Paralelas

Rectas paralelas Daniel Maisner Bush Profesor de la UACM

Introducción

Alrededor del año trecientos antes de nuestra era, Euclides escribió su tratado de geometría llamado Los elementos. 1 Se trata de una obra fundamental para el posterior desarrollo del conocimiento humano; considerada, por muchos, la obra científica más reproducida, comentada e influyente de la historia. En sus trece tomos, Euclides resume gran parte del saber matemático de la antigüedad. Aunque dedicada principalmente al tema de la geometría, la obra abarca diversas áreas de la matemática, como el álgebra y la teoría de números. Desde la antigüedad hasta nuestros días, Los elementos han sido, con mínimas modificaciones, la base de los cursos elementales de geometría. Esto es suficiente para considerarla una obra fundamental en la historia de la ciencia; pero su importancia histórica no se reduce a ello. Los elementos también son un ejemplo de la exposición de resultados matemáticos, así como de la deducción y el rigor en esta área del conocimiento, a grado tal que han marcado el concepto mismo del quehacer científico a lo largo de los siglos. Más específicamente, la forma de decidir cuándo un resultado matemático está debidamente demostrado y cómo debe exponesre a la comunidad científica, sigue el modelo de Los elementos. Además, sigue siendo el prototipo a seguir al escribir artículos de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular. Una de las grandes aportaciones de la obra es la introducción del uso del llamado método axiomático que podemos describir, de manera simplificada, como: partir de algunas verdades que no se demuestran, a partir de las cuales se deduce toda la teoría. Para esto, al inicio de Los elementos se presentan algunas verdades «evidentes» llamadas postulados

1 No se sabe mucho de la vida de Euclides, y hay quienes piensan que Los elementos fue escrito por diversos autores de alguna escuela de geometría. y axiomas, a partir de las cuales se deducen todos los resultados que son demostrados de forma rigurosa. Sin querer ahondar más en la concepción moderna de axiomas y postulados mencionemos que, para estructurar correctamente una teoría basada en axiomas, es necesario que se cumpla que:

1.

2. Los axiomas y postulados deben ser necesarios para la teoría, y deben corresponder, en un sentido muy general, a esa idea de ser verdades tan evidentes que no se pueden demostrar sin recurrir a enunciaciones equivalentes. Al enumerarlos deben ser el mínimo número posible de enunciados: ninguno de ellos debe poder deducirse de los demás.

El segundo punto que acabamos de describir es el punto central de uno de los problemas de los fundamentos de la matemática más importantes de la historia del conocimiento humano y que se generó a partir del quinto postulado de Euclides, mismo que permanecería sin resolverse hasta mediados del siglo XIX. Más específicamente, el quinto postulado propone la existencia de rectas paralelas; en lenguaje moderno se puede enunciar de la siguiente manera:

Por un punto fuera de una recta pasa una única recta paralela (figura 1)

Desde la antigüedad, muchos pensadores consideraron que esta afirmación no era un postulado, sino un teorema y que, por tanto, debería ser demostrado a partir de los otros cuatro. Durante siglos, se buscaron pruebas de esto por diversos medios. Finalmente, durante el siglo XIX y principios del XX, se demostró que era independiente de los demás; es decir, se probó que es perfectamente válido considerar verdaderos los primeros cuatro postulados y sustituir el quinto por su negación, sin que esto lleve a una contradicción y, siguiendo este camino,

Figura 1. Por el punto P pasa una sola recta paralela a la recta AC.

pueden construirse nuevas geometrías alternativas, válidas y útiles, a las cuales hoy conocemos bajo el nombre de geometrías no euclidianas. Este hecho significó una revolución en los fundamentos de la matemática y de la ciencia en general, lo que obligó a los matemáticos a replantearse muchas cuestiones relativas a qué es la matemática, cómo se construye y cómo se escribe. Por ejemplo: ¿las verdades evidentes, sólo lo son en cierto contexto? Si existe más de una geometría, ¿cuál es la real y qué significan las otras? De manera simultánea a la revolución en los fundamentos —y en muchos sentidos indivisible—, se da una revolución en el concepto mismo de la geometría proveniente del desarrollo del conocimiento humano, introduciendo nuevas técnicas, nuevos problemas y nuevas maneras de trabajar, dejando atrás los métodos sintéticos basados en dibujos y en trazos de regla y compás. En este artículo presentamos brevemente una idea de ambas revoluciones. Dado que el tema es extenso, nos restringiremos a presentar en la primera sección una concisa historia de cómo se arribó a la existencia de las geometrías no euclidianas y, en la segunda, presentamos algunas ideas intuitivas sobre modelos para las geometrías elíptica e hiperbólica. Finalizamos con apuntes que muestran cómo evolucionó el propio quehacer geométrico.

1. Conceptos primitivos y Los elementos de Euclides

No se sabe mucho sobre la vida de Euclides, los primeros escritos conocidos que se refieren a su persona fueron escritos por Proclo alrededor de setecientos años después de la época en que se sitúa su vida. Lo que sí se conoce es la monumental obra que se le atribuye, conocida como Los elementos. Conformada por 13 libros, es un formidable resumen de todo el conocimiento de la geometría de la antigüedad, sumado a que se considera un ejemplo de rigor matemático, método de exposición y método de deducción de los resultados expuestos. Durante siglos, Los elementos ha sido la base de toda la enseñanza de la geometría elemental, y su formato de exposición un modelo de cómo deben presentarse los resultados matemáticos. Una de sus mayores aportaciones fue la utilización, al principio de la obra, de axiomas o nociones comunes y postulados. Expliquemos brevemente a qué nos referimos con axiomas y postulados.

No es posible definir todos los conceptos y términos que usamos en un lenguaje sin, eventualmente, caer en un círculo vicioso donde una definición remite a otra y viceversa. Por ejemplo, en el diccionario de la Real Academia se define mujer como “persona del sexo femenino”. Si buscamos femenino, obtenemos “propio de la mujer”. Así , tenemos una definición circular (cada una refiere a la otra). Este problema se puede salvar formalmente partiendo de que existen conceptos primitivos, cuyo significado todos conocemos sin necesidad de definirlo. Las definiciones que presentaba Euclides de los conceptos elementales como punto o recta no eludían este problema y, hoy día, estos conceptos se consideran primitivos y se presentan sin definición, o sólo exponiendo ideas intuitivas. Algo semejante sucede con las propiedades que se quieren deducir y presentar a lo largo de un texto. Es imposible demostrarlas absolutamente todas sin partir de que algunas son verdaderas por hipótesis. Euclides parte de dos tipos de verdades que no se demuestran: axiomas o nociones comunes y postulados. La diferencia entre ambos es sutil pero, para términos del presente artículo, diremos que los axiomas son verdades universales y que los postulados se refieren a verdades geométricas. Nuestro interés principal es comprender de dónde surgen las geometrías no euclidianas. Para ello, reproduzcamos los postulados de Euclides:

1.

2.

3.

4. 5. Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección. Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

Los primeros cuatro postulados refieren a propiedades intuitivas de la geometría y fueron aceptados, con mínimas variaciones en su redacción, como correctos y precisos hasta principios del siglo XX.2 Sólo después de la creación de las geometrías no euclidianas comenzó una reflexión profunda sobre ellos, presentándose modificaciones esenciales. En cambio, el quinto, causó controversia casi desde el momento en que fue enunciado. La controversia no se encontraba en su veracidad, sino en considerar que no era un postulado sino una proposición, y por tanto debería demostrarse. Dicho de otra manera, no era una verdad indemostrable, sino un hecho que debería deducirse a partir de resultados derivados de los primeros cuatro postulados. Desde la antigüedad hasta mediados del siglo XVIII, diversos geómetras intentaron, infructuosamente, encontrar una prueba del quinto postulado suponiendo ciertos los otros cuatro. Tal prueba no fue encontrada porque no existe; pero el trabajo no fue en vano, pues se clarificaron los conceptos. Entre otros legados, se desarrollaron muchas formulaciones equivalentes al quinto postulado que permiten entenderlo con mayor precisión. Las más utilizadas son las dos siguientes:

5.1. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta. 5.2. Los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

A partir del siglo de XVIII se intentó probar el quinto postulado utilizando reducción al absurdo, es decir: suponiendo que el postulado es falso, llegar a una contradicción. Para comprender cómo se niega el quinto postulado, neguemos las formulaciones 5.1 y 5.2 que acabamos de enunciar:

~5.1 Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela o se puede trazar más de una recta paralela. En este caso puede verse que esto equivale a que pasan una infinidad de ellas.

~5.2 La suma de los ángulos internos de un triángulo es diferente a 180°; es decir, es mayor a 180° o menor.

2 Hubo entonces una profunda revisión de los postulados de la geometría y del sistema axiomático en general.

El primer resultado destacado en esta dirección es la prueba de Saccheri (1667-1733), quien demuestra que, si no existen rectas paralelas, entonces las rectas deben ser finitas, y que este hecho contradice el segundo postulado. Hoy día no se considera que esto sea una contradicción, y simplemente se ajusta el segundo postulado para aceptar una geometría en donde no existen rectas paralelas, conocida con el nombre de geometría elíptica o proyectiva (figura 2). Sin embargo, considerar que por un punto dado, exterior a una recta, pasa una infinidad de rectas paralelas o, equivalentemente, que los ángulos internos de un triángulo suman menos de 180°, no lleva a ninguna contradicción. De manera independiente llegaron a esta conclusión tres grandes matemáticos del siglo XIX: Lovachevski (1792-1856), Wolfang Bolyai (1775-1856) y Carl Friedrich Gauss (17771855), quienes desarrollaron las bases de lo que hoy Desde un punto de vista formal, el no llegar a una contradicción no es una prueba de que existe una geometría alternativa a la euclidiana —aunque el torrente de resultados era suficiente para arribar a dicha concepción. Finalmente, a partir de las ideas de Gauss y Riemann, Beltami (1835-1900) y Klein prueban la consistencia relativa de la geometría hiperbólica. Concretamente, prueban que, el que la geometría hiperbólica sea consistente, equivale a que la euclidiana lo sea. En otras palabras, cualquiera de las

Figura 2. Cuadrilátero de Saccheri

conocemos como geometría hiperbólica. dos es igualmente válida.

2. Modelos geométricos del plano elíptico e hiperbólico

En la concepción de la geometría euclidiana, el espacio es un enorme cubo que se prolonga indefinidamente, y por tanto existen rectas paralelas. Si negamos el quinto postulado, ¿qué forma tiene el espacio? De manera muy breve, en esta sección, presentamos algunas ideas geométricas al respecto.

Plano elíptico:

Ya mencionamos que Sacheri prueba que la no existencia de paralelas contradice, en cierto sentido, la infinitud de la recta, y en consecuencia el segundo postulado. La utilización de una geometría sin rectas paralelas, sin embargo, se remonta varios siglos atrás y ya está presente en los estudios de perspectiva pictórica del renacimiento. Las primeras ideas provienen de dos pintores renacentistas, principalmente Durero y Da Vinci, que estudiaban los secretos de la perspectiva. Para un pintor que dibuja la realidad en perspectiva sobre un lienzo bidimensional, las rectas paralelas no son equidistantes, y convergen en un punto de fuga que podemos situar en el horizonte, incluso fuera de la obra. A partir de estas ideas, es natural concebir una geometría que no contenga rectas paralelas. Por otro lado, Kepler (1571-1630), en su estudio de las cónicas realizado para comprender las órbitas planetarias, introduce el concepto de punto al infinito, que da forma a la idea anterior. La idea es muy sencilla: dos rectas paralelas se cortan en un punto ideal fuera del plano, al que se llamará punto al infinito; y podemos crear un nuevo pla-

no, conocido como plano proyectivo, que está conformado por el plano usual, al cual adicionamos una recta en el infinito conformada por todas las intersecciones de rectas paralelas. Esta concepción permite eliminar la existencia de rectas paralelas y, como una primera aplicación, elimina los casos excepcionales en muchos resultados tradicionales. Al concebir una geometría sin rectas paralelas se pierden muchos de los resultados métricos tradicionales pero, en cambio, se trata de un área muy fértil en propiedades que se conservan bajo proyecciones. Destaquemos aquí los trabajos de Pascal (1623-1662) y Desargues (1591-1661). Nuestro propio mundo nos dota (casi) de un modelo para el plano elíptico. Si dos personas recorren diferentes meridianos en distancias cortas, recorrerán caminos paralelos; sin embargo, al continuar su camino se cruzarán dos veces, cada vez que arriben a los polos. Para comprender mejor esta idea imaginemos que vivimos en el asteroide B612, de donde es originario El principito. Nuestro planeta (sin que hayan crecido los baobabs), es tan pequeño que lo podemos recorrer a pie en unos cuantos minutos: ¿cómo describiríamos la geometría? Si al caminar desde el polo durante unos 5 minutos volvemos al mismo lugar, nos parecería natural concebir las rectas finitas. Además, ya que todas éstas se cortan en dos puntos, éstos serían nuestros postulados. Más específicamente: una esfera, considerando los círculos máximos como rectas, es un modelo del plano proyectivo, o elíptico. Para ser más rigurosos y, especialmente para que se cumpla que dadas dos rectas se corten en un solo punto debemos considerar que las antípodas (puntos opuestos por un diámetro en la esfera) conforman el mismo punto. Es como quedarnos con sólo media esfera y después cocerla de manera especial. La figura exacta no puede encajarse en un espacio de tres dimensiones y por tanto sólo podemos darnos una idea parcial. Un último detalle: desde los griegos es sabido que los ángulos internos de los «triángulos esféricos» suman más de 180°, sin embargo, ellos siempre concebían la esfera dentro de un espacio cúbico y no lo veían como algo contradictorio.

Figura 3. El Principito.

Plano hiperbólico

En los primeros trabajos sobre la geometría hiperbólica subyace la idea de que es una geometría imaginaria (en analogía con los números imaginarios), que puede contribuir a resolver ciertos problemas, pero alejada de la realidad. Sin embargo, para principios del siglo XX con los trabajos de Beltrami, Klein y finalmente Poincaré, se crean modelos de cómo puede concebirse el plano hiperbólico dentro del mundo euclidiano. El plano hiperbólico es mucho más complejo de imaginar y presentar que el elíptico. Quizá la idea más sencilla de visualizarlo es el círculo de Poincaré. Para darnos una idea de cómo funciona imaginemos cómo vemos las cosas a través de un ojo de pescado: ésos que se usan en fotografía o en la puerta de una casa para ver quién toca. Sin lugar a dudas, las mejores ilustraciones en este sentido son los dibujos (circulares) de M. C. Escher (figura 4). Al transformar una imagen «cuadrada» en una «circular», las rectas se curvean y se transforman en semicírculos perpendiculares a nuestro «círculo-universo». No es difícil ver que, con esta representación gráfica, por un punto exterior a una recta pasa una infinidad de rectas paralelas. (figura 4).

Figura 4. Límite circular, de M. C. Escher.

3. Desarrollo de la geometría, del siglo XVII al siglo XIX

Cuando se habla acerca de la creación de las geometrías no euclidianas, se tiende a pensar que los científicos eligen una geometría en la cual trabajar, y que continúan haciéndolo de manera similar a los geómetras griegos: con postulados, figuras y trazo a regla y compás. Esto es esencialmente falso, incluso para aquellos matemáticos dedicados al estudio de los fundamentos. Algo similar sucede cuando se piensa en el desarrollo histórico de la geometría: la historia del quinto postulado nos hace pensar que el trabajo de siglos, en geometría, se limitó a pensar en el problema de los postulados, o en éste y los demás problemas que no fueron resueltos por los griegos, y que las técnicas de trabajo permanecieron sin evolución. Esta idea también es errónea. Los grandes problemas geométricos que no fueron capaces de resolver los griegos siguieron siendo fuente de trabajo matemático; pero con el propio desarrollo de la matemática surgieron nuevos problemas, nuevas técnicas y nuevos enfoques. En particular, entre los siglos XVI y XIX, la matemática se transformó profundamente, y con ello la geometría, abordaron entonces problemas novedosos que se alejaban de las herramientas euclidianas. Durante todo este tiempo no se dejó de pensar en el problema fundamental del quinto postulado; pero se consideró sólo uno más entre múltiples problemas matemáticos. En otras palabras, el hecho de que las geometrías no euclidianas se desarrollaran y formalizaran en el siglo XIX y a principios del XX, no se debió únicamente a que en esa época hubiera matemáticos brillantes, a los cuales se les ocurrieron ideas geniales en esta dirección. Este desarrollo también tuvo que ver con el propio devenir de la matemática en general y de la geometría en particular. En concreto, cuando se desarrollaron los trabajos de Lovachevski, Bolyai y Gauss, había ya muchas áreas y conceptos nuevos que mostraban abundantes inconsistencias e insuficiencias en los planteamientos euclidianos. Ya hemos mencionado, por ejemplo, cómo el estudio de las perspectivas y de las propiedades que se conservan bajo proyecciones llevaron a la creación de la geometría proyectiva. Algo parecido pasó con las aportaciones no métricas de Euler y otros matemáticos, que hoy se consideran resultados pioneros en áreas como la teoría de gráficas y la topología (para una explicación más detallada, puede verse el artículo de Naviera citado en la bibliografía). Es difícil hacer un recuento de las diversas áreas y problemas matemáticos que llevaron de forma natural a cambiar la concepción de la geometría, y que dieron un sustento teórico a las geometrías no euclidianas. Por lo anterior, nos conformaremos con dar dos ejemplos de cómo el concepto del quehacer geométrico fue evolucionando: la geometría analítica y la geometría diferencial. En la presentación de estos dos ejemplos no seguiremos un orden histórico, y sólo nos conformaremos con dar una idea de cómo la traducción de geometría a álgebra, o a análisis (cálculo), lleva de manera natural a nuevas concepciones en donde lo no euclidiano cabe perfectamente.

Geometría analítica

Uno de los primeros cambios que transformaron completamente la forma de entender la geometría fue la creación de la geometría analítica. A Fermat primero, y posteriormente a Descartes, se les ocurrió asignar coordenadas al plano. Con esta idea, un punto deja de ser un concepto primitivo para convertirse en un concepto sencillo: una pareja de números reales (x, y), donde x y y representan las distancias del punto a dos rectas fijas llamadas ejes (figura 7). Lo mismo sucede con una recta: en lugar de concebirla intuitivamente, la podemos pensar como una relación algebráica entre los puntos. Más precisamente, una recta son todos los puntos que satisfacen una ecuación lineal en dos variables:

Con ideas semejantes, Descartes mostró que las cónicas se pueden pensar como el conjunto solución de las ecuaciones de grado 2 en dos variables: Así, la geometría analítica tiende un puente entre la geometría euclidiana (sintética) y el mundo del álgebra. Este puente permite interpretar muchos conceptos geométricos desde una nueva óptica, y comprenderlos con un nivel de profundidad mucho mayor. En otras palabras, el legado de Descartes no sólo es poder reproducir con álgebra lo realizado por los griegos, sino dotarle de un nuevo lenguaje que permite comprender y resolver problemas inalcanzables para ellos. Demos dos ejemplos sencillos de esta idea: 1. Concebir una dimensión mayor que tres, pensando en figuras concretas, es muy difícil. En cambio, en el álgebra esto se traduce a una idea sencilla: agregar coordenadas. Un punto en el plano de aquí podemos construir una geometría en cualquier dimensión aunque no contemos con una interpretación visual para ello.

Figura 4. Coordenadas cartesianas.

2. En la geometría analítica, una circunferencia, con centro en el origen, se representa como las pa-

es una pareja (x,y), en el espacio una terna (x,y,z) y en dimensión n, una n-eada (x1,...,x n). A partir rejas de puntos (x,y) tales que satisfacen (1)

Si nos restringimos a la geometría tradicional, debemos imponer la condición r > 0. En efecto, si r = 0, sólo existe una pareja que satisface la ecuación:

(0, 0).

Esto lo podemos interpretar como una circunferencia que se colapsó en su centro, pero que contradice la idea de que el centro no pertenece a la circunferencia, y el radio es un número positivo. Si r< 0, tenemos una circunferencia sin puntos, lo cual ya no tiene una interpretación geométrica en el sentido tradicional. Sin embargo, desde el punto de vista algebraico, responde a una pregunta natural: ¿cuáles son las soluciones de una ecuación de grado dos en dos variables? En el mundo del álgebra, la respuesta a esta pregunta variará según la estructura numérica que estemos utilizando. Por ejemplo, si pensamos en los puntos con coordenadas enteras de la circunferencia, estamos pensando

en tripletas de números enteros (x,y,r) que satisfacen la igualdad (1); es decir, tripletas pitagóricas: todos los triángulos rectángulos tales que las longitudes de sus lados son números enteros. Si en vez de números reales pensamos en números complejos, podemos definir una circunferencia compleja lo cual, en principio, es un nuevo concepto, pero al cual se le sacará mucho jugo. Estamos ante una generalización simple del concepto de circunferencia y esto mismo podemos hacer con cualquier ecuación, lo que abre un abanico de posibilidades totalmente nuevas. Agreguemos también que entre los siglos XVII y XIX se fueron creando y formalizando los números complejos, y que preguntarse por las soluciones de ecuaciones en esta estructura en el XIX era una pregunta normal y natural. De paso agreguemos que la interpretación geométrica de los números complejos también da lugar a nuevos conceptos geométricos y a nuevos planteamientos que permiten resolver problemas clásicos como la cuadratura del círculo.

Geometría diferencial

Hemos ya mencionado que el desarrollo de las geometrías no euclidianas es inseparable de la evolución de la propia matemática, y particularmente de las nuevas concepciones de la geometría que se fueron creando, sobre todo, a lo largo del periodo comprendido entre los siglos XVI y XIX. La geometría diferencial es el más claro ejemplo de esto. Sin ella, no podría haberse probado la consistencia de la geometría hiperbólica, ni tampoco haberla dotado de aplicaciones como la teoría de la relatividad. También hemos explicado que la geometría analítica es un primer paso para pensar la geometría dentro del álgebra; pero ésta no es la única dirección novedosa que parte de ella. La geometría anaítica también fue el preámbulo de una de las más grandes revoluciones dentro de la matemática: la creación del cálculo diferencial e integral. En particular, su teorema fundamental, al que arribaron, de forma independiente, Newton y Leibniz. Así como el álgebra da lugar a replantear algunos conceptos geométricos por su traducción algebraica, el cálculo da una nueva concepción a las curvas, superficies y sus generalizaciones en términos de las propiedades analíticas. Recordemos que el propio cálculo, desde una óptica nueva, ataca dos problemas geométricos tradicionales: el trazo de rectas tangentes a ciertas curvas (cálculo diferencial) y el cálculo de áreas (cálculo integral). Desde sus orígenes, existe una nueva concepción de una curva al pensarla como la gráfica de una función diferenciable. Sin embargo, esta manera de pensar una curva, aunque abre una gama de ejemplos insospechados para los griegos, es limitada: entre otras cosas, no permite describir curvas con «picos» (cúspides) o con autointersecciones (nodos). Es más fructífero concebirla de forma paramétrica. La idea es simple: podemos pensar la recta real como un hilo infinito, y una curva, como una deformación diferenciable de éste. Si lo que obtenemos forma una figura plana, tenemos una curva plana, y si se «sale» del plano, una curva en el espacio. En términos más rigurosos, una curva plana es la imagen de una función diferenciable:

y una curva en el espacio será la imagen de

Algo parecido sucede con las superficies que, en algunos casos, pueden pensarse como la gráfica de una función en dos variables; pero es mejor pensarla como una copia deformada del plano dentro del espacio:

Aun esta representación es limitada, porque supone que cualquier superficie se puede obtener a partir de un plano. Digamos que podemos envolver con una hoja de papel cualquier superficie sin que éste se arrugue. Esto no es posible, ni siquiera (Continúa en la página 14)