Gaceta Mefisto 23

Mefisto Un pacto con la ciencia y la cultura Número 23, julio de 2017

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías.

Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

Presentación 3

Frases célebres 21

Relatividad 4 Fausto Cervantes

Acertijos 22

Sudoku 24

Paradoja del hotel infinito Daniel Maisner

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Cielo de verano

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Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector Hugo Aboites Aguilar Secretaria General Ma. Auxilio Heredia Anaya Coordinadora Académica Fabiana Grisel Medina Núñez Encargado del Despacho de la Coordinación del Colegio de Ciencia y Tecnología Igor Peña Ibarra Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria Koulsy Lamko Responsable del área de Publicaciones Andrea Gálvez Diseño y producción Benito López Martínez Revistas Universitarias de Divulgación (Rudi)

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Mefisto Editor

Daniel Maisner Bush

Comité Editorial

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MEFISTO, año 7, núm. 23, julio-septiembre 2017, es una publicación trimestral editada por la Universidad Autónoma de la Ciudad de México (uacm), Dr. García Diego 168, col. Doctores, del. Cuauhtémoc, 06720, Ciudad de México, tel. 1107 0280, www.uacm.edu.mx. Editor responsable: Daniel Maisner Bush, gaceta.mefisto@gmail.com. Certificado de Reserva de Derechos al uso Exclusivo e issn: en trámite, ambos otorgados por el Instituto Nacional de Derechos de Autor. Certificado de Licitud de Título y Contenido: en trámite, otorgado por la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretaría de Gobernación. Impreso en: Universidad Autónoma de la Ciudad de México, San Lorenzo, 290, col. Del Valle Sur, 03100, Ciudad de México. tel. 1107 0280 ext. 15581. Este número se terminó de imprimir el 20 de febrero de 2018 con un tiraje de 2,000 ejemplares.

En este canto, Ciampolo se ve amenazado por los diablos y Farfarello, con los ojos desorbitados dice «¡Quédate a un lado, pájaro malvado!». Posteriormente, Ciampolo propone un intercambio: si Dante y Virgilio desean ver a otros toscanos y lombardos, Malebranche se tendrá que retirar, así ellos no temerán sus sombras. A una señal convenida, varios saldrán a fuera.

En portada Ilustración: Gustave Doré (Estrasburgo, 1832 - París, 1883), Engaño de Ciampolo y pelea de los diablos, canto XXII de la Divina Comedia.

Alichino persigue Ciampolo de Navarra.

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Presentación

E

instein y Cantor son dos caras opuestas del desarrollo científico que podríamos denominar moderno. El primero ha sido ampliamente reconocido incluso en medios no científicos y su imagen es un ícono del siglo XX; el segundo fue un matemático muy criticado en su época, la genialidad de sus trabajos sólo fueron reconocidos cerca del fin de sus días y aún hoy día es prácticamen desconocido fuera del ámbito matemático. Sin embargo, tienen mucho más en común de lo que parece en un primer acercamiento a sus biografías.

Destaquemos que ambos son parte de esa revolución científica que abarca, más o menos de finales del siglo XIX a mediados del XX, que, además de aportar nuevos conocimientos, cambió los fundamentos mismos de la ciencia.

En el caso de Einstein su teoría de la relatividad crea un nuevo enfoque para interpretar algunos fenómenos físicos que no encontraban explicación en la mecánica clásica. Sobre esto nos habla Fausto Cervantes.

Cantor estudió las propiedades de los conjuntos infinitos revolucionando una gran parte de los fundamentos de la matemática, incluso la noción misma de contar. Para ilustrar sus trabajos y dar una idea de la profundidad de los mismos, Hilbert enunció la paradoja del hotel infinito de la cual nos habla Daniel Maisner.

De forma anecdótica, aunque no nos atreveríamos a decir casual, existe otra liga en los trabajos de ambos pensadores que presentamos en este número. Ambos tienen un bisabuelo científico común: Galileo. El genio toscano enunció unas ecuaciones que relacionan las dos descripciones de un mismo movimiento

realizadas por distintos observadores y Einstein, como parte de la teoría de la relatividad, las generaliza; para entender mejor, no dejen de leer el artículo de Fausto.

También, este genio, considerado el padre del método científico, realizó el primer ejemplo de dos conjuntos infinitos diferentes, pero con el mismo número de elementos, más precisamente, el mismo cardinal: una semilla de la teoría de conjuntos moderna que no germinaría por los propios prejuicios científicos de esa época.

Una última liga, nada agradable de describir, fue que cada uno de ellos fue víctima de la intolerancia, aunque de formas muy diferentes.

El origen judío de Einstein significó un grave problema para él, ya que su vida coincidió con el surgimiento del nazismo y su posterior llegada al poder en su natal Alemania; mientras que Cantor sufrió la persecución académica, llena de censura y burlas devastadoras; siendo su único pecado dedicarse a estudiar algo que no estaba en la moda científica de su época y que rompía con múltiples prejuicios académicos.

Recordemos finalmente que, junto con los artículos mencionados, tenemos las secciones permanentes de siempre, esperamos disfruten de este número.

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Relatividad Fausto Cervantes*

Introducción

Aunque hoy en día, en parte debido a la gran capacidad para difundir conocimientos del internet, muchos hablan de la relatividad como una teoría de Albert Einstein; pero pocos saben que las primeras ideas de esta teoría se remontan al gran pionero de la física moderna, Galileo Galilei en el siglo XVII. La imagen tan peculiar de Einstein y el conocimiento de que sus teorías significaron una revolución en la física, a veces ocultan que se sabe muy poco del contenido real de la teoría y de sus alcances. Comúnmente se le cita fuera de contexto («todo es relativo»), y se usa su vocabulario en forma errónea y confusa. Asimismo, quien desea entender esta teoría, se encuentra con muchas dificultades, ya que algunos de sus resultados desafían lo que llamamos «sentido común».

Muchas de las dificultades para entender esta teoría surgen simplemente por el nombre que se le dio. Frecuentemente se le confunde con «relativismo», en el sentido de subjetivismo. Nada más lejos de la realidad. La teoría de la relatividad de Einstein es una teoría física muy objetiva, con un contenido bien definido, sin ninguna relación (ni siquiera indirecta) con tal doctrina filosófica.

El aparato matemático para entender y explorar la teoría de la relatividad no es accesible para cualquiera, se necesita dominar mucho más que el álgebra básica o la geometría elemental (las de los libros de Baldor), por lo que no es accesible para bachilleres, y sólo quienes * Profesor del plantel San Lorenzo Tezonco

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tienen una formación sólida en matemáticas superiores pueden entenderla en toda su profundidad. Sin embargo, el significado de la relatividad, como el de muchas otras teorías físicas, es simple, aunque no obvio, y sus ideas básicas pueden comprenderse sin demasiadas matemáticas. Esto es lo que se tratará de hacer a lo largo del presente artículo.

La relatividad de Galileo

Supongamos que vamos a bordo de un vehículo que se mueve con velocidad uniforme: esto quiere decir que no cambia de magnitud ni dirección (recordemos que cuando hablamos de velocidad estamos pensando no sólo en la rapidez o magnitud con que se mueve un objeto, sino también en su dirección) al menos durante algún lapso de tiempo. Para imaginarnos tal vehículo, tengamos en cuenta que no podría ser un medio de transporte en la Ciudad de México, donde camioneros y microbuseros van peleándose el pasaje, donde los baches y grietas perturban considerablemente el movimiento de los autos, donde el metro tiene muchas fallas por el apresuramiento para inaugurarlo (mismas que hacen que se tenga que cerrar durante mucho tiempo para hacer las reparaciones). Así que mejor visualicemos un avión volando en una zona libre de turbulencias durante ciertos intervalos de tiempo.

Vamos, entonces, viajando a bordo de un avión que se mueve con velocidad constante cuando un compañero nuestro salta en un paracaídas, desde nuestra posición lo vemos caer en línea recta, es decir, sólo vemos un movimiento vertical, únicamente baja; no ob-

Mefisto Mefisto Mefisto

movimientovertical, vertical,únicamente únicamentebaja; baja;nonoobobmovimiento servamos movimiento hacia adelante o atrás, servamosmovimiento movimientohacia haciaadelante adelanteo oatrás, atrás, servamos ni hacia los lados.

En cambio, un amigo que hacialos loslados. lados.EnEncambio, cambio,ununamigo amigoque que ninihacia seencuentra encuentraen en latierra tierratomando tomandopelícula películadel del seseencuentra en lalatierra tomando película del saltoregistra registra elmovimiento movimientode deuna unaforma formadisdissalto salto registra elelmovimiento de una forma distinta:primero primerodescribe describeun unmovimiento movimientoque que sitinta: tinta: primero describe un movimiento que si-sigueuna unacurva curvaconocida conocida(llamada (llamadaparábola), parábola), y gue gue una curva conocida (llamada parábola), y y luegosigue sigueuna unalínea línearecta rectacon conuna unainclinación inclinación luego luego sigue una línea recta con una inclinación quelalasepara separaconsiderablemente considerablementede de lavertical vertical que que la separa considerablemente de lalavertical (figura1).

1). (figura (figura 1).

Como vemos, vemos, la trayectoria trayectoria observada observada Como Figura1.1.

Como vemos, lalatrayectoria observada Figura Figura 1. depende del observador, es decir, es relativa al dependedel delobservador, observador,esesdecir, decir,esesrelativa relativaalal depende sistemade dereferencia referenciadesde desde elque quese sedescribe. describe. sistema sistema de referencia desde elelque se describe.

Aún un un ejemplo ejemplo sencillo sencillo como como elel que que Aunquenonosesedijo dijoexplícitamente, explícitamente,por por Aún Aunque Aún un ejemplo sencillo como el que transcurre igualmente en ambos sistemas de acabamos de describir, puede crear cierta anpareceralgo algoobvio, obvio,sesesupuso supusoque queeleltiempo tiempo acabamosdededescribir, describir,puede puedecrear crearcierta ciertaanan- parecer acabamos referencia esto es: t’ = t.en ambos sistemas de gustia, ¿cuál ¿cuál es la descripción descripción correcta correcta del del transcurre igualmente gustia, transcurre igualmente en ambos sistemas de gustia, ¿cuál eseslaladescripción correcta del Así, el principio de relatividad establemovimiento del del paracaidista? paracaidista? La La respuesta respuesta es es referencia esto es: t’ = movimiento movimiento del paracaidista? La respuesta es referencia esto es: t’ = t. t. leyes de la física son las mismas en sencilla,aunque aunque unpoco pocoperturbadora: perturbadora:ambas ambas ce que Así,las principio relatividad establesencilla, Así, elelprincipio dederelatividad establesencilla, aunque ununpoco perturbadora: ambas sistema de referencia inercial (es dedescripciones son son correctas correctas yy existe existe una una relarela- cualquier quelaslasleyes leyes físicason sonlaslas mismas descripciones dedelalafísica mismas enen descripciones son correctas y existe una rela- ceceque cir, que se mueve con velocidad constante), ción matemática que permite relacionar una cualquiersistema sistemadedereferencia referenciainercial inercial(es (esdede-y ciónmatemática matemáticaque quepermite permiterelacionar relacionaruna una cualquier ción queque parasecambiar de descripción se utilizan las conotra. otra.Aunque Aunqueno nohabía habíaaviones aviones en sutiemtiem- cir, muevecon con velocidadconstante), constante), con cir, que se mueve velocidad yy con otra. Aunque no había aviones enensusutiemtransformaciones dadas en la ec.

(1).

De ello po, Galileo pensó en este problema, y determiquepara paracambiar cambiardededescripción descripciónseseutilizan utilizanlaslas po,Galileo Galileopensó pensóeneneste esteproblema, problema,y ydetermidetermi- que po, se deduce que no hay un sistema de nó, correctamente, que la trayectoria en ambos transformacionesdadas dadasenenlalaec.ec.(1).

(1).referencia Deello ello nó,correctamente, correctamente,que quelalatrayectoria trayectoriaenenambos ambos transformaciones De nó, absoluto, todos los sistemas de referencia son sistemas de referencia está relacionada en una deduceque quenonohay hayununsistema sistemadedereferencia referencia sistemasdedereferencia referenciaestá estárelacionada relacionadaenenuna una sesededuce sistemas igualmente válidos. forma muysimple: simple: as Fausto(artı́culo (artı́culo relatividad) absoluto, todos lossistemas sistemasdedereferencia referenciason son forma muy absoluto, todos los muy simple: sFausto Fausto relatividad) (artı́culoforma relatividad)

igualmenteválidos. válidos. igualmente

x = = xx−−vt, vt, FórmulasFausto Fausto (artı́culo relatividad) Fórmulas (artı́culo x x = x − vt,relatividad) = y,y, yy = F1F1 y = y, {{ ′ x′x == x x−−vt,vt, y ′y ′ == y,y, x = x(t)yy = y(t) siendo x==x(t)yy x(t)yy==y(t) y(t) xsiendo siendo F2F2 x(t)y yy y==y(t) y(t) x x==x(t)

F4F4

(1) Problemas con el electromagnetismo y la (1) (1) relatividadcon de Einstein Problemas electromagnetismoy ylala Problemas con elelelectromagnetismo A mediados del siglo XIX, cuando Maxwell (1) (1) relatividad Einstein relatividad dedeEinstein

unifi có las leyes la electricidad y el magnetismediados delde siglo XIX,cuando cuando Maxwell AAmediados del siglo XIX, Maxwell mo en el concepto de campo electromagnético, unificólaslasleyes leyesdedelalaelectricidad electricidady yelelmagnetismagnetisunificó también surgió la idea de ondas electromagnétimoenenelelconcepto conceptodedecampo campoelectromagnético, electromagnético, mo cas, las cuales se identifi caron con la luz. Juntambiénsurgió surgiólalaidea ideadedeondas ondaselectromagnétielectromagnétitambién lascoordenadas coordenadasen en elsistema sistemade dereferencia referenciaen en cas, to con las ondas electromagnéticas se cuales identificaron conlalaluz. luz.creó Jun-el laslascoordenadas en elelsistema de referencia en cas, laslascuales seseidentificaron con Juntierra, concepto de éter,electromagnéticas que se postuló para creó que las tierra, conlaslasondas ondas tierra, totocon electromagnéticas sesecreó elel ondas luminosas tuviesen un medio dónde conceptodedeéter, éter,que quesesepostuló postulópara paraque quelaslas concepto ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ x′x==x′x(t(t ) )y yy ′y==y ′y(t(t )) propagarse.

El éter se pensó también como un ondasluminosas luminosastuviesen tuviesenununmedio mediodónde dónde ondas sistema de referencia absoluto, dado que enun las propagarse. étersesepensó pensótambién también como propagarse.

ElEléter como un lascoordenadas coordenadasen en elsistema sistemade dereferencia referenciaen en sistema leyes deldeelectromagnetismo nodado funcionaban las referenciaabsoluto, absoluto, queenenlaslas laslascoordenadas en elelsistema de referencia en sistema de referencia dado que elavión aviónyylalavelocidad velocidaddel delavión avióncon conrespecto respecto leyes relaciones de relatividad enunciadas por Galileo, delelectromagnetismo electromagnetismo funcionaban elelavión y la velocidad del avión con respecto leyes del nonofuncionaban laslas a tierra. porque estas nuevas leyes no resultaron ser las tierra. relaciones relatividad enunciadas porGalileo, Galileo, a atierra. relaciones dede relatividad enunciadas por Aunque no se dijo explícitamente, por mismas en todos los sistemas de referencia parecer algo obvio, se supuso que el tiempo inerciales.

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A partir de ello, muchos físicos se dieron a la tarea de intentar medir la velocidad de la Tierra con respecto al éter a través de mediciones de la diferencia de velocidades de la luz en la Tierra en diferentes momentos de su órbita alrededor del Sol. Tales mediciones fueron infructuosas, de hecho los experimentadores Michelson y Morley hallaron que la velocidad de la luz es siempre la misma.

Cuando ellos encontraron que la velocidad de la luz es siempre la misma, sin importar el sistema de referencia, los físicos trataron de hallar explicaciones basadas en las propiedades del éter. Fue Einstein quien, sin echar mano del concepto de éter, explicó correctamente el resultado del experimento. La explicación de Einstein fue simple: la velocidad de la luz no es relativa al sistema de referencia, sino que es la misma en todos los sistemas. Pero bajo esta suposición, las transformaciones de Galileo dejan de ser válidas. Es aquí cuando entran las transformaciones de Lorentz (descubiertas por un físico neerlandés que trabajó en ese problema). Las transformaciones son ahora:

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 x = √ x−vt2 2 ,   1−v /c  y = y, 2    t = √t−vx/c .

2 2 1−v /c

Nótese que ahora el tiempo ya no es el mismo, sino que en cada sistema de referencia ¡se mide un tiempo diferente! Esta es una de las consecuencias de la relatividad de Einstein.

Según ésta, no sólo la posición y la velocidad son relativas, sino también el tiempo. Al continuar desarrollando la teoría, se encontró que también hay otras cantidades que son relativas al sistema de referencia, como la masa y la energía.

Fueron esas consecuencias las que hicieron que mucha gente (legos y científicos) criticaran agriamente la teoría de la relatividad, tachándola de absurda y exhibiendo supuestas paradojas. Sin embargo, lo que quedó claro después de refutar las críticas y resolver las paradojas, fue que poca gente entendía la teoría de la relatividad y sus alcances y, como sucede en todos los grandes cambios de concepción,

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Fue Einstein quien, sin echar mano del concepto de éter, explicó correctamente el resultado del experimento. La explicación de Einstein fue simple: la velocidad de la luz no es relativa al sistema de referencia, sino que es la misma en todos los sistemas.

las ideas requerían de un tiempo de maduración para incorporarse sin crear mayor problema.

En la actualidad, las cosas no han cambiado mucho: aún se sabe de personas que, sin entender la teoría de la relatividad, la tachan de absurda e ilógica. Afortunadamente, hoy día, ya poca gente presta atención a estas críticas y se acepta la teoría como válida. Sin embargo, algo que sí sucede, es que se sigue trivializando y alterando el significado de relatividad, al «aplicarla» fuera de contexto y esto es igualmente incorrecto. La relatividad es una teoría física y no debe interpretarse como una filosofía de la subjetividad del saber o conceptos similares.

Probablemente quienes dijeron por primera vez que, según Einstein, «todo es relativo», lo hicieron de broma. No obstante, hoy en día es mucha la gente que cree seriamente que Einstein demostró «científicamente» que «todo es relativo». Y es que, como se mencionó antes, el primer postulado de la relatividad es que la velocidad de la luz es la misma en

cualquier sistema de referencia, esto es, NO ES RELATIVA al observador. Este carácter absoluto de la velocidad de la luz no es exclusivo, hay otras cantidades físicas absolutas (como la velocidad angular, la aceleración, la carga, etc.). Es decir, sólo algunas cantidades son relativas al sistema de referencia.

Conclusión

La teoría de la relatividad surgió con Galileo para explicar el movimiento. Se refiere a las leyes físicas y su simetría, y transformación en diferentes sistemas de referencia inerciales.

Posteriormente, se aplicó a otros fenómenos físicos como el electromagnetismo, que hicieron necesaria su revisión y modificación por parte de Einstein. Es, en esencia, una teoría física, igual que la mecánica cuántica, la acústica, etc.

Esta teoría física, entonces, no tiene relación alguna con la «filosofía» del «todo es relativo», error que muchos toman en serio, y que por desgracia se ha difundido ámpliamente en el internet. En este caso, como en muchos otros, lo único que podemos sacar en claro es que no se entendió el significado de la relatividad.

Bibliografía

Einstein, A. El significado de la relatividad. Planeta, Barcelona, 1985.

Einstein, A. Sobre la teoría de la relatividad.

Alianza editorial, Madrid, 1984.

Einstein, A. et al. The theory of relativity. Dover, New York, 1962.

Feynman, R. et al. The Feynman Lectures on Physics. Volume I. Addison Wesley, Reading Mass., 1963.

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Paradoja del hotel infinito Daniel Maisner*

Introducción

Hacía finales del siglo XIX Georg Cantor (18451918) creó las bases de la teoría de conjuntos moderna, dando formalidad y rigor a muchos conceptos que hasta ese momento sólo se utilizaban de forma intuitiva. Por desgracia, sus temas e ideas fueron extremadamente originales para su época y no fueron comprendidos ni aceptados por sus contemporáneos.

Pero eso no fue todo, como tantas veces se ha repetido en la historia, esta incomprensión tomó forma de terribles burlas desde la comunidad científica hacía su trabajo, incluyendo a matemáticos de gran relevancia como Poincaré y a su mentor Kronecker. Las burlas, sumadas a su personalidad, lo llevaron a tener largos periodos depresivos y mucho sufrimiento. Ya en el siglo XX, durante sus últimos años de vida, hubo un cambio en la percepción de la comunidad científica que comenzó a reconocer su enorme genialidad. En 1920, poco después de su muerte, Hilbert enunció la paradoja del hotel infinito para explicar, de manera sencilla, las bases del concepto de cardinal y la necesidad de tener cuidado en su definición. Agreguemos que no es una paradoja en el sentido estricto de la palabra, porque los trabajos de Cantor permiten salvar cualquier contradicción; más bien se trata de una ilustración de sus teorías que pone de manifiesto la importancia de las mismas y las dota de su real relevancia en la historia de la matemática contemporánea. * Profesor del plantel San Lorenzo Tezonco

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Torre de Babel Doré

Existen diversas versiones de la paradoja.

A continuación la reproducimos conservando el planteamiento general, pero con nuestra propia redacción: Paradoja del hotel infinito (Hilbert 1920):

Existe un hotel con un número infinito de cuartos al que arriba un turista buscando desesperadamente un lugar en dónde pasar la noche. Sin embargo, el recepcionista le informa que el hotel está lleno y no hay cuartos disponibles. El turista insiste en que le den lo que sea. Finalmente, tras una breve pausa, el recepcionista le responde que arreglará el problema en un momento.

Con un enorme altavoz solicita a los huéspedes que por favor cambien de cuarto siguiendo el

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Existe un hotel con un número infinito de cuartos al que arriba un turista buscando desesperadamente un lugar en dónde pasar la noche.

Close-up of a Sundial Shell, 1970 Adreas Feininger

siguiente procedimiento: el que ocupa el cuarto uno pase al dos, el del dos al tres y así sucesivamente. Una vez completado el cambio de cuartos, el recepcionista, con una sonrisa maliciosa, anuncia al viajero «señor hemos solucionado el problema, en un momento podrá ocupar el cuarto número uno». Al día siguiente, llega un tour con una infinidad de huéspedes, ¿podrá el botones aplicar un procedimiento similar para alojarlos?

En una primera lectura puede pensarse que la paradoja antes presentada estriba en que es imposible que se construya un hotel con una infinidad de cuartos y, por ende, cualquier conclusión derivada de este hecho no tiene validez. En efecto, de una contradicción se puede deducir cualquier proposición; pero el enunciado anterior no es un ejemplo sofisticado de este hecho y para comprender su significado y profundidad debemos partir de que el hotel existe, en el entendido de que esta existencia es sólo una metáfora para explicar, de forma sencilla, algunas propiedades de los conjuntos infinitos. En otras palabras, los hoteles infini-

tos no existen pero, en matemáticas, sí existen los conjuntos con un número infinito de elementos, y la paradoja nos ejemplifica que, en el tránsito de lo finito a lo infinito, nuestra intuición puede fallar, y que es necesario un importante grado de rigor para definir, utilizar y comprender las diferentes nociones del infinito.

Descartando soluciones fuera de contexto, como acomodar al turista en una buhardilla, que duerma en las escaleras o que comparta un cuarto con una persona que se ligó al llegar, no existe una manera de asignarle un cuarto cuando el hotel sólo cuenta con un número finito de ellos. Para aclarar las ideas, supongamos que en cada cuarto sólo cabe un huésped; entonces, si hay n cuartos, la única manera de ocuparlos todos es alojar n huéspedes. Una vez lleno, ningún reacomodo de los huéspedes, sea cual sea, dejará como resultado un cuarto vacío, podemos cambiar a los huéspedes de cuarto y el hotel seguirá lleno, ¿qué cambia cuando consideramos una infinidad de cuartos y visitantes?, ¿cómo funciona algo aparentemen-

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Sube y baja Escher

te tan simple como contar elementos cuando permitimos conjuntos infinitos? Y a partir de ahí pueden presentarse preguntas inusitadas como ¿Todos los infinitos son iguales? O, tan aparentemente simples como ¿Qué es un conjunto infinito?

1. Conjuntos infinitos

Los conjuntos con una infinidad de elementos surgen de manera natural desde las matemáticas elementales, muchas teorías matemáticas y disciplinas que las utilizan, como la física, no podrían desarrollarse sin la introducción de algún concepto de infinito. Leyó usted bien: cuando hablamos del infinito debemos pensar en plural. En geometría, aritmética o cálculo, por mencionar alguna áreas básicas, están pre-

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sentes diferentes conceptos de infinito, sin los cuales es imposible avanzar tanto en la teoría como en la práctica. Remarquemos lo anterior, el concepto de infinito no es único, y aunque la idea intuitiva se conserva cambiando de área, el concepto puede sufrir variaciones. Por ejemplo, en geometría puede considerarse un punto en el infinito como el lugar donde se cortan las rectas paralelas, digamos un punto sobre la recta del horizonte; en los números reales, utilizando su orden, hablamos de un infinito positivo y otro negativo, en cambio, en los números complejos, que no son ordenados, sólo tenemos un infinito, etcétera.

Como una referencia de lo primitivo del concepto en su forma intuitiva, recordemos que los griegos ya lo utilizaban con bastante

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F1

soltura. Eudoxio y Arquímedes usaron sumas infinitas para calcular áreas, lo cual, dicho sea de paso, fue la base para el desarrollo que siglos después se dio con la creación del cálculo integral, y que tantas aplicaciones tiene dentro y fuera de la matemática. Recordemos también que en Los elementos de Euclides se habla de rectas que se prologan indefinidamente y que por tanto tienen longitud infinita, además, en este mismo tratado, se prueba la infinitud del conjunto de los números primos. Finalmente, por supuesto, no debemos olvidar que, ya en la época helénica, Zenón enuncia las primeras paradojas sobre el infinito, mismas que, por razones de espacio, trataremos en un artículo futuro.

De forma intuitiva, hemos aprendido que un conjunto es infinito si no es vacío y no tiene fin; esta idea sin mucho mas elaboración, es suficiente para probar que algunos conjuntos son infinitos. Apelaremos a esas ideas para comprender la paradoja. En el enunciado se utiliza que los cuartos están numerados, y al hacerlo se usa, de forma implícita, algo de lo que tenemos un conocimiento intuitivo desde niños: los F1 números naturales, aquellos que usamos para contar: F2 N = {1, 2, 3, · · · },

F3

De forma intuitiva, hemos aprendido que un conjunto es infinito si no es vacío y no tiene fin; esta idea sin mucho mas elaboración, es suficiente para probar que algunos conjuntos son infinitos.

contradicción porque n+1 también es natural y no ha sido incluido en la lista.

Con una leve modificación, podemos aplicar el mismo argumento para probar que diversos conjuntos son infinitos, por ejemplo, los números pares también lo son porque si n es par también los es n+2 N = y{1,lo2,mismo 3, · · · }, para cualquier sucesión de múltiplos de un número k, porque si n es múltiplo de k también N= {1, 2, · · · , lo n}es n+k: pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F2

son infinitos. N = {1, 2, · · · , n} F4|H| F5 |C| F6 Una idea sencilla de este hecho, presente F3 |H|forma = |C|.rigurosa es bastanen la definición=de{2, número de2,Peano, Escribir esto de pares 4, 6, · · natural · , 2l, 2l + · · · }, multiplos k = {k, 3k, · ·Dado · , kl, kl + F7 k, · · · }.te complejo, pero para fines del presente artíestá en elde concepto de 2k, sucesor. cualquier A = nos {a, b,interesa c} y B =que {árbol, burro, casa} natural diferente del 1, tiene un suce- culo, sólo quede claro que sin F4|H| F5 |C| número F6 F8 sor, el 2 del 1, el 3 |H| del 2=y|C|. n+1 de n, por tanto diversos conceptos de infinito no se puede deárbol, b ↔ burro, c ↔ casa.

F1 si consideramos que los números naturales son sarrollara ↔ la matemática, ni siquiera la más eleF7 N = {1, 2, 3, · · · }, F9|H| F10 un conjunto finito: mental. Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} F2 que cardinal(H) Georg Cantor trabajó en un tratamiento = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| F8 N = {1, 2, · · · , n} riguroso y fundamental de las propiedades de a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa.

F11 los conjuntos infinitos. No obstante, como ya F3 ∪ {0}| = |N| pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, F9|H| F10 donde n es el último elemento, tendríamos una se mencionó, sus |N ideas no fueron aceptadas por multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F12 cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| F4|H| F5 |C| F6 F13 |H| = |C|.

F11 |N ∪ {0}| = |N| F7 F14 A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} F12 F8

m → m + 1,

n

m → m + 1, Continúa en la página 14 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, · · · , m ↔ m + 1, · · · .

n

1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, · · · , n → 2n, · · · n

n

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El cielo de verano Fases de la Luna Julio 8 Luna llena 16 Cuarto menguante 23 Luna nueva 30 Cuarto creciente Agosto 7 Luna llena 14 Cuarto menguante 21 Luna nueva 29 Cuarto creciente Septiembre 6 Luna llena 13 Cuarto menguante 20 Luna nueva 27 Cuarto creciente

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Mefisto Planetas Mercurio en Leo Venus en Géminis Marte en Cáncer Júpiter en Virgo Saturno en Escorpión Urano en Piscis Neptuno en Acuario

Lluvias de estrellas Alfa Capricórnidas 27, de julio Delta Acuáridas, 30 de julio Perséidas, 12 de agosto Kappa Cígnidas,17 de agosto

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F1 N = {1, 2, 3, · · · },

Este procedimiento se puede establecer F2 para cualesquiera dos conjuntos. Diremos que N = {1, 2, · · · , n} ...sabemos que nuestro dos conjuntos tienen el mismo cardinal si poF3F1 demos establecer una biyección entre ellos, esto hotel está lleno si en cada pares == {1, {2,2, 4,los 6,··elementos 2, ·uno · · }, es, si podemosNaparear 3, ····},, 2l, 2l +de cuarto hay un huésped sin multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }. con los del otro de tal forma que a cada uno le F2 importar la numeración F4|H| F5 |C|corresponda F6 uno sólo2, uno y no sobren eleN =y {1, · · · , n} |H| = |C|. ni el orden de los mismos mentos. Por ejemplo, los conjuntos: F3

y este es el punto esencial F7 pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, A =de{a, b,=c} y{k,B2k, = {árbol, casa} multiplos k 3k, · · · ,burro, kl, kl + k, · · · }. que diferencía los conjuntos finitos de losF4|H|F8F5 |C| F6 tienen ael↔mismo cardinal árbol, |H| b↔ c ↔podemos casa. = burro, |C|.porque infinitos. aparear los elementos de uno con el otro, por

F7F9|H| F10 ejemplo, a cada letra en A le asociamos la priA = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} mera letra de la palabra cardinal(H) = |H| =en |HB:∪ {viajero}| = |C| F8 a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa. sus contemporáneos: fue uno más de F11 los genios |N ∪ {0}| = |N| incomprendidos en su época.

F9|H| F10 F12

2. Cardinales

Claramente, cuando se tienen conjuntos

cardinal(H) = |H| = {viajero}| = |C|de m →|H m∪ +con 1, el número finitos, el cardinal coincide

Mencionamos en la introducción F13 que si elementos del conjunto, lo novedoso de esta F11 el hotel tiene un número finito de cuartos, el manera 0de↔comprobarlo en 1, 1 |N ↔∪ 2,{0}| · · ·está ,= m |N| ↔ el m hecho + 1, · ·de · . que estar lleno es equivalente a que el número de no requerimos, en ningún momento, de contar F14 F12 huéspedes y el de cuartos coincida. El con- los elementos cada conjunto.

En el ejem1 → 2, 2de →m 4, → 3 → m 6, + ·1,· · , n → 2n, · · · cepto de cardinal de un conjunto generaliza la plo anterior, hemos visto que A y B tienen el n n n n F16 {3 } al segundo en el F17 5 , F18 primo , F19 F15 2 F13 i idea de cantidad de elementos y es la clave para mismo número de elementos sin utilizar F1 que 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, · · · , m ↔ m + 1, · · · . comprender la paradoja. Más específicamen- dicho número es igual {x1 , ax23. , · Esto · · } nos permitirá te, el concepto de cardinal coincide conF1el de extender el concepto de «número» deF2elemenF14 F1 {1, 2,·3,· ·· ,· n · }, → 2n, · · · 1 →un 2, conjunto 2 →N4,= 3 → 6, Hi F21 número de elementos para conjuntosF20 finitos y G tos para infinito. i F22 N = {1, 2, 3, · · · }, F1 ,··· ,G · · · }.nuestro {G1sabemos n hotel n n ,que F2 n in- n Similarmente, permite dar una definición para conjuntos i , F19 N = {1, 2, 3, · · · }, F15 2 F16 {3 } al segundo en el F17 5 , F18 primo F3 F2 que no depende de la acción F23 N =cuarto {1, 2, ·hay · · , un n} huésped, sin pares finitos de contar está lleno si en cada ¿ N = {1, 2, · · · , n} importar la numeración F2 {x1H , xi 2∈,ni ·G · el ·i}?orden de los mis- multiplos de k como la entendemos cotidianamente.

F3 N = {1, 2, · · · , n} paresy este es el = {2, 4, 6, · · · , que 2l, 2ldiferencia + 2, · · · }, punto esencial F3 Estamos considerando dos conjuntos: mos, F4|H| F5 |C| F6 F20 H F21 G F22 i i {2,hotel 4, 6, · está · · , 2l, 2l +conjuntos 2, · · · }, multiplos de kfinitos = {k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F3 los huéspedes pares H y los cuartos=C. El los de 2k, los 3k, infinitos. , · · · }. · · · , kl, kl + k, · · · }.{G1 , · · · , G pares = {2, 4,de 6, ·khuéspedes · · ,=2l, {k, 2l +2k, 2, 3k, · · · }, 1n lleno cuando elmultiplos número de que al agregar F4|H| yF5el |C| F6 La paradoja nos muestra multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F7 F23 ¿ F6 F5 |C| coinciden: |H| el = cardinal |C|. deF4|H| cuartos un huésped, no cambia del conjunA = {a, b Gi ? |H| = |C|.

F4|H| F5 |C| F6 to de los huéspedesHyi ∈ que, con ingenio, podeF7 |H| = |C|.

F8ellos mos establecer biyección entre F7 A = {a, b,una c} ynueva B = {árbol, burro, casa} a ↔ árb Para comprobarlo mecanismo sen- burro, y loscasa} cuartos. En otras 1palabras, si denotamos A =hay {a,un b, c} y B = {árbol, F7 F8 = {a, b, c} y Bocupa = {árbol, F9|H| F10 cillo:A cada huésped un y burro, sólo uncasa} cuarto con H el conjunto losburro, huéspedes y por F8 a↔ árbol, deb ↔ c↔ casa. y por C al conjunto de los cuartos y, como el hotel estáalleno, no sobran cuartos c su ↔ árbol, b ↔ burro, ↔ cardinal casa.

F8 cardinal(H F9|H| F10 tenemos: vacíos.a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa.

F9|H| F10

F11 = |C| cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| 14 F11= |C| cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| F12 F11 |N ∪ {0}| = |N| |N ∪ {0}| = |N| F12

F9|H| F10

F11

F1 F7

N = {1, 2, · · · , n}

N = {1, 2, 3, · · · }, {1, AN === {a, b, 2, c} = {árbol, pares {2, 4, ·6,y· ··B ·, ·n} , 2l, 2l + 2,burro, · · · }, casa} F2 multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F8 2, ·+· ·2,, n} pares 4, 6,N· ·b= ·↔ , {1, 2l,burro, 2l · c· ·↔ }, casa. a=↔ {2, árbol, Mefisto | F5 |C| F6 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F3multiplos de k = {k, |H| = |C|.

F9|H| F10 pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, F5 |C| F6 7 multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.3. Algunas variantes de la paradoja |H| ==|C|. cardinal(H) |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| Una vez establecido el carácter de la paradoja y A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} F4|H| F5 |C| F6 su relación con el concepto de cardinal, pode8 F11 |H| = |C|.

A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} F1 cual, evidentemente, puede |N ∪ {0}|cno = a ↔loárbol, b ↔ burro, ↔|N| casa. ser cierto en mos establecer diferentes variantes de la misF7 N = diversas {1, 2, 3, · propiedades · · }, conjuntos finitos. ma que ejemplifiquen de F12 9|H| F10 A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} sólocen numeración a ↔ árbol,Si pensamos b ↔ burro, ↔lacasa.

F2 de los los conjuntos infinitos. m → m + 1, F8 cardinal(H) cuartos, y al=viajero lo designamos N = {1, 2, · · · , n} = |H| |H ∪ {viajero}| = |C| con el núH| F10 F13 a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa. mero 0, el enunciado lo podemos traducir F3 en: a) Tours infinitos. Al presentar el enunciado, 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, · · · , m ↔ m + 1, · · · . dejamos qué cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| pares abierta la = pregunta {2, 4, 6, · · de · , 2l, 2l +sucede 2, · · · }, F9|H| F10 ∪ {0}| = |N| |N multiplos de kun=tour {k,con 2k, 3k, · , kl, kl + de k, · · · }. cuando arriba una· · infinidad F14 cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, · · · , n → 2n, F4|H| ··· personas y solicita hospedaje. Podríamos reF5 |C| F6 |N ∪ {0}| = |N| n n y la biyección n queda por n petir la misma solución m → m + 1, establecida |H|utilizada = |C|. para un viaF15 F112 F16 {3 } al segundo en el F17 5 , F18 primoi , F19 jero: solicitar al huésped del cuarto n que pase |N ∪ {0}| = |N| F7 m → m +{x 1,1 , x2 , · · · } a ocupar ir introduciendo, en el cuarto 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, · · · , m ↔ m + 1, · · · .

A el =n+1 {a, b,e c} y B = {árbol, burro, casa} F12

que queda vacío, uno a uno, a todos los miembros del tour. Sin embargo, es un procedimiena ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa. to en donde cada turista nada más entrar a su F10 cuarto, tendría que desalojarlo para pasar al siguiente y tendría que hacerlo de forma indecardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| finida antes de poderse acomodar. Podríamos replantear nuestra pregunta, ¿existe una solución similar a la de |N un∪viajero que podamos {0}| =en |N| acomodar al tour en un solo cambio de cuarto?

La respuesta es sí y esmbastante sencilla: → m + 1, Utilizando su altavoz, el botones pide a todinal de Ai es igual al cardinal de B entonces dos los huéspedes que cambien al cuarto cuyo i 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, · · · , m ↔ m + 1, · · · .

A=B, en cambio, 1 número es el doble del que ocupan: Gi ?

Hi ∈ subconjuntos F14 2. si B es infinito admite diferen1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, · · · , n → 2n, · · · 1 tes de él pero con el mismo cardinal. Esta última n n vez realizado este5cambio, todos propiedad caracteriza a los conjuntos infinitos, al segundo en el F17 , F18 primo F19 F15 2n F16 {3n }Una i , los 1 por lo cual puede utilizarse como una definición cuartos pares están ocupados y todos los nones {x1tenemos , x2 , · · · }una infinidad quedaron vacíos y así de ser infinito que no apela a ideas intuitivas.

Para finalizar esta sección, mencionemos F20 Hi F21deGicuartos F22 vacíos, lo cual nos permite alojar a que existe un antecedente curioso a los traba- nuestro tour. {G1 , · · · , Gn , · · · }.

Hemos utilizado implícitamente que el jos de Cantor. Galileo en Diálogos acerca de dos F23 ¿ ciencias nuevas probó que los naturales tienen cardinal de los números naturales es igual al de Hi ∈ Gi ? el mismo cardinal que el conjunto de sus cua- los pares y al de los nones. Dicho de otra madrados y concluyó que en los conjuntos infinitos nera, puede un conjunto infinito ser la unión las igualdades y las desigualdades no funcionan, de dos conjuntos del mismo 1 cardinal y ajenos pero no ahondó en el problema porque no po- entre sí. Más aún, respectivamente los pares y día concebir que se contradijera el axioma de los nones son de la forma 2n y 2n+1; y si cambiamos el 2 por otro número, digamos s, poque el todo siempres es mayor que las partes.

F20 Hi F21 Gi F22 m → m + 1, F8 un· ·apareamiento 0 ↔ dando 1, 1 ↔ 2, · , m ↔ m + 1,del · · ·tipo . · · }.· · · {G6,1 ,· · · ·, ,nG → 1 → 2, 2 → 4, 3 → n , ·2n, F13 n F23 ¿ n F16 {3 } al segundo en0 ↔ el F17 5n ,2,F18 1, 1 ↔ · · · primo , m ↔n ,mF19 + 1, · · · .F9|H| 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, · · · , n → 2n, ·i · · Hi ∈ Gi ?

F14 n ·} F16 {3n } al segundo en el{x F17 primoni , F19 1 , x5 2 , ·, ·F18 Para esta expresemos 1 → 2,acabar 2 → 4, 3 →sección 6, · · · , n → 2n, · · · de diferente lo anterior. n n Hi F21 {x1 , xun · poco · · el } F17 2 , en F16 {3una } almanera segundo F15G2i nF22 1 5n , F18 primoF11 i , F19 Recordemos , · · ·A }.es un subconjunto de B {G1 , · · · , Gnque F21 Gi F22 {x1 , xde · · también } si todos los elementos lo son de 2 , ·A F12 , · · · , G , · · · }. {G 1 n B. Entonces ∈ Gi ? la siguiente propiedad: Hi tenemos F20 Hi F21 G1. i F22 Si A es finito, A es subconjunto de B y el car{G , · · · , Gn , · · · }.

F13 H ∈ G ?1 F23 ¿

15

F1

N = {1, 2, 3, · · · }

Mefisto

F2

N = {1, 2, · · · , n F3

pares = {2, 4, 6, · · · , 2 multiplos de k = {k, 2k, 3k, · ·

F1

F4|H| F5 |C| F6 N = {1, 2, 3, · · · }, |H| = |C|. {1, 2, 3, · · · }, N = {1, 2,F2 3,N· ·=· }, F7 N = {1, 2, · · {a, , n}b, c} y B = {árbol, F2 F2 A ·= {1, 2, · · · , n} N = {1, 2,F3 ·N ·· = , n} F8 pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, F3 F3 a ↔ árbol, b ↔ burro, multiplos de k pares= {2, 4, 6, = · · ·,·2l, pares · · · ,{2, 2l,4, 2l6,+· 2, · },2l + 2, · ·=· }, {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }. de2k, kF4|H| = · {k, 3k, · · · }. multiplos demultiplos kF1= {k, 3k, ·F5 · , 2k, kl, +· ·k,· ·, ·kl, · F9|H| }.kl + k,F10 |C|kl F6 N = {1, 2, 3, · · · }, |H| = |C|.

F4|H| F4|H| F5 |C| F6 F5 |C| F6 cardinal(H) = |H| = |H ∪ {v |H| = |C|.

F2 F7|H| = |C|.

N =A{1, · · b, · ,c} n}y B = {árbol, burro, casa} F11 = 2, {a, F7 F7 |N ∪ {0}| = |N| c}F8 y Bburro, = {árbol, A = {a, = b,{árbol, casa}burro, casa} F3 b, c}A y=B{a, pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, F12 a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa.

F8 F8 multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }. m → m + 1, árbol, b↔ burro, a ↔ árbol, a ↔ b↔ burro, c↔ casa. c ↔ casa.

F9|H| F10 F4|H| F5 |C| F6 F13 F9|H| F10 F9|H| F10 |H| = |C|. = |H| = |H0 ∪ ↔{viajero}| 1, 1 ↔ 2, ·=· ·|C| ,m ↔ m cardinal(H) F1

F1

Galería de Grabados de M.C. Escher. Crédito: The Escher Foundation Collection

cardinal(H) = |H ∪={viajero}| = |C| F7 cardinal(H) = |H| = |H=∪|H| {viajero}| |C| F14 F11A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} → 2, 2 → 4, 3 → 6, · · · , n demos alojar al 1huésped |N ∪ {0}| = |N| F11infinitos colocando a deremos la siguiente opción: mover F11s-1 t tours n F8de s, y del |N } alrealizado segundo en el F17 5n , F18 F15 2n .F16 Una{3vez los huéspedes en los cuartos múltiplos cuarto |N ∪ {0}| = cuarto |N|∪ {0}|n=al|N| F12 a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa. quedarán vacios las1,poal tour i enF12 los cuartosF12 cuyo residuo al dividir este movimiento m todas → m + {x1 , x2 , · · · } F9|H| F10 tencias de m cada número primo diferente de 2 y, por s sea i. Así, por ejemplo, si queremos alojar m →

+ 1, m → m + 1, F13 compuestos.

Desde 7 tours movemos a nuestros huéspedes a los además, todos los números H1, F21 i∪ 0=↔ 1{viajero}| ↔G 2,i ·F22 ·· ,m ↔ m + 1, · · · .

F13 cardinal(H) = |H|F20 |H = |C| F13 cuartos de la forma 8k, al primer tour a los de Euclides se sabe que el conjunto de los números {G1 , · · · , Gn , · · · 0 ↔ 1, 1 ↔ 02,↔ · · ·1,, 1m↔ ↔2,m· ·+· ,1,m· ·↔ · . m + 1, · · · . primos es infinito y por tanto podemos meter al la forma 8k+1, al segundo en los F11 de la forma F14 F23 → ¿2, 2 → 4,numeración 3 → 6, · · · , es n → 2n, · · · F14 los∪1cuartos 8k+2 hastaF14 arribar al séptimo que ocuparán las primer tour en |N {0}| =cuya |N| Hi ∈ Gi ? →3 2, → → 2n, · · en ·en el n 2, 2 8k+7. →1 4, → 2F15 6, → · la · ·4, , 3nF16 → 6, 2n, ·n segundo {3· n· ·}· ·,al segundo 5n ,forma F18 primoni , F19 2forma al losF17 de la de habitaciones con números de 1la → forma F12 nF18 primon , F19 {3n } al eli-ésimo F17 5n ,en el → m +i 1, etcétera. {3n }2nalF16 segundo en segundo el F17 5nen ,, al F18 primo F15 2n F16F15 i , F19 m {x1 , x2 , · · · } Expliquemos lo anterior con un poco más b) Infinitos tours infinitos: ¿qué sucedería 1 {x1 , x2 , · · · } F13 {x , x , · · · } 1 2 de detalle: para construir un conjunto con el si llegara una infinidad de tours de infinitos F20 H0i ↔ F21 1, G 1 i↔F22 2, · · · , m ↔ m + 1, · · · . mismo cardinal que los números miembros? F20 H F21F20 · , Gn , · · · es }. {G1 , · ·naturales H F21 G F22 G F22 i i i i F14 suficiente escribir sus elementos El método que venimos utilizando · · ,que Gn ,podamos · · · }. {G ,··· ,G {G1sólo 1· ,· ·}. n , ·¿ F23 1 →

2, 2 →

4, 3 →

6, · · · , es n → 2n, · · · eleel primer funciona para un número finito de tours; pero en una lista indicando quién Hi ∈ Gi ?

F23 ¿ F23 ¿ el segundo, etcétera: a estas alturas, ya hemos visto suficientes F16 {3nmento, } al segundo en el F17 5n , F18 primoni , F19 F15 2n ejemHi ∈ Gi ? Hi ∈ Gi ?

plos para aceptar que existen muchas maneras {x1 , x2 , · · · } de crear subconjuntos infinitos de los naturales 1 que con un poco de ingenio permiten, unG1 F22 1 F20 HienF21 i y cualquier infinita da lugar a un sólo cambio de cuarto, dejar vacíos una infini{Gsublista 1 , · · · , Gn , · · · }. dad de conjuntos infinitos. Por ejemplo, consi- subconjunto infinito también con el mismo F23 ¿

16

Hi ∈ Gi ?

1

Mefisto

cardinal de los números naturales. Alternativamente, para encontrar un subconjunto de los naturales, con su mismo cardinal, basta dar un primer elemento y una regla que permita dado un número en la lista generar otro que aún no ha sido incluido y, contrariamente a lo que parece en una primera lectura, cualquiera de los dos métodos es fácil de realizar.

como es usual, primero el número de piso y después el número de cuarto. Así el cuarto 8 del piso 7 tiene la numeración 7,8 y el 20 del piso 500, 500,20 y, en general, el cuarto m del piso n será n, m.

La segunda pregunta tiene mayor grado de dificultad. Evidentemente, si comenzamos a numerar por el primer piso nunca llegaremos al segundo, mucho menos, los cubriremos todos. Así que debemos encontrar una manera de ir numerando todos los pisos a la vez.

Observemos que dado un número n tenemos n-1 cuartos i, j cumpliendo i + j = n.

No existe ningún cuarto donde la suma de i y j sea 1; para el 2 tenemos el cuarto 1,1; para el tres tenemos los cuartos 1,2 y 2,1; para el 4 los cuartos 1,3, 2,2, 3,1;...

Ya tenemos nuestra numeración alternativa

c). Infinitos pisos. Cansados de estar movilizando huéspedes, los dueños del hotel decidieron agregar una infinidad de pisos, de tal manera que para acomodar un tour basta con asignarle un piso. Así cuando llega el séptimo tour infinito sólo se le dice acomódese en el séptimo piso.

Sin embargo, se enfrentaron con dos problemas: ¿cómo numerar los cuartos? y, para la temporada baja, ¿podrán realizar una nueva numeración de tal forma que con un solo tour infinito no queden cuartos vacíos?

La primera pregunta tiene una respuesta el cuarto 1 será el 1,1 el 2, 1,2, el tres 2,1 y así muy sencilla, puede realizarse una numeración sucesivamente.

17

Mefisto

“...Pero en vista de que, después de habérseme intimado judicialmente por este Santo Oficio el mandato de que yo debía abandonar por completo la falsa opinión de que el Sol es el centro del mundo y está inmóvil y de que la Tierra no es el centro del mundo y se mueve, y de que yo no debía sostener, defender o enseñar de ninguna manera, verbalmente o por escrito, dicha falsa doctrina, y que después de habérseme notificado que dicha doctrina era contraria a las Sagradas Escrituras, escribí e imprimí un libro en el cual discuto esta nueva doctrina ya condenada, y presento argumentos grandemente convincentes en su favor, sin presentar ninguna solución de ellos, he sido declarado por el Santo Oficio como vehementemente sospechoso de herejía, es decir, por haber sostenido y creído que el Sol era el centro del mundo e inmóvil, y que la Tierra no era el centro y que se movía.”

Retracción de Galileo Galilei (fragmento)

18

pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + pares = {2, 4, 6, ·multiplos · · , 2l, 2l + de2,k· · ·=}, {k, 2k, 3k, · · · , kl, F1 multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · , kl, kl + k, · · · }.

F4|H| F5 2,|C| N = {1, 3, ·F6 · · }, F4|H| F5 |C| F6 |H| = |C|.

F2 |H| = |C|.

Mefisto N F7 = {1, 2, · · · , n} F7 A = {a, b, c} y B = {árbol, burro F3 A = {a, b, c} y B = {árbol, burro, casa} Un conjunto se llama numerable si tiene pares = F8{2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, el mismo cardinal que los números naturales.

F8 multiplos de k = {k, 2k, 3k, · · · ,akl,↔klárbol, + k, · · · b}.↔ burro, c ↔ La idea de la variante anterior nos permite a ↔ árbol, b ↔ burro, c ↔ casa.

F4|H| F5 |C| F6 F10 entender el porqué los números enteros y los CansadosF9|H| de estar F9|H| F10 |H| = |C|. fraccionarios lo son. En efecto, con pequeñas cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero movilizando huéspedes, modificaciones para no tener más deF7 una recardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| dueños hotelburro, casa} Alos = {a, b,F11 c} y Bdel = {árbol, presentación del mismo número, los enteros F11números decidieron agregar una |N ∪ {0}| = |N| F8 pueden pensarse como parejas de |N ∪ {0}| = |N| ainfinidad ↔ árbol, b ↔pisos, burro, de c ↔ casa. naturales n-m y los fraccionarios como n/m y F12 de m → m + 1, el mecanismo anterior nos permiteF12 enlistarlos.

F9|H| F10 tal manera que para m →

m + 1, Entonces, ¿todos los conjuntos infinitos son F13 un tour basta acomodar cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| numerables?

F13 0 ↔ 1,=1|C| ↔ 2, · · · , m ↔ m + 1, F1 con 0 ↔ 1,asignarle 1 ↔ 2, · · · ,un m ↔piso. m + 1, · · · .

F11 N = {1, 2, 3, · · · }, F14 d). Conjuntos no numerables. En F14la cocina |N ∪ {0}| = |N| 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, · · · , n → 2 F2 están hartos: cada huésped quiere un desayuno 1 → 2, 2 → 4, 3n → 6, · · n· , n → 2n, · · · N = {1, 2, 2· · · F16 , n} {3 } al segundo en el F17 5n , F18 prim F15 distinto y no bajan los mismos cadaF12 día. La adn n F15 2 F16 {3 } al segundo en el m F17 → m5n+, F18 1, primoni , F19 hemos ministración ha instalado un F3mecanismo don- huésped del cuarto i y supongamos que {x1 , x2 , · · · } pares = {2, 4, 6, · · · , 2l, 2l + 2, · · · }, F13 todos los posibles grupos de de cada visitante toca un botón rojo si asistirá creado otra lista con {x1 , x2 , · · · } multiplos de k 0 ↔ = 1,{k, 2k,2,3k, ·· ·,·m, kl, kl ++k, ····}..

1F20 ↔ mgrupo 1,··iésimo: inquilinos denotando por al desayuno y uno verde si no lo hará. Ahora H·i ·F21 G↔ F22 i el F20 Hgrupo, F21 Gi F22 F4|H|posible F5 {G1 , · · · , Gn , · · · }. i F6 lo que se necesita es que a cada F14|C| , · · · , Gn , · · · }. {G =14,|C|. incluso cuando nadie asista, se le asigne un nú1 → 2, |H| 2F23 → ¿ 3 → 6, · · · , n → 2n, · · · mero en una lista para preparar F23 F7 exactamente F15 ¿2n F16 {3n } al segundo en el F17 5n , F18 primoni , F19 Hi ∈ Gi ?

Gi ? preguntas, H siguientes ¿perlos desayunos solicitados. Un día, por ejemplo,A = {a,Hagamos b, c} y B =las{árbol, casa} i ∈ burro, {xdel , · · · } 1 al grupo 1 de pueden bajar sólo los inquilinosF8de los cuartos tenece el inquilino 1 , x2cuarto 1 pares, otro los de los cien primeros cuartos y el a desayuno?, ↔ árbol, b¿el ↔turista burro, delc cuarto ↔ casa.2 al segundo F20 H F21 G F22 1 i i grupo?, en general, ¿pertenece el huésped i al cocinero quiere asignarle a cada combinación {G1 , · · · , Gn , · · · }.

F9|H| F10 F3

posible un único número, pero no encuentra la grupo i ? en símbolos : F23 ¿ forma de hacerlo, ¿podremos auxiliarlo? cardinal(H) = |H| = |H ∪ {viajero}| = |C| H i ∈ Gi ?

Ya acostumbrados a que todo tiene soluF11a pensar que la ción sencilla, estamos tentados ∪ {0}| =divide |N| a los huéspedes en Esta |N pregunta solución al ejemplo anterior vuelve a ser sólo 1 una ingeniosa forma de realizar F12 la lista solici- dos clases ajenas: aquellos para los cuales la m + 1, y para los que es nerespuesta m es → afirmativa tada; sin embargo, no es posible realizarla.

Para probar este hecho,F13 supongamos que gativa. Ahora bien, el conjunto formado por existe una lista que incluye a todos los grupos y 0la↔segunda 1, 1 ↔ 2,opción · · · , m X, ↔ es m decir + 1, · ·por · . los huéspevamos a construir, a partir de ella, un elemen- des cuyo número de cuarto no coincide con F14 el 2, de 2desayuno, no puede provenir de nadie. to nuevo que no pertenece a dicha lista. Dicho 1 → → 4, 3 → 6, · · · , n → 2n, · · · F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26 en otras palabras, cualquier lista que podamos En efecto, si existiera j cumpliendo n n n n F16 {3 } al segundo en el F17 5 , F18 primo , F19 F15 2 N siF31P (N). i contradicción: construir con los posibles grupos de desayuna- arribaríamos a una F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F32 F26Hj ̸∈ X F27H F31P (N).

Simi-j ̸∈ X F28 Hj ∈ X entonces deF26H X: F32 dores es incompleta.

F24 X =por Gj ,definición F25 HNj ∈ X j ̸∈ X .F27H {x 1 x2 , · · · } A = {1, 2} N F31P (N).

F32 X = Gj F25 X F26H F28 definición Hj ∈ X F33 F29 F30 de N X tenelarmente, si j ̸∈ X por Consideremos F24 la numeración deHlos j ∈huésj ̸∈ X F27H {1,casos 2} F31P (N).

P (A) = F20 H F21 Gi jF22 al y enNcualquiera de A los=dos F24 X =dada Gj F25 X F26H ̸∈ iXdenotará F27H ̸∈ X mos F28 Hj ∈ X F29 F30 pedes por H sus cuartos, asíj F32 jN∈ F33 N F31P (N). F32 F33 F34

A = {1, , · · · , Gn , · · · }. {G12} P (A) = {∅, {1}, {2}, F33 F34 A = {1, 2} {1, 2}}, F33 F23 ¿ F34 P (A) = {∅, {1}, {2}, 19 P (A) =F34 {∅, {1}, {2}, 2}}, ∈G Hi{1, i? |A| < |P (A)| F35 P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, |A| < |P (A)|.

F34 F35 |A| {x : x ̸∈ f (x) F35< |P (A)|.

F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ̸∈ X F27Hj ̸∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 N F31P (N). F32 A = {1, 2}

Mefisto

F33 P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34

no proviene de nadie ¡No todos los conjuntos |A| < |P (A)|. infinitos tienen el mismo cardinal! Y, de hecho, F35 podemos infinidad deF28 conjuntos F24 X = Gj F25 Hj ∈ Xconstruir F26Hj ̸∈ una X F27H Hj ∈ X F29 N F30 j ̸∈ X {x : x ∈ ̸ f (x)} N F31P (N). F32de diferente cardinal: F36 F33 F37 F34

A = {1, 2} |N| < |P (N), < · · · < |P (P (N))|, · · ·

P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, Por otro lado, probó que |N| Cantor < |X| <también |R|?

el cardinal de los|A| números reales es más grande < |P (A)|.

Fórmulas Fausto que el de los naturales, quedando abierta una { ′ F35 F1 = x −propio vt, Cantor y a x pregunta que obsesionó al {x y: ′x ̸∈=f (x)} y,

(1)

muchos expertos en conjuntos posteriores: La F36 ¿existe conjunto X siendo x=x(t)hipótesis y y=y(t)del las continuo: coordenadas en elun sistema de referencia en tierra, |N| < |P (N), < · · · < |P (P (N))|, · · · cumpliendo  x’=x’(t’) y y’=y’(t’) F37

David Hilbert

x′ = √ x−vt2 2 ,   1−v /c  < |R|? |N| y<′ |X| = y, 2  ′   t = √t−vx/c .

Fórmulas Fausto 1−v 2 /c2 La respuesta F1 { ′ no es menos sorprendente, = xque − vt, hemos arribado a un absurdo. en 1938 Gödelxprobó si la hipótesis del ′ = y, y Al considerar todos los posibles grupos de continuo es cierta, la teoría de conjuntos que-

(1)

huéspedes, en realidad, estamos considerando libre las de contradicciones, losde axiomas siendo x=x(t) y da y=y(t) coordenadas en elsegún sistema referencia en tierra, x’=x’(t’) , lo los posibles subconjuntos de NXF30 deHZermelo-Fraenkel-Axioma deXElección.

25 Hj ∈ X F26Hjtodos ̸∈ X F27H Hj ∈ X F29 j ̸∈ X F28 F24 = yque Gy’=y’(t’) F28 Hj Sin ∈ X F29 N F30  ′ j ̸∈ X F27H j F25 j ∈ X F26H j ̸∈ x−vt √ x = ,  2 y Xse F27H denoseF24 conoce como de N Paul Cohen (N). jF32 X=G ̸∈ embargo, X F28 Hjen∈ X F29 N F30  j F25laHpotencia j ∈ X F26H j ̸∈F31P 1−v 2 /c2 probó que si se 1963 ′ A = {1, 2} 2} F32general, dado un conjunto A supone falso tampoco F31P (N). En taN por dichos axioy,contradice y A== {1, 2  t−vx/c A = {1, 2} ′  definimos su potencia P(A) como el conjunto mas. Es decir,  tcon=los√axiomas . mencionados, F33 1−v 2 /c2 formado por de2}}, conjuntos váP (A) = {∅, {1}, {2}, {1,todos 2}}, los subconjuntos de A, por puede construirse P (A) = {∅,una {1},teoría {2}, {1, F33 F24 X = G F25 H ∈ X F26H ∈ ̸ X F27H ∈ ̸ X F28 H ∈ X F29 N F30 ejemplo lida verdadero o falso dicho enunF24 X = Gjj F25 Hjj ∈ si X F26Hjj ̸∈ X F27H X {1}, F28 {2}, Hjj ∈{1,X2}}, F29suponiendo N F30 P (A) jj≠∈{∅, F34 N F31P (N).

F32 N F31P (N). F32 ciado. |A|F34 < |P (A)|. |A| < |P (A)|.

A A= = {1, {1, 2} 2} En conclusión, el uso de los conjuntos in|A|X<F28 |P (A)|.

F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ̸∈ X F27Hj ̸∈ Hj ∈ X F29 N F30 F35 F33 entonces finitos es necesario para la construcción de la F33 N F31P (N). {x F32 : x ̸∈ f (x)} {x : x ̸∈ f2(x)} F35 P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, matemática. A nivel elemental basta entenderP (A) = {∅, {1}, A= {1,{2}, 2} {1,{x2}}, : x ̸∈ f (x)} F36 los de forma intuitiva, pero en cierto grado de F34 F34 F24 H X(PF26H X F27Hj ̸∈ X F28 Hj ∈ X F29|N| N< F30 F33 j F25 j<∈|P j ̸∈ |N|X <= |P G (N), < · · · (N))|, · · · |P · · · < |P (P (N))|, ··· F36 y siempre, se trate de conjuntos finitos o infi- desarrollo es(N), muy< importante formalizarlos y |A| < |P (A)|. |A| < |P (A)|.

N F31P (N). F32 P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, |N| < |P (N), < · · · < |P (P (N))|, · · · nitos dicha formalidad ha abierto un nuevo campo F37 A = {1, 2} F35 F35 F34 |N| <F37 |X| < |R|? |N| < |X| < |R|?de la filosofía, en de las matemáticas, e incluso {x x (x)} {x x ̸∈ ̸∈ (x)} F33 |Pff(A)|. |A|:: < |N| < |X| < |R|? donde todavía queda mucho camino por recoausto P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}},Fórmulas Fausto F36 F36 F35 paraFausto cualquier apareamiento f que rrer. { ′En efecto, F1 Fórmulas { ′ |N| |P (N), < ·· ··̸∈·· < |P (P (N))|, ·· ·· ·· |N| < |P (N), < < |P (P (N))|, = F1 x −< vt, x hagamos F34 {x : x f (x)} x = x − vt, entre elementos de A y de su potencia { ′ (1) 2 (1) ′ = y, y P(A), y ′ = y, F37 F37 el conjunto|A| < |P (A)|. x = x − vt, F36 (1)

y ′en = |N| < |R|? |N| < < de |X| <|P |R|? y y=y(t) en<el|P sistema tierra, F35 las coordenadas|N| (N), ·|X| · ·referencia << (P (N))|, · · y, ·x=x(t) y y=y(t) las coordenadas en el sistema de referencia en tierra, siendo y’(t’) Fórmulas {x : x ∈ ̸ f (x)} x’=x’(t’)enyely’=y’(t’) siendo x=x(t) y y=y(t) las coordenadas sistema de referencia  Fausto Fausto  ′ en tierra, F37Fórmulas x−vt ′ √ x = ,  x = √ x−vt2 2 , x’=x’(t’) y y’=y’(t’)  F1   ′ 1−v 2 /c2 { F36F1  {|N| ′′< |X| < |R|?  1−v /c  x vt, x x(N))|, = · ·√· x−vt2 2 , = x<− −|P vt, x <= ′ y ′ = y,|N| < |P (N),  (1) · · · (P = y, y 1−v /c (1)  yy′′ = Fórmulas  2 = y, y,  t−vx/c2 ′ ′ Fausto√  ′   = y, y = . t √t−vx/c  = . t 2 2 20 F37F1 1−v /c { 2 1−v 2 /c2  t−vx/c siendo en el sistema de referencia en tierra, ′  ′ siendo x=x(t) x=x(t) yy y=y(t) y=y(t) las las coordenadas coordenadas en el sistema de referencia en tierra, √  = . t = x − vt, x < |X| < |R|? |N| 1−v 2 /c2 (1) x’=x’(t’) x’=x’(t’) yy y’=y’(t’) y’=y’(t’)   y′′ ′ = √y,x−vt x−vt x , Fórmulas Fausto  x = = √1−v  2 2,  2 /c  1−v /c2sistema de referencia en tierra,  siendo x=x(t) y y=y(t) las coordenadas en el F1

Mefisto

Frases célebres ¿Qué es el hombre dentro de la naturaleza? Nada con respecto al infinito. Todo con respecto a la nada. Un intermedio entre la nada y el todo.

Vivir plenamente produce un cansancio infinito, pero muy gratificante.

Blaise Pascal (1623-1662) Matemático francés.

Ramón Buenaventura (1940-) Escritor español.

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

A la proporción, semejanza, unión e identidad del infinito no te acercas más siendo hombre que siendo hormiga.

Isaac Newton (1642-1727) Matemático y fìsico inglés.

Giordano Bruno (1548-1600) Filósofo y poeta italiano.

Todo el mundo quisiera vivir largo tiempo, pero nadie querría ser viejo.

Jonathan Swift (1667-1745) Escritor irlandés.

Cuando un anciano y distinguido científico afirma que algo es posible, casi seguro que tiene razón.

Cuando afirma que algo es imposible, probablemente está equivocado.

Arthur C. Clarke (1917-2008) Escritor inglés (también atribuida erróneamente a Einstein).

21

Mefisto

Acertijos 1. En una población, las placas de los coches deben tener 3 letras y 3 números. Los números pueden repetirse, en cambio los números deben ser distintos, aunque éstos pueden ir antes o después que las letras ¿Cuántas placas diferentes es posible formar con estas restricciones?

8

6

3. Carolina anota en un papel el número de teléfono de su amiga Giovana, pero al llegar a su casa nota que dos de los números se borraron por unas gotas de agua que le cayeron, ¿cuántos números diferentes tendría que marcar Carolina para asegurarse de que alguno de ellos sea el número de Giovana?

22

2. Diana tiene 4 amigas y 4 discos de música para regalárselos ¿De cuántas formas diferentes puede distribuir los discos entre sus amigas?

5 3

4. En un grupo de 24 alumnos se van a repartir 3 premios, ¿cuántas posibles combinaciones existen para los ganadores, si no pueden ganar más de un premio?

Mefisto Soluciones a los anteriores

1. Sea x la capacidad del vaso. Entonces, al 2. Sea x el número de alumnos en el salón. principio hay x/2 ml de agua. Y cuando se Como cada alumno entrega x-1 tarjetas, se enagregan 40 ml, se completan 2/3 x, lo cual se tregaron F2 x(x − 1). Entonces se cumple F3 escribe como x(x − 1) = 110.

Resolviendo esta ecuación se obtiene x=240.

4

9

0

2

Resolviendo esta ecuación se obtiene x=11 o x=-10. Descartando la solución negativa, hay 11 alumnos.

3. Sabemos que Sofía es 3 años mayor que Pa- 4. Si la edad del papá es x, la de Isaac es y=x/3. blo, y que éste es 2 años mayor que Carmen, Dentro de 5 años tendrán x+5 y y+5, y se cumpor lo cual Sofía es 5 años mayor que Carmen. ple que F4 x+5 Entonces, cuando Carmen tenía 7 años, Sofía , y+5= tenía 12.

2 o bien F5

x+5 x +5= .

3 2

Resolviendo, obtenemos x=15, y=5. Edades para padre e hijo.

2 3

23

Mefisto

Sudoku Fácil 1 5 4 2 9 7 5 3

9 2 7 1 3 1 6 5 1 7 1 5 6 2 4 9 7 1 3 9 4 7 8 6 4

4 8 6 3 1 9 7

4 5 1 6 7 3 2 8 9

6 2 3 8 5 9 1 4 7

Solución al anterior

7 8 9 4 1 2 6 3 5

5 9 7 2 3 8 4 1 6

2 1 6 9 4 7 3 5 8

8 3 4 1 6 5 9 7 2

3 6 2 5 8 1 7 9 4

1 4 8 7 9 6 5 2 3

9 7 5 3 2 4 8 6 1

Difícil Solución al anterior

2 9 7 8 3 1 4 5 6 24

4 8 1 5 6 9 2 3 7

6 5 3 7 2 4 8 1 9

3 1 2 4 9 5 6 7 8

9 7 5 6 8 2 3 4 1

8 4 6 1 7 3 5 9 2

1 2 4 9 5 6 7 8 3

5 3 8 2 1 7 9 6 4

7 6 9 3 4 8 1 2 5

2 5 7

4

8

5 7

9

2

3

1

6 7

4 1

9

4

2

1

7

3 9

8

2

6 1