TEMA 8: ESTUDIO GLOBAL DE LAS FUNCIONES
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CARACTERÍSTICAS GLOBALES DE LAS FUNCIONES .1. FUNCIONES Función Una función es una relación entre dos variables de forma que, a cada valor de la variable independiente x, le corresponde un único valor de la variable dependiente y. El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente x. La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y.
Funciones polinómicas y racionales Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio; una función racional es aquella que está definida por un cociente de polinomios. Para este curso, las más importantes son rectas, parábolas e hipérbolas.
REC TA PARÁBOLA HIPÉRBOLA
Formas de expresar una función Una función se puede expresar por un enunciado, una tabla, una gráfica y una fórmula o expresión algebraica.
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.2. CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Y PERIODICIDAD. Continuidad Una función es continua si la gráfica se pude dibujar de un solo trazo, es decir, la gráfica no se rompe.
Una función es discontinua si la gráfica no se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.
Las discontinuidades pueden presentarse porque:
La variable independiente es discreta Si la variable independiente x toma valores discretos, la gráfica será una función de puntos.
Hay un salto Si la función da un salto en un punto.
Asíntota vertical Una asíntota vertical es una recta vertical x=s, de forma que, cuando el valor de x está muy próximo a s, la función toma valores muy grandes o muy pequeños. Se dice que la función tiende hacia más o menos infinito. En el valor de la abscisa x=s, la función es discontinua.
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Asíntota vertical en x=1.
Asíntota horizontal Una asíntota horizontal es una recta horizontal y=r, a la que se acerca la gráfica de la función cuando la variable independiente se aleja del origen.
Asíntota vertical en x=1 y asíntota horizontal en y=1
Funciones periódicas Una función es periódica si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Se llama periodo a la longitud de dicho intervalo.
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.3. CRECIMIENTO Y PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Crecimiento y decrecimiento Una gráfica es creciente cuando, al aumentar los valores de la variable independiente x, la variable dependiente y aumenta. La gráfica es decreciente cuando, al aumentar los valores de la variable independientex, la variable dependiente y disminuye.
Máximos y mínimos relativos Máximo relativo: es un punto en que el valor de la función es mayor que en los puntos que están muy próximos.
Mínimo relativo: es un punto en que el valor de la función es menor que en los puntos que están muy próximos.
Concavidad y convexidad Una función es convexa si su gráfica tiene la forma (U). Una función es cóncava si su gráfica tiene la forma (∩).
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Puntos de corte con los ejes a) Corte con el eje X Los puntos de corte de una función con el eje X se obtienen igualando a cero la expresión de la función y resolviendo la ecuación. b) Corte con el eje Y Los puntos de corte de una función con el eje Y se obtienen sustituyendo el valor de x=0 en la fórmula de la función.
EJEMPLO: Corte con el eje X: A(1,0) y B(2,0) Corte con el eje Y: C(0,2)
.4. TRASLACIONES - Trasladar verticalmente n unidades hacia arriba una función y =f(x) y = f(x) + n - Trasladar verticalmente n unidades hacia abajo una función y =f(x)
y = f(x) – n
- Trasladar horizontalmente n unidades a la derecha una función y =f(x) y= f(x–n) - Trasladar horizontalmente n unidades a la izquierda una función y =f(x) y= f(x+n)
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.5. Simetrías Simetrías respecto del eje de ordenadas Y Una función es par cuando se cumple que f(-x)=f(x), es decir, al cambiar el valor x por su opuesto –x se obtiene el mismo valor de la ordenada y. Una función par tiene una gráfica simétrica respecto del eje Y.
.6. Interpretación conjunta de gráficas Para interpretar conjuntamente dos gráficas, se recorre el eje X de izquierda a derecha según los valores de las abscisas, prestando especial atención a los puntos de corte de las gráficas y a lo que sucede entre estos dos puntos.
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