Demonstrando & calculando áreas sobre a perspectiva do cálculo integral

Valdemiro Carlos dos Santos Silva Filho

Demonstrando & Calculando รกreas Sobre a perspectiva do cรกlculo integral

1

Apresentação Aqui apresentaremos conceitos, demonstrações e determinação de áreas através do calculo integral. Vislumbrando o uso de tecnologia nas aulas de Matemática do Ensino Superior, faremos uma breve abordagem sobre uso dos softwares Microsoft Mathematics e winplot.

2

Sumário 1

Integral Definida ........................................................................................... 4 Teorema Fundamental do Cálculo ............................................................................................ 6

2

Cálculo de áreas .......................................................................................... 7

3 DEMONSTRAÇÕES DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS UTTILIZANDO O CÁLCULO INTEGAL ........................................................................................ 10 3.1

Demonstração da área do quadrado de lado l. ........................................................... 10

3.2

Demonstração da área do retângulo .......................................................................... 11

3.3

Demonstração da área paralelogramo ....................................................................... 12

3.4

Demonstração da área do triangulo Equilátero .......................................................... 14

3.5

Demonstração da área do triângulo Isósceles ............................................................ 17

3.6

Demonstração da área do triangulo escaleno ............................................................ 19

3.7

Demonstração da área do trapézio retângulo ............................................................ 21

3.8

Demonstração da área do trapézio escaleno.............................................................. 23

Em relação à demonstração da área do trapézio Isósceles, aqui não apresentaremos, pois o processo de demonstração será semelhante ao do trapézio escaleno ................................. 26

4

3.9

Demonstração da área do losango ............................................................................. 27

3.10

Demonstração da área do circulo: .............................................................................. 29

Calculo com auxilio de softwares. .............................................................. 33 4.1

5

Integrando com Microsoft Mathematics .................................................................... 33

passos para determinar algumas áreas com auxilio do software winplot. . 37 Determinação da área do quadrado ....................................................................................... 37

3

1 Integral Definida O matemåtico grego Arquimedes (287 – 212 A.C.) utilizou o denominado mÊtodo de exaustão para determinar a quadratura da paråbola. O mÊtodo, cujo desenvolvimento foi creditado a Eudoxo (cerca de 370 A.C.), consiste em exaurir ou esgotar a região, cuja årea se quer determinar, por meio de outras åreas jå conhecidas.

Vejamos agora como definir e calcular a årea de uma região limitada por uma função f, contínua em um intervalo Vejamos agora como definir e calcular a årea de uma região limitada por uma função , contínua em um intervalo

A

B

A

Se dividirmos o intervalo

em

B

partes e construirmos retângulos.

Quanto maior for o número n, mais próxima da årea da figura serå a soma das åreas dos retângulos.

O limite da soma das åreas desses retângulos, quando n tende a infinito, Ê, por definição, a årea da figura dada.

Na figura abaixo, dividimos o intervalo construímos os retângulos com base igual a

em

partes iguais a

e altura igual a

e

:

y f(x)

f(x2) f(x1) f(x3)

đ?‘Ľ = đ?‘?−đ?‘Ž /đ?‘›

a

x

x1

x

x2

x x3

b

X

4

A área da figura é definida como limite da soma das áreas desses retângulos, quando

tende a infinito, isto é:

A  lim [ f ( x1 ) x  f ( x2 ) x  f ( x3 ) x  ...  f ( xn ) x ] n 

n A  lim  f ( xk ) x n  k 1

ou

A figura acima dá o significado geométrico desta soma se

e

também mostra que esta soma é uma boa aproximação da área determinada pelo gráfico de , pelo eixo

e pelas ordenadas

=

Sendo f (xn) x a área do retângulo de base

e

=

.

x (ou dx) e altura f (xn),

cabe destacar que quanto mais retângulos tivermos menor será

x e quanto

melhor for a posição de xn, melhor será a aproximação entre a área sob a curva e suas outras delimitações.

Exemplo:

n=2

n=4

n=8

n = 40

5

n  f (xk ) x lim , n k 1

Definição: A integral definida de f, desde a até b é o Símbolo :

n b a f ( x)dx  lim  ( fxk ) x n k 1

Teorema Fundamental do Cálculo Consideremos

f(x)

uma

função

definida

num

intervalo

[a,

b].

Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável nesse intervalo, tal que F’(x) = f(x), para todo x  [a, b]. Então, temos:



b

a

f ( x )dx  F( x )  F(b)  F(a ) , onde F é uma integral indefinida de f. b

a

Exercício–Exemplo : Calcular Uma

1

x 0

2

dx

primitiva

de

f(x)

=

x2

é,

como

vimos,

F(x)

=

x3 .

3

Assim:

1

x3  1 0 1 x dx       0  3 0  3 3 3 1

2

6

2 Cálculo de áreas

Com a integral definida podemos calcular áreas. Isso ficou mostrado pelas considerações feitas anteriormente. Podemos então considerar 4 casos do uso da integral definida para calcular áreas :

1º. Caso:

Área está toda acima do eixo x ou seja f(x)

0 para todo x  [a, b] , então

b

A   f ( x )dx

y

a

F : [a, b]  R , e f(x)

0  x  [a, b].

X

2.º caso:

A área está toda abaixo do eixo x ou seja f(x)  0 para todo x  [a, b] , então

A



b

a

f ( x )dx

y

a

b

X

F : [a, b]  R, e f(x)  0  x  [a, b].

Neste caso, a área assinalada será calculada por:



b

a

 f ( x )dx

ou



b

a

f ( x )dx

ou



a

b

f ( x )dx

7

3.º caso:

A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja f(x)

0 e f(x)  0 para todo x 

[a, b]. Então se calcula a(s) raiz(es) de f(x) e se estas estão no interior do y

intervalo de integração teremos:



f ( x)dx  x f ( x)dx .

x1

b

a

1

a

X

X1 é a raiz da f(x) neste exemplo.

F: [a, b]  R, e f(x) assume valores positivos, negativos e nulos para todo x  [a, b].

4.º caso:

A região cuja área queremos calcular, está situada entre duas curvas.

y f(x)

X a

Como se vê, f(x)

b

g(x),  x  [a, b], logo f(x) – g(x)

0.

Portanto, a função F(x) = f(x) – g(x) encaixa–se no 1.º caso:

A  a ( f ( x)  g ( x) ) dx b

8

Exercício: 1) Calcule as integrais abaixo: a)



b)

 (5x

c)



d)

 x3  2  2  3  2x  7x  1dx

e)



4

f)



2

g)



2

6 x 4 dx 4

 8 x 3 )dx

sen(2 x)dx 2

0

1

( 2x  1) dx (6x  1)dx

1

x (1  x 3 )dx

2. Achar a área limitada pela curva

=

pelo eixo X e pelas retas

3. Achar a área limitada pela curva

=

−

, pelo eixo X no primeiro

quadrante.

4. Calcular a área limitada pela curva

= −

−

, pelo eixo , no

intervalo 5. Calcular a área determinada pelas curvas de equações =

;

=

=

=

–

–

.

6. Calcular a área compreendida entre a curva ordenadas correspondentes às abcissas

=

=

, o eixo

e as

=

9

3 DEMONSTRAÇÕES DE à REAS DE FIGURAS PLANAS UTTILIZANDO O Cà LCULO INTEGAL Neste capitulo demonstraremos as åreas de alguns polígonos regulares tais como, quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulos, trapÊzios, losango e o circulo. O mÊtodo ao qual utilizaremos para demonstrar, utiliza-se do conceito de calculo integral, quais abordamos nos capítulos anteriores.

3.1 Demonstração da årea do quadrado de lado l.

Figura 1- quadrado de lado l.

Fonte: figura construĂ­da com auxilio do software geogebra.

Podemos expressar uma função constante

=

Tomando um ponto

pertencente ao eixo das abscissas, tal que esse ponto seja B ( , 0), e ainda um ponto qualquer đ??ś de coordenadas đ??ś( , ), podemos obter um quadrado de lado e vĂŠrtices

đ??ś . Sua ĂĄrea pode ser expressa pela integral definida abaixo.

= âˆŤ

= âˆŤ

10

Como ĂŠ uma constante, logo =

âˆŤ

= =

−

= = Assim como querĂ­amos demonstrar.

3.2 Demonstração da årea do retângulo

Figura 2 - Retângulo

Fonte: figura construĂ­da com auxilio do software geogebra.

Podemos expressar como uma função constante

=

Tomando um ponto

pertencente ao eixo das abscissas, tal que esse ponto seja ponto qualquer đ??ś de coordenadas đ??ś e vĂŠrtices

, e ainda um

, podemos obter um retângulo de lado

đ??ś . Sua ĂĄrea pode ser expressa pela integral definida abaixo.

Sabe-se que Ê uma função constante

11

= assim = âˆŤ

= âˆŤ Como

ĂŠ uma constante, =

âˆŤ

=

=

−

Logo, = Como querĂ­amos demonstrar.

3.3 Demonstração da årea paralelogramo Seja o paralelogramo

đ??ś , com base igual a

de comprimento e altura

com medida igual a .

12

Figura 3- Paralelogramo

Fonte: figura construĂ­da com auxilio do software geogebra.

Para essa demonstração, precisaremos observar os pontos e os segmentos de retas, aqui apresentados, alĂŠm de fazer algumas relaçþes. ď ś A (k, h), B (0,0), C (0, b), D (j, h), E (j, 0), F (0, h), G (k, 0), H (b, h). ď ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ś = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = .

Para determinar a årea do paralelogramo retângulo

đ??ś , iremos visualizar o e đ??ś , pois os mesmo sĂŁo

, e dele subtrair dois triângulos

congruentes.

Para essa demonstração utilizaremos o conceito de integral dupla, assim poderemos descrever essa ĂĄrea sendo como =âˆŤ âˆŤ

−

= âˆŤ

= âˆŤ

âˆŤ âˆŤ

âˆ’âˆŤ

−

âˆ’âˆŤ

−

13

= ∫

=

−∫

∫

−

=

−

=

− =

−

−

−

=

Como −

∫

−

=

Substituindo logo teremos = Como queríamos demonstrar.

3.4 Demonstração da área do triangulo Equilátero Figura 4 - Triângulo Equilátero

Fonte: figura construída com auxilio do software geogebra.

14

Sendo um triangulo

đ??ś, ĂŠ possĂ­vel a partir do grĂĄfico, destacar alguns

pontos. Como estamos tratando de um triangulo equilĂĄtero, a medida da sua base serĂĄ chamada de . A medida da altura do mesmo, em função de , serĂĄ √

, que facilmente ĂŠ demonstrada, logo podemos concluir que a altura de um

triângulo equilåtero Ê

=

(1)

√

Outras observaçþes. =

Logo, concluirmos que

=

(2)

Assim a ĂĄrea pode ser expressa pela integral definida abaixo.

Aqui tomaremos a função

=

, assim podemos escrever = âˆŤ

= âˆŤ Se dividirmos o triângulo ao meio, encontraremos dois triângulos de mesmo ĂĄrea, como estamos calculando apenas o triangulo que tem limite inferior igual a

e limite superior igual a , logo a årea do triângulo ao qual que

queremos demonstrar, serĂĄ o dobro da integral acima, desta forma podemos escrever

= Como

âˆŤ

ĂŠ uma constante, 15

=

∫

=

*

=

[

+

−

]

=

[

−

]

=

[

− ]

=

[

]

=

*

+

= Substituindo o valor (2) na última igualdade

= = =

Agora substituindo (1) na última igualdade

16

√ = √

= Logo, =

√

Como querĂ­amos demonstrar.

3.5 Demonstração da årea do triângulo Isósceles

Figura 5 - triângulo Isósceles 5- Triângulo Isósceles

Fonte: figura construĂ­da com auxilio do software geogebra.

Podemos expressar a equação da reta como

Para demonstrar

đ??ś, vamos utilizar o triângulo

,que ĂŠ metade do

đ??ś, logo o coeficiente angular do triângulo

pode ser expressa

a ĂĄrea do triangulo triangulo

=

por =

17

= obtemos a expressĂŁo (1).

A årea desse triângulo pode ser expressa pela integral definida abaixo.

Sabemos que = Assim = âˆŤ logo = âˆŤ Como queremos a ĂĄrea do triangulo

đ??ś, multiplicaremos por

a expressĂŁo

anterior, logo

=

Como

âˆŤ

ĂŠ uma constante, =

âˆŤ

=

*

+

( ) [ −

=

=

[

−

]

]

18

=

*

=

− +

*

+

Substituindo (1) =

*

+

= = Logo, = Como queríamos demonstrar.

3.6 Demonstração da área do triangulo escaleno De maneira semelhante a anterior podemos expressar a equação da reta como

=

Sabemos que o coeficiente angular é uma constante e

em relação à a figura em questão podemos escrevê-lo como Figura 6 - Triangulo escaleno

Fonte: figura construída com auxilio do software geogebra.

19

= obtemos a expressão (1).

A área desse triângulo pode ser expressa pela integral definida abaixo.

Sabemos que = Assim = ∫

= ∫ Como

é uma constante, =

∫

=

*

=

*

=

+

−

*

=

+

− +

*

+

Substituindo (1) =

*

+

= 20

= Logo, = Como queríamos demonstrar.

3.7 Demonstração da área do trapézio retângulo Seja o trapézio

de base maior com comprimento igual a

menor com comprimento igual a

, base

e altura com medida .

Figura 7 - Trapézio Retângulo

Fonte: figura construída com auxilio do software geogebra.

O trapézio retângulo

é composto por duas figuras geométricas, a saber, o

e o triângulo

. Portanto, a área do trapézio analisado pode

ser escrita como sendo soma da área do retângulo e do triângulo.

21

Figura 8 - Trapézio retângulo detalhado

Fonte: figura construída com auxilio do software geogebra.

Podemos utilizar uma integral dupla para cada área. No caso do triângulo retângulo, é perceptível que o segmento de reta retângulo de vértices H

, ou seja, a área do triangular

é diagonal de um , será a metade de

, como mostra a representação da figura anterior.

Representando matematicamente a área pode ser expressar por =∫ ∫

∫ ∫

=∫

=∫

∫

−

∫

=∫

∫

=

∫

−

∫

22

= =

−

−

=

− −

=

−

=

=

= Reescrevendo a ultima igualdade obtermos: = Assim como queríamos demonstrar.

3.8 Demonstração da área do trapézio escaleno Seja trapézio escaleno

, com base maior de comprimento igual a ,

e base menor com comprimento igual a 

,

e altura com medida .

e

23

Figura 9- TrapĂŠzio escaleno

Fonte: figura construĂ­da com auxilio do software geogebra.

Para calcular a årea do trapÊzio vamos separar em três regiþes, para isso devemos introduzir dois novos pontos na figura, tais que sejam três retângulos assim representados na figura abaixo.

Dividimos nossa figura em três, usaremos integrais duplas, sendo que a primeira integral Ê a årea da região que corresponde ao primeiro triangulo (triangulo menor), a segunda integral múltipla corresponde a årea do retângulo e a terceira integral múltipla corresponde ao triangulo

(triangulo

maior), a soma dessas trĂŞs regiĂľes resulta na ĂĄrea trapĂŠzio escaleno.

Transformando o triangulo retângulo

no retângulo đ??ś

e o triangulo

no

, assim poderemos escrever a årea desse trapÊzio retângulo

como a metade da integral dupla do triangulo menor adicionado com a integral dupla do retângulo e adicionado com a metade da integral dupla do triangulo maior.

Sistematizando de forma matemĂĄtica, podemos escrever como

24

=

∫ ∫

=

∫ ∫

∫

= ∫

∫

−

∫

∫

= ∫

=

=

−

∫

=

∫

−

∫

∫

∫

∫

∫

−

∫

∫

−

=

Sabemos que

∫ ∫

−

−

−

− = , substituindo na ultima igualdade teremos −

= −

=

−

=

−

=

=

−

25

−

= Temos

− Se colocarmos o sinal negativo em evidencia (−), obteremos −

−

− =

mas sabemos que a distancia Logo

−

−

= −

Substituindo teremos =

=

−

−

=

= Reescrevendo teremos = Como queríamos demonstrar.

Observação Em relação à demonstração da área do trapézio Isósceles, aqui não apresentaremos, pois o processo de demonstração será semelhante ao do trapézio escaleno

26

3.9 Demonstração da área do losango Seja o losango

, cujos pontos pertencentes ao plano de eixos

coordenados, definidos de tal forma que

(

)

(−

)

( − ) e

. Fixamos aqui, que ≥ . O traçado dos segmentos de reta pelos pontos acima definidos forma, portando um losango, tal que diagonal maior e

representa a medida da

a medida da diagonal menor. A figura a seguir mostra

genericamente o losango descrito.

Figura 10 - trapézio escaleno detalhado

Fonte: figura construída com auxilio do software geogebra.

Como sabemos que a área do 1ª quadrante é igual a área dos demais.

Adotando o primeiro quadrante para determinar a área do losango, matematicamente escreveremos como a integral dupla.

=∫ ∫ Como queremos a metade da área do retângulo no primeiro quadrante, assim escreveremos como 27

=

∫ ∫

Queremos a área total também multiplicaremos a integral dupla por 4, logo =

∫ ∫

Assim temos = Integrando em

∫ ∫

teremos =

∫

Substituindo os limites de integração teremos =

∫ [ − ]

=

∫

Como , é uma constante, logo colocaremos fora da integral. =

∫

Assim teremos = integrando em relação a

∫

teremos =

Substituindo os limites de integração teremos

28

=

[ − ] =

[ ]

=

Como queríamos demonstrar.

3.10 Demonstração da área do circulo: Devemos ter a noção da equação da circunferência que é expressa por =

, com centro na origem e raio .

Figura 11 - Círculo de raio r.

Fonte: figura construída com auxilio do software geogebra.

Como temos uma equação implícita devemos torná-la explicita sendo assim 29

= = =

− √

−

Desta forma podemos observar que temos dois semicírculos, um na parte superior da origem √

−

, na qual que podemos representar por

, e a outra na parte inferior a origem

= −√

−

=

que podemos representar por

.

Integrando a equação na parte superior teremos onde temos como limite inferior de integração

(Origem) e o limite superior de integração igual

(

raio), representando matematicamente teremos:

=∫ √

−

Devemos utilizar o primeiro caso de substituição trigonométrica logo teremos que

=

e

=

limitaremos nossa equação ao primeiro

quadrante, sendo assim teremos nosso limite de inferior de integração igual 0 e o limite superior de integração igual a

, substituindo na ultima igualdade

teremos

=∫ √

−

Como queremos encontrar a área da área circular multiplicaremos por 4 nossa integral assim teremos

= Colocando

∫ √

−

em evidencia,

30

∫ √

=

−

Sabemos que pela identidade trigonométrica = Manipulando essa igualdade =

−

Substituindo em na ultima integral teremos ∫ √

=

Resolvendo a raiz quadrada =

∫

Resolvendo o produto teremos =

∫

=

∫

Pela identidade trigonométrica = Assim substituindo na ultima integral teremos

=

∫

como o denominador é uma constante colocaremos para fora da integral, matematicamente representaremos como 31

=

∫

=

∫

=

[

]

Aplicando os limites, superior e inferior, teremos

=

( ( ))

( ( )) )−

( [

)]

(

=

*(

=

)− (

[( =

)+

)− ( *( ) −

=

)] +

* +

= Logo =

Assim como queríamos demonstra.

32

4 Calculo com auxilio de softwares.

Segundo Souza (2001, p. 6) o cálculo integral e diferencial é uma disciplina das mais tradicionais no ensino de ciências exatas nas instituições de ensino superior, sendo que a mesma preserva a sua estrutura original. Assim torna-se necessário salientar que apesar de todo o avanço tecnológico presente em nosso cotidiano nota-se que a base do cálculo é a mesma da época do seu surgimento, sendo tratada como método eficaz para resolver problemas de variações e áreas.

Apesar da componente curricular cálculo, prevalecer suas origens, defendemos o ensino da mesma de forma diferencia de tal forma que não haja perda da sua essência.

Existem vários softwares livres que podem ser uma ferramenta de auxilio para o ensino da Matemática do 3º grau, tais como, Geogebra, winplot, Microsoft Mathematics entre outros. Esses softwares qual aqui chamamos de ferramentas de auxilio, podem resolver derivadas e integrais, possibilitando assim uma melhor compreensão.

4.1 Integrando com Microsoft Mathematics

33

Aqui daremos os passos iniciais para o estudo de integral com o Microsoft mathematics, vamos definir uma função a qual será integrada.

Exemplo: =

Passos:  Clica sobre o símbolo de integral indefinida.  Digitar a expressão  Clica sobre opção “inserir”

34

Resolvendo uma integral definida

Exemplo: Definiremos nosso limite inferior de integração 0 e o limite superior 3 = ∫ Passos:  Clicar sobre o símbolo de integral definida.  Digitar a expressão  Digitar os limites de integração  Clicar sobre opção “inserir”

35

Quando optamos pela opção integral definida, em algumas expressões simples, aparecera a opção “etapas de solução”, se clicarmos sobre, o software descrevera passo a passo o processo de integração como ilustram as imagens.

36

Exercício: Com auxílio do software, calcule as integrais do capítulo 2.

5 passos para determinar algumas áreas com auxilio do software winplot.

Nesse capitulo, descrevemos os passos para determinar algumas áreas com auxilio do software winplot.

Inicialmente definiremos algumas, as regiões as quais iremos calcular suas áreas, utilizaremos do conceito de áreas entres curvas, mas aplicaremos esses conceito ao software winplot.  Quadrado de lado 3 u.c  Retângulo de comprimento 3 u.c e largura 2 u.c  Circulo e raio 2 u.c.

Determinação da área do quadrado 37

Seja o quadrado

Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ś , de lados Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ś=đ??ś

como

podemos visualizar na figura abaixo queremos terminar sua ĂĄrea com auxilio do winplot.

Procedimentos Ao clicarmos sobre o Ă­cone do winplot, aparecera a seguinte imagem em sua tela.

38

Em seguida clicaremos sobre o item janela e logo após a opção “ 2-dim”, visualizaremos as seguinte telas.

39

Iniciaremos aqui o calcular da área do quadrado de lado igual a 3 u.c.

Sequencia Clicar sobre a opção equação Clica sobre a opção explicita Aparecera a seguinte tela

40

Na caixa de entrada digitaremos a função consente f(x) = 3, seguida clica “ok”, agora visualizaremos uma nova tela

Agora sobre a opção duplicar “dupl” iremos criar uma outra função constante, aqui escolhemos uma função f(x) =0.

Clicaremos consecutivamente sobre a opção “dois, integrar”, ira aparecer a seguinte tela.

41

Como o limite inferior é 0 e o superior é 3, basta trocar os valores na caixa

Clicaremos nos itens “visualizar,definida e ponto médio” Aparecera a seguinte tela contendo a área exata do quadrado de lado 3u.c.

42

As ĂĄreas do paralelogramo e do circulo ficara de exercĂ­cio.

43