Sistema de Coordenadas Tridimensionales Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Representaci贸n grafica de puntos en el espacio tridimensional
Vectores en el espacio • Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Vectores unitarios • En el espacio los vectores se denotan mediante las ternas ordenadas • v = <v1, v2, v3> • El vector cero se denota 0 = <0, 0, 0 > • Usando los vectores unitarios • i =<1, 0, 0>; j = <0, 1, 0>; k = <0, 0, 1> • en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es • v = v1i+ v2j +v3k
Vectores en el espacio â&#x20AC;˘ Si v se representa por el segmento de recta dirigido de P(p1, p2, p3) a Q(q1, q2, q3) â&#x20AC;˘ las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue â&#x20AC;˘ v = <v1, v2,v3> =< q1- p1,q2- p2, q3p3)
Ejemplos Det e rm i n ar l a co mponente s de los vec to r es qu e se pu ed e n t razar e n el t r i án gu l o de vé rti ce s A( −3 , 4 , 0), B(3 , 6, 3) y C( −1 , 2 , 1 ).
M ódul o
de
un
vector
E l mó du lo de un ve c tor es l a lo ngitu d del segmen to or ie nt a do qu e l o defin e.
E l mó du lo de un ve c tor es u n nú mer o s i em p re po sitivo y s o l a m e n t e el v e c t o r n u l o t i e n e m ó d u l o c e r o .
C á lc u lo
del
módulo
c onoc iendo
sus
componentes
Ejemplo:
Dados los ve ctores de
y
y
, h allar los módulos
·
C á lc u lo
del
módulo
c onoc iendo
las
c oo r d e n ad as
de
los
puntos
D i st a n c i a e nt r e do s p u n t o s L a d i s t a n c i a e n t r e d os p u n t o s e s i g u al a l mó d u lo d e l v e c t o r q u e t i en e d e e x t r em o s d i ch o s p un t os .
H a l l a r l a d is t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s A ( 1 , 2 , 3 ) y B ( − 1 , 2 , 0 ) .
Ve c t or un i t a r io U n v e c t o r u n i t a r i o ti e n e d e mó d u lo l a u n i d a d.
L a n o r m a l i z a c i ó n de u n v e c t or c on si s t e en as o c i ar l e ot r o v e c t o r u n i t a r io , d e l a mis m a d i r e c c i ó n y s e nti do q u e e l v e c t or d ad o, d i v i d i en do c a da c om p o n e n t e d e l v e c t o r po r s u m ó d u l o.
Ejercicios â&#x20AC;˘ Representa en el espacio tridimensional los siguientes puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(2,4,0), E(9,-3.1) â&#x20AC;˘ Dados los vectores (-2,5,-8), (1, 12, -6), (3,0,-3) hallar: a) Las componentes de , y b) El modulo de (-2,5,-8), (1, 12, -6) y (3,0,-3) c) La distancia entre y y