………………... ………………………………………………

Geg: ……………….. a= 16 cm

………………..

b = 5 cm

Gevr: ………………..

Opl: ……………………………………………..

c= ?

……………………………………………... ………………………………………………

Geg: ……………….. a= 21 cm

………………..

Gevr: ………………..

b=?

Opl: …………………………………………….. ……………………………………………...

c= 10 cm

……………………………………………...

PAV

De stelling van Pythagoras

7

Extra oefeningen 1.

In een rechthoekig stuk land heeft een omtrek van 130m. De breedte bedraagt 30m.

A)

Bereken de lengte

B)

Het stuk land wordt in 2 gelijke percelen verdeeld door de diagonaal te nemen van deze rechthoek. Bereken de lengte van deze diagonaal.

C)

EÊn perceel wordt verkocht aan 125 ₏/m². Bereken de verkoopprijs.

2.

Een perceel grond is getekend op schaal maar er ontbreken enkele afmetingen. Bereken deze afmetingen x en y 20 m 10 m x=?

8m 20 m

y=?

28 m

PAV

De stelling van Pythagoras

8