Ondas

Rafael Torres

F´ısica III – Oscilaciones, Ondas y Part´ıculas – Universidad Industrial de Santander 17/11/2008 – 3 de noviembre de 2009

Springer

´ Indice general

Parte I Oscilaciones (19 horas) 1.

Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Movimiento peri´odico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1. Movimiento arm´onico simple (MAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3. Movimiento pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.4. Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.5. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Superposici´on de movimientos arm´onicos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1. Superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples de igual frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2. Superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples de diferente frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3. Combinaci´on de dos MAS perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4. Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1. Oscilador sobre-amortiguado y oscilador cr´ıticamente amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2. Oscilador Sub-amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3. Energ´ıas de las oscilaciones sub-amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 4 5 7 8 8 9 10 11 11 13 13 14 14 16 18

2.

Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Fuerza impulsora peri´odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. Fuerza impulsora arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2. Energ´ıa en el r´egimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3. Potencia en el r´egimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Resonancia en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2. Resonancia en potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Taller - Analog´ıas con un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 19 21 22 23 23 24 26 26

Parte II Ondas 3.

Ondas mec´anicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Ecuaci´on de onda y funci´on de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1. Clasificaci´on de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2. Ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Ondas en cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1. Ecuaci´on de onda en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2. Coeficientes de reflexi´on y transmisi´on en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3. Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.4. Ondas estacionarias en una cuerda fija en solo un extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.5. Taller (1 hora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Ondas en gases, sonido, tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1. Ondas de deformaci´on (1 hora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 30 31 31 31 33 37 38 40 40 40 

´Indice general



3.3.2.

3.3.3.

3.3.4.

3.3.5.

3.3.6.

3.3.7.

3.3.8.

4.

Ondas de presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ondas de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ondas de sonido en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ondas estacionarias en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pulsaciones (medios dispersivos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Velocidad de fase y de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 42 44 45 47 48 48

Ondas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Ondas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1. La luz, su naturaleza y velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2. Ondas arm´onica (Monocrom´aticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3. Onda arm´onica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4. Onda esf´erica arm´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. Energ´ıa, potencia y vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1. Caso de una onda arm´onica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. Propiedades de las ondas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1. Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5. Propagaci´on de Ondas Electromagn´eticas en no-conductores (Diel´ectricos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.2. Escuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.3. Ecuaci´on de onda en un medio homog´eneo, lineal e is´otropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.4. Condiciones de frontera para diel´ectricos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6. Leyes fundamentales de la o´ ptica geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.1. Reflexi´on y Refracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.2. Coeficientes de reflexi´on y trasmisi´on bajo incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.1. Interferencia de dos ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.2. Experimento de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8. Desde una teor´ıa vectorial a una teor´ıa escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8.1. Principio de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8.2. Difracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.9. La fibra o´ ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 51 52 52 52 54 54 55 55 56 56 58 58 58 59 61 62 62 63 64 64 68 69 69 69 74

Parte III Fundamentos de f´ısica moderna 5.

Introducci´on a la f´ısica cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. El problema de la radiaci´on, radiaci´on del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2. Distribuci´on de la densidad de energ´ıa de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.3. Distribuci´on de la densidad de energ´ıa de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.4. Distribuci´on de la densidad de energ´ıa de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Efecto fotoel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1. Experimento de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.2. Experimento de Hallwachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.3. Experimento de J.J. Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.4. Explicaci´on de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4. Espectros at´omicos y modelos at´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5. Los Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6. El efecto L´aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7. Dualidad en la materia, ondas de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.1. Difracci´on de electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.2. Principio de Heisemberg y relaciones de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 77 77 79 80 80 80 80 80 81 81 81 81 81 81 81

Parte I

Oscilaciones (19 horas)

El estudio de las oscilaciones es indispensable para el entendimiento de muchos fen´omenos f´ısicos, de all´ı la importancia de este campo en ciencias e ingenier´ıas. Ejemplos de sistemas f´ısicos oscilantes se encuentran en los instrumentos musicales, en los seres vivos, entre otros.

Un sistema puede ser un oscilador si posee un estado que podemos llamar de equilibrio estable, al cual el sistema retornar´a si se le retira mediante la acci´on de una “fuerza”, la fuerza de retorno se le denomina fuerza recuperadora.

Cap´ıtulo 1

Oscilaciones libres

Los movimientos de un sistema cerrado que ha recibido una excitaci´on inicial y luego se le permite oscilar libremente sin mas influencia, se le denomina oscilaciones libres. Estas oscilaciones libres son producidas por la acci´on de fuerzas intr´ınsecas del sistema.

1.1.

Movimiento peri´odico

Los sistemas oscilantes (vibrantes) pueden oscilar de muchas formas, las caracter´ısticas particulares de las oscilaciones dependen de la “forma” que tenga la fuerza. En general la fuerza se escribe F(x) = −[k1 (x − x0 ) + k2 (x − x0 )2 + k3 (x − x0 )3 + · · · ] ,

(1.1)

donde el signo negativo indica que la acci´on, de esta fuerza, es contraria al desplazamiento al rededor de un punto x0 , y los coeficientes k1 , k2 , k3 , . . . , kn deben ser tales que la funci´on Z (1.2)

0

F(x)dx ,

U(x) = x

tenga un m´ınimo relativo en x = x0 (t´ıpicamente x0 = 0, ver figura 1.1). Por esta raz´on, se les denominan fuerzas recuperadoras.

F(x) x0

a)

x

F(x) = −k(x − x0 )

U(x) x

b) x0

Figura 1.1 Ilustraci´on de una fuerza recuperadora, la curva a trazos corresponde a la aproximaci´on (x − x0 ) (x − x0 )2 · · · a) F(x) b) U(x)

3

4

1 Oscilaciones libres

1.1.1.

Movimiento arm´onico simple (MAS)

Tomando el caso x0 = 0 y haciendo uso de la segunda ley de Newton 1 d2 x = − (k1 x + k2 x2 + k3 x3 + · · · ) , m dt2

(1.3)

esta no es la ecuaci´on de un oscilador anarm´onico.

Para peque˜nos desplazamientos, podemos considerar x x2 x 3 · · ·

(1.4) con esto se justifica (1.5)

F(x) = −kx ,

y luego k d2 x =− x , 2 m dt

(1.6)

esta es la ecuaci´on diferencial (ecuaci´on del movimiento) de un oscilador arm´onico.

La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial est´a dada por (1.7)

x(t) = A sin(ωt + ϕ0 )

o´

x(t) = A cos(ωt + φ0 ) ,

√ donde ω = k/m = 2πν, con ν = 1/T .

A Amplitud [A] metros T Periodo [T ] Segundos ωt + ϕ0 fase [ωt + ϕ0 ] Radianes ϕ0 fase inicial [ϕ] Radianes ω frecuencia angular [ω] Rad./seg. ν frecuencia [ν] ciclos/seg.

Caracter´ısticas del MAS x(t) = A sin(ωt + ϕ0 ) x0 = A sin(ϕ0 ) dx v x (t) = dt = ωA cos(ωt + ϕ0 ) v0 = ωA cos(ϕ0 ) 2 a x (t) = ddt2x = −ω2 A sin(ωt + ϕ0 ) a0 = −ω2 A sin(ϕ0 ) Se tiene ϕ0 = arctan(ωx0 /v0 ). v2x = ω2 A2 cos2 (ωt + ϕ0 ) h i = ω2 A2 1 − sin2 (ωt + ϕ0 ) ,

(1.8) (1.9) luego

h i v2x = ω2 A2 − x2 .

(1.10)

1.1.2.

Sistema masa-resorte

Este es un sistema t´ıpico (ver figura 1.2), en el que la fuerza tiene la forma (1.11)

F(x) = −(k1 x + k2 x2 + k3 x3 + · · · ) ,

para un resorte que es estirado “demasiado”, lo cual indica que en general un sistema masa resorte no es un oscilador arm´onico.

Para peque˜nos desplazamientos se puede aproximar F(x) = −kx, cuya soluci´on tiene la forma (1.12)

x(t) = A sin(ωt + ϕ0 ) ,

1.1 Movimiento peri´odico

5

m 1 0 k 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0000000000000000000000 1111111111111111111111 0000000000000000000000 1111111111111111111111 x

0 Figura 1.2 Sistema masa-resorte

donde ω =

1.1.2.1.

√ k/m.

Resorte vertical

1111111111111111111111 0000000000000000000000 0000000000000000000000 1111111111111111111111

k

0

x0 k = mg

m

x0

Figura 1.3 Resorte vertical

En este caso la fuerza viene dada por F(x0 ) = −kx0 + mg (ver figura 1.3), la masa oscilar´a en torno a la posici´on x0 , con esto F(x0 ) = −kx0 + mg = 0, as´ı desplazando el origen de coordenadas por x0 = x + x0 se tiene F(x) = −kx.

1.1.3.

Movimiento pendular

1.1.3.1.

P´endulo f´ısico

Para este p´endulo se tiene τ(θ) = −mgRCM sin θ (1.13)

= −mgRCM (θ −

1 3 1 5 θ + θ +···), 3!

5!

6

1 Oscilaciones libres y

111111111111111 000000000000000 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 O 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 θ CM 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 O0 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111

z

x

−mg

Figura 1.4 P´endulo f´ısico

donde RCM es la distancia desde el punto de giro O hasta el centro de masa CM (ver figura 1.4). N´otese que el pendulo f´ısico 2 tampoco es en general un oscilador arm´onico. Sabiendo que τ(θ) = I ddt2θ (segunda ley de Newton) y para peque˜nos a´ ngulos d2 θ −mgRCM = θ, I dt2

(1.14)

donde I es el momento de inercia del solido respecto al eje de oscilaci´on, y ω =

1.1.3.2.

p mgRCM /I.

P´endulo de torsi´on

11111111111111111111111 00000000000000000000000 00000000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111111111111

111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 000000000000000000 111111111111111111 k

CM

y

θ

x

Figura 1.5 P´endulo de torsi´on

Para este p´endulo, la magnitud del momento de fuerza (o torque) viene dado por

1.1 Movimiento peri´odico

7

τ = −(k1 θ + k2 θ2 + k3 θ3 + · · · ) ,

(1.15)

en la cual el signo negativo indica que el torque es contrario al sentido de la rotaci´on.

1.1.3.3.

P´endulo esf´erico

11111111111111111111111 00000000000000000000000 00000000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111111111111

θ l

−m1 g

r

−m2 g

Figura 1.6 P´endulo de esf´erico

Tarea

P´endulo simple Tarea

1.1.4.

Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple

La energ´ıa potencial en la posici´on x, se calcula por medio del trabajo que hace el sistema desde la posici´on x hasta el punto de equilibrio x = 0. Si la fuerza es (1.16)

F(x) = −mω2 x ,

entonces la energ´ıa potencial se escribe Z (1.17) (1.18)

UP =

0

F(x)dx Z x 2 = mω xdx , x

0

luego (1.19)

1 U P = mω2 x2 , 2

8

1 Oscilaciones libres

y la energ´ıa cin´etica es 1 U K = mv2x .

2

(1.20)

E

U P (x0 ) + U K (x0 )

E0 = 12 mω2 A2

U K (x0 ) UK

U P (x0 )

x x0 −A

0 A UP

Figura 1.7 Curvas de energ´ıa potencial y cin´etica

La energ´ıa total E0 es la suma de la energ´ıa cin´etica m´as la energ´ıa potencial, luego 1 1 1 E0 = U P + U K = mω2 x2 + mv2x = mω2 A2 , 2 2 2

(1.21)

donde se ha utilizado la ecuaci´on 1.10, aqui es claro que la energ´ıa potencial m´axima U Pmax es igual a la energ´ıa cin´etica m´axima U K max , es decir, 1 U Pmax = U K max = mω2 A2 .

2

(1.22)

1.1.5.

1.2.

Taller Superposici´on de movimientos arm´onicos simples

Para estudiar la superposici´on de dos MAS, es u´ til emplear la representaci´on en un diagrama de fasores de una oscilaci´on, en donde a un oscilador cuya funci´on est´a dada por (1.23)

x(t) = A cos(ωt + ϕ0 ) ,

le corresponde el vector x = [A, ωt + ϕ0 ] en coordenadas polares (ver figura 1.8).

N´otese que la componente en el eje x es precisamente la funci´on 1.23.

1.2 Superposici´on de movimientos arm´onicos simples

9

y

A

ωt + ϕ0

x

Figura 1.8 Fasor asociado al arm´onico x(t)

1.2.1.

Superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples de igual frecuencia

y

A A2

ϕ2 − ϕ1 ϕ

A1

ωt + ϕ1

x

ωt + ϕ2 Figura 1.9 Diagrama de fasores de la superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples de igual frecuencia

Para dos osciladores de igual frecuencia (1.24) (1.25)

x1 (t) = A1 cos(ωt + ϕ1 ) , x2 (t) = A2 cos(ωt + ϕ2 ) ,

con x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A cos(ωt + ϕ) . El resultado de la superposici´on es otro movimiento arm´onico simple (ver figura 1.9).

La amplitud resultante es (1.26)

A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ,

y la fase se da por (1.27)

tan ϕ =

A2 sin(ϕ2 − ϕ1 ) .

A1 + A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

10

1 Oscilaciones libres

Si ϕ2 − ϕ1 = 0 entonces A = A1 + A2 , con ϕ = 0.

Si ϕ2 − ϕ1 = π entonces A = |A2q − A1 |, con ϕ = 0, π.

Si ϕ2 − ϕ1 = π/2 entonces A =

1.2.2.

A21 + A22 , con ϕ = arctan(A2 /A1 ).

Superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples de diferente frecuencia

Sean (1.28) (1.29)

x1 (t) = A1 cos(ω1 t + ϕ1 ) x2 (t) = A2 cos(ω2 t + ϕ2 ) ,

la amplitud resultante es A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos[(ω2 − ω1 )t + (ϕ2 − ϕ1 )] ,

(1.30)

dado que la amplitud de la oscilaci´on resultante tiene una dependencia temporal, la oscilaci´on resultante no es arm´onica.

Hay la posibilidad que se d´e un movimiento peri´odico, para esto es necesario que las oscilaciones sean conmensurables, es decir, que T = n1 T 1 = n2 T 2 .

1.2.2.1.

Superposici´on de dos MAS de frecuencias muy parecidas (pulsaci´on o batido)

Si las frecuencias ω1 y ω2 son pr´oximas, tal que ω1 ≈ ω2 , entonces

x(t)

cos(ωt + ϕ) ϕm ωm

t

ϕ ω

Pulso A(t) = 2A cos(ωm t + ϕm )

Figura 1.10 Pulsaci´on

(1.31)

x(t) = A[cos(ω1 t + ϕ1 ) + cos(ω2 t + ϕ2 )] " ! !# (ω2 + ω1 )t + (ϕ2 + ϕ1 ) (ω2 − ω1 )t + (ϕ2 − ϕ1 ) = A 2 cos cos , 2 2

as´ı |ω2 − ω1 | ω2 + ω1 .

1 Definiendo ωm = ω2 −ω 2 , ϕm = (1.32) podemos escribir

ϕ2 −ϕ1 2 ,

ω=

ω2 +ω1 2

yϕ=

ϕ2 +ϕ1 2 ,

adem´as

A(t) = 2A cos(ωm t + ϕm ) ,

1.2 Superposici´on de movimientos arm´onicos simples

11

(1.33)

x(t) = A(t) cos(ωt + ϕ) .

Tampoco el resultado es arm´onico, dado que la amplitud es una funci´on que depende del tiempo, pero aparece una periodicidad en la amplitud modulada A(t) (ver figura 1.10), esta amplitud es una funci´on que var´ıa lentamente con comparaci´on con la funci´on cos(ωt +ω). A ωm y ϕm las llamaremos frecuencia y fase inicial de modulaci´on respectivamente, a ω y ϕ las llamaremos frecuencia y fase inicial medias respectivamente.

1.2.3.

Combinaci´on de dos MAS perpendiculares

1.2.3.1.

Frecuencias iguales

(1.34) (1.35)

x(t) = A1 cos ωt y(t) = A2 cos(ωt + ∆ϕ) ,

q p 1. Si ∆ϕ = 0, entonces y = AA12 x movimiento rectil´ıneo, con r = x2 + y2 = A21 + A22 cos ωt.

2. Si ∆ϕ = π/2, entonces x(t) = A1 cos ωt y y(t) = −A1 sin ωt, luego x2 y2 + = 1, A1 A2

(1.36)

movimiento el´ıptico, en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

3. Si ∆ϕ = 3π/2, entonces x(t) = A1 cos ωt y y(t) = A1 sin ωt, luego x2 y2 + = 1, A1 A2

(1.37)

movimiento el´ıptico, en el sentido contrario del movimiento de las agujas del reloj.

4. Si ∆ϕ = π, entonces y = − AA21 x (movimiento rectil´ıneo).

5. Para ∆ϕ = π/4, 3π/4, 5π/4 y 7π/4. tarea

1.2.3.2.

Frecuencias diferentes

En la superposici´on de frecuencias diferentes aparecen las figuras de Lissajous.

1.2.4.

Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad

Suponemos varios osciladores acoplados de forma que el movimiento de uno de ellos influye en todos los dem´as. El efecto neto del acoplamiento de dos o m´as osciladores se puede describir como un intercambio de energ´ıa entre ellos.

1.2.4.1.

Dos oscilaciladores acoplados

Tomamos como ejemplo el ilustrado en la figura 1.11 En esta figura se observan dos “partes moviles” representadas por los dos bloques de masa m. La ecuaci´on del movimiento de cada part´ıcula de masa m es (1.38) (1.39)

d2 x1 = −k1 x1 + k2 (x2 − x1 ) dt2 d2 x2 m 2 = −k1 x2 − k2 (x2 − x1 ) , dt

m

ninguna de las dos part´ıculas realiza un m.a.s. La suma de las ecuaciones 1.38 y 1.39 resulta en

12

1 Oscilaciones libres

k1

k2

0

k1

m

m

x1

x2

0

Figura 1.11 Osciladores acoplados por resortes

d2 (x1 + x2 ) = −k1 (x1 + x2 ) , dt2 √ esta es la ecuaci´on de un oscilador arm´onico de frecuencia ωa = k1 /m. La diferencia de las las ecuaciones 1.38 y 1.39 resulta en (1.40)

m

d2 (x2 − x1 ) = −(2k2 + k2 )(x2 − x1 ) , dt2 √ esta es la ecuaci´on de un oscilador arm´onico de frecuencia ωb = (2k2 + k1 )/m. Definimos

(1.41)

m

(1.42)

xa = x1 + x2 , xb = x2 − x1 ,

(1.43) as´ı podemos escribir (1.44) (1.45)

xa = Aa cos(ωa t + ϕa ) , xb = Ab cos(ωb t + ϕb ) .

El movimiento de dos osciladores acoplados es la superposici´on de dos m.a.s. con frecuencias ωa y ωb , los cuales se les denomina modos normales de oscilaci´on, donde xa − xb = A1 cos(ωa t + ϕa ) − A2 cos(ωb t + ϕb ) , 2 xa + xb = A1 cos(ωa t + ϕa ) + A2 cos(ωb t + ϕb ) . x2 = 2

(1.46)

x1 =

(1.47)

Calculemos la energ´ıa total del sistema, la suma de las energ´ıas cin´etica y potencial. La energ´ıa potencial el´astica del muelle izquierdo que se deforma x1 , del muelle derecho que se deforma x2 , y del muelle central que se deforma x2 − x1 .

(1.48)

1 1 1 1 1 ET = U P + U K = mv21 + mv22 + k1 x12 + k1 x22 + k2 (x2 − x1 )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = mv21 + (k1 + k2 )x12 + mv22 + (k1 + k2 )x22 − k2 x2 x1 , 2 2 2 2

Una vez agrupados los t´erminos, el primer par´entesis depende solamente de x1 , y puede llamarse energ´ıa del primer oscilador, el segundo t´ermino depende solamente de x2 , y puede llamarse energ´ıa del segundo oscilador. El u´ ltimo t´ermino, que depende de x1 y x2 se denomina energ´ıa de acoplamiento o de interacci´on.

1.2.4.2.

Tarea.

P´endulos acoplados

1.3 Oscilaciones amortiguadas

13

1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111

θ2

θ1

l

l k m

m

Figura 1.12 P´endulos acoplados

1.2.5.

1.3.

Taller Oscilaciones amortiguadas

El amortiguamiento puede manifestarse en varias formas, este aparece como fuerzas no conservativas que disipan la energ´ıa cin´etica. Aqu´ı trataremos un caso sencillo pero no menos importante (fuerzas viscosas). La fuerza disipativa aparece una vez que el sistema mec´anico entra en movimiento, as´ı que es natural expresar esta fuerza en funci´on de la velocidad R(v) = −(b1 v + b2 v2 ) ,

(1.49)

para v b1 /b2 entonces R(v) = −bv as´ı la suma de las fuerzas es F(x) = −kx − bv .

(1.50) La ecuaci´on del movimiento es

d2 x b dx k + + x = 0, dt2 m dt m

(1.51) cuya soluci´on es x(t) = A1 eλ+ t + A2 eλ− t , donde

b λ± = − ± 2m

(1.52) Se define γ =

b 2m

q y ω0 =

k m

r

b2 k − .

4m2 m

con esto q

(1.53) El discriminante nos arroja tres casos γ2 − ω20 > 0 (Sobre-amortiguado). γ2 − ω20 = 0 (Cr´ıticamente amortiguado). γ2 − ω20 < 0 (Sub-amortiguado).

λ± = −γ ±

γ2 − ω20 .

14

1 Oscilaciones libres

1.3.1.

Oscilador sobre-amortiguado y oscilador cr´ıticamente amortiguado

1.3.1.1.

Oscilador sobre-amortiguado

En este caso la soluci´on es x(t) = A1 eλ+ t + A2 eλ− t ,

(1.54)

el oscilador no oscila, la fuerza de fricci´on es superior a la fuerza el´astica.

1.3.1.2.

Oscilador cr´ıticamente amortiguado

Como b2 k − = 0, 2 m 4m

(1.55) con esto λ− = λ+ = −γ. As´ı una soluci´on es

x1 (t) = Ae−γt .

(1.56)

Para hallar la otra soluci´on se utiliza el m´etodo de variaci´on de par´ametros, sea x2 (t) = v(t)e−γt ,

(1.57) reemplazamos en 1.51 y se obtiene v(t) = A2 t + C

x2 (t) = (A2 t + C)e−γt ,

(1.58) con esto

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = (A1 + A2 t)e−γt .

(1.59) En este caso el oscilador no puede oscilar.

La velocidad es

v= (1.60) (1.61)

dx = −γ(A1 + A2 t)e−γt + A2 e−γt dt = (A2 − A1 γ − A2 γt)e−γt , v(0) = v0 = A2 − A1 γ ,

para t = 0 para x se tiene (1.62)

x(0) = x0 = A1 ,

reemplazando 1.62 en 1.61 se obtiene (1.63)

1.3.2.

v0 = A2 − x0 γ ,

Oscilador Sub-amortiguado

Para (1.64) con eso definimos

k b2 < , 4m2 m

1.3 Oscilaciones amortiguadas

15

ω2 =

(1.65)

k b2 − 2, m 4m

la cual es la frecuencia de oscilaci´on del oscilador amortiguado, as´ı (1.66)

λ± = −γ ± iω ,

cuya soluci´on es x(t) = A01 e−γt e−iωt + A02 e−γt eiωt = A1 e−γt cos(ωt) + A2 e−γt sin(ωt) ,

(1.67) luego

x(t) = Ae−γt sin(ωt + ϕ0 ) .

(1.68) Las condiciones iniciales son (1.69)

x0 = A sin ϕ0 ,

para la velocidad (1.70)

v=

dx = −γAe−γt sin(ωt + ϕ0 ) + Aωe−γt cos(ωt + ϕ0 ) . dt

Con esto tenemos que (1.71)

v0 = −γA sin ϕ0 + Aω cos ϕ0 ,

entonces (1.72)

cos ϕ0 =

v0 + x0 γ , Aω

tan ϕ0 =

x0 ω . v0 + x0 γ

de las ecuaciones 1.69 y 1.72 tenemos (1.73) Como sin2 ϕ0 + cos2 ϕ0 = 1, se llega (1.74)

x02 A2

+

(v0 + x0 γ)2 = 1, A2 ω2

luego r (1.75)

A=

x02 +

v + x γ 2 0 0 . ω

El movimiento no es peri´odico, ya que las amplitudes de ciclos sucesivos decrecen (ver figura 1.13). Como los tiempos que toma en efectuar ciclos sucesivos son iguales, al movimiento oscilatorio amortiguado de le denomina movimiento con tiempo peri´odico, siendo el “periodo” (1.76)

este “per´ıodo” se le llama seudoperiodo.

T0 = q

2π ω20 − γ2

,

16

1 Oscilaciones libres

x(t) A

ϕ0 ω

A(t) = Ae−γt t T0 cos(ωt + ϕ0 ) Figura 1.13 Oscilador sub-amortiguado

1.3.3.

Energ´ıas de las oscilaciones sub-amortiguadas

Supondremos sub-amortiguamiento. La energ´ıa viene dada por 1 1 E = mv2x + mω20 x2 , 2 2

(1.77) la velocidad se tiene en 1.70, y su cuadrado es

v2x = A2 γ2 e−2γt sin2 (ωt + ϕ) + A2 ω2 e−2γt cos2 (ωt + ϕ) −2A2 γωe−2γt sin(ωt + ϕ) cos(ωt + ϕ) = γ2 x2 + A2 ω2 e−2γt [1 − sin2 (ωt + ϕ)] −2A2 γωe−2γt sin(ωt + ϕ) cos(ωt + ϕ) = γ2 x2 + A2 ω2 e−2γt − ω2 x2 + A2 ωγe−2γt sin[2(ωt + ϕ)] ,

(1.78) por la ecuaci´on 1.65

v2x = ω20 x2 − 2ω2 x2 + ω2 A2 e−2γt − A2 γωe−2γt sin[2(ωt + ϕ)] .

(1.79) Luego la energ´ıa est´a dada por

1 E = m(ω20 − ω2 )x2 + mω2 A2 e−2γt 2 1 − mωA2 γe−2γt sin[2(ωt + ϕ)] , 2

(1.80) luego

γ 1 E = mγ2 x2 + mω2 A2 e−2γt 1 − sin[2(ωt + ϕ)] , 2 ω

(1.81)

ver figura 1.14, se nota que no tiene mucho interes calcular una energ´ıa promedio, dado que el promedio de esta curva no representa una cantidad f´ısica que caracterice el sistema.

1.3.3.1.

Amortiguamiento d´ebil

El amortiguamiento d´ebil se da para γ ω0 entonces ω ≈ ω0 , luego de 1.81 se tiene que la energ´ıa total es

1.3 Oscilaciones amortiguadas

17

1 E ≈ E 0 = mω20 A2 e−2γt , 2

(1.82) (ver figura 1.14) por la ecuaci´on 1.21 obtenemos

E 0 = E0 e−2γt .

(1.83)

14 12

Energ´ıa

10

E ≈ E 0 = 12 mω20 A2 e−2γ1 t

8 6 4

E(γ1 )

2 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo 30 25

Energ´ıa

20

E0 15 10

E(γ2 )

5 0

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo Figura 1.14 Energ´ıa oscilador amortiguado, en las figuras γ1 > γ2 , la curva continua corresponde a la ecuaci´on 1.81 y la curva discreta a la ecuaci´on 1.82

1.3.3.2.

Potencia disipada

La potencia disipada viene dada como la variaci´on en el tiempo de la energ´ıa total (1.84)

Pr =

dE = −mγω20 A2 e−2γt . dt

Por la ecuaci´on 1.82 podemos escribir que la potencia disipada por el amortiguamiento est´a dada por (1.85)

1.3.3.3.

Pr = −2Eγ .

Factor de calidad Q

Para E =

E0 e2π

tenemos γt = π, de esto resulta que el tiempo τ para que la energ´ıa decaiga e2π veces es igual a

18

1 Oscilaciones libres

(1.86)

τ=

π . γ

El n´umero de oscilaciones (de seudoperiodos T 0 1.76) que el oscilador hace en este tiempo viene dado por q ω20 − γ2 τ ω (1.87) Q= 0 = = .

T 2γ 2γ donde Q se define como el factor de calidad, y es una medida del n´umero de oscilaciones que puede efectuar el oscilador antes de que su energ´ıa disminuya considerablemente.

Por otra parte, utilizando la ecuaci´on 1.85 tenemos que

1

E

=

(1.88) 2γ Pr

as´ı se prueba que (1.89)

Q=

ω E E

, = ω

= 2π

2γ Pr Pr T 0

luego

energ´ıa total Q = 2π

,

energ´ıa disipada por ciclo

(1.90)

aqu´ı se observa que la definici´on 1.90 se reduce a la dada en 1.87, pero en general esta u´ ltima (ecuaci´on 1.87) no siempre tiene un sentido y no es m´as que un caso particular asociado al oscilador amortiguado. La forma general de calcular el factor de calidad es la dada en la ecuaci´on 1.90.

1.3.3.4.

Decremento logaritmico

1.3.4.

Taller

Cap´ıtulo 2

Oscilaciones forzadas

Para mantener el movimiento de cualquier oscilador real es preciso suministrarle energ´ıa que contrarreste la p´erdida debida a la fricci´on. En este caso se dice que el oscilador es forzado externamente y la fuerza aplicada suministra energ´ıa al sistema.

Si la energ´ıa que aporta la fuerza aplicada es mayor que la que disipa la fuerza de rozamiento, la amplitud de las oscilaciones del sistema aumenta. Cuando la energ´ıa aportada por la fuerza aplicada es igual a la disipada por rozamiento, la amplitud de oscilaci´on del sistema permanece constante.

2.1.

Fuerza impulsora peri´odica

Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una part´ıcula masa m unida al extremo de un muelle el´astico de constante k, a un amortiguador de constante de amortiguamiento b, y sometido a una fuerza impulsora, luego la fuerza total aplicada sobre la part´ıcula se escribe X

(2.1)

F = Fel´a stica + Famortiguadora + Fimpulsora ,

de aqu´ı para Fimpulsora = F0 cos ω f t tenemos d2 x b dx k F0 + x= cos ω f t . + m dt2 m dt m

(2.2)

2.1.1.

Fuerza impulsora arm´onica

La soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea (suponiendo sub-amortiguamiento), est´a dada por la ecuaci´on 1.68 xc (t) = Ae−γt sin(ωt + ϕ0 ) ,

(2.3) q donde ω =

ω20 − γ2 , y ω0 =

√ k/m.

Una soluci´on particular de prueba para 2.2 es (2.4)

x p (t) = B cos(ω f t + φ) .

Reemplazando 2.4 en 2.2 llegamos a (2.5)

−ω2f B cos(ω f t + φ) − 2γω f B sin(ω f t + φ) + ω20 B cos(ω f t + φ) =

F0 cos ω f t m

luego

(2.6)

F0 cos ω f t = −ω2f B cos ω f t cos φ + ω2f B sin ω f t sin φ − 2γω f B sin ω f t cos φ m −2γω f B cos ω f t sin φ + ω20 B cos ω f t cos φ − ω20 B sin ω f t sin φ , 19

20

2 Oscilaciones forzadas

de aqu´ı F0 = −ω2f B cos φ − 2γω f B sin φ + ω20 B cos φ m = B[(ω20 − ω2f ) cos φ − γω f sin φ]

(2.7) y

B[ω2f sin φ − 2γω f cos φ − ω20 sin φ] = 0 B[(ω2f − ω20 ) sin φ − 2γω f cos φ] = 0 ,

(2.8) como B , 0 (soluci´on no trivial), entonces

   −2γω f   .  φ = arctan  2 ω0 − ω2f 

(2.9) De 2.7 (2.10)

B=

F0 /m 2 2 (ω0 − ω f ) cos φ − 2γω f

sin φ

.

De 2.9 (2.11)

−2γω f sin φ = q , (ω20 − ω2f ) + (2γω f )2

(2.12)

ω20 − ω2f cos φ = q , (ω20 − ω2f ) + (2γω f )2

entonces B= q

(2.13)

F0 /m (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

.

La soluci´on de 2.2 est´a dada por x(t) = xc (t) + x p (t) v u u  2 u u u   u

t  v0 + x0 γ  −γt q 2 2 2   e sin (ω0 − γ ) t + ϕ0 = x0 +  q   (ω20 − γ2 )  (2.14)

+q

F0 /m (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

cos(ω f t + φ) ,

donde (2.15)

(2.16)

  q  x (ω2 − γ2 )    0 0  , ϕ0 = arctan   v0 + x0 γ     −2γω f   . φ = arctan  2 ω0 − ω2f 

El primer t´ermino de 2.14 es transitorio y depende de las condiciones iniciales v0 y x0 , que luego de cierto tiempo t > τ ≡ γπ (te´oricamente infinito) es practicamente nulo.

El segundo t´ermino de 2.14 describe el estado estacionario. En el estado estacionario la amplitud del oscilador permanece constante, ya que la fuerza impulsora, en promedio, compensa las perdidas producidas por el amortiguamiento. Para este estado se dice que el oscilador ha “olvidado” sus condiciones iniciales ya que esta soluci´on es independiente de ellas. As´ı,

2.1 Fuerza impulsora peri´odica

21

si dos osciladores id´enticos; con fases iniciales ϕ1 y ϕ2 respectivamente, y amplitudes iniciales A1 y A2 respectivamente; son sometidos a fuerzas id´enticas, ambos llegar´an a un estado estacionario con amplitud B y fase inicial φ. x(t)

B

t

−B t=τ

Figura 2.1 Oscilador amortiguado forzado, con ω f = ω.

Para t > τ se tiene (2.17)

x(t) = B cos(ω f t + φ) ,

con (2.18)

B= q

F0 /m (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

,

la velocidad es (2.19)

v(t) =

2.1.2.

Energ´ıa en el r´egimen estacionario

dx = −ω f B sin(ω f t + φ) . dt

N´otese que en el r´egimen estacionario la soluci´on es arm´onica (ver ecuaci´on 2.17). Uno estar´ıa tentado a decir que la energ´ıa viene dada por E0 = (2.20)

=

1 mω2f B2 2 F02 ω2f /(2m) (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

,

pero la verdad es que en el sistema existen fuerzas no conservativas que hacen que, en general, la energ´ıa potencial m´axima no sea igual a la energ´ıa cin´etica m´axima.

Por lo anterior para carcular la energ´ıa del oscilador amortiguado y forzado en el r´egimen estacionario, es necesario calcular (2.21) (2.22)

1 2 1 mv = mω2f [B2 − x2 ] 2 x 2 1 1 U P = kx2 = mω20 x2 , 2 2

UK =

luego

(2.23)

E(x) = U P + U K 1 1 = mω2f B2 + m(ω20 − ω2f )x2 , 2 2

22

2 Oscilaciones forzadas

E

E = UP + UK

UP

UK x 0

−B

B

Figura 2.2 Energ´ıa del oscilador amortiguado forzado.

la energ´ıa total es una funci´on de la posici´on, para x = 0 se tiene E = 21 mω2f B2 = U K max , y para x = B se tiene E = 21 mω20 B2 = U Pmax , lo cual indica que la energ´ıa total est´a variando entre la energ´ıa cin´etica m´axima y la energ´ıa potencial m´axima, es decir, E ∈ [U K max , U Pmax ] (ver figura 2.2).

Adem´as

(2.24)

E(t) = U P + U P 1 1 = mω20 B2 cos2 (ω f t + φ) + mω2f B2 sin2 (ω f t + φ) , 2 2

esta suma no es una constante del movimiento (ver figura 2.3).

E

E(t) = U K (t) + U P (t) U Pmax = 12 mω20 B2

U K max = 12 mω2f B2

t Origen

Figura 2.3 Energ´ıa del oscilador amortiguado forzado.

2.1.3.

Potencia en el r´egimen estacionario

La potencia transferida por la fuerza F = F0 cos ω f t est´a dada por (2.25)

PF = Fv = −F0 Bω f cos ω f t sin(ω f t + φ) ,

Extremo

2.2 Resonancia

23

la potencia promedio suministrada es < PF > = −F0 Bω f < cos ω f t sin(ω f t + φ) > sin φ = −F0 Bω f 2 −F02 ω f /(2m) sin φ . = q (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

(2.26)

como sin φ est´a dado por 2.11 se tiene (2.27)

< PF >=

F02 ω2f γ/(m) (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

.

por la ecuaci´on 2.21 escribimos (2.28)

< PF >= 2γU K max .

La potencia Pr disipada por la fuerza de amortiguamiento Fr = −bv x = bω f B sin(ω f t + φ) ,

(2.29) est´a dada por

Pr = Fr v x = −bω2f B2 sin2 (ω f t + φ) ,

(2.30) la potencia promedio disipada es

< Pr > = −bω2f B2 sin2 (ω f t + φ) 1 = − bω2f B2 , 2

(2.31) utilizando γ =

b 2m ,

se tiene < Pr > = −mγω2f B2 = −2γU K max .

(2.32)

Sumando la potencia promedio < Pr > disipada y la potencia promedio < PF > transferida por la fuerza impulsora (2.33)

< Pr > + < PF >= 0 .

Lo cual nos verifica que el sistema se encuentra en un r´egimen estacionario, la fuerza impulsora compensa (en promedio) las p´erdidas producidas por el amortiguamiento.

2.2.

Resonancia

Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la soluci´on estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las caracter´ısticas f´ısicas del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada.

2.2.1.

Resonancia en amplitud

La amplitud

24

2 Oscilaciones forzadas

(2.34)

B= q

F0 /m (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2

,

es una funci´on de ω f , as´ı que la amplitud ser´a m´axima para dB

= 0,

dω f ω f =ωres

(2.35) entonces

d F0 /m = 0, q

dω f (ω2 − ω2 )2 + (2γω )2 ω =ωres f f 0 f

(2.36)

luego 2(ω20 − ω2res )(−2ωres ) + 2(2γωres )(2γ) = 0 ,

(2.37) entonces

q (2.38)

ω20 − 2γ2 .

ωres =

B(ω f ) Bmax =

F0 2mωγ

ωf ωres ω

ω0

Figura 2.4 Curva de amplitud vs ω f .

La amplitud m´axima est´a dada por Bmax = B(ωres ), luego (2.39)

Bmax =

F0 .

2mωγ

Es com´un encontrar en la pr´actica que γ ω0 , as´ı se justifica que una gran mayor´ıa de casos se pueda tomar ωres = ω0 como la frecuencia de resonancia en amplitud.

2.2.2.

Resonancia en potencia

La potencia transferida es < PF > = (2.40)

= ω2 −ω2

F02 ω2f γ/(m) (ω20 − ω2f )2 + (2γω f )2 F02

1 , 4mγ 1 + X 2

0 f donde X = 2γω = tan δ. Esta funci´on es una Lorentziana, cuyo m´aximo se d´a para ω f = ω0 (ver figura 2.5). La potencia f m´axima absorbida es

2.2 Resonancia

25

(2.41)

< P >max =

F02 4mγ

.

< P(ω f ) > < P >max =

< P >1/2 =

F0 4mγ

∆ω f

F0 8mγ

ωf ω0

ω1/2

Figura 2.5 Curva de resonancia.

2.2.2.1.

Fineza de la curva de resonancia (Factor de Calidad)

N´otese que para X = 1 la potencia media se reduce a la mitad de la potencia media m´axima, es decir, < P >

X=1 =< P >1/2 , para lo cual se tiene

(2.42)

2γω1/2 = |ω20 − ω21/2 | = (|ω0 − ω1/2 |)(ω0 + ω1/2 ) ,

para ω1/2 ∼ ω0 , luego (2.43)

2γω1/2 ≈ (|ω0 − ω1/2 |)2ω1/2 ,

luego, definiendo ∆ω f = 2|ω0 − ω1/2 |, tenemos (2.44)

∆ω f ≈ 2γ .

De aqu´ı se deduce que el ancho espectral de la curva de resonancia es aproximadamente igual a 2γ.

En el r´egimen estacionario no tiene sentido hablar de tiempo de decaimiento, es por eso que el factor de calidad se debe calcular por la f´ormula general dada en 1.90, pero adem´as aqu´ı la energ´ıa total, ecuaci´on 2.24, tiene un valor medio entorno al cual oscila (ver figura 2.3), dado por (2.45)

1 < E >= m(ω20 + ω2f )B2 , 4

y por la ecuaci´on 2.32, llegamos a (2.46)

2 2

< E >

ω0 + ω f = Q = 2π

,

< Pr > T f

4γω f

donde T f = 2π/ω f es el periodo de un ciclo.

Para ω f ∼ ω0 , se deduce que el factor de calidad est´a dado por (2.47)

Q=

ω0 ω0 = .

2γ ∆ω f

El factor de calidad es una medida directa de la agudeza de la curva de resonancia (ver figura 2.5).

26

2 Oscilaciones forzadas

2.3.

2.3.1.

Taller Taller - Analog織覺as con un circuito RLC

Para un circuito RLC (tarea)

Parte II

Ondas

Una onda es una perturbaci´on de alguna propiedad, por ejemplo, densidad, presi´on, campo el´ectrico o campo magn´etico, que se propaga a trav´es del espacio transportando energ´ıa. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal, etc.

Buena parte del mundo como lo conocemos hoy est´a influenciado por las ondas, la luz que nos viene del sol, las telecomunicaciones, Internet, la m´usica, etc. En algunos casos esta influencia puede ser “negativa” como el caso de los tsunamis y terremotos por ejemplo, todo esto hace que el estudio de las ondas sea adem´as, para m´ı, de un placer una necesidad.

Cap´ıtulo 3

Ondas mec´anicas

La propiedad del medio, en la que se observa la perturbaci´on, se expresa como una funci´on tanto de la posici´on como del tiempo ψ(r, t).

3.1.

Ecuaci´on de onda y funci´on de onda

Si la onda se propaga en la direcci´on x, con velocidad constante v, se escribe (3.1)

ψ(x, t) = ψ(x − vt) ,

que corresponde a la funci´on de una onda viajera progresiva (se propaga en el sentido creciente de x). El argumento de la funci´on ψ solamente puede ser de la forma (x − vt) y ninguna otra combinaci´on de las dos variables x y t.

La onda viajera regresiva (que se propaga en el sentido de las x decrecientes) corresponde a (3.2)

ψ(x, t) = ψ(x + vt) ,

ψ depende u´ nicamente de la forma de la perturbaci´on; en otras palabras es la funci´on matem´atica que representa el perfil de la onda.

ψ(x, t0 ) λ

x x0

X Tren de onda Figura 3.1 Perfil de la Onda en el espacio ψ(x, t0 ), para t = t0 tenemos x0 = vt0

Dicha funci´on es soluci´on de la ecuaci´on (ecuaci´on de onda): (3.3)

∇2 ψ =

1 ∂2 ψ , v2 ∂t2

donde v = cte es la velocidad de fase de la onda.

En la figura 3.1 vemos el perfil de una onda para un tiempo t = t0 . Como la distancia entre dos m´aximos permanece invariante, la hemos llamado λ (longitud de onda), pero el perfil de onda mostrado no corresponde a una onda con una sola

29

30

3 Ondas mec´anicas

longitud de onda que notaremos λ simplemente por tratarse de una longitud de onda asociada la perturbaci´on modulada en amplitud.

ψ(x0 , t) T t

τ Pulso Figura 3.2 Perfil de la Onda en el tiempo ψ(x0 , t)

El perfil de la onda en el tiempo (ver figura 3.2) presenta m´aximos en tiempos peri´odicos, el tiempo entre dos m´aximos consecutivos lo hemos llamado T (periodo de la onda), pero la perturbaci´on mostrada no es peri´odica en el sentido estricto.

El tiempo T es el tiempo que toma la onda en viajar una distancia λ, de esta forma se tiene λ T = νλ

v=

= 2πν (3.4)

=

ω , k

λ 2π

donde hemos definido k = 2π umero de onda angular), este es una medida del n´umero de longitudes de ondas en 2π metros, λ (el n´ as´ı, corresponde al a´ ngulo barrido por la onda por unidad de longitud, entonces θ = k(x − vt) = kx − ωt.

3.1.1.

Clasificaci´on de las ondas

Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos: En funci´on del medio en el que se propagan Ondas mec´anicas: las ondas mec´anicas necesitan un medio el´astico (s´olido, l´ıquido o gaseoso) para propagarse. Las part´ıculas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a trav´es del medio. Como en el caso de una alfombra o un l´atigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a trav´es de ella. Dentro de las ondas mec´anicas tenemos las ondas el´asticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

Ondas electromagn´eticas: las ondas electromagn´eticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vac´ıo. Esto es debido a que las ondas electromagn´eticas son producidas por las oscilaciones de un campo el´ectrico, en relaci´on con un campo magn´etico asociado.

Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometr´ıa misma del espacio-tiempo y aunque es com´un representarlas viajando en el vac´ıo, t´ecnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ning´un espacio, sino que en s´ı mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

En funci´on de su propagaci´on o frente de onda Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola direcci´on del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una direcci´on u´ nica, sus frentes de onda son planos y paralelos.

Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan tambi´en ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre e´ l.

Ondas tridimensionales: son ondas que se propagan en tres direcciones. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mec´anicas) y las ondas electromagn´eticas.

En funci´on de la direcci´on de la perturbaci´on

3.2 Ondas en cuerdas

31

Ondas longitudinales: el movimiento de las part´ıculas que transportan la onda es paralelo a la direcci´on de propagaci´on de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

Ondas transversales: Son aquellas que se caracterizan porque las particulas del medio vibran perpendicularmente a la direci´on de propagaci´on de la onda. La luz corresponde a este tipo de ondas.

En funci´on de su periodicidad Ondas peri´odicas: la perturbaci´on local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

Ondas no peri´odicas: la perturbaci´on que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen caracter´ısticas diferentes. Las ondas aisladas se denominan tambi´en pulsos.

3.1.2.

Ondas arm´onicas

Una onda arm´onica se escribe (3.5)

ψ(x, t) = A cos[kx − ωt − ϕ] ,

donde ω = 2πν = kv . En este caso la onda tiene una sola longitud de onda y por consecuencia una sola frecuencia.

3.2.

Ondas en cuerdas

Consideremos una cuerda con densidad lineal de masa µ, orientada a lo largo del eje x, como la ilustrada en la figura 3.3, sometida a la tensi´on T. Por la cual se propaga una perturbaci´on que consiste en variaciones locales de la altura y de la cuerda.

Para una porci´on de longitud ∆x, el movimiento tiene lugar en el eje y.

T

y θ(x) T

x

x + ∆x

x T

T

Figura 3.3 Onda en cuerdas

3.2.1.

Ecuaci´on de onda en una cuerda

La perturbaci´on en la cuerda se tomar´a tan peque˜na que la tensi´on se considerar´a invariante. La sumatoria de fuerzas en la direcci´on y para la porci´on ∆x es X Fy = T[sin θ(x + ∆x) − sin θ(x)] (3.6) ≈ T[tan θ(x + ∆x) − tan θ(x)] , para peque˜nas perturbaciones .

32

3 Ondas mec´anicas

Por otra parte (3.7)

may = µ∆x

∂2 y , ∂t2

entonces (3.8)

µ∆x

∂2 y = T(tan θ(x + ∆x) − tan θ(x)) . ∂t2

Como (3.9)

tan θ =

∂y , ∂x

luego ∂2 y µ 2 =T ∂t

(3.10)

i

h ∂y

∂y ∂x (x + ∆x) − ∂x (x)

∆x

,

tomando ∆x arbitrariamente peque˜no µ ∂2 y = l´ım T ∂t2 ∆x→0

(3.11)

h ∂y

∂y ∂x (x + ∆x) − ∂x (x)

∆x

i ,

llegamos ∂2 y µ ∂2 y = , ∂x2 T ∂t2

(3.12)

la cual es una ecuaci´on de onda unidimensional (ver ec. 3.3) para la perturbaci´on en la cuerda, cuya velocidad es v =

3.2.1.1.

Energ´ıa transmitida por una onda arm´onica en una cuerda

Para una onda arm´onica en una cuerda (3.13)

y(x, t) = A cos(kx − ωt + ϕ) .

La energ´ıa promedio de una porci´on de cuerda ∆x est´a dada por (3.14)

1 1 < ∆E >= ∆mω2 A2 = µ∆xω2 A2 , 2 2

para una porci´on arbitrariamente peque˜na de cuerda (3.15)

1 < dE >= µdxω2 A2 , 2

as´ı la densidad de energ´ıa es *

(3.16)

+ dE 1 Ex = = µω2 A2 , dx 2

esta representa la energ´ıa por unidad de longitud en la cuerda.

Por otra parte, como dx = v x dt tenemos (3.17)

1 < dE >= µdtv x ω2 A2 , 2

con esto, el promedio del cambio de la energ´ıa en el tiempo es

p T/µ .

3.2 Ondas en cuerdas

33

* (3.18)

+ dE 1 = µv x ω2 A2 , dt 2

luego * (3.19)

3.2.2.

+ * + dE dE = vx = vx Ex . dt dx

Coeficientes de reflexi´on y transmisi´on en amplitud

Cuando una onda arm´onica se propaga en una cuerda con densidad de masa µ1 , la funci´on de onda se escribe (3.20)

ψI (x, t) = AI cos[k1 x − ωt − ϕ0 ] , p donde la velocidad de propagaci´on est´a dada por v1 = T/µ1 , y k1 = 2π/λ1 , con esto s

(3.21)

ω = k1 v1 = 2π

T λ21 µ1

,

la cual llamaremos onda incidente.

Si la cuerda, en la que se p propaga la onda, cambia su densidad de masa a µ2 , tendremos un cambio en la velocidad de propagaci´on dado por v2 = T/µ2 , dado que la frecuencia es la misma en toda la cuerda, tenemos que s (3.22)

k2 v2 = 2π

T = ω, λ22 µ2

donde k2 = 2π/λ2 , es decir, k2 v2 = k1 v1 y con esto λ22 µ2 = λ21 µ1 .

y λ1

λ2 x

µ2

µ1 Figura 3.4 Reflexi´on de Ondas en cuerdas

As´ı, se tiene que λv11 = λv22 . Por conveniencia tomemos x = 0 en el punto donde la cuerda cambia de densidad de masa (donde se produce la reflexi´on), as´ı en este punto tendremos una onda reflejada (3.23)

ψR (x, t) = AR cos[k1 x + ωt + ϕ0 ] ,

donde se a producido una inversion en la fase debido a la reflexi´on, y una onda transmitida (3.24)

ψT (x, t) = AT cos[k2 x − ωt − ϕ0 ] .

Entoces en la primera parte de la cuerda con densidad de masa µ1 tenemos (3.25)

ψ1 (x, t) = ψI (x, t) + ψR (x, t) ,

y en la segunda parte de la cuerda con densidad de masa µ2 tenemos

34

3 Ondas mec´anicas

(3.26)

ψ2 (x, t) = ψT (x, t) .

Bajo la hipotesis (obvia) que la cuerda no se rompe, en la frontera x = 0 donde se produce el cambio de densidad de masa tenemos (3.27)

ψ1 (0, t) = ψ2 (0, t) ,

esto significa que las alturas en x = 0 de las cuerdas son las mismas, con esto (3.28)

AI + AR = AT .

Para peque˜nas amplitudes, la tensi´on T es la misma a lo largo de toda la cuerda, adem´as la fuerza a la que est´a sometido el punto en la frontera debe ser igual calculada desde cualquiera de las dos funciones ψ1 o ψ2 , es decir (3.29)

T

∂ψ2 ∂ψ1 (0, t) = T (0, t) , ∂x ∂x

esto significa que el cambio en la pendiente de la cuerda en el punto x = 0 es suave, con esto (3.30)

k1 AI − k1 AR = k2 AT .

Las ecuaciones 3.28 y 3.30 constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas AR y AT , de aqu´ı (3.31)

R=

AR k1 − k2 = , AI k1 + k2

es definido como el coeficiente de reflexi´on, similarmente (3.32)

T=

AT 2k1 = , AI k1 + k2

es definido como el coeficiente de transmisi´on.

En t´ermino de las velocidades (3.33)

R=

v2 − v1 , v1 + v2

T=

2v2 , v1 + v2

similarmente (3.34) en t´ermino de las densidades de masa √ √ µ1 − µ2 R= √ , √ µ1 + µ2

(3.35) similarmente

√ 2 µ1 T= √ . √ µ1 + µ2

(3.36) Se nota que T − R = 1 .

3.2.2.1.

Conservaci´on de la energ´ıa

Para un tren de onda con longitud X1 en el medio (1) y X2 en el medio (2) (ver figura 3.5), ambos pulsos tendr´an una duraci´on dada por τ1 = τ2 = τ (por condiciones de fontera), y en general se tendr´a (3.37)

X1 X2 = , v1 v2

3.2 Ondas en cuerdas

35

λ1 ψI (x, t0 ) x=0

a) µ1

µ2

X1

λ1

λ2

ψR (x, t f )

ψT (x, t f )

x=0

b) µ1

µ2 X2

X1

Figura 3.5 Ilustraci´on de los efectos sobre una onda que se propaga en una cuerda que cambia su densidad en x = 0, a) Onda incidente ψI b) Ondas reflejada ψR y transmitida ψT

Utilizando la ecuaci´on 3.16, que nos representa la densidad de energ´ıa por unidad de longitud, calculamos las energ´ıas 1 E I = EI X1 = µ1 ω2 A2I X1 , 2 1 ER = ER X1 = µ1 ω2 A2R X1 , 2 1 ET = ET X2 = µ2 ω2 A2T X2 .

2

(3.38) (3.39) (3.40) Se calcula la suma

1 1 µ1 ω2 A2R X1 + µ2 ω2 A2T X2 2 2 1 = ω2 (µ1 A2R X1 + µ2 A2T X2 ) , 2

ER + ET = (3.41) por la ecuaci´on 3.37, escribimos

v2 X1 v1 λ2 = X1 λ1 √ µ1 = √ X1 . µ2

X2 =

(3.42) Reemplazando la ecuaci´on 3.42 en 3.41 tenemos

(3.43)

! √ µ1 1 2 2 2 ER + ET = ω µ1 AR X1 + µ2 AT √ X1 2 µ2 ! √ µ 1 2 = µ1 ω2 A2I X1 R2 + √ T 2 , 2 µ1

36

3 Ondas mec´anicas

por las ecuaciones 3.35 y 3.36 se tiene que √ µ2 R2 + √ T 2 = 1 , µ1

(3.44) con lo cual se llega a que (3.45)

ER + ET = E I .

Con todo esto se prueba que la energ´ıa, de una onda que se propaga en una cuerda que cambia su densidad, se conserva.

Mientras para la densidad de energ´ıa se tiene (3.46)

ER X1 + ET X2 = EI X1 ,

luego X2 ET X1 √ µ1 = ER + √ ET , µ2

EI = ER + (3.47) si µ1 , µ2 la densidad de energ´ıa no se conserva.

Coeficientes de reflexi´on y transmisi´on en energ´ıa De la ecuaci´on 3.44 se puede definir los coeficientes

√ µ2 T = √ T2, µ1

(3.48) y

R = R2 ,

(3.49) as´ı (3.50)

3.2.2.2.

T +R = 1.

Casos particulares

Notese que T siempre es positivo, mientra que R puede tomar valores positivos o negativos, dependiendo de si µ1 − µ2 > 0 o µ1 − µ2 < 0 respectivamente, con esto la onda reflejada puede estar en fase (∆φ = 0) o en contrafase (∆φ = π) con la onda incidente.

Si µ1 = µ2 , por las ecuaciones 3.35 y 3.36 tenemos (3.51) (3.52)

T =1 R = 0,

no hay onda reflejada, entonces ψ1 = ψ2 .

Para el caso de un extremo fijo a una pared, se puede considerar como una cuerda con µ2 = ∞, con esto T =0

(3.53) (3.54)

R = −1 ,

no hay onda transmitida y la onda reflejada est´a dada por ψR (x, t) = −AI cos[k1 x + ωt + ϕ0 ] (3.55)

= AI cos[k1 x + ωt ± π + ϕ0 ] ,

la cual est´a desfasada un a´ ngulo ∆φ = π con respecto a la onda incidente ψI .

3.2 Ondas en cuerdas

3.2.3.

37

Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos

Una onda incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda.

Nodo

Anti-Nodo L Tomamos una cuerda de longitud L atada en ambos extremos, si una onda se propaga hacia la derecha (3.56)

ψI (x, t) = A cos[kx − ωt − ϕ0 ] ,

al alcanzar el extremo derecho, se refleja con un coeficiente de reflexi´on R = −1 y se tiene una onda reflejada (3.57)

ψR (x, t) = −A cos[kx + ωt + ϕ0 ] ,

luego la onda en la cuerda ser´a la superposici´on ψ(x, t) = A cos(kx − ωt − ϕ0 ) − A cos(kx + ωt + ϕ0 ) = A[cos kx cos(ωt + ϕ0 ) + sin kx sin(ωt + ϕ0 ) − cos kx cos(ωt + ϕ0 ) + sin kx sin(ωt + ϕ0 )] ,

(3.58) luego obtenemos

ψ(x, t) = 2A sin kx sin(ωt + ϕ0 ) = B(x) sin(ωt + ϕ0 ) .

(3.59)

Como vemos, esta no es una onda de propagaci´on, su argumento no es de la forma (kx − ωt), sino que cada punto x de la cuerda vibra como un M.A.S. con una frecuencia angular ω y con una amplitud B(x) = 2A sin(kx).

3.2.3.1.

Modos de oscilacion de la cuerda

En los extremos de la cuerda (x = 0 y x = L) se cumple para la ecuaci´on 3.59 (3.60)

ψ(0, t) = 0

(3.61)

ψ(L, t) = 0 ,

esto se cumple para sin(kL) = 0, es decir, kn L = nπ, con n = 1, 2, 3, . . . (recuerde que kn = 2π/λn ), o bien, λn = 2L/n .

La frecuencia puede ser calculada por s (3.62)

2π ωn = kn v = λn

s T nπ = µ L

T , µ

el conjunto de los ωn son los modos de oscilaci´on de la cuerda, la primera frecuencia ω1 se le llama frecuencia fundamental (modo fundamental), las dem´as se les llaman arm´onicos.

El primer modo de vibraci´on ser´a aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L = λ1 /2. Para el segundo modo de vibraci´on (un nodo en el centro), la longitud de la cuerda ser´a igual a una longitud de onda, L = λ2 . Para el tercer modo, L = 3λ3 /2, y as´ı sucesivamente.

La amplitud puede alcanzar distintos valores seg´un la posici´on x. Algunos puntos tendr´an amplitud cero,

38

3 Ondas mec´anicas

2

2

λ = 2L

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

−1.5

−2

0

5

10

15

20

−2

2

0

5

10

15

20

15

20

2

λ = 2L/3

1.5 1

1 0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

−1.5 0

5

10

λ = L/2

1.5

0.5

−2

λ=L

15

20

−2

0

5

10

Figura 3.6 Modos n = 1, 2, 3, 4 para una cuerda fija en ambos extremos

(3.63)

B(xm ) = 0 ,

no vibrar´an (3.64)

xm =

m m λn = L , con m = 0, 1, . . . , n .

2 n

Estos puntos xm son los llamados nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda.

Los puntos que oscilan con un m´aximo de amplitud 2A, para (3.65)

B(xr ) = 2A ,

as´ı (3.66)

xr =

2r − 1 2r − 1 λn = L , con r = 1, 2, . . . , n .

4 2n

Estos puntos xr se les llama anti-nodos. En n´umero de anti-nodos es igual al modo.

3.2.4.

Ondas estacionarias en una cuerda fija en solo un extremo

Tomemos una cuerda de longitud L atada en el extremo izquierdo. En x = 0 la densidad de la cuerda cambia de µ1 a µ2 , donde µ1 µ2 . Si una onda se propaga hacia la derecha (3.67)

ψI (x, t) = A cos[kx − ωt − ϕ0 ] ,

al alcanzar el extremo derecho.

y

Nodo

µ2 0

µ1

Anti-Nodo L

x

11111 00000 00000 11111 m 00000 11111

Este caso concuerda con una cuerda libre en el extremo derecho (en el l´ımite µ2 → 0), se encuentra un coeficiente de reflexi´on R = 1 en (por la ecuaci´on 3.35), y se tiene una onda reflejada

3.2 Ondas en cuerdas

39

(3.68)

ψR (x, t) = A cos[kx + ωt + ϕ0 ] ,

luego la onda en la cuerda ser´a la superposici´on ψ(x, t) = A cos[kx − ωt − ϕ0 ] + A cos[kx + ωt + ϕ0 ] = A[cos kx cos(ωt + ϕ0 ) + sin kx sin(ωt + ϕ0 ) + cos kx cos(ωt + ϕ0 ) − sin kx sin(ωt + ϕ0 )] ,

(3.69) luego obtenemos

ψ(x, t) = 2A cos kx cos(ωt + ϕ0 ) = B(x) cos(ωt + ϕ0 ) .

(3.70)

Como vemos esta no es una onda de propagaci´on, su argumento no es de la forma (kx − ωt), sino que cada punto x de la cuerda vibra como un M.A.S. con una frecuencia angular ω y con una amplitud B(x) = 2A cos(kx).

3.2.4.1.

Modos de oscilacion de la cuerda

En los extremos de la cuerda (x = 0 y x = L) se cumple para la ecuaci´on 3.70 (3.71) (3.72)

ψ(0, t) = 2A ψ(L, t) = 0 .

Con esto se cumple para cos(kL) = 0, es decir, kn L = (2n − 1)π/2, con n = 1, 2, 3, . . . (recuerde que kn = 2π/λn ), o bien, 4L λn = .

2n − 1 2

2

λ = 4L

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

−1.5

−2

0

5

10

15

20

−2

2

2

1.5

1.5

λ = 4L/5

1

1

0.5

0.5

0

0

−0.5

−0.5

−1

−1

−1.5

−1.5

−2

0

5

10

15

20

−2

λ = 4L/3

0

5

10

15

20

15

20

λ = 4L/7

0

5

10

Figura 3.7 Modos n = 1, 2, 3, 4 para una cuerda fija en x = 0

La frecuencia puede ser calculada por s (3.73)

2π ωn = kn v = λn

s T (2n − 1)π = µ 2L

T , µ

el conjunto de los ωn son los modos de oscilaci´on de la cuerda, la primera frecuencia ω1 se le llama frecuencia fundamental (modo fundamental), a las dem´as se les llaman arm´onicos.

El primer modo de vibraci´on ser´a aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L = λ1 /4. Para el segundo modo de vibraci´on (un nodo en el centro), la longitud de la cuerda ser´a igual a una longitud de onda, L = 3λ2 /4.

Para el tercer modo, L = 5λ3 /4, y as´ı sucesivamente.

Los nodos en este caso son (3.74)

B(xm ) = 0 ,

40

3 Ondas mec´anicas

no vibrar´an (3.75)

xm =

2m − 1 2m − 1 λn = L , con m = 1, 2, . . . , n .

4 2n − 1

Estos puntos xm son los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda. En n´umero de nodos es igual al modo.

Los puntos que oscilan con amplitud 2A (amplitud m´axima), son (3.76)

B(xr ) = 2A ,

as´ı r 2r xr = λn = L , con r = 0, 1, . . . , n .

2 2n − 1

(3.77) Estos xr son los anti-nodos.

3.2.5.

3.3.

Taller (1 hora) Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

Se tratar´a el problema de un gas encerrado en un tubo, lo suficientemente largo para as´ı considerar las ondas unidimensionales.

3.3.1.

Ondas de deformaci´on (1 hora)

Consideremos un gas inicialmente en equilibrio, ver figura 3.8

P0

P0 A

x

x + ∆x

Figura 3.8 Gas en equilibrio

luego el gas es perturbado, debido la existencia de una variaci´on de la presi´on en la posici´on x dada por P(x, t) y en x + ∆x dada por P(x + ∆x, t), de tal forma que sufre una deformaci´on como la mostrada en la figura 3.9 x + ∆x + ξ + ∆ξ

x+ξ

A

x

x + ∆x

Figura 3.9 Gas perturbado

La fuerza neta sobre un elemento de volumen V0 = A∆x de gas con masa m = ρ0 V0 (donde A es el a´ rea transversal), est´a dada por (3.78)

X

F x = A[P(x, t) − P(x + ∆x, t)] = −A∆x

∂P , ∂x

donde P(x, t) es el valor de la presi´on en la posici´on x y en el instante t. Por la segunda ley de Newton

3.3 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

41

X

(3.79)

F x = A∆xρ0

∂2 ξ , ∂t2

donde ξ es la deformaci´on o desplazamiento, medida desde la posici´on de equilibrio, del elemento de volumen V0 , entonces ∂P ∂2 ξ + ρ0 2 = 0 . ∂x ∂t

(3.80)

La ecuaci´on 3.80 no tiene la forma de una ecuaci´on de onda (ver ecuaci´on 3.3).

Conciderando que las zonas de mayor presi´on tendr´an mayor temperatura que las zonas de menor presi´on. Supondremos que las ondas en el gas se propagan a una velocidad tal que no da tiempo para un intercambio de calor significante y por tanto no da lugar para alcanzar el equilibrio t´ermico, as´ı, se justifica una aproximaci´on adiab´atica PV γ = cte . Adem´as, se tratar´a el caso en que V es cercano de V0 , entonces podemos expandir P en t´erminos de V en series de Taylor, alrededor de V0 , con esto

2

1 ∂P

2 ∂ P

(3.81) P(V) = P(V0 ) + (V − V0 ) + (V − V0 )

+··· , ∂V V 2 ∂V 2 V0 0 an´alogamente a lo hecho para ondas en cuerdas, se consideraran variaciones del volumen lo suficientemente peque˜nas, de tal forma que ∆V = V − V0 es muy peque˜no, entonces ∆V ∆2 V ∆3 V . . . luego

∂P

(3.82) P(V) = P0 + (V − V0 )

. ∂V V 0

Para el volumen tenemos (3.83)

V = V0 + A[ξ(x + ∆x, t) − ξ(x, t)] = V0 + A∆x

∂ξ ∂ξ = V0 + V0 , ∂x ∂x

luego (3.84)

V − V0 = V0

∂ξ , ∂x

remplazando la ecuaci´on 3.84 en 3.82, tenemos (3.85)

∂ξ ∂P

P(V) = P0 + V0

. ∂x ∂V V 0

Se define el m´odulo de compresibilidad κ del gas por (3.86)

κ = −(∂P)/(∂V/V) = −V

∂P , ∂V

que relaciona el incremento en la presi´on dP con el incremento fraccionario en volumen − dV V . El signo menos se debe a que un incremento en presi´on produce una disminuci´on en volumen, y κ es por definici´on positiva. Entonces (3.87)

P(V) − P0 = −κ0

∂ξ . ∂x

Derivando (3.87) y remplazando en la ecuaci´on 3.80 llegamos (3.88)

∂ 2 ξ ρ0 ∂ 2 ξ − =0 , ∂x2 κ0 ∂t2 r

la cual corresponde a una onda que se propaga a la velocidad v = (3.89)

κ0 . Para una onda arm´onica se tiene ρ0

ξ(x, t) = ξA cos(kx − ωt) .

42

3 Ondas mec´anicas

3.3.2.

Ondas de presi´on

La cantidad ξ que conciste en el desplazamiento de unas paredes imaginarias, es en realidad inobservable, por lo cual se buscan otros elementos que sean medibles, entre estos la presi´on.

Se define (3.90)

p(x, t) = P(x, t) − P0 .

llamada presi´on ac´ustica, que es una variaci´on de la presi´on con respecto a la presi´on bajo condiciones ambientales normales P0 . Por la ecuaci´on 3.87 (3.91)

p = −κ0

∂ξ , ∂x

derivando con respecto al tiempo dos veces ∂2 p ∂ ∂2 ξ = −κ , 0 ∂x ∂t2 ∂t2

(3.92) por la ecuaci´on 3.80 tenemos

∂ 2 p ρ0 ∂ 2 p − =0 . ∂x2 κ0 ∂t2

(3.93)

Tambi´en las variaciones de presi´on se propagan como una onda a la misma velocidad de las ondas de deformaci´on. Hay que tener presente que lo que se propaga como onda son las variaciones de la presi´on p, y no tiene sentido una propagaci´on de la presi´on P. Bajo la hipotesis adiab´atica PV γ = cte, donde γ = CCVP , al tomar el logaritmo tenemos (3.94)

ln P = cte − γ ln V ,

derivando respecto a V obtenemos 1 ∂P P ∂V

(3.95)

! =− ad

γ , V

luego ∂P −V ∂V

(3.96)

! ≡ κad = γP , ad

con esto la velocidad es igual a s (3.97)

v=

P0 C P . ρ0 C V

Para una onda arm´onica se tiene (3.98)

3.3.3.

p(x, t) = pA cos(kx − ωt + φ) .

Ondas de densidad

Se define (3.99)

e ρ(x, t) = ρ(x, t) − ρ0 .

que corresponden a variaciones de la densidad con respecto a la densidad bajo condiciones ambientales normales ρ0 .

Como la presi´on es funci´on de la densidad, podemos expandir P en t´erminos de ρ en series de Taylor

3.3 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

(3.100)

43

2

∂P

1 2 ∂ P

P(ρ) = P(ρ0 ) + (ρ − ρ0 ) + (ρ − ρ0 )

+... , ∂ρ ρ 2 ∂ρ2 ρ 0

0

se consideraran variaciones de la densidad, de tal forma que ∆ρ = ρ − ρ0 es muy peque˜no, entonces

∂P

(3.101) P(ρ) = P0 + (ρ − ρ0 ) . ∂ρ ρ 0

Como ρ = M/V, remplazando en (3.84) tenemos (3.102)

ρ = ρ0 1 +

∂ξ ∂x

!−1 ,

mediante la expasi´on binomial de Newton ! ∂ξ ρ ≈ ρ0 1 − , ∂x

(3.103) remplazamos (3.103) en la ecuaci´on 3.101 y tenemos (3.104)

P(ρ) = P0 − ρ0

∂ξ ∂P

. ∂x ∂ρ ρ 0

Se define el m´odulo de compresibilidad por (3.105)

κ = (∂P)/(∂ρ/ρ) = ρ

∂P , ∂ρ

que relaciona el incremento en la presi´on dP con el incremento fraccionario en la densidad − dρ ρ . El signo positivo se debe a que un incremento en presi´on se debe a un incremento en la densidad.

De las ecuaciones 3.99 y 3.103 tenemos e ρ = −ρ0

(3.106)

∂ξ , ∂x

derivando con respecto al tiempo dos veces ∂2 e ρ ∂ ∂2 ξ = −ρ0 , 2 ∂x ∂t2 ∂t

(3.107) derivando con respecto x dos veces

∂ ∂2 ξ ∂2e ρ = −ρ .

0 ∂x ∂x2 ∂x2

(3.108) Por la ecuaci´on 3.89 tenemos

∂2e ρ ρ0 ∂ 2 e ρ − =0 , ∂x2 κ0 ∂x2

(3.109)

lo cual muestra que las variaciones de la densidad tambi´en se propagan como una onda a la misma velocidad de la deformaci´on.

Para una onda arm´onica se tiene (3.110)

e ρ(x, t) = ρA cos(kx − ωt + ϕ) .

Para un mol de gas en equilibrio debe cumplirse (3.111)

P0 V0 = RT 0 ,

donde ρ0 = M/V0 , siendo M la masa molar, R = 8, 31 × 107 erg/(g mol K) es la constante de los gases, luego

44

3 Ondas mec´anicas

P0 T0 =R , ρ0 M

(3.112) remplazando en la ecuaci´on 3.97 llegamos

r (3.113)

v=

Rγ p T0 , M

lo cual indica que la velocidad del sonido no depende de la presi´on, pero si de la temperatura ambiente.

3.3.4.

Ondas de sonido en tubos sonoros

El sonido, en el aire, se produce por variaciones de la presi´on o la densidad del aire, el o´ıdo humano logra percibir frecuencias entre 20Hz y 20,000Hz aproximadamente. Ondas por debajo de 20Hz se les denomina infras´onicas y a las que superan los 20,000Hz se les denomina ultras´onicas.

El volumen depende de la intensidad de la onda 1 < I >= ρ0 v x ω2 ξA2 .

2

(3.114)

Como ya lo hab´ıamos mencionado ξA es una cantidad inobservable, por lo tanto es m´as u´ til definir la intensidad en funci´on de la presi´on. De las ecuaciones 3.91, 3.89 y 3.98 (3.115)

pA = κ0 ξA k ,

con esto se tiene ξA =

pA κ0 k ,

remplazando esto en la ecuaci´on 3.114

(3.116)

< I >=

ρ0 v x ω2 p2A 2κ02 k2

,

como ρ0 v2x = κ0 y kω = ω2 /v x , tenemos ρ0 v x ω2 = κ0 kω, luego (3.117)

< I >=

ωp2A , 2κ0 k

< I >=

p2A .

2ρ0 v x

dado que κ0 k = ρ0 v x ω, llegamos (3.118)

Esta f´ormula expresa la intensidad en funci´on de cantidades que son medibles.

3.3.4.1.

Nivel de volumen del sonido

Se define el nivel de volumen con respecto a una intensidad de referencia I0 (umbral audible de I0 = 10−12 W/m2 ) como sigue (3.119)

β(I) = 10 log10

I I0

! ,

la cual llamamos decibelios, con esto β(I0 ) = 0dB es el valor m´ınimo. El valor m´aximo se asocia con el valor de intensidad que viene acompa˜nado de con una sensaci´on de dolor, es de 120dB.

3.3 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

3.3.4.2.

45

Energ´ıa trasmitida por una onda arm´onica en gases

Para una onda arm´onica, cada elemento de volumen oscila con un M.A.S. con una amplitud ξA . Entonces la energ´ıa de un elemento de masa ∆m est´a dada por 1 1 < ∆E >= ∆mω2 ξA2 = ρ0 A∆xω2 ξA2 , 2 2

(3.120)

para una capa de gas arbitrariamente delgada 1 1 < dE >= ρ0 Adxω2 ξA2 = ρ0 Av x dtω2 ξA2 , 2 2

(3.121) luego

* (3.122)

+ dE 1 = ρ0 ω2 ξA2 =< E > , dV 2

la cual es la densidad promedio de energ´ıa. Por otra parte * (3.123)

+ dE 1 = ρ0 Av x ω2 ξA2 , dt 2

es la potencia promedio.

Luego se puede deducir la intensidad promedio, dado que esta se define D (3.124)

< I >=

dE dt

E 1 = ρ0 v x ω2 ξA2 =< E > v x , 2

A

lo cual indica que < E > tiene unidades de fuerza.

3.3.5.

Ondas estacionarias en tubos sonoros

De igual forma que para la cuerda, si el tubo esta cerrado, en estos lugares no habr´a vibraci´on, mientras que en los extremos abiertos, tendremos antinodos.

3.3.5.1.

Extremos cerrados

Tomamos un tubo de longitud L, si una onda se propaga hacia la derecha (3.125)

ξI (x, t) = ξA cos[kx − ωt] ,

al alcanzar el extremo derecho, se refleja con un coeficiente de reflexi´on R = −1 y se tiene una onda reflejada (3.126)

ξR (x, t) = −ξA cos[kx + ωt] ,

luego la onda ser´a la superposici´on (3.127)

ξ(x, t) = ξA (cos[kx − ωt] − cos[kx + ωt]) ,

luego ξ(x, t) = 2ξA sin(kx) cos(ωt) (3.128) No habr´a vibraci´on en x = 0 y x = L, entonces

= ξA (x) cos(ωt) .

46

3 Ondas mec´anicas

(3.129) (3.130)

ξ(0, t) = 0 , ξ(L, t) = 0 .

Se llega a λn = 2L/n , para la frecuencia (3.131)

3.3.5.2.

ωn =

nπ L

r

κ0 . ρ0

Extremos abiertos

Si una onda se propaga hacia la derecha (3.132)

ξI (x, t) = ξA cos[kx − ωt] ,

se tiene una onda reflejada (3.133)

ξR (x, t) = ξA cos[kx + ωt] ,

luego la onda ser´a la superposici´on (3.134)

ξ(x, t) = ξA (cos[kx − ωt] + cos[kx + ωt]) ,

luego ξ(x, t) = 2ξA cos(kx) cos(ωt) = ξA (x) cos(ωt) .

(3.135) entonces (3.136) (3.137)

ξ(0, t) = 2ξA , ξ(L, t) = 2ξA .

Estas condiciones se cumplen si λn = 2L/n , para la frecuencia nπ ωn = L

(3.138)

3.3.5.3.

r

κ0 . ρ0

Un extremo abierto y uno cerrado

Si una onda se propaga hacia la derecha (3.139)

ξI (x, t) = ξA cos[kx − ωt] ,

se tiene una onda reflejada (3.140)

ξR (x, t) = −ξA cos[kx + ωt] ,

luego la onda ser´a la superposici´on (3.141)

ξ(x, t) = ξA (cos[kx − ωt] − cos[kx + ωt]) ,

luego ξ(x, t) = 2ξA sin(kx) cos(ωt) (3.142) entonces

= ξA (x) cos(ωt) .

3.3 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

47

(3.143) (3.144)

ξ(0, t) = 0 , ξ(L, t) = 2ξA .

Estas condiciones se cumplen si λn = 4L/(2n − 1) , para la frecuencia (3.145)

ωn =

(2n − 1)π 2L

r

κ0 . ρ0

Se puede probar que tanto la onda de presi´on p como la de densidad ρ est´an en fase, pero desfasada con respecto a la onda de deformaci´on ξ, tal que donde ξ tiene un nodo p y ρ tienen un antinodo y viceversa.

3.3.6.

Pulsaciones (medios dispersivos)

Dos ondas arm´onicas de igual amplitud, frecuencias diferentes, fases iniciales iguales a cero e igual direcci´on de propagaci´on, dadas por (3.146) (3.147)

ψ1 (x, t) = A cos[k1 x − ω1 t] , ψ2 (x, t) = A cos[k2 x − ω2 t] ,

se encuentra que las ondas tienen velocidades de fase v1 y v2 (dispersi´on).

La superposici´on de esta dos ondas es (3.148)

ψ(x, t) = A cos[k1 x − ω1 t] + A cos[k2 x − ω2 t] .

Se define la frecuencia angular promedio (3.149)

ω=

ω1 + ω2 , 2

ωm =

ω1 − ω2 , 2

la frecuencia angular de modulaci´on (3.150) el n´umero de onda angular promedio (3.151)

k=

k1 + k2 , 2

km =

k1 − k2 .

2

el n´umero de onda angular de la modulaci´on por (3.152) Con base en lo anterior, escribimos

(3.153)

ψ(x, t) = A cos[(k + km )x − (ω + ωm )t] + A cos[(k − km )x − (ω − ωm )t] = A cos[(kx − ωt) + (km x − ωm t)] + A cos[(kx − ωt) − (km x − ωm t)] ,

luego

(3.154) entonces

ψ(x, t) = 2A cos(km x − ωm t) cos(kx − ωt) # " # " (k1 + k2 )x − (ω1 + ω2 )t (k1 − k2 )x − (ω1 − ω2 )t cos . = 2A cos 2 2

48

3 Ondas mec´anicas

h

ψ(x, t) = 2A cos [km x − ωm t] cos kx − ωt h i = B(x − vm t) cos kx − ωt ,

(3.155)

i

si ω1 ≈ ω2 , entonces ω ωm , se puede considerar como una onda viajera de frecuencia ω con una amplitud modulada por B(x − vg t) = 2A cos [km x − ωm t] , la cual var´ıa lentamente.

3.3.7.

Velocidad de fase y de grupo

En la seccion anterior la fase de la onda est´a dada por (3.156)

Φ = kx − ωt ,

la velocidad a la que se propaga la fase Φ = cte est´a dado por ∂Φ ∂x = k −ω = 0, ∂t ∂t

(3.157) entonces la velocidad de fase

dx ω = . dt k

(3.158)

La velocidad a la que se desplaza la envolvente se le denomina velocidad de grupo vg , la envolvente est´a dada por (3.159)

B(x − vg t) = 2A cos [km x − ωm t] ,

entonces ωm = km vg , luego (3.160)

vg =

ω1 − ω2 ∆ω = , k1 − k2 ∆k

entonces la velocidad de grupo se expresa como la derivada de la relaci´on de dispersi´on vg =

(3.161) para medios no dispersivos vg = v, es decir,

3.3.8.

dv dk

dω d dv = (kv) = k + v , dk dk dk

= 0.

Efecto Doppler

Para un obseravador moviendose con velocidad Vo hacia una fuente en reposo, con respecto a la Tierra, la longitud de onda est´a dada por λ = (V + Vo )T 0 (3.162)

=V

(1 + VVo ) , ν0

medido desde el sistema en movimiento del observador, con T 0 = 1/ν0 y V la velocidad de propagaci´on de la onda. Luego, sabiendo que λν = V, tenemos (3.163)

ν0 = ν(1 +

Vo ).

V

Para una fuente moviendose con velocidad V s hacia un observador en reposo, con respecto a la Tierra, la longitud de onda est´a dada por

3.3 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

49

λ0 = (V − V s )T (3.164)

(1 − VVs ) , ν

=V

medido desde el sistema en movimiento de la fuente, con T = 1/ν y V la velocidad de propagaci´on de la onda. Luego, sabiendo que λ0 ν0 = V, tenemos (3.165)

ν0 =

ν 1 − VVs

.

Combinando las ecuaciones 3.162 y 3.165 se llega (3.166)

ν0 = ν

V ± Vo .

V ∓ Vs

Cap´ıtulo 4

Ondas electromagn´eticas

Buena parte del mundo moderno es consecuencia de lo u´ til que ha resultado el estudio de las ondas electomagn´eticas y sus aplicaciones, principalmente, a las telecomunicaciones. Esto en si mismo justifica su estudio, pero adem´as cada d´ıa encontramos nuevas aplicaciones, lo cual ha sido un motor de desarrollo que ha transformado la visi´on que tenemos de nuestra sociedad conduciendo a su globalizaci´on en muchos aspectos tales como econ´omica, social, etc.

4.1.

Ecuaciones de Maxwell

Vamos a limitar (por el momento) el problema al vac´ıo, libre de cargas y corrientes, con esto las ecuaciones de Maxwell toman la forma ∇·E = 0,

(4.1) (4.2)

∇·B = 0, ∂B ∇×E = − , ∂t ∂E ∇ × B = µ0 ε0 . ∂t

(4.3) (4.4)

4.2.

Ondas electromagn´eticas

Tomando la ecuaci´on 4.3 y aplic´andole un operador rotacional ∇×, tenemos (4.5)

∇×∇×E = −

∂ ∇×B, ∂t

como ∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇2 E , entonces (4.6)

∇(∇ · E) − ∇2 E = −

∂ ∇×B, ∂t

por la ecuaci´on 4.1 y 4.4 llegamos a (4.7)

∇2 E − µ0 ε0

∂2 E = 0, ∂t2

la cual es una ecuaci´on de onda para el campo E(r, t), esto significa que el campo el´ectrico se propaga en el vac´ıo a la velocidad √ v = 1/ µ0 ε0 .

Similarmente para el campo magn´etico tenemos (4.8)

∇2 B − µ0 ε0

∂2 B = 0. ∂t2

51

52

4 Ondas electromagn´eticas

4.2.1.

La luz, su naturaleza y velocidad

De las ecuaciones de Maxwell se encuentra que el campo electromagn´etico se propaga a la velocidad 1 c= √ = 299792458m/s , µ0 ε0

(4.9)

la cual corresponde a la velocidad de propagaci´on de la luz en el vac´ıo, esto condujo al reconocimiento de la luz como un onda electromagn´etica.

4.2.2.

Ondas arm´onica (Monocrom´aticas)

Una onda arm´onica se representa por la funci´on (4.10)

E(r, t) = E(r) cos(ϕ(r) − ωt) .

Es conveniente representar esta funci´on, real, E(r, t) en t´erminos de una funci´on compleja, as´ı (4.11)

E(r, t) = E(r) exp[iϕ(r)] exp(−iωt) ,

donde E(r, t) = Re{E(r, t)} . Se define la amplitud compleja (4.12)

E(r) = E(r) exp[iϕ(r)] ,

donde ϕ(r) es la fase de la amplitud compleja, luego (4.13)

4.2.3.

E(r, t) = E(r) exp(−iωt) .

Onda arm´onica plana

Una onda arm´onica se dice plana si la fase de la amplitud compleja est´a dada por la ecuaci´on de un plano, as´ı (4.14)

k · r0 = 0 ,

donde r0 es un vector que se encuentra sobre el plano del frente de onda (ver figura 4.1). Como r0 = r − r0 , donde r0 es un vector constante, se tiene (4.15) donde k = (4.16)

ϕ(r) = k · r = cte , 2π (α, β, γ) es el vector de onda, y α = cos θ x , β = cos θy y γ = cos θz los tres cosenos directores, luego λ E(r) = E0 exp[ik · r] .

4.2 Ondas electromagn´eticas

53

z0 k r0

θz θx

θy y0

z r r0

x0 y

x Figura 4.1 Onda plana con vector de onda k

Reemplazando esta soluci´on en las ecuaciones de Maxwell se tiene (4.17) (4.18)

∇ · E = ik · E = 0 , ∇ · B = ik · B = 0 ,

entonces (4.19)

∇ × E = ik × E ,

y por otra parte (4.20)

∂B = −iωB , ∂t

reemplazando en 4.3 tenemos (4.21)

k × E = ωB .

Para B similarmente (4.22)

k × B = −µ0 ε0 ωE .

Finalmente (4.23) (4.24) (4.25)

k·E = 0, k·B = 0, k × E = ωB ,

(4.26)

k × B = −µ0 ε0 ωE ,

constituyen las ecuaciones de Maxwell para una onda arm´onica plana.

Con esto se prueba que una onda electromagn´etica plana no tiene componentes en la direcci´on de propagaci´on, dada por k, y se nota que el vector E × B apunta en la direcci´on de propagaci´on de la onda, adem´as, el conocimiento de E determina B y viceversa, siendo estos dos ortogonales.

Observando que c = ω/k, se nota que la magnitud del campo el´ectrico E, es c-veces la magnitud del campo magn´etico B, es decir, E = cB .

54

4 Ondas electromagn´eticas

4.2.4.

Onda esf´erica arm´onica

Una onda arm´onica se dice esf´erica si la fase de la amplitud compleja est´a dada por la ecuaci´on de una esfera. z0

r0 y0 r

z

r0

x0 y

x Figura 4.2 Onda esf´erica

As´ı (4.27)

ϕ(r) = k|r − r0 | = cte ,

donde k =

2π λ

es el n´umero de onda (ver figura 4.2), luego

(4.28)

E(r) =

V0 exp[ik|r − r0 |] , |r − r0 |

donde la magnitud |r − r0 | que aparece en el denominador es consecuencia de la conservaci´on de la energ´ıa.

4.3.

Energ´ıa, potencia y vector de Poynting

La densidad de energ´ıa electromagn´etica se escribe 1 1 ε0 E · E + B·B 2 2µ0 1 2 1 B , = ε0 E 2 + 2 2µ0

E= (4.29) para una onda plana E = cB, con esto

E= (4.30)

1 1 ε0 E 2 + 2 E 2 2 2c µ0

= ε0 E 2 .

La energ´ıa total de una onda electromagn´etica est´a dada por Z (4.31)

Eenergia =

EdV .

V

4.3 Energ´ıa, potencia y vector de Poynting

55

Utilizando la ecuaci´on 3.124 la intensidad media se escribe < I >= c < E >= cε0 < E 2 > .

(4.32)

4.3.1.

Caso de una onda arm´onica plana

(4.33)

E(r, t) = E0 cos(k · r − ωt) ,

luego la intensida media queda 1 < I >= cε0 E02 < cos2 (k · r − ωt) >= cε0 E02 .

2

(4.34)

Luego la potencia media se puede escribir (4.35)

< P >= A < I > ,

donde A es el a´ rea de la superficie perpendicular a la direcci´on de propagaci´on de la onda.

4.3.2.

Vector de Poynting

Vimos que una onda electromagn´etica plana se propaga en la direcci´on del vector E × B (ver figura 4.3). z0 H

S

y0 E

z r x0 y

x Figura 4.3 Vector de Poynting

Calculemos, por conveniencia, la divergencia del vector E × H, donde en el vac´ıo H = B/µ0 , as´ı

(4.36)

∇ · (E × H) = −E · (∇ × H) + H · (∇ × E) , ! ! ∂E ∂H = − E · ε0 − H · µ0 , ∂t ∂t ( ) ∂ ε0 E 2 µ0 H 2 =− + . ∂t 2 2

56

4 Ondas electromagn´eticas

Integrando en un volumen V limitado por la superficie cerrada S , y usando el teorema de la divergencia !

Z Z ∂ ε0 E 2 µ0 H 2 (4.37) (E × H) · da = − + dV = P , ∂t V 2 2 S es la potencia de la onda electromagn´etica.

El flujo de E × H es igual al flujo de la energ´ıa por unidad de tiempo. La cantidad (4.38)

S = E×H

es llamada el vector de Poynting, cuya direcci´on es la direcci´on de propagaci´on de la onda y la su magnitud, S , es S = ε0 cE 2 = I ,

(4.39) que corresponde a la intensidad.

4.4.

4.4.1.

Propiedades de las ondas electromagn´eticas Polarizaci´on

El estado de polarizaci´on de una onda electromagn´etica se caracteriza por el lugar geom´etrico que barre el vector campo electromagn´etico. Se tratar´a con solo el campo el´ectrico, pero los resultados se aplican de igual forma al campo magn´etico.

En general el vector campo el´ectrico se puede describir por dos componentes ortogonales que difieren en magnitud y en fase (4.40) (4.41)

E x = ε x cos(ωt + ϕ1 ) , Ey = εy cos(ωt + ϕ2 ) .

En particular no estamos interesados en las fases absolutas ϕ1 y ϕ2 de las componentes del campo el´ectrico y en su lugar trataremos con la fase relativa ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 , as´ı (4.42)

E x = ε x cos ωt , Ey = εy cos(ωt + ∆ϕ) ,

(4.43) con

cos2 ωt + sin2 ωt = 1 .

(4.44) De la ecuaci´on (4.43) tenemos (4.45)

Ey = cos(ωt + ∆ϕ) = cos ωt cos ∆ϕ − sin ωt sin ∆ϕ , εy

de aqu´ı (4.46)

sin ωt = cos ωt cot ∆ϕ −

Ey 1 , εy sin ∆ϕ

utilizando la ecuaci´on 4.42 se llega a (4.47) (4.48)

Ey 1 Ex cot ∆ϕ − , εx εy sin ∆ϕ Ex cos ωt = . εx sin ωt =

Por las ecuaciones (4.44), (4.47) y (4.48), se escribe

4.4 Propiedades de las ondas electromagn´eticas

57

(4.49)

Ey2 1 E x Ey cos ∆ϕ E 2x E 2x 2 + cot ∆ϕ + −2 = 1, 2 2 2 2 ε x εy sin2 ∆ϕ εx εx εy sin ∆ϕ

(4.50)

Ey2 1 E x Ey cos ∆ϕ E 2x 2 (1 + cot ∆ϕ) + −2 = 1, 2 2 2 ε x εy sin2 ∆ϕ εx εy sin ∆ϕ

como 1 + cot2 ∆ϕ = csc2 ∆ϕ =

(4.51)

1 2

sin ∆ϕ

,

entonces 2 E x Ey E 2x Ey cos ∆ϕ = sin2 ∆ϕ , + −2 2 2 ε x εy ε x εy

(4.52)

la cual es la ecuaci´on general de una elipse (ver figura 4.4). Esta ecuaci´on se reduce tanto a una circunferencia como a una

Ey0

Ey

A

B

E 0x

χ α Ex

Figura 4.4 Elipse con eje menor B y eje mayor A

linea en dos casos extremos.

4.4.1.1.

Luz polarizada el´ıpticamente

Como se puede apreciar la ecuaci´on (4.52) corresponde a una elipse.

La elipse es a izquierda si: 0 < ∆ϕ < π (m´odulo 2π).

La elipse es a derecha si: π < ∆ϕ < 2π (m´odulo 2π).

4.4.1.2.

Luz polarizada linealmente

Si ∆ϕ = 0[π] (cero m´odulo π), la ecuaci´on (4.52) se reduce a (4.53)

E x Ey ± = 0, ε x εy

58

4 Ondas electromagn´eticas

la cual es la ecuaci´on de una linea recta.

4.4.1.3.

Luz polarizada circularmente

Si â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2022; = ÂąĎ&#x20AC;/2 y Îľ x = Îľy = Îľ0

4.5.

4.5.1.

Propagaci´on de Ondas Electromagn´eticas en no-conductores (Diel´ectricos) Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell en su forma general se escriben Ď total , 0 â&#x2C6;&#x2021;¡B = 0, â&#x2C6;&#x201A;B â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;E = â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x2021;¡E =

(4.54) (4.55) (4.56) (4.57)

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; B = Âľ0 Jtotal + 0 Âľ0

â&#x2C6;&#x201A;E . â&#x2C6;&#x201A;t

Aqu´Ĺ (4.58)

Ď total = Ď libre + Ď polarizacion ´ , Jtotal = Jlibre + Jmagnetizacion ´ + J polarizacion ´ ,

(4.59) (4.60)

las densidades de carga y densidades de corriente el´ectrica respectivamente, donde (4.61)

Ď polarizacion ´ = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021; ¡ P , â&#x2C6;&#x201A;P J polarizacion , ´ = â&#x2C6;&#x201A;t Jmagnetizacion ´ = â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;M,

(4.62) (4.63)

siendo M y P la magnetizaci´on y la polarizaci´on respectivamente.

Adicional a estas ecuaciones, para los conductores o´ hmicos, tenemos la Ley de Ohm (4.64)

Jlibre = Ď&#x192;E ,

donde Ď&#x192; es la conductividad el´ectrica.

4.5.2.

Escuaciones de Maxwell en la materia

Se definen (4.65) (4.66)

D â&#x2030;Ą 0 E + P , B Hâ&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x2019;M, Âľ0

donde D es el desplazamiento el´ectrico y H es la intensidad campo magn´etico. Luego, las ecuaciones de Maxwell toman la forma

4.5 Propagaci´on de Ondas Electromagn´eticas en no-conductores (Diel´ectricos)

(4.67) (4.68)

â&#x2C6;&#x2021; ¡ D = Ď libre , â&#x2C6;&#x2021;¡B = 0, â&#x2C6;&#x201A;B â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;E = â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x201A;t

(4.69) (4.70)

4.5.3.

59

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; H = Jlibre +

â&#x2C6;&#x201A;D . â&#x2C6;&#x201A;t

Ecuaci´on de onda en un medio homog´eneo, lineal e is´otropo

Para un medio transparente; es decir, sin atenuaci´on del los campos debido al medio; lineal e is´otropo, se tiene (4.71) (4.72)

P(r, t) = 0 Ď&#x2021;e (r)E(r, t) , M(r, t) = Ď&#x2021;m (r)H(r, t) .

Se dice lineal porque tanto P como M son proporcionales a los campos E y H respectivamente y no a una potencia superior de estos. Se dice is´otropo porque las susceptibilidades el´ectrica Ď&#x2021;e (r) y magn´etica Ď&#x2021;m (r) no son matrices (tensores) y en este caso son campos escalares. De esto resulta D = E , B H= , Âľ

(4.73) (4.74)

donde = 0 (1+Ď&#x2021;e ) es la permitividad el´ectrica del medio y Âľ = Âľ0 (1â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2021;m ) es la permeabilidad magn´etica del medio. Utilizando las ecuaciones (4.67)-(4.83) y las ecuaciones (4.73) y (4.73) escribimos (4.75) (4.76) (4.77) (4.78)

â&#x2C6;&#x2021; ¡ E = Ď libre , â&#x2C6;&#x2021;¡B = 0, â&#x2C6;&#x201A;B â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;E = â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A; E B . â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; = Jlibre + Âľ â&#x2C6;&#x201A;t

Finalmente, para medios homogeneos, se tiene (4.79)

â&#x2C6;&#x2021; (r) = 0 , 1 â&#x2C6;&#x2021; = 0, Âľ(r)

(4.80) y un r´egimen estacionario en , escribimos

â&#x2C6;&#x201A; E â&#x2C6;&#x201A;E = , â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t

(4.81) las ecuacione de Maxwell se escriben (4.82) (4.83) (4.84) (4.85)

Ď libre ,

â&#x2C6;&#x2021;¡B = 0, â&#x2C6;&#x201A;B , â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;E = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x2021;¡E =

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; B = ÂľJlibre + Âľ

Tomando el rotacional en la ecuaci´on (4.84), tenemos

â&#x2C6;&#x201A;E . â&#x2C6;&#x201A;t

60

4 Ondas electromagn´eticas

â&#x2C6;&#x201A; (â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; B) , â&#x2C6;&#x201A;t ! â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;E 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021; E + â&#x2C6;&#x2021;(â&#x2C6;&#x2021; ¡ E) = â&#x2C6;&#x2019; ÂľJlibre + Âľ , â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t

(4.86)

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;E = â&#x2C6;&#x2019;

(4.87) (4.88)

y una situacion estacionaria en Âľ (es decir, y Âľ independientes explicitamente de t), se tiene â&#x2C6;&#x2021;2 E â&#x2C6;&#x2019; Âľ

(4.89)

Ď

â&#x2C6;&#x201A;2 E â&#x2C6;&#x201A;Jlibre libre . = â&#x2C6;&#x2021; +Âľ

â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t2

Tomando el rotacional en la ecuaci´on (4.85), tenemos ! â&#x2C6;&#x201A;E , â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2021;2 B + â&#x2C6;&#x2021;(â&#x2C6;&#x2021; ¡ B) = Âľâ&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; Jlibre + Âľ â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E . â&#x2C6;&#x201A;t

(4.90)

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;B = Âľâ&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; Jlibre +

(4.91) (4.92)

Empleando las ecuaciones. (4.83) y (4.84), se llega â&#x2C6;&#x2021;2 B â&#x2C6;&#x2019; Âľ

(4.93)

â&#x2C6;&#x201A;2 B = â&#x2C6;&#x2019;Âľâ&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; Jlibre . â&#x2C6;&#x201A;t2

Utilizando la ecuaci´on (4.64), se tiene Ď

â&#x2C6;&#x201A;2 E â&#x2C6;&#x201A;E libre â&#x2C6;&#x2019; ÂľĎ&#x192; = â&#x2C6;&#x2021; , â&#x2C6;&#x201A;t

â&#x2C6;&#x201A;t2 â&#x2C6;&#x201A;2 B â&#x2C6;&#x201A;B â&#x2C6;&#x2021;2 B â&#x2C6;&#x2019; Âľ 2 â&#x2C6;&#x2019; ÂľĎ&#x192; = 0. â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x2021;2 E â&#x2C6;&#x2019; Âľ

(4.94) (4.95)

Estas dos ecuaciones constituyen las ecuaciones de onda electromagneticas en los medios transparentes, lineales, is´otropos y homog´eneos; en condiciones de estacionariedad.

4.5.3.1.

Ondas electromagn´eticas en los no-conductores (Diel´ectricos)

Para este caso, se tiene Ď&#x192; = 0, adem´as Ď libre = 0, con esto (4.96) (4.97)

â&#x2C6;&#x201A;2 E = 0, â&#x2C6;&#x201A;t2 â&#x2C6;&#x201A;2 B â&#x2C6;&#x2021;2 B â&#x2C6;&#x2019; Âľ 2 = 0 . â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x2021;2 E â&#x2C6;&#x2019; Âľ

Se tiene para los campos el´ectrico y magn´etico en la materia dos ecuaciones de onda, cuya velocidad de fase est´a dada por 1 v= â&#x2C6;&#x161; . Âľ Se define el ´Ĺndice de refracci´on por â&#x2C6;&#x161; Âľ c â&#x2C6;&#x161; = r Âľr , (4.98) nâ&#x2030;Ą = â&#x2C6;&#x161; v Âľ0 0 en un medio no-magn´etico Âľr = 1, as´Ĺ (4.99)

n=

p â&#x2C6;&#x161; r = 1 + Ď&#x2021;e .

Similarmente como lo hecho en el vac´Ĺo para ondas planas arm´onicas se encuentra

4.5 Propagaci´on de Ondas Electromagn´eticas en no-conductores (Diel´ectricos)

(4.100) (4.101) (4.102) (4.103)

61

k¡E = 0, k¡B = 0, k Ă&#x2014; E = Ď&#x2030;B , k Ă&#x2014; B = â&#x2C6;&#x2019;Âľ Ď&#x2030;E .

Observando que v = Ď&#x2030;/k, se nota que la magnitud del campo el´ectrico E es v-veces la magnitud del campo magn´etico B, es decir (4.104)

4.5.4.

E = vB .

Condiciones de frontera para diel´ectricos perfectos

Las ecuaciones de Maxwell se escriben (4.105) (4.106)

â&#x2C6;&#x2021;¡D = 0, â&#x2C6;&#x2021;¡B = 0, â&#x2C6;&#x201A;B , â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;E = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;E â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; B = Âľ . â&#x2C6;&#x201A;t

(4.107) (4.108)

A

l

l1

A1

11 00 00 11 00 A2 11

l2

Figura 4.5 Condiciones de frontera

En la figura 4.5 se nota que Z

Z

(4.109)

â&#x2C6;&#x2021; ¡ DdV = V

D ¡ ds = 0 , S (V)

luego D1n = D2n ,

(4.110)

que corresponden a la continuidad en las componentes normales para el campo D. Por otra parte Z Z Z â&#x2C6;&#x201A;B ¡ ds , (4.111) â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E ¡ ds = E ¡ dl = â&#x2C6;&#x2019; S l S â&#x2C6;&#x201A;t luego Z 0 0 lE1t â&#x2C6;&#x2019; lE2t + l1 E1n + l2 E2n â&#x2C6;&#x2019; l1 E1n â&#x2C6;&#x2019; l2 E2n =â&#x2C6;&#x2019;

(4.112) para l1 y l2 tendiendo a cero y (4.113)

â&#x2C6;&#x201A;B â&#x2C6;&#x201A;t

limitada (finita), tenemos E1t = E2t .

S

â&#x2C6;&#x201A;B ¡ ds , â&#x2C6;&#x201A;t

62

4 Ondas electromagn´eticas

4.6.

Leyes fundamentales de la o´ ptica geom´etrica

Las leyes fundamentales de la o´ ptica geom´etrica son las leyes de la reflexi´on y refracci´on. Se mostrar´a c´omo estas leyes se deducen a partir de las leyes del electromagnetismo.

4.6.1.

Reflexi´on y Refracci´on

Se estudiar´a el caso de un dioptrio plano (ver figura 4.6).

y n0

z

x b kt n

b kr

θt

θr θi

io 1 Med

b ki

io Med

1

Dioptrio Plano

Figura 4.6 Dioptrio Plano

Los ´ındices de refracci´on son n y n0 , sobre el dioptrio incide una onda plana que se propaga en la direcci´on seg´un el vector de onda ki con velocidad de fase v, entonces (4.114)

Ei (r, t) = E0i ei(ki ·r−ωt) ,

donde el m´odulo del vector de onda es k = ω/v. Luego, se produce una onda reflejada (4.115)

Er (r, t) = E0r ei(kr ·r−ωt) ,

y una onda trasmitida (4.116)

Et (r, t) = E0t ei(kt ·r−ωt) ,

con velocidad de fase v0 .

Sobre el dioptrio el vector posici´on toma el valor r = rD , en esta superficie las fase de estas tres ondas deben ser iguales (4.117)

ki · rD − ωt = kr · rD − ωt = kt · rD − ωt ,

de aqu´ı se tiene (4.118)

(ki − kr ) · rD = cte ,

como ki y kr est´an en el mismo material se concluye que (4.119)

θi = θr .

Para (4.120)

(ki − kt ) · rD = cte ,

dado que ki y kt no est´an en el mismo material, se recurre a la condici´on de frontera para la componente tangencial del campo el´ectrico (ecuaci´on 4.113), as´ı

4.6 Leyes fundamentales de la o´ ptica geom´etrica

63

(4.121)

ki sin θi = kt sin θt ,

luego n sin θi = n0 sin θt .

(4.122)

4.6.1.1.

Casos de interes particular

´ θt = π/2 (Angulo de reflexi´on total) ´ θt = π/2 − θi (Angulo de Brewster)

4.6.2.

Coeficientes de reflexi´on y trasmisi´on bajo incidencia normal

En este caso los a´ ngulos cumplen las siguientes condiciones (4.123)

θi = θr = θt = 0 ,

adem´as, kr = −ki , por otra parte ki y kt tienen la misma direcci´on.

Para las ondas el´ectricas (4.124) (4.125)

Ei (r, t) = E0i ei(ki ·r−ωt) e1 , Er (r, t) = E0r ei(kr ·r−ωt) e1 ,

(4.126)

Et (r, t) = E0t ei(kt ·r−ωt) e1 ,

y utilizando las ecuaciones (4.100)-(4.103), se escriben las correspondientes ondas magn´eticas Bi (r, t) = B0i ei(ki ·r−ωt) e2 , Br (r, t) = B0r ei(kr ·r−ωt) (−e2 ) , Bt (r, t) = B0t ei(kt ·r−ωt) e2 ,

(4.127) (4.128) (4.129)

donde e1 · e2 = 0, dado que E ⊥ B (son ortogonales).

Suponiendo la interface entre los medios en r = 0, se tiene (4.130)

E0i + E0r = E0t ,

y (4.131)

B0i − B0r = B0t ,

por la ecuaci´on (4.104) se escribe tambi´en E0i E0r E0t − = 0 . v v v

(4.132)

4.6.2.1.

Coeficientes de reflexi´on y refracci´on en amplitud

Utilisando las ecuaciones (4.130) y (4.132), se definen los coeficientes de reflexi´on y refracci´on en amplitud, respectivamente, por (4.133) Se prueba que t − r = 1 .

r=

E0r n − n0 = E0i n + n0

y

t=

2n E0t = .

E0i n + n0

64

4 Ondas electromagn´eticas

4.6.2.2.

Coeficientes de reflexi´on y refracci´on en intensidad

La intensidad se escribe I = v E 2 , como n = (4.134)

q

0

= cv , se tiene v = 0

c2 = 0 cn , v

luego la intensidad se escribe I = 0 cnE 2 .

(4.135)

Se definen los coeficientes de reflexi´on y refracci´on en intensidad por (4.136)

I0r n|E0r |2 n â&#x2C6;&#x2019; n0 2 R= = = r = I0i n|E0i |2 n + n0

!2 y

T=

I0t n0 |E0r |2 n0 2 4nn0 = = t , = I0i n n|E0i |2 (n + n0 )2

se prueba que T + R = 1 .

4.7.

Interferencia

Cuando dos o m´as ondas electromagn´eticas se presentan en una misma regi´on del espacio, la funci´on de onda resultante es la suma de las funciones de ondas individuales. Este principio de superposici´on es consecuencia de la linealidad de la ecuaci´on de onda. Para ondas arm´onicas de igual frecuencia, este principio de superposici´on es aplicable a las amplitudes complejas.

Este principio de superposici´on no es aplicable a la intensidad, la intensidad de la superposici´on de dos ondas no es en general la suma de las intensidades. Esta diferencia se le atribuye al fen´omeno de interferencia entre estas ondas.

4.7.1.

Interferencia de dos ondas arm´onicas

Consideremos dos ondas arm´onicas linealmente polarizadas E1 (r, t) = E1 (r)eâ&#x2C6;&#x2019;iĎ&#x2030;1 t ,

(4.137) (4.138)

E2 (r, t) = E2 (r)eâ&#x2C6;&#x2019;iĎ&#x2030;2 t ,

donde las amplitudes complejas E1 (r) = E1 (r)eiĎ&#x2022;1 (r) e1 E2 (r) = E2 (r)eiĎ&#x2022;2 (r) e2 .

(4.139) (4.140)

Los vectores, unitarios, e1 y e2 son tales que determinan los estados de polarizaci´on de las dos ondas.

El resultado de la superposici´on es (4.141)

E(r, t) = E1 (r, t) + E2 (r, t) ,

El promedio temporal del m´odulo cuadrado de este campo es

(4.142)

h|E(r, t)|2 i = h|E1 (r, t)|2 i + h|E2 (r, t)|2 i + 2hRe{Eâ&#x2C6;&#x2014;1 (r, t) ¡ E2 (r, t)}i n D Eo = h|E1 (r, t)|2 i + h|E2 (r, t)|2 i + 2Re Eâ&#x2C6;&#x2014;1 (r) ¡ E2 (r) eâ&#x2C6;&#x2019;i(Ď&#x2030;2 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;1 )t ,

para que, en la intensidad promedio resultante, el tercer t´ermino no sea nulo; es necesario que Ď&#x2030;1 = Ď&#x2030;2 = Ď&#x2030;, es decir D E (4.143) eâ&#x2C6;&#x2019;i(Ď&#x2030;2 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;1 )t = 0 para Ď&#x2030;1 , Ď&#x2030;2 .

Luego, la intensidad de la onda resultante es (4.144)

I = I1 + I2 + 2(e1 ¡ e2 )(I1 I2 )1/2 cos(â&#x2C6;&#x2020;Ď&#x2022;) ,

4.7 Interferencia

65

donde ∆ϕ(r) = ϕ2 (r) − ϕ1 (r) es llamada el retardo de fase entre las dos ondas. El tercer t´ermino es llamado: t´ermino de interferencia, el cual es nulo si las ondas incidentes tienen polarizaciones ortogonales, es decir e1 · e2 = 0, as´ı se dice en este caso, que las ondas no interfieren.

En lo siguiente se considera que los dos campos tienen polarizaciones paralelas, con esto e1 · e2 = 1, as´ı

(4.145)

I = I1 + I2 + 2(I1 I2 )1/2 cos(ϕ) # " 2(I1 I2 )1/2 = (I1 + I2 ) 1 + cos(∆ϕ) I1 + I2

La intensidad oscila entre dos valores extremos Imin y Imax dados por (4.146)

Imin = (I11/2 − I21/2 )2 > 0

(4.147)

Imax = (I11/2 + I21/2 )2 > 0 ,

la cantidad (4.148)

V=

Imax − Imin 2(I1 I2 )1/2 = 6 1, Imax + Imin I1 + I2

se le llama factor de visibilidad y caracteriza el contraste de las franjas de interferencia. El m´as alto contraste se obtiene para I1 = I2 ; el valor es 1.

66

4 Ondas electromagn´eticas

4.7.1.1.

Caso de dos ondas planas

Para dos ondas planas de igual amplitud, las amplitudes complejas se escriben E1 (r) = Eei(k1 ·r+ψ1 ) E2 (r) = Eei(k2 ·r+ψ2 ) ,

(4.149) (4.150)

donde ϕ1 (r) = k1 · r + ψ1 y ϕ2 (r) = k2 · r + ψ2 , con |k1 | = |k2 | = k.

X k2 Λ K

k1

Figura 4.7 Interferencia de dos ondas planas

Luego (4.151)

∆ϕ(r) = (k2 − k1 ) · r + ψ2 − ψ1 .

La intensidad est´a dada por (4.152)

I = 2I0 [1 + cos(K · r + φ)] ,

donde K = k2 − k1 (vector interferencia), y φ = ψ2 − ψ1 (diferencia de fase).

La ecuaci´on 4.152 nos determina la intensidad para todo r. Tomando un eje X paralelo al vector K, tenemos (4.153)

K · r = KX = 2Xk sin

X α α = 4π sin , 2 λ 2

donde α es el a´ ngulo entre k1 y k2 , de aqu´ı se llega (4.154)

K=

α 2π 4π = sin , Λ λ 2

luego (4.155)

Λ=

λ , 2 sin(α/2)

as´ı I = 2I0 [1 + cos(KX + φ)] 2π = 2I0 [1 + cos( X + φ)] , Λ

(4.156)

siendo Λ la interfranja (distancia entre dos franjas), la cual es m´as grande a medida que α sea m´as peque˜na.

4.7.1.2.

Caso de dos ondas esf´ericas

Las amplitudes complejas, en un punto P, se escriben

4.7 Interferencia

67

V i(kr1 +ϕ1 ) e r1 V E2 (r) = ei(kr2 +ϕ2 ) , r2

(4.157)

E1 (r) =

(4.158)

para dos ondas esf´ericas emitidas por dos fuentes puntuales S 1 y S 2 , separadas una distancia a, donde r1 = S 1 P y r2 = S 2 P. Entonces (4.159)

ϕ = k(r2 − r1 ) + ϕ2 − ϕ1 .

Se considerar´a que en la vecindad de P las amplitudes var´ıan muy poco con r1 y r2 , as´ı V/r1 ≈ V/r2 = E. La intensidad est´a dada por (4.160)

I = 2I0 {1 + cos[k(r2 − r1 ) + ϕ2 − ϕ1 ]} ,

las superficies de igual intensidad se definen r2 − r1 = cte, que son hiperboloides con focos en S 1 y S 2 .

X S1

r1

P Z

r2 S2 D Y En un plano paralelo a S 1 S 2 , a la distancia Z = D, se producen hip´erbolas. Para r1 ≈ r2 y D a, estas hip´erbolas son pr´acticamente planos. Luego (4.161)

#1/2 " " #

X2 + Y 2 a 2 a2 aX + Y2 ≈ D 1+ r1 = D2 + X − + − , 2 2D2 8D2 2D2

y # a2 aX X2 + Y 2 + + . r2 ≈ D 1 + 2D2 8D2 2D2 "

(4.162) La intensidad se escribe (4.163)

I = 2I0 {1 + cos[k

aX + ϕ2 − ϕ1 ]} , D

donde (4.164)

KX = k

aX aX = 2π , D λD

luego (4.165)

K=

a 2π = 2π , Λ λD

68

4 Ondas electromagn´eticas

entonces (4.166)

Λ=

λD , a

as´ı I = 2I0 [1 + cos(KX + ϕ2 − ϕ1 )] 2π = 2I0 [1 + cos( X + ϕ2 − ϕ1 )] , Λ

(4.167) siendo Λ la interfranja.

4.7.2.

Experimento de Young

Este experimento se adapta del caso de interferencia de dos ondas esf´ericas con ϕ1 = ϕ2 , luego

(4.168)

I = 2I0 [1 + cos(KX)] 2π = 2I0 [1 + cos( X)] . Λ

4.8 Desde una teor´ıa vectorial a una teor´ıa escalar

4.8.

69

Desde una teor´ıa vectorial a una teor´ıa escalar

Como se vi´o, tanto el campo el´ectrico E = (E x , Ey , Ez ) como el campo magn´etico B = (Bx , By , Bz ) obedecen a la misma ecuaci´on de onda, de esto resulta que cada una de las componentes de estos campos, tambi´en satisfacen una versi´on escalar de esta ecuaci´on, por ejemplo en coordenadas rectangulares ∇2 E x − µ0 ε0

(4.169)

∂2 E x = 0, ∂t2

similarmente para las otras componentes del campo el´ectrico y el campo magn´etico. As´ı podemos resumir el comportamiento de todas las componentes de E y B, a trav´es de una ecuaci´on de onda escalar ∇2 U(r, t) − µ0 ε0

(4.170)

∂2 U(r, t) = 0, ∂t2

donde U representa cualquiera de las componentes de estos campos vectoriales.

En el caso de una onda arm´onica (4.171)

U(r, t) = u(r) exp[iϕ(r)] exp(−iωt) ,

donde U(r, t) = Re{U(r, t)}. La amplitud compleja es (4.172)

U(r) = u(r) exp[iϕ(r)] ,

luego (4.173)

U(r, t) = U(r) exp(−iωt) .

En este caso la ecuaci´on de onda se reduce a (∇2 + k2 )U(r) = 0 ,

(4.174)

la cual es una ecuaci´on de onda escalar, llamada ecuaci´on de Helmholtz.

4.8.1.

Principio de Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel establece que cada punto en un frente de onda se puede considerar como una funte puntual que genera una onda esf´erica. La envolvente de estas ondas esf´ericas secundarias constituye un nuevo frente de onda.

Este principio puede ser expresado matem´aticamente de la siguiente forma: (4.175)

U(r) =

i λ

Z

0

U(r0 ) Σ

eik|r−r | cos(n, r − r0 )dr0 . |r − r0 |

ik|r−r0 |

Aqu´ı se observa una onda esf´erica U(r0 ) e|r−r0 | con radio |r − r0 |, donde U(r0 ) es la amplitud de la fuente puntual ubicada en la posici´on r0 (ver figura 4.8), as´ı que el campo en la posici´on r es el resultado de todas las contribuciones de las fuentes puntuales sobre la superficie Σ. El factor cos(n, r − r0 ) es llamado factor de oblicuidad, donde (n, r − r0 ) es el a´ ngulo que hay entre el vector n y el vector r − r0 .

4.8.2.

Difracci´on

Bajo una aproximaci´on escalar, la difracci´on es un fen´omeno que tiene lugar una vez que el campo electromagn´etico se propaga una distancia d λ, donde λ es la longitud de onda de la onda electromagn´etica. ˆ donde kˆ es un vector unitario en la direcci´on del eje z, el Cuando el campo se propaga a lo largo del eje z, es decir, n = k, 0 factor cos(n, r − r ) se puede escribir (4.176)

cos(n, r − r0 ) =

z − z0 , |r − r0 |

70

4 Ondas electromagn´eticas

y Σ

x

r − r0 U(r0 )

n

r r0 Onda esf´erica y

ik|r−r0 |

U(r0 ) e|r−r0 | x z

Figura 4.8 Principio de Huygens-Fresnel

De esta forma el principio de Huygens-Fresnel se pude escribir (4.177)

U(r) =

(z − z0 )i λ

"

0

U(r0 ) Σ

eik|r−r | 0 dr . |r − r0 |2

Tomando el plano Σ en z0 = 0, la distancia |r − r0 | est´a dada por q |r − r0 | = z2 + (x − x0 )2 + (y − y0 )2 , (4.178) s (x − x0 )2 + (y − y0 )2 (4.179) = z 1+ . z2

4.8.2.1.

Aproximaci´on de Fresnel

Se considerar´a que las dimensiones transversales son mucho menor que la distancia de observaci´on, es decir, (x − x0 ) z y (y − y0 ) z, as´ı podemos hacer la siguientes simplificaci´on (aproximaci´on)  !2 !2   1 x − x0 1 y − y0  0  (4.180) |r − r | ≈ z 1 + +  .

2 z 2 z Considerando que la cantidad en el denominador |r − r0 |2 ≈ z2 el error introducido (en la amplitud) es en la pr´actica peque˜no, pero en el exponente el error es introducido en la fase y es ah´ı donde la situaci´on es mucho m´as cr´ıtica, por lo cual se toma (4.181)

U(x, y) =

ieikz λz

"

∞

k

0 2 +(y−y0 )2 ]

U(x0 , y0 )ei 2z [(x−x )

dx0 dy0 ,

−∞

que podemos escribir (4.182)

U(x, y) =

ieikz i k (x2 +y2 ) e 2z λz

"

∞

−∞

k

U(x0 , y0 )ei 2z (x

02 +y02 )

2π

0

0

e−i λz (xx +yy ) dx0 dy0 .

4.8 Desde una teor´Ĺa vectorial a una teor´Ĺa escalar

71

La ecuaci´on 4.182 es la expresi´on matem´atica para el fen´omeno de difracci´on en el r´egimen de Fresnel.

4.8.2.2.

Aproximaci´on de Fraunhofer

Si adicionalmente tomamos la siguiente condici´on (4.183)

z

k(x02 + y02 )max , 2

entonces podemos decir k

ei 2z (x

(4.184)

02 +y02 )

â&#x2030;&#x2C6; 1,

con esto la integral en la ecuaci´on 4.182 se escribe (4.185)

U(x, y) =

ieikz i k (x2 +y2 ) e 2z Îťz

"

â&#x2C6;&#x17E;

2Ď&#x20AC;

0

0

U(x0 , y0 )eâ&#x2C6;&#x2019;i Îťz (xx +yy ) dx0 dy0 .

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

La ecuaci´on 4.185 es la expresi´on matem´atica para el fen´omeno de difracci´on en el r´egimen de Fraunhofer.

En la pr´actica lo que se observa es la intensidad la cual es proporcional al m´odulo cuadrado del campo, lo cual se escribe (4.186)

I(x, y) =

" â&#x2C6;&#x17E;

2 0 0 c 0

0 0 â&#x2C6;&#x2019;i 2Ď&#x20AC; Îťz (xx +yy ) dx0 dy0 .

U(x , y )e

Îť2 z2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Difracci´on por una rendija rectangular T´omese un onda electromagn´etica plana, cuya amplitud est´a dada por U(x, y) = U0 , que ilumina una abertura rectangular ubicada en el plano z0 = 0 (ver figura 4.9).

x0

x y

On

da

Pl

an

a

y0

Figura 4.9 Difraccion por abertura rectangular

Tomando la direcci´on de propagaci´on a lo largo del eje z, tenemos que el campo luego de la abertura rectangular es ( U0 si |x0 | â&#x2030;¤ A , |y0 | â&#x2030;¤ B 0 0 (4.187) U(x , y ) = .

0 afuera Reemplazando este campo en la ecuaci´on (4.186), tenemos

72

4 Ondas electromagn´eticas

Z

Z c 0 U02

B/2 A/2 â&#x2C6;&#x2019;i 2Ď&#x20AC; (xx0 +yy0 ) 0 0

2

, Îťz e dx dy

Îť2 z2 â&#x2C6;&#x2019;B/2 â&#x2C6;&#x2019;A/2

 Ď&#x20AC;   

2 Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; c 0 U02

 eâ&#x2C6;&#x2019;i Îťz xA â&#x2C6;&#x2019; ei Îťz xA   eâ&#x2C6;&#x2019;i Îťz yB â&#x2C6;&#x2019; ei Îťz yB 

   , = 2 2



2Ď&#x20AC; 2Ď&#x20AC; Îť z

x y Îťz Îťz

(4.188)

I(x, y) =

(4.189) llamamos

!

A2 B2 I0 = c 0 U02 , 16Îť2 z2

(4.190) y definiendo la funci´on (4.191)

sinc(x) =

sin Ď&#x20AC;x , Ď&#x20AC;x

ver figura 4.10.

1 sinc(x)

x=1

x

Figura 4.10 Funci´on sinc(x). El primer corte con el eje x se da en x = 1.

Finalmente escribimos I(x, y) = I0 sinc2

(4.192)

Ax Îťz

sinc2

By Îťz

.

La figura 4.10 corresponde a y = 0, as´Ĺ I(x, 0) = I0 sinc2

(4.193)

Ax Îťz

,

similarmante a los mostrado en la figura 4.10, el primer corte se da en x =

Îťz A.

Difracci´on por una doble rendija rectangular Si se ilumina una doble rendija rectangular ubicada en el plano z0 = 0 (ver figura 4.11).

Tomando la direcci´on de propagaci´on a lo largo del eje z, tenemos que el campo luego de la abertura rectangular es (4.194)

0

0

( U0

U(x , y ) = 0

si

â&#x2C6;&#x2019;a + A/2 > x0 > â&#x2C6;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019; A/2 , a + A/2 > x0 > a â&#x2C6;&#x2019; A/2 , |y0 | â&#x2030;¤ B . afuera

4.8 Desde una teor´ıa vectorial a una teor´ıa escalar

73

x0

y0

x

On

da

Pl

an a

y

a

−a

Figura 4.11 Doble rendija rectangular

Reemplazando este campo en la ecuaci´on (4.186), tenemos Ax By ax sinc2 cos2 (2π ) .

(4.195) I(x, y) = I0 sinc2 λz λz λz Ver figura 4.12 para el caso y = 0, as´ı (4.196)

I(x, 0) = I0 sinc2

Ax λz

cos2 (

2π ax ), λ z

aqu´ı se puede ver una funci´on coseno modulada por una funci´on sinc.

x x=

Figura 4.12 Difracci´on por una doble rendija rectangular

λz A

74

4.9.

4 Ondas electromagn´eticas

La fibra o´ ptica

Parte III

Fundamentos de f織覺sica moderna

La f´ısica cu´antica paso de ser solo una rama de la f´ısica te´orica a hoy formar parte de las ciencias aplicadas o ingenier´ıas. Con aplicaciones en el dise˜no materiales, electr´onica y nano-tecnolog´ıas en general, lo cual promete ser pr´oximamente la nueva era tecnol´ogica. De all´ı que su estudio en ingenier´ıas debe ser visto con una visi´on futurista de lo que se quiere de la ingenier´ıa en la UIS, una ingenier´ıa de vanguardia.

Cap´ıtulo 5

Introducci´on a la f´ısica cu´antica

En la f´ısica cl´asica la naturaleza de las onda y de las part´ıculas est´an perfectamente definida y caracterizada, por ejemplo una part´ıcula la caracterizamos por su energ´ıa E y su momentum p, y una onda es caracterizada por su amplitud y vector de onda k. La rigidez en estos conceptos produjo serios inconvenientes en el estudio de fen´omenos microsc´opicos tales como la radiaci´on de un cuerpo negro, efecto fotoel´ectrico y efecto Compton. En la busqueda de la explicaci´on de estos fen´omenos se reformularon las caracter´ısticas de lo que llamamos onda y lo que llamamos part´ıcula.

5.1.

El problema de la radiaci´on, radiaci´on del cuerpo negro

Un cuerpo negro puede ser entendido como una cavidad de paredes internas perfectamente reflectoras de la radiaci´on electromagn´eticas (ejemplo, paredes met´alicas).

5.1.1.

Ley de Stefan-Boltzmann

En 1879 J. Stefan halla experimentalmente que la intensidad emitida por un objeto brillante de temperatura T est´a dada por Z ∞ (5.1) I= Iν dν = aσT 4 , 0

donde σ = 5,67 × 10−8 Wm−2 K −4 es la constante de Stefan-Boltzmann y a 6 1 es un coeficiente que para un radiador ideal a = 1. La cual es llamada ley de Stefan-Boltzmann, debido a que fue Boltzmann quien da la demostraci´on te´orica, combinando termodin´amica y la te´oria electromagn´etica de Maxwell.

5.1.2.

Distribuci´on de la densidad de energ´ıa de Wien

En 1894 Wien tom´o la ley de Stefan-Boltzmann y aplicando argumentos termodin´amicos obtuvo la densidad de energ´ıa de la radiaci´on emitida por un cuerpo negro (5.2)

E(ν, T ) = Aν3 e−βν/T ,

donde A y β son dos par´ametros que pueden ser adaptados para ajustar la curva experimental, E tiene unidades de energ´ıa por unidad de volumen por unidad de frecuencia. Esta ley predice muy bien la densidad de energ´ıa para altas frecuencias, pero para bajas frecuencias falla.

5.1.3.

Distribuci´on de la densidad de energ´ıa de Rayleigh

En 1900 Rayleigh trat´o de entender la naturaleza de la radiaci´on electromagn´etica dentro de la cavidad, considerando que esta consiste de ondas estacionarias a temperatura T con nodos en la superficie met´alica. Estas ondas estacionarias son el resultado de las oscilaciones arm´onicas de los electrones en las paredes de la cavidad (osciladores arm´onicos). En el equilibrio 77

78

5 Introducci´on a la f´ısica cu´antica

t´ermico la densidad de energ´ıa electromagn´etica es igual a la densidad de energ´ıa de los electrones en las paredes de la cavidad.

La energ´ıa total promedio de la radiaci´on que abandona la cavidad puede ser calculada multiplicando la energ´ıa promedio de los osciladores por el densidad de modos de la radiaci´on en el intervalo de frecuencias entre λ y λ + dλ.

El campo electromagn´etico debe satisfacer la ecuaci´on de onda ∇2 E −

(5.3)

1 ∂2 E = 0, c2 ∂t2

Para ondas estacionarias en la cavidad en equilibrio con la paredes, la soluci´on debe ser cero en las paredes (5.4)

E = E0 sin

n2 πy n3 πz 2πct n1 πx sin sin sin , L L L λ

para una cavidad c´ubica de lado L. Sustituyendo esta soluci´on en la ecuaci´on de onda, resulta n π 2 n π 2 n π 2 " 2π #2 1 2 3 + + = , L L L λ

(5.5) luego

n21 + n22 + n23 =

(5.6)

4L2 . λ2

El volumen de una esfera en el espacio de las n de radio n = (n1 , n2 , n3 ), est´a dado por 4 V = π(n21 + n22 + n23 )3/2 .

3

(5.7)

Se tomar´a solo un octante (n positivos), adem´as, las ondas pueden tener dos polarizaciones. Con esto y la aproximaci´on de que el n´umero de modos es igual al volumen (cavidades mucho m´as grandes que la longitud de onda), entonces π 8πL3 N = (n21 + n22 + n23 )3/2 = .

3 3λ3

(5.8)

El n´umero de modos por unidad de volumen por unidad de longitudes de onda es (5.9)

N(λ) = −

1 dn 8π = .

L3 dλ λ4

La densidad de modos de la radiaci´on en el intervalo de frecuencias entre ν y ν + dν est´a dado por (5.10)

N(ν) = N(λ)

c 8πν2 = , ν2 c3

donde c es la velocidad de la luz. La densidad de energ´ıa electromagn´etica est´a dada por (5.11)

E(ν, T ) = N(ν) < E >=

8πν2 < E >, c3

donde < E > es la energ´ıa promedio de los osciladores presentes en las paredes de la cavidad (o de la radiaci´on electromagn´etica en ese intervalo de frecuencias ν y ν + dν), la cual es una funci´on de la temperatura T .

5.1.3.1.

Calculo de < E >

Tomemos el cuerpo negro (sistema A) en un estado (microsc´opico) con energ´ıa E, en contacto t´ermico con un reservorio de calor (sistema A0 ) con energ´ıa E 0 (la radiaci´on electromagn´etica en la cavidad), as´ı la energ´ıa total del sistema compuesto est´a dada por E o = E + E 0 = cte, luego E 0 = E o − E. La probabilidad P(E) de encontrar los osciladores arm´onicos en la cavidad en un estado de energ´ıa E dado, es proporsional el n´umero Ω0 (E 0 ) de estados de A0 compatibles con que A se encuentre con energ´ıa E, es decir, (5.12)

P(E) = C 0 Ω0 (E o − E) .

5.1 El problema de la radiaci´on, radiaci´on del cuerpo negro

79

Tomemos el caso en el E E o , entonces podemos aproximar 5.12 expandiendo el logaritmo de Ω0 (E 0 ) al rededor de E o , entonces # " ∂ ln Ω0 0 o 0 o E +··· , (5.13) ln Ω (E − E) = ln Ω (E ) − ∂E 0 E o como E ≪ E o , los t´erminos superiores pueden ser despresiados. Se define " # ∂ ln Ω0 (5.14) β≡ , ∂E 0 E o la cual es una constante independiente de E. Tomando el exponencial se llega P(E) = Ce−βE .

(5.15) Como

Z

∞

P(E)dE = 1 ,

(5.16) 0

llegamos a (5.17)

P(E) = R ∞ 0

e−βE e−βE dE

,

La cual es la probabilidad del encontar al sistema de osciladores arm´onicos que componen el cuerpo negro en un estado microsc´opico con energ´ıa E. El par´ametro β tiene dimensiones de inverso de energ´ıa, se define (5.18)

kT ≡

1 , β

donde T es una cantidad adimensional que llamaremos temperatura, y k es una constante que tiene unidades de energ´ıa, llamada constante de Boltzmann. Luego R∞ Ee−E/kT dE (5.19) < E >= R0 ∞ = kT , e−E/kT dE 0 entonces (5.20)

E(ν, T ) = N(ν) < E >=

8πν2 kT , c3

es la llamada formula de Rayleigh-Jeans. Este resultado funciona muy bien para baja frecuencias, pero para las altas es inadecuada (diverge).

5.1.4.

Distribuci´on de la densidad de energ´ıa de Planck

Como se mostr´o en las anteriores secciones, la f´ısica cl´asica fracas´o en el intento de explicar la naturaleza de la radiaci´on de un cuerpo negro, muchos ec´epticos (de las ideas de Planck) han seguido intentando explicar tal fen´omeno mediante la f´ısica cl´asica, pero, hasta el d´ıa de hoy no se ha logrado dar una explicaci´on diferente a la que se dar´a a continuaci´on.

Visualizando una interpolaci´on entre las formulas de Rayleigh-Jeans y la de Wien, en 1900 Planck postula que la energ´ıa de los osciladores arm´onicos que componen la cavidad oscilan con energ´ıas que son multiplos de hν, es decir, (5.21)

E = nhν n = 0, 1, 2, 3, . . . ,

donde h es la constante de Planck y hν es la energ´ıa de un cuantum. Con esto, los osciladores arm´onicos (de frecuencia ν) en las paredes de la cavidad, solo pueden oscilar con energ´ıas m´ultiplos enteros de hν.

Asumiendo que las energ´ıas de los osciladores est´a cuantizada, la energ´ıa promedio puede ser calculada en la siguiente forma

80

5 Introducci´on a la f´ısica cu´antica

P∞ (5.22)

< E >=

−nhν/kT dE n=0 nhνe P∞ −nhν/kT n=0 e

=

hν ehν/kT

−1

,

luego (5.23)

E(ν, T ) = N(ν) < E >=

8πν2 hν .

3 hν/kT c e −1

Esta es la distribuci´on de Planck. El valor de h se obtiene ajustando la curva experimental, resultando en h = 6,626 × 10−34 Js.

5.2.

5.2.1.

Efecto fotoel´ectrico Experimento de Hertz

En 1887 Heinrich Hertz, observando la descarga el´ectrica entre electrodos, para generar ondas electromagn´eticas, observ´o que cuando iluminaba los electrodos con luz ultravioleta, la intensidad de la descarga aumentaba, es decir, que las superficies iluminadas emit´ıan m´as electrones.

5.2.2.

Experimento de Hallwachs

En 1888 Wilhelm Hallwachs observ´o que electrones eran emitidos desde algunos metales (ejemplo, zinc, rubidio, potasio y sodio) cuando se iluminaba su superficie. A este efecto se le llam´o efecto fotoel´ectrico y a los electrones emitidos fotoelectrones.

5.2.3.

Experimento de J.J. Thomson

En 1899 Thomson confirma que las part´ıculas emitidas por los metales, en estos experimentos, son electrones.

5.2.4.

Explicaci´on de Einstein

Einstein toma las ideas de Planck desde otras perspectivas y postulas que no solo las energ´ıas de los osciladores arm´onicos de los que se compone la cavidad en un cuerpo negro estan cuantizados, si no que la energ´ıa de la radiaci´on tambi´en est´a cuantizada, es decir, que no puede existir cantidades albitrarias para para la energ´ıa del campo electromagn´etico, y que esta energ´ıa tambi´en obedece a la misma regla de cuantizaci´on de Planck, entonces la energ´ıa electromagn´etica est´a dada por (5.24)

En = nhν .

Si los electrones en un metal se encuentran ligados mediante un potencial φ, para ser liberados, la energ´ıa m´ınima que debe tener la radiaci´on est´a dada por hν − φ = 0, con esto la energ´ıa cin´etica de los electrones emitidos se escribe (5.25)

K = hν − φ ,

bajo la hip´otesis que hν > φ, de lo contrario no habr´a emisi´on de electrones. Si definimos φ = hν0 , luego (5.26) y ν0 es la frecuencia de corte del metal.

K = h(ν − ν0 ) ,

5.7 Dualidad en la materia, ondas de De Broglie

5.3.

81

Efecto Compton

En 1923 Arthur Compton observ´o que cuando una onda electromagn´etica encuentra a su paso part´ıculas, esta onda se dispersa cambiando su longitud de onda, adem´as, cambiando el estado de movimiento de la part´ıcula. Para explicar este fen´omeno Compton llevo las ideas de Einstein sobre la radiaci´on m´as lejos, tom´o los cuantum de energ´ıa electromagn´etica E = hν, y le asoci´o un momento de magnitud p = hν/c, con esto se asignan propiedades corpusculares a la radiaci´on electromagn´etica (Fot´on).

Para un electr´on en reposo que colisiona con un fot´on, el momentum P luego luego de la colisi´on est´a dado por P = Pe + p0 ,

(5.27)

donde Pe es el momentum del electr´on luego de la colisi´on y p0 es el momentum del fot´on luego de la colisi´on.

5.4.

Espectros at´omicos y modelos at´omicos

5.5.

Los Rayos X

5.6.

El efecto L´aser

5.7.

Dualidad en la materia, ondas de De Broglie

5.7.1.

Difracci´on de electrones

5.7.2.

Principio de Heisemberg y relaciones de incertidumbre