TEMA V ECUACIÓN DE LA RECTA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA V ECUACION DE LA RECTA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA Nº5 “ECUACIÓN DE LA RECTA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES” 5.1. PARES ORDENADOS Dados dos números reales x e y en un cierto orden denominamos par ordenado a toda expresión de la forma (x; y).

Decimos ordenado porque x antecede a y; por lo tanto (x; y)  (y; x).

Los pares ordenados representan puntos en el plano; donde a la primera componente la representamos sobre el eje de las abscisas (horizontal) y la segunda componente sobre el eje de las ordenadas (vertical).

Por ejemplo: Representaremos en el plano cartesiano los siguientes puntos: Puntos

A=(0;0)

B=(2;3)

C=(5;0)

D=(0;4)

E=(-3;2)

F=(-4;-3)

G=(3;-5)

H=(0;-4)

I=(-5;0)

Abscisa

0

2

5

0

-3

-4

3

0

-5

Ordenada

0

3

0

4

2

-3

-5

-4

0

5.2. ECUACIĂ“N DE LA RECTA Ahora solo estudiaremos la ecuaciĂłn de la recta o tambiĂŠn conocida como funciĂłn lineal.

Denominamos ecuación de la recta a toda expresión de la forma y  a.x  b .

Ejemplos: đ?‘Ś = đ?‘Ľ − 5 đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ

đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 3

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ

đ?‘Ś=5

En la ecuaciĂłn de la recta debemos tener en cuenta los conceptos de pendiente, de ordenada al origen y la representaciĂłn grĂĄfica, que especificamos a continuaciĂłn: 5.2.1. Pendiente: indica la inclinaciĂłn de la recta y la calculamos teniendo como

y2  y1 es lo que denominamos x2  x1 y B  x2 ; y 2 

datos dos puntos en el plano. El cociente pendiente, siendo los puntos A  x1 ; y1 

a

Si a  0 la recta forma con el eje x un ångulo menor de 90º (ångulo agudo) Si a  0

la recta forma con el eje x un ĂĄngulo mayor de 90Âş (ĂĄngulo obtuso)

Si a  0 la recta es paralela al eje x Ejemplos: la pendiente para cada una de las expresiones dadas en los ejemplos anteriores es: đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’5

đ?‘Ž=1

đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 3

đ?‘Ž = −1

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3

đ?‘Ž=2

đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ

đ?‘Ž=3

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ

đ?‘Ž = −2

đ?‘Ś=5

đ?‘Ž=0

5.2.2. Ordenada al origen: es el valor donde la recta corta al eje y; es decir el punto de intersecciĂłn con el eje y.

Ejemplos: la ordenada al origen para cada uno de los ejemplos anteriores es: đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’5

đ?‘? = −5

đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ

đ?‘?=0

đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ

đ?‘?= 3 đ?‘?= 0

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3 đ?‘? = −3 đ?‘Ś=5

đ?‘?=5

5.2.3. RepresentaciĂłn GrĂĄfica de la ecuaciĂłn de la recta: como indica su nombre la representaciĂłn grĂĄfica es una lĂ­nea recta.

Para representar grĂĄficamente basta dar dos puntos en el plano que pertenezcan a la recta (es decir que las coordenadas -o puntos- verifiquen la ecuaciĂłn dada)

Ejemplos: Si representamos grĂĄficamente las siguientes rectas tendremos đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’5

đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 3

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3

đ?‘Ľ

đ?‘Ś=đ?‘Ľâˆ’5

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 3

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3

0 5

-5 0

0 -3

3 0

0 1

-3 -1

Ahora representaremos las siguientes rectas: đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ

đ?‘Ś=5

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ś=5

0 1

0 3

0 1

0 -2

0 1

5 5

DISTINTAS EXPRESIONES DE LA ECUACIĂ“N DE LA RECTA Existen expresiones diferentes de la ecuaciĂłn de la recta siendo las mismas: 5.2.4. EcuaciĂłn ExplĂ­cita de una recta viene dada por la ya conocida expresiĂłn:

đ?’š = đ?’‚đ?’™ + đ?’ƒ 5.2.5. EcuaciĂłn General o ImplĂ­cita de una recta La ecuaciĂłn de la recta tambiĂŠn la podemos expresar con todos los tĂŠrminos en el lado izquierdo de la igualdad; es decir que la ecuaciĂłn queda igualados a cero. Es lo que denominamos ecuaciĂłn general o implĂ­cita de la recta:

đ??´đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ś + đ??ś = 0 Ejemplos 4

 Hallar la ecuación general de la recta � = 3� + 3. Para este caso debemos realizar pasajes de tÊrminos

4

đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ + 3 â&#x;ş đ?‘Ś =

9đ?‘Ľ+4 3

â&#x;ş 3đ?‘Ś = 9đ?‘Ľ + 4 â&#x;ş −đ?&#x;—đ?’™ +

đ?&#x;‘đ?’š − đ?&#x;’ = đ?&#x;Ž que es la ecuaciĂłn general pedida.  Hallar la ecuaciĂłn explĂ­cita a partir de la expresiĂłn general, siendo la misma 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 5 = 0 Para este caso debemos despejar la variable y, queda asĂ­: 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 5 = 0 â&#x;ş 2đ?‘Ś = 5 − 3đ?‘Ľ 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − 5 = 0 â&#x;ş 2đ?‘Ś = 5 − 3đ?‘Ľ â&#x;ş đ?‘Ś = explĂ­cita.

5−3đ?‘Ľ 2

đ?&#x;‘ đ?&#x;?

â&#x;şđ?’š=− đ?’™+

đ?&#x;“ đ?&#x;?

que es la ecuaciĂłn

5.2.6. EcuaciĂłn punto-pendiente de una recta Una recta queda perfectamente determinada por su inclinaciĂłn y por un punto perteneciente a ella. Esto nos permite dar el siguiente resultado: Sea (đ?’™đ?&#x;Ž ; đ?’šđ?&#x;Ž ) un punto de una recta y a su pendiente, entonces su ecuaciĂłn viene dada por la expresiĂłn đ?‘Ś − đ?‘Ś0 = đ?‘Ž. (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) Ejemplo: Hallar la ecuaciĂłn punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (-2, 4) y tiene pendiente 3.

En este caso simplemente debemos reemplazar los datos en la expresiĂłn indicada, y obtenemos asĂ­: đ?‘Ś − 4 = 3. (đ?‘Ľ + 2)

De esta expresiĂłn podemos encontrar la ecuaciĂłn explĂ­cita que es: đ?‘Ś − 4 = 3. (đ?‘Ľ + 2) â&#x;ş đ?‘Ś − 4 = 3đ?‘Ľ + 6 â&#x;ş đ?‘Ś = 3đ?‘Ľ + 10 y la ecuaciĂłn implĂ­cita o general que es: đ?‘Ś − 4 = 3. (đ?‘Ľ + 2) â&#x;ş đ?‘Ś − 4 = 3đ?‘Ľ + 6 â&#x;ş −3đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 4 − 6 = 0 â&#x;ş −3đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 10 = 0

5.2.7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean los puntos A  x1 ; y1  y B  x2 ; y 2  dos puntos de una recta que no sea horizontal*, entonces la ecuación estå dada por la expresión: y  y1  pendiente a 

y 2  y1 ( x  x1 ) x2  x1

donde la

y 2  y1 x 2  x1

(* La recta no puede ser horizontal porque si no el denominador se anula) Ejemplo: Hallar la ecuaciĂłn general de la recta que pasa por los puntos A= (-1; 2) y B = (3; -2) Reemplazando los valores en la expresiĂłn dada, tenemos: đ?‘Śâˆ’2=

−2 − 2 (đ?‘Ľ + 1) â&#x;ş đ?‘Ś − 2 = −đ?‘Ľ − 1 â&#x;ş đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 2 + 1 = 0 â&#x;ş đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 1 = 0 3+1

5.4. POSICIONES DE RECTAS EN EL PLANO Dos rectas en el plano pueden ser paralelas o secantes, ahora definiremos cada una de ellas.

5.4.1. Rectas Paralelas: son aquellas que tiene ningĂşn punto en comunes.

Dos rectas son paralelas si y solo sĂ­ tienen la misma pendiente.

SimbĂłlicamente: Sean đ?’“đ?&#x;? : đ?’š = đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’ƒđ?&#x;? y đ?’“đ?&#x;? : đ?’š = đ?’‚đ?&#x;? đ?’™ + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’“đ?&#x;? //đ?’“đ?&#x;? ⇔ đ?’‚đ?&#x;? = đ?’‚đ?&#x;?

Por ejemplo: Las rectas đ?‘&#x;1 : 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 y đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = −1 − 2đ?‘Ľ son rectas paralelas porque si determinamos sus pendientes đ?‘Ž1 = −2 y đ?‘Ž2 = −2 podemos observar que son las mismas. đ?‘&#x;1 : 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 â&#x;ş đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 1

y

đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = −1 − 2đ?‘Ľ

Un caso particular de rectas paralelas son las coincidentes.

5.4.2. Rectas Coincidentes: son aquellas que tienen todos sus puntos en comunes.

Dos rectas son coincidentes si y sĂłlo sĂ­ tienen la misma pendiente y la misma ordenada al origen.

SimbĂłlicamente: Sean đ?‘&#x;1 : đ?‘Ś = đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 y đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘&#x;1 đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Ž đ?‘&#x;2 ⇔ đ?‘Ž1 = đ?‘Ž2 ∧ đ?‘?1 = đ?‘?2 Por ejemplo: Las rectas đ?‘&#x;1 : 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 y đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = 1 − 2đ?‘Ľ son rectas coincidentes porque si determinamos sus pendientes đ?‘Ž1 = −2 y đ?‘Ž2 = −2 y tambiĂŠn sus ordenadas al origen đ?‘?1 = 1 y đ?‘?2 = 1 podemos observar que son las mismas. y

đ?‘&#x;1 : 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 â&#x;ş đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 1

đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = 1 − 2đ?‘Ľ

5.4.3. Rectas Secantes: son aquellas que tienen un Ăşnico punto en comĂşn (punto de intersecciĂłn)

Dos rectas son secantes si y sĂłlo sĂ­ tienen distintas sus pendientes.

SimbĂłlicamente: Sean đ?‘&#x;1 : đ?‘Ś = đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘&#x;1 đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Ž đ?‘&#x;2 ⇔ đ?‘Ž1 ≠đ?‘Ž2

y

đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2

Por ejemplo: Las rectas đ?‘&#x;1 : 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 y đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = −2 − 3đ?‘Ľ son rectas secantes porque si determinamos sus pendientes đ?‘Ž1 = −2 y đ?‘Ž2 = −3 podemos observar que son distintas. đ?‘&#x;1 : 2đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 1 â&#x;ş đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ + 1

y

đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = −2 − 3đ?‘Ľ

Un caso particular de rectas secantes son las rectas perpendiculares.

Rectas Perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si y sĂłlo sĂ­ el producto de las pendientes de ambas rectas es igual a -1.

SimbĂłlicamente: Sean đ?‘&#x;1 : đ?‘Ś = đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 1 đ?‘&#x;1 đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘–đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ž đ?‘&#x;2 ⇔ đ?‘Ž1 = − đ?‘Ž

y

đ?‘&#x;2 : đ?‘Ś = đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2

2

5.6. ECUACIĂ“N LINEAL CON DOS VARIABLES Es una expresiĂłn de la forma ax + by = 0 donde a, b y c son nĂşmeros reales. Los nĂşmeros a y b son los coeficientes de las variables x e y respectivamente y c recibe el nombre de tĂŠrmino independiente. đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘’đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘Ž = 3, đ?‘? = 2 Ejemplo: 3đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 5 es una ecuaciĂłn lineal donde { đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ś đ?‘’đ?‘™ đ?‘ĄĂŠđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘œ đ?‘–đ?‘›đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘’đ?‘ 5

5.6.1. Conjunto soluciĂłn Al conjunto de pares ordenados (đ?‘&#x;1 ; đ?‘&#x;2 ) denominamos soluciĂłn de la ecuaciĂłn đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = 0 si al sustituirlo en la ecuaciĂłn, satisface a la misma; o sea que đ?‘Ž. đ?‘&#x;1 + đ?‘?. đ?‘&#x;2 = 0 es verdadero Ejemplo: (1; 1) es una soluciĂłn de la ecuaciĂłn đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;?đ?’š = đ?&#x;“ porque al reemplazar los valores de la variables verifican la igualdad, en este caso: 3.1 + 2.1 =5=5 Una ecuaciĂłn lineal con dos variables siempre tiene infinitas soluciones.

5.7. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCĂ“GNITAS Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas es un par de expresiones algebraicas que representamos de la siguiente forma:

ďƒŹ a1 x  b1 y  c1 donde x e y son las incĂłgnitas, đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘?1 y đ?‘?2 ďƒ­ a x  b y  c 2 2 ďƒŽ son los coeficientes y, đ?‘?1 y đ?‘?2 son los tĂŠrminos independientes.

Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas es đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10 { đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś =2 Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrĂ­an infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de nĂşmeros que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de nĂşmeros cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de nĂşmeros (x, y) que cumplan a la vez las dos.

Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemĂĄticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto mĂĄs arriba, podrĂ­a ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:

Entre lapiceras y cuadernos tengo diez piezas de material escolar. Tengo dos lapiceras mĂĄs que cuadernos. ÂżCuĂĄntas lapiceras y cuadernos tengo?

Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado anteriormente. Ahora vamos a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resoluciĂłn de estos problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.

Cuya traducciĂłn y resoluciĂłn serĂ­a:

x: nĂşmero de lapiceras

y: nĂşmero de cuadernos

đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10 { đ?‘Ľ =đ?‘Ś+2

8 ďƒŹďƒŻ ďƒŹ x  y  10 ďƒŹ y  2  y  10 ďƒŹ2 y  10  2 ďƒŹy  4 y ďƒ›ďƒ­ ďƒ›ďƒ­ ďƒ›ďƒ­ ResoluciĂłn: ďƒ­ 4 ďƒ›ďƒ­ ďƒŽx  y2 ďƒŽ x  y2 ďƒŽ x y2 ďƒŽx  6 ďƒŻďƒŽ x  y  2 Respuesta: Son 4 cuadernos y 6 lapiceras

5.7.1. Conjunto SoluciĂłn El conjunto formado por el par ordenado

x; y 

que satisface simultĂĄneamente las dos ecuaciones del sistema lo denominamos Conjunto SoluciĂłn del sistema o sea a la expresiĂłn ď ťď€¨x; y ď€Šď ˝ .

En el ejemplo anterior, buscĂĄbamos un par de nĂşmeros que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de nĂşmeros (x, y) que satisface simultĂĄneamente ambas ecuaciones de un sistema denominamos Conjunto SoluciĂłn del sistema de ecuaciones.

En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la soluciĂłn estĂĄ dada por el par de nĂşmeros (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado serĂ­a que tengo seis lapiceras y cuatro cuadernos. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una soluciĂłn y ĂŠsta estĂĄ formada por dos nĂşmeros. ÂżQuiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de nĂşmeros por soluciĂłn? Pues no. En realidad, un poco mĂĄs adelante, veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga soluciĂłn, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerĂĄ del tipo de sistema de que se trate.

5.7.2. Equivalencia de Sistemas de Ecuaciones Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones equivalentes.

Supongamos que tenemos en una balanza un recipiente azul y dos verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una ecuaciĂłn de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirĂĄ equilibrada. A esta Ăşltima acciĂłn la escribiremos con la ecuaciĂłn: a + 2v + 3 = 7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos ecuaciones tienen la misma soluciĂłn y se dice que son ecuaciones equivalentes.

De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad, se multiplican los dos miembros de una

ecuación por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución. Es decir:

Si sumamos una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o multiplicamos ambos por un mismo número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente a la dada.

Definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el de sistemas equivalentes: Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es).

Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente; para ello daremos las propiedades:

5.7.3. Propiedades de Sistemas Equivalentes  Sumar un mismo número (no una incógnita) a ambos miembros de una de las

ecuaciones del sistema.

 Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número

distinto de cero.

 Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera.  Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la

otra ecuación.

Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes obtenemos un sistema equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo.

5.8. Clasificación de los Sistemas de acuerdo al tipo de solución A los sistemas los podemos clasificar por el tipo de soluciones en: Sistemas compatibles determinados (SCD): son aquellos que tiene única solución es decir que las líneas rectas se cortan en un solo punto, donde ese punto representaría la solución. Para este caso, las rectas tienen distintas pendientes (rectas secantes).

Sistema compatible indeterminado (SCI): son aquellos que tienen infinitas soluciones. Las rectas estarán superpuestas (por lo tanto todos los puntos de las rectas son soluciones); es decir tienen la misma pendiente y ordenada al origen (rectas coincidentes)

Sistema incompatible (SI): son aquellos que no tienen solución. Las rectas son paralelas (ningún punto de intersección); es decir tienen la misma pendiente pero distintas ordenadas al origen (rectas paralelas)

SCD

SCI

SI

5.8.1. Métodos de Resolución En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en este tema, (que no son todos) se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico.

Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas.

Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución,

igualación y reducción.

Métodos Analíticos  de Sustitución  de Igualación  de Reducción por sumas o restas

Métodos gráficos: consiste en representar gráficamente ambas rectas y determinar si existe el punto de intersección (dicho punto es la solución del sistema).

De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo,

simultáneamente, podemos ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema.

Vamos a empezar pues con: Método de Sustitución: para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por este método seguiremos los siguientes pasos:

 Despejamos una de las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones dadas.  Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y resolvemos la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.  Una vez calculada la primera incógnita, calculamos la otra en la ecuación despejada (la obtenemos en el primer paso)

Evidentemente, cuando la incógnita que despejamos en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, elegimos una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, podemos ir haciendo la discusión del sistema, ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían.

Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.

Por Ăşltimo, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones) y llegamos, al final de su resoluciĂłn, a un valor para la incĂłgnita x y a otro para la y, estos dos valores formarĂĄn el par (x, y) que nos da la soluciĂłn del sistema y ĂŠste tendrĂĄ, por tanto una Ăşnica soluciĂłn y serĂĄ un sistema compatible determinado.

Ejemplo de resoluciĂłn de un sistema mediante el mĂŠtodo de sustituciĂłn:

Entre Amalia y SebastiĂĄn tienen $600, pero SebastiĂĄn tiene el doble de pesos que Amalia. ÂżCuĂĄnto dinero tiene cada uno?

Llamemos x al número de pesos de Amalia e y al de Sebastiån. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen $600, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sebastian tiene el doble de pesos que Amalia, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el � + � = 60 siguiente sistema:{ � = 2� Vamos a resolver el sistema por el mÊtodo de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos: x + 2x = 600 ⇒ 3 x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200 Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos: y= 2 x ⇒ y = 400 Por tanto, la solución al problema planteado es que Amalia tiene $200 y Sebastiån tiene $400.

MĂŠtodo de IgualaciĂłn: Para resolver un sistema de ecuaciones por este mĂŠtodo hay que despejar una incĂłgnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuaciĂłn de primer grado.

Los pasos son las siguientes:

 

Despejamos la misma incĂłgnita en ambas ecuaciones.

Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuaciĂłn lineal de una incĂłgnita que resulta.

 Calculamos el valor de la otra incógnita y sustituimos la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

A continuaciĂłn, resolveremos el mismo ejercicio de la secciĂłn anterior mediante el mĂŠtodo de igualaciĂłn, que es el siguiente:

Entre Amalia y Sebastiån tienen $600, pero Sebastiån tiene el doble de pesos que Amalia. ¿Cuånto dinero tiene cada uno? � + � = 600 Y el sistema es el siguiente: { � = 2� Vamos a resolver el sistema por el mÊtodo de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos: y = 2 x y ademås despejamos la misma variable de la 1º ecuación y = 600 - x ⇒ Igualamos y obtenemos que: 2 x = 600 x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200 Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos: y = 2x ⇒ y = 400.

Por tanto, la soluciĂłn al problema planteado es que Amalia tiene $200 y SebastiĂĄn tiene $400, es decir, el mismo resultado.

MĂŠtodo de ReducciĂłn: Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algĂşn(os) nĂşmero(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuaciĂłn sumamos las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuaciĂłn de primer grado con una incĂłgnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incĂłgnita: una consiste en volver a aplicar el mismo mĂŠtodo (serĂ­a la opciĂłn mĂĄs pura de reducciĂłn); la otra es sustituir la incĂłgnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos los pasos a seguir:

 Multiplicamos las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario.  Sumamos ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.  Resolvemos la ecuación lineal de una incógnita que resulta. Para este paso hay dos opciones: a.

Repetimos el proceso con la otra incĂłgnita.

b.

Sustituimos la incĂłgnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejamos la otra.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los mĂŠtodos anteriores resuelto por el mĂŠtodo de reducciĂłn:

Entre Amalia y SebastiĂĄn tienen $600, pero SebastiĂĄn tiene el doble de pesos que Amalia. ÂżCuĂĄnto dinero tiene cada uno? đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 600 Y el sistema es el siguiente: { đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ Vamos a resolver el sistema por el mĂŠtodo de reducciĂłn. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedarĂĄ: đ?’™ + đ?’š = đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?’™ − đ?’š = đ?&#x;Ž đ?&#x;‘đ?’™ = đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ⇒ đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž A partir de este momento es cuando podemos aplicar cualquiera de las dos posibilidades descritas mĂĄs arriba. Vamos a terminar el ejercicio con la forma mĂĄs pura posible de aplicaciĂłn del mĂŠtodo de reducciĂłn. Para ello, vamos a volver a aplicar el mĂŠtodo para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustituciĂłn.

Multiplicamos la primera ecuaciĂłn por -2 y obtendremos el siguiente −2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = −1200 sistema, equivalente al inicial: 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 0 Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:-3y=-1200 ⇒ y=1200/3⇒ y = 400 Por tanto, la soluciĂłn al problema planteado es que Amalia tiene $200 y SebastiĂĄn tiene $400, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habĂ­amos obtenido con los mĂŠtodos de sustituciĂłn e igualaciĂłn.

5.3.2. MĂŠtodo GrĂĄfico de ResoluciĂłn Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incĂłgnitas es la de una funciĂłn de primer grado, es decir, una recta.

El mĂŠtodo grĂĄfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es asĂ­, dĂłnde. Esta Ăşltima afirmaciĂłn contiene la filosofĂ­a del proceso de discusiĂłn de un sistema por el mĂŠtodo grĂĄfico.

Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sĂłlo pueden tener tres posiciones relativas (entre sĂ­): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta).

Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ĂŠste son el par (x, y) que conforman la Ăşnica soluciĂłn del sistema, ya que son los Ăşnicos

valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado (SCD).

Si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado (SCI).

Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible (SI), o sea sin solución.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en los siguientes pasos:

 Despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones.  Construimos, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.  Representamos gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado (SCD). b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado (SCI).

Veamos, por Ăşltima vez, el ejemplo analizado en los mĂŠtodos analĂ­ticos para resolverlo grĂĄficamente y comprobar que tiene la misma soluciĂłn, cualquiera sea el mĂŠtodo elegido.

Recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Amalia y SebastiĂĄn tienen $600, pero SebastiĂĄn tiene el doble de pesos que Amalia. ÂżCuĂĄnto dinero tiene cada uno?

Y el sistema es el siguiente: {

đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 600 đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ

Para resolver el sistema por el mĂŠtodo grĂĄfico despejamos la incĂłgnita y en đ?‘Ś = 600 − đ?‘Ľ ambas ecuaciones y tendremos: { đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores: y = -x + 600 x

y = 2x y

x

y

200

400

100

200

600

0

200

400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes x e y podemos ya representar grĂĄficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Amalia tiene $200 y Sebastián tiene $400, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

5.4. Resolución ecuaciones

de

problemas

mediante

sistemas

de

La resolución de problemas en general, y mediante sistemas de ecuaciones en este caso particular, es un proceso complejo para el que, desgraciada o afortunadamente (según se mire), no hay reglas fijas ni resultados teóricos que garanticen un buen fin en todas las ocasiones.

De todas formas, si hay algo que ayuda en cualquier caso a llevar a buen puerto la resolución de un problema es el orden. Por ello, hay que ser metódico y habituarse a proceder de un modo ordenado siguiendo unas cuantas fases en el desarrollo de dicha resolución.

Las cuatro fases que habrá que seguir para resolver un problema son:    

Comprender el problema.

Plantear el problema.

Resolver el problema (en este caso, el sistema).

Comprobar la solución.

Todo ello quizás quede más claro si observamos el siguiente cuadro que detallamos, una a una, las cuatro fases de este proceso: 1. Comprender el problema.

2. Plantear el problema.



Leer detenidamente el enunciado.





Hacer un gráfico o un esquema que refleje las condiciones del problema.

Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de acción,



Identificar los datos conocidos y las incógnitas.

Elegir las operaciones y anotar el orden en que debes realizarlas.



Expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.



3. Resolver el problema.   

4. Comprobar la solución.

Resolver las operaciones en el orden establecido.

Resolver las ecuaciones resultantes de la fase 2.

o



Comprobar si hay más de una solución.



Comprobar que la solución obtenida verifica la ecuación o el sistema.



Comprobar que las soluciones son acordes con el enunciado y que se cumplen las condiciones de éste.

sistemas

Asegurarse de realizar correctamente las operaciones, las ecuaciones y los sistemas.

Veamos ahora con un ejemplo práctico el desarrollo de estas cuatro fases de la resolución de un problema mediante el uso de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo: En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada

acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.

Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan.

Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema.

Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:

El número total de preguntas es 20, luego: La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos:

x + y = 20 x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos: De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ; sustituyendo en la primera: 2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ; sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16.

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.