Fach
Mathematik
Terme
Zusammenfassung
Melina Seifert
Der Beginn.. In dieser Publikation mรถchten ich euch folgende Fragen beantworten: Was ist ein Term? Wie werden Terme zusammengefasst? Wie lรถst man bei Terme die Klammern auf? Wie multipliziert man Terme miteinander? Wie berechnet man Produkte aus Summen? Was sind binomische Formeln?
Was ist ein Term? Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen (alle, die Du kennst), aus Rechenzeichen wie z.B. plus (+), minus (-), mal (·), geteilt (:), ... und aus Variablen besteht. Ein Term enthält kein Gleich- oder Ungleichheitszeichen. Beispiele hierfür können sein: 13 + 2·a -7·b
oder
4,5 – (4x+1) :2 + 2·y
Was ist eine Variable? Eine Variable ist ein Buchstabe ( z.B. ein "x" ), der Platzhalter oder Stellvertreter für einen - zunächst unbekannten Zahlenwert ist.
Wie werden Terme zusammengefasst? Gleichartige und ungleichartige Terme, die im "Buchstabenteil" übereinstimmen, wollen wir gleichartige Terme nennen. Gleichartige Terme lassen sich zusammenfassen. Beispiel: 7b
4c
b + b + b +b + b + b + b + c + c + c + c = 7b + 4c
Aufgabe: Lösung:
a2 + 2ab + 3a2 + 5ab = = a2 + 3a2 + 2ab + 5ab = 4a2 + 7ab
Wie löst man bei Terme die Klammern auf? Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann man weglassen. Die Vorrzeichen und Rechenzeichen im Term ändern sich nicht. Beispiel:
2a + (5a – 3b) = 2a + 5a – 3b = 7a – 3b
Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, kann man auflösen. Die Zahlen in der Klammer bekommen das entgegengesetzte Vorzeichen: aus + wird -, aus - wird +. Beispiel:
Aufgabe:
2a - (5a – 3b) = 2a - 5a + 3b = - 3a + 3b
Wie multipliziert man Terme miteinander? Eine Summe oder eine Differenz wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jedes Glied mit der Zahl multipliziert und die Teilprodukte addiert oder subtrahiert.
Beispiel:
Aufgabe: LĂśsung:
2a . (5a – 3b) = 2a . 5a – 2a . 3b = 10 a2 - 6ab
(2ab + 3b) . (-3a) = = 2ab . (-3a) + 3b . (-3a) = - 6a2b - 9ab
Wie berechnet man Produkte aus Summen? Zwei Summen werden miteinander mulipliziert, indem jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen multipliziert wird. Die Teilprodukte werden addiert.
Beispiel: (2a + 4b) . (5a – 3b)
= 2a . (5a – 3b) + 4b . (5a – 3b) = 10 a2 - 6ab + 20 ab – 12b2 = 10 a2 + 14 ab - 12b2
Was sind binomische Formeln? Wir wissen bereits wie wir Klammern jeder Art auflösen. Wir wollen uns drei wichtige und besonders häufige Sonderfälle betrachten: eine Summe aus zwei Summanden zum Quadrat, also (a + b)², eine Differenz zum Quadrat, also (a – b)² und eine Summe mal eine Differenz aus gleichen Summanden, also (a + b) (a – b).
1. Binomische Formel Wir beginnen mit (a + b)². Zuerst schreiben wir es als Produkt: (a + b)² = (a + b) (a + b)
Jetzt multiplizieren wir die Klammern aus: (a + b) (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + 2ab + b² Diese Formel merken wir uns ab jetzt: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel Das gleiche Vorgehen für (a – b)². Wieder schreiben wir den Term als Produkt: (a – b)² = (a – b) (a – b) =a ·a –a ·b–b· a + b· b = a² – 2ab + b² Auch diese Formel sollten wir uns gut merken: (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Binomische Formel Wir wollen (a + b) (a – b) lösen. (a + b) (a – b) = a · a – a · b + b · a – b · b = a² – b² Und auch diese Formel sollten wir uns gut merken: (a + b) (a – b) = a² – b²
Das Ende.