TEMA 1: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS
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TEMA 1 : DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 1.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Para calcular el MCD o el mcm de dos o más números, lo primero que hay que hacer es factorizar dichos números. Recordemos algunos criterios de divisibilidad: Un número es divisible por 2 si acaba en cero o cifra par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
El máximo común divisor de varios números, es el mayor de los divisores comunes a dichos números. Para calcularlo se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican.
El mínimo común múltiplo de varios números, m.c.m., es el menor de lo múltiplos comunes a dinos números, distinto de cero. Para calcularlo, se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican.
2.- LOS NÚMEROS ENTEROS
Ampliación de los números naturales
Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo se añade un entero negativo. Por ejemplo, a 3 se le añade –3.
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
Valor absoluto de un número entero
El número –5 está situado a 5 unidades de distancia de 0. Se dice que -5 tiene un valor absoluto igual a 5, y le escribe 5 = 5.
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Un número entero está formado por: Un signo que indica si es positivo o negativo. Un número que sigue al signo y que representa su valor absoluto.
Enteros opuestos
Dos números son enteros opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Por ejemplo, se dice que –5 y 5 son enteros opuestos, porque 5 5 5 .
3.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Suma de números enteros
Para sumar dos números enteros del mismo signo: Se suman sus valores absolutos. Al resultado se le añade el signo que tienen. Para sumar dos números enteros de distinto signo: Se restan sus valores absolutos. (Al mayor se le resta el menor). Al resultado se le añade el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: 5+3=8 -4 + (-3) = -7 -6 + 4 = -2 Para sumar varios números enteros de distinto signo: Se suman separadamente los enteros positivos y los negativos. Se suman el entero positivo y el negativo obtenidos.
Resta de números enteros
Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo: 8 – 3 = 8 + (-3)
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4.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS
Multiplicación
Para calcular el producto de dos números enteros: Se halla el producto de sus valores absolutos. Al resultado obtenido se le pone el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, y el signo – si uno es positivo y otro negativo. Ejemplos:
(+8) (7) (8 7) 56 (6) (5) (6 5) 30
(9) (4) (9 4) 36 (7) (9) (7 9) 63
División
Para calcular el cociente de dos números enteros: Se halla el cociente de sus valores absolutos. Al resultado obtenido se le pone el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, y el signo – si uno es positivo y otro negativo. Ejemplos: (+56) : (+7) = +8 (+63) : (-9) = -7
(-36) : (+4) = -9 (-36) : (-9) = +4
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Regla de los signos para la multiplicación y la división
EJERCICIO 1 Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) -64 : 4 b) -45 : (-9) c) (-3·8) : (-6) d) (-36 : 9) · (-4)
5.- OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS
Operaciones sin paréntesis
Para realizar operaciones con números enteros en las que no haya paréntesis, se sigue este orden: 1. Se hacen las multiplicaciones y las divisiones. 2. Se hacen las sumas y las restas.
Ejemplo: -8 · 7 + 15 · (-2) = [ -8 · 7] + [ 15 · (-2)] = -56 + (-30) = -86 Se puede seguir el orden que se prefiera cuando: En las operaciones hay solamente sumas y restas. En las operaciones hay solamente multiplicaciones y divisiones.
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EJERCICIO 2 Realiza las siguientes operaciones: a) -16 + 8 · (-4) b) -12 · (-3) + 8 · (-5)
c) -9 · (-15) · (-2) d) -14 · 21 – 32 : (-4)
Operaciones con paréntesis
Para realizar una serie de operaciones con números enteros, se sigue este orden: 1º Se resuelven los paréntesis incluidos en cada corchete. 2º Se resuelven los corchetes. 3º Se hacen las multiplicaciones y divisiones. 4º Se hacen las sumas y las restas. Ejemplos: (36 : 2) · 3 + 6 = 18 · 3 + 6 = 54 + 6 = 60 -12 · 3 + 36 : (-12 : 6 + 8 ) -12 · 3 + 36 : (-2 + 8 ) -12 · 3 + 36 : 6 -36 + 6 -30 8 · [(-12 + 36) : 6 + (8-5) : (-3)] – 12 8 · [24 : 6 + 3 : (-3)] – 12 8 · [4 + (-1)] – 12 8 · 3 – 12 24 – 12 12
EJERCICIO 3 Calcula el valor de: -10 : [(-12 + 16) : (-2) + (12 – 3 · 5)] + 5 · [(-13 + 7) : (-1 + (-27) : (-9))]
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