TEMA 4: POLINOMIOS
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TEMA 4 : LOS POLINOMIOS .1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una
e xp r e s i ó n
algebraica
es
una
c o m b i n a c i ón d e l e t r a s y n ú m e r o s l i g a d a s po r los
signos
sustracción,
de
las
operaciones:
multiplicación,
adición,
d i vi s i ó n
y
potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia: L = 2
r, donde r es el radio
de la circunferencia. Á r ea d el cu ad r ad o : S = l 2 , d o nd e l es e l l a d o d e l c ua d r a d o . V o l um en d el cub o : V = a 3 , d o nd e a es l a a r i s t a d e l c ub o .
.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA E l va l o r n ú m eri co d e u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a , p a ra u n d et erm i n a do va l o r, es el n ú m e r o q u e s e o b t i e n e a l s u s t i t u i r en é s t a p o r va l o r n u m é r i c o d a d o y r e a l i z a r l a s o p era ci o n es i n d i ca da s . A = l2 l = 5 cm
A( 5 ) = 5 2 = 25 c m 2
V ( a) = a 3 a = 5 cm
V ( 5 ) = 5 3 = 12 5 c m 3
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.3. CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS M o no m i o : U n m on o m io es u n a ex p r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r ma da po r
un solo
término. B i n o m i o : Un b i n om i o es u na e xp r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r ma da po r do s t é r m i n o s . T r i n o m i o : U n t r i n o m i o es un a ex p r e s i ó n a l g e b r a i c a fo r m a da p o r t r e s t é r m i n o s . P o l i n o m io : U n p o l i n om i o es u n a ex p r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r ma da po r m á s d e u n término.
.4. MONOMIOS Un
monomio
a l g eb ra i ca o p era ci o n es
en q ue
es
la
un a
q ue ap ar ece n
ex p r e s i ó n l as
ú ni c a s
e nt r e
las
var i ab l e s s o n el p ro d u ct o y l a p ot e n c i a d e ex p on en t e n a t u ra l . 2x2 y3 z
P a r t e s d e u n mo no m i o
C o ef i ci e n t e : E l c o e f i c i e n t e d e l m o n o m i o e s e l n ú m e r o q u e a pa r ece m u l t i p l i c a n d o a la s v a r i a b le s . Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y s u s ex p o n e n t e s . G r a d o : E l g r ad o d e un m o no m i o e s l a s u m a d e t o d o s l o s ex p on en t e s d e l a s l e t r a s o v a r i a b l e s . E l gr a d o d e 2x 2 y 3 z es : 2 + 3 + 1 = 6
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M o no m i o s s e m e j a n t e s D o s m o no m i o s s o n s e m e j a n t e s c u a n d o tienen la misma parte literal. 2 x 2 y 3 z e s s e m e j a nt e a 5 x 2 y 3 z
O p era c i o n e s c o n m on o m io s
S u ma d e Mo no m i o s Só l o p o d emo s s u m a r m o n om i o s s e m e j a n t e s . L a s u m a d e l o s m o n o mi o s e s
o t ro m on o m i o q u e t i en e l a m i s m a p a r t e l i t e r a l y c u yo c o e f i c i e n t e e s l a s u m a d e l o s co ef i ci en t e s . 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si l o s m o no m i o s no s o n s em e j a n t e s s e o b t i ene u n p o l i no m i o . 2x2 y3 + 3x2 y3 z
P rod u ct o d e u n n úm ero po r u n m on o m i o E l p r o d uct o d e un nú m er o p o r un m o no m i o e s o t r o m on o m i o s e m e j an t e c u yo
co ef i ci en t e e s el p ro d u ct o d el co e f i c i e n t e d e m o no m i o p o r e l nú m e r o . 5 · 2x 2 y 3 z = 10 x 2 y 3 z
P rod u ct o d e m on o m io s E l p r o d uct o d e m o no m i o s e s o t r o m o n o m io q ue t i e ne p o r c o e f i c i e n t e e l
p ro d u ct o d e l o s co ef i ci en t e s y c u ya p a r t e l i t e r a l s e o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o la s p o t en ci a s q u e t en ga l a m i s m a ba s e . 5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
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C o ci en t e d e m o n om i o s Só l o s e p ued e n d i v i d i r m o no m i o s c o n l a m i s m a p a r t e l i t e r a l y c o n e l gr a d o d e l
d i vi d end o m ayo r o i gual q ue el gr a d o d e l a va r i a b l e c o r r e s p o nd i e nt e d e l d i vi s o r . E l co ci ent e d e m o no m io s e s o t r o m on o m i o q ue t i e ne p o r c o e f i c i e n t e e l co ci en t e d e l o s co ef i ci en t es y c u ya p a r t e l i t e r a l s e o b t i e n e d i v i d i e n d o l a s p o t en ci a s q u e t en ga l a m i s m a ba s e .
Si el gr ad o d el d i vi s o r es m a yo r , o b te ne m o s u na f r a c c i ó n a l ge b r a i c a .
P o t en ci a d e un mo no m i o P ar a r ea l i z ar l a p o t e nci a d e un m o no m i o s e e l e va , c a d a e l e m e nt o d e é s t e , a l
ex p o nent e d e l a p o t enc i a. (2 x 3 )3 = 2 3 (x3 )3 = 8 x9 ( − 3 x 2 ) 3 = ( - 3 ) 3 ( x 2 ) 3 = −2 7x 6
.5. POLINOMIOS U n p o l i n o m io es una ex p r es i ó n a l ge b r a i c a d e l a f o r m a : P (x ) = a n x n + a n
- 1
Si e nd o a n , a n
xn
-1
- 1
+ an
- 2
xn
- 2
+ ... + a1 x1 + a0
. . . a 1 , a o núm e r o s , l l a m a d o s c o e f i c i e n t e s .
n u n nú m ero na t u ra l
x l a va r i a b l e o i n d e t e r m i n a d a.
a n es el co ef i ci en t e p ri n ci p a l
ao es el término independiente.
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Gra d o d e un po l i n o m i o E l gr ad o d e u n po l i n o m i o P ( x ) es el m a yo r e x p o ne nt e a l q u e s e e n c u e n t r a e l e va d a l a va r i ab l e x . V a l o r nu m éri co d e u n p o l i no m i o E s el re s u l t a d o qu e ob t en em o s a l s u s t i t u i r l a va r i a b l e x p o r un nú m e r o c u a l q u i e r a . P ( x ) = 2x 3 + 5x - 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
C l a s i f i ca ci ó n d e po l i n o m io s P o l i n o m io nu l o E l p o l i no m i o nul o t i en e t o d o s s u s co e f i c i e nt e s n ul o s . P o l i n o m io ho mo g én e o E l p o l i no m i o hom o géneo t i en e t o d o s s u s t é r m i no s o m o no m i o s c on e l mi s m o gr a d o . P ( x ) = 2x 2 + 3x y P o l i n o m io h et ero g én e o Lo s t érm i n o s d e un p o l i n o m i o h et ero g é n e o s o n d e d i s t i n t o g r a do . P ( x ) = 2x 3 + 3x 2 – 3 P o l i no m i o co mp l et o
U n po l i no m i o co mp l et o t i en e t o d o s l o s t é r m i no s d e s d e e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e h a s t a e l t é rm i n o d e m a yo r g ra do . P ( x ) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3
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P o l i n o m io o rd ena d o U n po l i no m i o es t á o r d enad o s i l o s m o no m i o s qu e l o f o r ma n e s t á n e s c r i t o s d e m a yo r a m eno r gr ad o . P ( x ) = 2x 3 + 5x - 3 P o l i n o m io s i g ua l e s D o s po l i n o m i o s s on i gu a l es s i ve ri f i c a n : 1 Lo s d o s p o l i no m i o s t i ene n el m i s m o g r ad o . 2 Lo s co ef i ci en t es d e l o s t ér m i no s d el m i s m o gr a d o s o n i g u a l e s . P ( x ) = 2x 3 + 5x - 3 Q ( x ) = 5x - 3 + 2x 3
P o l i n o m io s s em ej a n t es D o s po l i n o m i o s s on s em ej a n t es s i v e r i f i c a n q u e t i e n e n l a m i s m a p a r t e l i t e r a l . P ( x ) = 2x 3 + 5x − 3 Q ( x ) = 5x 3 − 2x − 7
.6. CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS M o no m i o
E s u n p o l i no m i o q u e con s t a d e un s ó l o mo no m i o .
P (x ) = 2x 2
B i no m i o E s u n p o l i no m i o q u e con s t a d e do s m o no m i o s . P ( x ) = 2x 2 + 3x T ri n o m i o E s u n p o l i no m i o q u e con s t a d e t r es m o no m i o s . P ( x ) = 2x 2 + 3x + 5
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.7. OPERACIONES CON POLINOMIOS
S u ma d e po l i n o m io s P ar a s um ar d o s p o l i no m i o s s e s um a n l o s c o e f i c i e nt e s d e l o s t é r m i no s d e l m i s m o gr ad o .
P ( x ) = 2 x 3 + 5x - 3
Q (x ) = 4 x - 3 x 2 + 2 x 3
1 O r d e nam o s l o s p o l i no m i o s , s i no l o e s t á n. Q ( x ) = 2x 3 - 3x 2 + 4x P ( x ) + Q ( x ) = ( 2 x 3 + 5 x - 3 ) + ( 2x 3 - 3 x 2 + 4x ) 2 Agr up am o s l o s m o no m i o s d e l m i s m o gr a d o . P ( x ) + Q ( x ) = 2x 3 + 2x 3 - 3 x 2 + 5x + 4 x - 3 3 Sum am o s l o s m o no m i o s s em e j a n t e s . P ( x ) + Q ( x ) = 4x 3 - 3 x 2 + 9 x - 3 La D I F E R E N C I A co ns i s t e en s u m a r e l o p u e s t o d e l s u s t r a e n d o . P ( x ) − Q ( x ) = (2 x 3 + 5 x - 3 ) − ( 2x 3 - 3 x 2 + 4 x ) P ( x ) − Q ( x ) = 2x 3 + 5x - 3 − 2x 3 + 3 x 2 − 4x P ( x ) − Q ( x ) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4 x - 3 P(x) − Q(x) = 3 x2 + x – 3
P rod u ct o d e po l i n o m i o s
P r od u ct o d e u n n úm ero po r u n p o li n o m i o : E s o t r o po l i no m i o qu e t i e n e d e gr a d o e l m i s m o d el p o l i no m i o y co mo co ef i ci e nt e s e l p r o d uc t o d e l o s c o e f i c i e nt e s d e l p o l i no m i o p o r el nú m er o . 3 · ( 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x - 2 ) = 6 x 3 - 9 x 2 + 1 2x - 6
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P rod u ct o d e u n m on o m io po r u n po l i n o m i o Se m u l t i p l i ca el m o n o m i o p o r t o d os y c a d a uno d e l o s m o n o m i o s q u e f o r m an
el p o l i n o m i o . 3 x 2 · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4 x - 2 ) = 6 x 5 - 9 x 4 + 12 x 3 - 6 x 2
P rod u ct o d e po l i n o m i o s P ( x ) = 2x 2 - 3
Q ( x ) = 2x 3 - 3 x 2 + 4x
S e m u l t i p l i ca ca d a m on o m io d el pri m e r p o l i n o m i o p o r t o do s l o s e l e m e n t o s s e g u n d o p o l i n o m io . P ( x ) · Q ( x ) = (2 x 2 - 3 ) · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4 x ) = = 4 x 5 − 6 x 4 + 8 x 3 − 6 x 3 + 9 x 2 − 1 2x = = 4x5 − 6x4
S e s u m a n l o s m on o m io s d el m i s m o g r a d o. + 2 x 3 + 9 x 2 − 1 2x
S e o b t i en e o t ro p o l i n o m i o cu yo g ra d o e s l a s u m a d e l o s g r a do s d e l o s po l i n o m i o s q u e s e m u l t i p l i c a n .
.8. IGUALDADES NOTABLES
B i no m i o a l cua d ra do ( a + b ) 2 = a 2 +2 · a · b + b 2 (x + 3)2 = x
2
(a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2 = x
2
+ 6 x + 9
( 2 x − 3 ) 2 = (2 x ) 2 − 2 · 2 x · 3 + 3
2
= 4x2 − 12 x + 9
+ 2 · x ·3 + 3
2
9
Su ma po r d i f eren ci a (a + b) · (a − b) = a 2 − b2 ( 2 x + 5 ) · ( 2 x - 5 ) = ( 2 x ) 2 − 5 2 = 4 x 2 − 25
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