Cielo de verano

Mefisto

El cielo de verano

Fases de la Luna

Julio

8 Luna llena 16 Cuarto menguante 23 Luna nueva 30 Cuarto creciente

Agosto

7 Luna llena 14 Cuarto menguante 21 Luna nueva 29 Cuarto creciente

Septiembre

6 Luna llena 13 Cuarto menguante 20 Luna nueva 27 Cuarto creciente

Mefisto

Planetas

Mercurio en Leo Venus en Géminis Marte en Cáncer Júpiter en Virgo Saturno en Escorpión Urano en Piscis Neptuno en Acuario

Lluvias de estrellas

Alfa Capricórnidas 27, de julio Delta Acuáridas, 30 de julio Perséidas, 12 de agosto Kappa Cígnidas,17 de agosto

F4|H| F5

F9|H|

Mefisto

F1

Este procedimiento se puede establecer N = {1, 2, 3, ···}, F2 para cualesquiera dos conjuntos. Diremos que ...sabemos que nuestro dos conjuntos tienen el mismo cardinalN = {1, 2, ··· ,n} si poF3F1hotel está lleno si en cada demos establecer una biyección entre ellos, esto F4|H F2 cuarto hay un huésped sin importar la numeración ni el orden de los mismos | F5 |C es, si podemos aparear los elementos de uno con los del otro de tal forma que a cada uno le corresponda uno y sólo uno y no sobren elementos. Por ejemplo, los conjuntos: pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···} | F6 |H| = |C|. N = {1, 2, 3, ···}, N = {1, 2, ··· ,n} . F3 y este es el punto esencial F7 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, que diferencía los A = {a,b,c}multiplosde k = y { B =k, 2k, {´arbol3k, ···, burro,,kl,kl casa+ k, } ···}. F4conjuntos finitos de los infinitos. | F8H| F5 |C| a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. tienen el mismo cardinal porque podemos aparear los elementos de uno con el otro, por F6 |H| = |C|. F9F7 |H| F10ejemplo, a cada letra en A le asociamos la pricardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| =mera letra de la palabra en B: A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa}|C| F8 sus contemporáneos: fue uno más de los genios F11 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. incomprendidos en su época. F9|H| F10 |N ∪{0}| = |N| F12 Claramente, cuando se tienen conjuntos 2. Cardinales m → m +1,cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| finitos, el cardinal coincide con el número de Mencionamos en la introducción que si el hotel tiene un número finito de cuartos, el F13F11 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· .|N ∪{0}| = |N| elementos del conjunto, lo novedoso de esta manera de comprobarlo está en el hecho de que estar lleno es equivalente a que el número de huéspedes y el de cuartos coincida. El concepto de cardinal de un conjunto generaliza la F14F12 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ···m → m +1, no requerimos, en ningún momento, de contar los elementos de cada conjunto. En el ejemplo anterior, hemos visto que A y B tienen el idea de cantidad de elementos y es la clave para F152n F16F13 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 mismo número de elementos sin utilizar que F1 comprender la paradoja. Más específicamente, el concepto de cardinal coincide con el de número de elementos para conjuntos finitos y permite dar una definición para conjuntos infinitos que no depende de la acción de contar F1 F2 F1 N = {1, 2, 3, ···}, F2 N = {1, 2, 3, ···}, F20 Hi F21 F23¿ F14 F152n F16 { N = {1, 2, 3, ···}, N = {1, 2, ··· ,n} {x1,x2, ···} Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· 3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 dicho número es igual a 3. Esto nos permitirá extender el concepto de «número» de elementos para un conjunto infinito. Similarmente, sabemos que nuestro hotel está lleno si en cada cuarto hay un huésped, sin F2 F3 pares como la entendemos cotidianamente. Estamos considerando dos conjuntos: los huéspedes H y los cuartos C. El hotel está lleno cuando el número de huéspedes F3 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. F4|H| F5 |C| F6y el N = {1, 2, ··· ,n} F3 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. N = {1, 2, ··· ,n} pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, Hi ∈ Gi? 1 {x1,x2, ···} F20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. importar la numeración ni el orden de los mismos, y este es el punto esencial que diferencia los conjuntos finitos de los infinitos. La paradoja nos muestra que al agregar multiplosde F4|H| F5 |C| F6 k de cuartos F4|H| F5 |multiplosde C k | F6 coinciden: = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl +F23¿ k, ···}. |H| = |C|. un huésped, no cambia el cardinal del conjun F7 |C| F6 |H| = F7 |C|. Hi ∈ Gi? to de los huéspedes y que, con ingenio, podeA = {a,b,c F7 |H| = |C|. A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} mos establecer una nueva biyección entre ellos F8

F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. Para comprobarlo hay un mecanismo sencillo: cada huésped ocupa un y sólo un cuarto y, como el hotel está lleno, no sobran cuartos vacíos. 1 y los cuartos. En otras palabras, si denotamos con H el conjunto de los huéspedes y por F9|H| F10 su cardinal y por C al conjunto de los cuartos tenemos: a ↔ ´arbol cardinal(H F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| F11 = |C| 14 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C|

F11 cardinal(H)= |H| = |H ∪{ F11viajero}| = |C| |N ∪{0}| = |N| F12

F12 |N ∪{0}| = |N | | N F12∪{0}| = |N| F13

F7 pares F1 A | | | | = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, N = {1, 2, ··· ,n} = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, { , , , ···}, N = {1, 2, ··· ,n}N = {1, 2, 3, ···}, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| F11 |N ∪{0}| = |N| lo cual, evidentemente, no puede ser cierto en conjuntos finitos. multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. | F5 |C| F6 |H| = |C|. F7 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. F5 |C| F6 |H| = |C|. A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F2 N = {1, 2, ··· ,n} F3 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···} F4|H| F5 |C| F6 |H| = |C|. F7 F1 . Mefisto 3. Algunas variantes de la paradoja Una vez establecido el carácter de la paradoja y su relación con el concepto de cardinal, podemos establecer diferentes variantes de la misma que ejemplifiquen diversas propiedades de N = {1, 2, 3, ···}, F12 m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . Si pensamos sólo en la numeración de los cuartos, y al viajero lo designamos con el número 0, el enunciado lo podemos traducir en: F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 F2 F3 los conjuntos infinitos. a) Tours infinitos. Al presentar el enunciado, dejamos abierta la pregunta de qué sucede N = {1, 2, ··· ,n} pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···},

F14 |N ∪{0}| = |N| cuando arriba un tour con una infinidad de multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}.

F152 F11 F12 n F16 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 {x1,x2, ···} m → m +1, 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . y la biyección queda establecida por |N ∪{0}| = |N| m → m +1, cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C |N ∪{0}| = |N| F4|H| F7 | F5 | personas y solicita hospedaje. Podríamos repetir la misma solución utilizada para un viajero: solicitar al huésped del cuarto n que pase a ocupar el n+1 e ir introduciendo, en el cuarto que queda vacío, uno a uno, a todos los miemC| F6 |H| = |C|. A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa}

F20 Hi F13 F21 Gi 1 → 0 ↔ F22 {G1, ··· ,Gn, ···}.2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . dando un apareamiento del tipo m → m +1, F8 bros del tour. Sin embargo, es un procedimiento en donde cada turista nada más entrar a su a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa.

F23¿n F16 {3n F16 {3n}F14 Hi ∈ Gi? } alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 {x1,x2, ···} 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· Para acabar esta sección expresemos de F9|H| cuarto, tendría que desalojarlo para pasar al siguiente y tendría que hacerlo de forma indefinida antes de poderse acomodar. Podríamos F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| Hi F21 Gi F152 F22n F16 { 1 {G1, ··· ,Gn, ···}. {x1,x2, ···}3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19una manera un poco diferente lo anterior. Recordemos que A es un subconjunto de B F11 replantear nuestra pregunta, ¿existe una solución similar a la de un viajero en que podamos |N ∪{0}| = |N|

F21 Gi F20 F22 Hi F21 Hi ∈ Gi?{G1, ··· ,Gn, ···}. {x1,x2, ···} Gi F22 si todos los elementos de A también lo son de B. Entonces tenemos la siguiente propiedad: 1. Si A es finito, A es subconjunto de B y el carF12 acomodar al tour en un solo cambio de cuarto? La respuesta es sí y es bastante sencilla: Utilizando su altavoz, el botones pide a tom → m +1,

F23¿ 1 Hi ∈ Gi?{G1, ··· ,Gn, ···}.dinal de A es igual al cardinal de A=B, en cambio, B entonces F13 dos los huéspedes que cambien al cuarto cuyo número es el doble del que ocupan: 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . 2. si Hi ∈ Gi?B es infinito admite subconjuntos diferen-F14 1 tes de él pero con el mismo cardinal. Esta última 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· 1 propiedad caracteriza a los conjuntos infinitos, por lo cual puede utilizarse como una definición F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19Una vez realizado este cambio, todos los cuartos pares están ocupados y todos los nones de ser infinito que no apela a ideas intuitivas. {x1,x2, ···} quedaron vacíos y así tenemos una infinidad Para finalizar esta sección, mencionemos que existe un antecedente curioso a los trabaF20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. de cuartos vacíos, lo cual nos permite alojar a nuestro tour. jos de Cantor. Galileo en Diálogos acerca de dos Hemos utilizado implícitamente que el ciencias nuevas probó que los naturales tienen el mismo cardinal que el conjunto de sus cuaF23¿ Hi ∈ Gi? cardinal de los números naturales es igual al de los pares y al de los nones. Dicho de otra madrados y concluyó que en los conjuntos infinitos nera, puede un conjunto infinito ser la unión las igualdades y las desigualdades no funcionan, 1 de dos conjuntos del mismo cardinal y ajenos pero no ahondó en el problema porque no po- entre sí. Más aún, respectivamente los pares y día concebir que se contradijera el axioma de los nones son de la forma 2n y 2n+1; y si camque el todo siempres es mayor que las partes. biamos el 2 por otro número, digamos s, po-

Mefisto

F2 N = {1, 2, 3, ···} N = {1, 2, ··· ,n

F3

pares multiplosde k {2, 4, 6, ··· , 2 {k, 2k, 3k, ···

F1 F4|H| F5 |C| F6 F1 F1 N = {1, 2, 3, ···}, |H| = |C|. N = {1, F22, 3, ···},N = {1, 2, 3, ···}, F7 F2 F2 N = {1, A2, = ···{a,b,c,n} } y B = {´arbol, F3 pares F3 N =pares F8F3 pares multiplosde k = {1, 2, ··· ,n} {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, N = {1, 2, ··· ,n} = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, = = ···}, {2, {k, a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. F4|H| F5 |C| F6multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k,multiplosde k = {k, 2k, 3k, ···F1 F9|···}. ,kl,klH| F10+ k, ···}. F4|H| F5 |C| F4F6|H| F5 |C| F6 N = {1, 2, 3, ···}, |H cardinal(| = |C|. H)= |H| = |H ∪{viajero F2 |H| = |CF7 |. |H| = |C|. demos alojar s-1 t tours infinitos colocando a deremos la siguiente opción: mover al huésped F11 |N ∪{0}| = |N| F12 m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| F11 |N ∪{0}| = |N| F7 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| F11 F7 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| F11 N = {1, 2, ··· ,n} F3 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. F4|H| F5 |C| F6 |H| = |C|. F7 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa} Galería de Grabados de M.C. Escher. Crédito: The Escher Foundation Collection los huéspedes en los cuartos múltiplos de s, y al tour i en los cuartos cuyo residuo al dividir por s sea i. Así, por ejemplo, si queremos alojar 7 tours movemos a nuestros huéspedes a los cuartos de la forma 8k, al primer tour a los de la forma 8k+1, al segundo en los de la forma 8k+2 hasta arribar al séptimo que ocuparán las habitaciones con números de la forma 8k+7. b) Infinitos tours infinitos: ¿qué sucedería del cuarto n al cuartoF152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primo {x1,x2, ···} F20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···} F23¿ Hi ∈ Gi? 1 . Una vez realizado este movimiento quedarán vacios todas las potencias de cada número primo diferente de 2 y, además, todos los números compuestos. Desde Euclides se sabe que el conjunto de los números primos es infinito y por tanto podemos meter al primer tour en los cuartos cuya numeración es de la forma F12 m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 {x1,x2, ···} al segundo en los de la forma |N ∪{0}| = |N| F12 m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19, al i-ésimo en el |N ∪{0}| = |N| F12 m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 etcétera. Expliquemos lo anterior con un poco más F8 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. F9|H| F10 cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| F11 |N ∪{0}| = |N| F12 m → m +1, si llegara una infinidad de tours de infinitos miembros? El método que venimos utilizando sólo funciona para un número finito de tours; pero a estas alturas, ya hemos visto suficientes ejemplos para aceptar que existen muchas maneras F20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. F23¿ Hi ∈ Gi? {x1,x2, ···} F20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. F23¿ Hi ∈ Gi? {x1,x2, ···} F20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. F23¿ Hi ∈ Gi? de detalle: para construir un conjunto con el mismo cardinal que los números naturales es suficiente que podamos escribir sus elementos en una lista indicando quién es el primer elemento, el segundo, etcétera: F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 de crear subconjuntos infinitos de los naturales {x1,x2, ···} 1 que con un poco de ingenio permiten, en un sólo cambio de cuarto, dejar vacíos una infinidad de conjuntos infinitos. Por ejemplo, consi1 1F20 Hi F21 Gi F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. y cualquier sublista infinita da lugar a un subconjunto infinito también con el mismo F23¿

Hi ∈ Gi?

Mefisto

cardinal de los números naturales. Alternativamente, para encontrar un subconjunto de los naturales, con su mismo cardinal, basta dar un primer elemento y una regla que permita dado un número en la lista generar otro que aún no ha sido incluido y, contrariamente a lo que parece en una primera lectura, cualquiera de los dos métodos es fácil de realizar.

c). Infinitos pisos. Cansados de estar movilizando huéspedes, los dueños del hotel decidieron agregar una infinidad de pisos, de tal manera que para acomodar un tour basta con asignarle un piso. Así cuando llega el séptimo tour infinito sólo se le dice acomódese en el séptimo piso. Sin embargo, se enfrentaron con dos problemas: ¿cómo numerar los cuartos? y, para la temporada baja, ¿podrán realizar una nueva numeración de tal forma que con un solo tour infinito no queden cuartos vacíos?

La primera pregunta tiene una respuesta muy sencilla, puede realizarse una numeración como es usual, primero el número de piso y después el número de cuarto. Así el cuarto 8 del piso 7 tiene la numeración 7,8 y el 20 del piso 500, 500,20 y, en general, el cuarto m del piso n será n, m.

La segunda pregunta tiene mayor grado de dificultad. Evidentemente, si comenzamos a numerar por el primer piso nunca llegaremos al segundo, mucho menos, los cubriremos todos. Así que debemos encontrar una manera de ir numerando todos los pisos a la vez.

Observemos que dado un número n tenemos n-1 cuartos i, j cumpliendo i + j = n.

No existe ningún cuarto donde la suma de i y j sea 1; para el 2 tenemos el cuarto 1,1; para el tres tenemos los cuartos 1,2 y 2,1; para el 4 los cuartos 1,3, 2,2, 3,1;...

Ya tenemos nuestra numeración alternativa

el cuarto 1 será el 1,1 el 2, 1,2, el tres 2,1 y así sucesivamente.

Mefisto

“...Pero en vista de que, después de habérseme intimado judicialmente por este Santo Ofi cio el mandato de que yo debía abandonar por completo la falsa opinión de que el Sol es el centro del mundo y está inmóvil y de que la Tierra no es el centro del mundo y se mueve, y de que yo no debía sostener, defender o enseñar de ninguna manera, verbalmente o por escrito, dicha falsa doctrina, y que después de habérseme notifi cado que dicha doctrina era contraria a las Sagradas Escrituras, escribí e imprimí un libro en el cual discuto esta nueva doctrina ya condenada, y presento argumentos grandemente convincentes en su favor, sin presentar ninguna solución de ellos, he sido declarado por el Santo Ofi cio como vehementemente sospechoso de herejía, es decir, por haber sostenido y creído que el Sol era el centro del mundo e inmóvil, y que la Tierra no era el centro y que se movía.” Retracción de Galileo Galilei (fragmento)

F3 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2 pares = {2, 4, 6, multiplosde··· , 2l, 2l +2k =, ···}, {k, 2k, 3k, ··· ,kl,klF1 multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}.F4|NH|= F5{1, |C|2, 3, F6 ···},F4|H| F5 |C| F6 |H| = |C|. F2 N F7 |H| = {1 = , 2 |C|. , ··· ,n} Mefisto F7 A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro Un conjunto se llama numerable si tiene el mismo cardinal que los números naturales. F8 F3 A = {a,b,c} pares = multiplosde k = F8 a ↔ ´arbol, b y B = {´arbol, burro, casa}{2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}↔. burro, c ↔ La idea de la variante anterior nos permite a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa. entender el porqué los números enteros y los fraccionarios lo son. En efecto, con pequeñas F9|H| F10 F4|H| F5 |C| F6 F9|H| F10 cardinal( |H| = |C|. Cansados de estar movilizando huéspedes, H)= |H| = |H ∪{viajero modificaciones para no tener más de una representación del mismo número, los enteros pueden pensarse como parejas de números F11 F7 F8 F11 |N cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C|A = {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa}los dueños del hotel decidieron agregar una ∪{0}| = |N| naturales n-m y los fraccionarios como n/m y F12 |N ∪{0}| = |N|a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔infinidad de pisos, de casa. el mecanismo anterior nos permite enlistarlos. F12F9|H| F10 tal manera que para m → m +1, Entonces, ¿todos los conjuntos infinitos son numerables? d). Conjuntos no numerables. En la cocina están hartos: cada huésped quiere un desayuno distinto y no bajan los mismos cada día. La administración ha instalado un mecanismo donde cada visitante toca un botón rojo si asistirá al desayuno y uno verde si no lo hará. Ahora F1 N = {1, 2, 3, ···}, F2 N = {1, 2, ··· ,n} F3 pares = {2, 4, 6, ··· , 2l, 2l +2, ···}, multiplosde k = {k, 2k, 3k, ··· ,kl,kl + k, ···}. huésped del cuarto i y supongamos que hemos creado otra lista con todos los posibles grupos de inquilinos denotando por F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2 F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primo {x1,x2, ···} F20 Hi F21 Gi F22 el grupo iésimo: m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· F152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 {x1,x2, ···} cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C| F11 |N ∪{0}| = |N| F12 m → m +1, F13 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· . acomodar un tour basta con asignarle un piso. lo que se necesita es que a cada posible grupo, F4|H| F5 |C| F6F20 Hi F21 GiF14 F22 {G1, ··· ,Gn, ···}. incluso cuando nadie asista, se le asigne un nú- 1 → 2,|H| = |C|.F23¿ {G1, ··· ,Gn, ···}.2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ··· mero en una lista para preparar exactamente los desayunos solicitados. Un día, por ejemplo, F7 A F23¿ F152n F16 { = 3n {a,b,c} y B = {´arbol, burro, casa}Hi ∈ Gi? Hagamos las siguientes preguntas, ¿per} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 Hi ∈ Gi? pueden bajar sólo los inquilinos de los cuartos F8 tenece el inquilino del cuarto {x1,x2, ···} 1 al grupo 1 de pares, otro los de los cien primeros cuartos y el cocinero quiere asignarle a cada combinación F20 Hi F21 a ↔ ´arbol, b ↔ burro, c ↔ casa.1 desayuno?, ¿el turista del cuarto 2 al segundo grupo?, en general, ¿pertenece el huésped i al Gi F22 1 posible un único número, pero no encuentra la F9|H| F10 grupo i ? en símbolos : {G1, ··· ,Gn, ···}. forma de hacerlo, ¿podremos auxiliarlo?F23¿ cardinal(H)= |H| = |H ∪{viajero}| = |C|

Ya acostumbrados a que todo tiene soluHi ∈ Gi? ción sencilla, estamos tentados a pensar que la F11 solución al ejemplo anterior vuelve a ser sólo |N ∪{0}| = |N| Esta pregunta divide a los huéspedes en una ingeniosa forma de realizar la lista solici F12 1 dos clases ajenas: aquellos para los cuales la tada; sin embargo, no es posible realizarla. m → m +1, respuesta es afirmativa y para los que es ne-

Para probar este hecho, supongamos que F13 gativa. Ahora bien, el conjunto formado por existe una lista que incluye a todos los grupos y 0 ↔ 1, 1 ↔ 2, ··· ,m ↔ m +1, ··· .la segunda opción X, es decir por los huéspevamos a construir, a partir de ella, un elemen- des cuyo número de cuarto no coincide con to nuevo que no pertenece a dicha lista. Dicho en otras palabras, cualquier lista que podamos F14 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6, ··· ,n → 2n, ···el de desayuno, no puede provenir de nadie. En efecto, si existiera j cumpliendo F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26 construir con los posibles grupos de desayunaF152n F16 {3n} alsegundoenelF175n , F18primon i , F19 N F31Parribaríamos a una contradicción: si F24 X = Gj F25 Hj (N).∈ X F32 F26Hj ∈ X F27H dores es incompleta. Consideremos la numeración de los hués{x1,x2, ···} F33 N F31P (N). F32entonces por definición de X: F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj N F31P (N). F32 . Similarmente, si F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30por definición de X tene∈ X A = F28 {1 Hj , 2} ∈ X pedes dada por sus cuartos, así F20N F31P (N).F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj Hi F21 Gi F22 denotará al F32 ∈ X F27Hj ∈ Xmos F28 Hj ∈ X F33 A = {1, 2}F29 N F30 y en cualquiera de los dos casos P (A)= N F31P (N). F32 F33 A = {G{1, 1, ···2} ,Gn, ···}. F34 P (A)= {∅, {1}, {2}, F33 F33 F23¿ A = {1, 2} P ( F34A)= {∅, {1}, {2Hi ∈}, {1, Gi? F34 2}}, P (A)= F35 {∅, {1}, {219}, {1, 2 |A }}, | < |P (A)| F34P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F35 |A| < |P (A)|. F34 F35|A| < |P (A)|. 1 F36 {x : x ̸∈ f (x)

Mefisto

P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}},

F34 no proviene de nadie ¡No todos los conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal! Y, de hecho, |A| < |P (A)|. F35F24 X = Gj N F31P (N). podemos construir una infinidad de conjuntos de diferente cardinal: {x : x ̸∈ f (x)} F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F32

F36 A = {1, 2} F33 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F29 N F30

F37 P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34 |N| < |X| < |R|? F´ormulasFausto Por otro lado, Cantor también probó que el cardinal de los números reales es más grande |A| < |P (A)|. F35 F1 { x′ = x − vt, y′ = y, que el de los naturales, quedando abierta una pregunta que obsesionó al propio Cantor y a muchos expertos en conjuntos posteriores: La {x : x ̸∈ f (x)} (1) siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, hipótesis del continuo: ¿existe un conjunto X F36 x’=x’(t’)yy’=y’(t’)cumpliendo |N| < |P (  N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F37 David Hilbert   |N| x′ y′ < | = = X| x−vt √1−v2/c y,< |R|? 2 , F´ormulasFausto    t′ = t− √ vx/c2 . F1 1−v2/c2 { La respuesta no es menos sorprendente, hemos arribado a un absurdo. Al considerar todos los posibles grupos de x′ = x − vt, y′ = y, en 1938 Gödel probó que si la hipótesis del continuo es cierta, la teoría de conjuntos que(1) huéspedes, en realidad, estamos considerando siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, da libre de contradicciones, según los axiomas F25 F32 Hj ∈ X F26H todos los posibles subconjuntos dej ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 , lo que se conoce como la potencia de F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X N F31P (N). F32y se deno-F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 x’=x’(t’)yy’=y’(t’)     x′ = x−vt √1−v2/c2 , de Zermelo-Fraenkel-Axioma de Elección. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que si se F29 N F30 A = {1, 2}ta por N F31P (N). F32 En general, dado un conjunto A A = {1, 2}y′ = y, supone falso tampoco contradice dichos axioP (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F33 A = {1, 2} F33 definimos su potencia P(A) como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, por P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}},    t′ = t−vx/c2 √1−v2/c2 . mas. Es decir, con los axiomas mencionados, puede construirse una teoría de conjuntos vá|A| < |P (A)|. {x : x ̸∈ f (x)} |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· |N| < |X| < |R|? F´ormulasFausto { x′ = x − vt, y′ = y, (1) siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, F34 |A| < |P (A)|. F35 {x : x ̸∈ f (x)} F36 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F37 |N| < |X| < |R|? F´ormulasFausto F1 { x′ = x − vt, y′ = y, (1) siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34 |A| < |P (A)|. F35 {x : x ̸∈ f (x)} F36 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F37 |N| < |X| < |R|? F´ormulasFausto F1 { x′ = x − vt, y′ = y, (1) ejemplo si F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 N F31P (N). F32 A = {1, 2} F33 P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34 |A| < |P (A)|. F35 {x : x ̸∈ f (x)} F36 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F37 |N| < |X| < |R|? entonces F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 N F31P (N). F32 A = {1, 2} F33 P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34 |A| < |P (A)|. F35 {x : x ̸∈ f (x)} F36 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F37 |N| < |X| < |R|? y siempre, se trate de conjuntos finitos o infinitos F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 N F31P (N). F32 A = {1, 2} F33 P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34 |A| < |P (A)|. F35 {x : x ̸∈ f (x)} F36 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· En efecto, para cualquier apareamiento f que hagamos entre elementos de A y de su potencia P(A), el conjunto F24 X = Gj F25 Hj ∈ X F26Hj ∈ X F27Hj ∈ X F28 Hj ∈ X F29 N F30 N F31P (N). F32 A = {1, 2} F33 P (A)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, F34 |A| < |P (A)|. F35 2 2 lida suponiendo verdadero o falso dicho enunciado. En conclusión, el uso de los conjuntos infinitos es necesario para la construcción de la matemática. A nivel elemental basta entenderlos de forma intuitiva, pero en cierto grado de desarrollo es muy importante formalizarlos y dicha formalidad ha abierto un nuevo campo de las matemáticas, e incluso de la filosofía, en donde todavía queda mucho camino por recorrer. 20 x’=x’(t’)yy’=y’(t’)        x′ = x−vt √1−v2/c2 , y′ = y, t′ = t−vx/c2 √1−v2/c2 . x’=x’(t’)yy’=y’(t’)        x′ = x−vt √1−v2/c y′ = y, t′ = t−vx/c2 √1−v2/c siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, x’=x’(t’)yy’=y’(t’)        x′ = x−vt √1−v2/c2 , y′ = y, t′ = t−vx/c2 √1−v2/c2 . F´ormulasFausto F1 { x′ = x − vt, y′ = y, (1) siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, x’=x’(t’)yy’=y’(t’)     x′ = x−vt √1−v2/c2 , ′ F´ormulasFausto F1 { x′ = x − vt, y′ = y, (1) siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, x’=x’(t’)yy’=y’(t’)     x′ = x−vt √1−v2/c2 , y′ y, F37 |N| < |X| < |R|? F´ormulasFausto F1 { x′ = x − vt, y′ = y, (1) siendox=x(t)yy=y(t)lascoordenadasenelsistemadereferenciaentierra, {x : x ̸∈ f (x)} F36 |N| < |P (N),< ··· < |P (P (N))|, ··· F37 |N| < |X| < |R|? F´ormulasFausto F1 { 2 2 , .