TEMA 14: ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
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.1. UNIDADES DE ÁREA
.2. UNIDADES DE VOLUMEN Y CAPACIDAD UNIDADES DE VOLUMEN
UNIDADES DE CAPACIDAD
.3. ÁREAS DE PRISMAS REGULARES
AL es el área de los rectángulos laterales y AB es el área de la base. Se multiplica porque 2 porque hay dos bases iguales: la de arriba y la de abajo.
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.4. ÁREAS DE PIRÁMIDES El área de una pirámide está conformado por:
.5. ÁREAS DE CILINDROS El área lateral del cilindro está determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo corresponde al perímetro de su base, es decir a 2 Π r, y cuyo ancho es la medida de la altura del cilindro, o sea h. Alateral = 2 π r . h Entonces, Atotal = 2 Π r h + 2 Π r2 Por lo tanto: Atotal = 2 Π r ( h + r )
.6. ÁREAS DE CONOS Su desarrollo plano consta de un círculo y un sector circular. El área es la suma del área de la base más el sector circular.
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.7. VOLUMEN DE PRISMAS El volumen de un prisma se calcula multiplicando el área de la base por su altura.
.8. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE El volumen de un prisma es 1/3 del área de su base por la altura.
.9. VOLUMEN DEL CILINDRO Al igual que en los prismas, el volumen se calcula multiplicando el área de su base por la altura.
.10. VOLUMEN DEL CONO Al igual que las pirámides, el volumen es 1/3 del área de su base por la altura.
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.11. VOLUMEN DE LA ESFERA
ntal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical. Recta Horizontal
Recta Vertical
Recta Oblicua
Los puntos Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Quedan determinados por dos rectas que se cortan. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
.2. POSICIONES DE RECTAS Y PLANOS A) Posiciones de dos planos
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Dos planos en el espacio pueden ser:
Paralelos: si nunca se cruzan.
Secantes: si se cortan.
Perpendiculares: si se cortan en ángulo recto.
b) Posiciones de dos rectas Las rectas pueden ser: Paralelas: son 2 rectas que están en el mismo plano y por mucho que se prolonguen hacia el infinito nunca se cortan. Secantes: son 2 rectas que están en el mismo plano y que se cortan, o bien aunque no se corten si se prolongan terminarían cortándose. Perpendiculares: son 2 rectas que están en el mismo plano y que se cortan formando cuatro ángulos rectos. Rectas que se cruzan: son 2 rectas que están en planos distintos.
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c) Posiciones de recta y plano
.3. ÁNGULOS DIEDROS Diedro es el ángulo que forman 2 planos que se cortan.
En un diedro se pueden distinguir: Arista: es la línea de corte de los dos planos. Cara: es cada uno de los planos que delimitan el diedro.
.4. POLIEDROS. -ELEMENTOS 7
El poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son todas ellas polígonos. Un polígono está formado por una línea poligonal cerrada y la superficie interior. Es una figura plana y todos sus lados son líneas rectas. En el poliedro distinguimos: Cara: es cada uno de los polígonos del poliedro. Arista: Es el segmento en el que se unen dos caras. Vértice: es el punto en el que se unen 3 o más caras. Diagonal: es el segmento que une dos vértices que no están en la misma arista.
En un poliedro se cumple la fórmula de Euler: Nºcaras + Nº vértices = Nº aristas + 2 Veamos un ejemplo: pirámide triangular 4 caras 4 vértices 6 aristas Por lo tanto: Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2 4+4=6+2 Si todos los polígonos que forman el poliedro son polígonos regulares y todos iguales, decimos que es un poliedro regular. Existen5 poliedros que cumplen estas condiciones y que por tanto son regulares: Tetraedro regular: formado por 4 (triángulos equiláteros). Cubo o hexaedro regular: formado por 6 caras (cuadrados). Octaedro regular: formado por 8 caras (triángulos equiláteros). Dodecaedro: formado por 12 caras (pentágonos regulares). Icosaedro regular: formado por 20 caras (triángulos equiláteros).
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.5. PRISMAS Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.
De sar r ol l o de l pr i s ma
El e me nt os de un pr i s ma
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.6. PIRÁMIDES La pirámide es un poliedro que tiene una sola base y tantas caras laterales en forma de triángulos como lados tenga la base y que se unen en un punto denominado vértice. Apotema: es el segmento que parte del centro de cada uno de los lados de la base y llega hasta el vértice. Mide la altura de sus caras laterales. Altura: es la distancia vertical que hay de la base al vértice de la pirámide. Según el número de lados que tiene la base, las pirámides pueden ser: Triangular (tetraedro): la base es un triángulo.
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Cuadrangular: la base es un cuadrilátero. Pentagonal: la base es un pentágono. Hexagonal: la base es un hexágono. Etc.
La pirámide puede ser recta u oblicua: Pirámide recta es aquella que la altura parte justamente del centro de la base y llega al vértice.
Pirámide oblicua es aquella que la altura no parte justamente desde el centro de la base; puede partir de otro punto de la base o incluso desde fuera de la base.
La pirámide puede ser también regular o irregular:
Pirámide regular: es una pirámide recta, cuya base es un polígono regular (triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono…) y que todas su caras laterales son iguales.
Si la base de una pirámide es un triángulo equilátero y sus caras laterales también son triángulos equiláteros se denomina tetraedro regular.
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