ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Δ΄ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝ ΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜΑ Α A1.
Έστω A . α) Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορ ισμού το A ; (Μονάδες β) i. Πότε μια συνάρτηση f : A έχει αντίστροφη; (Μονάδα ii. Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του (i), πώς ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση της f ; (Μονάδες
2) 1) η 3)
Μονάδες 6 A2.
Να διατυπώσετε το θεώρημα τ ου Fermat που αφορά τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης . Μονάδες 4
A3.
Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ . Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδε ίξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7
A4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα στο γράμμα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είν αι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α) Για κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο A ( , 0) (0, ) με f (x) 0 για κάθε x A , ισχύει ότι η f είναι σταθερή στο A . (Μονάδα 1 για το ν χαρακτηρισμό Σωστό/Λάθος Μονάδες 3 για την αιτιολόγηση) β) Για κάθε συνάρτηση f : A , όταν υπάρχει το όριο της f καθώς το x τείνει στο x o A , τότε αυτό το όριο ισούται με την τιμή της f στο x o . (Μονάδα 1 για το ν χαρακτηρισμό Σωστό/Λάθος Μονάδες 3 για την αιτιο λόγηση) Μονάδες 8
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Δ΄ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ
ΘΕΜΑ Β
x , x {1} . x 1 Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη 1 συνάρτηση f .
Δίνεται η συνάρτηση B1.
f(x)
Μονάδες 10
B2.
Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A(2, f(2)) . Μονάδες 8
B3.
Να μελετήσετε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις
f(x) x 2 1, x
και g(x)
x 2, x 2.
Γ1.
Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης g f . Μονάδες 10
Γ2.
Έστω ότι h(x) (g f )(x)
x 2 1, x ( , 1] [1, ) . Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο .
Μονάδες 10
Γ3.
Να υπολογίσετε το όριο
h(x) 3 . x 2 x2
lim
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
x 2 , f(x) 4 (x 1) x, Δ1.
x 1 x 1.
Να αποδείξετε ότι 1 και 2 . Μονάδες 7
Δ2.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Δ΄ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Δ3.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0 έχει μοναδική ρίζα x o , η οποία είναι θετική. Μονάδες 6
Δ4.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f 2 (x) xof(x) 0 είναι αδύνατη στο
(x o , ) , όπου x o είναι η ρίζα του ερωτήματος Δ3.
Μονάδες 6
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.
2.
3.
4. 5. 6.
Σ τ ο ε ξ ώ φυ λ λ ο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Σ τ ο ε σ ώφ υ λ λ ο πά νω - π ά νω να σ υ μ π λ η ρ ώ σ ε τ ε τ α α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μ α θ η τ ή . Σ τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α π α ντ ή σ ε ώ ν σ α ς να γρ ά ψ ε τ ε π ά νω - π ά νω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α κ α ι τ ο ε ξ ε τ α ζ ό μ ε νο μ ά θ η μ α . Ν α μ η ν α ν τ ι γ ρά ψ ε τε τ α θ έ μ α τα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μ η γ ρά ψ ε τε π ο υ θ ε νά α λ λ ο ύ σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ό σ α ς τ ο ό νο μ ά σ α ς. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά τ η ν α π οχ ώ ρ η σ ή σα ς να π α ρ α δ ώ σ ε τ ε μ αζ ί μ ε τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τ α φ ω τ ο α ντ ί γ ρ α φ α . Ν α α π α ντ ή σ ε τ ε σ τ ο τ ε τ ρά δ ι ό σ α ς σ ε όλ α τ α θ έ μ α τ α μ ό νο μ ε μ π λ ε ή μ ό νο μ ε μ α ύ ρ ο σ τ υ λ ό μ ε μ ε λ ά νι π ο υ δ ε ν σ β ή νε ι . Μο λ ύ β ι ε π ι τ ρ έ π ε τ α ι , μ ό νο α ν τ ο ζ η τ ά ε ι η εκ φ ώ νη σ η , κ α ι μ ό νο γ ι α π ί να κ ε ς , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κ . λ π. Κ ά θ ε α π ά ντ η σ η ε π ι σ τ η μ ο νι κ ά τ ε κ μ η ρ ι ω μ έ νη ε ί να ι α π ο δ ε κ τ ή . Δ ι ά ρ κ ε ι α ε ξ έ τ α σ η ς : τρ ε ι ς ( 3 ) ώ ρ ε ς μ ε τ ά τη δ ι α νο μ ή τ ω ν φ ω τ οα ντ ι γ ρ ά φ ω ν. Χ ρ ό νο ς δ υ να τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ .
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ Α ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ