The Cohomology of Monoids
Antonio M. Cegarra Department of Álgebra
Facultad de Ciencias, Universidad
de
Granada Granada,
Spain
ISSN 2509-8888
RSME Springer Series
ISBN 978-3-031-50257-6
Jonathan
Leech Department of Mathematics and Computer Science
Westmont College Santa Barbara, CA, USA
ISSN 2509-8896 (electronic)
ISBN 978-3-031-50258-3 (eBook) https://doi.org/10.1007/978- 3- 031- 50258- 3
© The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively licensed by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use.
The publisher, the authors, and the editors are safe to assume that the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the material contained herein or for any errors or omissions that may have been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.
This Springer imprint is published by the registered company Springer Nature Switzerland AG
The registered company address is: Gewerbestrasse 11, 6330 Cham, Switzerland
Paper in this product is recyclable.
Preface
The cohomology of monoids, that is, of semigroups with an identity element, has been of interest for some time. Actually there are multiple cohomology theories. Given a monoid S , there is a theory for left S -modules, or equivalently, left modules of the semigroup ring ZS . There is also a dual theory for right S -modules and a theory for S -bimodules, where S operates on both sides of the module so that (xa)y = x(ay) for all x, y in S and a in the relevant module. The outcome xay is thus unambiguous.
Studies in this area have also focused on the cohomology of certain structures derived from monoids, that encodes fundamental information about the monoid, but are mathematical object in its own right. These structures are typically small categories related to some aspect of division in the monoid. (This “small category” aspect also holds in the case of S -modules since after all, monoids are simply categories with exactly one object.)
One of the first such cases occurred in the 1969 UCLA dissertation of the American coauthor of this monograph. The context was that of a subgroup N of the group of units in a monoid S , that was normal in the entire monoid. That is xN = Nx held for all x ∈ S . The various cosets formed under pointwise multiplication a homomorphic image S/N of S . Thus, one had an extension situation, Nͨ→ S ↠ S/N , that in some ways was similar to the typical normal subgroup extension case for groups, but with one major difference that leads to other differences: in general, here the cosets need not have the same size so that N × S/N could not in all cases form the underlying set of a reconstruction of S . Long story short, for any monoid S , the relevant small category in this case is the division category D(S) whose set of objects is the set of S , whose morphisms are triples 〈u, x, v 〉: x → uxv , and whose composition is given by 〈u' ,uxv,v ' 〉〈u, x, v 〉=〈u' u, x, vv ' 〉. Clearly, the corresponding relevant cohomology does not involve left S -modules, but rather the category D(S) Mod of D(S)-modules whose objects are functors from D(S) to Ab,
the category of abelian groups, and whose morphisms are natural transformations between them. Three early papers were:
–P.A. Grillet, Left coset extensions, Semigroup Forum 7 (1974), 200–263.
–J. Leech, H-coextensions of monoids, Memoirs AMS 157 (1975), 1–66.
–Ch. Wells, Extension theories for monoids, Semigroup Forum 16 (1978), 13–35.
The first two dealt with more general situations than that encountered in Leech’s 1969 dissertation, but the cohomology introduced there was still relevant. The paper by Charles Wells studied this cohomology from the perspective of a general approach to cohomology theories due to Jonathan Mock Beck. The outcome: within the context considered by Leech, both Leech and the Beck cohomology agreed to with a simple dimension shift.
In saying this we are not asserting that Shreier-type constructions of monoids are of no interest! Rather, they are special cases in a broader class of constructions. Likewise, Eilenberg-Mac Lane cohomology and indeed Hochschild-Mitchell cohomology applied to monoids can be viewed as special cases of D-cohomology (known also as Leech cohomology). All we are saying is that there is a bigger picture. In the final section of Chap. 4, where we use groups as illustrative examples, this broader perspective will lead us back to Otto Schreier and also back to Eilenberg and Mac Lane.
Around this time, input began coming from Australia and India. But in this case the cohomologies were based on small categories that were derived from semigroups.
–H. Lausch, Cohomology of inverse semigroups, J. Algebra 35 (1975), 273–303.
–M. Loganathan, Cohomology of inverse semigroups, J. Algebra 70 (1981), 375–393.
–M. Loganathan, Idempotent-separating extensions of regular semigroups with abelian kernel, J. Aust. Math. Soc. Ser. A 32 (1982), 104–113.
–M. Loganathan, Cohomology and extensions of regular semigroups with abelian kernel, J. Aust. Math. Soc. Ser. A 35 (1982), 178–193.
Moving to into the late 1980s and towards the new millennium, there were two new developments. First, Pierre Antoine Grillet, who for some time had studied commutative semigroups, began a serious study of their cohomology that eventually drew in other researchers. Unlike the cases above, cohomology for just commutative semigroups or monoids does not always blend in with the general case. Thus, the cohomology of monoids and semigroups split into two separate areas: the strictly commutative area and the not-necessarily-commutative area. Much of Grillet’s research, and that of others who joined in, is collected in his monograph
–P.A. Grillet, The Cohomology of Commutative Semigroups. Lecture Notes in Mathematics Vol. 2037 (2022), Springer.
The second one was the emergence of a research group at the University of Granada with interest in both cohomologies. It has been led the Spanish coauthor of this monograph. Indeed, in Grillet’s monograph, two of the seven nonintroductory
chapters are based on published work by Antonio M. Cegarra and his colleagues. Their contributions include:
–E. Aznar and A. Sevilla, Beck, H and Leech Coextensions, Semigroup Forum 60 (2000), 385–404.
–M. Calvo, A.M. Cegarra and B.A. Heredia, Structure and classification of monoidal groupoids. Semigroup Forum 87 (2013), 35–79.
–M. Calvo, Cohomologies of monoids and the classification of monoidal groupoids, Thesis (Ph.D.) Universidad de Granada, 2016.
–M. Calvo and A.M. Cegarra, (Co)homology of cyclic monoids. International J. Algebra and Computation 26 (2016), 887–910.
–M. Calvo and A.M. Cegarra, Higher cohomologies of commutative monoids. J. Pure and Applied Algebra 223 (2019), 131–174.
Clearly interest in the cohomology of monoids, commutative or otherwise, has not been lacking. But before surveying the content of this monograph a few remarks about the term coextension may be in order. Heuristically viewed, given objects A and B of the same type, B is an extension of A if A may be embedded in B in a manner compatible with their structure. That is, there is a one-to-one morphism Aͨ→ B . Dually, B is a coextension of A (or a dual extension of A) if there is a surjection B ↠ A that is compatible with their structure. It is possible in some cases for objects A and B to have both occur. (Caveat: some authors use “extension” to refer to a coextension. Be careful!)
A relevant example: Let S be a monoid and let A : D(S) → Ab a D(S)-module.
Set S ⋊ A ={(x, a) | x ∈ S, a ∈ A(x)}. We endow S ⋊ A with a monoid product (x, a)(y, b) = (xy, A〈1,x,y 〉a + A〈x, y, 1〉b). Of course, (1, 01 ) is the identity.
Let Sͨ→ S ⋊ A be defined by x I→ (x.0x ) and define S ⋊ A ↠ S by sends (x, a) I→ x . Clearly S ⋊ A is both an extension of S and a coextension of S .Ina different context, in a normal extension of a group by a monoid Nͨ→ S ↠ S/N , S is both an extension of N and a coextension of S/N .
An H-coextension of a monoid S is a coextension p : E ↠ S in which the p -induced congruence on E is contained in the fundamental Green’s relation H on E . Then, H is connected to both the explicit and implicit global subgroup structure of a monoid and E can be reconstructed from S , a group-valued functor on D(S), and a factor set. Cohomology arises when the groups in this construction are all abelian. H-coextensions, with the resulting cohomology, was the topic of Leech’s 1975 publication, the above works by Lausch and Loganathan, and also appear in Grillet’s 1974 paper. Returning to the case of a now abelian normal subgroup A extended by a monoid, Aͨ→ S ↠ S/A,wehavean H-coextension S of S/A. With the A-cosets in S possibly shrinking in size in S as one moves away from A,the usual monoid actions of the form S × A → A,or S/A × A → A, will not be part of a general description of things. One needed to work with some scheme where varying abelian groups are acted upon. What works here are functors A from D(S), or even from D(S/A), to the category of abelian groups with A(1) = A.Andsoit goes in general.
We now turn to the content of this monograph.
Chapter 1 surveys basic information on the cohomology of small categories. The attempt is to present the pertinent facts in a coherent, logical fashion. Some can skip this and go directly to Chap. 2
Chapter 2 gives a formal introduction to the category D(S) of a monoid S , and the category D(S) Mod of D(S)-modules consisting of functors from D(S) to Ab, the category of abelian groups, (the objects) and natural transformations between them (the morphisms), and finally the cohomology theory for S , with coefficients in D(S)-modules, that is, the D-cohomology of S . Special attention is given to the role of H 0 (S, A), H 1 (S, A) and H 2 (S, A) in certain situations, and especially to those involving twisted semidirect product coextensions S ⋊α A of S , where A is a D(S)-module used to form the monoid S ⋊ A given above that is the platform for a coextension of S and α is a 2-cocycle (factor set) used to twist the natural multiplication of S ⋊ A. Following a look at cohomological dimension, the chapter concludes by calculating the cohomology groups for a cyclic monoid, i.e., monoids that can be generated from a single generator.
Chapter 3 studies the relationship of other cohomologies to the D-cohomology. Both the Eilenberg-Mac Lane cohomology of left S -modules and the HochschildMitchell cohomology of S -bimodules are quickly seen to be essentially subcohomologies of D-cohomology. Thus dimEM (S) ≤ dimHM (S) ≤ Dim(S).But if S is cancellative, then Dim(S) = dimHM (S).Andif S is a free commutative monoid on n generators, then the dimension of both is n. In the special case when S is a group, the D-category is a groupoid and the D-cohomology quickly reduces to the Eilenberg-Mac Lane cohomology.
We then introduce the category D(S). It is a canonical homomorphic image of D(S) that is important in the study of H-coextensions. Indeed, the D(S)-functors of interest here there are D(S)-functors that factor through D(S). In general D(S) and D(S) do not induce equivalent cohomology theories. But D(S)-cohomology does become a sub-cohomology of D(S)-cohomology for the elegant class of inverse monoids. The precise details are given in this chapter. As a pleasant consequence, for inverse monoids, the D-cohomology (via D(S) functors) is equivalent to that given by M. Loganathan and H. Lausch. This only adds to the “Beck Certification” provided by the late Charles Wells.
The chapter continues with three sections devoted to cohomologies that properly include the main cohomology of this monograph. The first such section shows how the D-cohomology is a particular instance of the cohomology of simplicial sets given by Gabriel and Zisman. The next section contains a natural generalization of the D-cohomology of monoids to a cohomology theory for small categories that was first given by Charles Wells in an unpublished 1980 article. It is essentially the same cohomology published later by Baues and Wirsching in 1985. A retyped version of Wells’ paper became available on the internet in 2001. The final section returns to the D-cohomology proper and proves its equivalence, modulo a simple dimension shift, with relevant instances of Grothendieck sheaf cohomology and also its equivalence, also up to a dimension shift, with relevant instances of Beck cohomology, the latter being a proof of Wells’ Theorem mentioned above.
Chapter 4 is a continuation of Chap. 2, but with an emphasis on H-coextensions. The first section looks at things from the inside. The main tool is the group-valued kernel functor Σ of any congruence contained in the canonical equivalence H. It plays a role similar to that of the relevant normal subgroup associated with a congruence on a group. The case when Σ is abelian group-valued is the subject in the second section, with the third returning to the general case. Cohomological aspects are studied in the fourth section. In particular H 3 comes into play in studying obstructions to an extension. This obstruction theory is more recent and was not included in Leech’s 1975 Memoir. In a final fifth section we use groups as an illustrative example.
Chapter 5 considers the cohomology of monoids on which a monoid of operators � acts. For groups, the � -cohomology theory we develop here goes back to that first introduced by J.H.C. Whitehead in his seminal 1950 paper. When the monoid of operators is trivial, this � -cohomology theory agrees with the ordinary Leech’s Dcohomology theory for monoids. Computation by cocycles, connections with other known cohomology theories and applications to the classification of equivariant coextensions of monoids with operators are topics discussed in this chapter.
In the concluding Chap. 6 our attention shifts from coextensions to monoidal groupoids. We analyze the structure of monoidal abelian groupoids by developing a 3-dimensional Schreier-Grothendieck theory of factor sets for their classification using third cohomology classes. We also consider monoidal abelian groupoids with a coherent monoid � -action.
Granada, Spain Antonio M. Cegarra Boynton Beach, FL, USA Jonathan Leech February 2024
Functor Categories and Cohomology
In this chapter we briefly review the cohomology of small categories. The cohomology theories for monoids that we will encounter are either specific instances of this cohomology, or are readily derived from it.
The topics covered divide roughly into two parts. In the first part we review some basic properties of the category of C-modules, that is, of abelian group valued functors from C, where C is any given small category: objects and morphisms; kernels and cokernels; exactness; products and coproducts; and the existence of enough injectives and enough projectives. In the second section, we assume that the reader is familiar with the basics of homological algebra in abelian categories, and review the cohomology theory of a small category C with coefficients in Cmodules. None of this is new. Indeed, all facts here are implicit in Grothendieck’s seminal Tohoku paper [2]. This chapter just provides the necessary background for what follows. For more background we refer to the books by Cartan and Eilenberg [1], Mac Lane [6], Hilton and Stammbach [3] or Weibel [9].
1.1 The Category of Modules Over a Small Category
Let Ab denote the category of abelian groups. If C is a small category, the category of (left) C-modules, denoted by C-Mod, is the category whose objects are the functors from C to Ab and whose morphisms the natural transformations between them; that is,
C-Mod = AbC .
If A : C → Ab is a C-module, for each morphism u : x → y in C and each a ∈ A(x), we shall often denote by ua the value of A(u) at a . Thus, a C-module A
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 A. M. Cegarra, J. Leech, The Cohomology of Monoids, RSME Springer Series 12, https://doi.org/10.1007/978- 3- 031- 50258- 3_1
provides of abelian groups A(x), one for each x ∈ ObC, and homomorphisms
A(u) : A(x) → A(y),a I→ ua,
one for each morphism u : x → y in C, satisfying v(ua) = (vu)a and 1a = a .A morphism of C-modules F : A → A' consists of homomorphisms
Fx : A(x) → A' (x),
one for each x ∈ ObC, such that, for every morphism u : x → y in C and a ∈ A(x),
Fy (ua) = u Fx (a).
The Category C-Mod Is Abelian
Let C be a small category. The category of C-modules is an abelian category. The set of morphisms between two C-modules A and A' , denoted by
HomC (A, A' ),
is an abelian group under pointwise addition of natural transformations: given morphisms F, F' : A → A' , the morphism F + F' : A → A' is given, at each x ∈ ObC, by the homomorphism F' x + Fx : A(x) → A' (x), a I→ Fx (a) + F' x (a). With this addition on hom-sets, C-Mod becomes an additive category, that is, each hom-set isan abelian group and composition of morphisms distributesover addition. The zero C-module is the constant functor 0 : C → Ab in which every 0(x) is the trivial abelian group 0.
A C-module A' is a submodule of a C-module A, denoted A' ≤ A, whenever for all x ∈ ObC, A' (x) is a subgroup of A(x) and for all u : x → y in C, A' (u) = A(u)|A' (x) . The quotient C-module A/A' has
(A/A' )(x) = A(x)/A' (x)
for all objects x of C; for every morphism u : x → y , (A/A' )(u) is induced from A(u).
If F : A → A' is a C-module morphism, its kernel KerF is the submodule of A determined pointwise by setting
KerF(x) = Ker(F : A(x) → A' (x))
for all objects x of C. The image of F is the submodule ImF ≤ A' defined pointwise by
ImF(x) = Im(Fx : A(x) → A' (x)).
As usual, A/KerF ∼ = ImF under the natural isomorphism induced by F.The cokernel of F is the quotient CokerF = A' /ImF
A sequence of C-modules A' → A → A'' is exact if and only if at all objects x of C the sequence A' (x) → A(x) → A'' (x) is an exact sequence of abelian groups.
C-Mod is a complete and cocomplete category with pointwise limits and colimits. In particular, if {Ai ,i ∈ I } is a family of C-modules, the C-modules i ∈I Ai and i ∈I Ai are respectively defined by
at each x ∈ ObC.
The Category C-Mod has Enough Projectives and Injectives
Let
Z[−]: Set → Ab,X I→ Z[X ],
be the free abelian group functor. For each object x of C,let
Px = Z[C(x, )]: C → Ab, Ix = HomZ (Z[C( ,x)], Q/Z) :
be the C-modules obtained by composing the hom-fuctors
C(x, ) : C → Set and C( ,x) : Cop → Set with the free abelian group functor. For every C-module A, the Yoneda Lemma [5, Chap. III, §2] yields a natural isomorphism
HomC (Px , A) ∼ = A(x), (1.2)
which assigns to each morphism of C-modules F : Px → A the element Fx (1x ), and a natural isomorphism
HomC (A, Ix ) ∼ = HomZ (A(x), Q/Z) (1.3)
that sends each morphism of C-modules F : A → Ix to the homomorphism ˜ F : A(x) → Q/Z given by ˜ F(a) = Fx (a)(1x )
From the isomorphisms (1.2), we see that Px is a projective C-module: For any epimorphism of C-modules F : A → A' , the induced map
F∗ : HomC (Px , A) → HomC (Px , A' )
is surjective since the square
commutes and Fx : A(x) → A' (x) is surjective.
The functors Px (x ∈ ObC) constitute a set of projective generators of the category of C-modules, so that this category has enough projective objects. In fact, given A any C-module, for each x ∈ ObC and a ∈ A(x),let Fx,a : Px → A be the morphism that correspond by the isomorphism (1.2) to a , that is, such that Fx,a (1x ) = a . These morphisms together define a morphism of C-modules
: x ∈ObC a ∈A(x) Px −→ A (1.4)
which is clearly an epimorphism.
Dually, from the isomorphisms (1.3), it follows that, for every object x of C, the C-module Ix is injective. In effect, let F : A' → A be a monomorphism of C-modules. Then Fx : A' (x) → A(x) is injective, and therefore
F∗ x : HomZ (A(x), Q/Z) → HomZ (A' (x), Q/Z) is surjective since the abelian group Q/Z is injective. Hence, the induced
F∗ : HomC (A, Ix ) → HomC (A' , Ix ) is also surjective since the diagram commutes.
F
Moreover, the C-modules Ix (x ∈ ObC) constitute a set of injective cogenerators of the category C-Mod, whence this category has enough injectives. In fact, given A any C-module, for each x ∈ ObC and 0 /= a ∈ A(x), we can choose a homomorphism of abelian groups f x,a : A(x) → Q/Z with f x,a (a) /= 0. (See [3, p. 33].) Therefore, by the isomorphism (1.3), we can create a homomorphism of C-modules Fx,a : A → Ix such that Fx,a x (a) /= 0. Clearly, these morphisms together define a monomorphism of C-modules F : A −→
Free C-Modules
Let ObC also denote the discreet subcategory of C consisting of just the objects of C and their identities. Thus, a functor X : ObC → Set is simply a family of sets indexed by the set ObC. By restricting to ObC and composing with the forgetful functor Ab → Set,we obtain a forgetful functor
U : C-Mod → SetObC ,
This carries each C-module A to the functor UA : ObC → Set which attaches to each object x of C the underlaying set of the abelian group A(x). This functor U has a left adjoint, the free C-module functor,
F : SetObC → C-Mod,
which is as follows. If X : ObC → Set is any functor, then the free C-module on X, denoted by FX, is the projective C-module FX = x ∈ObC α
X(x) Px (1.1) =
X(x) Z[C(x, )].
Thus, for each object y of C,
FX(y) = Z[{(u,α) | u ∈ C(x,y),α ∈ X(x)}] isthefreeabeliangrouponthesetofallpairs (u,α),where u : x → y isamorphism in C and α ∈ X(x). For any morphism v : y → z in C, the homomorphism
FX(v) : FX(y) → FX(z) is defined on generators by v(u,α) = (vu,α).
Theorem 1.1 The functor F is left adjoint to the functor U. Thus, for any functor X : ObC → Set and any C-module A, there is a natural isomorphism of abelian groups
HomC (FX, A)
X(x) A(x), F I→ Fx (α) .
Proof This follows from the isomorphisms (1.2): For each functor X : ObC → Set and each C-module A, there are natural isomorphisms
HomC (FX, A) = HomC
ObC α ∈X(x) HomC (Px , A
C HomSet X(x), A(x)
= HomSetObC (X, UA).
Note that the counit of the adjunction, at each C-module A, is precisely the epimorphism F : FUA → A in (1.4). ⨅⨆
For a functor X : ObC → Set, when x ∈ ObC and α ∈ X(x), we often denote the generator (1x ,α) of FX(x) simply by α , so that every element α ∈ X(x) is regarded as a generator of FX(x), and for any y ∈ ObC, a generator (u : x → y,α) of FX(y) can be written uniquely in the form
uα = (u,α) = FX(u)(1x ,α)
If ϕ : X → X' is a morphism in SetObC , then the induced morphism of Cmodules Fϕ : FX → FX' ,atevery y ∈ ObC, is the homomorphism Fϕ : FX(y) → FX' (y) such that
Fϕ(uα) = uϕ(α),
for every morphism u : x → y in C and α ∈ X(x)
Note that the unit of the adjunction (F, U) in Theorem 1.1 is, at each functor X : ObC → Set, just the inclusion X ͨ→ UFX (regarding each element α ∈ X(x) as a generator of FX(x)).
1.2 Cohomology of Small Categories
Let C be a small category. The inverse limit functor (or global section functor )
lim ← : C-Mod → Ab
carries each C-module A to the abelian group
lim ← A = (ax ) ∈ x ∈ObC A(x) | uax = ay forevery u : x → y in C
This is a left exact functor, whose right derived functors are the cohomology groups of C with coefficients in C-modules,
H n (C, A) = (R n lim ← )(A),n = 0, 1, 2,...,
studied by Roos [7] and Watts [8] among other authors. These cohomology groups define a cohomology theory on the category of C-modules which is characterized, up to natural isomorphisms, by the following basic properties (see, e.g., Weibel [9, II, Theorem 2.4.7]):
(i) H 0 (C, A) = lim ← A.
(ii) H n (C, I) = 0 when n> 0 and I is injective.
(iii) For each short exact sequence of C-modules S : 0 → A' F → A G → A'' → 0
there is a long exact exact sequence
which is natural on S
The cohomology groups H n (C, A) can also be defined as follows. Let
Z : C → Ab,(x → y) I→ (Z id → Z),
be the constant C-module defined by the abelian group of integers Z. Then, lim ← = HomC (Z, ) : C-Mod → Ab and therefore
H n (C, A) = (R n HomC (Z, ))(A) = Extn C (Z, A) = (R n HomC ( , A))(Z). (1.5)
Thus, the cohomology groups H n (C, A) can be computed as the n-th cohomology groups of both cochain complexes HomC (Z, I• ) and HomC (P• , A),for 0 → A → I0 → I1 →···
an (any) injective resolution of the C-module A and ···→ P1 → P0 → Z → 0
a (any) projective resolution of Z in the category of C-modules. Every functor between small categories κ : C' → C induces, by composition, an exact functor
κ ∗ : C-Mod → C' -Mod, A I→ κ ∗ A | (κ ∗ A)(x) = A(κ(x)).
Theorem 1.2 Let κ : C' → C be a functor between small categories. For any C-module A there are induced natural homomorphisms
κ ∗ : H n (C, A) → H n (C' ,κ ∗A),n = 0, 1, 2,..., which are compatible with the connecting homomorphisms; that is, for any short exact sequence 0 → A' → A → A'' → 0 of C-modules, the squares below commute.
Proof Let P• be a projective resolution of Z in C-Mod and let P' • be a projective resolution of Z in C' -Mod. Since κ ∗ is exact, κ ∗ P• is an acyclic resolution of κ ∗ Z = Z in C' -Mod. Hence, there exists a complex morphism F• : P' • → κ ∗ P• , unique
up to homotopy, that induces the identity on Z.Given a C-module A, this yields the morphism
which, by composition with
,κ
A), induces the homomorphisms in the statement. ⨅⨆
Categories of Cohomological Dimension 0
Let C be a small category. The cohomological dimension of C, cd(C) = m ≤∞, is defined by the condition that cd(C) ≤ m whenever H n (C, A) = 0 for n>m and all C-modules A.
Lemma 1.1 The following are equivalent:
(i) cd(C) ≤ m.
(ii) H m+1 (C, ) = 0
(iii) H m (C, ) is right exact.
Proof Clearly (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii).If 0 → A → I → A' → 0 is a short exact sequence of C-modules with I injective, the corresponding long exact sequence of cohomology groups yields
, H k (C, A' ) ∼
+1 (C, A), forall k ≥ m + 1
Thus H k (C, A) = 0 for k ≥ m + 1 by the above and induction. ⨅⨆
Proposition 1.1 If C is a small category with an initial object, then cd(C) = 0.
Proof Let ι be the initial object of C. For any C-module A, we have a natural isomorphism lim ← A ∼ = A(ι). It follows that the functor H 0 (C, ) = lim ← is exact and the result follows from the above lemma. ⨅⨆
The above condition is not a necessary one for the cohomological dimension of C to be 0. For connected categories we have the following useful criterium.
Theorem 1.3 If C is a connected small category, then cd(C) = 0 if and only if there exists a pair (ι,u) with ι ∈ ObC and u ∈ End(ι) = C(ι,ι) such that:
(i) For all x ∈ ObC, C(ι,x) =∅. (ii) Every diagram
in C can be completed to a commutative square
(iii) u is a right zero in the monoid End(ι), that is, vu = u for all v ∈ End(ι)
Proof See Laudal [4].
We shall call a pair (ι,u) satisfying the above conditions of Theorem 1.3 an initial pair. Thus, we have that if C is connected, then cd(C) = 0 if and only if C possesses an initial pair.
Proposition 1.2 Let C be a small connected category, let ι an object of C and let u ∈ End(ι). Then (ι,u) is an initial pair if and only if
(i) For all x ∈ ObC, C(ι,x) =∅
(ii) For all x ∈ ObC and all v,v ' ∈ C(ι,x), vu = v ' u
Proof This is clear.
References
1. Cartan, E., nd Eilenberg, S.: Homological Algebra. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton (1999)
2. Grothendieck, A.: Sur quelques points d’algère homologique. Tohoku Math. J. 9, 119–221 (1957)
3. Hilton, P.J., Stammbach, U.: A Course in Homological Algebra. Graduate Texts in Mathematics, vol. 4, 2nd edn. Springer, New York (1997)
4. Laudal, O.A.: Note on the projective limit on small categories. Proc. Am. Math. Soc. 33, 307–309 (1972)
5. Mac Lane, S.: Categories for the Working Mathematician, vol. 5. Springer, New York (1971)
6. Mac Lane, S.: Homology. Classics in Mathematics. Springer, Berlin (1995)
7. Roos, J.E.: Sur les foncteurs dérivés de lim ←−. Applications. C. R. Acad. Sci. Paris 252, 3702–3704 (1961)
8. Watts, C.E.: A homology theory for small categories. In: 1966 Proceedings Conference Categorical Algebra, La Jolla, pp. 331–335. Springer, New York (1965)
9. Weibel, C.A.: An Introduction to Homological Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38. Cambridge University Press, Cambridge (1994)
The D-Cohomology of Monoids
In this chapter we present the main cohomology theory of this monograph, the Dcohomology of a monoid, also referred to as Leech cohomology in some of the literature. Its importance is at least 2-fold: its connection to certain structural issues in the study of monoids (the subject of Chap. 4); and the fact that other cohomology theories of interest can be seen as special cases of the D-cohomology (the subject of Chap. 3). Section 2.1 constructs a functor D that assigns to each monoid S asmall category D(S), which can be viewed as a representing the division structure of S (in case S is a multiplicative monoid). The D-cohomology of S uses D(S)-modules as coefficients and is the cohomology of D(S):
H n (S, ) = H n (D(S), ),n = 0, 1, 2,....
The cohomology itself is introduced in Sect. 2.2 where we construct a free resolution of Z in the category of D(S)-modules. For any D(S)-module A,the cohomology groups H n (S, A) are the cohomology groups of this resolution with coefficients in A. Various aspects of this cohomology are discussed, with the section ending with the long exact cohomology sequence induced by a surjective homomorphism of monoids.
In the third section the focus is on H 0 and H 1 . For any D(S)-module A, H 0 (S, A) ={a ∈ A(1) | ax = xa forall x ∈ S }.
As was in the case for group cohomology, H 1 (S, A) is the result of factoring out a group of inner derivations from the full group of derivations: Der(S, A)/IDer(S, A). We also show that for any free monoid S , H n (S, A) = 0 for all n> 1.
In the fourth section, we show that the second cohomology groups of S classify certain coextensions of S . Of particular interest are, of course, H-coextensions.
© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2024 A. M. Cegarra, J. Leech, The Cohomology of Monoids, RSME Springer Series 12, https://doi.org/10.1007/978- 3- 031- 50258- 3_2
D(S)-modules and their 2-cocycles (i.e., factor systems) are used to create such structures. These connections are further studied in Chap. 4.
Section 2.5 is dedicated to the cohomological D-dimension of monoids, and the chapter ends in Sect. 2.6 with the calculation of the cohomology groups of cyclic monoids.
2.1 The D-Category of a Monoid
If S is a monoid, then D(S) is the small category whose set of objects is S , such that for every x,y ∈ S ,
D(S)(x,y) ={〈u,x,v 〉| uxv = y }, and morphisms compose as follows:
〈u ' ,uxv,v ' 〉〈u,x,v 〉=〈u ' u,x,vv ' 〉
Composition in D(S) is associative, since multiplication in S . Since S is a monoid, for all x ∈ S ,
idx =〈1,x, 1〉
Every homomorphism f : S → T of monoids induces a functor
D(f) : D(S) → D(T),
defined on objects by D(f)(x) = f(x) and on morphisms by
D(f)〈u,x,v 〉=〈f(u),f(x),f(v)〉
This makes D a functor from the category Mon of monoids to the category Cat of small categories:
D : Mon → Cat.
Lemma 2.1 A morphism 〈u,x,v 〉: x → y is an isomorphism in D(S) if and only if u,v ∈ G(S), the group of units of S .
Proof If u,v ∈ G(S), then 〈u 1 ,y,v 1 〉=〈x,u,v 〉 1 is clear. Conversely, let 〈u,x,v 〉 be an isomorphism and let 〈u,x,v 〉 1 =〈u' ,y,v ' 〉. Then, 〈1,x, 1〉=〈u' ,y,v ' 〉〈u,x,v 〉=〈u' u,x,v ' v 〉, 〈1,y, 1〉=〈u,x,v 〉〈u' ,y,v ' 〉=〈uu' ,y,vv ' 〉,
so that u' u = 1 = uu' and v ' v = 1 = vv ' follow. ⨅⨆
D(S) contains two important subcategories, L(S) and R(S).Both L(S) and R(S) have S as their set of objects. L(S) is characterized by the fact that all its morphisms are of the form 〈u,x, 1〉, while R(S) is characterized by the fact that all its morphisms are of the form 〈1,x,v 〉. L(S) and R(S) together generate D(S).If 〈u,x,v 〉 is a morphism in D(S), then
〈u,x,v 〉=〈u,xv, 1〉〈1,x,v 〉=〈1,ux,v 〉〈u,x, 1〉.
〈u,xv, 1〉〈1,x,v 〉 isthe LR decompositionof 〈u,x,v 〉, whileits RL decomposition is 〈1,ux,v 〉〈u,x, 1〉.
Lemma 2.2 The LR and RL decompositions of 〈u,x,v 〉 are unique.
Proof Given 〈u,x,v 〉= αβ with α a morphism in L(S) and β a morphism in R(S), then β must have the form 〈1,x,v ' 〉 and α must have the form 〈u' ,xv ' , 1〉. Hence
〈u,x,v 〉=〈u ' ,xv ' , 1〉〈1,x,v ' 〉=〈u ' ,x,v ' 〉,
so that u' = u and v ' = v .The RL part follows by the dual argument. ⨅⨆
Let K be a category. If F : D(S) → K a functor, then so are its restrictions
FL = F |L(S) : L(S) → K,
FR = F |R(S) : R(S) → K
Whenever a pair of functors, say FL : L(S) → K and FR : R(S) → K,are restrictions of a functor F : D(S) → K, then we say that F extends the pair (FL ,FR ) to D(S). Since L(S) and R(S) together generate D(S), such an extension is unique.
Theorem 2.1 Let FL : L(S) → K and FR : L(S) → K be functors. Then there exists a functor F : D(S) → K that extends FL and FR to D(S) if and only if for all u,x,v ∈ S :
(i) FL (x) = FR (x), (ii) FR 〈1,ux,v 〉 FL 〈u,x, 1〉= FL 〈u,xv, 1〉 FR 〈1,x,v 〉
If the extension exists, then it is uniquely determined by F(x) = FR (x) and F 〈u,x,v 〉= FR 〈1,ux,v 〉 FL 〈u,x, 1〉= FL 〈u,xv, 1〉 FR 〈1,x,v 〉
If F,F ' : D(S) → K are functors, then a family
σ ={σx : F(x) → F ' (x); x ∈ S } of morphisms in K is a natural transformation σ : F → F ' if and only if both
σL = σ : FL → F ' L and σR = σ : FR → F ' R are natural transformations.
Proof If F extends FL and FR , then (i) and (ii) hold. Conversely, assume that (i) and (ii) hold and let F : D(S) → K be defined by F(x) = FR (x) and F 〈u,x,v 〉 being the above composition of morphisms. If 〈u,x,v 〉 and 〈u' ,uxv,v ' 〉 are any two composable morphisms in D(S), then
F 〈u ' ,uxv,v ' 〉 F 〈u,x,v 〉
= FR 〈1,u ' uxv,v ' 〉 FL 〈u ' ,uxv, 1〉 FR 〈1,ux,v 〉 FL 〈u,x, 1〉
= FR 〈1,u ' uxv,v ' 〉 FR 〈1,u ' ux,v 〉 FL 〈u ' ,ux, 1〉 FL 〈u,x, 1〉
= FR 〈1,u ' ux,vv ' 〉 FL 〈u ' u,x, 1〉
= F 〈u ' u,x,vv ' 〉.
Hence, F respects morphism composition. F(idx ) = idF(x) follows from FR (x) = FL (x) and idx = idx idx ∈ L(S) ∩ R(S).
If σ : F → F ' is a natural transformation, then so are σL : FL → F ' L and σR : FR → F ' R . Conversely, in the following diagram, if the inner squares commute, then so does the outer rectangle.
In what follows we shall be study (left) D(S)-modules, that is, functors in D(S)-Mod = AbD(S) .
When A is a D(S)-module, it is convenient to have S act on the abelian groups A(x) by ua = A〈u,x, 1〉(a) ∈ A(ux), av = A〈1,x,v 〉(a) ∈ A(xv), for all u,x,v ∈ S and a ∈ A(x), so that u ' (ua) = (u' u)a,u(av) = (ua)v,(av)v ' = a(vv ' ), 1a = a = a 1.
Then A〈u,x,v 〉(a) = (ua)v = u(av) ∈ A(uxv), so that uav is unambiguous; thus A〈u,x,v 〉(a) = uav ∈ A(uxv). (2.1)
Of course, in situations where we are interested in the behavior of several D(S)modules simultaneously, it will be sometimes more convenient to work with the longer notation.
In this notation, a morphism of D(S)-modules (that is, a natural transformation) F : A → A' consists of homomorphisms
F = Fx : A(x) → A' (x), one for each x ∈ S , such that
F(ua) = uF(a), F(av) = F(a)v, for any u,x,v in S and a ∈ A(x)
For each functor X : ObD(S) = S → Set, we denote by FX the free D(S)-module on X: for each x ∈ S , FX)(x) is the free abelian group
FX(x) = Z[{(u,α,v) ∈ S × X(z) × S | uzv = x }]
If 〈u' ,x,v ' 〉: x → y is a morphism in D(S), then the induced homomorphism
FX〈u ' ,x,v ' 〉: FX(x) → FX(y),a I→ u ' av ' , is defined on generators by u ' (u,α,v)v ' = (u' u,α,vv ' ).
Remark 2.1 As in Sect. 1.1, for every z ∈ S and α ∈ X(z), we usually write the generator (1,α, 1) of FX(z) simply as α , so that every element α ∈ X(z) is regarded as an element α ∈ FX(z). Thus, every generator of FX(x) can be written uniquely in the form
uαv(= (u,α,v) = FX〈u,z,v 〉(1,α, 1)).
with u,v ∈ S and α ∈ X(z), for a unique z ∈ S such that uzv = x .
By Theorem 1.1, there is a natural isomorphism of abelian groups
HomD(S) (FX, A) ∼ = x ∈S α ∈X(x) A(x), F I→ Fx (α) . (2.2)
for every D(S)-module A
2.2 The D-Cohomology of a Monoid
The D-cohomology of a monoid S with coefficients in D(S)-modules is defined by the functors
H n (S, ) := H n (D(S), ) = Extn D(S) (Z, ) : D(S)-Mod → Ab,
where Z is the constant D(S)-module given by the group of integers. This cohomology, together with certain variations of it, is the main topic of this monograph. We begin by constructing the standard free resolution of Z in the category of D(S)modules.
The Standard Resolution of Z. Standard Cochains
Underlying the following construction is the classifying simplicial set BS of the monoid S . (See Sect. 3.5.) For each n ≥ 0,let Xn : ObD(S) → Set be defined, if n ≥ 1,by
(2.3) and, for n = 0,by X0 (1) ={[1]} and X0 (x) =∅ if x /= 1. Then, an augmented chain complex of free D(S)-modules
• S → Z (2.4) is defined as follows: For each n ≥ 0, Fn S = FXn is the free D(S)-module on Xn Thus, for each x ∈ S , Fn S(x) = Z[{(u0 , [u1 | | un ],un+1 ) ∈ S × Xn (z) × S | u0 zun+1 = x }] and, for each u,x,v ∈ S , the homomorphism Fn S 〈u,x,v 〉: Fn S(x) → Fn S(y) is given on generators by Fn S 〈u,x,v 〉((u0 , [u1 | | un ],un+1 ) = (uu0 , [u1 | | un ],un+1 v).
The boundary ∂n : Fn S → Fn 1 S is the unique morphism of D(S)-modules such that, for any x ∈ S and [u1 | | un ]∈ Xn (x),
∂n [u1 | ... | un ]= u1 [u2 | ... | un ]+ n 1 i =1 ( 1)i [u1 | ... | ui ui +1 | ... | un ] + ( 1)n [u1 | ... | un 1 ]un , and the augmentation ∂0 : F0 S → Z is given by ∂0 [1]= 1.
Another random document with no related content on Scribd:
„S igy méltán mondom, azt hiszem, igyál és tölts megint!“
Hanem a herczeg e derék, jó torku pajtása is nem sokára „méltán“ felejtette a töltögetést és üritgetést, mert csakhamar belátta életmódjának káros voltát, lemondott dalról és kupáról s nagy visszavonultságban, isteni félelemmel szivében, halt meg. A mi azt illeti, a herczeg konyhája, tagadhatlan, vonzó egy konyha volt. Az elménczek el is látogattak hozzá s minden tőlük telhetőt megtettek mulattatására. Bámulatos: hogy felvillanyozódik a szellem, hogy csillognak az élczek, hogy megzamatosodik a bor, ha egy nagy férfiu ül az asztal-főn. Scott, a hűséges lovag, a király igaz alattvalója, korának legkitünőbb elbeszélője: kiapadhatlan bőkezüséggel árasztotta szét régi világi ismereteinek, szivjóságának és humorának kincshalmazát. Grattan csodálatos ékesszólásával, képzeletével és érzelmével adózott. Moore Tamás is leszállt közibök egy darab időre, s legválasztékosabb kis szerelmi dalait csicseregte el, de csakhamar méltatlankodó csiripolással röppent tova s megtámadta a herczeget csőrével, körmével. Bizony nem csoda, hogy ilyen társaságban soká tartott az ülés s a pinczemester bele is fáradt a dugók kihuzgálásába. Ne feledjük el, mi volt akkor a szokás és hogy Pitt Vilmos, miután otthon megivott egy üveg bort, elment az alsó-házba s onnan Dundas-szel Bellamy-ékhez s még egynehány kiüritésnél derekasan megtette a magáét.
Az ember herczegünk életéről végig lapozza egyik kötetet a másik után, s kap úgy egy fél tuczat törzs-históriát – bizony aligha sokkal többet – a melyik egyikben úgy meg van, mint a másikban. A herczeg jámbor volt, közönyös volt, kéjencz volt, s a szive sem volt rosz. Az egyik história – valamennyi közt bizonyára a legdicséretesebb reá nézve – az, hogy uralkodói helyettes korában nagy igyekezettel kivánta megtudni mind azt, a mit csak a halálra itélt foglyok mellett fel lehetett hozni, s nagyon a szivén feküdt, hogy – ha csak lehet – megkegyelmezzenek nekiek. Cselédeihez nagyon jó volt. Mindenik életrajzában ott van Málinak, a szolgálónak, históriája; a herczeg tudniillik valami nevetséges ujitásokat akart háztartásában tenni, s midőn e miatt a régi személyzetet elbocsátotta, az épen székeket porozó Máli keserves zokogásba tört
ki, mivel olyan gazdától kell megválnia, kinek mindig volt egy jó szava minden cselédjéhez. Egy másik történet a herczeg egyik lovászáról szól, kit rajta kaptak, hogy rozsot és zabot sikkasztott el s e miatt a fő-lovászmester elbocsátotta szolgálatából; a herczeg neszét vette a Jancsi esetének, szivére beszélt nagyon szeliden, nagylelküleg visszafogadta s megigértette vele, hogy soh’sem lop többet – s Jancsi meg is tartotta szavát. Meg más kedvencz története az életrajz-iróknak, hogy a herczeg fiatal korában egy katona-tiszt elszegényedett családjáról hallott; azonnal kölcsön vett hat vagy nyolczszáz fontot, hosszu szőke haját besimította kalapja alá, s igy ismerhetlenné téve magát, elvitte a pénzt az éhező családnak. A haldokló Sheridannek is küldött pénzt, s bizonyosan többször is küldött volna, ha a halál el nem metszte volna földi utját e nagy szellemnek. Ezeken kivül még egy csomó kedves, barátságos, kegyelmes beszélgetését jegyezték fel, melyeket a vele érintkező egyénekhez intézett. Hanem aztán túlfelől husz barátját hagyta cserbe. Egy nap bizalmas, barátságos volt irányukban, más nap elment mellettök s meg sem ismerte őket. Használta, kedvelte, talán a maga módja szerint szerette is őket – s aztán ismét megvált tőlök. Hétfőn ölelte, csókolta szegény Perditát, kedden találkozott vele s rá sem nézett; szerdán a lehető legjobban volt a szerencsétlen Brummell-lel, csütörtökön elfeledte; sőt még meg is csalta egy burnót-szelenczéig, melylyel adós volt a szegény uracsnak; azután évekkel látta megint: elrongyosodva, elnyomorodva, mikor a tönkre ment divatfi ismét egy burnót-szelenczét küldött neki, tele kedvenczburnótjával, csekély jeléül a megemlékezésnek és hódolatnak, – és a király elfogadta a burnótot, avval előrendelte lovait, elvágtatott s régi pajtására, kegyenczére, vetélytársára, ellenségére, legyőzőjére még csak ügyet sem méltóztatott vetni. Wraxall is jegyzett néhány pletykát fel róla. Midőn a gyönyörü szép, nemesszivü Devonshire herczegnő meghalt – az a kedves hölgy, kit egykor legdrágább herczegnőjének szokott nevezni, s azt mondta, hogy imádja, a mint hogy egész Anglia imádta – igy szólt: „no akkor Anglia legműveltebb nőjét veszitők el.“ „Anglia legjobb szivét veszitők el!“ mondá a nemes Fox Károly. – Egy más alkalommal, midőn három nemes ember kapott térdszalagrendet, Wraxall igy ir: „Egy magas állásu személy azt jegyezte meg, hogy soha még nem volt három ember, ki ily
jellemző modorban fogadta volna el a rendjelt. A herczeg közönyösen, hidegen, faragatlan módon járult a felség elé, mint egy paraszt; B. lord hizelegve mosolyogva közeledett, mint egy udvaroncz; C. lord fesztelenül, komoly nyugodtsággal lépett föl, mint egy lovag!“ Ezek azok a históriák, melyeket a herczegről, a királyról össze lehet gyűjteni: barátság egy szolgálóhoz, nagylelküség egy lovász iránt, birálat egy meghajlásra. Hiában! jobb históriák n i n c s e n e k róla – a mi van, az mind közönséges, triviális, épen őt jellemzik.
A birodalmak és óriások nagy tusája foly. A bátrak minden nap csatákat nyernek, vesztenek. Elrongyollott, füstös zászlókat, szétzúzott sasokat facsarnak ki a hősi ellen kezéből és az ő lábaihoz rakják, – és ő ott ül trónusán és mosolyog s a vitézség diját nyújtja a diadalmasnak. Ő! – Elliston, a szinész, a „Koronázás“ czimü darabban, melyben ő vitte a főszerepet, igazi királynak szokta magát képzelni, könyükre fakadt s áldást zokogott a népre. Elhiszem, IV. Györgygyel is igy volt, s ő is annyit hallott már háborukról, annyi embert ütött lovaggá, oly roppant mennyiségü tábornagyi egyenruhát, háromszögü kalapot, kakas-tollat, bibort és paszományt viselt, hogy a végén maga is elhitte, hogy volt ő már egynéhány ütközetben s hogy a német légio rémitő rohamát Waterloonál Brock tábornok név alatt ő vezette.
Még csak harmincz éve hogy meghalt, s már kérdezgetik: hogyan türhette el e nagy társadalom? Vajjon mi most eltürnők? Mily hallgatag forradalom folyt le a jelen évszáz-negyedben! Hogy elszakitott bennünket a régi időktől és szokásoktól! Hogy megváltoztatta magokat az embereket! Látok most is közöttünk öreg urakat: műveltek, szolidok, hajuk tisztes ősz, unokáikat beczéztetik, – és rájok nézek, és elbámulok, hogy milyenek lehettek egykor! Az az ur, a régi nagy iskolából, midőn a tizedik huszár-ezredben szolgált, s a herczegnél ebédelt: úgy leitta magát minden este, hogy az asztal alá került. Egyik éjjel úgy, mint a másikon, ott ült a koczka mellett, Brookesnál vagy Raggettéknél. Ha játéktól vagy bortól fölhevülve egy kemény szót szólt szomszédjához: más nap reggel menthetlenül kiálltak egymásnak, s azon voltak, hogy egyik a másikat lelője. Ez az ur kivitte barátját, Richmondot, a „fekete
ökölharczost“, Moulseybe, tartotta kabátját, orditozott, káromkodott és ujjongott örömében, mig a „fekete“ a hollandus Samu zsidót elegyebugyálta. Ennek az úrnak az is gyönyörüségre szolgált, hogy maga is levesse kabátját és jól elnyújtson egy fuvarost, egy utczai verekedésnél. Ez az úr sokszor hált a pricscsen. Ez az ur, ki a hölgyek elfogadó termében a legfinomabb, a legudvariasabb, a legméltóságosabb, ha ma köztünk ugy beszélne, a mint férfiak közt szokott fiatal korában: olyan káromkodást vinne végbe, hogy a hajunk szála is felállna belé. Nem régiben egy nagyon öreg német urral beszéltem, ki ez évszáz kezdetén seregünkben szolgált. Azóta jószágán lakott, csak néha napján találkozva egy-egy angollal, de nyelvünket – már tudniillik az ötven év előtti angol nyelvet –tökéletesen birta. Mikor ez a magas műveltségü öreg ur beszélni kezdett velem angolul, minden második szava káromkodás volt, – a mint szokta volt (Flandriában ugy káromkodtak, mint a záporeső!)
York herczeggel, Valenciennes előtt, vagy Carlton-houseban, a kupa vagy a kártya mellett. Olvassátok csak Byron leveleit. A fiatal ember annyira hozzászokott a káromkodáshoz, hogy még barátságos leveleit is ezekkel fűszerezi, s ugy szólván postán káromkodik. El kell csak olvasni, hogy mit ir a cambridgei ifjuság életmódjáról, a kicsapongó professorokról, kik közül egyiknek „ugy ömlött a görög a szájából, mint egy részeg helotának,“ és kihágásai még az ifjakéit is fölülmúlták. El kell csak olvasni, hogy mit ir Matthew a gyerekes urfi háztartásáról Newsteadben, – a körben járó kaponya-kehelyről, a jelmez-intézet barát-csuháiról, melyekben hajnalig szoktak a fiatal tivornyázók ülni, oda illő dalok mellett hajtogatván a bort. „Két vagy három órakor jövünk reggelizni“, irja Matthews. „A mulatni vágyók számára vannak víkeztyűk és vítőrök is, vagy czelet lövünk pisztolylyal a csarnokban, vagy a farkast hergeljük.“ Pompás egy élet, mondhatom! A nemes fiatal házigazda maga is ir ezekről a dolgokról barátjának, Jackson János ökölharczos úrnak –Londonban.
A herczeg egész kora a szokásokról és mulatságokról mind ilyen csodálatos históriákat beszél. Wraxallnál olvashatni, hogy maga a miniszter-elnök, Pitt Vilmos is, kitől ugy félt mindenki, szintén élte világát, nem kisebb jelentésü férfiakkal, mint Thurlow lord, a
főkorlátnok, és Dundas, a tengerészi kincstárnok. Wraxall beszéli, hogy e három államférfiu Addiscombeból, ebédről visszajöttében nyitva lelt egy vámsorompót s átvágtatott rajta vám nélkül. A vámszedő azt hivén, hogy utonállók: golyót küldött utánok, de biz a nem találta. Itt van a tengerészeti kincstárnok, a főkorlátnok ő méltósága és a miniszter-elnök, mindhárma kétségbevonhatlanul csinyen érve. Elden jóformán akkori Emlékirataiból megláthatod, hogy a törvénybiró csak ugy szerette a bort, mint a képviselő. Scott János már nem, ez már mindig jó gyerek volt – s habár szerette is a port-bort, mégis sokkal jobb szerette dolgát, kötelességét, illetékeit.
Ez az Eldon egy szép históriát beszél el amaz időből. Valami Fawcett nevü ügyvéd ugyanis mindig nagy ebédet szokott adni a törvényszéknek, midőn az északi megyék törvénykezési körjárata helységéig eljutott.
„Egyszer“ – beszéli Eldon lord – „hallom, hogy Lee igy szól: „Fawcett borát nem hagyhatom itt. Azt tartom, Davenport maga ebéd után azonnal haza mehetne, s átnézhetné a pör-iratokat a reggel tárgyalandó ügyre nézve.“
„Nem én“, szólt Davenport. „Egy pár pór-irat végett hagyjam itt ebédemet s boromat?! Szó sincs róla, szó sincs róla Lee; de már azt nem teszem!“
„Hát akkor mit csináljunk?“ viszonzá Lee. „Ki van itt még?“
D a v e n p o r t : „Hát itt van Scott öcsém.“
L e e . „Akkor hát neki kell mennie. Scott ur, önnek azonnal haza kell mennie, tanulmányozza ez ügyet, mielőtt még este az előleges tanácskozást megtartanók.“
„Ez már aztán szomoru volt rám nézve, de csak elmentem s ott kaptam egy cumberlandi birót, egy northumberlandit s magam sem tudom még hány embert. Jó későn aztán Lee Jakab is eljött, de olyan részegen, mint a föld.“
„Ma este nem tanácskozhatom, – le kell feküdnöm“ – dadogá s avval odább állott.
Ekkor jött Davenport Tamás uram s hangosan kiáltá:
„Wordsworth ur – (azt tartom Wordsworth-ot mondott; annyit tudok, valami Cumberlandi név volt,) ma este nem tarthatunk tanácskozást; ’sz láthatja, milyen részeg Scott ur; ma lehetetlen tanácskoznunk.“
„Szegény fejem! kinek ebédem is nagyon vékonyka volt s minden borom odaveszett: én voltam olyan részeg, hogy nem lehetett tanácskoznom! No de a pörünket el is vesztők s az oka mindennek a Fawcett ügyvéd ebédje volt. Kértünk aztán uj tárgyalást s a biróság dicséretére legyen mondva: Lee Jakab és Davenport Tamás uraimék meg is fizették az első tárgyalás minden költségeit. Tudtomra ez volt az egyetlen ilyen eset, hanem biz ők még is megtették. Mondom uj tárgyalást kértünk, (ugy tetszik, az alatt a szin alatt, hogy a tanács nem volt egészen eszén) – s meg is nyertük. Midőn, azután való esztendőben, rá került a sor, az elnök felállt s igy szólott:
„Uraim! ebédelt-e tegnap valamelyik önök közül Fawcett ügyvédnél? mert ha igen: ez ügyet elhalasztom a jövő évre!“
„Orjási kaczaj tört ki. Hanem ezuttal a mienk volt a győzelem.“
Egy más alkalommal, Lancasterben, midőn az északi megyékbe a szegény Boswell volt törvénykezési körütra kiküldve: „ott leltük őkemét – mondja Scott ur – a kövezeten, részegen. Vacsoránál gyüjtöttünk egy aranyat az ő, s egy felet a segédje számára“ – (a törvénykezési gyülekezet bizonyosan népes volt és Scott urnak nem sokjába került e tréfa) – „s midőn másnap reggel felébredt: elküldtünk neki egy pör-iratot azon utasitással, hogy hivatkozzék, a mint mi nevezők – a q u a r e a d h a e s i t p a v i m e n t o ?19) aktára. A jegyzetek sem hiányoztak, bölcsen arra számitva mind, hogy elhitessék vele: mily nagy tanulmány szükséges arra, hogy a pör tárgyalását vezető elnököt meggyőzze a hivatkozás helybenhagyásának mulhatatlansága felől.“ Boswell az egész város minden ügyvédjétől összeszedte a könyveket, melyekből remélte, hogy kitehet magáért – de mind hasztalan. Hanem azért mégis inditványozta az akta kiadását és segitett magán, a hogy lehetett, a levélben levő jegyzeteket mindenképen fölhasználván. A biró
majdnem kővé meredt, a hallgatóság elképpedt. A biró végre igy szólt:
„Soha hirét sem hallottam ennek az aktának – ugyan mi lehet a mi a d h a e r e t p a v i m e n t o ? Talán tud valaki a jelenlevő törvénytudó urak közül fölvilágositást adni e tárgyban?“
A törvénytudók kaczagtak. Végre az egyik felszólalt:
„Elnök ur, Mr. Boswell mult éjjel a d h a e s i t p a v i m e n t o . Jó darab ideig meg sem tudtuk mozditani. A végén hazavittük, lefektettük s bizonyosan magáról és a kövezetről álmodott.“
A hamis öreg urat az ilyen tréfák vidítják föl. Midőn Lincoln püspököt eltették a Sz. Pál esperességből, beszéli, hogy tanácsot kért egy tudós barátjától, névszerint Hay Vilmostól, hogyan költöztethetne el egynehány üveg kitünő finomságu klaret-bort, melyet ott nem hagyna sokért.
„Bocsánat, méltóságos püspök ur – viszonzá Hay – hány üveggel lehet abból a borból?“
A püspök mondá, hogy hat tuczattal.
„Ha csak annyi – mondá Hay – csak hatszor kell hogy ebédre hivjon méltóságod, s a mennyi csak van, mind elszállitom magam.“
Abban az időben még voltak óriások, de ez a bor-tréfa nem oly borzasztó, mint volt az, melyet tiz évvel később a franczia forradalom hevében, egy Thelwall nevü szónok mondott egy kancsó habzó sörre. Ez lefujta a sör habját, s szólt: „igy szeretnék elbánni minden királylyal.“
Immár magosabb személyekhez értünk, kiknek tetteit megtaláljuk följegyezve a félénk kis Burney kisasszony Naplójának pironkodó lapjain, hol egy kék vérü herczeg van lerajzolva igazán királyi állapotban. Ugy látszik, hogy a fiatal herczeg hangos volta, csetepatéja, darabossága, recsegő csizmái és pattogó esküdözései egészen elrémitették a windsori gyönge idegzetü háztartást és megreszkettettek minden theás-csészét a tálczán. Egy névnap-esti
bálon, midőn egyik szeretetreméltó kedves herczegasszonyt épen először vezették be a nagy világba: ugy volt elrendezve, hogy testvére, Vilmos Henrik herczeg tánczolja vele az első menuetet, s ez el is jött látogatóba ebédkor.
„Ebédnél Schwellenberg asszony ült az asztal-főn, gyönyörüen öltözködve; Goldsworthy kisasszony, Stanforth asszony, Du Luc és Stanhope urak is ott ebédeltek s mi még gyümölcsöt evénk, midőn Clarence herczeg belépett.
Épen akkor kelt volt fel a királyi asztaltól s csak arra várt, hogy fogata előállhasson, s haza mehessen és öltözködhessék a bálra. Hogy az olvasó helyes fogalmat nyerhessen magának ő királyi felsége beszédének erőteljességéről: kénytelen vagyok legyőzni bizonyos erős szavak leirása vagy is inkább sejtetése ellen felkelő ellenszenvemet, s azon vakmerőségre vállalkozom, hogy egy királyi tengerészt a maga leplezetlenségében mutassak be.
„Beléptekor természetesen mindnyájan felálltunk, a két ur széke mögé állt, a cselédek pedig kimentek a szobából. De megint leültetett mindnyájunkat, visszahivta a legényeket, hogy bort hordozzanak. – Rendkivül magas kedve volt, s a világgal, ugy látszott, nagyon meg volt elégedve. Oda ült az asztal-főre, Schwellenberg asszony mellé, s arcza ragyogott a szépségtől, vigságtól, hamisságtól s az okosság mellett a nedélyességtől.
„Ma volt először, hogy a királylyal születése napján együtt ebédeltem St. Jamesben. Ugyan ittak-e mindnyájan ő felsége egészségére?“
„Nem, királyi felség; de királyi felséged megtétethetné velünk“, viszonzá Schwellenberg asszony.
„De, ter–, meg is tétetem! Hé, te, (az inashoz), ad’sza sámpányit! még egyszer iszom a királyért, s ha mindjárt bele is halok. Biz’ úgy! már meglehetősen megtettem a magamét s meg a király is, mondhatom! Azt tartom, még soha ennyire nem gondoskodtak a királyra; jó kedvet csináltunk neki, mondhatom! Megtettünk mindent, hogy kibirja a nagy munkát, mely előtte áll s én magam is többet
tettem volna, ha nem lett volna ez a bál és Mari; megigértem, hogy tánczolok Marival; józanon kell maradnom Mari végett.“
A fáradhatlan kis Burney kisasszony egy tuczat lapon végig folytatja a királyi felség társalgásának följegyzését, s „Evelina“ okos kis szerzőjéhez nem méltatlan humorral rajzolja a fiatal tengerészherczeg felhevült állapotának folytonos fokozását; elbeszéli, hogyan ivott a herczeg mindig több, több sámpányit; hogyan hallgattatta el Schwellenberg asszony ellenvetéseit, megcsókolván az öreg hölgyet s azt mondván, hogy fogja be „pityóka vermét“ s hogyan n e m maradt „józanon Mari végett“. Marinak erre az estére más tánczost kelle keresnie, mert a királyi Vilmos Henrik a lábán sem tudott megállani.
Akarjátok látni egy más királyi herczeg mulatságainak képét is?
Ott van York herczeg, a chlumi köd tábornoka20) , a sereg szeretett főparancsnoka, a testvér, kivel IV. György sok éjet tivornyázott át, s ki addig élte vigasságos világát, mig ki nem ütötte a halál poczakos teste alól lábait.
Pückler Muskau, a német herczeg „Leveleiben“ lerajzolt egy dáridót ő királyi felségével, ki a maga virágjában olyan hatalmas egy ivó volt, hogy „ebéd után hat üveg klaret alig okozott csak valamennyire is észrevehető változást rajta.“
„Emlékszem, – mondja Pückler – hogy egy este, igaz: éjfélt már meghaladta volt, bevitte vendégeit (ott volt az osztrák követ, gróf Meervelt, gróf Beroldingen, s magam is) szép fegyvertárába. Megpróbáltuk, hogyan tudnánk megsuhogatni egy pár török szablyát, hanem a markunk egyikünknek sem igen tudott már szoritni; e közben úgy esett, hogy a herczeg és Meervelt valami egyenes indus kardokkal megkarczolták egymást, úgy hogy vér is folyt. Erre Meervelt azt akarta megnézni, hogy vajon vág-e olyan jól ez a kard, mint egy damaskusi, s ketté akarta szelni az egyik viaszgyertyát az asztalon. A kisérlet oly roszul sült el, hogy mind a két gyertya, gyertyatartóstól, mindenestől, földre hullott és kialudt. A mig mi a sötétben tapogatózunk s keressük az ajtót: a herczeg
hadsegédje nagy rémülettel kiált fel: „Istenemre herczeg! jól emlékszem hogy a kard meg van mérgezve!“
„Lehet képzelni, mily kellemes érzelmek lepték meg a sebesülteket e felkiáltásra! A későbbi vizsgálatnál szerencsére kisült, hogy klaret és nem méreg volt az ezredes felkiáltásának okozója.“
És már most van még egy ilyen bakhanália-féle történetem, melyben Clarence és York és az állam legelső személye, a nagy uralkodó-helyettes, mind szerepet visznek. A lakoma a brightoni kerti lakban folyt le, s nekem egy olyan ember beszélte el, ki maga is jelen volt az egész jelenetnél. Gilray torzképein és Fox vig pajtásai közt szerepel egy előkelő nemes, Norfolk herczeg, a maga idejében köznéven Norfolk lovász, hires asztal melletti hős-tetteiről. A királylyal nem élt jó egyetértésben, mint a többi Whig-párti sem, de mégis olyan kibékülés forma történt közöttük, s mivel Norfolk már öreg ember volt: a herczeg meghivta, hogy vacsoráljon és háljon a kerti lakban; az öreg herczeg át is jött Arundel kastélyából hires almás-szürke fogatán, melyre még most is emlékeznek Sussexben.
A walesi herczeg bámulatos elmés tervet főzött ki fejedelmi testvéreivel, hogy az öreg embert leitassák. Minden vendégnek ki volt adva, hogy koczintson az öreg herczeggel, – a mi különben oly felszólitás volt, melyet az öreg ivó nem szokott visszautasitani. Nem sok idő kellett azonban, hogy észre vegye az összeesküvést ellene; de azért csak üritette egyik poharat a másik után s nem egy vitézt ivott az asztal alá. „Európa első nemes lovagja“ végre inditványozá, hogy igyák a szilvoriumot vizes-poharakból. Az egyik királyi testvér egy nagy pohárral töltött az öreg herczegnek. Ez fölállt és kiitta egy hajtásra, s szólott: „No már most hol a kocsim, hadd megyek haza!“ A herczeg emlékeztette korábbi igéretére, hogy azon fedél alatt fog hálni, mely alatt annyi vendégszeretettel látták el. Nem – mondá –elég volt már neki az ilyen vendégszeretetből; cselt vetettek ellene, s azonnal el akarja hagyni e helyet, hogy többet soha még a küszöbét se lépje át.
Nem volt mit tenni, szólitották a kocsit s elő is állott, de ez beletelt egy fél órába s ez alatt a szilvoriumnak volt ideje, hogy megmutassa
igen erős voltát az öreg embernek; a gazda nemes vágya betelt, s a herczeg szürke agg feje elkábulva hanyatlott az asztalra. De azért, midőn kocsiját jelentették, a mennyire birta, felétántorgott, belebotorkázott s mondta a kocsisnak, hogy vigye Arundelbe. De a helyett fél óráig kerülgették vele a kerti lak gyep-terét – s a szegény öreg ember azt hitte, hogy haza felé halad. Mikor más nap reggel fölébredt: a herczeg brightoni ocsmány házában lelte magát. Most is megnézheted azt az ágy-helyet hat pennyért: zene is van ott minden nap; néha még erőmüvészek és csodagyógyszerek árusai bérlik ki a lovardát, ott végezvén mutatványaikat és szemfény-vesztéseiket. A fák még ott állnak, s a kavicsos útak is ott nyúlnak el, melyek alatt s melyeken a szegény öreg bűnöst kereken hordozták. Mintha látnám a királyi herczegeket, nekipirult arczczal, a mint a csarnok oszlopainak dülöngve nézik az öreg Norfolk vereségét, hanem azt nem tudom elképzelni, hogyan hihattak nemes lovagnak embert még azután is, hogy e vereséget előidézé?
A „vidor Múzsa“ az ivástól most a játékhoz fordul, miben a mi herczegünk szintén nem maradt hátra fiatal korában. Derék egy galamb volt minden játékosnak, kik abból éltek, hogy őt kopasztották. Azt tartották, hogy Egalité Orleans nem egyszer fűzte be. Egy nemes lord, nevezzük Steyne marquisnak, azt mondják, hogy orjási összegekig fejte meg. Mindennapos volt a klubokban, hol a játék – az időtt – átalános volt, s mivel tudták, hogy becsületbeli adósságait szenteknek tartotta: mig ő ottbenn játszott, odakünn zsidók állongáltak, hogy utalványait megvegyék. A lófuttatásoknál ép oly szerencsétlen volt, mint a mily nemtelenül viselte magát – néha, isten neki, elhiszem, hogy ő is, lovásza is, Escape – a lova – is, mind ártatlanok voltak az egész dologban, mely akkora botrányt okozott.
Arthur, Almack, Bootle és White klubjai voltak azok a nóbel helyek, hova az előkelő fiatal emberek jártak. Játék folyt mindenikben, s megbukott nemesek s tönkrejutott szenátorok kopasztották a vigyázatlanokat. Selwyn „Levelei“ megmondják, hogy Carlisle, Devonshire, Coventry, Queensberry, mind kiállták a próbát. Fox Károlyt, egy szenvedélyes kártyást, még jó későn is kijátszták s vesztett két millió forintott. Gibbon beszéli, hogy egy ülőhelyében huszonkét óráig játszott, s óránként 5000 forintot veszitett21) . Ez a
javithatlan játékos azt mondja, hogy a világ legnagyobb gyönyöre – a nyerésen kivül – a vesztés. Mennyi órát, mennyi éjet, mennyi egészséget fecsérelt el az ördög könyve mellett! Azt is hozzá akartam tenni: mennyi lelki nyugalmat – de vesztéseit nagyon filozofus módon hordozá. Midőn egyszer az egész éjen át dühösen játszott s – e g y e n kivül – a világ legnagyobb gyönyörét élvezé: ott lelték a diványon, nagy nyugalommal olvasgatva Virgil egyik ecclogá-ját.
A játék azután is soká tartotta még magát, miután a vad herczeg és Fox már rég felhagytak a koczka-pohárral. A divat-uracsok folytatták. Byron, Brummell – hány nevezetes embert emlithetnék, kik annak lettek nyomorultjai! 1837-ben azonban egy hirhedett bűnvádi kereset folyt, mely jóformán véget vetett a játéknak Angliában. Egy birodalmi peert csaláson kaptak a whistben s többször vették észre, hogy végrehajtja azt a fogást, mit ugy hivnak, hogy s a u t e r l a c o u p e . Klub-pajtásai látták, hogy csal, de azért játsztak vele tovább. Egy balek is rajta kapta a hamis játékon s megkérdezte egy tapasztalt kozáktól, hogy mit csináljon? „Hogy mit csinálj?“ kérdé az ebül szerző Mammon, „add vissza a kölcsönt, bolond“. Minden lehetőt megtettek, hogy megmentsék. Irtak neki névtelen leveleket s figyelmeztették; de ő csak csalt tovább s végre le kelle rántani álarczát! Az napságtól fogva aztán, hogy ő lordsága gyalázata napfényre került: a játék-asztal elveszté minden varázsát. Mocskos zsidók és iparlovagok csúszkálnak még a lófuttatásokon és korcsmákban s elszéditenek még egyszer másszor egy-egy együgyü birkát a vasuti kocsikban, zsiros kártyákkal – de maga a játék immár trónjáról letaszitott istenség, imádói tönkre jutottak, oltárai porba omoltak.
Igy érte meg bukását egy más hires angol intézmény is: a gyürü, – az angol ökölharcz nemes szokása, mely ifjuságomban még majdnem virágjában volt.
A herczeg ifju korában nagy pártfogója volt e nemzeti mulatságnak, épen mint nagy nagybátja, Cumberland Culloden, ő előtte. – Midőn azonban egyszer Brightonben végig nézett egy ily viadalt, melyben a küzdők egyike nyakát szegte: évdijt rendelt a
küzdő özvegyének, s felfogadta, hogy soha többé ilyen viadalnál meg nem jelenik. „Hanem azért“, olvasom a nemes irályu Egan Piercenél, (olyan szerencsés vagyok s nekem is meg van az ökölharczról irott kisebb műve) „férfias és sajátlagos angol vonásnak tartotta ezt, melynek nem szabad kipusztittatnia. Ő felsége hálószobájában mindig ott függött egy kép, a kitünőbb küzdőket tüntetve föl a ví-téren, hogy emlékeztesse korábbi hajlamára s a való bátorság támogatására; és ha királylyá léte után figyelemre méltó kérdés fordult elő: kivánságára jelentést olvastak fel neki felőle. Ez már aztán egyszer gyönyörü egy képét adja az enyhülést kereső királynak: kényelmesen beburkolózva királyi slafrokjába, méltóságán alólinak tartván, hogy maga olvasson, berendeli a miniszter-elnököt, hogy olvassa föl jelentését a viadalról: hogyan üti ki Cribb a Molyneux szemét, vagy hogyan töpöri le Randall Jakab a másikat.
A miben már az én herczegem csakugyan kitünt: a hajtás volt. Egyszer négy s fél óra alatt hajtott el Brightonből Carlton-houseba –ötvenhat (angol) mértföldet. Az akkori fiatalok mind nagy kedvelői voltak e mulatságnak. De a gyors hajtás divata elhagyá Angliát s azt tartom, átiramlott Amerikába. Hová tűntek ifjuságunk mulatságai? Most hallani sem lehet kártyázásról, haneha obskurus zsebmetszők között, – sem ökölharczról, haneha a legsöpredékebb söpredék között. Egyetlen négyfogatu robogott még London parkjaiban végig a tavaly, de e kocsikázónak is nem soká el kell tűnnie. Már a tavaly is jó öreg volt; az 1825-ki divat szerint öltözködött. Nem sok idő kell, hogy Styx partjaira kocsikázzék, hol már várakozik rá a hidas, hogy átszállitsa a már előrement lakmározók közé, kik még György királylyal vívtak, kártyáztak, ittak, kocsikáztak.
A braunschweigi ág bátorsága, hogy a család minden tagja részese volt, hogy Györgynél sem hiányzott, – ezek azok a pontok, melyekben minden angol iró egyhangulag megegyezik: és mégis, én be nem tudom látni, hogyan lehetett volna e szép tulajdon IV. Györgyben is meg? Teljes világi életében pihés dunnákba pólálgatva, tunyán, lomhán, folyton iva, éve: egészen más volt neveltetése, mint a milyenben edzett öreg ősei felnövének. Eldődei megismerkedtek nélkülözéssel, háboruval; bátran szeme közé néztek a halálnak s neki vágtatva rásütötték pisztolyaikat. Atyja
legyőzte a fényüzést és erőt vett a tunyaságon. Ő ellenben az az ember volt, ki soha kísértetnek még ellent nem állott; kinek soha olyan vágya nem kelt, melyet ne táplált és ki ne elégitett volna, – s ha volt benne valami kis erély: azt is szakácsok, szabók, borbélyok, kárpitosok és tánczosnők közt forgácsolta el. Micsoda izmok ne petyhüdtek volna meg ilyen élet mellett – ilyen élet, mely soha tettre nem hevült – mely mind csak Capua volt ütközet nélkül, és cziniczini, és virág, és lakoma, és hizelgés, meg bolondság!
Midőn III. György a katolikus kérdés meg az indiai törvényjavaslat miatt sarokba szorult: kinyilatkoztatta, hogy inkább visszamegy Hannoverába, mintsem hogy akármelyikben is egy hajszálnyit is engedjen – és megtartotta volna szavát. De mielőtt visszalépett volna: el volt határozva, hogy megküzd minisztereivel és a parliamenttel – s meg is küzdött, s meg is győzte őket. És eljött az idő, mikor IV. György is sarokba szorult a katolikus követelések miatt; az előrelátó Peel e párthoz csapott át, a mogorva öreg Wellington is odahajlott – s Peel „Emlékiratai“-ban elbeszéli, hogyan tartotta magát a király. Eleinte nem engedett; Peel és Wellington benyujtották lemondásukat, s kegyelmes urok el is fogadta. Sőt abban a kegyben részesité e két nemest – mondja Peel – hogy kijöttükkor mindkettőt megcsókolta. (Képzeld az öreg vasgyúró Arthur mérges tekintetét meg sas-orrát, midőn a fejedelem megcsókolja!) De mikor eltávoztak: a király utánok küldött, megadta magát s levelet irt nekik, melyben megkérte, hogy tartsák meg hivatalukat, s megengedte, hogy csináljanak a mit tetszik. Azután Eldonnel volt ő felségének hosszu beszélgetése, melyet Eldon egész terjedelmében közöl „Emlékirataiban“. Mondott egy csomó hazugságot az uj katolikus áttértekkel való társalgásáról, egészen tévutra vezette az agg volt korlátnokot; sirt, óbégatott, nyakába borult s őt is megcsókolta. Tudjuk, Eldon köny-csatornái is nagyon könnyen megeredtek. Vajon e két forrás egymásba szakadt-e? Igazán nem tudok kevésbbé férfias, tehetetlenebb, szánalomra méltóbb magaviseletet képzelni. S ez lenne a hitnek őre! Ez a vezér egy nagy nemzet válsága közt! Ez a Györgyök bátorságának örököse!?
Hallgatóim közül kétségen kivül sokan elutaztak már abba a szép régi városba, Braunschweigba, ama derék, eszélyes, mivelt lovag, Malmesbury gróf kiséretében s Karolina herczegasszonyt elhozták epedő férjének, a walesi herczegnek. Az öreg Sarolta királyné nagyobbik fiát egyik unoka-hugával szerette volna összeházasitni, a hires Strelitzi Luizával, a későbbi porosz királynéval, ki a mult évszázban a szépség és szerencsétlenség szomoru magaslatán Mária Antóniával áll egy sorban. De III. Györgynek is volt egy unokahuga Braunschweigban s ez gazdagabb herczeg-asszony volt mint a strelitzi ő magassága – száz szónak is egy a vége: Karolina herczeg-asszonyt választották az angol trón örökösének hitestársul. Követjük Malmesbury grófot, ki őt felkeresi; minket is bemutatnak felséges atyjának és királyi anyjának; szemtanui vagyunk az agg udvar estéinek és tánczvigalmainak; bemutatnak magának a szép szőke haju, kék szemü és ingerlő vállú herczeg-asszonynak is, ez eleven, fürge, életvidor herczegnőnek, ki udvarias angol mentorának tanácsát nagyon kegyesen és barátságosan fogadja. Ha kedvünk tartja, még öltözésénél is jelen lehetünk, melyre nézve az angol udvaroncz kéri – tudja ő miért! – hogy kiváló figyelmet forditson. Milyen csodálatos egy udvar! Milyen különös, sajátságos szokások és erkölcsök szöknek itt szemünkbe! A predikátor, az erkölcstanitó szemével nézzük-e azokat és vészt kiabáljunk a leplezetlen bűnök, az önzés, a romlottság miatt, – vagy pedig csak ugy nézzük, mint szoktuk a báb-szinház báb-királyát és báb-nejét s báb-udvaronczait, kiknek összeütögeti vaskos fejüket, kiket jól elpáhol báb-királyi botjával, kiket börtönbe küld, báb-poroszlói kiséretében, mig ő maga leül báb-puddingja mellé? Komoly, szomoru, a legsajátságosabb téma akár erkölcsi, akár politikai elmélkedés alapjául; szörnyüséges, torz, nevetséges bámulatos kicsinykedéseivel, illemkedéseivel, szertartásaival, festett szégyenpirjával; komoly, mint egy prédikáczió és képtelenség, tulzás, mint a Paprika Jancsi báb-játéka!
Malmesbury elbeszéli a herczegnek, Karolina herczeg-asszony atyjának életét, kinek, épen mint harczias fiának, a francziák ellen kelle elesnie. Bemutat udvaronczainak, kedveseinek; nejének – III. György nővérének, ennek a mérges, vén herczegnőnek, ki félre vonta az angol követet s régi ocsmány történeteket beszélt el neki,
régi ocsmány elköltözött népekről és időkről; ki később, midőn unoka-öcscse trónra lépett, Angliába jött, s itt egy kopottas, régi, füstös, elhagyott és izléstelen, de némi tekintetben mégis királyilag bútorzott házban lakott. És elvezet bennünket a herczeghez, hogy annak rendi szerint megkérjük tőle lánya kezét, s meghalljuk a braunschweigi ágyuk dörgését, tiszteletet és búcsut mormogva, a mint ő királyi felsége a walesi herczegné tél idején viz-utra kél, – és átkelünk az osnabrücki herczeg-primás – a mi korai időnk Yorki herczegének – területén, – és félre térünk, hogy kikerüljük a franczia forradalmiakat, kiknek rongyos seregeik elözönlik Hollandiát és Németországot és vigan tiporják szilakra a régi világot, a „ça ira“ dallama hanginál; aztán hajóra lépünk Stadenél s partra szállunk Greenwichnél, hol a herczeg-asszony hölgyei és a herczeg hölgyei várakoznak, ő királyi felsége elfogadására.
S mi következik most! Londonba érve, kiváncsian siet a vőlegény, hogy elfogadja menyasszonyát. „Midőn az első bemutatás volt“, beszéli Malmesbury, „a herczeg-asszony – a mint illik – le akart térdelni. De a herczeg barátságosan felemelte, megölelte, s hozzám fordulva szólt:
„Harris, roszul érzem magam; kérem, adjon egy pohár szilvoriumot.“
„Én pedig feleltem: Felség, nem jobb lenne egy pohár viz?
Erre türelmét veszitve, káromkodva mondá: „Nem – megyek a királynéhoz!“
Mit lehetett várni egy ilyen kezdetü házasságtól – egy ilyen vőlegénytől s ilyen menyasszonytól? Nincs szándokomban, hogy végig hurczoljam önöket e botrány-történeten, vagy hogy elkisérjem a szegény herczeg-asszonyt minden kanyargásain; báljain és tánczain, jeruzsálemi és nápolyi útjain, bolondságain, lakomáin és –könyein. A mint ügyét a történetben olvasom: én „ártatlan“-ra szavazok. Nem mondom, hogy részrehajlatlan itélet lenne ez – de ha történetét olvassa az ember: elszorúl szive e jólelkü, nemes, sokat kinzott teremtés iránti részvéttől. Ha igaztalanság történt: azt terheli az, ki gyalázatosan ellökte magától e szerencsétlen asszonyt.
Bolondságai daczára szerette, pártját fogta, sajnálta őt Anglia nagy, helyesen érző népe. „Áldja meg az isten! visszatéritjük mi férjét“ –mondá egyszer egy kézműves; maga a herczeg-asszony beszélte el, sűrűn pezsgő könyek között, Bury Sarolta asszonynak. De biz’ ők nem tudták visszahozni a férjét, mert nem tudták megtisztitni önző szivét. S vajon a herczeg-asszonyé volt az egyetlen, melyet ő megtört? Önzésbe merülve, hűséges ragaszkodásra és férfias kitartó szeretetre képtelen – immár felülkerekedett az önvádon, immár hozzászokott a hitlenséghez!
Malmesbury elbeszéli a házasság kezdetének történetét: hogyan botorkázott a herczeg a kápolnába esküvőre; hogyan csuklott, mig kidadogta a hűség-eskü szavait – tudjuk, hogyan tartotta meg! –hogyan üldözte a szegény asszonyt, kivel megesküdött; hova juttatta őt; milyen sebeket ütött szivén; milyen gonoszsággal nyomorgatta; hogyan bánt lányával s milyen volt egész élete. Ő az első lovag egész Európában! Nem lehet maróbb gúny az akkori büszke angol társadalomra, mint hogy ezt a Györgyöt bámulta.
De nem – istennek legyen hála, különb emberekről is beszélhetünk, s mig szemeink utálattal fordulnak el a büszkeség, hiuság, tehetetlenség e szörny-képétől: láthatnak ez Angliában, melyről az utolsó György azt állitotta, hogy uralkodik fölötte, olyanokat is, kik valóban megérdemlik a nemes nevezetet –olyanokat, kiknek már nevük hallatára fennen dobog szivünk, s kiknek emlékét még akkor is szeretettel őrizzük, midőn ezért a királyi báb-jankóét már rég a feledékenység pókhálói boritják. Veszem a magam-fajtákat, az irodalmi férfiakat. Veszem Scott Waltert, a király hivét, kardját és paizsát, ki úgy küzdött érette, mint küzd az a vitéz fel-földi – saját elbeszélésében – gyáva vezére oldala mellett. Mily derék férfiu! Milyen hűséges lélek, mily áldozatkész a jótételben, mily szeretetreméltó ennek a derék Walternek egész élete! Vagy veszek egy más irodalmi férfiut, kinek életét még jobban bámulom, – azt a talpig egész embert, ki ötven nemes munka-éven át végzé kötelességét, ki egy nap úgy, mint más nap gyűjté a tudományt, ki egy napról másra szegényes jutalomért dolgozott, szűkös jövedelméből sok jótettre juttatott, hűséges kitartással állott meg választott hivatása mellett, és sem a nép-tetszés, sem a fejedelmi
kegy el nem tántoríthaták ösvényéről; – értem Southey Robertet. Régi politikai látkörének határait nem is csak egy mértföldre hagytuk immár hátunk mögött, tiltakozunk dogmatismusa ellen, sőt már kezdjük ezt is, politikáját is elfeledni: de remélem, életét nem feledjük el soha, mivel egyszerüsége, erőteljessége, becsületessége, szeretete magasztossá teszik azt. Az Idő és Thalaba küzdelmében, azt tartom, az első – mely pedig mindent megsemmisit – szenvedte a vereséget. Kehama átka nagyon kevés olvasót rémit el ma már, de Southey magány-levelei egész halom elbeszélő költeménynyel érnek föl és fönmaradnak bizonnyal mindaddig miköztünk, mig nemes szivek lesznek, melyek a jósággal és tisztasággal, a szeretettel és egyenességgel rokonszenveznek. „Ha érzelmeid találnak az enyémekkel,“ – irja nejének – „nélküled el nem megyek Liszbonába, vagy itthon maradok s el nem válok tőled. Mert noha nem vagyok boldogtalan tőled távol, de boldog sem nélküled. Te éretted csak úgy, mint magamért s a kis Edithért bele nem egyezem a válásba; a köztem és közte való szeretetnek egy évi növekedése –ha isten életének kedvez – már magában is sokkal dicsőbb s eredményeiben sokkal becsesebb, hogy sem a magam vagy magad csekély kellemetlensége kedveért lemondjunk róla… De lesz még elég időnk, hogy erről nyugodtan beszéljünk – csak, kedves, kedves Edith, n e m s z a b a d e l v á l n u n k !
És ez egy szegény iró-féle ember volt. „Európa első emberé“-nek is volt felesége, gyermeke. Szerette-e vajon őket igy? Hű volt-e hozzájok? Feláldozta-e érettök nyúgalmát, avagy a vallás és becsület szentelt példáit megadta-e nekiek? A nagy angol pazarlót az ég nem részelteté ilyen áldásban. Peel inditványozá, hogy emeljék Southeyt báróságra s a király bele is egyezett. De a költő nemesen visszautasitá a felajánlott kitüntetést, igy szólván:
„Van 200 font évdíjam, melyet régi barátomnak, Wynn C-nek közbenjárására nyerék s ezen kivül itt van a koszorus-költőség. Ez utóbbi jövedelmével, a mennyire kifutja, azonnal 3000 fontig biztositottam életemet, mely összeg egy további biztositással az egyedüli, a mivel családomról gondoskodhatom. Egyebet mindent szorgalmam után kell magamnak megszereznem. Életem fentartásáért irva: életem fentartása az egyetlen, mit igy
szerezheték; mert – valami magosabb is lebegvén szemeim előtt, és épen ezért sohasem vadászván a nép kegyét, sem csak a puszta haszonért nem irván – lehetetlen volt, hogy valamit félre is tegyek. A tavaly történt életemben először, hogy már az év kezdetén meg volt, mire folyamában szükségem volt. E körülmények meggyőzhetik önt, mily hozzám nem illő és eszélytelen lenne, ha el akarnám fogadni e kitüntetést, melyet ön rám nézve oly megtisztelő módon eszközölt ki számomra.“
Mily nemes e szegénység, urának gazdagságával hasonlitva össze! Ellenei már avval is gúnyolódtak, hogy évdijt fogadott el – de gondoljuk meg ez állam-segélyezett érdemét és szerénységét, – és azét a közpénzek másik telhetetlen gödényeét, ki 100000 fontot kapott évenként s azon felül még 650000 fontot kivánt a parliamenttől!
Collingwood Cuthbert volt amaz idők egy másik hű lovagja – és azt hiszem: mióta becsületes embereket teremtett az ég, ennél különb egy sem volt. Nem mondom, hogy ne lehetne olvasni fényesebb tettek véghezvivőiről, – de ugyan hol olvasunk a kötelesség nemesebb, feláldozóbb, szebb életéről, szelidebb, hivebb szivről, mint az övé? Azt tartom, hogy a siker ragyogásánál és a szellem csillogásánál száz és ismét százszorta magasabban áll Collingwood szelidfényü dicsőségének magasztos tisztasága. Hősiessége minden brit szivet föllángit, ha rágondolunk. Szeretete, jósága, kegyessége boldogitó érzelmek húrjait rezditik meg keblünkben. Ha az ember olvas róla és nagy bajtársáról, midőn ama győzelmekbe indulának, melyekkel neveik halhatatlan összeköttetésben állanak: hogy felpezsdül a régi jó angol vér és a régi jó angol érzelem, melyet szeretnék keresztyén becsületnek nevezni! Mily igaz emberek valának és mily nagy volt a sziv, mely keblükben dobogott!
„Mi, kedves Coll-am“, irja Nelson Collingwoodnak, „nem táplálhatunk kicsinyes féltékenykedést egymás iránt; mi csak egy nagy dolgot tarthatunk szemünk előtt: hogy találkozzunk az ellenséggel s dicsőséges békét vívjunk ki hazánk számára.“ Trafalgarnél, midőn a „Royal Sovereign“ egyedül nyomult az ellen
egyesült hajó-raja közébe, lord Nelson igy szólt Blackwood kapitányhoz: „Nézze csak, hogyan viszi Collingwood, ez a derék gyerek, hajóját a tűzbe! Hogy irigylem sorsát!“ És Collingwood nemes kebelét is a hősi nagylelküségnek csak az a szivverése és ösztöne dobogtatá. Midőn a támadást inditá, igy kiáltott föl: „Mit nem adna Nelson, ha itt lehetne!“
A junius elsei ütközet után igy ir:
„Néhány napig csak kanyarogtunk, mint a nyomot-vesztett, ki azt keresi, mit nem bir megtalálni: e g é s z a k i s S á r i k a s z ü l e t é s e n a p j á i g , midőn nyolcz és kilencz óra közt, a szél fuvása felölről fölfedeztük a huszonöt sorhajóból álló franczia flottát. Utána iramodtunk s mintegy öt (angol) mértföldnyire közelitettük meg. Az éj őrködéssel és a más napra való készülődéssel telt el – és az én Sárikámhoz nem egy áldást röpiték gondolatban, ha tán többször meg nem áldhatám. Virradatkor aztán közeledtünk az ellenséghez, csatasorba álltunk, katonáink sorakoztak s nyolcz óra lehetett, midőn a tengernagy jelt adott, hogy minden hajó támadja meg ellenesét és szoritsa sarokba. Akkor aztán neki! minden vitorlával s oly rohammal, hogy a leghidegebb szivnek is föl kelle hevülnie s a legrettenthetlenebb ellennek is meg kelle rettennie. A reánk eső hajó a harmadik volt a franczia tengernagy-hajótól, ugy, hogy a miénknek az ő, meg a két szomszédja tüzét kelle kiállnia, s ki is álltuk egész sortüzüket kétszer vagy háromszor, mielőtt csak egy ágyunkat is elsütöttük volna. Ekkor már közel járhatott tiz órához. Értésére adtam a tengernagynak, hogy nejeink ép ez idő tájt mennek templomba, de hogy azt hiszem: azok a hangok, melyeket mi a francziák füleibe akarunk csenditeni, túlhangoznák a templomharangokéit.“
Ki nem lehet mondani, mily véghetlen jól esik az ember szivének, midőn egy ilyen hős ez egyszerü szavait olvassa. Itt van bátorság és győzelem – de a szeretet még ezeknél is nagyobb, magasztosabb. Itt van egy keresztyén harczos, ki a csata előtti éjet őrködéssel és a más napra való készülődéssel tölti, miközben drága otthonára gondol és áldás-gondolatokat röpit tova kis Sárikájának, „ha tán
