Departamento de Matemáticas
GUÍA-TALLER CONJUNTOS
Grado: 11°___ PERIODO 1 DOCENTES
INDICADOR: Establece relaciones entre conjuntos y usa de manera
significativa los conjuntos para resolver problemas. COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE LA CANDELARIA
REFLEXIONA: “El
JOSÉ IGNACIO ZAPATA OSORIO GERSON PEÑALOZA LEAL
objetivo del ego, es ocultar una realidad
interna”.
CONJUNTOS SABIAS QUE…
?????
En matemáticas es común utilizar simbolos que representan relaciones o conexiones logicas.Por ejemplo algunos simbolos mas utilizados son ∃= existe ∀= paratodo ↔ = siysolosi →= entonces ∈= pertenece ∉= nopertenece ∧= y ∨ =0
CONJUNTOS
Reunión de objetos que tienen una característica en común.
NOTACION
Por extensión:
RELACIONES
Pertenencia: Se define un elemento perteneciente a un conjunto utilizando el símbolo E. A = {1, 2, 3, 4. . . } 1E A Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro, si está contenido dentro de él. A C B (xEA xE B) Igualdad: Dos conjuntos son iguales si y solo sí todo elemento de un conjunto pertenece simultáneamente al otro.
CONJUNTO FINITO E INFINITO
M = {a, e, i, o, u}
Por comprensión: {x/x es una vocal}
Conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. De lo contrario son infinitos. Conjunto vacío: No contiene elementos Conjunto unitario: Tiene un solo elemento Conjunto universal: Contiene todos los elementos y conjuntos de un determinado marco de referencia. A–B={x/x A}
A∆B=(x/x B)
A B} B–A={x/x B ={x/x {x/x∈ B} ∉ ∈ A x ∉AUB= ∈∈AABv xxx∈ A-A B B}OPERACIONES A B B AUB CON CONJUNTOS
COMPLEMENTO DIFERENCIA SIMETRICA A’ = {x/xx ∉ U (Ax ∉ (AUB) B))A}= (AUB)-(A
∈
∈
A´
Actividad Propuesta: Completa el siguiente diagrama de ven:
p
119 66 76 54 45 26 27 14 7
COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE LA CANDELARIA GUIA TALLER DE MATEMATICAS DOCENTE: JOSE IGNACIO ZAPATA OSORIO
GRADO: ONCE ___ TEMA: CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES
NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si A es un conjunto, denotaremos con n(A) el número de elementos de A. Ejemplo:
Si V= {X/X es vocal}, entonces n(V) = 5 Si P= {X/X es primo par}, entonces n(P) = 1 Si N= {X/X es divisor de 5}, entonces n(N) = 2
En efecto porque: V= {a, e, i, o, u} posee 5 elementos Si conocemos el número de elementos de ciertos conjuntos dados, es posible hallar el número de elementos de otros conjuntos que son unión, intersección, diferencia y complementos de aquellos. Ejemplo: En el grupo de deportes de la universidad hay 75 alumnos y en el de danza hay 35. hallar el número de alumnos que hacen deportes o danzas, si los entrenamientos se hacen en días diferentes y se sabe que 15 estudiantes pertenecen a ambos grupos. R/ Tenemos que si A = {X/X es un alumno que realiza deportes} y B = {X/X es un alumno que hace danzas} entonces: n (AUB) = n(A) + n(B) – n(A B) = 75 + 35 – 15 = 95
U
Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto, pero generalmente es más sencillo trabajar con base en los diagramas de Venn Ejemplo: Un alumno efectúa sobre un grupo de 100 estudiantes a cerca de los hábitos de lectura en la biblioteca y aporta los siguientes datos: 40 leen historias; 55 leen literatura; 55 leen arte; 15 leen historia y literatura; 20 leen historia y arte; 30 leen literatura y arte; 10 leen las 3 materias; 5 no asisten a la biblioteca. ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?. Sean H = {X/X lee historia}; A = {X/X lee arte}
L = {X/X lee literatura}
COMPLETAR
119 66 76 54 45 26 27 14 7
COLEGIO NUESTRA SEﾃ前RA DE LA CANDELARIA GUIA TALLER DE MATEMATICAS DOCENTE: JOSE IGNACIO ZAPATA OSORIO
GRADO: ONCE ___ TEMA: CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES
45 25 29 15 15 3 10
54 29 28 18 15
2
8
13 9
100 140 90
70
40 19
80 90
90 70 25 14
27 40
0 53 28 22 26
3
COLEGIO NUESTRA SEÑORA DE LA CANDELARIA GUIA TALLER DE MATEMATICAS DOCENTE: JOSE IGNACIO ZAPATA OSORIO
GRADO: ONCE ___ TEMA: CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES
NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. APLICACIONES •
Un alumno efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes de la universidad a cerca de los hábitos de lectura de los alumnos en la biblioteca y aporta los siguientes datos: leen historia 40; leen literatura 55; leen arte 55; leen historia y literatura 15; leen historia y arte 20; leen literatura y arte 30; leen las tres materias 10; no asisten a la biblioteca 5. ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?
•
La siguiente información se refiere a un grupo de 200 estudiantes: Todos los hombres tienen más de 15 años de edad, hay 100 mujeres en el grupo. Hay 150 estudiantes de más de 15 años. Hay 50 mujeres rubias. Hay 40 estudiantes rubios de más de 15 años de edad. Hay 30 mujeres rubias con más de 15 años de edad. Responder las siguientes preguntas: ¿Cuántos estudiantes rubios hay? ¿Cuántas mujeres no rubias tiene más de 15 años de edad? ¿Cuántos estudiantes no rubios tienen menos de 15 años de edad? ¿Cuántos hombres rubios hay? ¿Cuántos estudiantes tiene menos de 15 años de edad?
a) b) c) d) e) •
Probas que la siguiente encuesta realizada sobre 500 estudiantes a cerca de la habilidad para leer español, francés y alemán está mal realizada; 255 leen francés; 331 alemán; 285 español; 70 francés y español; 85 francés y alemán; 266 español y alemán; 50 las tres lenguas.
•
En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la universidad se encuentran que 48% lee la revista A; 50% la revista B; 30% la revista
a) b) c) d) e)
C; 20% las revistas A y B, 10% leen las revistas B y C; 13% las revistas A y C; 10% no leen ninguna de las revistas. ¿Qué porcentaje leen las tres revistas? ¿Qué porcentaje leen exactamente dos revistas? ¿Qué porcentaje leen al menos dos revistas? ¿Qué porcentaje leen exactamente una revista? ¿Qué porcentaje leen a lo sumo una revista?
•
En un análisis del rendimiento académico de 50 estudiantes se encontró que el número de estudiantes que habían reprobado distintas materias era el siguiente: Algebra 23; Inglés 18; Biología 13; Algebra e Inglés 3; Algebra y Biología 6; Inglés y Biología 3; y las tres materias 1. ¿Cuántos estudiantes aprobaron las tres materias?. ¿Cuántos alumnos perdieron únicamente Biología?. ¿Cuántos reprobaron únicamente inglés?. ¿Cuántos alumnos perdieron únicamente Algebra?. ¿Cuántos alumnos perdieron solamente Algebra y Biología?. •
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. Realizada una encuesta, se estima que de la población adulta: 20% lee A; 16% lee B; 14% lee C; 8% lee A y B, 5% lee A y C; 4% lee B y C; 2% lee las tres. ¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos periódicos? ¿Qué porcentaje lee un solo periódico ?
•
En un grupo de 120 señoritas, 44 son morenas, 48 son rubias y el resto son pelirrojas, 62 tienen ojos azules, las otras los tienen cafés. Hay 15 rubias de ojos azules y 16 pelirrojas de ojos azules. ¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en el grupo?.
•
Al finalizar un año de estudios se observó, analizando tres materias M, B y E, que el 2% reprobó las 3 materias, el 6% reprobó M y B, el 5% reprobó B y E, el 10% reprobó M y E, el 9% reprobó M, el 32% reprobó B y el 16% reprobó E. ¿Cuántos estudiantes aprobaron las tres materias? ¿Cuántos reprobaron una exactamente? ¿Cuántos reprobaron mínimo 1 sola? ¿Cuántos aprobaron mínimo 2?
a) b) c) d)