Mefisto Un pacto con la ciencia y la cultura Número 21, Enero de 2017
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno. San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.
En este número: Presentación 3
Cielo de invierno
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Entrevista con Isaí Moreno Anabeatriz Alonso Osorio Biblioteca del Estudiante uacm
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La política, ¿juego de ajedrez? Daniel Maisner Profesor uacm
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A diestra y siniestra Fausto Cervantes Ortiz Profesor uacm
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Frases célebres 21
Regla de la mano derecha mediante Rotaciones 10 Miguel López de Luna Profesor uacm
Acertijos 22 Sudoku 24
Mefisto
Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno
Editor
Daniel Maisner Bush
Rector Hugo Aboites Aguilar Secretaria General Ma. Auxilio Heredia Anaya
Comité Editorial
Ana Beatriz Alonso Osorio Fausto Cervantes Ortiz Verónica Puente Vera
Coordinadora Académica Micaela Rosalinda Cruz Monje Encargado del Despacho de la Coordinación del Colegio de Ciencia y Tecnología Igor Peña Ibarra Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria Koulsy Lamko Responsable del área de Publicaciones Felipe Vázquez Badillo Producción y gestión Benito López Martínez Revistas Universitarias de Divulgación (Rudi)
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MEFISTO, Año 7, núm. 21, enero-marzo 2017, es una publicación trimestral editada por la Universidad Autónoma de la Ciudad de México (uacm), Dr. García Diego 168, col. Doctores, del. Cuauhtémoc, 06720, Ciudad de México, Tel. 1107 0280, www.uacm.edu.mx. Editor responsable: Daniel Maisner Bush, gaceta.mefisto@gmail.com. Certificado de Reserva de Derechos al uso Exclusivo e ISSN: en trámite, ambos otorgados por el Instituto Nacional de Derechos de Autor. Certificado de Licitud de Título y Contenido: en trámite, otorgado por la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretaría de Gobernación. Impreso en: Universidad Autónoma de la Ciudad de México, San Lorenzo, 290, col. Del Valle Sur, 03100, Ciudad de México. tel. 1107 0280 ext. 15581, este número se terminó de imprimir el 10 de febrero de 2017 con un tiraje de 2,000 ejemplares.
En portada Ilustración: Gustave Doré (Estrasburgo, 1832 - París, 1883), There Minos stands, Canto V., line 4. La Divina Comedia: El infierno. canto V, de Dante Alighieri. Segundo círculo: los lujuriosos. Minos, juez infernal. Los pecadores carnales. Francesca da Rimini y Paolo Malatesta. La compasión y el desmayo de Dante. Cronología: noche del 8 de abril. Contrapaso: así como en vida fueron arrebatados por el impulso de las más revueltas pasiones de los sentidos, los lujuriosos giran ahora —eternamente— en la “borrasca infernal que nunca cesa”.
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Presentación
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esde finales del siglo xix hubo un acelerado proceso de especialización en las diversas disciplinas humanas. Hoy en día, es difícil imaginar que un individuo pueda ser simultáneamente físico, matemático, filósofo y artista, lo cual era relativamente común entre los grandes pensadores no hace mucho tiempo. Nuestra concepción moderna de las profesiones etiqueta a las personas con sus títulos de estudios y el dedicarse a varias áreas diferentes del quehacer humano o, de plano, a alguna actividad que no tenga que ver con lo que se estudió, se considera una herejía. Sin embargo, en la realidad, las personas siguen teniendo intereses diversos y cambiantes, y en ocasiones la vida los lleva por caminos insospechados, lejos de lo estudiado. En este mismo orden de ideas, hoy nos puede parecer que la ciencia y el arte son actividades profundamente distanciadas, esferas ajenas sin nada en común. Esto se acrecienta con la concepción tecnócrata de la misma que considera que la única función de los científicos es la de contribuir al desarrollo tecnológico, y no da importancia a la parte estética de la praxis científica. Lo cierto es que la línea divisoria entre el arte y la ciencia es mucho más aparente que real, y que existen muchas personas que practican ambas actividades. Además, aunque suene increíble, existe una enorme intersección entre la forma de consebir el mundo y la vida de científicos y artistas. En este número tenemos el agrado de coincidir, nuevamente (véase el número 8), con un amigo de la Gaceta que cumple cabalmente con ambas facetas: Isaí Moreno. A este profesor, novelista, poeta, matemático y amigo, le realizó una entrevista nuestra colaboradora Ana Beatriz Alonso. En ingeniería y física se usa a menudo la regla de la mano derecha (también conocida como del desarmador o del sacacorchos), que nos indica la dirección resultante tanto en un producto vectorial, como en un movimiento circular; o bien hacia
Leonardo da Vinci (1452- 1519)
dónde fluye un líquido en dirección de las manecillas del reloj, o contraria. Aunque está fórmula es de uso común y de gran utilidad, pocas veces se estudian sus detalles. En este número tenemos dos entregas sobre este tema: Fausto Cervantes reflexiona sobre las diferencias entre el lado derecho y el izquierdo en la naturaleza y su relación con la regla mencionada. Por otro lado, contamos con la participación del profesor López de Luna, quien nos presenta una prueba rigurosa de dicho resultado en términos del álgebra lineal. Cierra el número, además de las columnas permanentes, un artículo de Daniel Maisner, que reflexiona sobre las diferencias entre el juego del ajedrez y el juego político. Esperamos que este número sea de su agrado.
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Mefisto
PUBLICACIONES 2017
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO
PUNTOS DE VENTA
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En la novela, la fuerza concentrada, digamos la sustancia activa, actúa como un componente de liberación prolongada Entrevista a Isaí Moreno Ana Beatriz Alonso Osorio
Biblioteca del Estudiante uacm
R
egresando de las vacaciones decembrinas, al abrir el portal de la uacm, nos encontramos con la felicitación al profesor de la Academia de Creación Literaria, Isaí Moreno, quien recientemente recibió el “Premio Nacional de Novela Corta Juan García Ponce” por su novela Orange Road. Quienes tenemos el gusto de conocer a Isaí y de haber seguido su trayectoria desde 2004 (año en que iniciaron las actividades académicas en el plantel San Lorenzo Tezonco), sabemos que también ganó el “Premio Juan Rulfo para Primera Novela” con su obra Pisot. Los dígitos violentos en 1999, y que tiene publicadas dos novelas más: Adicción (2004) y El suicidio de una mariposa (2012); pero no todos en la uacm saben que, además del brillo y la solidez de su carrera literaria, Isaí es doctor en Matemáticas. Nuestro galardonado es también coautor del libro para estudiantes de nuevo ingreso que más reimpresiones tiene por parte de la uacm: Principia. Introducción al pensamiento matemático, aritmética y geometría. Además de sus cursos universitarios, Isaí constantemente imparte talleres literarios al público, tiene un blog donde incursiona en la literatura electrónica, y resulta ser un excelente fotógrafo. En la Gaceta Mefisto nos sentimos orgullosos de dar a conocer un poco más del inusual narrador que amablemente accedió a darnos esta entrevista:
Isaí Moreno.
[gm] Ante todo, platícanos, ¿cómo es que descubre Isaí Moreno su vena literaria? Escribo desde los dieciséis años, aunque hasta los veintiuno empecé a publicar, inicialmente poemas, antes de volcarme sobre la narrativa. [gm] En tu novela Pisot, nos gustaría creer que vinculas la matemática con la literatura; que es tu manera de dejar una para entrar en la otra. ¿Es correcto?
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Mefisto En cierta medida sí. Iba iniciando mi doctorado en Ciencias cuando me di cuenta de lo importante, lo necesario que era para mí escribir una novela. Claro, lo más natural era que ésta versara sobre el mundo más inmediato para mí en aquel entonces: la matemática y el gusto por las películas de asesinos en serie. [gm] Háblanos de las circunstancias que vivías cuando recibiste el premio Juan Rulfo, premio que te dio esta primera novela. Estaba en un momento de efervescencia creativa, cuando aún me era posible hacer investigación científica y escribir. Fui notificado de la recepción del premio mientras estaba en un congreso de matemáticas en Guadalajara.
Portada de Pisot, premio Juan Rulfo.
[gm] Pensando en aquellos momentos, ¿cuál dirías que es el mayor reto para un escritor que aún no publica? Ante todo, el de evitar el sueño de la fama literaria: no escribir pensando en el dinero o el reconocimiento. Muchos escritores aún no publicados piensan que el mundo está tratando de descubrirlos. Eso no funciona así. En todo caso, se trata de descubrir primero el mundo. [gm] Tu siguiente novela, Adicción, tiene reseñas sumamente interesantes. Entre otras, la revista Rolling Stone dice: “Adicción concibe al mundo como fiesta y al tiempo como risa, pero curiosamente no nos hace reír, no es eso lo que busca, Moreno logra plantarnos en el corazón una amarga ironía.” ¿Cuál es esa ironía? ¿Hay en ella algún mensaje explícito? La reseña que mencionas fue bastante generosa, sobre todo si pienso en que no me planteé ningún tipo de ironía y en que la novela fue lo bastante solemne. Si de algo puedo jactame, eso sí, es que cuando releo Adicción me causa un placer que no todo lo que escribo me confiere. [gm]¿Quiénes son tus escritores más admirados? y ¿a quiénes consideras como tus posibles influencias? ¿Contarías a Borges entre ellos?
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Mefisto Hermann Broch, Thomas Bernhard, Yukio Mishima, Don DeLillo, Elizabeth Smart, Salvador Elizondo... pasaría por muchos de ellos. Ojalá fueran influencia, para tener un décimo de su maestría. Borges fue un autor fundamental en mi trayectoria, de ésos a los que empieza uno imitando a modo de ejercicio y luego es forzoso distanciarse para hallar una voz propia.
[gm] Finalmente, en alguna entrevista dijiste “La novela es conocimiento”. Muchos estudiantes del Colegio de Ciencia y Tecnología se acercan a nosotros buscando lecturas de novela, cuento, poesía. ¿Qué quisieras decirles sobre la literatura y el conocimiento? La literatura nos planta de frente ante las mismas cuestiones que nos han llevado a hojear libros de filosofía, psicología, religión, ciencias, etc. Esto es, nos obliga a volver a las preguntas esenciales, a veces para respondernos algo, otras para motivarnos nuevas preguntas, incluso más interesantes que las originales.
[gm] Entiendo que te gustan el Haikú, el tuit, el texto electrónico breve. En tu blog escribes: “Tuitear es practicar una acupuntura de precisión sobre meridianos textuales, para que, similarmente, fluya la energía por doquier.” ¿Cómo, entonces, logras meter esta fuerza concentrada en la escritura de una larga novela? [gm] Muchas gracias Isaí, hasta la próxima, y que sigas cosechando éxitos. Magnífica pregunta. Creo que con tal densidad y concentración la lectura de una novela de más de Gracias a ustedes. Gracias a ti, Ana Beatriz. ochenta páginas se volvería un tormento. En la novela, la fuerza concentrada, digamos la sustancia Para saber más: activa, actúa como un componente de liberación http://isaimoreno.blogspot.mx/ prolongada. https://isaimoreno.com/adiccion/ https://isaimoreno.com/pisot/ [gm] Hermosa la analogía que haces. Dinos, ¿cuáles http://sipse.com/entretenimiento/premio-juanpodrían ser los temas recurrentes en tus ficciones? garcia-ponce-escritor-isai-moreno-obra-orangeroad-236145.html El conocimiento y el apocalipsis. https://twitter.com/isaimoreno http://www.poemas-del-alma.com/blog/entrevis[gm] Anticípanos de Orange Road: ¿Cuál es su tas/isai-moreno-respuestas vínculo con tu blog electrónico? ¿Cómo es que http://www.uacm.edu.mx/Portals/0/DNNGallery/ se convierte en una novela corta premiada con el uploads/2017/1/11/banner_110117_felicita_isai.jpg “Juan García Ponce”? Orange Road comparte la premisa de la mayoría de lo que escribo: El conocimiento destruye. Trata de cierta secta religiosa, de corte milenarista apocalíptico, que mientras planea actos terroristas pretende la iluminación mística recorriendo una carretera ficticia en el desierto. A su vez, esta novela busca sumarse a lo que en los ee. uu. se conoce como novelas 11S: obras inspiradas en el atentado terrorista al World Trade Center.
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A diestra y siniestra Fausto Cervantes Ortiz
Profesor uacm
G
eneralmente, cuando alguien dice que va a repartir gacetas “a diestra y siniestra”, está expresando que va a repartirlas sin seguir un plan premeditado, como vayan apareciendo los lectores. Frecuentemente, también se aplica al hecho de repartir en abundancia, sin límites. Sin embargo, éste no es estrictamente el sentido de dichas palabras. Según el diccionario de la rae (Real Academia Española), algunos de los significados de diestro(a) son: • Que tiene tendencia natural a servirse preferentemente de la mano derecha o también del pie del mismo lado. • Favorable, benigno, venturoso. Por otro lado, según el mismo diccionario, siniestro(a) significa: • Dicho de una parte o de un sitio: Que está a la mano izquierda. • Avieso y malintencionado. • Infeliz, funesto o aciago. O sea, al menos en sus orígenes, las palabras diestra y siniestra servían para referirse a lo bueno y a lo malo, además de la habilidad para usar una u otra parte del cuerpo. Por ejemplo, la habilidad menos frecuente de escribir con la mano izquierda, antiguamente era considerada signo demoniaco. Es por ello que antaño, las personas zurdas eran obligadas a escribir con la derecha; todavía algunos de nosotros, alcanzamos a conocer a personas que escriben con la derecha, pero hacen todas las demás tareas con la izquierda. Algo semejante sucede con diversos aditamentos que utilizamos cotidianamente, como por ejemplo, el ratón de la computadora en que estoy tecleando, colocado a mi derecha, la forma de poner la mesa, tenedor a la izquierda, cuchillo a la derecha, las paletas de las sillas en un auditorio, etc. Y aún hoy, cuando se quiere calificar a alguien de malvado, es común aplicarle el calificativo de siniestro. Según datos de la Royal Society of London, entre 11 y 13 % de la población mundial es zurda, y hay más zurdos varones (13 %) que mujeres (9 %). Curiosamente, en estu-
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dios hechos en fetos desarrollados, los porcentajes son los mismos, es decir, no es un comportamiento aprendido. Este hecho, el que los zurdos sean minoría, es lo que llevó, en muchos aspectos de la vida, al dominio de los diestros en gran cantidad de campos, incluyendo las ciencias. Entonces, por ejemplo, en matemáticas se usan las reglas de la mano derecha para los vectores, (ver artículo de Miguel de Luna en este mismo número), que tiene su origen en la física, donde los vectores son parte fundamental de la mecánica, el electromagnetismo, la óptica, etc. De esto se habla en la siguiente sección.
Mecánica rotacional En mecánica, al estudiar el movimiento de objetos que giran, se pueden deducir leyes análogas a las tres leyes de Newton para el movimiento en una línea recta. No sólo eso, también se tienen leyes análogas de conservación, y sus correspondientes representaciones matemáticas. Para describir el movimiento de un cuerpo rígido, son necesarios seis parámetros, tres para su movimiento de traslación y tres para su movimiento de rotación. Para describir el movimiento traslacional, es necesario dar tres coordenadas (x,y,z) que ubiquen la posición del centro de masa de tal cuerpo; además, se requieren otros tres parámetros aunque los giros sean en un sólo plano. Así, por ejemplo, para describir el movimiento de un trompo que gira en forma perfectamente vertical, se observa el sentido en que gira, visto desde arriba. Si el trompo gira en dirección opuesta al sentido de las manecillas del reloj, se le asigna un vector de velocidad angular que sale del piso; mientras que si gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, se le asigna un vector que entra al piso. En el primer caso el sentido es positivo, mientras que en el segundo es negativo (figura 1). Lo anterior es meramente convencional, sólo se trata de cómo colocamos nuestros ejes de referencia, podría ser al revés y no se perdería información, ni cambiarían las propiedades. Pero, el hecho de expresarlo de esa manera se debe a que se sigue una regla de la mano derecha: si colocamos esa mano con los cuatro dedos que se oponen al pulgar “girando” en la misma dirección que el trompo, el pulgar apunta hacia arriba en el primer caso, y hacia abajo en el segundo. Si se hiciera esto con la mano izquierda, se tendría exactamente lo contrario; pero como la mayoría de
Mefisto Igualmente, cuando una partícula cargada entra en un campo magnético uniforme, presenta una aceleración que la hace girar. El sentido del giro queda determinado por la regla de la mano derecha: si el dedo índice apunta en dirección del vector velocidad de la partícula, y el dedo medio en dirección del campo magnético, la fuerza que se genera apunta en dirección del dedo pulgar.
Óptica y vida
Figura 1.
los científicos que se dedicaron a estudiar el movimiento giratorio eran derechos, se adoptó la regla de la mano derecha “democráticamente”. Sin embargo, los trompos no siempre se mueven en posición perfectamente vertical (imagine el lector el movimiento cuando pierde fuerza), lo que vemos es que un trompo gira, pero también “cabecea”, movimiento al que se le conoce como precesión. La precesión es la que hace que el trompo vaya alejándose de la vertical, de tal forma que el eje de rotación forma un ángulo con la vertical, y ese eje también gira con una velocidad angular menor a la del trompo, en sentido opuesto. Debido a ese movimiento, cada partícula que forma al trompo regresa, antes de que se complete la rotación, al punto en que estaba en la rotación previa. Entonces, es necesario agregar tal comportamiento a la descripción del movimiento. Y el movimiento de precesión tampoco se da en forma constante, sino que el ángulo de giro varía, movimiento que se llama nutación. El movimiento de nutación es el tercer parámetro en la descripción del movimiento de un cuerpo rígido. A partir de ello, todos los siguientes resultados de la mecánica rotacional siguen la regla de la mano derecha.
Electromagnetismo También en electricidad se sigue la regla de la mano derecha se coloca la mano derecha en un alambre conductor, con el pulgar apuntando en dirección del flujo de corriente; en este caso, el campo magnético inducido tiene la dirección hacia la que apuntan los otros dedos.
Un ejemplo sorprendente de regla de la mano derecha es el siguiente: si hacemos una solución de agua y azúcar natural, al hacer incidir luz en ella, la luz que atraviesa la solución sale polarizada a la derecha; sin embargo, cuando se usa azúcar sintetizada en un laboratorio, dicho fenómeno no se observa. Algo aún más sorprendente sucede si al azúcar sintética le agregamos bacterias: éstas no consumen todo el azúcar, sólo una parte determinada por la estructura molecular. En efecto, al hacer una solución acuosa con el azúcar restante se observa que la luz se polariza, ¡pero a la izquierda! Es decir, las bacterias sólo consumen el azúcar que polariza a la derecha, dejando intacta la que polariza a la izquierda. De hecho, las moléculas de azúcar no son simétricas, y de alguna manera las bacterias lo distinguen. Pero, al sintetizarlas en un laboratorio, obtenemos moléculas que contienen una parte como las que fabrican las plantas y también su imagen a espejo. Sin embargo, por alguna razón, los organismos vivos tienen preferencia por una de ellas, desechando la otra. Y este ejemplo de la polarización de la luz en una solución acuosa de azúcar sugiere que la preferencia por la mano derecha es inherente a la vida y no debería sorprendernos que haya preferencia por el uso de la mano derecha en los seres humanos y en otros organismos superiores.
Conclusión La regla de la mano derecha usada en física es de importancia trascendental, no sólo en ese campo del conocimiento, sino en muchos otros, debido a la preferencia intrínseca de la vida por la derecha. Lo cual no deja de ser sorprendente, a pesar de la explicación totalmente natural que nos muestra la biología.
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Mefisto
Regla de la mano derecha mediante rotaciones Miguel López de Luna
Profesor uacm R3 , u × v. u, v
R3 ,
u×v 180◦
u
v,
u × v.
u, v ∈ R3 ,
n(u, v) u×v
v
u×v
u n(u, v)
u × v = λn(u, v) u, v ∈ R3
λ > 0,
u, v, w ∈ R3 a
u
w · (u × v) = 0
v w = au + bv.
b
u = (u1 , u2 ) �= (0, 0) Aϕ =
ϕ cos ϕ − ϕ cos ϕ
ϕ ∈ [0, 2π) u(ϕ) = Aϕ u
u(ϕ) = Aϕ u
u ϕ θ
u(−ϕ) = u(2π − ϕ), α, β ∈ [0, 2π) u = (u1 , u2)
v = (v1 , v2 )
(i) (u + v)(α) = u(α) + v(α); (ii) (λu)(α) = λu(α); (iii) � u(α) �=� u �; (iv) u(α)(β) = u(α + β); (v) u(α)(−α) = u;
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(vi) u(α) = λv (vii)
w ∈ R2
u = λv(−α); w(α) = u;
λ
(ii) (λu)(α) = λu(α);
Mefisto
(iii) � u(α) �=� u �; (iv) u(α)(β) = u(α + β); (v) u(α)(−α) = u; u = λv(−α);
(vi) u(α) = λv w ∈ R2
(vii)
w(α) = u;
u(α) = v(α)
(viii)
u=v
(ix) u(α) · v(β) = u · v cos(α − β) + (u1 v2 − u2 v1 ) Aϕ (u + v) = Aϕ u + Aϕ v (iv) u = A−1 ϕ (λv) = λA−ϕ v
(α − β)
(i) (ii) (λAϕ )u = λAϕ u.
Aα (Aβ u) = A(α+β) u, (vi),
Aϕ u = λv (ix)
u(α) · v(β) = (Aα u) · (Aβ v) = cos(α − β)(u1v1 + u2 v2 ) + (α − β)(u1v2 − u2 v1 ) = u · v cos(α − β) + (u1 v2 − u2 v1 ) (α − β).
u = (u1 , u2 , u3) v = (v1 , v2 , v3 ) 1
0
(1) Bϕ = 0 cos ϕ −
ϕ ∈ [0, 2π),
0
Bϕ(2)
=
cos ϕ 0 − ϕ 0 1 0 ϕ 0 cos ϕ
Bϕ(3)
(i)
(i)
(i)
=
cos ϕ − ϕ 0 ϕ cos ϕ 0 0 0 1
u, v ∈ R3
(b) Bϕ (u × v) = Bϕ u × Bϕ v (c)
u ∈ R3 ;
(a) �Bϕ u� = �u�, (i)
ϕ , cos ϕ
i = 1, 2, 3,
Bϕ (i)
ϕ
0
(i)
u×v
Bϕ u ×
(i) Bϕ v. (i)
i ∈ {1, 2, 3} (a)
(b) λ>0
Bϕ = Bϕ .
(c)
u×v n(u, v) = λ(u × v). Bϕ n(u, v) = Bϕ (λ(u × v)) = λBϕ (u × v) = λ(Bϕ u × Bϕ v),
(b). Bϕ n(u, v)
Bϕ n(u, v)
Bϕ u × Bϕ v
(a)
Bϕ n(u, v) = n(Bϕ u, Bϕ v), Bϕ u × Bϕ v = µ n(Bϕ u, Bϕ v) ϕ ∈ (0, 2π). (b)
µ > 0. ϕ = 0 B(2π−ϕ) (Bϕ u × Bϕ v) = u × v.
B(2π−ϕ) (Bϕ u × Bϕ v) = µ B(2π−ϕ) n(Bϕ u, Bϕ v) = µ n(B(2π−ϕ) Bϕ u, B(2π−ϕ) Bϕ v) = µ n(u, v). u × v = µ n(u, v).
µ > 0,
u×v
Continúa en la pág. 14
u · ei0 = v · ei0 = 0 B
(i0 )
u×B
i0 ∈ {1, 2, 3}, (i0 )
v = u × v.
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Mefisto
El cielo de invierno Fases de la Luna Enero 5 cuarto creciente 12 luna llena 19 cuarto menguante 27 luna nueva Febrero 3 cuarto creciente 10 luna llena 18 cuarto menguante 26 luna nueva Marzo 5 cuarto creciente 12 luna llena 20 cuarto menguante 27 luna nueva
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Mefisto Planetas Mercurio en Capricornio Venus en Acuario Marte en Piscis Júpiter en Virgo Saturno en Escorpión Urano en Piscis Neptuno en Acuario
Lluvias de estrellas Cuadrántidas 3 de enero a Centáuridas 8 de febrero Eclipses 11 febrero Eclipse penumbral de Luna 26 de febrero Eclipse anular de Sol
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B(2π−ϕ) (Bϕ u × Bϕ v) = u × v. B(2π−ϕ) (Bϕ u × Bϕ v) = µ B(2π−ϕ) n(Bϕ u, Bϕ v) = µ n(B(2π−ϕ) Bϕ u, B(2π−ϕ) Bϕ v) = µ n(u, v).
Mefisto
u × v = µ n(u, v).
µ > 0,
u×v
u · ei0 = v · ei0 = 0
i0 ∈ {1, 2, 3},
Bϕ(i0 ) u × Bϕ(i0 ) v = u × v. (i )
Bϕ 0 (u × v) = u × v,
(b)
u, v ∈ R3 i0 ∈ {1, 2, 3}, u = (u1 , u2 ) v = (v1 , v2 ), (i ) (i) − (ix) u(α) = Bα 0 u (vii) (i ) (vii′ ) w ∈ R3 w · ei0 = 0 Bα 0 w = u. (3) u = (u1 , u2, u3 ), u◦ (α) Bα u◦ , u◦ = (u1 , u2 , 0). ◦ ◦ u v arg(u, v). u v v u v ◦ u◦ (arg(u◦, v ◦ )) v u v′ (3) (3) ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ u (arg(u , v )), u = Bϕ u v = Bϕ v ϕ e1 · u = e1 · v = 0. v u, u v. u · ei0 = v · ei0 = 0
u×v n(u, v) a, b ∈ R
n(u, v) u×v
(b),
u, v u×v
(u × v) · (au + bv) = 0 u v n(u, v) −n(u, v).
v
n( u,
v)
u
z
θ1
n( u,
v)
θ2
×
−
y x
(b)
(a)
u × v. u
u · i0 = v · i0 = 0
v
(u × v) · n(u, v) > 0
n(u, v) = e1
u3 > 0 u
θ1 − cos θ1
u×v
i0 = 1,
v u × v = (u2 v3 − v2 u3 , 0, 0).
(u × v) · e1 = �u��v�(cos θ2 θ1
i0 ∈ {1, 2, 3},
θ2 ) = �u��v�
v3 > 0,
(arg(u, v)) > 0,
(a)
θ2
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u◦ u◦ = ( v1 u2 , u , 0) =
u2
(u × v) · e3 = 0.
v◦
(u × v) · e3 = 0, (v , v , 0) = λv ◦ λ=
u1 v2 − v1 u2 = 0.(∗) u2
.
v2 �= 0 v =0
(u × v) · e1 = �u��v�(cos θ2 θ1
θ1 − cos θ1
θ2 ) = �u��v�
(arg(u, v)) > 0,
(a)
θ2
Mefisto
u◦
(u × v) · e3 = 0.
v◦
(u × v) · e3 = 0, u1 v2 − v1 u2 = 0.(∗) v2 �= 0 u◦ = ( v1vu2 2 , u2, 0) = uv22 (v1 , v2 , 0) = λv ◦ λ = uv22 . v2 = 0 (∗) v1 = 0 u2 = 0 v ◦ = (0, 0, 0) u◦ = (u1 , 0, 0) v ◦ = (v1 , 0, 0), u◦ × v ◦ = 0 (u × v) · e3 = (u◦ × v ◦ ) · e3 , (u◦ × v ◦ ) · e3 > 0
u◦
2 ϕ = 2π − θ.
θ = arg(e1 , u0 ) u (ϕ) × v (ϕ) = u◦ × v ◦ . ◦
�π�
· v ◦ > 0. u◦ (ϕ)
◦
u◦ (ϕ) × v ◦ (ϕ) = u◦ × v ◦
u◦
v◦ (ϕ )
u◦ × v ◦ v◦
v ◦ (ϕ)
θ ′
u◦ (ϕ) = (u1 , 0, 0)
′
′
′
v ◦ (ϕ) = (v1 , v2 , 0) ′
′
′
v2 > 0 ′
u◦ (ϕ) = (u1, 0, 0) v ◦ (ϕ) = (v1 , v2 , 0). u1 > 0
′
u◦ (ϕ)×v ◦ (ϕ) = (0, 0, u1v2 ).
′
(u◦ × v ◦ ) · e3 = (u◦ (ϕ) × v ◦ (ϕ)) · e3
′
′
= u1 v2
> 0,
< 0,
′
v2 > 0 ′
v2 < 0
′
u◦ ( π2 )
v2 > 0. =� u � (− ◦
θ, cos θ, 0),
v2′ = v1 ϕ + v2 cos ϕ = −v1 = v ◦ · (− θ, cos θ, 0) � � ◦ ◦ π v ·u 2 . = � u◦ � � � (u◦ × v ◦ ) · e3 > 0 u◦ π2 · v ◦ > 0. u
v
(u × v) · e3 �= 0.
θ + v2 cos θ
v
u, (u × v) · e3 > 0 ((u × v) · e3 < 0).
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Mefisto �v ◦ � β = arg(u◦, v ◦ ). v �u◦ � v ◦ = au◦ (β). (u × v) · e3 = (u0 × v 0 ) · e3 , ◦ ◦ π u ( 2 ) · v > 0. π π π · v ◦ = au◦ · u◦ (β) = a u◦ · u◦ cos −β . u◦ 2 2 2 a =
u,
a>0 α=β−
|
π 2
−β |< π2 ,
u◦ ( π2 ) · v ◦ > 0. · v ◦ > 0.
(u ×v) · e3 > 0. v ◦ = au◦ ( π2 )(α),
u◦( π2 )
π 2
(ix)
v ◦ = au◦ (β)
β
u◦ u◦ ( π2 )
u◦ ( π2 )
β θ
α
u◦
α θ
v ◦ = au◦ (β)
(a) u0 · v 0 < 0
(b) u0 · v 0 > 0 (u × v) · e3 > 0
v ◦ = au◦ (β),
v
u.
v u0 = a1 v 0 (β) π π ◦ 1 1 · v◦ = v◦ β + · v = − v0 · v0 u◦ 2 a 2 a (ix) (u0 × v 0 ) · e3 < 0, (u × v) · e3 < 0.
u.
v 0 = au0 (2π − β).
(β) < 0,
(u × v) · e3 < 0 u◦ u◦ ( π2 )
(v × u) · e3 > 0 β
u◦ =
1 v ◦ (β) a
v ◦ = au◦ (−β)
v ◦ = au◦ (−β).
(u × v) · e3 < 0
◦
(u × v) · e3 �= 0.
u◦
×
au
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(β )
u×v
v ◦ = au◦ (−β).
(u × v) · e3 < 0
(u × v) · e3 �= 0.
v◦ =
au ◦ (β )
×
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u◦
u×v
v ◦ = au◦ (−β)
β
u◦ β
×
(u × v) · e3 > 0
(u × v) · e3 < 0
z
y
× θ ϕ
y
x
= x n ta θ
u×v
(a) (u × v) · e3 �= 0; (b) (u × v) · e3 = 0. (u × v) · e3 > 0, v n(u, v) · e3 > 0, u × v n(u, v) u × v = λn(u, v), λ > 0. (u × v) · e3 < 0. (b), u v (3) (3) ϕ ∈ [0, π] e1 · Bϕ u = e1 · Bϕ v = 0. (3) (3) Bϕ u Bϕ v (a)
u.
u0
v0 z = 0
(c)
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Mefisto
La política, ¿juego de ajedrez? Daniel Maisner
Profesor uacm
D
espués de ver algunos políticos vociferar diciendo insensateces y realizar actos llenos de torpeza y cinismo, los expertos nos dicen que no entendemos a profundidad lo que sucede porque en realidad la política es un enorme juego de ajedrez, y que detrás de esas caras de sonrisa para anunciar pasta de dientes existen grandes estrategas, que llenarían de envidia a Boby Fisher. Esta comparación entre la política y el ajedrez no es más que una metáfora para significar que, en política se utilizan tácticas y estrategias para lograr los diversos objetivos de quienes participan en el juego que no todo se reduce a tener la razón, y que la ingenuidad suele pagarse caro. Sin embargo, reflexionando un poco más allá, podemos ver que dicha afirmación es bastante vaga y que, en realidad, el ajedrez y la política difieren en muchos aspectos. De hecho, para afirmar que la política es un juego de estrategia, podemos compararla con cualquier actividad que utilice la estrategia de alguna manera, o sea, casi cualquier actividad humana, como podrían ser un juego de póquer, una guerra o un torneo de gimnasia. Al escoger precisamente al ajedrez, se está generando una imagen más refinada, de estrategia pura y sofisticada, y de gran capacidad y esfuerzo mental. Pero, como veremos a lo largo de este artículo, no es una comparación adecuada. La relación entre el estudio de ciertas áreas de las ciencias sociales, principalmente la economía, y del funcionamiento de algunos juegos, es el objeto de estudio de un área de las matemáticas conocida como teoría de juegos. Más precisamente, en esta área se busca modelar los fenómenos sociales
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comparándolos con las estructuras propias de los juegos, concebidos de forma abstracta. En estos términos, la pregunta básica en este artículo es ¿el ajedrez es un buen modelo para los mecanismos utilizados en política? Digamos, por ejemplo, ¿se parecen a un juego de ajedrez las estrategias utilizadas en las pre campañas para las elecciones presidenciales que ya hoy están moviendo sus fichas? (¡Vaya! acabamos de realizar otra alusión ajedrecística). A continuación mencionaremos algunas diferencias elementales entre la política y el ajedrez, ejemplificando cómo la realidad es mucho más compleja y dejando claro que la comparación con este juego es una metáfora bastante superficial. 1. Número de jugadores: El ajedrez es un juego de dos jugadores (bipersonal), cada uno enfocado a ganar y de manera obligada a hacer perder al otro; al finalizar este juego sólo existen tres resultados posibles: la victoria de alguno de los participantes o un empate. En política y en otras áreas de las ciencias sociales como la economía, la situación es muy diferente, y de un alto grado de complejidad, de tal forma que sólo pueden estudiarse casos muy simplificados. Claramente, en política existen muchos jugadores, lo que al realizar el ejercicio de abstraerla como juego, lo convierte en algo de mucho mayor grado de complejidad que un juego de dos contrincantes. Por ejemplo, los objetivos y opciones de cada jugador forman una gama de mucho mayor amplitud, y las
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posibilidades finales no se restringen a victo- 2. Cooperación entre jugadores: Este punto ya lo hemos desarrollado en el inciso anterior ria o empate de alguno de los jugadores. Así, pero conviene hacerlo patente. En el ajedrez la derrota de algún jugador no necesariamenno existe ninguna posibilidad de cooperación te significa la victoria de otro o de los demás; entre los jugadores: necesariamente, cada jumás aún, ni siquiera el objetivo de un jugador gador juega a vencer al rival. En política y en es forzosamente vencer a los demás. economía existen muchas situaciones donPodría argumentarse que, en muchos de los jugadores pueden cooperar o aliarse casos, existe una tendencia natural a que los para obtener resultados de beneficio común, individuos se agrupen en dos grandes fuerabriéndose el espectro entre victoria y derrota. zas, y a que en esas ocasiones tengamos una situación semejante al juego de dos jugadores, siendo el ejemplo más típico de las elecciones 3. Aleatoriedad: En el ajedrez, pensado como juego en abstracto, no interviene el azar. Las bipartidistas. Pero aún en este tipo de situareglas están fijas y, en términos generales, no ciones, existen diferencias esenciales: por un hay momentos en que intervenga la suerte. lado, siempre existen grupos minoritarios que No se tiran dados, ni se reparten las fichas juegan su propio juego y que no pueden obdespués de revolver, ni hay ases bajo la manviarse, y por el otro, es falso que en estas siga, se juega siempre con las mismas piezas y tuaciones el objetivo de cada jugador sea aniquilar al rival; incluso en algunos casos puede con las mismas reglas. En el accionar político, en cambio, hay haber victoria de varios jugadores, y lo que es más frecuente, derrota simultánea. un fuerte componente de azar. En situaciones aparentemente semejantes, o incluso prácPor ejemplo, en las campañas electorales, ticamente idénticas, pueden existir desarrosiempre existen participantes interesados en llos totalmente diferentes debido a factores lograr algunos objetivos particulares que están aleatorios, como pueden ser la participación dispuestos a trabajar por la victoria del candidato que contribuya en mayor medida a esto, de individuos excepcionales, la presencia de hechos simbólicos que cambian la percepsin importarles quien resulte ganador. ción de las cosas o hasta el clima. Por ejemplo, ¿cuánto aguanta una sociedad un mal gobier-
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Mefisto no antes de protestar? La historia está llena de ejemplos en donde lo simbólico fue más relevante para un levantamiento que lo verdaderamente grave. Por otro lado, las reglas no están definidas, y construirlas es parte del juego; más aún, es parte activa del mismo decidir si las ya existentes se respetan o no y esto también introduce, de manera natural, azar en el juego.
En este sentido, sin que la comparación sea tampoco muy buena, la política es más parecida al póquer, donde cada jugador conoce sus cartas, pero no las de los demás. Así, por ejemplo el farol, fingir que se tiene buen juego cuando se tiene malo y recíprocamente, fingir que se tiene malo cuando es bueno, es parte fundamental del juego político inexistente en juegos como el ajedrez.
4. Equilibrio: El ajedrez es un juego bastante equilibrado con una leve ventaja para quien utilice las piezas blancas. En un lenguaje cotidiano, podemos afirmar que, en general, siempre gana el mejor y cuando están equilibradas las fuerzas, gana quien juega con blancas o se dan tablas. En cambio, el juego político es totalmente desequilibrado: quien ostenta el poder tiene una enorme ventaja sobre los demás. Pensar que los grandes actores políticos son necesariamente grandes estrategas es un error de apreciación bastante común. En este sentido, es más atinado comparar a la política con una guerra: la mejor estrategia no es suficiente para enfrentar a una superioridad militar manifiesta. Decir que los políticos más exitosos, son los mejores estrategas es promover un mito semejante al de que los ricos son los hombres más trabajadores, o el de que quienes ostentan los puestos más altos académico-administrativos son los hombres más dotados intelectualmente.
Si la comparación con el ajedrez no es adecuada ¿cuál sí lo es? Por supuesto, esta pregunta rebasa con mucho los alcances del presente artículo y, de hecho, una respuesta definitiva revolucionaría el estudio de las ciencias sociales. Sin embargo, podemos mencionar que, a partir de algunos trabajos del siglo xix como los de Cournot (1801-1877), y definitivamente de los trabajos de Von Neumann y Morgesten en su ya clásico libro The theory of games and economic behavior, se ha ido desarrollando la teoría de juegos, que ha sido muy fructífera para desarrollar modelos en las ciencias sociales, inspirados precisamente en la comprensión de los juegos. Aunque estos modelos distan mucho de dar respuestas generales que expliquen el comportamiento de las ciencias sociales, es importante mencionar que la teoría de juegos ha dado un número amplio de modelos matemáticos para explicar la economía, y que su estudio es cada vez más relevante para la comprensión de esta disciplina. Mencionemos, por ejemplo, el premio nobel de economía ha sido otorgado a especialistas en teoría de juegos en varias ocasiones mencionemos por ejemplo: a Nash (1928-2015) premiado en 1994, Arrow (1921) y Hicks (1904-1989) premiados en 1972, ó Roth ( 1951) y Shapley (1923-2016) galardonados en 2012.
5. Información: Cada ajedrecista tiene toda la información que se necesita para jugar: además de conocer las reglas, se conocen todas las tiradas que se van realizando. En cambio, en política, el manejo de la información es parte central de la estrategia, gran parte de la información está oculta y el conocimiento parcial de ella supone una ventaja. La información llega a ser tan nebulosa, que ni siquiera se sabe con certeza quiénes son los jugadores, qué tiradas han realizado, ni cuáles son sus objetivos.
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Frases célebres Cuando no se puede, además es imposible.
Querer es poder... a veces.
Joaquín Rodríguez “Cagancho” (1903-1984 ), torero español.
Juan Manuel Lozano Mejía (1929-2007), físico mexicano.
Señores poetas y novelistas, no crean que tienen el monopolio de la imaginación. Entre todos ustedes no han inventado nunca una cosa tan fantástica como la línea recta.
Mientras la ciencia tranquiliza, el arte perturba.
Dr. Alberto Barajas (1913 - 2004), matemático mexicano.
Georges Braque (1882-1963), pintor francés
De dos peligros debe cuidarse el hombre nuevo: de la derecha cuando es diestra, de la izquierda cuando es siniestra.
El sitio de honor está a la izquierda cuando el gentilhombre está en su casa; está a la derecha cuando lleva las armas
Mario Benedetti (1920-2009), escritor uruguayo
Lao Tse (¿?) filósofo chino
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Acertijos 1. Si dos hombres hacen dos hoyos en dos días, 3. Si estás participando en una carrera y adelantas ¿cuantos días necesita un sólo hombre para hacer al segundo, ¿en qué posición terminarás la carrera? un hoyo?
+
+
z y2
¿
x2
2
?
x 22
= y
2. Tengo tantas hermanas como hermanos, pero 4. Un encuestador llama a la puerta de una casa en mis hermanos tienen la mitad de hermanos que de donde es atendido por una mujer: hermanas. ¿Cuántos somos? • ¿Cuántos hijos tiene? • Tres hijas, -dice la señora-. • ¿De qué edades? • El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de esta casa. El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la señora que necesita más información para deducir las edades de sus hijas. La señora piensa un momento y le dice: •
Tiene razón, la mayor toca el piano.
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Acertijos Solución a los anteriores 1. Como al quitar 4 litros de agua y agregar 2 de alcohol se obtiene una solución de 20% de alcohol y 80% de agua, al quitar otros 4 litros quedan 16 litros de solución, que contienen 16(0.8)=12.8 litros de agua, y 16(0.2)=3.2 litros de alcohol.
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2. Al inicio hay en el primer árbol x pájaros, en el segundo hay y, y en el tercero hay z. Como en total son 60, podemos escribir la ecuación x+y+z=60. Después del disparo, en el primer árbol quedan x-6 pájaros, en el segundo y-8 y en el tercero z-4. Como en el segundo árbol hay el doble que en el primero, se puede escribir la ecuación y-8=2(x-6), y como en el segundo árbol hay la mitad que en el tercer árbol, en él hay el doble que en el segundo, o sea 2(y-8)=z-4. Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos x=12, y=20 y z=28.
3. Si trabajando entre los dos tardan 4 horas, en una hora hacen 1/4 de el trabajo. Pero trabajando sólo Luis tarda 6 horas, por lo que él hace en una hora 1/6 del trabajo. Entonces Jorge hace 1/4 - 1/6 = 1/12 del trabajo. Entonces tardará 12 horas en terminar el trabajo él solo.
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3 4. Para que esta situación tenga sentido, una de las personas debe ser padre e hijo a la vez. Esto se cumple si salen padre, hijo y nieto, ya que él es padre e hijo a la vez.
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Sudoku Fácil Solución al anterior
2 4 5 8 2 1 6 6 4 2 9 8 6 6 7 5 1 2 3 6 5 3 8 9 2 6 5 7 4 8 6 2 5 9 4 7 3 1 9
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1 6 5 4 3 8 9 7 2
2 7 8 6 5 9 1 3 4
9 3 4 2 1 7 8 5 6
5 8 1 7 6 4 2 9 3
6 2 7 9 8 3 5 4 1
3 4 9 1 2 5 6 8 7
Difícil Solución al anterior
7 9 1 2 8 3 4 5 6 24
3 2 5 6 7 4 8 1 9
6 8 4 1 5 9 2 7 3
2 3 7 5 6 8 9 4 1
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8 1 2 7 9 5 3 6 4
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9 7 3 8 4 6 1 2 5
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