UN BREVE ENCUENTRO CON EL ÁLGEBRA LINEAL

Universidad del Valle de Guatemala

17/01/2013 - Primera Entrega -

Luis Diego Alburez Nathalie Barrios Christopher Boehm Andrés Salazar Raul

Es un segmento de recta dirigido del punto inicial hasta el punto final, localizados en el espacio. Pueden escribirse en 3 diferentes formas : . Mientras un punto está compuesto por coordenadas, el vector se compone por componentes.

Figura 1. Partes generales del vector

El vector se aplica como una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física.

Figura 2. Ejemplos de aplicación del vector en la física

Todos los vectores se caracterizan por tener:

1. Vectores equivalentes También se les conoce como vectores equipolentes. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, diferenciándose únicamente en el origen o punto de aplicación. De esta forma, se dice que dos vectores son equivalentes cuando son paralelos entre sí. Todos los vectores equipolentes entre sí representan el mismo vector, llamado vector libre. Por ejemplo, en la figura no. 2, el vector

y

son equipolentes.

Figura 3. Representación de vectores equivalentes

2. Vectores paralelos Cuando los vectores son múltiplos escalares entre sí, se dice que los vectores son paralelos entre sí. Al observar dos vectores se establece que son paralelos, cuando estos tienen la misma dirección.

Figura 4. Representación de vectores paralelos

3. Vectores ortogonales Cuando el ángulo entre los dos vectores es recto (90°), los vectores son ortogonales entre sí. La condición para que dos vectores cualesquiera sean perpendiculares es que la suma de los cuadrados de sus módulos sea igual al cuadrado del módulo de su diferencia. . En general, dado un vector , un vector perpendicular a es .

Figura 5. Representación de vectores ortogonales

4. Vectores unitarios Son aquellos vectores que tienen magnitud o longitud igual a 1,

5. Vectores unitarios estándar Se denotan por

.

.

Figura 5. Representación de vectores unitarios estándar

a) b) c) d) e) f) g) h)

U+V = V+U Commutatividad (U+V)+W = U+(V+W) Asociatividad U+0 = U U+(-U)= 0 C(U+V) = C V+ C U Distributividad (C +D)U = CV+DU Distributividad C (D U) = (CD)U 1U = U

Sean

y

.

1. SUMA Se hace una adición de todos los componentes de cada vector, es decir se suman los componentes “x” de los dos vectores y las dos componentes “y”.

Para graficar la suma

se dibujan ambos vectores. Se traza una línea desde la cola

del último vector (en este caso

en la adición hasta la cabeza del primero

También se puede obtener la suma, trazando un paralelogramo con paralelogramo es el vector resultante.

.

. La diagonal del

2. RESTA Se restan los componentes “x” de los vectores y las componentes “y”.

La gráfica de esta resta se hace sumándole a

el opuesto de , que es

3. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR El producto de un número por un vector es otro vector de la misma dirección y sentido de magnitud si es positivo. Encaso contrario, el sentido del vector es opuesto, por ejemplo cuando la magnitud de es positiva pero se obtiene un vector, cuyos componentes son iguales que los de , solo que cada uno con signos cambiados: . Si la magnitud de es 0 y su dirección no se puede determinar.

4. PRODUCTO PUNTO O ESCALAR a. Definición El producto escalar de dos vectores es un escalar que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman ambos vectores.

Expresión analítica del producto punto: Otra forma más sencilla de expresar este producto es al multiplicar las componentes “x”, “y” (y “z”) del vector 1 con los del vector 2 y sumar estos números.

b. Propiedades Comutatividad:

Distributividad:

Asociatividad respecto al producto por un escalar :

5. Producto cruz o vectorial El producto cruz es una operación binaria entre 2 vectores de un espacio tridimensional, que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Se puede utilizar de Ɍ^3 para arriba. Se denota así:

O de una manera más completa:

Sus propiedades son: 1.

2.

, (anti conmutatividad) , cancelación por ortogonalidad.

3. Si con y , => ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

4.

5.

, conocida como regla de la expulsión.

6.

7.

, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

8. El vector unitario

6. Normalizar un vector

es normal al plano que contiene a los vectores

.

Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección de un vector v dado.

7. Distancia entre 2 Vectores La distancia ecuación:

entre dos vectores

en

se define por la siguiente

8. Proyección de un vector sobre otro La proyección del vector

sobre el vector

se define así:

está

marcada de color rojo. De tal forma que se observa que la proyección de sobre se encuentra sobre y es el cateto del triángulo recto formado por v y la línea punteada.

1. Desigualdad de Cauchy- Schwarz Para todos los vectores y en se puede aplicar esta relación entre la magnitud del producto punto de los vectores y el producto de la magnitud de los vectores:

2. Desigualdad del triángulo Para todos los vectores y en se puede aplicar esta relación entre la magnitud de la suma de los vectores y la suma de la magnitud de los vectores:

Rectas en R2 Forma general:

Las rectas en R2 se dan por la ecuación general: ax+by=c, cuando b≠0. Esta forma una recta con el origen en c=0.

A▪X=0 B▪Y=0 1. Forma normal La forma normal de la ecuación es: n▪(x-p)=0, en donde p es un punto específico sobre “l” y n≠0 es un vector normal para “l”.

2. Forma vectorial Su forma vectorial es la misma para R2 y para R3: x=p+td, en donde p es un punto específico sobre “l” y d≠0 es un vector director para”l”.

3. Ecuaciones paramétricas De la forma vectorial se derivan sus ecuaciones paramétricas. a) X=p1+Td1 b) Y=p2+Td2

Rectas en R3 1. Forma general Las rectas en R3 se dan por las ecuaciones generales: a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 2. Forma normal La forma normal de la ecuación es: n▪x=n▪p, en donde p es un punto desconocido, y n es la normal.

A▪X=A▪P1 B▪Y=B▪P2 C▪Z=C▪P3 3. Forma vectorial Su forma vectorial es la misma para R2 y para R3: x=p+td, en donde p es un punto específico sobre “l” y d≠0 es un vector director para ”l”.

4. Ecuaciones paramétricas

De la forma vectorial derivan sus ecuaciones paramétricas, las cuales son: a) X=p1+Td1 b) Y=p2+Td2 c) Z=p3+Td3 5. Forma simétrica Su forma simétrica es

Bibliografía: Figura 2 : http://www.google.com.gt/imgres?um=1&hl=es&client=firefoxa&hs=Xrw&sa=X&tbo=d&rls=org.mozilla:esES:official&biw=1138&bih=553&tbm=isch&tbnid=TOWpaO30_YD0M:&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/vectores_11.html&docid=blaLZdabo8MpM&imgurl=http://html.rincondelvago.com/000467453.jpg&w=922&h=600&ei=brP0U ImIoKK9QSLkYCQAg&zoom=1&iact=rc&dur=470&sig=106869855288854470839&page=1&tbnh=13 6&tbnw=209&start=0&ndsp=18&ved=1t:429,r:16,s:0,i:124&tx=79&ty=38 Figuras 4 y 5: http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpmatgeo&tipo=imprimir&titulo= Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_208.Kes