SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS BLOQUE 8: Aplica las leyes de senos y cosenos.
Introducción No
todos los triángulos poseen un ángulo recto (90º)
Aquellos
triángulos que no poseen un ángulo recto se les llama: TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
Por
ejemplo estos triángulos:
¿Qué es resolver triángulos? Calcular
la medida de todos sus lados y ángulos.
Anteriormente
utilizamos FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS cuando eran triángulos rectángulos.
Ahora
utilizaremos las LEYES DE SENOS Y COSENOS para resolver cualquier tipo de triángulos.
ley de los senos: En
cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
Así
que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos: Ángulo
– Lado - Ángulo (ALA).
Ángulo
– Ángulo - Lado (AAL).
Lado
- Lado - Ángulo (LLA).
¿Qué establece la ley de los senos? “En
cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante”.
a b c sen A sen B sen C
Esta
ley también se puede utilizar de esta otra forma y ofrece el mismo resultado final: sen A sen B sen C a b c
Ejemplo 1: tipo de datos a-l-a. Resuelve
el siguiente triángulo, dado que posee las medidas anotadas en el dibujo:
Estrategia de solución: 1. Primero buscamos el tercer ángulo (el que falta): A 180 (54 72) A 180 126 A 54° 2.
Cuidado: No siempre el ángulo que falta será igual a uno de los que aparezcan en el triángulo.
Luego los otros lados utilizando la ley de los senos.
Continuación del Ejemplo 1: 2.- Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de los senos.
a c sen A sen C =54º
15 x sen 54 sen 72 15( sen 72) x ( sen 54) 15( sen 72) x ( sen 54) 17.63 x
Continuación del Ejemplo 1: 3.- Ahora calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.
a b Sen A Sen B 15 y Sen 54 Sen 54 15 ( Sen 54) y ( Sen 54) 15 ( Sen 54) y ( Sen 54) 15 y
x
3m 6 . 7 1 ≈
=54º
Continuación del Ejemplo 1: Una vez tengas todas las medidas de los lados y ángulos el problema terminó.
x
≈
63 . 17
m
=54º y = 15 m
Para el caso AAL se puede trabajar de forma similar a ALA.
Ejemplo 2: tipo de datos l-L-A. Resuelve
el siguiente triángulo:
Estrategia de solución: 1.- Primero buscamos el ángulo β con la ley de senos. 2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de ángulos interiores de un triángulo. 3.- Finalmente, calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.
b 23 47 sen sen sen 123 23( sen 123) 47( sen ) 23( sen 123) sen 47 23( sen 123) sen 1 47 24 °
Continuación del Ejemplo 2: 2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de ángulos interiores de un triángulo. 180 180 (24 123) 180 147 33°
3.- Por último, buscamos el lado que falta por la ley de senos.
a c Sen Sen 47 c Sen 123 Sen 33 47 ( Sen 33) c ( Sen 123) 47 ( Sen 33) c Sen 123 31 Cm. c
Ejemplo 3:
125 m
Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?
Estrategia de solución: Como nos dan la medida de un lado, deberíamos conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de senos y encontrar d.
Continuación del Ejemplo 3 1.- Primero encontramos el ángulo C con suma de ángulos interiores de un triángulo.
C 180 (A B) C 180 (41.6 124.3) C 180 165.9
125 m
C 14.1°
A continuación usaremos la ley de senos para encontrar el lado que nos piden d:
Continuación del Ejemplo 3 2.- Ahora usaremos la ley de senos para encontrar el lado d que nos piden.
c a sen C sen A 125 d sen 14.1 sen 41.6
125( sen 41.6) d sen 14.1 340.66 d
125 m
125( sen 41.6) d ( sen 14.1) 14.1º
R.- El largo del lago es aproximadamente de 340.66 m.
La ley de cosenos se usa cuando: No
se tiene entre los datos un par de elementos opuestos.
Así
que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos: Lado
– Ángulo - Lado (LAL)
Lado
– Lado - Lado (LLL)
¿cuál es la fórmula de la ley de cosenos? Estas tres ecuaciones plantean en esencia lo mismo.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b c 2bc cos A b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C
Estrategia para resolver casos L–A-L con ley de cosenos: PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El lado opuesto al ángulo dado.
2
Segundo ángulo (Encuentre el ángulo opuesto al más corto de los dos lados Ley de senos. dados, siempre será agudo).
3
Tercer ángulo.
Ley de cosenos.
180° menos la suma de los otros 2 ángulos.
Ejemplo 4: para L-A-L. Resuelve
derecha
el triángulo de la
Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para despejar b. b 2 a 2 c 2 2 a c Cos B b
a 2 c 2 2 a c Cos B
b
(10.3) 2 (6.45) 2 2(10.3)(6.45) Cos 32.4
b 5.96 cm
Continuación del Ejemplo 4: Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar . Puesto que el lado c es más corto que el lado a, debe ser agudo. c b Sen Sen b ( Sen ) c ( Sen ) c ( Sen ) b 6.45( Sen 32.4) Sen 1 5.96 Sen
35.44 °
Continuación del Ejemplo 4: Paso 3: Calcular el tercer ángulo.
180 ( ) 180 (32.4 35.44) 112.16 °
Estrategia para resolver casos L-l-L con ley de cosenos PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El ángulo opuesto al lado más largo (hay que tener cuidado si el Ley de cosenos. ángulo es obtuso).
2
De los ángulos restantes, cuál será agudo (¿Por qué?)
Ley de senos.
Tercer ángulo.
180° menos la suma de los otros 2 ángulos.
3
Ejemplo 5: para L-L-L. Resuelve
el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para encontrar el ángulo , que está opuesto al lado más largo. c 2 a 2 b 2 2ab cos c 2 a 2 b 2 2ab cos c2 a2 b2 cos 2ab 2 2 2 ( 35 . 2 ) ( 27 . 3 ) ( 17 . 8 ) cos 1 2(27.3)(17.8)
100.49 °
Continuación del Ejemplo 5: Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar el ángulo α o β. Calculemos α.
a c sen sen c( sen ) a ( sen ) sen
a ( sen ) c 27.3( sen 100.49) 35.2
sen 1
49.69 °
Continuación del Ejemplo 5: Paso 3: Calcular el tercer ángulo, β.
180 ( ) 180 (100.49 49.69) 29.82
°