AShortSurveyoftheBook
Roughlyspeaking,tocomputemeanstoexecute algorithmicprocesses bya setof communicatingagents eachofwhich executes inagivenbackground structurean algorithm assignedtoit,interactingwithotheragentsinthe givenprocessenvironment.Thiscallsforanexplanation,whichweprovide fromscratchinPart1,ofthetriple data-action-control,theconceptualconstituentsofinteractiveprocesses:
• Data thealgorithmicprocessesoperateupon,abstractlydescribedas structuredelements,i.e.objectswithassociatedproperties,relationsand functions(Ch. 1).
• Actions (basicalgorithmicoperations)thatafect—createanddelete, access(read)andchange(write),receiveandsend—thedata insingle executionsteps (Ch. 2).
• Control patternsthatdeterminethecombinationofsingle(inadaptable systemsevenrun-time-modifable)stepsin
single-agentsequential or multi-agentconcurrent or mixedruns (alsocalled‘executions’or‘computations’),wherethealgorithm-equipped agentsinteractwitheachotherandwiththeirenvironmentviacommunicationorotherformsofdatasharing(Ch. 3-6).
Part2investigatesthefollowingthreethemes:
• Fundamentalanalysismethods fortheinvestigationofcomputations inabstractstatesatdiferentlevelsofabstraction/refnement:modelinspection,validationandverifcation(Ch. 7).
• Classifcationofprincipalcomputationalparadigms,leadingfrom classesofsingle-agentsequentialalgorithmstoavarietyofclassesof multi-agentprocesseswithasynchronousormixed(concurrentorrecursive)runs(Ch. 8).ThisextendsthecharacterizationsinCh. 3-6 ofselfmodifyingrefectivealgorithms,ofsynchronousorbulk-synchronousalgorithms,ofvariousclassesofstreamingmachines(illustratedbymodels forspreadsheetsortheTCP/IPcomputernetworkprotocol),etc.
• Complexityanalysis ofthe power ofcomputationsinabstractstates andtheirintrinsiccomputational limits (Ch. 9).
Weexpecttheemerging
ModelTheoryofStructuresofComputing tocontributetoasolidfoundationforthepracticeofcomputing.
Thebookisaddressedtopersonswhowanttounderstandtheconceptual foundationofcomputing.Itdoesnotassumeanyspecifcprogrammingexperiencebutonlyabasicunderstandingofwhataremechanicallyexecutable processesandtheirdescriptions.Thinkofsystem-controlmechanisms,automatedserviceprocedures,administrativeorbusinessprocessesandthe likewhichaccompanyourdailylife.Tomakethebookalsoaccessiblefor non-expertsofthetheoryofcomputingweavoidanyunnecessaryformalismandformulateourdefnitionsasmuchaspossibleinnaturallanguage, usingcommonmathematicalnotationonlywhereneededtoavoidambiguities.2 Examplesandexercises(comingwithsolutionsintheAppendix)serve ascomprehensioncheckpoints;weinsertreferencestotheliteratureforthe readerwhoisinterestedinfurtherdevelopments.
Thebookhasbeenwrittenforself-studybutcanalsobeusedinteaching, inparticulartoaccompanyundergraduatecoursesorseminarsforstudents whowanttounderstandhowthemanyconceptstheylearnareintimately linkedtoeachotherbyacommonfoundation.
Acknowledgements
Wethankthefollowingcolleagueswhohavehelpedwithcommentsondraft chaptersofthisbook:GiuseppeDelCastillo,PaoloDini,FlavioFerrarotti, UweGlässer,AlbertFleischmann,FatemehMovafagh,GiuseppePrencipe, AlexanderRaschke,Klaus-DieterSchewe.
LastbutnotleastwethankRalfGerstnerfromSpringerforhistrustand patience.
EgonBörger and VincenzoGervasi Pisa,December2023
2 WerecallinCh. 1 thefewbasicconceptsweusefromclassicallogic.
PartIComputationalParadigms:Defnition
1ComputationalData,Operations,States ..................7
1.1DataandOperationsonData............................8
1.1.1NamingObjectsandOperations(SyntaxofTerms)...9
1.1.2GenericNotionofStates..........................10
1.1.3Interpretation(Semantics)ofTermsinStates.......13
1.2StateProperties(SyntaxandSemanticsofStatements)......14
2LogicalStructureofState-ChangeActions ................17
2.1LogicalMemoryStructure(LocationsandUpdates).........17
2.1.1InteractionTypeofFunctionsandLocations.........20
2.2LogicalStructureofOne-StepActions.....................22
2.2.1Single-AgentAlgorithmicSteps:Syntax.............23
2.2.2Single-AgentAlgorithmicSteps:Semantics..........31
2.3Domain-SpecifcOne-StepActions........................33
2.3.1CallStep(byValue,byName).....................34
2.3.2WorkspaceIncreaseOperation.....................35
2.4CoreActionsonStructures(Recap)......................37
3ControlStructuresofSingle-ProcessRuns ................39
3.1DefnitionofSingle-ProcessRuns.........................40
3.1.1RelativeComputability(BackgroundConcept).......41
3.2SequentialImperativeProceduralProgramRuns...........42
3.2.1ImperativeConstructs(JavaI).....................44
3.2.2ProceduralConstructs(ClassModel JavaC).........47
3.3InputDrivenSequentialRuns............................52
3.3.1ComputableFunctions(Input/OutputMachines).....53
3.4NondeterminismandInterleaving.........................60
3.5SynchronousParallelStepControl........................68
4DynamicSequentialStepControl .........................73
4.1PartialUpdatesofStructuredObjects.....................74
4.2IntuitiveMeaningofRefectivity.........................76
4.3RefectivePGAs........................................78
4.4BacktrackingandRefection(Prolog).....................82
4.4.1InterpreterforPureProlog........................82
4.4.2InterpreterforrefectiveProlog.....................86
4.5RefectioninLISP......................................91
4.6RefectiveRAM........................................101
4.6.1RefectivityatWork(IndirectAddressing)...........103
4.7RefectivityStyles......................................106
5ControlStructuresofMulti-ProcessRuns ................111
5.1WhatareConcurrentRuns..............................111
5.2CommunicatingProcesses...............................118
5.2.1WebBrowserModel..............................119
5.3Concurrency,Communication,Choice(Occam).............130
5.3.1OccamGroundModel............................130
5.3.2RefningSynctoAsyncCommunication.............133
5.3.3OptimizedCommunication........................138
5.3.4SequentialImplementation........................140
5.3.5Time-SlicingRefnement..........................143
5.4Concurrency,Parameterization,ContextAwareness.........144
5.4.1ContextAwareProcesses(AmbientASMs)..........145
5.4.2FromSequentialtoConcurrentRuns(Java/C#).....146
6MixedSynchronous/AsynchronousControlStructures ....151
6.1BulkSynchronousParallel(BSP)Control.................151
6.2Streaming(DataFlow)Control..........................153
6.2.1High-LevelStreamingModel.......................154
6.2.2RefnedStreamingVariants........................156
6.2.3ArtifcialNeuralNetwork..........................161
6.2.4SpreadsheetStreamingMachine....................162
6.2.5TCP/IPStreaminginComputerNetworks..........169
PartIIComputationalParadigms:Analysis
7CorrectnessAnalysis:Inspection,Validation,Verifcation .185
7.1GroundModels(Inspection).............................186
7.2ModelRefnements(ValidationandVerifcation)...........189
7.3TheRoleofDocumentation..............................192
8CharacterizationofProcessFamilies ......................195
8.1Single-AgentSequentialAlgorithms.......................196
8.1.1FromTuringMachinestoPGAs....................197
8.1.2ThePGATheorem...............................200
8.2ArithmeticalAlgorithmsandTuring’sThesis...............203
8.3ConcurrentAlgorithms..................................205
8.4RecursiveAlgorithms...................................208
8.4.1RecursionPostulates..............................208
8.4.2RecursiveASMs..................................211
8.4.3ProofoftheRecursiveASMTheorem...............214
9ComplexityAnalysis ......................................221
9.1PowerandLimitsofComputation........................221
9.1.1UndecidableComputationalProblems(Diagonalization)224
9.1.2UniversalityandRecursion........................226
9.1.3UndecidableLogicProblems(ReductionMethod)....231
9.2ComplexityofComputingoverStructures.................236
9.2.1UniversalASMoverFixedSignature................239
9.2.2Look-Compute-MoveAlgorithms..................250
Chapter1
ComputationalData,Operations,States
Inthischapterwefxthenotationweuseforfrst-orderlogictermsand formulaeandtheirinterpretation.Weuseacommonnotationsothatmost readersmayimmediatelyjumptoCh. 2 andcomebackhereonlyshoulda notationalquestionarise.
Typically,theexecutionofanalgorithmicstepimpliestoperformsome operations (actions)onsome objects ofcomputation(thatcomewiththeir propertiesandrelations,alsocalleddata).Thesefundamentaldatamanagementitemscanberepresentedinfullgenerality,ofwhateverparticular typethedatamaybe,bytreatingthemabstractly,independentlyoftheir particularcomputationalnature:1
• objectsaselementsofwhatever‘universeofdiscourse’(aset),2
• operationsasfunctionsdefnedovertheuniverseofdiscourse,
• propertiesandrelationsassubsetsoftheuniverseofdiscourse.
Duetoalgorithmicactionssomeproperties,relationsandfunctionsaresubjecttochangesothattheyarecalled dynamic,incontrastto static onesthat neverchange.Onethereforehastoprovide syntactic namestodenotethe itemsviasomenameinterpretation.Thisinterpretationissubjecttochange whenanalgorithmicactionisperformedontheinvolveditem.
Fornamingweadopttheusualsyntactictermsfromclassicalpredicate (frst-order)logic.WeintroducetheminSect. 1.1 togetherwiththeirinter-
1 Thefoundationalcharacterofthetriple(algorithm,action,object)canbeseenfromAlbertFleischmann’sepistemologicalobservationthatthe Subject-Predicate-Object structureofsimplestatements ‘SubjPerformsActionOnObj’ inindo-europeanlanguagesis closelyrelatedtothestructureofelementarystepsof(single-agent)algorithmicprocesses,namely AlgorithmicAgent-PerformsActionOn-Objects;itshowsthealgorithmexecutingagentsasthesubjectsofcomputationalsteps,aviewthatappears innuce alreadyin[78,Sect.19.7]andexplicitlyin[79,Sect.2.6].TheSubject-OrientedBusinessProcessModelingapproachexploitsthisanalogytosmoothlyintegratepersonsas subjects(read:executingagents)ofdigitalbusiness-processingsteps.
2 Intheareaof conceptualmodeling thewording‘entities’isusedforobjects,see https: //conceptualmodeling.org/
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 E. Börger, V. Gervasi, Structures of Computing, https://doi.org/10.1007/978-3-031-54358-6_1
7
pretations(alsocalledtheir semantics),describinghowthenamesdenote computationalitemsthatconstitutewhatiscalledthe state ofacomputation.Tospecifyconditionsunderwhichanalgorithmicactionisrequested tobeexecutedinastateweusemainlystandardfrst-orderformulaewhich forthesakeofcompletenessandtoexplaintheusednotationaredefnedin Sect. 1.2
1.1DataandOperationsonData
Functionsaretheprincipaloperationsdealtwithincomputing.Functions f inthemathematicalunderstandingcomemainlywithafxedlengthof arguments,calledtheir arity,andassociatewitheveryargument (a1,..., an) (ofagivenset A1 × ... An ofarguments)auniqueelement b (ofagivenset B ofvalues); b iscalledthevalueofthefunctionfortheargument (a1,..., an). Thestandardnotationis f : A1 × ... An → B.Functionscanbepartial, meaningthatforsomearguments (a1,..., an) theremaybenovaluedefned; thisisoftenexpressedbywriting f(a1,..., an)= undef.Afunctionthatis notpartialiscalledtotal.Forapartialfunction f its domain isdefnedas thesetofarguments (a1,..., an) withvalue f(a1,..., an) = undef,its range asthesetofitsvalues.
Inmathematicsfunctionsusuallycomewithafxeddefnitionwhichis independentofanycomputationalaction,reasonforwhichtheyarecalled static.Incomputingtheargument/valueassociationofafunctionmaychange forsomearguments,duetocomputationalactionsthatafectthedefnition ofthefunctionvaluesfortheinvolvedarguments.Thisiswhysuchfunctions arecalled dynamic.
Notationalconventionforrelations.Arelation R (alsocalledpredicate)istreatedinthisbookasafunctionwithrange true, false, undef.You maythinkof R(a1,..., an)= undef asexpressingthatthetypeoftheargumentsisnotcorrect.Arelation R isoftenwrittenasacharacteristic function charR tomarkthatitistreatedasapartialfunction.Arelation canbeseenalsoasaset,namelythesetofallelements (a1,..., an) where R(a1,..., an)= true.Otherstandardnotationsfor R(a1,..., an)= true are arelational‘statement’ R(x1,..., xn) or R(x1,..., xn) istrue or R(x1,..., xn) holds.Thesameholdsforproperties P whichweviewasrelationsofarity1 orsets {a | P(a)= true}.
Tosimplifythenotationwealsousethespecialcaseofafunctionwithzero argumentsasdenotingsomeelement,anobjectthatisassociatedwiththis function.Inlogic0-aryfunctionsarecalledconstants,incontrasttological variableswhichareusedasauxiliarytemporarynamestodenoteanynot furthermorespecifedelementsofsomeset.Butsincealso0-aryfunctionsmay changetheirvalueduetocomputationalactionswesticktothewording0-ary
function.Wemayomittheparenthesesfor0-aryfunctions,writing c instead of c().Adynamic0-aryfunctioncorrespondstoavariableofprogramming.
Wenowdefnethesyntax(Sect. 1.1.1)andsemanticsofterms(Sect. 1.1.3) incomputationalstates(Sect. 1.1.2),therebyspecifyingthelogicalstructure weusetodescribedataandoperationsondata.
1.1.1NamingObjectsandOperations(Syntaxof Terms)
Withtheprecedingstipulationsonecandescribeanyalgorithmicactioninvolvinganycomputationaliteminauniformwaybyusing terms toname computationalobjects(read:data)onwhichsomeoperationsareperformed (byanactiveentity).Termsarebuiltupfrom0-aryfunctionsymbolsby appropriatefunctionapplication(Def. 1).Toprovidethepossibilitytotemporarilynamesomeusuallyarbitrarilychosenbutfxedelementofasetwe includealsoindividualvariablesassyntacticalnamesforobjects.Thesemanticalinterpretationoftermsandindividualvariablesassignsvaluestothem, thusconstitutingwhatiscalledanalgorithmic state (Def. 2).Theinterpretationofindividualvariables(Def. 3)appearsthereasa variableenvironment inwhichthecomputation(alsocalled evaluation)offunctionaltermsinthe statetakesplace(Def. 4).
Defnition1. (TermsoveraSignature)Afnitesetoffunctionsymbols iscalleda signature or vocabulary.Sincewedealwithrelationsasfunctionswithtruthvalues true, false, undef weusuallyassumewithoutfurther mentionthatthreespecial0-aryfunctionsymbols(whichweagainwrite as true, false, undef)arepresentineverysignatureandinterpretedinthe standardway.
Wewrite f , g, h forfunctionsymbols,possiblyindexed f1, f2,...,andindicatetheirarity n by f n or f (n) onlywherenecessarytoavoidanyambiguity; usuallythearityisclearfromthecontext.Sometimeswewrite c, c1,... for 0-aryfunctionsymbols.Forafrugalnotationweconsider f n and f m with n = m asdiferentfunctionnames,thesameforversionsof f withdiferent argumenttypes.Wewrite Σ (possiblyindexed)forsignatures.
Wewrite x, y, z (possiblyindexed)for individualvariables whicharespecial identifers,usedasauxiliarytemporarynamesforarbitrarynotfurthermore specifedelementsofaset.
Foranysignature Σ the terms (over Σ)areconstructedstartingwith individualvariables x and0-aryfunctionsymbols f 0 ∈ Σ andsuccessively applyinganyfunctionsymbol g ∈ Σ ofpositivearity n toanyalreadyconstructedterms t1,..., tn.Formallythestepsofthisinductivedefnitionread asfollows:
• Everyindividualvariable x and0-aryfunctionsymbol g0 ∈ Σ isaterm (over Σ).
• If t1,..., tn areterms(over Σ)and f isan n-aryfunctionsymbol(in Σ) for n > 0,then f(t1,..., tn) isaterm(over Σ).
Atermwhichdoesnotcontainanyindividualvariableiscalleda groundterm or closed.Wewrite s, t (possiblyindexed)forterms.Incomputersciencethey arealsocalled expressions,anamewhichinlogicusuallyreferstoformulae asdefnedbelow.
Example1 (MealyAutomatonSignature). Asourfrstexampleweconsider Mealyautomata,afrequentlyusedtypeofmachinesintroducedin[127].A Mealyautomatonconsistsofa0-aryfunction in wheretheinputisread,a0aryfunction out wheretheoutputiswritten,andacontrolunit ctl (denoting whatwecallcontrolstates)bywhichthebehaviour(read:theexecution ofspecifcactionsinsinglesteps)oftheautomatonismanagedfollowinga program pgm.Theprogramdetermineshowtheautomaton,readinginits currentcontrolstate ctl someinput,producessomeoutputandproceedsto itsnextcontrolstate(forfurtherinputreading).Thethree0-aryfunction symbols in, out, ctl belongtothesignatureofaMealyautomatonanddenote itsarchitecturalcomponents.Theirprecisemeaning(asmemorylocations) andsomemoresignatureelementswillbecomevisiblewhenMealyautomaton statesandactionsaredescribed(seebelowExample 2,pg. 12).
1.1.2GenericNotionofStates
Defnition2. (StatesoveraSignature)Foragivensignature Σ a state A (over Σ)isdefnedbyanon-emptyset A andan interpretation ofeach functionsymbol f n ∈ Σ byatotalfunction f A : An → A whichisalsocalled thedenotationof f.Weassume Σ tocontainthreeelements true, false, and undef whosedenotationsareassumedtobefxed(i.e.static)pairwise diferentelementsanddiferentfromallotherelementsin A.Weassume Booleanfunctionsandequalitytobeinterpretedintheusualway(seeDef. 6, pg. 15).
A iscalledthe superuniverse or base setofthestate A anddenoted |A|. Wecalltheelementsofthesuperuniversealsothe elements ofthestate.The conventiontotreatpropertiesandrelationsbytheircharacteristicfunctions makestheminterpretedinastateassubsetsofthesuperuniverse.Suchsubsetsarealsocalledsubuniversesorsimplyuniverses.
Comprehensivenessofstates.Structuresarethemostgeneralmeans mathematicallanguageoferstorepresentstatesofafairsofthe(partof interestofthe)world.Astheresultofinterpretationsofgivenpredicate, relationandfunctionsymbolstheyareknowninlogicas Tarskistructures
[161, 11]orsimplystructuresandinuniversalalgebraasalgebraicstructures orsimply algebras (withstaticfunctions).Intheoreticalcomputerscience theyareknownas(axiomaticallydefned)abstractdatatypes.Structuresas statessupportalsotheviewofdatabasesas relationalstructures whereevery argumentforwhichtherelationholdscorrespondstoarowinthedatabase tablefortherelation.AllowingsomefunctionsinTarskistructurestobedynamicasweexploitinthisbookprovidesforthepracticeofcomputingamost generalbutconceptuallysimpleformofcomputationalstates.Theelements ofthesuperuniversecanbeanykindofdynamicstructuredobjects—think aboutsets,lists,trees,graphs,butalsoprograms(thatmayevenbetransformedatruntime),networksofcommunicatingagents,etc.—whichcanbe transformedwiththehelpofcorrespondingfunctionsthatoperateonthose structures,atwhateverdesiredlevelofabstraction.Inaddition,asisfurther explainedinCh. 2 andexploitedthroughoutinthisbook:
• functionsrepresentanabstracteasy-to-graspformofmemory:everyargumentof f appearsasmemorylocationfor f whosecontentisthevalue of f forthatargument,sothat
• anyalgorithmicactioncanbedescribedaschangingthevalueofsome memorylocations,namelytheinterpretationofthosetermsthatarecharacteristicforthealgorithmicaction(read:areatthelevelofabstraction ofthataction).
Anintuitiverepresentationoffunctionsisbyfunctiontableswhichsupport thetwomainviewsofmemory:theabstractviewasgivenbytablesandthe concreteviewasgivenbysinglelocations(read:tableentries),afeaturethat canbeusefulforprogramdocumentation(see[134, 32]).
Anotationalconventionfor0-aryfunctions.ByDefnition 2 dynamic0-aryfunctions c playtheroleofprogrammingvariables(orregisters) sincethedenotedelement cA ∈ A (orregistercontent)maychangefromstate tostateduetosomealgorithmicaction.If c isusedasaconstant,i.e.asa staticfunctionthatdenotesthesameelementineverystateunderconsideration,sayanaturalnumber cA =7,thenwesometimesidentifythefunction symbol c withitsdenotation cA =7 andsimplywrite 7 insteadof c.This holdsinparticularforthestaticconstants true, false and undef.Weextend thisconventionbywriting f insteadof f A whenitisclearfromthecontext thatnotthe0-aryfunctionsymbol f,butitsinterpretation f A ismeant.
Anoteon undef.By undef wedenoteanundeterminedobject.Itplays theroleofthedefaultvalueofthesuperuniverse.Weuse undef tohandle partialfunctionsasfollows.Forlogicalreasonsnotexplainedherewerequire byDefnition 2 thattheinterpretationofafunctionsymbol f inastate associatesavaluewitheachelementofthestatesothatitdenotesa total function.Butwewanttobeabletodealalsowith partialfunctions that appearfrequentlyincomputing.Thereforewepermitfunctionstohave undef asvalueandtreatthe domain offunctionsasthesetofallandonlythose arguments (a1,..., an) ∈|A|n forwhichthefunctionhasa‘defned’value
f A(a1,..., an) = undef.Asaconsequence,byaslightabuseoflanguagewe callafunctionapartialfunctionalsoincaseithasthevalue undef forsome argument.Sincewetreatrelationsbytheircharacteristicfunctions,relations toocanbepartialsothattheirrangeistheset {true, false, undef }
Example2 (MealyAutomatonStates). Wecontinuethepreviousexampleof aMealyautomaton(seeExample 1 above)bymodelingatransformationof aninputsequence(readfroma tape)intoanoutputsequence(writtentothe same tape).Tothisend,wemodifythesignaturebyrefningthefunctions in and out to tape(head),wherea0-aryfunction head representstheposition onthe tape fromwhichtheautomatonreadstheinputsymbolandtowhich itwritestheoutputsymbol.3
Morepreciselystated:a tape is(interpretedas)a(possiblyinfnite)sequenceofsquareseachofwhichcanbearaletter,constrainedbytheconditionthatonlyfnitelymanysquaresarenon-empty,i.e.bearaletterthatis diferentfromaspecialvaluethatweidentifywith undef (traditionallycalled a‘blank’).Thesegmentofatapethatcontainsallnon-emptysquaresrepresentsawordMealyautomataareinterestedin,i.e.afnitesequence a1 ... an ofelements(called‘letters’)ofanon-emptyfniteset(called‘alphabet’).Initiallyallnon-emptysquarescontainasymbolfromsome InAlphabet.Asthe transformationprogresses,suchinputsymbolsarereplacedbysymbolsfrom some OutAlphabet (whichmayormaynotcoincidewith InAlphabet).
head : Square --0-aryfunctionwithvaluesin Square tape : Square → InAlphabet ∪ OutAlphabet
Atanytime,thecontrolunitisina controlstate heldbya0-aryfunction ctl; thepossiblecontrolstatesaretheelementsofanon-emptyfniteset CtlState: ctl : CtlState --a0-aryfunctionwithvaluesin Ctl
TheMealyautomatonprogram pgm determinesthereactionofthemachine wheninitscurrentcontrolstate ctl = i itreadsaninputletter tape(head)= a:itwritesaletter b into tape(head),movesthe head (namelytothenext squaretotherightofthecurrentlyvisitedsquare),andswitchestoitsnext controlstate j.Forsimplicityofexpositionofthemovesoftheread-and-write head wechoose Square tobe(aninitialsegmentof)theset Nat ofnatural numberssothat‘thenextsquaretotherightof ctl’is ctl +1
Thismeansthat pgm isfurthermorespecifedbythefollowingtwofunctions(plusthesuccessorfunction +1 of Nat todeterminethenextsquareto therightof head):4
3 IntheliteratureMealyautomatacomewithseparateinputandoutputtapes.Toshow belowinanexplicitmannerthesubtlerelationbetweenMealyautomataandTuring machinesweuseone tape fromwhereinputisreadandtowhichoutputiswritten.
4 Alternatively,onecanspecify pgm byonesinglefunction pgm : CtlState×InAlphabet → OutAlphabet × CtlState × Square.Here, Square isastaticsuccessorfunctionthatalways yieldsthenext Square ontheright.Byomitting Square,weobtaintheusualnotation of pgm asasetofinstructionsofform (i, a, b, j) wheretheassumedright-moveofthe head remainsimplicit.
write : CtlState × InAlphabet → OutAlphabet nextCtl : CtlState × InAlphabet → CtlState
Thusthesuperuniverseistheunionof Nat,thealphabets InAlphabet, OutAlphabet andthe CtlState (plusthealwaysassumed0-aryfxedfunctions true, false and undef).
TheexampleshowsthatthefurtherspecifcationofMealyautomataimposescertainconstraintsontheinterpretationoftheMealyautomatonsignatureelementsintroducedinExample 1 (pg. 10),forexampleturningthe monitoredfunction in andtheoutputfunction out intoonerefnedfunction tape.Italsoaddsnewsignatureelements,likeforthestaticprogramfunctions write, nextCtl (usuallydenoted λ,δ)andthesuccessorfunction +1 together with head.InExample 4 (pg. 26)wewillconcludethebehaviouraldefnition ofMealyautomatabyspecifyingalsothelogicalstructureoftheelementary actionsMealyautomataperformineverysinglestepoftheircomputations.
1.1.3Interpretation(Semantics)ofTermsinStates
Onecancomputeineverystateforeachsyntacticaltermavalueifaninterpretationoftheindividualvariablesthatoccurinthetermisgiven.Such aninterpretationconsistsofanassignmentofelementsofthesuperuniverse tofnitelymanyindividualvariables;suchaninterpretationisalsocalled (individualvariable) environment ofthestate.
Defnition3 (Variableenvironment). Let A beastate.A variableenvironment for A isafunction ζ whichbindseachofafnitenumberofindividual variablestoname(‘denote’)anelementofthesuperuniverseof A.Wewrite ζ[x → a] forthevariableenvironmentthatcoincideswith ζ exceptthatit binds x todenotetheelement a. range(ζ) isdefnedasthesetofallelements thatoccurinthebindingsof ζ.Notethatthefunctionsymbol ζ isnotin thesignatureofanASMbutappearsintheASMframeworkwiththeroleto keeptrackofvariablebindingswheredefningthemeaningofterms,formulae andmachines.
Ineverystate A onecancomputeforeveryterm t avalueifavariable environment ζ isgiventhathasabindingforeachindividualvariablethat occursintheterm.Thistermevaluationfollowstheinductivedefnitionof terms t,evaluatingindividualvariables x asdefnedbythevariableenvironmentand0-aryfunctions c asdefnedbythestate.Weskipmentioning ζ wheretheconsideredtermsarewithoutfreevariables.
Defnition4 (Interpretationoftermsinstates). Let A beastateand t atermof Σ, ζ avariableenvironmentfor A thatdefnesforeachindividual variableof t avalue.
• eval(x, A,ζ)= ζ(x) and eval(c, A,ζ)= cA
• eval(f(t1,..., tn), A,ζ)= f A(eval(t1, A,ζ),..., eval(tn, A,ζ))
Wesaythatinstate A withvariableenvironment ζ theterm t denotes (‘names’)thevalue eval(t, A,ζ) whichisalsocalledthe meaning of t orits semantics.Bydefnitiononlythesubfunctionof ζ thatbindstoeveryindividualvariableof t avalueinfuencestheinterpretationof t,apropertywe formulateforfuturereferenceasalemma.Sotheevaluationofthevariablefreegroundterms t dependsonlyontheinterpretationofthestatesignature andonecanwritesimply eval(t, A).
Lemma1 (CoincidenceLemmaforTermEvaluation). If ζ and η aretwovariableenvironmentsthatcoincideover t,i.e.satisfy ζ(x)= η(x) forallvariables x of t,thenalsotheevaluationsof t withthosevariable environmentscoincide,i.e.yieldthesameresult eval(t, A,ζ)= eval(t, A,η).
1.2StateProperties(SyntaxandSemanticsof Statements)
Wedefnitelywanttouseanystandardmathematicalexpressionsthathelp todescribetheanalysisofthebehaviourofacomputationalsystem,butto formulatetheconditionsbywhichtypicallytheexecutionofanyalgorithmic actioninastateistriggeredweneedonlyformulaeofpredicatelogicwhich wereviewinthissection.Aswithtermsonehastodefnethesyntaxandthe semanticsofformulae.
Sincewetreatpropertiesandrelationsbytheircharacteristicfunctions theonlyatomicformulaeweneedtoconsiderareequationsbetweenterms. Startingwiththemarbitraryformulaearesyntacticallyconstructedusing booleanconnectivesandquantifers.
Defnition5 (Formula). Let Σ beasignature.The formulae over Σ are constructedinductively:
• Everyequation s = t betweenterms s and t over Σ isaformula,also calledanatomicformula.
• EveryBooleancompositionofformulae φ,ψ isaformula.Booleancompositionsarenegations not (φ),conjunctions (φ and ψ),disjunctions (φ or ψ),equivalences (φ if ψ),etc.
• Theuniversalandexistentialquantifcations forall x (φ) and forsome x (φ) areformulasif φ isaformulaand x anindividualvariable.
Forwritingformulaeweusetheusualnotationalconventions,inparticular whenomittingparenthesesforbetterreadability. s = t standsfor not (s = t).Asusualanindividualvariable x iscalled bound bythequantiferina quantifcation forall x (φ) or forsome x (φ) andits scope istheformula φ
Anoccurrenceofanindividualvariable x is free inaformulaifitisnot inthescopeofaquantifer forall x or forsome x.By φ(x/t) orif x is clearfromcontext φ(t) (substitution)wedenotetheresultofreplacingall freeoccurrencesoftheindividualvariable x in φ bytheterm t;individual variablesthatareboundin φ butalsooccurin t areassumedtoberenamed byfreshindividualvariables.
Theinterpretationoftermsinastatewithrespecttoavariableenvironmentcanbeextendedtoformulae,resultinginatruthvaluethatindicates whetherwhattheformulaassertsistrueinthegivenstateorfalse.Thenames ofthelogicalconnectivesandquantifersrefertotheirusualmeaningthatis usedfortheevaluationofformulaewheretheequalitysignisinterpretedas identity.
Defnition6
(InterpretationofFormulae).
Let A beastateand φ a formulaof Σ and ζ avariableenvironmentthatdefnesavalueforevery individualvariablewithsomefreeoccurencein φ.Byinductionon φ we defne:
eval(s = t, A,ζ)= true if eval(s, A,ζ)= eval(t, A,ζ) false otherwise
eval(not φ, A,ζ)= true if eval(φ, A,ζ)= false false otherwise
eval(φ and ψ, A,ζ)= true if eval(φ, A,ζ)= eval(ψ, A,ζ)= true false otherwise
eval(forall x φ, A,ζ)=
true if eval(φ, A,ζ[x → a])= true foreverya ∈|A| false otherwise etc.asusual
Notethatforconceptualeconomyweusethesamename eval forthe twofunctionsthatevaluatetermsrespectivelyformulaeandthusaredistinguishedbythetypeoftheirarguments.Rememberthatrelationsand predicatesaretreatedasfunctionssothattheonlyatomicformulaeweconsiderareequations.Bytheprecedingdefnitionineverystateeveryformula builtupfromequationsiseithertrueorfalse.Ifinastate A aformula φ evaluatestotrueforallvariableenvironments ζ (for φ),thisstate A iscalled a model of φ.Asfortermsalsotheinterpretationofaformula φ depends onlyonasubsetofanyvariableenvironment ζ,namelythevaluesof ζ forthe individualvariablesthathavesomefreeoccurencein φ.Forfurtherreference weformulatethispropertyasalemma.
Lemma2 (CoincidenceLemmaforFormulaEvaluation). If ζ and η aretwovariableenvironmentsfor φ thatcoincideover φ,i.e.satisfy ζ(x)= η(x) forallindividualvariables x withsomefreeoccurencein φ,thenalso theevaluationsof φ withthosevariableenvironmentscoincide,i.e.yieldthe sameresult eval(φ, A,ζ)= eval(φ, A,η)
Forfurtherreferencewealsoformulatehereasalemmathatthemeaning ofanyformula φ whereanindividualvariable x hasbeensubstitutedbya term t canalsobeobtainedbychangingthevariableenvironmentforthe evaluationoftheformulatoassignthemeaningof t to x Lemma3 (SubstitutionLemma). Formulaevaluationtreatsvariable substitutionbytermsasvariableenvironmentchange.Toexpressthismore precisely,let a = eval(t, A,ζ).Then
eval(φ(x/t), A,ζ)= eval(φ, A,ζ[x → a]).
Giventheabovelemma,wewillalsowrite φ[x → t] for φ(x/t)
Another random document with no related content on Scribd:
Sabina, joka oli ojentanut äidilleen kehruupaloja kopasta, huomasi, että rukki pysähtyi. Mikä nyt tuli? Eihän lanka ollut katkennut. Hän oli seurannut jännityksellä kehruupalojen liukumista langaksi ja odottanut, eikö äidiltä vahingossakaan menisi poikki. Toisinaan kun hän oikein kiinteästi ajatteli, oikein otsaansa rypistäen, että rukki kehräsi lankaa prinsessa Kunigundan huntuun, loppui lanka yht’äkkiä. Mutta se ei tietenkään johtunut siitä, että hän niin ajatteli, vaan siitä, ettei hän jännitykseltään joutanut ojentamaan uutta kehruupalaa, jolloin äidin oli pakko päästää langanpää irti.
Kuului kopinaa eteisestä. Ovi aukeni ja Malmi-Muurman poikineen työntyi sisään.
— Peive! sanoi hän lyhyeen, karskiin tapaansa. Karuliina vastasi tuskin kuuluvasti. Mutta Amprun kieli lauloi sitä vilkkaammin.
— Jo mie tuossa tiirailin, että kuka se… niin jo Muurmanni-herra itte… tuota… ja Jonnekin matkassa…
Muurman kätteli Karuliinaa, nipisti Sabinaa poskesta ja istahtaen penkille ryhtyi täyttämään piippuaan.
Nyt oli kysymys siitä, että Jonne jäisi Lunnasjärveen pariksi kuukaudeksi. Siellä Tunturimajalla oli poika liiaksi omissa hoteissaan; ei muita kuin jätkiä seurana. Ei kai Karuliina-rouvalla ollut mitään sitä vastaan? Maksettaisiin tietysti nojan ylöspito.
Karuliina nauroi rukin takana. Se oli tämä Malmi-Muurmanni sellainen koiranleuka. Puhutteli häntäkin rouvaksi, vaikk'ei hän ollutkaan kuin uutistalokkaan akka. Mutta hienosti se puhui… ylöspidosta oikein. Niinkuin Lunnasjärvessä olisi sellaisia voinut tarjota.
Mutta isä Ampru otti asian paljon vakavammalta kannalta. Häntä hiukan harmitti, ettei Karuliina osannut käyttäytyä. Istui siellä karsinan loukossa nauraen kuin mikäkin Saara, kun hänelle asiaa puhuttiin. Kyllähän se passasi. Antaa Jonne-herran jäädä vain. Kyllä sille ylöspidot laitettaisiin… sikäli kuin talossa varaa oli. Ja olihan sitä — Jumalan kiitos. Lehmä oli vast’ikään poikinut. Ternimaitoa saatiin.
Laitettaisiin juustoja niin vietävästi.
Sovittiin siis, että Muurmannin Jonne jäisi Lunnasjärveen. Äiti Karuliina laittaisi vain kamarin kuntoon. Siellä oli vielä vanha harmonikkasänkykin, jonka Piise-hosmestari aikoinaan kuljetti tänne ja sitten jätti. Siinäpä passasi Jonnen köljöttää.
Muurmannin herra lähti ja Jonne jäi. Hänestä oli hauskaa tällainen vaihtelu. Olihan tämä sentään toisenlainen paikka kuin Tunturimaja ja täällä oli toisenlaisia ihmisiäkin… Sabinakin. Jonnehan tunsi hänet erinomaisen hyvin.
V.
Oli sentään Lunnasjärvellä yksi paikka, johon ei Malmi-Muurmannin puuhien aiheuttama levottomuus ollut päässyt tunkeutumaan. Se oli vanhan Tahvon pirtti pihan toisella puolen.
Se oli oikea tonttujen asunto, pikkuinen ja ahdas. Suuri luonnonkivistä kyhätty muuri vei enemmän kuin puolet huoneen pinta-alasta. Peräseinällä ikkunan edessä oli pöytä ja sen molemmin puolin sänky, isoisän ja isoäidin makuusijat. Sivuseinällä seisoivat kangaspuut. Niiden ja muurin väliin jäi vain kapea kuja, josta vain vaivoin pääsi perälle tunkeutumaan. Eikä perälläkään ollut sen tilavampaa. Mutta eivätpä vanhukset isoja tiloja kaivanneetkaan.
Orsi oli täynnä kuivamaan ripustettuja vastavalmistuneita huopatossuja. Niitä oli isompia ja pienempiä, joukossa hyvinkin pieniä. Iltahetkinä tuntui siltä, kuin olisi tonttujoukko riisunut tossut jaloistaan ja pujahtanut nukkumaan mikä sängyn, mikä pöydän alle, mikä minnekin. Nuo kaksi piippua polttelevaa vanhusta olivat kuin heidän vanhempansa. Siksi iäkkäitä he olivat kumpikin.
Vanha Tahvo oli miehuusiässään paljon kulkenut. Hän tunsi Ruijan sangen tarkkaan. Hän oli näet Jäämerellä pyydystänyt liki
parikymmentä vuotta, nähnyt myrskyn jos tyvenenkin. Olipa hän toisinaan palvellut renkinäkin jollakin Ruijan kauppiaalla kyllästyttyään alituiseen veneessä keikkumiseen.
Ei ollut Ruija häntä erikoisemmin viehättänyt. Jos ei hänellä jo lähtiessään olisi ollut vakaata aietta perustaa uudistalo korpeen, hän kukaties olisi jo aikaisemmin palannut. Mutta vanha Tahvo oli jo nuoruudessaan peljännyt velkaa ja sen vuoksi hän oli päättänyt koota pääoman millä alkaa. Hitaasti se tosin oli karttunut, sillä ansiot olivat olleet pienet siihen maailman aikaan, — varsinkin jos ei pystynyt omaa venettä hankkimaan. Niin paljon oli Tahvo sentään ansainnut, että oli kolmenkymmenenviiden korvissa uskaltanut lähteä paluumatkalle mentyään sitä ennen naimisiin.
Hän oli nähnyt maailmaa tarpeekseen. Hän oli laskenut liinoja, ollut »höysmannina» eri pyytäjien veneissä ja työskennellyt valaiden »läkkäyspaikalla» Vesisaaressa. Olipa hän jonkun aikaa pitänyt pikku kahvilaakin merimiehille ja kalastajille ja näppärä tarjoilija oli hänen vaimonsa Anna-Stiina ollut. Mutta maailman iloihin hän ei silti ollut isosti osaaottanut.
Kuten sanottu — hän oli siis nähnyt maailmaa tarpeekseen. Sen vuoksi hän ei ollut viitsinyt asettua Kopsaan, missä muuten hänen sukunsa asui, vaan oli muutamana päivänä lyönyt kontin selkäänsä, ottanut mukaan vaimonsa ja poikansa, joka silloin oli ollut yhdeksän vuoden vanha, ja painunut korpeen. Pilkoittaen puita kulkusuuntansa merkiksi hän oli päätynyt Lunnasjärven rannalle ja päättänyt asettua siihen.
Yhdessä vaimonsa kanssa hän oli ruvennut rakennuspuita kaatamaan. Siihen aikaan ei ollut vielä hosmestareita, ainoastaan metsäpäällysmiehiä, mutta paperit hän oli saanut uudistalolleen.
Papille hän oli sanonut menevänsä metsään ja rakentavansa sinne talon. Johon pappi oli huomauttanut, että 'mene vaan'. 'Sillä tavalla se on moni muukin mennyt ennen sinua.'
Talo oli kohonnut. Vuoden päästä he olivat saaneet muuttaa uuteen pirttiin, asuttuaan sitä ennen saunassa. Mutta vähitellen vuosien vieriessä oli asumusta täytynyt ruveta laajentamaan. Pirtin päähän oli pitänyt rakentaa hellalla varustettu keittiö, oikein herraskeittiö. Siinä oli useampi hosmestari vuosien kuluessa ruokiaan laitellut. Keittiön päähän oli vielä rakennettu vierashuone, jossa Amprun lasten mielestä oli maailman kauneimmat seinäpaperit, oikein sellaiset ruusukiehkuraiset, jommoisia ei tavata edes pappiloista, saatikka sitten muista taloista. Tahvo oli ne kerran tuonut Könkäältä ja voudin rouvan kanssa niitä oli yhdessä ihailtu.
Niin olivat vuodet vierineet. Vanhin poika Ambrosius oli nainut lähimmästä väylänvarsikylästä… samoihin aikoihin kuin vierashuone sai koreat seinäpaperinsa. Karhunkaatajasukua oli Amprun vaimo, ja hän oli ollut heti valmis lähtemään uljaalle metsämiehelle, joka isänsä kanssa oli jo kaatanut kymmenkunta karhua. Ennenkuin vuosi oli umpeen kulunut, oli Karuliinalla pienoinen tytär ja kolmas polvi aloitti elämäänsä kirkkaan tunturijärven rannalla.
Vanha Tahvo rakasti Lunnasjärveä. Sitä ympäröivät joka puolelta korkeat tunturit. Vuosisadasta toiseen ne olivat katselleet kuvaansa erämaajärven tyvenessä pinnassa, jonka tuulenviri vain harvoin rikkoi. Vuosisadasta toiseen ne olivat vartioineet järven hiljaista rauhaa. Harvoin osui sen rannalle kulkijan jalka. Vain kontio saloa kierrellessään sammutti janonsa sen kylmällä kaltiovedellä. Vain hukka juoksi sen yli talviseen aikaan, kohoten sen läntistä, jyrkkärinteistä rantaa ylös ja kätkeytyen Kiiluvaistunturin lukuisiin
luolakoihin. Joskus halkoi hirvi, kiveliön kruunupää, sen kirkasta pintaa tai ui rantaruohikon katveessa sorsaparvi poikineen. Ei muuta ääntä kuin purolohen polskahdus sen niskalta lähtevässä koskessa tai joutsenen heleä, juokseva joiunta, joka muistutti kellon ääntä ja hukkui erämaan avaraan syliin. Ne olivat ainoat merkit, joilla Luoja merkitsi ajan kulun. Sillä aurinko, joka kesäkuukausina vaelsi seudun yllä laskematta ollenkaan, osoitti pikemmin, että aika oli lakannut olemasta, kun ei päivä vaihtunutkaan yöksi. Ja talvella taas, sydänkuiden aikana retkeili kuu samoja reittejä, julistaen Lapin talviyön toivotonta pituutta. Ei tiettynyt silloin reenjalaksen jälki Seulakkopäällä moniin viikkoihin, sillä Lunnasjärvelle ei ollut kenelläkään asiaa. Vain huopatossu- ja juustokuorma vaelsi kerran talvessa yli tunturin ja silloin sai kahlauttaa hevosta mahaa myöten.
Sellainen oli seutu, johon vanha Tahvo oli sydänjuuriaan myöten kiintynyt. Erämaan rauhaa ei häirinnyt kukaan. Sillä ne muutamat metsänhoitajat, jotka joskus kesäisin käväisivät seudulla, hävisivät yhtä nopeasti kuin olivat tulleetkin.
Kunnes saapui Muurmanni, Malmi-Muurmanni ja kuin yhdellä iskulla rikkoi erämaan hiljaisen rauhan.
Vanha Tahvo vihasi Muurmannia. Hän ei voinut käsittää, mitä varten tämä oikein oli tullut. Malmia etsimään. Niin — Tahvokin kyllä uskoi, että tuntureissa löytyi sitä, löytyi oikein kosoltakin. Mutta se oli vuorenhaltian omaisuutta, johon ei ihminen saanut kajota. Malmirikkauksiansa katsellessaan unohtivat haltiat ihmisen, jättäen hänet rauhassa elämään. Metallin kiilto huikaisi niiden silmät niin etteivät ne nähneet. Mutta nyt aiottiin herättää kaikki tunturin haltiat ja saada kiveliö riehuvia paholaisia täyteen. Ja tämä kaikki yhden hullun ihmisen päähänpiston vuoksi.
Vanha Tahvo istuu sängyn laidalla ja tuijottaa tuleen. Hänen mustat silmänsä hehkuvat. Huonosti olisi jo käynyt, jollei hän olisi loitsuillaan estänyt onnettomuuden tuloa. Kyllä hän vuorenväen tunsi. Niiden kanssa ei ollut leikkimistä.
Yöllä, kun talo nukkuu, kulkee vanha Tahvo ympäri loitsuja lukien. Hän kiertää asuinrakennuksen ja navetan, heinäladon ja saunan. Hän uskoo, että paha vaaniskelee ympärillä joka paikassa ja että sitä vastaan piti aina olla varuillaan. Ainoastaan, jos omasta lihasta ja verestä nousi paha, niin sitä vastaan hän oli voimaton. Ja vanha Tahvo uskoi, että vuorenväki, jonka Malmi-Muurmanni ammuskelullaan herätti, saattoi silläkin tavalla kostaa.
VI.
On kulunut kaksi vuotta edelläkerrotusta. Muurmannin Jonne on viettänyt kevätkappaleen Lunnasjärvellä isän ollessa »alhaalla.» Työt Kaamaslaessa ovat olleet seisauksissa koko talven. Malminäytteet, joita oli viimeksi saatu, olivat olleet huonoja. Entiset yhtiökumppanit olivat luopuneet yrityksestä, joka näytti toivottomalta. Mutta nyt on Muurmannin herra löytänyt uusia yhtiökumppaneita, pari rikasta norjalaista. He ovat saapuneet hänen muassaan »ylös» paikan päällä todetakseen, minkä verran Malmi-Muurmannin puheissa oli perää.
Olihan niissä. Herrat olivat viikon ryskänneet tunturissa ja palanneet lauantai-illaksi Lunnasjärvelle, Malmi-Muurman halusi noutaa poikansa omaan taloonsa Kaamaslaen toiselle puolen.
Oli taas kerrankin elämää ja vilkkautta Amprun matalassa pirtissä Ukko Tahvokin oli vääntäytynyt omalta puoleltaan etelän herroja tervehtelemään. Vanhuksen ilmestyminen herätti iloisuutta herrojen kesken… Malmi-Muurman oli kertonut, että vanhus oli suuri noita ja tietäjä.
Mitä vanha isäntä arveli heidän puuhistaan? Tulivatko onnistumaan?
Malmi-Muurman tulkitsi kysymyksen vanhukselle. Tämä tuijotti hyvän aikaa lattiaan ennenkuin vastasi. Sitten hän kääntyi hitaasti Muurmannin puoleen, tarkasteli tätä pienillä ruskeilla silmillään, jotka tuuheiden kulmakarvain alta kiiltelivät kuin karhun silmät, ja vastasi yksikantaan:
— Maa pitää omansa, uskokaa, jos tahotte. Parasthaan se ei teille anna.
Mikä se parasta oli?
Malmi, oikea malmi. Eihän tähän saakka oltu saatu kuin pintaroskaa ja sehän ei kelvannut mihinkään.
Kyllä sekin kelpasi, kunhan vain saataisiin paremmat kulkuneuvot.
Siinäpä se oli — kulkuneuvot. Mutta näille maille ei Jumala ollut aikonutkaan sen parempia kulkuneuvoja kuin itse kunkin omat jalat.
Niin oli hänkin paikalle tullut — omilla nappuloillaan ja niihin oli turvautuminen, jos mieli vaikka Kopsassa käydä.
Mutta nyt nosti Ampru ison hälinän. Isä se aina vänkäsi vastaan. Mitä — kun rakentavat rautatien, niin kyllähän silloin kannatti.
Tahvo-vanhus sylkäisi halveksuvasti. Vai rautatien! Hmh! Pyörälle olivat panneet jo pojankin pään. Tämä malmihomma oli ollut sitä vihoviimeistä maailman alusta asti. Eikö sitä oltu jo näillä kulmilla koettu? Paukuttivat tynämeeteillään hereille kaikki kiveliön karhut, jotka vimmoissaan hyökkäsivät karjan kimppuun, repien uutistalokkaan viimeisenkin elatuksen avun. Viisi lehmää oli viime
syksynkin kuluessa joutunut Kopsan tienoilla karhun kitaan.
Ainoastaan Lunnasjärvi oli säästynyt tähän saakka.
— On tainnu Taffo tehhe taikkatemppu? naureskeli Muurman.
— Vaikkapa öisinkin, vastasi tämä salaperäisenä.
Mutta Ampru oli kerran päässyt vauhtiin. Eiköhän ollut Jumalan meininki ja tarkoitus, että nämäkin seudut pääsisivät muun maailman yhteyteen? Malminetsintä se juuri avasi heillekin, lunnasjärveläisille, mahdollisuuksia parempaan toimeentuloon. Palijouvessa. Jollei muun vuoksi, niin viilin hakuun tulisivat ainakin — etelän herrat, niillä kun siellä lannanmaassa oli jo jos jonkinlaiset maito- ja voimasiinit, jottei rehellistä viiliä enää missään.
— Juu… viilin hakku ne tule… etälän härrat. Siinä sinulla on oikke, Ambru. Viilin hakku on meekin tullu ja olis hyve, jos Karuliina panis pöythen juuri varssin.
— Näe nyt! sanoi Ampru isälleen. — Näe nyt! Seurasi yleinen nauru. Ruijan herrat nauroivat oikein sydämensä pohjasta. Ampru ei oikein ymmärtänyt, mille ne nauroivat. Kaipa sille, että hän oli niin loistavasti voittanut väittelyssä. Ei hän ollutkaan niitä tyhmemyksiä, Ampru, huihai. Ei olisi Könkään voutikaan vieraaksi kutsunut, jos olisi tyhmänä pitänyt. Eikä olisi Siosjärven pappi makuuttanut häntä virkakonttoorinsa lattialla, jos hän ei miesten kanssa olisi puheissa pärjännyt. Hevonenkin vietiin talliin niinkuin suuren herran ja samassa ruokapöydässä hän oli syönyt rovastin ja ruustinnan kanssa, kuin olisi ollut mikäkin piispa.
Pirtin loukossa istuen oli Sabina kuunnellut miesten keskustelua. Ei hänkään ymmärtänyt isoisää, minkävuoksi tämä aina pilkkasi
malmiherroja ja heidän puuhiaan. »Pahan ne tuovat mukanhaan, lapsi… pahan», oli isoisä sanonut. »Katto etheesti vain!»
Sabina ei käsittänyt, mitä pahaa isoisä tarkoitti. Päinvastoin hänestä olisi ollut paha, jos Jonne olisi kokonaan muuttanut pois. Nytkin, kun tiesi hänen aamulla lähtevän, tuntui ikävältä. Heillä oli ollut hauska kevät. Yhdessä he olivat kulkeneet verkkoja kokemassa, isä kolmantena. Jonne oli saanut lainata isoisän tuumastukkia ja hän oli mitannut jokaisen siian ja harrin, pitäen niistä tarkkaa kirjaa. »Mie kirjoitan Kalastuslehtheen», oli Jonne sanonut. »Isäkin kirjoittaa toisinhaan, mutta hänellä ei ole tarkkoja mittoja; hän liioittelee ja hänelle naurethaan. Mutta mie en kärsi, että minulle naurethaan.»
Niin oli Jonne puhunut ja pitänyt kirjaa kevään saaliista. Juhanisetä oli sitonut hänelle postipaperiarkeista erityisen päiväkirjan. Se oli Sabinan mielestä ihmeellinen laitos. Jonne kirjoitteli siihen muutakin kuin kaloista — hänestäkin. Muutamallakin sivulla seisoi: »Lunnasjärven Sapina on maailman hauskin tyär Kun mie tulen isoksi, mie nain hänet ja sitten mie rakennan huvilan Kaamaslaen huipulle ja siellä met sitten asuthaan yhessä.»
Sabinan sydänalassa sykähti. Hän oli usein ajatellut huvilaa Kaamaslaen huipulla. Se oli vain kovin korkealla. Hän ei ymmärtänyt, miten sinne vettä saataisiin. Kaivon rakentaminen oli yksi tärkeimpiä toimia taloa perustettaessa. Hän oli monesti kuullut isän matkamiehille kertovan, ettei heillä ollut oikein hyvää kaivon paikkaa. Piti kaivaa mahdottoman syvälle, ennenkuin vettä ilmestyi. Hän oli huomauttanut siitä Jonnelle, mutta tämä oli vastannut reippaasti: »Mie laitan vesijohon!»
Niin — ei Sabina sitä epäillyt. Jonne pystyi kaikkeen. Eikö hän ollut oppinut sauvomaankin jo neljä vuotta sitten. Ja ansanlaiton hän oppi käden käänteessä. Ei tarvinnut isän kuin kerran näyttää, niin jo heti osasi.
Siellä istui Jonne pöydän päässä herrojen kanssa ja söi suurella puulusikalla. Tuumastukin pää pisti housunlahkeen sivutaskusta esiin niinkuin Suomen-Huotarillakin. Sen oli äiti saanut siihen neuloa muutamana iltana, kun isoisä oli luvannut tuumastukkinsa. Äiti oli kyllä vastustellut: »Mithään pappa sanoo?» »Pappa ei sano mithään, neulokaa vain, täti.» Hän kutsui äitiä tädiksi ja sekin tuntui Sabinasta somalta. Äidin kalpeat posket aina hiukan punehtuivat. Niin oli äiti neulonut Jonnelle taskun ja tämä oli ollut tyytyväinen.
Herrat keskustelivat ruijaksi. Jonnekin sanoi aina jonkin sanan ja silloinkos toiset nauroivat. Hänen äänensä muuttui vain niin kumman laulavaksi, että Sabinan piti oikein kurkottaa nähdäkseen, oliko se todellakin Jonne, joka noin puhui. Oli kyllä. Hän nuoli parast’aikaa lusikkaansa, selittäen jotakin isälleen ja nauraen samalla kertaa.
— Eikö nuoliakin lusikka aina syönnin jälkheen? kysäisi Jonne äkkiä, kääntyen Sabinan puoleen.
Sabinaa ujostutti. Mitä hän nyt vastaisi? Jonne oli selittänyt, ettei herroissa nuoltu, mutta nuoleminen oli hänestäkin kaikkein mukavin ja yksinkertaisin keino.
— Ei ne herroissa nuole, vastasi Sabina ujostellen.
— Kuulepa nyt, mite Sabinakin sanoo, huomautti vanha Muurmanni.
— Älkhööt! Miepä en rupeakhaan herraksi.
Malmi-Muurman tulkitsi pojan vastauksen vieraille. Nämä nauroivat, silmäten tuontuostakin loukossa istuvaa Sabinaa. Tätä hävetti ja ujostutti tavattomasti.
— S' oon mies, joka lusikkansa nuolee eikä jätä sitä toisten pestäväksi, lausui vanha Tahvo verkalleen, työntyen pirtistä ulos.
— Kuulepas, mitä Sabinan ukki sanoo ja hän on senthään vanha mies, lausui Jonne, pistäen lusikkansa seinänrakoon, missä hän oli sitä koko kevään säilyttänyt.
— No niin… no niin… Malmi-Muurman oli taas juttuamassa vieraittensa kanssa. Hän selitti ja viittoili, otti välistä taskustaan muistikirjan ja puhui, puhui herkeämättä. Lopuksi hän asetti silmälasit nenälleen ja selitti oikein olan takaa.
— Ambru lehte meille huomen oppaks Kiimaspee. Neme härra epeile, ettei sinne kannatta männä. Mutta mie näyttä, ette kannatta.
— Mihinkäs mie jään? kysyi Jonne silmät pyöreinä.
— Sie jee tenne viele viikko. Seuraava sunnuntai oppasta Juhu Lunnasjervi sinut Tunturimaja.
Jonne hypähti haltioissaan pöydän päästä.
— Hei, Sabina, minun ei tarvitsekhaan lähteä! Saamme vielä pyytää kaloja ja mitata ne yhessä.
— Mitata? Mite sie mitta?
— Kaloja… siikoja ja harria. Mie ole mitannut jokhaisen kalan, jonka olemme kevhäällä saanheet, ja pannut kirjhaan.
— No, siehän… mitä vartte?—
— Mie kirjoitan Kalastuslehtheen.
— Sie!
Malmi-Muurman rupesi nauramaan ja tulkitsi pojan vastauksen vierailleen.
Nämäkin nauroivat aluksi, mutta sitten kävi toinen äkkiä vakavaksi. Jonne sai käskyn tuoda esiin päiväkirjansa.
Mutta kaikkein hämmästykseksi poika jyrkästi kieltäytyi.
Malmi-Muurman katseli häntä vihaisena.
— Etkö aio tottele?
— En!
— Mitte ihme? Malmi-Muurman nousi uhkaavana.
— Mäne hetti hakkeina peivekirja, ette härrat saa nehde. He ovat siitte intresseerattu.
Pirtissä oli syntynyt syvä hiljaisuus. Kaikki katseet olivat suunnatut tuohon isokasvuiseen poikaan, joka korviaan myöten punaisena seisoi keskellä lattiaa uhmaten isäänsä katseellaan. Pojan sydämessä kohotti ensi kertaa päätänsä ajatus, että hän nyt oli puolustamassa jotakin, joka kuului yksinomaan hänelle. Hän oli
kirjoitellut päiväkirjaansa joukon kauniita asioita Sabinasta ja itsestään eikä halunnut niitä vieraiden silmien katseltaviksi.
Sabinakin oli käynyt kalpeaksi kuullessaan vanhan Muurmannin käskyn. Hän oli ihan säikähtänyt. Hänestä oli tuntunut, kuin olisi häntä vaadittu riisuutumaan alasti noiden outojen herrojen edessä. Hän ei ollut osannut aavistaakaan, että heidän yhteisiä pikku salaisuuksiaan uhkaisi mikään vaara. Lapsensydämessään hän ihaili Jonnea, joka seisoi tuossa valmiina uhmaamaan vaikka koko maailmaa hänen puolestaan. Tänä hetkenä näytti Jonne hänestä suurenmoiselta. Hänen tunne-elämänsä oli varhain kehittynyt. Ensimmäinen lujan kiintymyksen oras pisti päänsä esiin hänen pikku sydämessään.
Malmi-Muurman astui uhkaavana poikaansa kohti, tarttui tätä niskaan ja talutti ovelle. Poika pani ensin vastaan, mutta taipui sitten.
— Sie mäne kammaris, mörisi isä, — etke neytte itses ennen aamu. Ja huomen varhhain lehte Juhu Lunnasjervi viemmä sinu Tunturimaja.
Kaikki olivat hämmästyksissään.
— Mikä poikaan meni? kysyi toinen vieraista — sama, joka oli halunnut nähdä päiväkirjaa.
Vanha Muurman huitaisi kädellään.
— Muurmannien itsepäisyys istuu hänessä, mutta minä hänet kyllä pehmitän.
Hän vilkaisi kuin moittien nurkkaan näin, missä Sabina istui. Tämä tunsi sen ja rupesi avuttoman näköisenä nyppimään esiliinansa
nurkkaa.
Ampru-isä ja Karuliina-äiti eivät ymmärtäneet tästä kaikesta mitään. He olivat vain käsittäneet, että jotakin oli tapahtunut, mutta mitä, tämä meni yli heidän ymmärryksensä. Sabina näytti käsittäneen enemmän, koskapa allapäin hiipi pirtistä ulos. Sabina oli sellainen käsittämätön olento, jota eivät omat vanhempansakaan aina ymmärtäneet. Äiti Karuliina heitti huolestuneen katseen hänen jälkeensä, otti rukkinsa ja rupesi kehräämään. Herrat syventyivät asioihinsa omalla kielellään. Ampru istui penkillä, kaivellen piippunsa koppaa ja tuijotellen tylsänä eteensä.
Mutta eteisessä kamarin oven takana seisoi Sabina ja kuiski oven halkeamasta:
— Jonne, älä sie ole pahoillasi Eivätpä saanheet sitä.
Kamarista kuului kolinaa ja vihaista ähkimistä. Sitten kuulosti, kuin olisi jotakin revitty kappaleiksi.
Sabina hätääntyi.
— Jonne, älä sie revi päiväkirjhaa! huudahti hän epätoivoisena. Hän oli viime aikoina ruvennut ahkerasti harjoittelemaan kirjoitusta ja hän oli toivonut pian voivansa omin silmin lukea, mitä Jonnen kaikki kauniit koukerot merkitsivät.
Mutta kamarista kuului tukahutettu nyyhkytys. Siellä Muurmannin Jonne itki.
Sabinankin silmät täyttyivät kyynelillä. Hän juoksi navettaan ja itki siellä, itki niin, että hento ruumis vavahteli. Hän oli kokenut ensimmäisen suuren pettymyksen elämässään. Jonnen päiväkirja oli
merkinnyt hänelle sadun suurta, salaperäistä aarretta, jonka omistaminen oli jo kangastanut hänelle samanlaista iloa tuottavana kuin joulun odotus. Silloin laittoi setä Juhani oljenkorsista »himmelin» pirtin kattoon ja riutuvan takkatulen hohteessa kuulsivat korret kuin hienot kultapuikot. Kerran oli pikkuveli vahingossa huitaissut suksisauvalla himmelin rikki. Silloin hän oli itkenyt katkerasti. Nyt oli
Jonne repinyt päiväkirjan ja se koski yhtä kipeästi, melkein kipeämmin.
VII.
Hankien alla kaikkialla soi ja soi vaan.
Se on mitä ihmeellisintä soittoa, sellaista, jota kuulee vain huhtikuisena yönä, — silloin, kun lumi sulaa ja kevät saapuu Lappiin.
Kelloja, kulkusia, syvää, sointuvaa kuminaa. Hankien alla muodostuneet pienet purot lirittävät kuin leivoset. Ne juoksevat kuin hiiret lumenalaisissa käytävissään hakien ojaa, puroa, joka pauhaa tuolla keskellä aapaa kuin pienoinen koski.
Pienet purot ujeltavat iloissaan. Nuo auringon henkiin hautomat myyränpojat juoksevat ja kiemurtelevat päästäkseen pakoon laajaa valkoista kattoa, joka niitä painaa. Yks' kaks' sulkee suuri, viheriänkeltainen möhkäle niiden tien.
Pikku purot hyökkäävät sitä vastaan, niillä on kiire. Edessäpäin, jossakin lähellä laulaa suoniityn oja kuin mikäkin humalainen. Sille on kevät noussut päähän, ja se solisee voimakkaasti aivan kuin se huutaisi: »Katsokaapa minua! Enkö olekin jo aika kurkkio?»
Pikku purot ryntäävät jäämöykkyä vastaan. Mikä itsepintainen pahkula se oli, joka ei antanut tietä? No niin… kyllä heillä oli keinoja.
Kun ei antanut, niin ei antanut. Kyllä pikku purot aina selvisivät.
Yksi puikahti pahkulan alitse, toinen kaivoi itselleen käytävän sen sivuitse — ja nyt alkoi taas sama iloinen pulitus, joka yhteisen neuvottelun aikana oli hetkeksi vaiennut. Sehän oli jäätynyt jäkälälimppu, saman miehen pudottama, joka nyt seisoi tuossa tienkengällä poroineen ja kallellaan olevine heinähäkkeineen. Se oli Lunnas-Ampru, joka palasi heinännounnista. Päivällä pudottivat jo tiet, joten jängille oli aivan mahdoton päästä. Yöllä saattoi sentään paremmin kulkea.
Ympärillä humahteli omituisesti. Siellä hanki painui alas kuin voimattomuudessaan hiljaa huokaillen. Se ei kestäisi enää monta päivää. Ainoastaan tienkenkä oli vielä kova. Se yksin aikoi uhmata kevään tuloa.
Metsässä jängän reunalla risehti. Kuului heikkoja humahduksia, kuin olisi joku pehmeästi hypännyt hankeen. Lunta putoili puiden oksilta. Ylhäältä kuului ronkkuvia ääniä. Ampru töllisteli sinnepäin. Kurkiparvi lensi pitkänä kiilana pohjoista kohti.
Kronk, kronk! Kesä se tuli… ihan vängällä.
Kurkiparvi painui pohjoiseen. Sinne se lensi kohti Kaamaslakea.
Siellä olikin nyt koko talven vallinnut hiiskahtamaton hiljaisuus. Ei ollut yhtään paukahdusta kuulunut. Rahoja säästeli MalmiMuurmanni…
Ampru kuunteli purojen solinaa ja hankien humahtelua. Jostakin kauempaa kantautui hänen korviinsa teeren kukerrus. Niin surrasi kuin vipukoneen hihna Muurmannin louhoksella.
Nämä olivat pettämättömiä merkkejä poraustöiden alkamisesta.
Ampru oli jo tottunut siihen, että kesän tullen alkoi jyminä. Häntä se ei enää oudostuttanut. Tulihan Muurmannin mukana rautatie ja paremmat elämisen ehdot. Ei tarvitseisi hänenkään enää porolla heiniä kiskottaa. Saisi lyödä junaan ja sanoa junankuljettajalle, että »tipautahhan nämä sinne navetan nurkalle…»
Mutta — merkillistä, kuinka näillä avaroilla jängillä, missä kevättuuli hulmahteli, tuntui toisinaan vieraalta koko MalmiMuurmannin puuha. Niinkuin nytkin. Isä-ukko oli sittenkin oikeassa. Tyytymättömyyttä siitä vain seuraisi… ja oli jo seurannutkin.
Nyt tuntui Amprusta tuskalliselta ajatella, että kuukauden päästä alkaisi taas entinen jyminä. Ja tätä tuskallisuuden tuntoa lisäsi vielä se seikka, että hän luultavasti silloin taas muuttaisi mieltään…
Hän lähti taluttamaan heinäraitoaan. Tämä se oli oikea erämaan juna…. mies kulki edellä ja porot seurasivat perässä nilkat naksuen. Ei tässä tarvittu rautateitä, vain, niin jo huilasi.
Ampru silmäsi taaksensa. Hei, niin heilahtelivat heinähäkit kuin vaunut ikään, Muurmanni oli kertonut, että junan perässä kulki vaunuja… sellaisia kuin tavallisen kokoinen talo. Niiden sisällä istuivat ihmiset ja sitte mentiin.
Jopa vain. Mentiin sitä muutenkin, vaikka ei ollutkaan junia eikä vaunuja… tavalliset heinäkelkat vain ja porot vetureina.
Häntä oikein nauratti. Lunnas-Amprun juna! Siitäpä sopi Karuliinalle kotona kertoa.
