TEMA 8: FUNCIONES: PROPIEDADES GLOBALES
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.1. COORDENADAS CARTESIANAS En geometría plana, dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones. El eje x es horizontal y se llama eje de abscisas. Los valores positivos de x están a la derecha. Los valores negativos de x están a la izquierda.
El eje y es perpendicular a él. Se llama eje de ordenadas. Los valores positivos de y están hacia arriba. Los valores negativos de y están hacia abajo.
Al punto de intersección de los dos ejes se le llama origen (O). Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que representan las distancias a los dos ejes. Por ejemplo, el punto (3, 1) es el punto que se encuentra alejado 3 unidades del eje y en la dirección positiva del eje x y a 1 unidad del eje x en la dirección positiva del eje y. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes: I, II, III y IV, tal como se ve en la figura.
.2. FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICAS A parir de una fórmula, como por ejemplo la del área de un cuadrado, podemos obtener una tabla. Fórmula:
Tabla:
A = l2
Lado (l) Área (A)
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
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Y a partir de ella una gráfica: La variable lado se llama variable independiente, y la variable área, A, variable dependiente.
.3. CONCEPTO DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos variables de forma que, a cada valor de la variable independiente x, le corresponde un único valor de la variable dependiente y. La imagen es el único valor que obtenemos de la y para cada valor de la x.
Esta gráfica no es una función.
Funciones polinómicas y racionales Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio; una función racional es aquella que está definida por un cociente de polinomios. Para este curso, las más importantes son rectas, parábolas e hipérbolas.
RECTA
PARÁBOLA
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HIPÉRBOLA
-
En una recta la x aparece sin exponente, x.
-
En una parรกbola la x aparece al cuadrado, x2.
-
En una hipรฉrbola la x aparece en un denominador,
Formas de expresar una funciรณn Una funciรณn se puede expresar por un enunciado, una tabla, una grรกfica y una fรณrmula o expresiรณn algebraica.
.4. CONTINUIDAD Y PERIODICIDAD. Continuidad Una funciรณn es continua si la grรกfica se pude dibujar de un solo trazo, es decir, la grรกfica no se rompe.
Una funciรณn es discontinua si la grรกfica no se puede dibujar sin levantar el lรกpiz del papel.
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Funciones periódicas Una función es periódica si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Se llama periodo a la longitud de dicho intervalo.
.5. CRECIMIENTO Y PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Crecimiento y decrecimiento Una gráfica es creciente cuando, al aumentar los valores de la variable independiente x, la variable dependiente y aumenta. La gráfica es decreciente cuando, al aumentar los valores de la variable independientex, la variable dependiente y disminuye.
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Máximos y mínimos relativos
Máximo relativo: es un punto en que el valor de la función es mayor que en los puntos que están muy próximos.
Mínimo relativo: es un punto en que el valor de la función es menor que en los puntos que están muy próximos.
Concavidad y convexidad Una función es convexa si su gráfica tiene la forma (U). Una función es cóncava si su gráfica tiene la forma (∩).
Puntos de corte con los ejes a) Corte con el eje X Los puntos de corte de una función con el eje X se obtienen igualando a cero la expresión de la función y resolviendo la ecuación. b) Corte con el eje Y Los puntos de corte de una función con el eje Y se obtienen sustituyendo el valor de x=0 en la fórmula de la función.
EJEMPLO: Corte con el eje X: A(1,0) y B(2,0) Corte con el eje Y: C(0,2)
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.6. Simetrías Simetrías respecto del eje de ordenadas Y Una función es par cuando se cumple que f(-x)=f(x), es decir, al cambiar el valor x por su opuesto –x se obtiene el mismo valor de la ordenada y. Una función par tiene una gráfica simétrica respecto del eje Y.
.7. Interpretación conjunta de gráficas Para interpretar conjuntamente dos gráficas, se recorre el eje X de izquierda a derecha según los valores de las abscisas, prestando especial atención a los puntos de corte de las gráficas y a lo que sucede entre estos dos puntos.
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