Mefisto
Rectas paralelas Daniel Maisner Bush
Profesor de la UACM
Introducción
y axiomas, a partir de las cuales se deducen todos los resultados que son demostrados de forma riAlrededor del año trecientos antes de nuestra era, gurosa. Sin querer ahondar más en la concepción Euclides escribió su tratado de geometría llamado moderna de axiomas y postulados mencionemos Los elementos.1 Se trata de una obra fundamental que, para estructurar correctamente una teoría bapara el posterior desarrollo del conocimiento hu- sada en axiomas, es necesario que se cumpla que: mano; considerada, por muchos, la obra científica más reproducida, comentada e influyente de la 1. Los axiomas y postulados deben ser necesarios para la teoría, y deben corresponder, en un historia. En sus trece tomos, Euclides resume gran parte del saber matemático de la antigüedad. Aunsentido muy general, a esa idea de ser verdades que dedicada principalmente al tema de la geometan evidentes que no se pueden demostrar sin recurrir a enunciaciones equivalentes. tría, la obra abarca diversas áreas de la matemática, 2. Al enumerarlos deben ser el mínimo número como el álgebra y la teoría de números. posible de enunciados: ninguno de ellos debe Desde la antigüedad hasta nuestros días, Los poder deducirse de los demás. elementos han sido, con mínimas modificaciones, la base de los cursos elementales de geometría. Esto es suficiente para considerarla una obra El segundo punto que acabamos de describir fundamental en la historia de la ciencia; pero su es el punto central de uno de los problemas de los importancia histórica no se reduce a ello. Los ele- fundamentos de la matemática más importantes mentos también son un ejemplo de la exposición de la historia del conocimiento humano y que se de resultados matemáticos, así como de la de- generó a partir del quinto postulado de Euclides, ducción y el rigor en esta área del conocimiento, mismo que permanecería sin resolverse hasta mea grado tal que han marcado el concepto mismo diados del siglo XIX. Más específicamente, el quindel quehacer científico a lo largo de los siglos. Más to postulado propone la existencia de rectas paraespecíficamente, la forma de decidir cuándo un re- lelas; en lenguaje moderno se puede enunciar de la sultado matemático está debidamente demostrado siguiente manera: y cómo debe exponesre a la comunidad científica, sigue el modelo de Los elementos. Además, sigue Por un punto fuera de una recta pasa una siendo el prototipo a seguir al escribir artículos de única recta paralela (figura 1) la ciencia en general, y de las matemáticas en particular. Desde la antigüedad, muchos pensadores consiUna de las grandes aportaciones de la obra es la deraron que esta afirmación no era un postulado, introducción del uso del llamado método axiomáti- sino un teorema y que, por tanto, debería ser demosco que podemos describir, de manera simplificada, trado a partir de los otros cuatro. Durante siglos, se como: partir de algunas verdades que no se demues- buscaron pruebas de esto por diversos medios. Fitran, a partir de las cuales se deduce toda la teoría. nalmente, durante el siglo XIX y principios del XX, Para esto, al inicio de Los elementos se presentan se demostró que era independiente de los demás; algunas verdades «evidentes» llamadas postulados es decir, se probó que es perfectamente válido considerar verdaderos los primeros cuatro postulados 1 No se sabe mucho de la vida de Euclides, y hay quienes y sustituir el quinto por su negación, sin que esto piensan que Los elementos fue escrito por diversos autores de lleve a una contradicción y, siguiendo este camino, alguna escuela de geometría.
4
