TEMA 12: SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES
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.1. FIGURAS SEMEJANTE FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes cuando: - Tienen la misma forma [y, por lo tanto, sus ángulos son iguales]. - Sus lados son proporcionales: los de una figura se obtienen multiplicando a los de la otra por un número fijo, llamado razón de semejanza, r.
La razón de semejanza del cuadrado verde con respecto al azul es: r =2. Al ser proporcionales se puede establecer entre ellos las siguientes proporciones: -
Del cuadrado verde con respecto al azul. Las razones de sus lados forman esta proporción:
-
Del cuadrado azul con respecto al verde. Las razones de sus lados forman esta proporción:
TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales.
La razón de proporcionalidad se denomina razón de semejanza.
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.2. TEOREMA DE TALES Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula
.3. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
.4. MAPAS Y PLANOS. MAQUETAS. Cuando una persona va a comprar una casa lo mejor es verla para saber cómo es. Pero en muchas ocasiones se compra la casa sin estar construida aún, se dice que “se compra sobre plano”. Esto quiere decir que la empresa constructora muestra a la persona compradora unos planos de la vivienda: los de situación para saber en qué zona está situada, cómo son o van a ser las calles, si hay jardines, etc.
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Pero sobre todo interesan los planos de cómo va a ser nuestra casa, qué dimensiones va a tener, cuántas habitaciones va a tener, cómo estarán distribuidas, etc. Nos enseñan el plano de la planta, en el que se representa el suelo de la casa, para saber la distribución y dimensiones de las habitaciones, y el plano del alzado, para saber cómo va a ser el aspecto de nuestra casa vista desde la calle. Pues bien, para tener una idea exacta de cómo va a ser la casa que está comprando, la representación no debe ser un simple dibujo, sino que debe estar proporcionado, es decir que las medidas que se dan en el papel sean proporcionales a las de la realidad. Estas representaciones reciben el nombre de planos. Si lo que se representa es una superficie mayor recibe el nombre de mapa. Para saber la correspondencia (mejor estaría dicho, la razón de proporcionalidad) de las medidas del plano y las de la realidad se indica mediante la escala, que no es más que el cociente indicado entre la unidad y una cantidad que indica los cm, m, km... que le correspondería en la realidad a un cm, m, km... del plano o del mapa. Por ejemplo, si un plano tiene una escala 1:200 quiere decir que 1 cm del plano equivale a 200 cm (que son 2 m) en la realidad. Por lo tanto si la fachada de la casa mide en el plano 3´5 cm, en la realidad la casa medirá (3´5 · 200 = 700 cm = 7 m) 7 metros. Por lo tanto, sabiendo la escala en la que está hecho un plano, un mapa o una maqueta podemos conocer todas las medidas reales de lo que representa. EJEMPLO En un plano a escala 1:120 la superficie de un piso es de 75 cm 2. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el piso en la realidad? Si la escala es 1:120, significa que 1 cm del plano representa 120 cm reales luego 1cm2 representa 120×120 = 14.400 cm2 1 cm2---------------- 14.400 cm2 75 cm2--------------- x
cm2
x = 14.400 × 75 = 1.080.000 cm2 Pasando a metros: 1.080.000 cm2 = 108 m2 es la superficie real del piso
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