TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES
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TEMA 2 : POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS REALES 1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL Definición Las potencias son una forma abreviada de escribir algunas multiplicaciones. Una potencia es una expresión abreviada que se utiliza para escribir una multiplicación de factores iguales. La base es el factor que se repite. El exponente indica el número de veces que se repite Ejemplo: 35 = 3·3·3·3·3
La base, que es el número que se repite, es 3. El exponente es 5.
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados; 52 es el cuadrado de 5. Las potencias de exponente 3 se llaman cubos; 103 es el cubo de 10.
Potencias de base un entero negativo
¿Cómo se puede escribir esta multiplicación: (-3)·(-3)·(-3)·(-3)? La base es –3 y el exponente es 4: (-3)·(-3)·(-3)·(-3)= (-3)4 Esta potencia vale 81; es positiva porque resulta de multiplicar un número par de factores negativos. ¿Cómo se puede escribir (-5)·(-5)·(-5)? La base es –5 y el exponente es 3: (-5)·(-5)·(-5) = (-5)3 Esta potencia vale –125; es negativa porque resulta de multiplicar un número impar de factores negativos. Las potencias de base un entero negativo son: Enteros negativos, si el exponente es impar; Enteros positivos, si el exponente es par.
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Las propiedades
Producto de potencias de la misma base
El producto de varias potencias de la misma base es una potencia: con la misma base; con el exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Ejemplo: 75 · 72 · 74 = 75+2+4 = 711 Ejemplo: 42 · 45 · 43 = 42+5+3 = 410 Ejemplo: Calcular 23 · 22: a) Efectuando cada una de las potencias 23 · 22 = 8 · 4 = 32 b) Considerando la expresión como producto de potencias de la misma base. 23 · 22 = 23+2 = 25 = 32
Cociente de potencias de la misma base
El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia que tiene: la misma base; el exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Ejemplo: 65 : 63 = 65-3 = 62 = 36 Ejemplo: (-7)15 : (-7)13 = (-7)15-13 = (-7)2 = 49 Ejemplo: (-10)4 : (-10) = (-10)4-1 = (-10)3 = - 1.000 Ejemplo:
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923 : 915 = 923-15 = 98 Potencia
de una potencia
La expresión (52)4 es una potencia cuya base es también una potencia. Por eso se llama potencia de una potencia. (52)4 = 52 · 52 · 52 · 52 · 52+2+2+2 = 52·4 = 58 Una potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene: la misma base el exponente igual al producto de los exponentes. Ejemplo: (85)4 = 85·4 = 820 Producto
de potencias de distinta base e igual exponente
El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo. Ejemplo: Cociente
34 2 4 3 2 6 4 4
de potencias de distinta base e igual exponente
El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo. Ejemplo:
4 5 2 5 4 2 2 4 5
2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO ¿Potencias de exponente 1? No existen potencias de exponente 1, porque el exponente indica el número de veces que se repite la base , y no tiene sentido repetir una vez. Así, 21 no es una potencia. ¿Pero cómo se comporta 21?
Si multiplicamos, por ejemplo, a 24 por 2 tenemos: 24 · 2 = 16 · 2 = 32
Si aplicamos la propiedad estudiada obtenemos: 24 · 21 = 24+1 = 25 = 32
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Vemos que es lo mismo 2 que 21, pero nosotros escribiremos 2. Ejemplo: Calcular: (-2)4 · (-2) · (-2)2 = (-2)4+1+2 = (-2)7 = - 128
¿Potencias de exponente 0? Tampoco existen potencias de exponente 0, porque el exponente indica el número de veces que se repite la base, y no tiene sentido repetir cero veces. ¿Qué significa 50? ¿Cómo se comporta? ¿Cuál es su valor?
Por un lado, 53 : 53 = 125 : 125 = 1
Por otro, , 53 : 53 = 53-3 = 50
50 se comporta como si valiera 1. Por ello se acepta que cualquier número, tanto si es positivo como negativo, elevado a 0 vale 1. Ejemplos: 60 = 1 (-7)0 = 1
3. RAÍZ DE UN NÚMERO .- POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO n
a
n es el índice de la raíz y a se llama radicando
Para resolver por ejemplo 3 8 lo que intentamos es buscar un número que al elevarlo a 3 de cómo resultado 8. Este número es el 2, por lo tanto: 3
8 = 2
Si queremos escribir una raíz en forma de potencia, se hace mediante una potencia de exponente fraccionario. EJEMPLO 3
8 =8
1 3
4 4 3
1 3 2
4
3 2
3
5
1 5 3
2 (2 ) 2 5
5 3
Las propiedades que habíamos visto antes para las operaciones con potencias de exponente entero valen también para las potencias de exponente fraccionario.
4 .- CUADRADOS PERFECTOS Y RAÍCES CUADRADAS Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen elevando al cuadrado otros números. 9 = 32 = (-3)2 La raíz cuadrada exacta de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al primero.
a b b2 a
MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE LA RAÍZ CUADRADA En la imagen podemos ver cinco partes esenciales de la raíz cuadrada en el método de resolución:
1- Radical, no es más que el símbolo que indica que es una raíz cuadrada. 2- Radicando, es el número al que se le obtendrá la raíz cuadrada. 3- Renglón de la raíz cuadrada, ahí se distinguirá el resultado. 4- Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada. 5- Residuo, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.
Los pasos a seguir son estos:
Paso 1: Se separa el número del radicando (en el ejemplo, 5836.369) en grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si lo hubiera) hacia la derecha y hacia la izquierda. Si del lado de los decimales (a la derecha del punto, es decir 369) no hay un número par de cifras, es evidente que quedaría una suelta: en ese caso, se le añadiría un cero. Si del lado de los enteros (a la izquierda del punto, es decir, 5836) quedara un número suelto, se quedaría así. En la imagen de la derecha podemos ver el número 5836.369 dividido en grupos de dos cifras; después del número 9 se ha agregado un cero (en azul) pues en el lado decimal no puede haber un grupo de una cifra (en el ejemplo, esta separación quedaría así: 58/36.36/90)
Paso 2: Se busca un número que multiplicado por sí mismo (es decir, elevado al cuadrado) dé como resultado el número que coincida o que más se aproxime por debajo al primer grupo de números de la izquierda (en el ejemplo, 58). El resultado no puede ser mayor que 58. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la raíz. En este caso el número sería el 7, porque
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7x7 es 49. Otra posibilidad sería 6x6, pero daría 36 (lo que quedaría más alejado de 58) y 8x8, pero daría 64 (lo que excedería a 58).
Paso 3: El número elegido (7) es el primer resultado de la raíz cuadrada. En el paso anterior lo escribíamos en el cajetín de la derecha. Ahora lo multiplicamos por sí mismo. El resultado (49) se escribe debajo del primer grupo de cifras de la izquierda (58), y se procede a restarlo. El resultado de la resta (58-49) es 9. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras (36), con lo que la siguiente cifra de la raíz es ahora la unión del resultado de la resta anterior con las nuevas cifras bajadas (es decir, 936).Para continuar la extracción de la raíz cuadrada multiplicamos por 2 el primer resultado (7) y lo escribimos justo debajo de éste, en el siguiente renglón auxiliar (en la imagen, el 14 está escrito justo debajo del 7, ya que 7x2 es 14).
Paso 4: En este paso hay que encontrar un número n que, añadido a 14, y multiplicado por ese mismo n, de como resultado un número igual o inferior a 936. Es decir, podría ser 141x1, 142x2, 143x3... y así hasta 149x9. Muchas veces se utiliza el procedimiento de tanteo para hallar ese número, si bien se puede emplear el método de dividir las primeras dos cifras del residuo (93) entre el número del renglón auxiliar (14). La primera cifra del resultado que no sea cero, aunque sea un decimal, es, generalmente, la que buscamos. El resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. En este caso 93 dividido 2 entre 14 es 6. De manera que la operación buscada es 146x6= 876 (operación que añadimos en el renglón auxiliar). El siguiente resultado de la raíz cuadrada es 6. También procedemos a anotarlo en el radicando.
Paso 5: El procedimiento es el mismo que anteriormente. El resultado de la operación anterior (876) se coloca debajo del número procedente de la resta anterior (936) y se restan. Al resultado de la resta (60) se le añade el siguiente grupo de cifras del radical (en este caso, 36). Si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz. El nuevo número obtenido es 6036.
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Paso 6: Retomamos el procedimiento del paso 4. La cifra de la raíz (76) se multiplica por dos (resultando 152). Buscamos un número que añadido a 152 y multiplicado por ese mismo número nos dé una cantidad aproximada a 6036. Sería, por tanto, 1521x1, 1522x2, 1523x3, etc. Lo podemos hacer por tanteo, o por el procedimiento de dividir en este caso, las tres primeras cifras de la raíz por las tres primeras cifras de la línea auxiliar (nótese que antes eran las dos primeras cifras), es decir, 603/152 (el número buscado es 3, ya que el resultado es 3.9 y hemos dicho que la cifra que debemos tomar es la primera). La operación a realizar es, por tanto, 1523x3. El resultado (4569) se coloca bajo el último resto y se procede a hallar la diferencia (que es 1467). Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso. Obsérvese que el número a dividir entre renglón auxiliar y residuo va aumentado.
Paso 7: Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos (ignorando el punto de los decimales)(763 x 2 = 1526). El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelven a dividir los primeros cuatro números del residuo (1467) entre el resultado de la multiplicación (1526),(nótese que son las primeras cuatro cifras, cuando antes eran las tres primeras), lo que nos da un resultado de 0.9 (como decíamos antes, se toma el primer número que no sea cero aunque sea decimal, por lo tanto, la cifra buscada es 9). El nueve se agrega en el renglón de la raíz y el tercer renglón auxiliar, y se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369.
La raíz cuadrada de 5836.369 es 76.39, con un residuo de 0.9369. Recordemos que el cero es sólo un auxiliar. Es también que la operación anterior utilizada como ejemplo no está completa. Si la continuáramos daría como resultado 76.396132101 (con nueve decimales).
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