Gaceta Mefisto 20

Octubre de 2016

Número 20

Mefisto

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

En este número

Paralelismo 19

Presentación

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Paralelas

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Daniel Maisner Bush

El cielo de otoño

12

Fausto Cervantes Ortiz

Frases célebres 21 Acertijos

22

Sudoku

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1

Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno

Comité Editorial

Hugo Aboites Aguilar

Ana Beatriz Alonso Osorio Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera

Secretaria General Ma. Auxilio Heredia Anaya

Producción y gestión Benito López Martínez

Coordinadora Académica Micaela Rosalinda Cruz Monje Encargado del Despacho de la Coordinación del Colegio de Ciencia y Tecnología Igor Peña Ibarra Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria

Responsable del área de publicaciones Felipe Vázquez

Editor Fausto Cervantes Ortiz

Rector

Koulsy Lamko

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Revistas Universitarias de Divulgación (Rudi)

Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

MEFISTO, Año 5, No. 20, octubre-diciembre 2016, es una publicación trimestral editada por la Universidad Autónoma de la Ciudad de México (UACM) Dr. García Diego 168, col. Doctores, del. Cuauhtémoc, 06720 Ciudad de México, Tel. 1107 0280, www.uacm.edu.mx. Editor responsable: Fausto Cervantes Ortiz, gaceta.mefisto@gmail.com. Certificado de Reserva de Derechos al uso Exclusivo e ISSN: en trámite, ambos otorgados por el Instituto Nacional de Derechos de Autor. Certificado de Licitud de Título y Contenido: en trámite, otorgado por la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretaría de Gobernación. Impreso en: Universidad Autónoma de la Ciudad de México, San Lorenzo, 290, col. Del Valle Sur, 03100, Ciudad de México. tel. 1107 0280 ext. 15581, este número se terminó de imprimir el 10 de febrero de 2017 con un tiraje de 2,000 ejemplares.

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Mefisto

Presentación

E

n este número presentamos dos artículos que, de forma paralela, abordan temas relacionados con el paralelismo.

Etimológicamente paralela significa uno junto al otro Para (junto) y All− hloz (uno al otro) y con el paso del tiempo ha ido teniendo diversos significados paralelos.

Clásicamente, en geometría se entiende que dos rectas son paralelas si, estando en un mismo plano, no se intersectan al prolongarlas indefinidamente.

De forma paralela, en el lenguaje común, se habla de paralelismos cuando dos ideas, con diferente origen, tienen muchas semejanzas.

Así, en un caso hablamos de dos objetos idénticos que no se tocan y en el otro, de dos ideas que, sin estar explícitamente relacionadas, guardan una íntima relación. Volviendo a la geometría, ¿existen rectas paralelas? Nuestra intuición y nuestra manera de visualizar el mundo nos dicen que sí; sin embargo, la respuesta es mucho más profunda de lo que parece, y entraña la discusión de temas tan esenciales como la forma del espacio, la formalidad de la matemática e, incluso, las diferentes maneras de comprender el concepto elemental llamado “recta”. Sobre los desarrollos paralelos entre la geometría y la matemática a lo largo de los siglos, nos escribe Daniel Maisner.

Y, ¿qué hay del paralelismo literario? Éste se da cuando, en un verso, las frases de dos o más líneas están relacionadas mutuamente, sea para reforzar, complementar o esclarecer el significado del poema. Así, Fausto Cervantes analiza la poesía de distintas versiones del Antiguo Testamento, contrastando las similitudes formales de algunos versos que, una vez disectados, resultan tener significados muy diferentes y hasta opuestos.

En paralelo a estos escritos se encuentran, como siempre, nuestras secciones permanentes de acertijos que no se intersectan, mapas estelares cuyas rectas se encorvan, frases célebres antagónicas y … sudokus. Paralelamente, en este número compartimos con los lectores nuestra celebración por el número 20 de la Gaceta Mefisto –casi seis años de entregas divulgando conocimiento–, augurando una renovada transformación para 2017.

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Rectas paralelas Daniel Maisner Bush

Profesor de la UACM

Introducción

y axiomas, a partir de las cuales se deducen todos los resultados que son demostrados de forma riAlrededor del año trecientos antes de nuestra era, gurosa. Sin querer ahondar más en la concepción Euclides escribió su tratado de geometría llamado moderna de axiomas y postulados mencionemos Los elementos.1 Se trata de una obra fundamental que, para estructurar correctamente una teoría bapara el posterior desarrollo del conocimiento hu- sada en axiomas, es necesario que se cumpla que: mano; considerada, por muchos, la obra científica más reproducida, comentada e influyente de la 1. Los axiomas y postulados deben ser necesarios para la teoría, y deben corresponder, en un historia. En sus trece tomos, Euclides resume gran parte del saber matemático de la antigüedad. Aunsentido muy general, a esa idea de ser verdades que dedicada principalmente al tema de la geometan evidentes que no se pueden demostrar sin recurrir a enunciaciones equivalentes. tría, la obra abarca diversas áreas de la matemática, 2. Al enumerarlos deben ser el mínimo número como el álgebra y la teoría de números. posible de enunciados: ninguno de ellos debe Desde la antigüedad hasta nuestros días, Los poder deducirse de los demás. elementos han sido, con mínimas modificaciones, la base de los cursos elementales de geometría.

Esto es suficiente para considerarla una obra El segundo punto que acabamos de describir fundamental en la historia de la ciencia; pero su es el punto central de uno de los problemas de los importancia histórica no se reduce a ello. Los ele- fundamentos de la matemática más importantes mentos también son un ejemplo de la exposición de la historia del conocimiento humano y que se de resultados matemáticos, así como de la de- generó a partir del quinto postulado de Euclides, ducción y el rigor en esta área del conocimiento, mismo que permanecería sin resolverse hasta mea grado tal que han marcado el concepto mismo diados del siglo XIX. Más específicamente, el quindel quehacer científico a lo largo de los siglos. Más to postulado propone la existencia de rectas paraespecíficamente, la forma de decidir cuándo un re- lelas; en lenguaje moderno se puede enunciar de la sultado matemático está debidamente demostrado siguiente manera: y cómo debe exponesre a la comunidad científica, sigue el modelo de Los elementos. Además, sigue Por un punto fuera de una recta pasa una siendo el prototipo a seguir al escribir artículos de única recta paralela (figura 1) la ciencia en general, y de las matemáticas en particular.

Desde la antigüedad, muchos pensadores consiUna de las grandes aportaciones de la obra es la deraron que esta afirmación no era un postulado, introducción del uso del llamado método axiomáti- sino un teorema y que, por tanto, debería ser demosco que podemos describir, de manera simplificada, trado a partir de los otros cuatro. Durante siglos, se como: partir de algunas verdades que no se demues- buscaron pruebas de esto por diversos medios. Fitran, a partir de las cuales se deduce toda la teoría. nalmente, durante el siglo XIX y principios del XX, Para esto, al inicio de Los elementos se presentan se demostró que era independiente de los demás; algunas verdades «evidentes» llamadas postulados es decir, se probó que es perfectamente válido considerar verdaderos los primeros cuatro postulados 1 No se sabe mucho de la vida de Euclides, y hay quienes y sustituir el quinto por su negación, sin que esto piensan que Los elementos fue escrito por diversos autores de lleve a una contradicción y, siguiendo este camino, alguna escuela de geometría.

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Figura 1. Por el punto P pasa una sola recta paralela a la recta AC.

pueden construirse nuevas geometrías alternativas, válidas y útiles, a las cuales hoy conocemos bajo el nombre de geometrías no euclidianas.

Este hecho significó una revolución en los fundamentos de la matemática y de la ciencia en general, lo que obligó a los matemáticos a replantearse muchas cuestiones relativas a qué es la matemática, cómo se construye y cómo se escribe. Por ejemplo: ¿las verdades evidentes, sólo lo son en cierto contexto? Si existe más de una geometría, ¿cuál es la real y qué significan las otras?

De manera simultánea a la revolución en los fundamentos —y en muchos sentidos indivisible—, se da una revolución en el concepto mismo de la geometría proveniente del desarrollo del conocimiento humano, introduciendo nuevas técnicas, nuevos problemas y nuevas maneras de trabajar, dejando atrás los métodos sintéticos basados en dibujos y en trazos de regla y compás.

En este artículo presentamos brevemente una idea de ambas revoluciones. Dado que el tema es extenso, nos restringiremos a presentar en la primera sección una concisa historia de cómo se arribó a la existencia de las geometrías no euclidianas y, en la segunda, presentamos algunas ideas intuitivas sobre modelos para las geometrías elíptica e hiperbólica. Finalizamos con apuntes que muestran

cómo evolucionó el propio quehacer geométrico.

1. Conceptos primitivos y Los elementos de Euclides No se sabe mucho sobre la vida de Euclides, los primeros escritos conocidos que se refieren a su persona fueron escritos por Proclo alrededor de setecientos años después de la época en que se sitúa su vida. Lo que sí se conoce es la monumental obra que se le atribuye, conocida como Los elementos. Conformada por 13 libros, es un formidable resumen de todo el conocimiento de la geometría de la antigüedad, sumado a que se considera un ejemplo de rigor matemático, método de exposición y método de deducción de los resultados expuestos.

Durante siglos, Los elementos ha sido la base de toda la enseñanza de la geometría elemental, y su formato de exposición un modelo de cómo deben presentarse los resultados matemáticos. Una de sus mayores aportaciones fue la utilización, al principio de la obra, de axiomas o nociones comunes y postulados. Expliquemos brevemente a qué nos referimos con axiomas y postulados.

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Mefisto No es posible definir todos los conceptos y términos que usamos en un lenguaje sin, eventualmente, caer en un círculo vicioso donde una definición remite a otra y viceversa. Por ejemplo, en el diccionario de la Real Academia se define mujer como “persona del sexo femenino”. Si buscamos femenino, obtenemos “propio de la mujer”. Así , tenemos una definición circular (cada una refiere a la otra). Este problema se puede salvar formalmente partiendo de que existen conceptos primitivos, cuyo significado todos conocemos sin necesidad de definirlo.

Las definiciones que presentaba Euclides de los conceptos elementales como punto o recta no eludían este problema y, hoy día, estos conceptos se consideran primitivos y se presentan sin definición, o sólo exponiendo ideas intuitivas.

Algo semejante sucede con las propiedades que se quieren deducir y presentar a lo largo de un texto. Es imposible demostrarlas absolutamente todas sin partir de que algunas son verdaderas por hipótesis. Euclides parte de dos tipos de verdades que no se demuestran: axiomas o nociones comunes y postulados. La diferencia entre ambos es sutil pero, para términos del presente artículo, diremos que los axiomas son verdades universales y que los postulados se refieren a verdades geométricas.

Nuestro interés principal es comprender de dónde surgen las geometrías no euclidianas. Para ello, reproduzcamos los postulados de Euclides:

como correctos y precisos hasta principios del siglo XX.2 Sólo después de la creación de las geometrías no euclidianas comenzó una reflexión profunda sobre ellos, presentándose modificaciones esenciales. En cambio, el quinto, causó controversia casi desde el momento en que fue enunciado.

La controversia no se encontraba en su veracidad, sino en considerar que no era un postulado sino una proposición, y por tanto debería demostrarse. Dicho de otra manera, no era una verdad indemostrable, sino un hecho que debería deducirse a partir de resultados derivados de los primeros cuatro postulados.

Desde la antigüedad hasta mediados del siglo XVIII, diversos geómetras intentaron, infructuosamente, encontrar una prueba del quinto postulado suponiendo ciertos los otros cuatro. Tal prueba no fue encontrada porque no existe; pero el trabajo no fue en vano, pues se clarificaron los conceptos.

Entre otros legados, se desarrollaron muchas formulaciones equivalentes al quinto postulado que permiten entenderlo con mayor precisión. Las más utilizadas son las dos siguientes: 5.1. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.

5.2. Los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

A partir del siglo de XVIII se intentó probar el 1. Desde cualquier punto a cualquier otro se pue- quinto postulado utilizando reducción al absurdo, es decir: suponiendo que el postulado es falso, llede trazar una recta.

2. Toda recta limitada puede prolongarse gar a una contradicción. Para comprender cómo se niega el quinto postulado, neguemos las formulaindefinidamente en la misma dirección.

3. Con cualquier centro y cualquier radio se pue- ciones 5.1 y 5.2 que acabamos de enunciar: de trazar una circunferencia. ~5.1 Por un punto exterior a una recta no pasa 4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma de ninguna recta paralela o se puede trazar más de un mismo lado ángulos internos menores una recta paralela. En este caso puede verse que que dos rectos, esas dos rectas prolongadas esto equivale a que pasan una infinidad de ellas. indefinidamente se cortan del lado en que es~5.2 La suma de los ángulos internos de un triántán los ángulos menores que dos rectos. gulo es diferente a 180°; es decir, es mayor a 180° Los primeros cuatro postulados refieren a pro- o menor. piedades intuitivas de la geometría y fueron aceptados, con mínimas variaciones en su redacción, 2 Hubo entonces una profunda revisión de los postulados de la geometría y del sistema axiomático en general.

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Mefisto Finalmente, a partir de las ideas de Gauss y Riemann, Beltami (1835-1900) y Klein prueban la consistencia relativa de la geometría hiperbólica.

Concretamente, prueban que, el que la geometría hiperbólica sea consistente, equivale a que la euclidiana lo sea. En otras palabras, cualquiera de las dos es igualmente válida.

2. Modelos geométricos del plano elíptico e hiperbólico

Figura 2. Cuadrilátero de Saccheri

El primer resultado destacado en esta dirección es la prueba de Saccheri (1667-1733), quien demuestra que, si no existen rectas paralelas, entonces las rectas deben ser finitas, y que este hecho contradice el segundo postulado. Hoy día no se considera que esto sea una contradicción, y simplemente se ajusta el segundo postulado para aceptar una geometría en donde no existen rectas paralelas, conocida con el nombre de geometría elíptica o proyectiva (figura 2).

Sin embargo, considerar que por un punto dado, exterior a una recta, pasa una infinidad de rectas paralelas o, equivalentemente, que los ángulos internos de un triángulo suman menos de 180°, no lleva a ninguna contradicción. De manera independiente llegaron a esta conclusión tres grandes matemáticos del siglo XIX: Lovachevski (1792-1856), Wolfang Bolyai (1775-1856) y Carl Friedrich Gauss (17771855), quienes desarrollaron las bases de lo que hoy conocemos como geometría hiperbólica.

Desde un punto de vista formal, el no llegar a una contradicción no es una prueba de que existe una geometría alternativa a la euclidiana —aunque el torrente de resultados era suficiente para arribar a dicha concepción.

En la concepción de la geometría euclidiana, el espacio es un enorme cubo que se prolonga indefinidamente, y por tanto existen rectas paralelas. Si negamos el quinto postulado, ¿qué forma tiene el espacio? De manera muy breve, en esta sección, presentamos algunas ideas geométricas al respecto.

Plano elíptico: Ya mencionamos que Sacheri prueba que la no existencia de paralelas contradice, en cierto sentido, la infinitud de la recta, y en consecuencia el segundo postulado. La utilización de una geometría sin rectas paralelas, sin embargo, se remonta varios siglos atrás y ya está presente en los estudios de perspectiva pictórica del renacimiento. Las primeras ideas provienen de dos pintores renacentistas, principalmente Durero y Da Vinci, que estudiaban los secretos de la perspectiva. Para un pintor que dibuja la realidad en perspectiva sobre un lienzo bidimensional, las rectas paralelas no son equidistantes, y convergen en un punto de fuga que podemos situar en el horizonte, incluso fuera de la obra. A partir de estas ideas, es natural concebir una geometría que no contenga rectas paralelas.

Por otro lado, Kepler (1571-1630), en su estudio de las cónicas realizado para comprender las órbitas planetarias, introduce el concepto de punto al infinito, que da forma a la idea anterior. La idea es muy sencilla: dos rectas paralelas se cortan en un punto ideal fuera del plano, al que se llamará punto al infinito; y podemos crear un nuevo pla-

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Mefisto no, conocido como plano proyectivo, que está conformado por el plano usual, al cual adicionamos una recta en el infinito conformada por todas las intersecciones de rectas paralelas. Esta concepción permite eliminar la existencia de rectas paralelas y, como una primera aplicación, elimina los casos excepcionales en muchos resultados tradicionales.

Al concebir una geometría sin rectas paralelas se pierden muchos de los resultados métricos tradicionales pero, en cambio, se trata de un área muy fértil en propiedades que se conservan bajo proyecciones. Destaquemos aquí los trabajos de Pascal (1623-1662) y Desargues (1591-1661).

Nuestro propio mundo nos dota (casi) de un modelo para el plano elíptico. Si dos personas recorren diferentes meridianos en distancias cortas, recorrerán caminos paralelos; sin embargo, al continuar su camino se cruzarán dos veces, cada vez que arriben a los polos.

Para comprender mejor esta idea imaginemos que vivimos en el asteroide B612, de donde es originario El principito. Nuestro planeta (sin que hayan crecido los baobabs), es tan pequeño que lo podemos recorrer a pie en unos cuantos minutos: ¿cómo describiríamos la geometría? Si al caminar desde el polo durante unos 5 minutos volvemos al mismo lugar, nos parecería natural concebir las rectas finitas. Además, ya que todas éstas se cortan en dos puntos, éstos serían nuestros postulados.

Más específicamente: una esfera, considerando los círculos máximos como rectas, es un modelo del plano proyectivo, o elíptico. Para ser más rigurosos y, especialmente para que se cumpla que dadas dos rectas se corten en un solo punto debemos considerar que las antípodas (puntos opuestos por un diámetro en la esfera) conforman el mismo punto. Es como quedarnos con sólo media esfera y después cocerla de manera especial.

La figura exacta no puede encajarse en un espacio de tres dimensiones y por tanto sólo podemos darnos una idea parcial. Un último detalle: desde los griegos es sabido que los ángulos internos de los «triángulos esféricos» suman más de 180°, sin embargo, ellos siempre concebían la esfera dentro de un espacio cúbico y no lo veían como algo contradictorio.

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Figura 3. El Principito.

Plano hiperbólico En los primeros trabajos sobre la geometría hiperbólica subyace la idea de que es una geometría imaginaria (en analogía con los números imaginarios), que puede contribuir a resolver ciertos problemas, pero alejada de la realidad. Sin embargo, para principios del siglo XX con los trabajos de Beltrami, Klein y finalmente Poincaré, se crean modelos de cómo puede concebirse el plano hiperbólico dentro del mundo euclidiano.

El plano hiperbólico es mucho más complejo de imaginar y presentar que el elíptico. Quizá la idea más sencilla de visualizarlo es el círculo de Poincaré. Para darnos una idea de cómo funciona imaginemos cómo vemos las cosas a través de un ojo de pescado: ésos que se usan en fotografía o en la puerta de una casa para ver quién toca. Sin lugar a dudas, las mejores ilustraciones en este sentido son los dibujos (circulares) de M. C. Escher (figura 4).

Al transformar una imagen «cuadrada» en una «circular», las rectas se curvean y se transforman en semicírculos perpendiculares a nuestro «círculo-universo». No es difícil ver que, con esta representación gráfica, por un punto exterior a una recta pasa una infinidad de rectas paralelas. (figura 4).

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Figura 4. Límite circular, de M. C. Escher.

3. Desarrollo de la geometría, del siglo XVII al siglo XIX Cuando se habla acerca de la creación de las geometrías no euclidianas, se tiende a pensar que los científicos eligen una geometría en la cual trabajar, y que continúan haciéndolo de manera similar a los geómetras griegos: con postulados, figuras y trazo a regla y compás. Esto es esencialmente falso, incluso para aquellos matemáticos dedicados al estudio de los fundamentos.

Algo similar sucede cuando se piensa en el desarrollo histórico de la geometría: la historia del quinto postulado nos hace pensar que el trabajo de siglos, en geometría, se limitó a pensar en el problema de los postulados, o en éste y los demás problemas que no fueron resueltos por los griegos, y que las técnicas de trabajo permanecieron sin evolución. Esta idea también es errónea.

Los grandes problemas geométricos que no fueron capaces de resolver los griegos siguieron siendo fuente de trabajo matemático; pero con el propio desarrollo de la matemática surgieron nuevos problemas, nuevas técnicas y nuevos enfoques.

En particular, entre los siglos XVI y XIX, la matemática se transformó profundamente, y con ello la geometría, abordaron entonces problemas novedosos que se alejaban de las herramientas euclidianas. Durante todo este tiempo no se dejó de pensar en el problema fundamental del quinto postulado; pero se consideró sólo uno más entre múltiples problemas matemáticos.

En otras palabras, el hecho de que las geometrías no euclidianas se desarrollaran y formalizaran en el siglo XIX y a principios del XX, no se debió únicamente a que en esa época hubiera matemáticos brillantes, a los cuales se les ocurrieron ideas geniales en esta dirección. Este desarrollo también tuvo que ver con el propio devenir de la matemática en general y de la geometría en particular. En concreto, cuando se desarrollaron los trabajos de Lovachevski, Bolyai y Gauss, había ya muchas áreas y conceptos nuevos que mostraban abundantes inconsistencias e insuficiencias en los planteamientos euclidianos.

Ya hemos mencionado, por ejemplo, cómo el estudio de las perspectivas y de las propiedades que se conservan bajo proyecciones llevaron a la creación de la geometría proyectiva. Algo parecido pasó con las aportaciones no métricas de Euler y otros matemáticos, que hoy se consideran resultados pioneros en áreas como la teoría de gráficas y la topología (para una explicación más detallada, puede verse el artículo de Naviera citado en la bibliografía).

Es difícil hacer un recuento de las diversas áreas y problemas matemáticos que llevaron de forma natural a cambiar la concepción de la geometría, y que dieron un sustento teórico a las geometrías no euclidianas. Por lo anterior, nos conformaremos con dar dos ejemplos de cómo el concepto del quehacer geométrico fue evolucionando: la geometría analítica y la geometría diferencial. En la presentación de estos dos ejemplos no seguiremos un orden histórico, y sólo nos conformaremos con dar una idea de cómo la traducción de geometría a álgebra, o a análisis (cálculo), lleva de manera natural a nuevas concepciones en donde lo no euclidiano cabe perfectamente.

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Geometría analítica Uno de los primeros cambios que transformaron completamente la forma de entender la geometría fue la creación de la geometría analítica. A Fermat primero, y posteriormente a Descartes, se les ocurrió asignar coordenadas al plano. Con esta idea, un punto deja de ser un concepto primitivo para convertirse en un concepto sencillo: una pareja de números reales (x, y), donde x y y representan las distancias del punto a dos rectas fijas llamadas ejes (figura 7).

Lo mismo sucede con una recta: en lugar de concebirla intuitivamente, la podemos pensar como una relación algebráica entre los puntos. Más precisamente, una recta son todos los puntos que satisfacen una ecuación lineal en dos variables: Figura 4. Coordenadas cartesianas.

Con ideas semejantes, Descartes mostró que las 2. En la geometría analítica, una circunferencia, cónicas se pueden pensar como el conjunto solu- con centro en el origen, se representa como las pación de las ecuaciones de grado 2 en dos variables: rejas de puntos (x,y) tales que satisfacen (1) Así, la geometría analítica tiende un puente entre la geometría euclidiana (sintética) y el mundo del álgebra. Este puente permite interpretar muchos conceptos geométricos desde una nueva óptica, y comprenderlos con un nivel de profundidad mucho mayor. En otras palabras, el legado de Descartes no sólo es poder reproducir con álgebra lo realizado por los griegos, sino dotarle de un nuevo lenguaje que permite comprender y resolver problemas inalcanzables para ellos. Demos dos ejemplos sencillos de esta idea:

Si nos restringimos a la geometría tradicional, debemos imponer la condición r > 0. En efecto, si r = 0, sólo existe una pareja que satisface la ecuación: (0, 0).

Esto lo podemos interpretar como una circunferencia que se colapsó en su centro, pero que contradice la idea de que el centro no pertenece a la circunferencia, y el radio es un número positivo.

Si r< 0, tenemos una circunferencia sin puntos, lo 1. Concebir una dimensión mayor que tres, pen- cual ya no tiene una interpretación geométrica en sando en figuras concretas, es muy difícil. En cam- el sentido tradicional. Sin embargo, desde el punto bio, en el álgebra esto se traduce a una idea sen- de vista algebraico, responde a una pregunta nacilla: agregar coordenadas. Un punto en el plano tural: ¿cuáles son las soluciones de una ecuación es una pareja (x,y), en el espacio una terna (x,y,z) de grado dos en dos variables? En el mundo del y en dimensión n, una n-eada (x1,...,xn). A partir álgebra, la respuesta a esta pregunta variará según de aquí podemos construir una geometría en cual- la estructura numérica que estemos utilizando. Por quier dimensión aunque no contemos con una in- ejemplo, si pensamos en los puntos con coordenadas enteras de la circunferencia, estamos pensando terpretación visual para ello.

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Mefisto en tripletas de números enteros (x,y,r) que satisfacen la igualdad (1); es decir, tripletas pitagóricas: todos los triángulos rectángulos tales que las longitudes de sus lados son números enteros.

Si en vez de números reales pensamos en números complejos, podemos definir una circunferencia compleja lo cual, en principio, es un nuevo concepto, pero al cual se le sacará mucho jugo. Estamos ante una generalización simple del concepto de circunferencia y esto mismo podemos hacer con cualquier ecuación, lo que abre un abanico de posibilidades totalmente nuevas.

Agreguemos también que entre los siglos XVII y XIX se fueron creando y formalizando los números complejos, y que preguntarse por las soluciones de ecuaciones en esta estructura en el XIX era una pregunta normal y natural. De paso agreguemos que la interpretación geométrica de los números complejos también da lugar a nuevos conceptos geométricos y a nuevos planteamientos que permiten resolver problemas clásicos como la cuadratura del círculo.

Geometría diferencial Hemos ya mencionado que el desarrollo de las geometrías no euclidianas es inseparable de la evolución de la propia matemática, y particularmente de las nuevas concepciones de la geometría que se fueron creando, sobre todo, a lo largo del periodo comprendido entre los siglos XVI y XIX. La geometría diferencial es el más claro ejemplo de esto. Sin ella, no podría haberse probado la consistencia de la geometría hiperbólica, ni tampoco haberla dotado de aplicaciones como la teoría de la relatividad.

También hemos explicado que la geometría analítica es un primer paso para pensar la geometría dentro del álgebra; pero ésta no es la única dirección novedosa que parte de ella. La geometría anaítica también fue el preámbulo de una de las más grandes revoluciones dentro de la matemática: la creación del cálculo diferencial e integral. En particular, su teorema fundamental, al que arribaron, de forma independiente, Newton y Leibniz.

Así como el álgebra da lugar a replantear algunos conceptos geométricos por su traducción algebraica, el cálculo da una nueva concepción a las

curvas, superficies y sus generalizaciones en términos de las propiedades analíticas.

Recordemos que el propio cálculo, desde una óptica nueva, ataca dos problemas geométricos tradicionales: el trazo de rectas tangentes a ciertas curvas (cálculo diferencial) y el cálculo de áreas (cálculo integral).

Desde sus orígenes, existe una nueva concepción de una curva al pensarla como la gráfica de una función diferenciable. Sin embargo, esta manera de pensar una curva, aunque abre una gama de ejemplos insospechados para los griegos, es limitada: entre otras cosas, no permite describir curvas con «picos» (cúspides) o con autointersecciones (nodos). Es más fructífero concebirla de forma paramétrica.

La idea es simple: podemos pensar la recta real como un hilo infinito, y una curva, como una deformación diferenciable de éste. Si lo que obtenemos forma una figura plana, tenemos una curva plana, y si se «sale» del plano, una curva en el espacio. En términos más rigurosos, una curva plana es la imagen de una función diferenciable:

y una curva en el espacio será la imagen de

Algo parecido sucede con las superficies que, en algunos casos, pueden pensarse como la gráfica de una función en dos variables; pero es mejor pensarla como una copia deformada del plano dentro del espacio:

Aun esta representación es limitada, porque supone que cualquier superficie se puede obtener a partir de un plano. Digamos que podemos envolver con una hoja de papel cualquier superficie sin que éste se arrugue. Esto no es posible, ni siquiera (Continúa en la página 14)

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El cielo de otoĂąo

Fases de la Luna Octubre 4 Luna nueva 12 Cuarto creciente 20 Luna llena 27 Cuarto menguante Noviembre 2 Luna nueva 10 Cuarto creciente 18 Luna llena 25 Cuarto menguante Diciembre 1 Luna nueva 9 Cuarto creciente 16 Luna llena 23 Cuarto menguante

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Mefisto Planetas Mercurio en Libra Venus en Tauro Marte en Libra Júpiter en Leo Saturno en Escorpión Urano en Piscis Neptuno en Acuario

Lluvias de estrellas Dracónidas: Oriónidas: Táuridas del Sur: Leónidas: Gemínidas:

7-8 de octubre 20-21 de octubre 4-5 de noviembre 17 de noviembre 14 de diciembre

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Mefisto en ejemplos sencillos como una esfera. Sin embargo, sí podemos hacer esto por pedacitos, en gran cantidad de casos: digamos, formando un enorme mosaico de estilo bizantino.

Esta concepción, de la cual sólo presentamos un bosquejo intuitivo, fue desarrollada por una gran cantidad de matemáticos, que culminó con los trabajos de dos grandes portentos: Gauss y Riemann.

No podemos terminar este esbozo sin mencionar dos problemas que se desarrollaron, y al hacerlo, motivaron gran parte de los conceptos de la geometría diferencial:

Reflexiones finales En resumen, desde un punto de vista matemático, modificar el quinto postulado da lugar a nuevas geometrías perfectamente válidas, y estas nuevas geometrías pueden interpretarse a la luz de los nuevos conceptos matemáticos que se desarrollaron hasta mediados del siglo XIX. Queda pendiente, para un próximo artículo, preguntarse: el universo, ¿qué geometría tiene?

Por lo pronto, mencionemos que, para que pueda encontrarse un triángulo tal que la suma de sus ángulos sea diferente a dos rectos, se requiere considerar distancias muy grandes, como las astronómicas; o muy pequeñas, como las atómicas, y no es casual que en estos casos la mecánica clásica tampoco funcione.

El hecho de que estas geometrías puedan utilizarse en muchas áreas modernas y tener aplicaciones dentro y fuera de la matemática, es tan natural como comprender que el propio desarrollo de la matemática tiene aplicaciones. En palabras de Poincaré:

1. El estudio de las geodésicas. Una geodésica es la curva de menor longitud que une dos puntos en una superficie. En términos físicos, es el camino que recorrerá una gota de agua al caer sobre la superficie. Determinar las geodésicas soluciona múltiples problemas. Además del geométrico y físico que ya esbozamos podemos agregar que, si la superficie es localmente la gráfica de una función, estamos resolviendo problemas de optimización de esas funciones.

Si en vez de concebir el universo como un cubo infinito lo imaginamos con otra forma, entonces ¿Qué habremos de pensar de la pregunta: ¿es las rectas serán las geodésicas en esa superficie (la verdadera la geometría euclidiana?, que cadistancia más corta entre dos puntos). rece de sentido. Lo mismo haríamos al pre guntar [...] si son verdaderas las coordenadas 2. La curvatura. De forma burda podemos decir que cartesianas y falsas las polares. Una geomela curvatura mide qué tanto se aproxima una curtría no puede ser más verdadera que otra; va a una circunferencia. En el caso de superficies, sólo más conveniente. existen diferentes generalizaciones que utilizan la curvatura de las distintas curvas que yacen sobre la misma. Gauss definió el concepto de curvatura Bibliografía total K, y la relacionó con la suma de los ángulos internos de un triángulo formado por geodésicas Coxeter, H. Fundamentos de geometría, Limusa, 1971. en una superficie de curvatura constante: Bass, H. Estudio de las geometrías, Math Z. 82 (1963), 8-28.

K > 0 La suma de los ángulos superior a 180°, Montesinos, J. La cuestión de la consistencia de la K = 0 La suma de los ángulos igual a 180°, geometría hiperbólica, K < 0 La suma de los ángulos inferior a 180°.

Martínez, A. La curvatura de Riemann a través Es decir, tenemos una descripción de la forma de la historia. que tiene el universo si consideramos la negación Poincaré, H. Science and hypothesis, Santaló, L. Geometrías no euclidianas, 13 del postulado en la versión 5.2.

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Paralelismo Fausto Cervantes Ortiz

Profesor de la UACM.

La literatura hebrea La Biblia es la mayor compilación de literatura hebrea en la actualidad. Sin embargo, es bueno saber que no toda la literatura hebrea está contenida en la Biblia, como generalmente se cree. Y de ello, la misma Biblia da fe, por ejemplo, en Josué 10:13 se puede leer: Y el sol se detuvo y la luna se paró, hasta tanto que la gente se hubo vengado de sus enemigos. ¿No está aquesto escrito en el libro de Jasher?

El libro de Jasher es un libro de historia paralelo al Pentateuco. Sin embargo, por alguna razón, no alcanzó el estatus de libro sagrado y no se incluyó en el canon de la Tanaj (que es como llaman los judíos a su Biblia) ni en las versiones cristianas posteriores.

Al igual que el libro de Jasher, existen otros libros que también fueron muy representativos de la literatura hebrea, pero que por no haber entrado en ningún canon, cayeron en desuso. En los famosos rollos del Mar Muerto, se reporta el hallazgo del «Libro de los Jubileos» y del «Libro de Enoc».

A juzgar por la cantidad de rollos encontrados, eran muy populares, al menos entre los judíos esenios. De hecho, el apóstol Judas cita a Enoc en su epístola (Judas 1:14).

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Figura 1. La Tanaj.

Asimismo, en numerosos pasajes de la Biblia (2 Reyes 12:19, 2 Reyes 13:12, 1 Crónicas 29:29, 2 Crónicas 36:8, etc.) se refiere al lector a otros libros que no aparecen en la Tanaj (o Antiguo Testamento). No obstante todo lo anterior, cuando se habla de literatura hebrea, el referente obligado resulta ser siempre la Biblia.

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La poesía hebrea Dependiendo del canon que se use, la cantidad y el orden de los libros de la Biblia varía. En el canon hebreo, los libros de la Tanaj son Torá o Pentateuco (la Ley) • Génesis • Éxodo • Levítico • Números • Deuteronomio Profetas • Josué • Jueces • Samuel • Reyes • Isaías • Jeremías • Profetas Menores Oseas Joel Amós Abdías Jonás Miqueas Nahum Habacuc Sofonías Haggeo Zacarías Malaquías Escritos • Salmos • Job • Proverbios • Rut • Cantares • Eclesiastés • Lamentaciones • Daniel • Esdras • Nehemías • Crónicas

Figura 2. La Torà.

Frecuentemente se afirma que la poesía está concentrada en el bloque de los «Escritos», lo cual es verdad, pero no por eso se debe pensar que todos los escritos están en verso y todo lo demás en prosa. En los escritos, los libros de Rut, Eclesiastés, Daniel, Esdras, Nehemías y las crónicas están en prosa, salvo algunos fragmentos donde se transcriben cantos de David. Por otra parte, en la Torah aparecen intercalados numerosos fragmentos escritos en verso, como la maldición de Noé a Canaán, el cántico de Moisés, las bendiciones de Isaac, etc. Asimismo, en los profetas hay libros en prosa con partes intercaladas en verso (canto de Débora y Barac, oraciones de David, canción de Anna, etc.), mientras que varios de los libros proféticos están escritos casi exclusivamente en verso (Isaías y los profetas menores). De este modo, en toda la Tanaj se tiene una enorme muestra de la poesía hebrea en todo su esplendor.

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El paralelismo La poesía hebrea tiene varios rasgos propios que la caracterizan, uno de los más exclusivos el «paralelismo». Éste consiste en que las frases de dos o más líneas están relacionadas mutuamente, lo cual refuerza, complementa o ayuda a esclarecer el significado global del poema en donde están contenidaos. Los paralelismos pueden ser de diferentes tipos, entre otros:

Sinónimo En éstos se tiene que diferentes versos expresan el mismo pensamiento con palabras diferentes. Este tipo de paralelismo es el más frecuente en la poesía hebrea.

Ejemplos: Cantares 2:8 He aquí él viene saltando sobre los montes, brincando sobre los collados.

Salmo 91:1 El que habita al abrigo del altísimo, morará bajo la sombra del omnipotente.

Proverbios 5:1 Hijo mío, está atento a mi sabiduría, y a mi inteligencia inclina tu oído.

Job 13:6 Oíd ahora mi razonamiento, y estad atentos a los argumentos de mis labios.

Salmo 142:1 Con mi voz clamaré a Jehová, con mi voz pediré a Jehová misericordia.

Síntesis En este caso, aunque los versos no tienen el mismo significado, ambos llevan una misma intención. Aunque cada frase tiene un significado diferente, ambas expresan ideas similares que se complementan.

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Figura 3. El libro de los salmos.

Ejemplos: Jonás 2:2 Clamé de mi tribulación a Jehová, y él me oyó; del vientre del sepulcro clamé, y mi voz oíste.

Habacuc 1:2 ¿Hasta cuándo, oh Jehová, clamaré, y no oirás; y daré voces a ti a causa de la violencia, y no salvarás?

Lamentaciones 4:4 La lengua del niño de teta, de sed se pegó a su paladar: los chiquitos pidieron pan, y no hubo quién se los partiese.

Salmo 137:8,9 Bienaventurado el que te diere el pago de lo que tú nos hiciste.

Bienaventurado el que tomará y estrellará tus niños contra las piedras.

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Antítesis Se utiliza para contrastar entre ambos pensamientos (no necesariamente son antagónicos, pueden ser complementarios) Ejemplos: Proverbios 14:1 La mujer sabia edifica su casa: mas la necia con sus manos la derriba.

Cantares 2:6 Su izquierda debajo de mi cabeza, y su izquierda me abrace.

Isaías 2:17,18 Y sólo Jehová será ensalzado en aquel día.

Y quitaré totalmente los ídolos.

El mesías Después del exilio a Babilonia, el pensamiento religioso de los judíos cambió radicalmente; por un lado, debido a los acontecimientos que vivieron, por otro lado, dada la influencia cultural que recibieron. A partir de entonces, el pensamiento mesiánico toma forma. Dado que la fidelidad a Jehová ya no los salva del yugo imperial, entonces se cultiva la idea de un salvador que derrotará a los enemigos y pondrá a Judá como cabeza del nuevo imperio. Los libros proféticos tienen numerosas referencias a tal mesías, cada una de ellas muy diferente de las otras, debido a las distintas condiciones en que las mismas se escribieron.

Muchas de ellas apuntaban a que el mesías sería el rey Zorobabel, pero algunas otras daban a alguien más ese papel (por ejemplo, Ciro de Persia, Judas Macabeo, etcétera).

Asimismo, la muerte deja de ser el fin de todo, y se introduce la idea de la resurrección. El infierno ya no es más el sepulcro en la tierra (Números 16:32,33), sino que pasa a ser un lugar de tormento para castigar a los impíos (Isaías 33:14). Por

Figura 3. El evangelio de Mateo.

otro lado, la influencia del mitraísmo persa da origen a Satán como adversario de Jehová, y entonces empieza a aparecer en la Tanaj con el papel de villano, básicamente en los libros proféticos y en los Escritos, siendo que en la Torá jamás se le menciona.

Cuando no se entiende el paralelismo El Nuevo Testamento no forma parte de la literatura hebrea, puesto que se escribió en griego (se dice que el evangelio de Mateo se escribió primero en arameo y después se tradujo, aunque no hay seguridad). Sin embargo, mucho del contenido del mismo está relacionado directamente con la Tanaj (o Antiguo Testamento), dado que el protagonista, Jesús, era un judío que supuestamente cumplía con las profecías de la Tanaj, pues era el mesías.

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Figura 5. La entrada de Jesús a Jerusalén.

Cuando finalmente se pone por escrito la historia de Jesús (pasaron muchos años después de su muerte para que eso ocurriera), una de las preocupaciones básicas es demostrar que se cumplen todas y cada una de las profecías sobre el mesías.

Es entonces cuando Mateo acuña su frase favorita: «... para que se cumpliese lo que fue dicho por el Señor, por el profeta...». Por esto, Mateo hace viajar a Jesús, junto con José y María, por diferentes localidades de Palestina, dado que las profecías hablaban de lugares diferentes. Y por eso cita diferentes fragmentos de las escrituras, adaptándolos a la vida de Jesús, y viceversa.

Sin embargo, dado que Mateo al parecer no era judío, cuando narra la entrada triunfal de Jesús a Jerusalén, comete un error sobresaliente. Al citar la profecía de Zacarías 9:9, que dice: He aquí, tu rey vendrá a ti, justo y salvador, humilde, y cabalgando sobre un asno, así sobre un pollino hijo de asna.

Mateo ignora el paralelismo de la poesía hebrea, por lo que para describir el cumplimiento de la profecía, él narra (Mateo 21:2): “Id a la aldea que está delante de vosotros, y luego hallaréis una asna atada, y un pollino con ella: desatadla y traédmelos.”

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Y luego (Mateo 21:6): «Y trajeron el asna y el pollino, y pusieron sobre ellos sus mantos; y se sentó sobre ellos», siendo que, por el paralelismo en la poesía hebrea, la profecía de Zacarías habla de un solo animal, pero reforzándolo en un paralelismo de sinónimo.

Entonces, Mateo erróneamente hace a Jesús montar a dos animales al mismo tiempo. Es un buen ejercicio para la imaginación el tratar de visualizar a Jesús montando a dos animales de diferente alzada y velocidad de marcha.

En este caso, el evangelio de Mateo contradice abiertamente a los otros tres evangelios. Incluso Juan, cuyo evangelio es fuente inagotable de contradicciones con los otros evangelios, hace a Jesús montar un solo animal, en total acuerdo con Marcos y Lucas. Mateo, por su ignorancia del paralelismo en la poesía hebrea, contradice a los otros tres evangelios, mostrando una vez más que la supuesta infalibilidad de la Biblia no es sino otra fantasía religiosa.

Bibliografía Santa Biblia. Versión Reina-Valera, 1909. SBU.

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Frases célebres

El hombre es libre, tiene que ser libre. Su primera virtud, su gran hermosura, su gran amor es la libertad..

El único medio de conservar el hombre su libertad es estar siempre dispuesto a morir por ella..

Juan Ramón Jiménez (1881 - 1958), escritor español.

Edgar A. Poe (1809 - 1849), escritor estadunidense.

La vida es tan corta y el oficio de vivir tan difícil, que cuando uno empieza a aprenderlo, ya hay que morirse.

Mirada de lejos la vida parece una comedia, pero mirada de cerca es una tragedia.

Ernesto Sábato (1911 - 2011), escritor argentino.

Charles Chaplin (1889 - 1977), actor inglés.

Todo es más claro cuando estás enamorado.

Se puede salvar a un hombre que se ahoga, pero es imposible salvar a un hombre enamorado.

John Lennon (1940 - 1980), músico inglés.

Lewis Wallace (1827 - 1905), escritor estadunidense.

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Acertijos 1 En una jarra hay tres cuartos de litro de agua. En una olla hay cuatro tercios de litro de agua. ¿Cuánta agua debe pasarse de la jarra a la olla para que la cantidad de agua en la olla sea el doble de lo que quede en la jarra?

2

+

2 En una fábrica de autos se produjeron la décima parte del total de coches que se han fabricado. El segundo año se fabricaron varios séptimos de su producción, mientras que en el tercero se hicieron 399 autos. ¿Cuál es la producción total?

y 22

?

4 Se deben adquirir 40 timbres del correo de valores 1, 4 y 12 pesos, y el importe de todos ellos debe ser exactamente 100 pesos. ¿Cuántos timbres de cada valor se deben comprar?

=

x

+

z y2

¿

x2

3 Una vela se consume en 4 horas, mientras que otra se consume en sólo 3 horas. Si las dos velas se encienden simultáneamente, ¿cuánto tiempo transcurre para que la altura de una de ellas sea el doble de la altura de la otra?

Z

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Acertijos Solución a los anteriores 1 Después de la primera operación quedan 16 litros de agua y 4 de alcohol, es decir, 1 litro de alcohol por cada litro de agua. Si ahora se extraen 4 litros de la mezcla (que está al 80 %), quedarán sólo 0.8(16) litros de agua. Como no se añade más agua deepués de esta operación, la cantidad de agua son esos 12.8 litros.

6 7 2 Si en el primer árbol hay x pájaros, en el segundo hay y y en el tercero z, se tiene que x + y + z = 60 Después del disparo, en el primer árbol quedan x - 6 pájaros, en el segundo y - 8 y en el tercero z - 4.

De los datos se tiene que 2(x - 6) = (y - 8) (y - 8)=(z - 4)/2 lo que da un sistema de 3 por 3, cuya solución es: x=12, y=20 y z=28. Esos son los pájaros que había inicialmente.

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4 Las tres personas son padre, hijo y nieto: dos padres y dos hijos en sólo tres personas.

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3 Trabajando juntos, en una hora realizan 1/6 del trabajo. Cuando Luis trabaja solo, en una hora hace 1/6 del trabajo, por lo que Jorge hace 1/4 - 1/6 del total, es decir, 1/12. Entonces le tomará 12 horas completar el trabajo.

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Sudoku Fácil 3 4 8 9 1 6 7 1 7 2 5 8 9 5 3 4 6 8 2 7 4 3 5 1 9 7 7 4 1 8 5 2 3 5 9 8 8 7

Solución al anterior 5 7 6 9 4 8 3 9 6 2 2 4 1 7 5

3 2 1 8 1 7 4 5 8 9 3 6

1 9 5 4 8 2 3 6 6 8 3 5 9 7 1 2 4 2 7 1 3 6 5 8 3 5 4 2 6 9 8 7 7 6 2 8 1 5 4 9 9 1 8 3 7 4 6 5

7 4 9 1 3 2

Difícil

Solución al anterior 8 7 5 6 3 9

6 1 2 4 3 9 1 2 7 8 4 5

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5 4 3 6

9 7 3 1 5 8

1 7 8 6 2 4 3 8 5 4 9 7 4 9 1 2 6 5 6 2 7 3 8 1

1 8 3 5 6 2 5 6 7 4

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