Melina Seifert
Matemática y tecnología
2013 Desarrollo de una secuencia de enseñanza en la cual se trabaja el concepto de función lineal, mediante su representación gráfica y algebraica.
FUNCIONES LINEALES
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El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al paso del tiempo. En esta unidad comenzaremos por preparar el camino hacia el estudio de las funciones, al analizar aspectos básicos tales como: identificar la relación entre dos magnitudes, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener información de esa representación y reconocer ciertas características asociadas a algunas funciones. Nos referiremos a las funciones lineales, cuyas representaciones gráficas son más simples: las rectas. Observaremos como caso particular las características propias de la función de proporcionalidad. Haremos hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante una ecuación, con una gráfica o con palabras. Finalmente veremos cómo resolver problemas representando la situación a partir de una función lineal.
FUNCIONES LINEALES
1. Función de proporcionalidad directa Situación inicial
Un determinado medicamento tiene como dosis 2 mg por kilogramo de peso del paciente. ¿Cuál será la dosis recomendada según el peso del paciente? Actividad 1 Ejecuta el video para visualizar un tutorial que te permitirá familiarizarte con una herramienta informática apropiada para resolver el problema planteado.
http://www.screencast.com/t/6oVzoolfNj
A continuación utiliza el programa GeoGebra, instalado en tu equipo portátil, para dar respuesta a las siguientes propuestas: a. ¿Cuál será la dosis recomendada para un niño de 15 kg, un adolescente de 35 kg, un joven de 60 kg y un adulto de 80 kg? Elabora una tabla con estos datos. b. Haz una representación gráfica de los pares de ordenados que obtuviste. c. ¿Qué figura geométrica representan los puntos graficados? d. Establece la relación entre los miligramos de la dosis (“y”) y el peso del paciente (“x”). e. Traza una línea que una los puntos de tu gráfica. f. ¿Qué expresión algebraica empleó la aplicación Geogebra para identificar a la recta? Observa la vista algebraica. g. Si administramos 32 mg de medicamento, ¿cuánto pesa el paciente? Ayúdate de la gráfica para responder a la pregunta y luego justifica algebraicamente la respuesta.
Observemos que.. → Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del enfermo. → La longitud que un resorte se alarga es proporcional a la fuerza que se hace para
alargarlo, es decir, a doble fuerza, doble estiramiento. → El dinero que se debe pagar por un crédito en el banco es proporcional a la cantidad de dinero que el banco ha prestado.
FUNCIONES LINEALES En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que se comportan de esta misma manera. Esto explica el interés por el estudio matemático de la función de proporcionalidad, caso particular de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta. Definición Se llama función de proporcionalidad directa, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma:
y = mx
ó
f(x) = mx
En esta fórmula x representa la variable independiente e y la variable dependiente. El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente.
Actividad 2 Abre el archivo pendiente_de_una_recta_lineal.ggb de la aplicación Geogebra y resuelve la actividad según se indica en la vista gráfica. A continuación responde: a. ¿Qué valor deberás definir para m, para que la recta decrezca de izquierda a derecha ( algo así: \ )? b. ¿Qué valor deberás definir para m, para que la recta crezca de izquierda a derecha ( algo así: / )? c. ¿Qué valor deberás definir para m, para que la recta este horizontal?
FUNCIONES LINEALES
2. Función afín Situación inicial
Consideremos un pequeño taller que se dedica a la fabricación de sillas. Sus costes son 480 € (para gastos de equipo, etc) y 18 € por silla fabricada. Actividad 3 Utiliza el programa GeoGebra, para dar respuesta a los siguientes ejercicios: a. ¿Cuáles son los costes de fabricación para cero, una, dos o seis sillas? Elabora una tabla con estos datos. b. Haz una representación gráfica de la función que relaciona sillas-coste. c. ¿Puedes establecer una relación entre el coste total "y" y el número de sillas "x"? d. ¿Cuántas sillas debe realizar para cobrar 1002 €? Ayúdate del gráfico para contestar a la pregunta y luego justifica algebraicamente la respuesta.
Definición Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica alguna condición inicial, las magnitudes ya no son proporcionales. Se dice que es una función afín y su forma es:
y = mx + b La pendiente m, sigue siendo la constante de proporcionalidad y el término b se denomina ordenada en el origen.
Actividad 4 Abre el archivo Pendiente_de_una_recta_afin.ggb de la aplicación Geogebra y resuelve la actividad según se indica en la vista gráfica. A continuación responde: a. ¿Qué valor deberás definir en el deslizador b, para que la recta pase por el origen de coordenadas? ¿Qué característica presenta la ecuación de la recta? b. ¿Observas alguna modificación en la razón entre la variación respecto de y y la variación respecto de x cuando modificas de posición al deslizador b? c. ¿Identificas alguna relación entre el cambio generado a partir del deslizador b y la ubicación del punto B? ¿Qué representa este punto B? d. ¿Adviertes algún cambio en la posición del punto B, cuando modificas al deslizador m?
FUNCIONES LINEALES Repasemos detenidamente la variación entre las magnitudes. Ejemplo 1
Cuando la abscisa aumenta en una unidad, la ordenada también aumenta en una unidad.
Cuando la abscisa aumenta en 2 unidades, la ordenada también aumenta en 2 unidades.
Observemos que..
Los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.
Ejemplo 2
Cuando la abscisa aumenta en una unidad, la ordenada disminuye en 3 unidades.
FUNCIONES LINEALES
Cuando la abscisa aumenta en 2 unidades, la ordenada disminuye en 6 unidades.
Observemos que..
Nuevamente los cocientes entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.
Definición En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales según el valor de la pendiente:
Ejercicios Dadas las funciones lineales definidas por las siguientes fórmulas: f(x)= 4x + 1 f(x)= -3x + 6 f(x)= -1/3x f(x)= -4x f(x)= -3 f(x)= 5x f(x)= 2x – 3 f(x)= -2x – 8 f(x)= 1/2x + 2 a. Representen gráficamente las ecuaciones empleando la aplicación GeoGebra. b. Indicar en cada caso si son crecientes o decrecientes. .
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3. Ecuación de la recta La ecuación y = mx + b que hemos visto se denomina forma explícita de la ecuación de la recta, y nos permite hallar dicha ecuación cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen.
Actividad 5 Una empresa que se dedica a la reparación de electrodomésticos cobra $ 15 por la visita domiciliaria, más $ 10 por cada hora de trabajo adicional. Respondan a las siguientes consignas: c. Planteen una ecuación o fórmula que permita calcular el dinero que debemos pagar (y), en función de las horas trabajadas (x). d. Representen gráficamente la ecuación propuesta. Para hacerlo, utilicen el programa GeoGebra. e. Si el técnico permanece 5 horas en el domicilio, ¿cuánto se deberá abonar? f. Teniendo en cuenta el gráfico, ¿cuánto le cobraría a una persona por haberse acercado a la casa sin haber reparado ningún electrodoméstico?
Recta que pasa por dos puntos Sean P(xo,yo) y Q(x1,y1) dos puntos del plano. La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:
Esta ecuación recibe el nombre de forma continua.
Actividad 6 Abre el archivo Recta_por_dos_puntos.ggb de la aplicación Geogebra. Desplazando los puntos sobre la recta, podrás observar cómo al tomar distintas coordenadas, se van generando modificaciones en la pendiente y la ordenada de la ecuación de la recta. A continuación busca la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1 / - 2) y Q (- 1 / 4). ¿Cómo queda determinada la pendiente? ¿En qué punto corta el eje de las ordenadas?
FUNCIONES LINEALES Ejercicios a. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-7) y cuya pendiente es –2/3. b. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,-2) y de pendiente cero. c. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,-2) y Q(-8,3). d. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(5,-2) y Q(3,-2). e. Determina la ecuación de la recta que pasapor los puntos P(6,5) y Q(6,-2).
Probar que un punto pertenece a una recta Para poder verificar, que el punto P(x/y) pertenece a la recta g: y = mx + b, será necesario insertar las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, sustituyendo las variables correspondientes. Si se cumple la igualdad de la ecuación, el punto pertenece a la recta. Si no se cumple la igualdad de la ecuación, el punto no pertenece a la recta. Ejemplo Dados los puntos P (1 / 5) y Q (3 / -2) y la ecuación de la recta en cuestión y = 2x + 3 el punto P (1 / 5) pertenece a la recta, dado a que 5 = 2 . 1 + 3 el punto Q (3 / -2) no pertenece a la recta, puesto que - 2 ≠ 2 . 3 + 3
FUNCIONES LINEALES
4. Posición relativa de dos rectas Actividad 6 Abre el archivo posición_relativa_de_dos_rectas.ggb de la aplicación Geogebra y resuelve la actividad según se indica en la vista gráfica. Utilizando el programa GeoGebra, representen las siguientes funciones. Luego, empleando el procesador de textos, contesten las preguntas que aparecen debajo: y + 31 = 3
2 y = 6x + 8
y = 3 x +4
9 y = - 3 x + 18
y = 3 (x+2)
5 y = (- 5) / (3 x -2)
a. De las rectas graficadas, ¿cuáles son paralelas a la función? b. ¿Cuáles serían perpendiculares a y = 3 x + 2? c. ¿Qué valores debe tener la fórmula de una función lineal para que su gráfica sea paralela o perpendicular a otra función? d. ¿Cómo son las pendientes entre las rectas que son paralelas? e. ¿Cómo son las pendientes entre las rectas que son perpendiculares?
Definición Dadas dos rectas y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2 se tiene: Si m1 ≠ m2 las rectas se cortan en un punto cuyas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema. Se dice que las rectas son secantes. Si m1 = m2 coincidentes.
las rectas son paralelas. Si, además, b1 = b2
las rectas son
Ejercicios a. Determina la posición relativa de las rectas y = - 4x + 1, y = 4x. En caso de que sean secantes, determina las coordenadas del punto de intersección. b. Determina la posición relativa de las rectas y = - 2x + 3, y = -2x - 2. En caso de que sean secantes, determina las coordenadas del punto de intersección.
FUNCIONES LINEALES Desafío Si una empresa que transporta valijas establece sus tarifas de la siguiente manera: $ 8 por km recorrido y $ 12 por cada valija transportada, ¿cuánto costará trasladarse 100 km con una valija?, ¿y 200 km? a. Utilizando la aplicación Geogebra, armar una tabla, similar a la que se presenta debajo, y completarla considerando que se lleva una sola valija: Distancia (en km)
100
150
200
250
300
Valor / precio (en $)
b. Expresar la fórmula de la función que relaciona la distancia en kilómetros (km) y el valor del traslado. c. Analizar la misma situación pero trasladándose con dos valijas. d. En un mismo gráfico, y utilizando el programa GeoGebra, representar estas dos situaciones: viajan con una valija y viajan con dos valijas. Analizar lo que sucede con la pendiente de la recta. e. Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas: Valor (por km)
Valor (por valija)
Ecuación sin valija
Ecuación con 1 valija
Empresa A
8
12
y=8x
y = 8 x + 12
Empresa B
4
36
f. Representar gráficamente las ecuaciones planteadas en la tabla anterior. g. Discutir entre todos qué empresa conviene contratar para gastar menos dinero.
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5. Para practicar Actividades Las siguientes propuestas son actividades que te permitirán ejercitar los contenidos que fuiste abordando en clase. Para poder resolverlos, deberás ejecutar los archivos especificados a la derecha. ¡Espero que los disfrutes! jcloze_funcion_lineal.htm jmatch_funcion_lineal.htm jcross_funcion_lineal.htm jquiz_funcion_lineal.htm jcloze_ecuacion_lineal.htm
Actividad de cierre Esta última actividad está pensada para jugar en grupos. Es desafío consiste en obtener puntos por los conocimientos adquiridos. Los participantes que obtengan mayor puntuación habrán derrotado con sus saberes a los compañeros.
Función lineal - Tablero interactivo.ppt
6. Recuerda lo más importante La siguiente revista digital les presenta un repaso de todos los contenidos abordados en clase durante el desarrollo de la unidad. http://issuu.com/mseifert/docs/funciones_lineales_-_apuntes
FUNCIONES LINEALES
7. Autoevaluación Actividades 1.
Escribe la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de la imagen.
2.
Calcula la ordenada en el origen de la recta que pasa por el punto (-4,-1) y cuya pendiente es –3.
3.
Calcula la ordenada en el origen de la recta de ecuación –3x – 3y + 2 = 0.
4.
Calcula la pendiente de la misma recta de antes.
5.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(-5,-4) y Q(-4,-2).
6.
Determina la posición relativa de las rectas de ecuaciones y = -3x – 5 e y = 2x – 2.
7.
Determina la posición relativa de las rectas de ecuaciones 4x – 3y + 5 = 0 e -8x + 6y + 1 = 0.
8.
Halla las coordenadas del punto de corte de las rectas de ecuaciones y = -x + 5 e y = 2x – 7.
9.
Averigua si los puntos A(-3,-1), B(0,-1) y C(6,-4) están alineados.
10. Halla la ecuación de la recta paralela a y = - x + 5 que pasa por el punto (4,-2).
Espero que lo hayan disfrutado. Melina Seifert.