1.Apuntes de enteros

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TEMA 1: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

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TEMA 1 : DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 1.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Para calcular el MCD o el mcm de dos o más números, lo primero que hay que hacer es factorizar dichos números. Recordemos algunos criterios de divisibilidad:  Un número es divisible por 2 si acaba en cero o cifra par.  Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.  Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.

El máximo común divisor de varios números, es el mayor de los divisores comunes a dichos números. Para calcularlo se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican.

El mínimo común múltiplo de varios números, m.c.m., es el menor de lo múltiplos comunes a dinos números, distinto de cero. Para calcularlo, se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican.

2.- LOS NÚMEROS ENTEROS 

Ampliación de los números naturales

Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo se añade un entero negativo. Por ejemplo, a 3 se le añade –3.

-5 

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

Valor absoluto de un número entero

El número –5 está situado a 5 unidades de distancia de 0. Se dice que -5 tiene un valor absoluto igual a 5, y le escribe  5 = 5.

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Un número entero está formado por:  Un signo que indica si es positivo o negativo.  Un número que sigue al signo y que representa su valor absoluto.

Enteros opuestos

Dos números son enteros opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo. Por ejemplo, se dice que –5 y 5 son enteros opuestos, porque  5  5  5 .

3.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS 

Suma de números enteros

Para sumar dos números enteros del mismo signo:  Se suman sus valores absolutos.  Al resultado se le añade el signo que tienen. Para sumar dos números enteros de distinto signo:  Se restan sus valores absolutos. (Al mayor se le resta el menor).  Al resultado se le añade el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: 5+3=8 -4 + (-3) = -7 -6 + 4 = -2 Para sumar varios números enteros de distinto signo:  Se suman separadamente los enteros positivos y los negativos.  Se suman el entero positivo y el negativo obtenidos. 

Resta de números enteros

Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplo: 8 – 3 = 8 + (-3)

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4.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS 

Multiplicación

Para calcular el producto de dos números enteros:  Se halla el producto de sus valores absolutos.  Al resultado obtenido se le pone el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, y el signo – si uno es positivo y otro negativo. Ejemplos:

(+8)  (7)  (8  7)  56 (6)  (5)  (6  5)  30

(9)  (4)  (9  4)  36 (7)  (9)  (7  9)  63

División

Para calcular el cociente de dos números enteros:  Se halla el cociente de sus valores absolutos.  Al resultado obtenido se le pone el signo + si los dos factores tienen el mismo signo, y el signo – si uno es positivo y otro negativo. Ejemplos: (+56) : (+7) = +8 (+63) : (-9) = -7

(-36) : (+4) = -9 (-36) : (-9) = +4

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Regla de los signos para la multiplicación y la división

EJERCICIO 1 Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) -64 : 4 b) -45 : (-9) c) (-3·8) : (-6) d) (-36 : 9) · (-4)

5.- OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS 

Operaciones sin paréntesis

Para realizar operaciones con números enteros en las que no haya paréntesis, se sigue este orden: 1. Se hacen las multiplicaciones y las divisiones. 2. Se hacen las sumas y las restas.

Ejemplo: -8 · 7 + 15 · (-2) = [ -8 · 7] + [ 15 · (-2)] = -56 + (-30) = -86 Se puede seguir el orden que se prefiera cuando:  En las operaciones hay solamente sumas y restas.  En las operaciones hay solamente multiplicaciones y divisiones.

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EJERCICIO 2 Realiza las siguientes operaciones: a) -16 + 8 · (-4) b) -12 · (-3) + 8 · (-5)

c) -9 · (-15) · (-2) d) -14 · 21 – 32 : (-4)

Operaciones con paréntesis

Para realizar una serie de operaciones con números enteros, se sigue este orden: 1º Se resuelven los paréntesis incluidos en cada corchete. 2º Se resuelven los corchetes. 3º Se hacen las multiplicaciones y divisiones. 4º Se hacen las sumas y las restas. Ejemplos: (36 : 2) · 3 + 6 = 18 · 3 + 6 = 54 + 6 = 60 -12 · 3 + 36 : (-12 : 6 + 8 ) -12 · 3 + 36 : (-2 + 8 ) -12 · 3 + 36 : 6 -36 + 6 -30 8 · [(-12 + 36) : 6 + (8-5) : (-3)] – 12 8 · [24 : 6 + 3 : (-3)] – 12 8 · [4 + (-1)] – 12 8 · 3 – 12 24 – 12 12

EJERCICIO 3 Calcula el valor de: -10 : [(-12 + 16) : (-2) + (12 – 3 · 5)] + 5 · [(-13 + 7) : (-1 + (-27) : (-9))]

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