Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES UTN FRLP ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALITICA comisiones 1 (Química), 51 (Sistemas) y 67 (Industrial) Ing. VIVIANA BEATRIZ CAPPELLO

Definiciรณn de Espacio Vectorial Generalizaremos ahora para un espacio n dimensional los conceptos bรกsicos del รกlgebra vectorial que se desarrollaron para vectores del plano E0 y del espacio tridimensional E3.

Las propiedades de las operaciones (+, . ) se transforman, como veremos, en propiedades para un conjunto de vectores abstractos que definen o conforman lo que se denomina Espacio Vectorial.

El matemรกtico a quien se debe el desarrollo de estas ideas es Hernann Grasmann, siendo el primero en definir un espacio vectorial n dimensional y el concepto de independencia lineal.

Sea V = {x1, x2, .....xn} conjunto de vectores y dos operaciones que se pueden realizar en el mismo; suma (+) y producto por un escalar ( . ).

El conjunto (V,+,K, . ) se denomina espacio vectorial; en ĂŠl K es el cuerpo de los nĂşmeros reales que sin perder rigurosidad puede reemplazarse por el conjunto de los nĂşmeros reales. Para que un conjunto de elementos denominados vectores conforme un espacio vectorial, deben cumplirse las siguientes propiedades:

•Entre los elementos del conjunto está definida la operación de suma como ley interna: se opera con elementos de un determinado conjunto y el resultado se obtiene en el mismo conjunto. (sumamos vectores y obtenemos como resultado un vector).

•Vale la propiedad conmutativa •Vale la propiedad asociativa

•Existe elemento neutro en la operación: el vector nulo •Existe inverso aditivo: (la suma de un vector y su inverso aditivo, da como resultado el elemento neutro en la operación.

•Está definida la operación producto de un vector por un escalar: como ley externa (operamos con elementos de dos conjuntos distintos y el resultado da en uno de ellos: el de los vectores) •Vale la propiedad asociativa •Vale la propiedad distributiva respecto de la suma de escalares •Vale la propiedad distributiva respecto de la suma de vectores •Existe elemento neutro en la operación (el escalar 1)

Subespacios

Sea W un subconjunto de V; si en él puede definirse la cuaterna (W,+,k, . ) decimos que se trata de un subespacio vectorial.

Para que W resulte un suberpacio de V, no es necesario demostrar todas las propiedades, Sólo resulta necesario comprobar.

•si u y v están en W, u+v debe estar en W. •Si es un escalar y u está en W, u está en W.

Ejemplos:

 {0} y V son Subespacios de V que reciben el nombre de Subespacios triviales.  Toda recta que pasa por el origen de R2 es un subespacio de R2 .  Toda recta que pasa por el origen de R3 es un subespacio de R3  Todo plano que pasa por el origen es un subespacio de R3  Una recta que no pasa por el origen no es un subespacio ni de R 2 ni de R3 ya que no contiene el vector nulo.

Combinación lineal de vectores Los vectores pueden expresarse como n-uplas ordenadas, dispuestas filas o en columnas.

Para la disposición columna:

Diremos que su dimensión es 4x1 (número de filas por número de columnas).

La suma de vectores, cuando los mismos estรกn bajo el aspecto de vectores columna, se realiza de la siguiente manera

y el producto de un vector por un escalar:

y la operaciรณn combinada que recibe el nombre de combinaciรณn lineal de los vectores resultarรก:

Dependencia e independencia lineal

Conclusión: Existe un solo vector que siempre se puede expresar como combinación lineal de un conjunto dado: dicho vector es el vector nulo.

Cuando la única posibilidad de expresar el vector nulo como combinación lineal de un conjunto de vectores dado, lo es utilizando escalares todos nulos, la combinación lineal recibe el nombre de combinación lineal trivial y el conjunto de vectores se define como linealmente independiente.

Si además de la combinación lineal trivial, que siempre existe, pueden establecerse otras combinaciones lineales utilizando algún escalar distinto de cero, el conjunto de vectores se denomina linealmente dependiente.

Si en el espacio bidimensional queremos saber si dos vectores son o no linealmente independientes, comprobamos su paralelismo (los cocientes entre las componentes de la misma direcciรณn deben ser iguales). Si resultan paralelos son linealmente dependientes, en caso contrario serรกn linealmente independientes.

Al realizar la interpretación geométrica del producto mixto entre tres vectores, vimos que esa operación da como resultado un escalar numéricamente coincidente con el volumen del paralelepípedo cuyos lados son los módulos de los vectores que se multiplican.

Resulta entonces que, dados tres vectores pertenecientes al espacio tridimensional, si su producto mixto es nulo, resultarán coplanares y en consecuencia linealmente dependientes; por el contrario, si el producto mixto resulta distinto de cero, aseguramos que los vectores no son coplanares, es decir, son linealmente independientes.

Resumiendo La independencia o dependencia lineal de un conjunto de vectores, puede verificarse en cualquier espacio calculando el valor del determinante asociado a los coeficientes de las incรณgnitas del sistema que puede construirse al establecer el vector nulo como combinaciรณn lineal del conjunto de vectores que se estudia. Si el determinante asociado resulta con valor distinto de cero, el conjunto es linealmente independiente, en tanto que, cuando dicho determinante da resultado nulo, el conjunto de vectores es linealmente dependiente

Proceso de ortonormalización de bases de Gram-Schmidt.  La condición para que un conjunto de vectores sea considerado base de un espacio vectorial es que sea un S.G.l.i  Una base puede estar conformada por un conjunto que cumpla las condiciones antedichas, siendo las misma integrada por vectores de módulo cualquiera.  Existen algunas bases particulares: aquellas cuyos vectores cumplen con la condición de ser perpendiculares dos a dos, es decir que cada vector de la base es perpendicular a todos los demás de la misma. Este tipo de base recibe el nombre de base ortogonal.  Si además de cumplir con la condición anterior (vectores todos perpendiculares entre sí) los integrantes de la base son de módulo unitario, es decir versores, se trata de una base ortonormal.  Puede demostrarse que, en todo espacio vectorial, a partir de una base cualquiera, puede construirse al menos una base ortonormal (se obtendrán distintas bases ortonormales de acuerdo con el orden en que tomemos los vectores de la base dada para normalizarlos).  Por razones prácticas realizaremos el proceso para una base cualquiera del espacio tridimensional, sin que ello haga perder rigor a la demostración que puede generalizarse para cualquier espacio.

Sea entonces, en el espacio tridimensional el conjunto base B = {x1. x2. x3} El proceso de ortonormalización se construye de acuerdo con los siguientes pasos:  Paso inicial: a efectos de asegurarnos que el conjunto que pretendemos ortonormalizar se trata de una base, verificamos, para este caso del E3 mediante el cálculo del producto mixto. Si el mismo da como resultado un número distinto de cero, concluimos que se trata de una base y comenzamos el proceso.

FIN