TEMA 10: LA PARﾃ。OLA
FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es la que está definida por un polinomio de segundo grado. Su forma es: Su representación gráfica es una parábola que tiene:
Un vértice en el punto cuya coordenada x es
Un eje de simetría vertical en parábola, es decir,
Están definidas para todos los números reales Son continuas Son simétricas con respecto al eje de simetría Por un lado del vértice son creciente y por otro decrecientes Si a es positiva el vértice es un mínimo y la parábola es convexa Si a es negativa el vértice es un máximo y la parábola es cóncava
donde xV es la coordenada x del vértice de la
TRASLACIONES DE LA PARÁBOLA - Trasladar verticalmente n unidades hacia arriba una parábola +n - Trasladar verticalmente n unidades hacia abajo una parábola –n
y = x²
y = x² -2
y = x² +2
-Trasladar horizontalmente n unidades a la derecha una parábola
- Trasladar horizontalmente n unidades a la izquierda una parábola
y = x²
y = (x + 2)²
y = (x - 2)²
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Para calcular los puntos de corte con el eje y le damos a la x el valor 0 ( x = 0 ) y calculamos la y. Para calcular los puntos de corte con el eje x le damos a la y el valor 0 ( y = 0 ) y resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda para calcular los valores de la x. Puede tener:
Dos soluciones: la parábola corta al eje x en dos puntos Una solución: la parábola corta al eje x en un punto Ninguna solución: la parábola no corta al eje x en ningún punto
EJEMPLO: Calcular los puntos de corte con los ejes de la parábola y = x² - 4x + 3
Puntos de corte con el eje OX y=0 x² - 4x + 3 = 0
(3, 0)
(1, 0)
Punto de corte con el eje OY
x=0
(0, 3)
PUNTOS DE CORTE DE UNA RECTA CON UNA PARÁBOLA Para hallar los puntos de corte de una recta con una parábola, hay que resolver el sistema formado por las dos ecuaciones por el método de igualación. Puede tener:
Dos soluciones: la parábola corta a la recta en dos puntos Una solución: la parábola corta a la recta en un punto Ninguna solución: la parábola no corta a la recta en ningún punto
EJEMPLO 1 Calcular los puntos de corte de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.
Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: x2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x1=1
x2 = -2
Si x1 = 1, entonces y1 = 1. Si x2 = -2, entonces y2 = 4. Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente. Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.
EJEMPLO 2 Calcular los puntos de corte de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .
El sistema
tiene ahora una solución (3,-9).
Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.
EJEMPLO 3 Calcular los puntos de corte de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5. El sistema
no tiene solución y, por tanto, la recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.
PUNTOS DE CORTE DE DOS PARÁBOLAS Para hallar los puntos de corte de dos parábolas, hay que resolver el sistema formado por las dos ecuaciones por el método de igualación. Puede tener:
Dos soluciones: las parábolas se cortan en dos puntos Una solución: las parábolas se cortan en un punto Ninguna solución: las parábolas no se cortan en ningún punto
EJEMPLO Halla algebraicamente los puntos de corte de las siguientes parábolas: y = x2 – 2x – 3 y = –x2 – 2x + 5 Resolvemos el sistema de ecuaciones por igualación: x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x + 5 2x2 – 8 = 0 2x2 = 8
x2 = 4
x
Si la x = 2
Si la x = -2
y = 22 -
y = (-2)2 -
A(2, – 3)
B(– 2, 5)