Gaceta Mefisto 25

Mefisto Un pacto con la ciencia y la cultura Número 25, enero de 2019

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías.

Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

Presentación

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Encuestitis

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Fausto Cervantes

Ocho de cada diez los prefieren feos Daniel Maisner

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Equivalencia

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Frases célebres

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Acertijos

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Sudoku

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Daniel Maisner

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Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno

Mefisto Editor Daniel Maisner Bush

Rector Galdino Morán López

Comité Editorial

Secretaría General Felipe Moisés García Hernández

Ana Beatriz Alonso Osorio Fausto Cervantes Ortiz Verónica Puente Vera

Coordinadora Académica Leticia Romero Chumacero Coordinador del Despacho de la Coordinación del Colegio de Ciencia y Tecnología Luis René Sagredo Hernández

Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto

Coordinadora de Difusión Cultural y Extensión Universitaria Esp. Marissa Reyes Godínez

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com

Responsable del área de Publicaciones Andrea Gálvez

Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista de(los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

Diseño y producción Emilio Riva Palacio I. Cuadernos de la calle

Corrección de estilo Rebeca Lozada Gemma Sarahí Ramírez Reyes Servicio social Fanny López, Diosdado García, Norma Stefany López Morán, Rosa de Lima Trinidad Robles, Perla Urbano Santos

MEFISTO, año 7, núm. 25, Enero 2019, es una publicación trimestral editada por la Universidad Autónoma de la Ciudad de México (uacm), Dr. García Diego 168, col. Doctores, del. Cuauhtémoc, 06720, Ciudad de México, tel. 1107 0280, www.uacm.edu.mx. Editor responsable: Daniel Maisner Bush, gaceta.mefisto@gmail.com. Certificado de Reserva de Derechos al uso Exclusivo e issn: en trámite, ambos otorgados por el Instituto Nacional de Derechos de Autor. Certificado de Licitud de Título y Contenido: en trámite, otorgado por la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretaría de Gobernación. Impreso en: Universidad Autónoma de la Ciudad de México, San Lorenzo, 290, col. Del Valle Sur, 03100, Ciudad de México. tel. 1107 0280 ext. 15581. Este número se terminó de imprimir el 10 de octubre de 2017 con un tiraje de 2,000 ejemplares.

Satanás frente a la serpiente que utilizará para provocar la caída de Adan y Eva: «...Pero yo no pretendo permanecer aquí ni en el cielo, a no ser que dominara en él como su Soberano Señor. No espero tampoco que lo que intento me haga menos miserable; tan sólo anhelo convertir a otros en lo que soy, aunque por ello redoblen mis males, pues, únicamente en la destrucción encuentran algún lenitivo mis inquietos pensamientos. Si consigo destruir al hombre, para quien ha sido creado todo esto, o le induzco a consumar su perdición entera, todo lo que le rodea le seguirá también como encadenado a él en su dicha o en su desdicha. ¡Sea, pues, en su desdicha! ...»

En portada Ilustración: Gustave Doré (Estrasburgo, 1832 - París, 1883), Paraíso Perdido, libro IX, 179–187.

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Presentación

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ara la conformación del presente número decidimos realizar una pequeña innovación más, acorde con nuestros tiempos modernos: consultar a nuestra comunidad de lectores sobre el contenido más adecuado. Por lo tanto, desde las oficinas centrales de nuestro panfleto periódico, diseñamos y aplicamos una encuesta sobre el particular. Sorprendentemente el cien por ciento de los encuestados manifestó una opinión favorable sobre abordar el tema de las encuestas, y el resto propuso diversos temas, que tendremos a consideración para números posteriores.

Siendo sinceros, por falta de tiempo, recursos y personal, sumados a un terrible miedo de la verdadera opinión de nuestros lectores, sólo utilizamos una pequeña muestra, tomada entre los miembros de nuestro comité editorial.

La metodología fue sencilla: primero seleccioné al azar un miembro del comité editorial que labora en el mismo pasillo que yo. Concretamente, crucé el pasillo hasta el cubículo de Fausto y le pregunté sin preámbulos «¿Ahora sí hacemos ese número sobre elecciones que hemos pospuesto cada vez que se acerca una votación?». Fausto sonrió, se encogió de hombros y maquinalmente giró la cabeza al pizarrón en donde apunta los pendientes, ante lo cual, presuroso, y antes de que dijera cualquier cosa, señale en mi hoja de respuestas la que decía sí.

Para que mi muestra fuera realmente representativa decidí también aplicarla en el edificio de enfrente, y me dirigí a buscar a Ana Beatriz, a quien le hice la misma pregunta. Tras dar un sorbo a uno de sus dos capuchinos diarios me contestó: «por fin, muchas veces te he sugerido

retomar ese tema. Sin embargo, primero deberíamos considerar...», y siguió enumerando una gran cantidad de propuestas, que ahora no vienen a cuento porque no estaban presentes en la hoja de respuestas, mientras yo asentía y trazaba un tache en el cuadrito correspondiente a sí.

Como ya habrán notado mis queridos lectores, en este número hablaremos de estadística y elecciones. Para ser más precisos, sobre las predicciones que aparecen en los medios masivos de comunicación sobre los resultados en procesos electorales, utilizando, o eso dicen, estadística. Para ello contamos con dos artículos. El profesor Cervantes nos hace un recuento sobre diversas predicciones erróneas que han acaecido en tiempos recientes, y el profesor Maisner hace un recuento de los errores estadísticos más comunes en el diseño, aplicación e interpretación en el uso de encuestas.

Acompañando a estos artículos tenemos una reflexión sobre la pregunta bastante habitual en profesores y alumnos de primaria: ¿porqué se dice fracciones equivalentes y no iguales?

Para este número también debemos dar la bienvenida a varios nuevos colaboradores, estudiantes entusiastas de nuestra casa de estudios, que realizarán su servicio social en nuestro pasquín, acompañados de Daniel Martinez Bello, que ha contribuido desinteresamente en el diseño gráfico. Todos ellos han venido a insuflar nuevos aires en nuestra gaceta y esperamos una larga colaboración de su parte.

Finalmente, les recordamos que a los artículos los acompañan nuestras secciones permanentes de toda la vida, esperamos disfruten plenamente el número.

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Encuestitis Fausto Cervantes Ortiz*

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as predicciones electorales, que se dicen basadas en métodos estadísticos, están lejos de ser exactas y en muchas ocasiones resultan francamente fallidas. A lo largo de éste artículo presentamos diversos ejemplos recientes de este tipo de falsas profecías.

2016, todas las encuestas indicaban que Hillary Clinton ganaría la elección en forma apretada pero indiscutible. Por ejemplo, las encuestas de Univisión predecían un 47.5 % de votos para Clinton, contra un 42.3% para Trump. ¿Qué sucedió?, ¿porqué las encuestas se equivocaron?, ¿fueron investigaciones serias, Trump propaganda sin sustento o simplemente esperanzas de que sucediera lo que los encuestadoEn junio del 2015, cuando Donald Trump res querían? anunció su precandidatura presidencial, muchos rieron de lo ridículo de sus aspiraciones: Brexit no de aspirar a llegar a la Casa Blanca, sino de pretender contar con el apoyo de la mayoría de La Unión Europea (UE) se formó oficialmente los votantes. Sin embargo, después de observar el 1 de noviembre de 1993, con la entrada en cómo rápidamente crecía el apoyo al empresa- vigor del Tratado de la Unión Europea. Dicho rio, después de cada debate, la mofa se tornó tratado fusiona otras entidades preexistentes, en sorpresa y preocupación. Varios candidatos además de añadir política exterior común y se retiraron de la contienda, y dejaron el ca- cooperación policial y jurídica. Inicialmente, mino libre al magnate, incluyendo a Jeb Bush, la UE estuvo formada por seis países europeos: hijo y hermano de dos presidentes anteriores. Alemania, Bélgica, Francia, Italia, LuxemburPara mayo del año 2016, cuando Donald go y países bajos.

Trump superó la cifra de 1237 delegados, aseDespués de ver los resultados que la coopegurando con ello la nominación del Partido Re- ración entre esas naciones estaba produciendo, publicano, la sorpresa ya había crecido al grado otros países decidieron unirse gradualmente, de alerta, y pasó a ser alarma cuando, en julio, y se alcanzó la cifra de 28 países miembros Trump fue oficialmente nombrado candidato. para 2015, entre ellos se encontraba el Reino A pesar del ascenso en las preferencias que Unido. Sin embargo, dado que algunos países hemos comentado, unos días antes de realizarse consideraban que su soberanía estaba sienla elección, que tuvo lugar de 8 de noviembre de do comprometida con la Unión, además de las repercusiones que las crisis económicas de algunos países miembros (particularmen* Profesor de la UACM San Lorenzo Tezonco. te Grecia y España) provocaban en otros,

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hubo molestias y desacuerdos entre los países miembros, al grado de que varios amagaron con abandonar la Unión. Posteriormente, el 1 de diciembre de 2009, entró en vigor el Tratado de Lisboa, en donde, entre otras cosas, se establece un procedimiento para separarse formalmente de la UE. En 2016, el gobierno del Reino Unido convocó a un referéndum sobre la permanencia de ese país en la Unión Europea. A este proceso se le conoció mundialmente como el Brexit.

Las encuestas pronosticaban que la opción de permanecer obtendría hasta un 55%, contra 45% de quienes apoyaban el abandono de la UE. No obstante, el 23 de junio de 2016 (fecha en que se llevó a cabo el referéndum), los resultados fueron 51.9% a favor de dejar la UE, frente a 48.1% que optó por continuar. Por ello, el nuevo gobierno del Reino Unido (David Cameron renunció al conocerse los resultados oficiales) inició el proceso de separación, que habrá de concluir en durante el año 2019.

Colombia Las Fuerzas Armadas Revolucionarias de Colombia (FARC) se formaron en 1964, siendo sus actividades iniciales la autodefensa y la guerra de guerrillas contra el Estado. Sin embargo, poco a poco fueron incursionando en otras actividades, como el narcotráfico, minería ilegal, secuestros y asesinatos políticos, atentados con explosivos, etcétera.

Aunque al inicio los miembros de las FARC se adherían voluntariamente, posteriormente

se recurrió a la leva, reclutando forzosamente a jóvenes, muchos de ellos menores de 18 años.

Ante la presión internacional por parte de Human Rights Watch y otras organizaciones, el gobierno reforzó la lucha en contra de las FARC, lo que ocasionó una debilitación progresiva de éstas después del año 2000. En 2008

Caricatura alusiva al Brexit.

muere el líder Pedro Antonio Marín y en 2011 el ejército acaba con el nuevo jefe, Guillermo León Sáenz. El jefe que lo sucedió, Rodrigo Lodoño Echeverri buscó terminar con el conflicto, por lo que en 2012 inició pláticas y una tregua con el gobierno de Colombia. Cuatro años más tarde, el 23 de junio del 2016, se declara el cese indefinido del fuego.

El gobierno de Colombia convocó a un plebiscito para el 2 de octubre del 2016, a fin de que la ciudadanía expresara su aprobación o rechazo a los acuerdos de paz que se habían pactado en La Habana. Por el SÍ estaban el presidente Juan Manuel Santos y varios partidos políticos. Por el NO el expresidente Álvaro Uribe y su partido.

Las encuestas respectivas mostraban un apoyo al SÍ de entre el 54 y el 67 %, contra un 27

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Mefisto a 41% al NO. Sin embargo, los resultados oficiales mostraron un 49.79% por el SÍ, y un 50.21 % por el NO. La abstención fue del 62.59 por ciento.

Como consecuencia, los acuerdos se renegociaron tomando en cuenta algunas de las objeciones de los que apoyaron el NO, pero buscando la aprobación del Congreso, no del pueblo. Los nuevos acuerdos se firmaron el 24 de noviembre de 2016, trayendo la paz a Colombia.

Encuestitis Los ejemplos anteriores bastan como botón de muestra para hacer ver lo poco fiables que pueden llegar a ser algunos sondeos para pronosticar resultados de elecciones. Entonces, ¿qué es lo que los hace permanecer como un elemento común en la política mexicana? Como bien dice Daniel Maisner en «Ocho de cada diez los prefieren feos» (en este mismo número), las encuestas son parte muy importante de las campañas; pueden ser tanto o más efectivas que los anuncios televisivos (ahora llamados spots, por aquello de la modernidad), tanto antes como después de la elección. Pero dejemos que Daniel explique eso.

Me parece importante, sin embargo, dejar bien claro que el fracaso de los pronósticos de las encuestas no se debe a que la estadística como área de las matemáticas sea una disciplina equivocada, mal estructurada o incompleta.

Cada vez que se da esta clase de discrepancias entre las encuestas y los resultados de una elección, suele culparse a la estadística como disciplina, sin analizar las circunstancias de cada caso y la calidad de la investigación realizada.

Tiro fijo, líder de las FARC.

Nada está más fuera de la realidad; el punto es que las operaciones con datos erróneos sólo pueden dar resultados erróneos: si la muestra no es representativa o si los encuestados mienten sistemáticamente para no ponerse en evidencia (por ello el voto es secreto), es obvio que los datos no sirven para hacer inferencias que se puedan extender hacia toda la población. Si a esto le agregamos que en México las encuestas son pagadas por los interesados, es claro que éstas van a favorecer a quien indique el que paga, y nada de esto, por supuesto, es culpa de la estadística.

Solamente tengamos en mente que en este 2018, año de elección presidencial, las dudosas encuestas formarán parte del bombardeo a que estaremos sujetos día y noche, durante las campañas; por tanto, habrá que tomarlas con igual seriedad que a los anuncios televisivos.

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Ocho de cada diez los prefieren feos Daniel maisner*

E

n nuestro país, como cada seis años, nos encontramos inmersos en los procesos electorales para elegir presidente. Desde ahora hasta poco tiempo antes de llevarse a cabo las votaciones, se realizarán las onerosas campañas para convencer a los indecisos, por no decir incautos, de votar por alguna de las diferentes opciones que se ofrecen.

Durante todo este tiempo, se incrementará el bombardeo indiscriminado de sondeos y encuestas para intentar conocer de antemano quien será el ganador. Pero, ¿qué tanta seriedad existe en ellos? El asunto no deja de tener un fuerte componente de humor involuntario, por no decir negro, pues todos conocemos el funcionamiento de nuestro sistema políticoelectoral y su falta de transparencia. Pero, de todas formas, ahí estamos siguiendo la telenovela electorera en los medios masivos de comunicación, que cada día nos informan de lo que la mayoría de los votantes opina; y de si tal o cual candidato subió un punto en la intención del voto, aunque nadie explica que quiere decir esto. Toda la información que nos presentan proviene de algunas empresas encuestadoras certificadas para realizar este trabajo, de manera directa o indirecta, por esos mismos políticos en los que no confiamos.

Planteémoslo de otra manera cuando un político declara que será el ganador en el próximo proceso electoral, provoca hilaridad, sonrisas escépticas o de plano una total y absoluta indiferencia. Sin embargo, si el mismo individuo, o algunos de sus cercanos colaboradores hace la misma declaración justificándola con el resultado de una encuesta encargada por ellos mismos, la percepción cambia. ¿Por qué?

Similarmente, aunque estamos acostumbrados a desconfiar de los medios masivos de comunicación, dadas sus muchas y permanentes muestras de sumisión al poder y su manejo más que dudoso de la información, especialmente por parte de la televisión, ¿por qué cambia nuestra percepción de lo que ahí se dice cuando muestran el resultado de una estadística, de la cual prácticamente no se describe la metodología y en la que, muchas veces, se confunde datos con estadística? ¿Por qué tranquiliza a nuestro escepticismo un certificado de encuestador expedido por el mismo sistema en el que no confiamos? ¿Por qué cuando se llena una plaza en apoyo a un candidato pensamos en la posibilidad de acarreo y corrupción y, en cambio, no sospechamos nada cuando nos dicen que algunos individuos contestaron verazmente una encuesta? ¿Por qué, si conocemos el bajo nivel de las negociaciones existentes en las organizaciones políticas para seleccionar candidatos y el cochinero de las elecciones internas, nos tragamos el cuento de candidatos

* Profesor de la UACM San Lorenzo Tezonco.

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Mefisto seleccionados por encuesta de manera limpia enormes alcances cuando se le usa adecuaday transparente? De estas y otras interrogantes mente. Considero que debería renombrarse a hablaremos a lo largo del presente artículo. esta seudo estadística, para diferenciarla de la real, y es de ella de la que nos ocuparemos en Estadística y conglomerados las siguientes líneas. de datos Entrando en materia, remarquemos por última vez que los métodos cuantitativos y el En muchas disciplinas del saber humano el análisis estadístico son herramientas fundamétodo deductivo es insuficiente para estudiar mentales para el desarrollo del conocimiento diversos temas, y es necesario recurrir a méto- humano, siempre y cuando sean utilizados de dos inductivos en los que la estadística es una forma correcta. Estos instrumentos son muy herramienta fundamental para aplicarlos de poderosos y en ocasiones permiten hacer preforma correcta. dicciones con un alto grado de fiabilidad. Pero, En palabras simples, si un individuo obser- eso nada tiene que ver con los números y las va que un fenómeno se repite muchas veces, no gráficas con los que nos bombardean día a día puede concluir que sucederá siempre, pero sí en las campañas electorales, que, más que estaque es muy probable que vuelva acontecer. Sin dística, son conglomerados de datos. Simpleembargo, las observaciones pueden ser engaño- mente, se ha sustituido la vieja noción de que sas si se realizan de forma desordenada y poco los gobernantes lo son por un carácter mágico sistemática, llevando a conclusiones erróneas. o divino por una nueva donde lo son por uno Es ahí donde la estadística desempeña un papel científico O, ¿de verdad existe diferencia entre relevante para el desarrollo del conocimiento. una encuesta pagada y encargada a medida y Esta disciplina dota de herramientas para todo una consulta al oráculo de Delfos? el proceso, que inicia con la observación metiFausto, en su artículo «Encuestitis», nos culosa de un fenómeno y finaliza expresando presenta una serie de predicciones basadas en afirmaciones de qué es lo más probable que su- estudios estadísticos que resultaron ser erróceda. Más específicamente, la estadística dota neas, dejando abierta la puerta a preguntarnos de mecanismos para diseñar y medir la fiabili- porque fallaron. Sería muy ambicioso estudiar dad los instrumentos de medida que se utiliza- y explicar caso por caso, que evidentemente rán, contribuye con técnicas para aplicarlos de son diferentes. En este artículo haremos algo forma adecuada, ayuda a sistematizar los datos más modesto, recordaremos algunos de los obtenidos de forma correcta y es fundamental errores más comunes que se cometen al utilien la elaboración de las conclusiones que se zar de forma incorrecta la estadística en la medesprendan del estudio realizado. dición de la intención del voto.

Aplicar la estadística de forma correcta requiere de mucho cuidado y de una gran Encuestas políticas como método cantidad de conocimientos, tanto en el tema de propaganda estudiado como de la propia estadística. Y es injusto que el mal uso de esta disciplina haya Una de las dificultades centrales para la credidegenerado en tantas críticas y chistes mor- bilidad de una encuesta de intención del voto daces. Sin embargo, su mal uso es algo tan es que sus resultados y su publicación son un cotidiano que se nos olvida su seriedad y sus poderoso método de propaganda que influye de

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manera directa en el electorado, especialmente en el sector de los indecisos, al cual están dirigidas la mayoría de las campañas electorales.

Si un biólogo obtiene datos sobre las hormigas estudiando algunas de éstas en un hormiguero en el campo, los resultados obtenidos no alteran su vida; en cambio, si le dicen a un votante indeciso que fulanito será de forma segura el ganador (el bueno en nuestra jerga coloquial), la situación es muy diferente.

Recapitulemos algunas situaciones típicas: a) Para un candidato, dar la imagen de ganador indiscutible es fundamental en diversos aspectos. Por un lado, le permite comenzar a trabajar con los poderes fácticos como si ya hubiese sido electo, aún antes de que se realicen las votaciones. Por otro, un sector importante del electorado, entre los que se encuentran los que aún no saben por quién votar y los lambiscones, suele inclinar su voto por el que aparentemente será ganador. Finalmente, mencionemos que una imagen de ganador seguro, inhibe a posibles electores de un rival, que pierden interés en la contienda al estar ésta decidida y; por supuesto, sirve de justificación de que se trató de victoria indiscutible en caso de realizarse un fraude. b) Los resultados de las encuestas también influyen en los posibles perdedores. Por ejemplo, en el llamado voto de castigo o voto útil, cuando el electorado en vez de votar a favor de un candidato vota contra uno, suele hacerlo por quien marcha segundo y para esto suele guiarse por las encuestas. Además, esto influye en las negociaciones, que siempre existen aunque se niegue, entre posibles ganadores y posibles perdedores.

Dicho de manera más cruda, con lo que está en juego en una elección presidencial sería

Fotograma de El ciudadano Kane, de Orson Welles.

ingenuo desechar la posibilidad de que las encuestas que se presentan hayan sido maquilladas o de plano inventadas por expertos propagandistas, para presentar las predicciones convenientes a su causa. Si usted, mi querido lector, duda de esta posibilidad, recuerde que por ganar una elección se gastan fortunas, se corrompe gente, se reprime e incluso asesina a opositores, se coaccionan personas por los métodos al alcance de quienes participan activamente en las campañas. Al lado de ello. ¿qué es para los grupos de poder un hecho menor como alterar unos cuantos resultados estadísticos?

Cada vez que piense que esta posibilidad es exagerada recuerde la cantidad de anuncios que comienzan con la leyenda, Ocho de cada diez personas prefieren.., sólo para vender más.

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Ahora imagine si lo que está en juego es la presidencia de la república o una curul.

De todas formas hagamos una reflexión general de lo que puede acontecer suponiendo que las encuestas sí se realizaron y que lo que se nos presentan son sus resultados.

Intervalo de confianza y probabilidad de las predicciones

Las predicciones estadísticas sólo presentan resultados probables; la certeza total no existe ni siquiera en los casos más extremos. Supongamos que en una elección existe un candidato único: lo más probable es que salga ganador.

No requerimos de encuestas ni cálculos complicados para saberlo, pero la certeza total no la tenemos; existe una probabilidad, aunque pequeña, de que un suceso imprevisto cambie el curso de las cosas como una enfermedad o una muerte fulminante. Recordemos, por ejemplo, que por costumbre, en 1994, cuando se destapó a Luis Donaldo Colosio, se consideraba como seguro presidente, independientemente de la votación. La tendencia de nuestro sistema electoral se mantuvo y el PRI impuso a su candidato en la presidencia, pero fue otro.

Sin recurrir a situaciones tan extremas, debemos tener presente que cualquier tendencia electoral que se presente, por clara que sea, está sujeta a cambios no previstos por la propia investigación que determinó dicha tendencia.

No es común, pero puede suceder, que algún hecho abrupto cambie de golpe el parecer de una cantidad significativa de votantes.

Veamos otro ejemplo, el 11 de marzo del 2004, hubo una serie de explosiones, previas a la elección presidencial, en los trenes de Madrid. Como siempre en este tipo de eventos, es difícil saber quien los ordenó y si fueron atentados o autoatentados. Independientemente de las causas, de lo que no hay duda es que su

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Franklin D. Roosevelt.

manejo posterior por parte del todavía presidente Aznar al culpar a ETA del hecho y llamar implícitamente a un gobierno de excepción, cambió totalmente la intención del voto indeciso en su contra, favoreciendo al candidato opositor. Un hecho así, por supuesto, no entra dentro de las predicciones basadas en tendencias y por ende sería injusto recriminar a quien realizó profecías erróneas. Dicho sea de paso, por eso es fundamental que se hagan públicas no sólo las conclusiones de un sondeo sino también como se realizó.

En resumen, debemos tener presente que cualquier tendencia puede ser modificada por algún hecho imprevisto, como un escándalo, una decisión incorrecta, una enfermedad, una metida de pata en un debate, un asesinato, etcétera.

Hechos como los antes narrados entran, por sus propias características, dentro de lo

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poco probable, y no son suficientes para explicar por qué, en muchos casos, algunas predicciones fallan. Consideremos ahora un caso bastante común, en donde no falla la predicción sino su interpretación: el intervalo de confianza.

En términos generales, las predicciones estadísticas tienen como resultado un intervalo numérico. Cuando se nos presenta un número como resultado, se trata se su punto medio. Así, por ejemplo, si la predicción indica que un candidato obtendrá entre 47 y 57% de los votos, considerando el punto medio de ambos, en las noticias nos indicarán que el candidato obtendrá el 52%, pero no se infiere de aquí que será seguro ganador. Si obtiene el 49% y pierde la elección, la predicción fue correcta, porque dicho número pertenece al intervalo; lo incorrecto fue la interpretación.

Similarmente, si nos dicen que de dos candidatos uno tiene 35% y el otro 31%, y que existe un error de más o menos 5 (la predicción es que los resultados pueden ser 5 puntos menos o 5 puntos más) no puede concluirse que la estadística afirma que el primero será ganador. Sólo sé infiere que la contienda será reñida y que existe una mayor probabilidad de que el primero gane. Dicho sea de paso, si por razones propias de la investigación el intervalo que nos muestran es muy grande, digamos más o menos 30, esto nos indica que la predicción es vaga, que no es exactamente lo mismo que errónea.

Cómo medir la preferencia electoral En una universidad se ha aplicado un examen departamental para medir el avance de sus alumnos y ellos han obtenido un puntaje infame. De inmediato los profesores se han desmarcado y han declarado: «Ya lo habíamos dicho, nuestros estudiantes son una bola de vagos que

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no se aplican como lo hacíamos nosotros…».

Los alumnos, han replicado con argumentos no menos falaces y repetitivos: «Los profesores son una bola de faltistas, no cumplen con los programas, no saben de didáctica, por eso no aprendemos». Las autoridades, felices con el antagonismo que se ha generado entre quienes deberían ser aliados, aceptan ambas versiones y alientan a cada sector a descuartizar al otro.

Sólo un niño, que ha visto pasar al emperador desnudo, ha formulado una pregunta pertinente: «¿El examen estaba bien diseñado?»

Usualmente, al presentarse los resultados de una encuesta en los diversos medios de comunicación sólo se muestran los resultados, o como ya vimos, sólo una parte de ellos. La validez de un sondeo no se mide por cánones académicos, con una revisión exhaustiva de expertos en el tema de la investigación presentada, sino por medio del prestigio de la empresa que realizó el ejercicio y de su certificación, de la cual, debemos agregar, también desconocemos en qué términos se obtuvo. Reflexionaremos en esta sección sobre el diseño de la encuesta.

Dado que sólo se quiere saber cómo votará la gente, parece pertinente hacer una encuesta de una sola pregunta: «¿Usted por quién votará en las próximas elecciones presidenciales?»

Sin embargo, ¿es un buen método?

De entrada, tenemos una pequeña dificultad, salvable, pero que vale la pena resaltar: habrá quien responda un nombre, y quien mencione un partido. Ambas respuestas nos permiten contabilizar la intención del voto, pero no profundizar en lo que la gente piensa al no distinguir entre la fidelidad a una organización del gusto coyuntural por una persona.

Tampoco indica si se trata de una preferencia genuina o de un voto de castigo, y aún es menos claro si es una opinión más o menos Sigue en la página 14

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Mefisto

El cielo de Invierno-Primavera Fases lunares

Enero 6 14 21 27

Luna nueva Cuarto creciente Luna llena Eclipse Cuarto menguante

Febrero 4 12 19 26

Luna nueva Cuarto creciente Luna llena Cuarto menguante

Marzo 6 14 21 28

Luna nueva Cuarto creciente Luna llena Cuarto menguante

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NĂşmero 25, enero de 2018

CuadrĂĄntidas Enero 5

Superlunas 21 de enero 19 de febrero 21 de marzo

Mercurio visible: 27 de febrero.

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Mefisto permanente o temporal. En particular, esto invalida cualquier proyección que se quiera hacer con la misma encuesta para otras elecciones, como las de senadores y diputados, que se realizan de forma simultánea a la presidencial.

Veamos dos complicaciones más profundas que rara vez se mencionan: Así como está planteada la pregunta, se considera que todo individuo votará en las próximas elecciones y no se da lugar a otras posibilidades. Supongamos que usted está aplicando la encuesta. ¿Cómo registraría las siguientes respuestas?: «¿A usted qué le importa, el voto es secreto?». «No tengo tiempo, venga otro día». «Yo no podré votar, ese día tengo otra actividad que me lo impide». «Yo vivo aquí hace poco y no podré votar porque me toca muy lejos». «Yo anularé mi voto, ningún candidato me convence».

Obviamente, el carácter de las respuestas mencionadas es totalmente diferente, aunque en todos los casos el encuestado se niegue a designar una preferencia. En los primeros dos casos, el entrevistado se negó a contestar, pero por razones esencialmente distintas. Los siguientes tres se tratan de casos de abstención, pero uno por convencimiento, otro por indiferencia o falta de tiempo y uno por imposibilidad.

Si la encuesta no indaga más, sea con otras preguntas o con observaciones de quienes la aplican, cualquier respuesta de este tipo se contabilizará como nula (missings) y lo más probable es que en el conteo final no se utilicen para realizar las proyecciones. Es decir, en términos prácticos, se consideran respuestas neutras y al procesar los datos se desechan como si esas encuestas no se hubieran realizado.

Si usted cree que lo anterior es una exageración, haga memoria, y trate de recordar cuando ha visto una proyección de cuánta gente se abstendrá y, mucho más hereje, cuántos se abstendrán como su opción de voto.

La respuesta «¿A usted qué le importa, el voto es secreto?», también nos lleva al punto más delicado de la encuesta planteada: la sinceridad. ¿Cómo podemos garantizar que la gente responde lo que de verdad piensa hacer?

Pensemos en la diferencia que existe entre una votación a mano alzada y una en urna.

Una encuesta como la planteada es semejante a una votación pública, por más que el encuestador afirme que las respuestas son anónimas.

Un número significativo de personas contestará lo que cree que quiere oír el encuestador o alguna persona importante para él, y no lo que piensa o lo que hará. Pongamos un ejemplo: para ahorrar tiempo y terminar pronto su trabajo, un encuestador se ha colocado a la salida de una empresa y entrevista a todos los que salen ¿Cuántos contestarán lo que creen que el jefe quiere oír?

En resumen, para un diseño más adecuado, se requiere diferenciar las preferencias por individuo, por partido y por coyuntura. Además, su método de aplicación debe hacer sentir seguro y cómodo a quien responde y, sería muy bueno que contara con un método para medir sinceridad. Todo esto contribuiría a lograr proyecciones más fiables e interesantes, pero, por la contra, generaría una dificultad nueva: convertiría a la encuesta en más impráctica por larga e incómoda de contestar, propiciando que la gente se niegue a responder por falta de tiempo.

Aunque las reflexiones anteriores pueden parecer exageradas, lo cierto es que una de las razones más comunes para obtener conclusiones erróneas con la estadística es utilizar encuestas mal diseñadas.

Un último comentario para esta sección: las respuestas posibles fueron inventadas por el autor, excepto la primera: «¿a usted qué le importa, el voto es secreto?», que la escuchó en una encuesta informal.

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Número 25, enero de 2018

Cómo diseñar la muestra Corría el año 1936 y nuestro vecino del norte estaba en vísperas de una elección que enfrentaba a Franklin D. Roosevelt, quien pretendía reelegirse representando a los demócratas, con el candidato republicano Alfred Landon.

La revista Literary Digest, famosa por sus predicciones acertadas en elecciones, realizó una encuesta para predecir quien ganaría la contienda. Los miembros de dicha revista, para no errar, decidieron formar una muestra de gran tamaño, usando la siguiente metodología: considerando los datos de la guía telefónica y de su lista de subscriptores, enviaron a 10 millones de personas una carta, con respuesta pagada, en donde preguntaban por quien votarían.

Poco antes de la elección, la citada revista había recibido 2.266.566 respuestas a sus cartas y contaban con una muestra de gran tamaño, por lo cual consideraron que estaban en grandes posibilidades de dar una predicción acertada, con un margen de error muy pequeño.

Después de procesar sus datos, predijeron una victoria de Landon, quien, según su investigación, obtendría más del 57 por ciento de los votos. Sin embargo, la historia fue otra: Roosevelt ganó la elección con más del 62 por ciento, perdiendo sólo dos estados (recordemos que en ese país la elección es indirecta). Así, queriendo pasar a la historia como una revista que siempre predecía correctamente a los ganadores, pasó, pero como un gran ejemplo de mala utilización de la estadística.

Dos aspectos podemos destacar de esta vieja historia. En primer lugar, como vimos en la sección pasada, no debieron obviarse los casi 8 millones de personas que no contestaron la encuesta, es decir, la no respuesta no debió considerarse como información desechable.

Evidentemente, hubo una tendencia mayor a contestar por parte de quienes no querían la

reelección de Roosevelt. Por otro lado, lo más importante, es que una muestra grande no es garantía de ser representativa. Un análisis posterior mostró que la selección de la muestra utilizando personas con teléfono o suscriptores de la revista había creado un enorme sesgo en los resultados. Digamos que la conclusión más pertinente debió ser: entre los poseedores de teléfono (un número relativamente pequeño en la época y con un nivel de ingresos alto) y subscriptores de la revista (personas de clase media o mayores recursos) que contestaron la encuesta, la mayoría votaría por Landon, pero no era el sentir la mayoría de la población. La gente de bajos recursos no estaba correctamente representada. Dicho en otras palabras, se cometió un error mayúsculo al eliminar, aunque fuera involuntariamente, el sentir de la población sin teléfono, que tenía un sentir diferente.

Uno de los puntos más delicados cuando se realiza cualquier estudio estadístico es elegir adecuadamente la muestra o muestras que se utilizarán para éste. Idealmente, para que una muestra sea representativa deben quedar todos los sectores representados en la misma proporción que en el total de la población. En la práctica se busca que estas proporciones sean lo más parecidas posible a la realidad. Dos elementos suelen recomendarse para lograr que una muestra sea representativa: una cantidad grande de individuos (existen métodos para calcular con precisión que quiere decir esto) y una elección aleatoria de ellos.

Ya vimos que la muestra grande por sí sola no es suficiente para garantizar representatividad. El problema radica entonces en cómo establecer un método para seleccionar a los encuestados de tal manera que sus respuestas permitan hacer una proyección adecuada. En la intención del voto surge una complicación adicional: requerimos que queden representados grupos minoritarios que un muestreo simple

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Mefisto dejaría fuera. Por ejemplo, debe buscarse en la muestra que se tome en consideración los siguientes aspectos que influyen en la forma de votar: clase social, educación, geografía (lugar de origen y lugar donde se habita), creencias políticas y religiosas, edad, género, etcétera.

Así, por ejemplo, una muestra hecha en una región fija del país, como nuestra ciudad, podría dar una visión sesgada sobre la intención del voto muy diferente a la zona norte; lo mismo si se contempla un cierto nivel social, como en el ejemplo de los teléfonos, o si sólo se contempla una población estudiantil, como las encuestas que se realizan al interior de las universidades.

Pensemos, para aclarar ideas, si quisiéramos determinar el tipo sanguíneo promedio en México, bastaría con conocerlo en una muestra de los pacientes que arriban a una clínica en un día, aún con sus particularidades étnicas. En cambio, la intención del voto requiere

forzosamente de un proceso de estratificación de la muestra que asegure que están considerados todos los sectores antes mencionados.

Conclusión: Debemos ser muy cuidadosos con las encuestas que realizan los medios de comunicación y analizar con calma lo que se nos presenta, como en cualquier tipo de discurso. La presentación de porcentajes, gráficas y análisis matemáticos no son garantía de estar correctamente realizados o interpretados.

Cualquier investigación que utilice estadística debe ser revisada de igual forma por expertos en esta área, como expertos en estadística. Similarmente, cuando queramos realizar una investigación que requiera el uso adecuado de estadística, debemos contar con asesoría adecuada.

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Equivalencia Daniel maisner*

R

amsés estaba a punto de dar la respuesta al ejercicio 12/8, pero recordó aquello de que hay que reducir las fracciones; piensa rápido, lo revisa, sonriendo levanta la mano y, antes de que le den la palabra, dice en voz alta dirigiéndose a la maestra «El resultado es 3/2 porque 12/8 es igual a 3/2».

Pobre Ramsés, esperaba una felicitación o por lo menos un asentimiento sonriente por parte de su educadora pero se llevó un desconcertante chasco cuando sólo obtuvo por respuesta: «equivalentes Ramsés, no iguales, ya lo hemos visto hasta el cansancio, son equivalentes». Breve silencio. Por la mente de Ramsés desfilaron diversas posibilidades y, tras reflexionar, no quiso posponer la terrible pregunta infantil, que temen todos los profesores y que los adultos vamos perdiendo a lo largo de la vida: «¿por qué?».

El silencio aumentó, por así decirlo; se hizo más denso, convirtiéndose en esos momentos que se escucha hasta una goma caer.

La maestra dudó por un momento, barajando diferentes respuestas, hasta que finalmente optó por la más retorcida, para, según ella, no perder autoridad y en vez de responder con un simple no sé o voy averiguarlo, contestó: «no son iguales porque no son iguales, son equivalentes porque son equivalentes; ya lo he explicado muchas veces, equivalentes, Ramsés». * Profesor de la UACM San Lorenzo Tezonco.

Fotograma de El estudiante Torless de Volker Schlöndorff , basada en el libro «Las tribulaciones del estudiante Törless» de Robert Musil.

Y remarcó estas últimas palabras, para dejar claro que no aceptaría más preguntas. Ireri, que se sienta detrás de él, le murmuró preocupada, «son iguales pero se les llama equivalentes, cada vez que te pregunten, sólo di equivalentes. Porfa no la pongas más nerviosa, o todos vamos a pagar los platos rotos».

Sobra decir que Ramsés no quedó satisfecho con ninguna de las respuestas obtenidas y que la actitud de su maestra sólo incrementó su curiosidad. De camino a casa ha ido preguntando a algunos compañeros mayores sobre la razón de que se diga «fracciones equivalentes», y todos más o menos le han respondido lo mismo: «así es porque así es», «porque así lo dicen en la escuela», «sepa, pero a mí me lo enseñaron así», o de plano «has concha con esas cosas que ponen en clase para complicarte, pero tú no hagas caso».

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Mefisto Ya en casa vino la primera respuesta interesante, cuando menos se lo esperaba, tras interrogar a su mamá, quien le dijo riendo « qué bueno que preguntas, porque necesitamos que vayas a la tlapalería a comprar una extensión y la queremos de un metro, no me vayas a traer dos de medio metro». Y su papá, completando la broma, agregó «paga con el billete de quinientos pesos, no vayas a llevar mil monedas de cincuenta centavos».

Ramsés ha ido rumiando todo el camino: es cierto, cuatro medias naranjas no son dos, y correr dos carreras de cuatrocientos metros no es lo mismo que correr una de ochocientos, pero, ¿eso amerita que lo obliguen a usar otro término?. Después de todo son el mismo número, ¿para qué decir equivalentes si se entiende por el contexto?

Así que, como no ha quedado satisfecho del todo, decidió correr el riesgo de preguntar a su tío León, quien es matemático y vive a unas cuantas cuadras de su casa.

León sonrió ante la pregunta y se rascó la cabeza, buscando la manera de contestar. Su cara expresaba claramente lo que no se atrevía a decir en voz alta: «¿Cómo te explico en pocas y sencillas palabras, no prefieres un cuento o hablar de una película de moda?»

Sin embargo, cuando León decide explicar algo, ya no lo para nadie. Tomó aire, puso en claro sus ideas y comenzó una larga explicación, que aquí reproduciremos. Al principio, ante el desconcierto de Ramsés, dio un largo rodeo, para explicar cómo en las décadas de los años cincuenta y sesenta hubo una serie de reformas en la enseñanza de las matemáticas que pretendían introducir, desde la enseñanza básica, algunos conceptos matemáticos avanzados, para facilitar su aprendizaje futuro, y cómo habían fracasado en muchos aspectos, debido en parte a que no habían medido correctamente las capacidades de un niño cualquiera, y en

parte porque no habían considerado que, si los maestros no tenían suficientes conocimientos de los nuevos contenidos, si ellos mismos no los comprendían y manejaban con suficiente profundidad, era una tarea estéril pedirles que los explicaran.

Ramsés bostezó desconcertado; parecía que una vez más se encontraba ante respuestas ambiguas o evasivas. ¿Sería qué León tampoco sabía porqué la insistencia en decir equivalentes y no iguales? Pero, León sólo estaba dando una breve introducción y, aunque dando otro rodeo, comenzó a entrar en materia: —Mira Ramsés, no sé como explicártelo bien, pero las equivalencias son algo así como igualdades en un contexto, pero diferentes en otro; es como diferenciar cuándo dos cosas son idénticas y cuándo sólo se parecen; y tienen un uso muy importante en las matemáticas avanzadas, ¿comprendes?

Ramsés sólo movió la cabeza de derecha a izquierda, ¿12/8 y 3/4 sólo se parecen?

—Por ejemplo, tú has estudiado triángulos semejantes; sí, hombre, los que tienen los ángulos iguales: son de diferente tamaño pero tienen la misma forma, son distintos si nos interesa el tamaño pero son iguales si sólo pensamos en proporcionalidad, y por tanto son equivalentes. Recuerda las escuadras, siempre hay una de 90°, 45° y 45°, y la otra de 90°, 30° y 60°; para dibujar son equivalentes aunque sean de distinto tamaño.

Ramsés veía dudoso a su tío. ¿Ahora además de las fracciones también los triángulos?

—Esto es muy claro en la pintura en perspectiva, no sólo con los triángulos, cualquier figura del mundo real es equivalente a una

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Proyección de un cuadrado.

en la pintura, si puedes proyectar una en —Se les llama semejantes por razones histórila otra —y mientras decía esto, hacía adecas: el concepto de equivalencia es mucho manes con una mano, mostrando como un más moderno. Y por cierto, muchachito, los foco que proyecta una figura en la otra, y dibujos a escala tienen que ver con la teoría siguió contando sobre algunos mecanismos de proporciones, que en el fondo son núrenacentistas para realizarlo. meros racionales —lo dijo remarcando, un poco molesto, la palabra racional, aunque —¿Como los mapas?, preguntó Ramsés basviendo la cara del niño agregó: los quebratante desconcertado, pero contento de indos de cabeza, como les llamas. tervenir.

León trató de cambiar el enfoque y el tipo de —Ándale, los dibujos a escala son una equi- ejemplos y probó con algo diferente: valencia; representan lo mismo pero no son iguales ni entre sí ni mucho menos con el —Mira, tú perteneces a un equipo de futbol, original: son diferentes representantes de la ¿no? En las competencias los dividen por clase de equivalencia de todas las represenaño de nacimiento; esa es una equivalencia, taciones del territorio. todos los de la misma generación pertenecen a una misma clase que compite entre sí.

—Bueno sí, ¿pero eso qué tiene que ver con los quebrados… de cabeza? Y si los triángulos Ramsés se rió con ganas, ante el desconcierto semejantes son equivalentes, porqué les lla- de León, y dijo: «¡Ay, tío, si está lleno de camamos semejantes? chirules!»

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Mefisto León prefirió ignorar el comentario y siguió 1) Todo elemento es equivalente a sí mismo, explicando: todos los niños que nacieron el lo que se llama propiedad reflexiva, mismo año son individuos diferentes pero son equivalentes; para los términos de los 2) la simétrica si un elemento A es equivalente reglamentos del campeonato representan lo a B , entonces, a la fuerza, B es equivalente a A y mismo, pero en otro contexto son diferentes, 3) la transitiva si A equivalente a B y B a C y eso lo puedes hacer con cualquier partición entonces A es equivalente a C. que se te ocurra: los niños que se sientan en la misma fila en el salón, los que tienen ojos del —Hace rato te mencioné los triángulos semismo color, etcétera. mejantes. Todo triángulo es semejante a sí mismo, si uno es semejante a otro se tiene —Te pongo otro ejemplo: 1, 13, 25, 37 y los derecíprocamente que el segundo es semejanmás números. Si seguimos sumando 12, son te al primero y si uno es semejante a otro y números diferentes pero equivalentes poreste otro a un tercero todos tienen los misque representan la misma hora en el reloj. mos ángulos y por lo tanto el primero es semejante con el tercero.

—Bueno tío, el mío sí marca las 13 horas…

—No entiendo, ¿qué esas propiedades no se —Entonces haz la equivalencia sumando 24. cumplen siempre?

Cada 24 horas es la misma hora del día.

También puedes hacerlo con los días de la —De ninguna manera. Por ejemplo, si pensasemana, siempre que sumes siete obtienes mos ser hermano como ser hijo de los misel mismo día. Así, lunes 6, lunes 13, 19, 25, mos padres es una relación de equivalencia, etcétera. en cambio ser padre no cumple con ninguna nadie: es padre de sí mismo, el hijo de —No hagas trampa, tío; seguiría 32, y ese día alguien no es a la vez su padre y ser hijo de no existe. un hijo no te hace padre de tu abuelo. Pero seamos claros: para no ser de equivalencia Ramsés seguía con la cara desconcertada, mibasta con que no se cumpla una propiedad. tad interesado y mitad dubitativo, por lo cual Por ejemplo, ser menor o igual cumple la León decidió arremeter en serio y explicar con primera y la tercera pero no la segunda y mayor profundidad: por tanto no lo es.

—Hay dos ideas diferentes sobre lo que es una —Tienes razón a ≤ a y a ≤ b y b ≤ c implica equivalencia. La primera es una generalizaa ≤ c, pero no es cierto, a ≤ b implica b ≤ a. ción de lo que es una igualdad. La idea es que dos cosas son equivalentes, en un contexto, —La otra idea, equivalente a la anterior, es la si puedes substituir una por la otra sin que de partición, que usé hace rato para darte cambie la situación. Se define, simplemente, ejemplos… como que satisfaga tres propiedades básicas, que en particular cumplen las igualdades: —¿Cómo que idea equivalente, tío, no me habías dicho el otro día que no debes

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usar la palabra que estás explicando? Ya no —Claro, como los ejemplos que pusiste hace entiendo nada. rato. Los niños de la misma fila, los de la misma familia, los que tienen el mismo coLeón sonrió desconcertado. Sin querer, Ramlor de pelo… sés había provocado que la explicación se alargara, en vez de finalizar.

—No sigas porque te vas a equivocar. Recuerda que todos deben pertenecer a una clase —Bueno, en lógica se dice que dos proposiy nadie a más de una. Por ejemplo, los que ciones son equivalentes si partiendo de una tienen celular de una misma marca no son puedes probar la otra, y recíprocamente paruna partición de los niños de tu salón, portiendo de la segunda puedes obtener la prique tú no tienes, sólo son una partición de mera. En el fondo es la idea de equivalenlos alumnos con celular. Tampoco los que cia que te mencioné antes. Una proposición pertenecen a un salón… puede ser substituida por la otra. Así que en este caso simplemente quiero decir que toda —Claro, porque asistimos a más de uno por alrelación de equivalencia da lugar a una pargunas materias. tición y toda partición a una equivalencia. Y te dejo de tarea ver que esta idea de la lógica León volvió a suspirar y continuo: cumple con las tres propiedades anteriores.

Pero, ¿en dónde estaba?

—Aunque parecen cosas distintas, particiones y equivalencias son esencialmente lo —No sé, pero qué bonito trabalenguas hicismismo, porque si tenemos una relación de te —y antes de que León se enojará, agregó equivalencia podemos fabricar una partimientras intentaba que no se le cerraran los ción, considerando como subconjuntos o ojos: me estabas hablando de las particiones. clases a todos los elementos equivalentes entre sí. Por ejemplo, todos los triángulos León, sabiendo que su auditorio estaba a puncon ángulos internos iguales son equivato de tirar la toalla, se apresuró a completar su lentes entre sí, y recíprocamente, si tenemos perorata: una partición, tenemos una equivalencia, dada por dos elementos; son equivalentes si —Eso es muy sencillo. pertenecen al mismo subconjunto.

Ramsés se asustó. Esta frase casi siempre era el —Todo está muy bien, pero, ¿por qué es iminicio de algo ininteligible. portante enseñar esto? Me dejaste igual, mejor decimos quebrados iguales, y punto.

—Cuando tienes un conjunto y lo partes en varios conjuntos, de tal manera que si los jun- —Híjole, haces cada pregunta difícil de contestas obtienes el total y no tienen elementos tar y después te andas durmiendo cuando en común, es una partición. intento responder.

Ramsés puso la mejor cara de “todo clarísimo” —Hasta ahora no te he explicado por qué a los que pudo, pero intervino acertadamente: números racionales se les dice equivalentes.

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Mefisto Comencemos por ahí. Recuerda que los números enteros están formados por los negativos {…, -3, -2, -1,}, el cero y los positivos {1, 2, 3,…}. Ahora bien, al dividir un entero entre otro no obtenemos otra vez un número entero, salvo en los casos del 1 y el -1. Y para muchas cuentas necesitamos las divisiones.

Al definir las fracciones estamos agrandando nuestro conjunto de tal manera que siempre podemos dividir dos números. Para realizar la construcción, de forma rigurosa, la idea es muy simple. Consideramos todas las posibles divisiones de enteros, salvo el cero: p

, q ≠ 0. q —Pero debemos decir cuándo dos de ellos representan el mismo número, y para ello definimos una relación de equivalencia en el conjunto de todas las parejas de enteros: p

r si ps = qr. es equivalente a q s Esta relación se define así porque debemos reducirla a las propiedades de los números enteros. Dos parejas de números enteros que cumplen la propiedad anterior no son la misma pareja pero sí son equivalentes.

—Volviendo a tu pregunta, no veo mal que se enseñen algunos conceptos avanzados

desde nivel básico, siempre y cuando se explique lo importante y el ejercicio no se convierta en repetir una idea de forma mecánica sin sustento. En matemáticas avanzadas las relaciones de equivalencia se presentan muy a menudo y es importante reconocerlas y saber utilizarlas. Y conociendo sus propiedades en abstracto podemos aplicarlas en todos los casos. Por ejemplo, en álgebra existen muchas construcciones parecidas a la que acabamos de realizar. Finalmente, te diría, que si no se hace poniendo las cosas en contexto y con una dirección bien definida y clara en los planes de estudio, no vale la pena distinguir entre iguales y equivalentes.

Ramsés estaba mareado y somnoliento y con muchas dudas para otro día. Como siempre sucede en estos casos, resolver algunas dudas sólo había generado nuevas. Se despidió de su tío y regresó a su casa reflexionando en cómo detrás de un detalle idiomático, aparentemente baladí, existen tantas razones que quizá bien explicados podrían ser interesantes pero que repetidas como pericos de nada sirven.

En su cabeza daba vuelta y vuelta a ejemplos de particiones y equivalencias, viendo que después de todo no era tan difícil. Después, una pregunta comenzó a dar vueltas en su mente: ¿qué haría en la escuela?, ¿a pesar de todo seguiría el consejo de Ireri o trataría de reproducir para los compañeros lo qué ahora sabía?

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Acertijos 1. En la carnicería del barrio la carne molida magna se vende veinte pesos más por kilo que la usual. El día de ayer, al hacer el corte de caja, encontraron una venta de un kilo de carne molida repartida de la siguiente forma: $ 117 pesos de la magna y $56 de la usual. ¿Cuánto pesaba cada una de las ventas?

2. En un día de mercado, durante la Edad Media, le avisaron a Simón que, de las 27 monedas que le había pagado Francisco, una pesaba menos y por tanto era falsa. Simón pidió prestada su báscula de platillos a Matías para detectarla pero, como éste estaba muy ocupado, le puso como condición que sólo debía realizar tres pesadas ¿cómo debe realizarlas?

3. Prueba que el producto de tres números 4. Encontrar todas las parejas de núconsecutivos siempre es un múltiplo de 6. meros que cumplen que su producto es igual a su suma, ¿de ellos cuál es el única pareja formada por enteros?

Soluciones a los anteriores 1. El ángulo que forma cualquier manecilla con la vertical se obtiene multiplicando 30º, el ángulo que hace con el 1 al ser la doceava parte de 360°, por el número. Por tanto, a las 14:20 la manecilla corta apunta al dos, formando un ángulo de 60º y la larga al cuatro, formando un ángulo de 120º. Así, el ángulo que forman entre sí es 120º-60º=60º.

2. Por cada naranja el niño obtiene una ganancia de un tercio de peso, por tanto requiere de noventa naranjas para obtener 30 de ganancia.

Alternativamente, si no se quiere usar fracciones, puede verse que por cada 15 naranjas gana 5 pesos.

3. El promedio es n. En efecto, si n es non los primeros n nones pueden escribirse como: n, n + 2, n − 2, · · · , n − (n − 1) y si es par corresponden a n, n + 1, n − 1, · · · , n − (n − 1). En cualquier caso tenemos que la suma es igual a n2 y al dividir entre n obtenemos n.

4. Si n es el número de las decenas y m el de las unidades que al invertirlos su diferencia sea 9 se traduce en la ecuación: 10n + m = 10m + n + 9 que equivale a que los números sean consecutivos. Por tanto la respuesta es 8 números 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 y 89.

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Sudoku Fácil Solución al anterior

2 8 5 6 2 6 1

1 9 8 5 6 4 3 7 3 1 7 6 5 2 8 5 2 1 3 7 9

8

4

4 8 1 3 2 6 9 5 7

2 2 1 3 7 6 1 9 7 2

6 9 5 8 1 7 2 3 4

7 3 2 9 5 4 1 8 6

5 2 3 4 6 9 5 7 1

2 4 9 5 7 8 6 2 3

8 6 7 1 3 2 4 9 8

3 1 6 2 8 5 7 4 9

1 7 4 6 9 3 8 1 5

9 5 8 7 4 1 3 6 2

Difícil Solución al anterior

5 4 1 2 6 9 7 8 3

9 3 2 8 7 4 6 1 5

7 8 6 1 5 3 9 2 4

3 9 7 4 8 1 5 6 2

4 6 8 5 9 2 3 7 1

2 1 5 7 3 6 8 4 9

8 2 9 3 4 7 1 5 6

6 5 4 9 1 8 2 3 7

1 7 3 6 2 5 4 9 8

8 9

4 1

9

5

1

1 6 7 9 4 4 3 5 6 6 4 1 2 3 8 6 9 5 5 4 9 24

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