41917399 ba i ta p cơ ho c ly thuye t ta p 1 hvktqs by Nhok Conan

Häc viÖn kü thuËt qu©n sù Bé m«n c¬ häc vËt r¾n – khoa c¬ khÝ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

§ç Anh C−êng (Chñ biªn) Vò Quèc Trô – Lª Nho ThiÕt T¹ H÷u Vinh – Lª H¶i Ch©u

Bµi tËp C¬ häc lý thuyÕt TËp 1 TÜnh häc vµ ®éng häc

§èi t−îng sö dông : §¹i häc vµ Cao ®¼ng

Hµ Néi - 2005

Môc lôc Lêi nãi ®Çu

Ch−¬ng 1 : Bµi to¸n ph¼ng

1.1- C¬ së lý thuyÕt

1.2- H−íng dÉn ¸p dông

1.3- Bµi gi¶i mÉu

1.4- Bµi tËp

Ch−¬ng 2 : Bµi to¸n kh«ng gian

2.1- C¬ së lý thuyÕt

2.2- H−íng dÉn ¸p dông

2.3- Bµi gi¶i mÉu

2.4- Bµi tËp

Ch−¬ng 3 : Bµi to¸n ma s¸t

3.1- C¬ së lý thuyÕt

3.2- H−íng dÉn ¸p dông

3.3- Bµi gi¶i mÉu

3.4- Bµi tËp

Ch−¬ng 4 : Bµi to¸n träng t©m

4.1- C¬ së lý thuyÕt

4.2- H−íng dÉn ¸p dông - bµi to¸n gi¶i mÉu

4.3- Bµi tËp Ch−¬ng 5 : ChuyÓn ®éng cña ®iÓm

100 104

5.1- C¬ së lý thuyÕt

104

5.2- Ph−¬ng ph¸p gi¶i

105

5.3- Bµi gi¶i mÉu

106

5.4- Bµi tËp

116

Ch−¬ng 6 : ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét trôc cè ®Þnh 6.1- C¬ së lý thuyÕt

127 127 3

6.2- Ph−¬ng ph¸p gi¶i

130

6.3- Bµi gi¶i mÉu

131

6.4- Bµi tËp

137

Ch−¬ng 7 : Hîp chuyÓn ®éng cña ®iÓm 7.1- C¬ së lý thuyÕt

143

7.2- Ph−¬ng ph¸p gi¶i

144

7.3- Bµi gi¶i mÉu

146

7.4- Bµi tËp

160

Ch−¬ng 8 : ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n

173

8.1- C¬ së lý thuyÕt

173

8.2- Ph−¬ng ph¸p gi¶i

178

8.3- Bµi gi¶i mÉu

181

8.4- Bµi tËp

195

Ch−¬ng 9 : ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quanh mét ®iÓm cè ®Þnh

208

9.1- C¬ së lý thuyÕt

108

9.2- Ph−¬ng ph¸p gi¶i

212

9.3- Bµi gi¶i mÉu

213

9.4- Bµi tËp

219

Ch−¬ng 10 : Hîp chuyÓn ®éng cña vËt r¾n

224

10.1- C¬ së lý thuyÕt

224

10.2- Ph−¬ng ph¸p gi¶i

227

10.3- Bµi gi¶i mÉu

228

10.4- Bµi tËp

235

Tµi liÖu tham kh¶o

143

241

Lêi nãi ®Çu

C¬ häc lý thuyÕt lµ khoa häc vÒ çc quy luËt c©n b»ng vµ chuyÓn ®éng cña çc vËt thÓ d−íi t¸c dông cña lùc, lµ mét trong nh÷ng m«n häc träng ®iÓm cho sinh viªn çc tr−êng §¹i häc kü thuËt. ViÖc vËn dông çc kiÕn thøc ®· häc vµo gi¶i çc bµi tËp c¬ häc lý thuyÕt lµ yªu cÇu hµng ®Çu ®èi víi sinh viªn, qua ®ã gióp hä hiÓu s©u thªm vÒ lý thuyÕt, ®ång thêi n©ng cao kh¶ n¨ng t− duy vµ rÌn luyÖn kü n¨ng trong häc tËp. Gi¸o tr×nh Bµi tËp c¬ häc lý thuyÕt ®−îc biªn so¹n theo ch−¬ng tr×nh gi¶ng d¹y m«n C¬ häc lý thuyÕt cho sinh viªn cña hÇu hÕt çc ngµnh ®uîc ®µo t¹o t¹i Häc viÖn kü thuËt qu©n sù, nã còng phï hîp víi ch−¬ng tr×nh m«n häc cña Bé Gi¸o dôc & ®µo t¹o. Gi¸o tr×nh Bµi tËp c¬ häc lý thuyÕt ®−îc ph©n thµnh hai tËp. TËp 1 gåm 2 phÇn: TÜnh häc (tõ ch−¬ng 1 ®Õn ch−¬ng 4) vµ §éng häc (tõ ch−¬ng 5 ®Õn ch−¬ng 10). Trong mçi ch−¬ng ®Òu cã phÇn tãm t¾t lý thuyÕt, ph©n lo¹i bµi tËp vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i, çc vÝ dô mÉu vµ phÇn bµi tËp. Cuèi mçi bµi tËp cã tr¶ lêi hoÆc ®¸p sè ®Ó sinh viªn tham kh¶o vµ tù kiÓm tra lêi gi¶i cña m×nh. CÇn l−u ý trong phÇn tr¶ lêi, ®èi víi çc ®¹i l−îng vÐct¬ (lùc, vËn tèc, gia tèc ...), kÕt qu¶ ®−îc cho ë d¹ng trÞ ®¹i sè. Gi¸o tr×nh Bµi tËp C¬ häc lý thuyÕt TËp 1 do Nhãm m«n häc C¬ häc lý thuyÕt thuéc Bé m«n C¬ häc vËt r¾n – Khoa C¬ khÝ – Häc viÖn Kü thuËt qu©n sù biªn so¹n : Vò Quèc Trô, T¹ H÷u Vinh (phÇn TÜnh häc), Lª Nho ThiÕt, Lª H¶i Ch©u (phÇn §éng häc), §ç Anh C−êng chñ biªn.

Trong s¸ch ch¾c ch¾n cßn cã thiÕu sãt, chóng t«i mong nhËn ®−îc ý kiÕn cña b¹n ®äc, xin tr©n träng c¶m ¬n vµ tiÕp thu ®Ó bæ sung, söa ch÷a cho gi¸o tr×nh ®−îc tèt h¬n. C¸c nhËn xÐt, gãp ý xin göi vÒ : Bé m«n C¬ häc vËt r¾n, Khoa C¬ khÝ, Häc viÖn KTQS.

C¸c t¸c gi¶

Ch−¬ng 1. Bµi to¸n ph¼ng 1.1.

C¬ së lý thuyÕt 1.1.1. Thu gän hÖ lùc ph¼ng:

r HÖ lùc ph¼ng khi thu gän vÒ mét t©m (O), nhËn ®−îc mét vÐc t¬ chÝnh R ' r vµ mét m« men chÝnh M O , vÐc t¬ m« men chÝnh lu«n vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng

t¸c dông cña lùc, x¶y ra c¸c tr−êng hîp sau: r r r r • R ' ≠ 0;M O = 0 , HÖ lùc t−¬ng ®−¬ng víi mét lùc R = ∑ Fk . k

r r r r r • R ' = 0;M O ≠ 0 , HÖ lùc t−¬ng ®−¬ng víi mét ngÉu M O = ∑ m O Fk .

( )

r r r r • R ' ≠ 0; M O ≠ 0 , HÖ lùc t−¬ng ®−¬ng víi mét lùc R = ∑ Fk víi t©m thu k

r MO gän ®Æt t¹i ®iÓm O’ c¸ch O mét ®o¹n d = r . R'

Chó ý: VÐc t¬ chÝnh lµ mét bÊt biÕn, nã cã gi¸ trÞ vµ ph−¬ng chiÒu kh«ng thay ®æi vµ kh«ng phô thuéc vµo t©m thu gän. 1.1.2. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc ph¼ng: Tõ c¸c kÕt qu¶ thu gän hÖ lùc nªu trªn, ta cã ®Þnh lÝ vÒ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc ph¼ng nh− sau: §Þnh lÝ (vÒ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc ph¼ng): §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc ph¼ng c©n b»ng lµ vect¬ chÝnh vµ m«men chÝnh cña hÖ lùc ®èi víi ®iÓm O nµo ®ã triÖt tiªu. n r r R ' = ∑ Fk = 0;

n r M O = ∑ m O Fk =0 .

k =1

( )

k =1

(1.1)

Tõ ®Þnh lÝ trªn cã thÓ suy ra r»ng, hÖ lùc ph¼ng cã ba hÖ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng viÕt theo ba d¹ng sau: n

D¹ng 1: ∑ Fkx = 0; k =1

∑F k =1

= 0;

∑ m ( F ) = 0; n

k =1

Ox ⊥ Oy ;

(1.2)

D¹ng 2: ∑ Fk∆ = 0; k =1

∑ m ( F ) = 0; ∑ m ( F ) = 0; n

k =1

(1.3)

§iÒu kiÖn: §−êng nèi AB kh«ng vu«ng gãc víi ∆. n r D¹ng 3: ∑ m A Fk = 0; k =1

( )

∑ m ( F ) = 0; ∑ m ( F ) = 0; n

k =1

(1.4)

§iÒu kiÖn: C¸c ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. Tr−êng hîp c¸c hÖ lùc ®Æc biÖt: - HÖ ®ång quy: cã hai ph−¬ng tr×nh c©n b»ng: n

∑ Fkx = 0; k =1

∑F k =1

= 0;

(1.5)

§èi víi hÖ lùc ®ång quy, chóng ta cßn sö dông ®iÒu kiÖn c©n b»ng d−íi d¹ng h×nh häc: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc ®ång quy c©n b»ng lµ ®a gi¸c lùc tù khÐp kÝn. - HÖ lùc song song (gi¶ thiÕt víi trôc y): cã hai hÖ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng: n

∑ Fky = 0; k =1

k =1

r m F ∑ A k = 0; n

hoÆc:

r m F ∑ O k = 0; n

k =1

( )

r m F ∑ B k = 0; n

k =1

( )

(1.6) (1.7)

§iÒu kiÖn: §−êng nèi AB kh«ng song song víi trôc y Chó ý: §èi víi hÖ vËt, cã hai lo¹i ®iÒu kiÖn c©n b»ng: • §iÒu kiÖn c©n b»ng cña tõng vËt t¸ch riªng. • §iÒu kiÖn c©n b»ng cña toµn hÖ ho¸ r¾n (xem toµn hÖ nh− mét vËt r¾n duy

nhÊt) hay cßn gäi lµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña çc ngo¹i lùc (v× khi ho¸ r¾n, hÖ çc néi lùc xem nh− c©n b»ng). Nh÷ng ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña toµn hÖ ho¸ r¾n lµ hÖ qu¶ cña çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña tõng vËt. Chóng ta còng cã thÓ xÐt riªng mét phÇn hÖ, ho¸ r¾n vµ lËp çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng t−¬ng øng.

Nh− thÕ ®èi víi hÖ vËt, kh¶ n¨ng lËp c¸c ®iÒu kiÖn c©n b»ng lµ rÊt réng r·i, vÊn ®Ò ®Æt ra lµ lËp ®iÒu kiÖn c©n b»ng thÝch hîp ®Ó cã thÓ gi¶i quyÕt bµi to¸n ®Æt ra mét c¸ch thuËn lîi nhÊt. HÖ qu¶: • HÖ ba lùc ph¼ng c©n b»ng, kh«ng song song lµ hÖ ®ång quy ph¼ng; • HÖ n lùc c©n b»ng, trong ®ã cã (n-1) lùc song song lµ hÖ lùc song song (lùc

thø n song song víi n-1 lùc ®Çu); • Hai lùc c©n b»ng víi mét ngÉu lùc ph¶i t¹o thµnh mét ngÉu lùc ng−îc chiÒu

quay vµ cïng trÞ sè m«men. KÕt qu¶ thu gän hÖ lùc ph¼ng ®−îc tæng kÕt trong b¶ng 1.1.

HÖ lùc

B¶ng 1.1 KÕt qu¶ thu gän hÖ lùc r r

§iÒu kiÖn

Ph−¬ng tr×nh

c©n b»ng

( F , F ,..., F ) ≡ ( R, M ) BÊt kú

r r R = ∑ Fk = 0

n r r r R = R ' = ∑ Fj j=1

r M = M O = ∑ m O Fk n

§ång quy

k =1

r r

( ) r

( F , F ,..., F ) ≡ ( R ) 1

M O = ∑ mO = 0

n r r r R = R ' = ∑ Fk

r r R = ∑ Fk = 0

∑X = 0 ∑Y = 0 ∑m = 0 O

∑X = 0 ∑Y = 0

k =1

r r

( F , F ,..., F ) ≡ ( M ) NgÉu

M = M O = ∑ mO k =1

r Fk

( )

MO = ∑ Mk = 0

∑M

Song song

(

r r r r F1 , F2 ,..., Fn ≡ R, M

) (

R = ∑ Fk = 0

)

∑Y = 0 ∑m = 0

M O = ∑ mO = 0

1.1.3. C¸c phÐp biÕn ®æi vµ x¸c ®Þnh lùc a. Lùc ho¹t ®éng vµ ph¶n lùc liªn kÕt: 1. Lùc ho¹t ®éng: lµ lùc cã quy luËt x¸c ®Þnh, hoÆc tËp trung, hoÆc ph©n bè. Lùc ph©n bè x¸c ®Þnh bëi biÓu ®å vµ c−êng ®é ph©n bè vµ th−êng ®−îc thu gän. Víi hÖ lùc song song cïng chiÒu ph©n bè ®Òu hoÆc theo tam gi¸c, kÕt qu¶ thu gän trªn h×nh 1.1(a), (b). Tr−êng hîp ph©n bè theo h×nh thang, cã thÓ quy vÒ ph©n bè ®Òu vµ tam gi¸c. KÕt qu¶ thu gän hÖ lùc song song cïng chiÒu ph©n bè tæng qu¸t trªn chiÒu dµi ta ®−îc lùc thu gän song song cïng chiÒu víi hÖ ph©n bè, ®Æt t¹i träng t©m vµ cã c−êng ®é b»ng sè ®o diÖn tÝch S (theo ®¬n vÞ thÝch hîp) cña biÓu ®å ph©n bè.

q q

l/2

Q=ql

Q=ql/2

(a)

(b) H×nh 1.1

2. Ph¶n lùc liªn kÕt: Ph¶n lùc liªn kÕt tõ vËt g©y liªn kÕt (vËt cã g¹ch chÐo) ®Æt vµo vËt kh¶o s¸t (vÏ tr¾ng) ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng lùc vµ ngÉu lùc tËp trung. Khi gÆp çc liªn kÕt phøc t¹p, chóng ta ph¶i ph©n tÝch cÊu t¹o cña liªn kÕt, tr¹ng th¸i chÞu lùc cña vËt r¾n, ®iÒu kiÖn lµm viÖc cña liªn kÕt, çc di chuyÓn bÞ liªn kÕt c¶n trë ®Ó quy vÒ çc liªn kÕt ®¬n gi¶n ®· giíi thiÖu ë trªn nhê quy t¾c sau: T−¬ng øng mét di chuyÓn ( th¼ng, quay) bÞ c¶n trë, liªn kÕt t¹o ®−îc mét ph¶n lùc (lùc, ngÉu lùc) ng−îc chiÒu di chuyÓn. 10

B¶ng 1.2 nªu ®Æc ®iÓm cña c¸c liªn kÕt vµ c¸c ph¶n lùc liªn kÕt th−êng gÆp. B¶ng 1.2 Liªn kÕt

CÊu t¹o vµ c¸ch biÓu diÔn

§Æc ®iÓm ph¶n lùc

3 N2

Th¼ng gãc víi mÆt tùa,

Tùa tr¬n

h−íng vµo vËt kh¶o s¸t, kÝ hiÖu: N

D©y

N»m däc theo d©y, h−íng ra ngoµi vËt kh¶o s¸t, kÝ hiÖu: T

N»m däc theo thanh (®−êng Thanh

nèi hai ®Çu thanh), kÝ hiÖu: S

. x

B¶n lÒ,

Ph¶n lùc R ®Æt t¹i b¶n lÒ,

gèi cè

®−îc chia thµnh hai thµnh y

®Þnh

phÇn X, Y theo hai trôc x, y.

Ph¶n lùc gåm: hai thµnh

Ngµm A

phÇn lùc X, Y vµ mét ngÉu lùc M.

1 æ trô

3 Ph¶n lùc vu«ng gãc víi trôc

(trong mp t¸c dông cña hÖ

ng¾n

lùc).

Ph¶n lùc gåm 2 thµnh phÇn:

däc trôc vµ vu«ng gãc víi

æ cèi X

hÖ lùc). Ph¶n lùc bao gåm: thµnh

phÇn lùc vu«ng gãc víi trôc

æ trô

trôc (trong mp t¸c dông cña

dµi

vµ mét ngÉu lùc nh− ngµm (trong mp t¸c dông cña hÖ

lùc).

Gèi di

Ph¶n lùc vu«ng gãc víi nÒn,

®éng

cã mét thµnh phÇn X (trong y

mp t¸c dông cña hÖ lùc).

b. Néi lùc vµ ngo¹i lùc: Khi xÐt hÖ vËt, cÇn ph©n biÖt ngo¹i vµ néi lùc. Ngo¹i lùc lµ nh÷ng lùc tõ bªn ngoµi t¸c dông vµo hÖ. Néi lùc lµ nh÷ng lùc t¸c dông t−¬ng hç gi÷a c¸c vËt trong hÖ. §Æc ®iÓm cña néi lùc lµ xuÊt hiÖn tõng ®«i, cïng ®−êng t¸c dông, ng−îc chiÒu vµ cïng trÞ sè (nh−ng kh«ng c©n b»ng v× ®Æt vµo hai vËt kh¸c nhau). Chó ý r»ng ngo¹i lùc còng nh− néi lùc ®Òu cã thÓ lµ lùc ho¹t ®éng hoÆc lùc liªn kÕt. c. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh lùc vµ vÐc t¬ chÝnh: r X¸c ®Þnh lùc: Cho lùc F nghiªng víi trôc x mét gãc α (nhän). 12

H×nh chiÕu cña lùc lªn c¸c trôc (H.1.2) cho bëi

c«ng thøc:

Fx = ± Fcos α , Fy = ± Fsin α ,

F - trÞ sè cña lùc ;

trong ®ã:

dÊu +(-) khi lùc thuËn (ng−îc) víi chiÒu trôc.

x H×nh 1.2

X¸c ®Þnh vÐc t¬ chÝnh: r r Cho hÖ lùc Fk (k = 1, 2,.., n) . VÐct¬ chÝnh, kÝ hiÖu R ' , lµ tæng h×nh häc c¸c n r r vect¬ lùc: R ' = ∑ Fk . k =1

§Ó x¸c ®Þnh vect¬ chÝnh, cã thÓ ¸p dông hai ph−¬ng ph¸p: 1. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch: H×nh chiÕu cña vect¬ chÝnh lªn mét trôc to¹ ®é b»ng tæng h×nh chiÕu c¸c lùc lªn trôc ®ã. n

k =1

R x ' = ∑ Fkx ;R y ' = ∑ Fky ;

R'=

TrÞ sè cña vect¬ chÝnh:

(R ) + (R ) ' 2 x

' 2 y

C¸c c« sin chØ ph−¬ng cña vect¬ chÝnh: r R' cos x, R ' = x ; R'

(

)

r R' cos y, R ' = y R'

(

)

r 2. Ph−¬ng ph¸p h×nh häc: Vect¬ chÝnh R ' lµ vect¬ khÐp kÝn ®a gi¸c lùc, ®ã

lµ vect¬ nèi ®iÓm cuèi cña mét ®−êng gÉy khóc cã c¸c c¹nh t−¬ng øng (song song, cïng chiÒu, cïng ®é dµi) víi c¸c vect¬ lùc. Tr−êng hîp hai ®iÓm ®Çu vµ r cuèi cña ®a gi¸c lùc trïng nhau, vect¬ chÝnh R ' = 0 , chóng ta nãi ®a gi¸c lùc tù khÐp kÝn. d. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh m«men lùc vµ m«men chÝnh: r M« men lùc: Cho lùc F vµ ®iÓm O (H.1.2). r r M«men lùc F ®èi víi O lµ l−îng ®¹i sè: m O F = ± Fh

( )

Trong ®ã :

F – trÞ sè lùc ; 13

h = OH – trÞ sè cña çnh tay ®ßn. Ngoµi çch ¸p dông trùc tiÕp ®Þnh nghÜa, cã thÓ dïng hai ph−¬ng ph¸p sau: r r r 1. Ph−¬ng ph¸p ph©n lùc: Ph©n tÝch lùc F ra hai thµnh phÇn F1 = Fx vµ r r F2 = Fy song song víi hai trôc t−¬ng øng, sau ®ã ta tÝnh tæng m«men çc thµnh phÇn: r r r m O F = m O F1 + m O F2

( )

2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch: Gäi x, y lµ to¹ ®é ®iÓm ®Æt A cña lùc, Fx , Fy lµ c¸c h×nh chiÕu cña lùc lªn c¸c trôc to¹ ®é t−¬ng øng, khi ®ã m« men lùc ®èi víi t©m O lµ: r m O F = xFy − yFx

( )

M« men chÝnh: M«men cña hÖ lùc ph¼ng ®èi víi t©m O (m«men chÝnh cña hÖ lùc) kÝ hiÖu M O lµ tæng m«men c¸c lùc ®èi víi ®iÓm O: n r M O = ∑ m O Fk k =1

( )

§èi víi ngÉu lùc, m«men chÝnh kh«ng phô thuéc t©m O nªn ®−îc gäi lµ r r m«men ngÉu lùc vµ b»ng: M = m F, F* = ± Fd . Víi hÖ ngÉu lùc, m«men chÝnh

(

)

b»ng tæng m«men c¸c ngÉu lùc. 1.2.

H−íng dÉn ¸p dông §Ó gi¶i bµi to¸n ph¼ng, ta tiÕn hµnh theo c¸c b−íc sau:

• B−íc 1: Chän vËt kh¶o s¸t: (vËt kh¶o s¸t cã thÓ lµ: mét vËt; hÖ vËt; mét vËt do nhiÒu vËt ghÐp l¹i; mét phÇn t¸ch ra tõ mét vËt - phÇn kh«ng kh¶o s¸t ®Æt vµo phÇn kh¶o s¸t nh÷ng lùc gi÷ vai trß cña ph¶n lùc liªn kÕt; mét nót, ®iÓm tËp trung çc d©y, çc thanh...). §Æt lùc: Tr−íc tiªn, biÓu diÔn tÊt c¶ çc lùc ®· cho, tiÕp theo biÓu diÔn çc ph¶n lùc liªn kÕt (ph¶n lùc liªn kÕt tùa vµ liªn kÕt d©y cã ph−¬ng chiÒu ®· x¸c ®Þnh; ph¶n lùc çc liªn kÕt thanh, b¶n lÒ, ngµm cã chiÒu ch−a biÕt tr−íc ®−îc vÏ theo gi¶ ®Þnh - ®¸p sè d−¬ng, chiÒu gØa ®Þnh 14

®óng; ®¸p sè ©m - chiÒu ng−îc l¹i). Trong biÓu diÔn lùc, cÇn chó ý ®iÓm ®Æt, ph−¬ng chiÒu, sè thµnh phÇn vµ c¸ch ph©n tÝch c¸c ph¶n lùc. CÇn ph©n biÖt lùc ho¹t ®éng vµ lùc liªn kÕt, lùc t¸c dông vµo tõng vËt vµ vµo toµn hÖ ho¸ r¾n, néi lùc vµ ngo¹i lùc.

• B−íc 2: Ph©n tÝch ®Æc ®iÓm hÖ lùc kh¶o s¸t: (®ång quy, song song hay bÊt kú), tõ ®ã x¸c ®Þnh sè ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®éc lËp cã thÓ lËp ®−îc (2 hoÆc 3) theo çc ®iÒu kiÖn trong môc 1.1.2, sau ®ã tiÕn hµnh gi¶i çc ph−¬ng tr×nh nhËn ®−îc. Chó ý: 1. NÕu hÖ lùc kh¶o s¸t lµ ®ång quy ph¼ng, cã thÓ dïng ®iÒu kiÖn c©n b»ng d¹ng h×nh häc (®a gi¸c lùc tù khÐp kÝn). Trong tr−êng hîp sè lùc Ýt, cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi lùc. ë bµi to¸n ®ßn, vËt lËt, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng lËp ®−îc chØ chøa çc lùc ho¹t ®éng 2. §èi víi bµi to¸n hÖ vËt, v× cã hai lo¹i ®iÒu kiÖn c©n b»ng nªn t−¬ng øng cã hai çch thµnh lËp çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng: ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt vµ ph−¬ng ph¸p ho¸ r¾n. Ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt: lÇn l−ît xem xÐt riªng vµ lËp ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña tõng vËt. Ph−¬ng ph¸p nµy ®Æc biÖt thuËn lîi nÕu chän ®−îc thø tù t¸ch vËt sao cho sè ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®éc lËp cña vËt ®−îc t¸ch b»ng sè lùc lµ Èn sè. Ph−¬ng ph¸p ho¸ r¾n: tr−íc hÕt lËp ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña çc ngo¹i lùc vµ sau ®ã míi t¸ch vËt. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc ¸p dông khi t¸ch vËt kh«ng thuËn lîi; khi ®ã ph−¬ng tr×nh c©n b»ng çc ngo¹i lùc cã thÓ cho ngay mét sè ngo¹i lùc Èn, nhê ®ã qu¸ tr×nh t¸ch vËt trë nªn dÔ dµng. 3. CÇn chó ý r»ng, mçi cÆp néi lùc dï ®−îc vÏ ng−îc chiÒu, cïng ký hiÖu nh−ng vÉn cïng gi¸ trÞ (cïng d−¬ng hay ©m tuú theo chiÒu gi¶ ®Þnh lµ ®óng hay sai).

1.3.

Bµi gi¶i mÉu 1.3.1. Bµi to¸n t×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng Bµi to¸n ®−îc ®Æt ra nh− sau: Cho mét vËt r¾n (hay hÖ vËt r¾n ph¼ng) chÞu

t¸c dông cña hÖ lùc ®· cho F1, F2, ..., Fn , t×m vÞ trÝ c©n b»ng cña vËt (hÖ vËt) hoÆc t×m ®iÒu kiÖn rµng buéc gi÷a çc lùc ®· cho ®Ó vËt (hÖ vËt) c©n b»ng ë mét vÞ trÝ nµo ®ã. Khi gi¶i çc bµi to¸n d¹ng nµy, ta cÇn chó ý chän ph−¬ng tr×nh c©n b»ng sao cho kh«ng chøa ph¶n lùc liªn kÕt, lËp ®−îc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cho phÐp t×m ngay ra ®iÒu kiÖn c©n b»ng. Çc bµi to¸n ®ßn vµ vËt lËt lµ çc d¹ng bµi to¸n ®Æc biÖt cña phÇn nµy. VÝ dô 1-1: Thanh ®ång chÊt AB nÆng P, dµi 2l ®−îc

®Æt tùa hai ®Çu A vµ B vµo hai c¹nh nh½n cña

NA C

mét gãc vu«ng OCD. Trªn thanh AB t¹i E treo mét vËt nÆng träng l−îng Q. Cho biÕt

AE=l/2, c¹nh OC nghiªng víi ®−êng ngang mét gãc α, t×m gãc nghiªng θ cña thanh AB

O H×nh 1-3

víi ®−êng ngang khi thanh AB c©n b»ng? Bµi gi¶i:

Kh¶o s¸t sù c©n b»ng cña thanh AB (H. 1-3): thanh chÞu t¸c dông cña c¸c lùc P, Q vµ c¸c ph¶n lùc NA, NB, ta cã hÖ lùc c©n b»ng: r r r r r P,Q, N A , N B ≡ 0 .

(

)

Ta thÊy r»ng, ®−êng t¸c dông cña c¸c ph¶n lùc liªn kÕt c¾t nhau t¹i I, vËy ®Ó chóng kh«ng cã mÆt trong ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ta lËp ph−¬ng tr×nh m« men ®èi víi ®iÓm nµy: r

∑ m (F ) = m (P) + m (Q) = 0 . r

(a)

Sau khi tÝnh c¸c gi¸ trÞ m« men vµ thay vµo (a), ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh: 16

l ⎡ ⎤ P ⎡⎣ 2lcos ( α − θ ) − lcos θ⎤⎦ − Q ⎢ 2lsin ( α − θ ) sin α − cos θ ⎥ = 0 . 2 ⎣ ⎦

(b)

Gi¶i ph−¬ng tr×nh (b) theo θ , ta cã kÕt qu¶:

tgθ =

Q − 2 ( P + Q ) cos 2α . 2 ( P + Q ) sin 2α

VÝ dô 1-2: Thanh ®ång chÊt AB, dµi 2l, träng l−îng P cã ®Çu A tùa trªn t−êng nh½n, ®Çu B d−îc gi÷ bëi d©y BC nghiªng víi t−êng mét gãc 300. T×m gãc nghiªng α cña thanh víi t−êng ®Ó thanh n»m ë tr¹ng th¸i c©n b»ng? Bµi gi¶i: Kh¶o s¸t sù c©n b»ng cña thanh AB: gi¶i phãng çc liªn kÕt, thanh chÞu t¸c dông cña çc lùc P, N, T. Do bµi to¸n chØ yªu cÇu t×m gãc nghiªng α cña thanh, nªn ta sÏ x©y dùng ph−¬ng tr×nh c©n b»ng kh«ng chøa çc thµnh phÇn ph¶n lùc ch−a biÕt. LÊy m« men víi giao ®iÓm cña çc ®−êng t¸c dông cña çc lùc T vµ N (®iÓm E, H. 1-4), ta cã ph−¬ng tr×nh sau: r ∑ mE Fk = P.HE = 0 .

( )

Tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã: HE = 0, hay: 300

HE = lsin α − BFtg300 = lsin α − 2lcos α ⎛ ⎞ 2 3 cos α ⎟ . = l ⎜ sin α − 3 ⎝ ⎠

Tõ ®ã ta x¸c ®Þnh ®−îc: tgα =

2 3 3

E H

2 3 . 3

F T B

H×nh 1-4

Bµi to¸n ®ßn: §Þnh nghÜa: §ßn lµ vËt r¾n quay ®−îc quanh mét trôc cè ®Þnh O vµ chÞu t¸c dông cña mét hÖ lùc ®· cho n»m trong mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc quay cña vËt.

§iÒu kiÖn c©n b»ng cña ®ßn: §Ó ®ßn c©n b»ng, c¸c lùc chñ ®éng t¸c dông lªn ®ßn ph¶i tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh c©n b»ng c¸c m« men ®èi víi trôc quay: r ∑ mO Fk = 0 .

( )

VÝ dô 1-3: §ßn OA cã thÓ quay ®−îc quanh trôc n»m ngang ®i qua O. §iÓm B cña ®ßn ®−îc nèi víi van nåi h¬i D, chÞu ¸p suÊt p, ®Çu A cña ®ßn ph¶i treo vËt cã träng l−îng Q b»ng bao nhiªu ®Ó khi ¸p suÊt h¬i v−ît qu¸ mét gi¸ trÞ p nµo ®ã th× van sÏ bÞ më ra? Cho biÕt OA=a, OB=b, diÖn tÝch cña van lµ S. Bá qua träng l−îng cña ®ßn vµ ma s¸t. Bµi gi¶i: Kh¶o s¸t ®ßn OAB (H. 1-5), c¸c lùc chñ ®éng t¸c dông lªn ®ßn gåm cã lùc Q vµ lùc ®Èy P cña h¬i n−íc. ViÕt ®iÒu kiÖn c©n b»ng cho m« men ®èi víi ®iÓm O, ta cã: r m F ∑ O k = Pb − Qa = 0 .

( )

b Tõ ®ã ta cã: Pb = Qa , thay gi¸ trÞ P = pS, ta nhËn ®−îc: Q = pS . a P

D A

R D

C Q

p H×nh 1-5

P1 H×nh 1-6

Bµi to¸n vËt lËt: VËt lËt lµ vËt r¾n cã thÓ bÞ mÊt c©n b»ng do bÞ lËt quay quanh mét ®−êng tùa nµo ®ã, gäi trôc quay khi vËt lËt lµ O, ta thÊy cã hai nhãm lùc t¹o nªn hai chiÒu m« men kh¸c nhau. Gäi tæng m« men thuËn chiÒu quay cña vËt khi bÞ lËt lµ

m« men lËt ML vµ tæng m« men ng−îc l¹i lµ m« men chèng lËt MCL, ta cã ®iÒu kiÖn ®Ó vËt kh«ng bÞ lËt lµ: M CL ≥ M L , hay:

Tû sè: k =

∑ m ( F ) ≥∑ m ( F ) . O

kCL

M CL , ®−îc gäi lµ hÖ sè æn ®Þnh chèng lËt, khi ®ã ®iÒu kiÖn ®Ó ML

vËt kh«ng bÞ lËt lµ k≥1. VÝ dô 1-4: Cho cÇn trôc n»m trªn ®−êng ray. Träng l−îng cña cÇn cÈu lµ P1 n»m gi÷a kho¶ng çch hai b¸nh. VËt cÈu ë vÞ trÝ xa nhÊt lµ CD=l, träng l−îng lµ P2. T×m träng l−îng cña ®èi träng Q ®Ó cÇn trôc kh«ng bÞ lËt? Cho kho¶ng çch tõ ®èi träng ®Õn t©m cÇn trôc lµ 2a, kho¶ng çch gi÷a hai b¸nh xe lµ 2b. Bµi gi¶i: Kh¶o s¸t cÇn trôc ë tr¹ng th¸i lµm viÖc b×nh th−êng, cÇn trôc chÞu çc lùc ho¹t ®éng lµ P1, P2, Q vµ hai ph¶n lùc t¹i A vµ B. Cã thÓ x¶y ra hai kh¶ n¨ng lËt: lËt quanh A hoÆc quanh B (H. 1-6). XÐt kh¶ n¨ng lËt quanh A: tr−êng hîp nµy sÏ nguy hiÓm nhÊt khi P2 = 0, lóc ®ã lùc Q lµ lùc g©y m« men lËt. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh m« men quanh trôc lËt ®i qua A, ta cã:

∑ m ( F ) =Q ( 2a − b ) − P b . A

§Ó kh«ng bÞ lËt ta ph¶i cã ®iÒu kiÖn: P1b ≥ Q ( 2a − b ) hay P1

b ≥Q. 2a − b

XÐt kh¶ n¨ng lËt quanh B, lËp ph−¬ng tr×nh m« men ®èi víi ®iÓm B, ta cã:

∑ m ( F ) =Q ( 2a + b ) + P b − P l . B

§Ó kh«ng bÞ lËt ta ph¶i cã ®iÒu kiÖn: P1b + Q ( 2a + b ) ≥ P2l hay Q ≥

Nh− vËy, ®èi träng Q ph¶i cã gi¸ trÞ: P1

P2l − P1b . 2a + b

b P l − P1b ≥Q≥ 2 . 2a − b 2a + b 19

VÝ dô 1-5 (Bµi to¸n hÖ vËt): Treo mét ®Üa trßn ®ång chÊt vµ mét vËt nÆng vµo cïng mét ®iÓm O cè ®Þnh b»ng hai sîi d©y mÒm, m¶nh, kh«ng d·n vµ cã träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ. HÖ c©n b»ng ë vÞ trÝ nh− h×nh vÏ, h·y x¸c ®Þnh gãc α gi÷a d©y treo ®Üa víi ph−¬ng th¼ng ®øng. Cho biÕt: b¸n kÝnh ®Üa r, träng l−îng ®Üa P, chiÒu dµi ®o¹n d©y treo ®Üa lµ l, träng l−îng vËt nÆng lµ Q. Bµi gi¶i: Kh¶o s¸t hÖ c©n b»ng gåm ®Üa, vËt nÆng vµ çc d©y treo (H. 1-7). Çc lùc t¸c dông lªn hÖ gåm: çc träng lùc P vµ Q, ph¶n lùc liªn kÕt t¹i O RO. §Ó x¸c ®Þnh gãc lÖch gi÷a d©y treo ®Üa víi ph−¬ng th¼ng ®øng, ta coi c¶ hÖ lµ mét vËt r¾n c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc kÓ trªn, ®iÒu kiÖn c©n b»ng nh− sau: r r r r P,Q, R O ≡ 0 .

(

)

LËp ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®èi víi m«men t¹i O, ta cã:

∑ m ( F ) = P ( l + r ) sin α − Q ⎡⎣r − ( l + r ) sin α⎤⎦ = 0 . O

Gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn, ta nhËn ®−îc:

sin α =

Q r . P+Q r+l

B 600

C C

300 P H×nh 1-7

O1 H×nh 1-8

F D

VÝ dô 1-6: Cho c¬ cÊu ph¼ng chÞu t¸c dông cña m« men M vµ lùc ®Èy F nh− h×nh vÏ. Bá qua khèi l−îng cña çc thanh vµ ma s¸t, t×m mèi liªn hÖ gi÷a M vµ F ®Ó c¬ cÊu c©n b»ng? Cho biÕt OA=a, ®iÓm C n»m gi÷a thanh O1B (H×nh 1-8). Bµi gi¶i: Kh¶o s¸t hÖ bao gåm: çc thanh OA, AB, O1B, CD vµ con ch¹y D c©n b»ng d−íi t¸c dông cña çc lùc chñ ®éng vµ çc ph¶n lùc liÖn kÕt t¹i O, O1, D. §Ó gi¶i bµi to¸n ta ¸p dông ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt: B

A S1

S’1

C S2

S’2

N 300

600 C

RO1

D O1

Tr−íc tiªn ta xÐt c©n b»ng cña thanh OA: t¹i A do thanh AB chØ bÞ kÐo hoÆc nÐn do ®ã chØ cã mét thµnh phÇn ph¶n lùc S1, t¹i O cã ph¶n lùc RO. ViÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng m« men t¹i O, ta cã: r ∑ mO Fk = − M + OA.S1 = 0 .

( )

(a)

TiÕp theo, kh¶o s¸t sù c©n b»ng cña con ch¹y D cïng víi thanh CD: ho¸ r¾n hÖ ®ang xÐt, t¹i C do thanh chØ chÞu kÐo hoÆc nÐn nªn chØ cã mét thµnh phÇn ph¶n lùc S2 h−íng däc theo thanh, lËp ph−¬ng tr×nh c©n b»ng theo ph−¬ng ngang, ta cã: − F − S2 cos300 = 0 .

(b)

Sau cïng, ta xÐt phÇn cßn l¹i cña hÖ bao gåm thanh O1B vµ thanh AB. Ho¸ r¾n hÖ ®ang xÐt, t¹i C cã thµnh phÇn ph¶n lùc S’2, t¹i A cã S’1. ViÕt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng m« men ®èi víi O1, ta nhËn ®−îc: 21

∑ m ( F ) = − S .O B.sin 60 O1

' 1

− S'2 .O1C = 0 .

(c)

KÕt hîp 3 ph−¬ng tr×nh trªn víi chó ý r»ng S2 = S'2 , khö c¸c thµnh phÇn ph¶n lùc, cuèi cïng ta nhËn ®−îc ®iÒu kiÖn:

F.a = M 3 . 1.3.2. Bµi to¸n t×m ph¶n lùc liªn kÕt Bµi to¸n ®−îc ®Æt ra nh− sau: Cho mét vËt r¾n (hay hÖ vËt r¾n ph¼ng) c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc ®· cho F1, F2, ..., Fn , h·y x¸c ®Þnh çc thµnh phÇn ph¶n lùc liªn kÕt. Khi gi¶i çc bµi to¸n d¹ng nµy, ta cÇn chó ý biÓu diÔn ®Çy ®ñ çc lùc ho¹t ®éng t¸c dông lªn hÖ vµ çc ph¶n lùc liªn kÕt, tõ ®ã nhËn ®−îc mét hÖ lùc c©n b»ng. tiÕp theo, lËp ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®èi víi hÖ lùc trªn vµ gi¶i çc ph−¬ng tr×nh ®ã. Chó ý:

• §Ó gi¶m bít sè l−îng çc lùc ph¶i t×m, nÕu çc Èn ®ång quy, ta nªn lËp ph−¬ng tr×nh m« men ®èi víi ®iÓm ®ång quy ®ã; nÕu çc Èn song song, ta lËp ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu trªn trôc vu«ng gãc víi çc Èn ®ã.

• §èi víi bµi to¸n hÖ vËt, lóc ®Çu ta nªn x¸c ®Þnh tÝnh tÜnh ®Þnh cña hÖ, sau ®ã x¸c ®Þnh sè l−îng Èn vµ sè ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®éc lËp cã thÓ lËp ®−îc tõ ®ã t×m c¸c vÞ trÝ t¸ch hÖ t−¬ng øng. VÝ dô 1-7: DÇm AB cã chiÒu dµi l, ®Çu A ngµm chÆt vµo t−êng, ®Çu B tù do. DÇm chÞu t¸c dông cña lùc F t¹o víi ph−¬ng ngang mét gãc α t¹i B vµ ngÉu lùc cã m« men b»ng M. T×m ph¶n lùc t¹i A, bá qua träng l−îng cña dÇm (H×nh 1-9)? Bµi gi¶i: XÐt c©n b»ng cña dÇm AB. Gi¶i phãng liªn kÕt t¹i ngµm A, thay b»ng c¸c ph¶n lùc liªn kÕt cã chiÒu gi¶ thiÕt nh− h×nh vÏ. Ta cã hÖ lùc c©n b»ng: r r r r r r F, M, M A , X A , YA ≡ 0

(

)

(a)

Tõ (a), ta lËp c¸c ph−¬ng tr×nh c©n YA

b»ng:

∑ X = −X − Fcos α = 0 , ∑ Y = Y − Fsin α = 0 , (b) ∑ m = M − M − Flsin α = 0 . A

H×nh 1-9

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn ta nhËn ®−îc:

X A = − Fcos α; YA = Fsin α; M A = Fsin α − M VÝ dô 1-8: Thanh ®ång chÊt AB träng l−îng P, ®Çu A g¾n b¶n lÒ vµ ®−îc gi÷ c©n b»ng ë vÞ trÝ n»m ngang nhê d©y buéc vËt nÆng D, d©y t¹o gãc 600 víi ph−¬ng ngang. Bá qua träng l−îng d©y, ma s¸t ë trôc b¶n lÒ vµ rßng räc. T×m träng l−îng cña vËt D vµ ph¶n lùc t¹i A (H×nh 1-10)? Bµi gi¶i: r r r XÐt c©n b»ng cña thanh AB chÞu t¸c dông cña hÖ lùc P, R A ,T , lËp ph−¬ng

(

)

tr×nh c©n b»ng ®èi víi m« men t¹i A, ta cã:

∑m

l P . = − P + Tlsin 600 = 0 , tõ ®ã ta nhËn ®−îc: T = 2 3

(a)

ChiÕu hÖ lùc theo hai ph−¬ng x vµ y, ta cã: T cos 600 − R AX = 0, ⇒ R AX =

T 2

T sin 600 + R AY − P = 0, ⇒ R AY = P −

(b)

T 3 2

Träng l−îng cña vËt D c©n b»ng víi søc c¨ng d©y T, vËy ta cã: Q =

C P RA

T RA

600 B

300 O

300

H×nh 1- 10

Ta còng cã thÓ gi¶i bµi to¸n trªn theo c¸ch kh¸c: §Ó ý thÊy thanh AB c©n b»ng d−íi t¸c dông cña ba lùc P, RA vµ T, trong ®ã hai lùc P vµ T cã ®−êng t¸c dông c¾t nhau t¹i O, vËy ®Ó thanh c©n b»ng ba lùc trªn ph¶i ®ång quy. BiÓu diÔn tam gi¸c lùc nh− h×nh trªn ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m. VÝ dô 1-9: DÇm ®ång chÊt AB cã träng l−îng P vµ chiÒu dµi l, dÇu A ngµm chÆt trong t−êng, t¹o víi t−êng mét gãc α. Trªn dÇm ®Æt khèi trô trßn ®ång chÊt, träng l−îng Q. T×m ¸p lùc cña khèi trô lªn dÇm vµ t−êng, ph¶n lùc liªn kÕt t¹i A? Cho 2 biÕt BD = l (H×nh 1 - 11). 3

Bµi gi¶i: Chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ, hÖ kh¶o s¸t bao gåm hai vËt: dÇm AB vµ khèi trô, t¹i A cã c¸c ph¶n lùc liªn kÕt: XA, YA, ngÉu MA; t¹i vÞ trÝ khèi trô tiÕp xóc víi t−êng cã ph¶n lùc N2 vu«ng gãc víi t−êng. VËy hÖ cã 4 Èn trong khi ta chØ thiÕt lËp ®−îc tèi ®a 3 ph−¬ng tr×nh c©n b»ng, do ®ã ta ph¶i ¸p dông ph−¬ng ph¸p t¸ch hÖ ®Ó gi¶i.

T¸ch hai vËt vµ gi¶i phãng c¸c liªn kÕt, ta cã: Khèi trô chÞu t¸c dông cña hÖ r r r r r r r r lùc ®ång quy Q, N1 , N 2 ; dÇm AB chÞu t¸c dông cña hÖ lùc P, N1' , X A , YA , M A .

(

)

(

)

B N1

Q D

XA A

H×nh vÝ dô 1-9

Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña khèi trô:

∑ X = − N cos α + N = 0 ∑ Y = N sin α − Q = 0 1

(a)

Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña dÇm:

∑ X = N cos α + X = 0 ∑ Y = − N sin α − P + Y ' 1

' 1

∑m

(b)

l l = M A − P sin α − N1' = 0 2 3

Gi¶i hÖ c¸c ph−¬ng tr×nh (a) vµ (b) víi chó ý N1 = N1' , ta cã kÕt qu¶ sau: l ( 2Q + 3P sin 2 α ) Q . N1 = ; N 2 = Qctgα; X A = −Qctgα; YA = P + Q; M A = sin α 6sin α

VÝ dô 1-10: Cho kÕt cÊu gåm hai thanh ABC vµ CD c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc nh− h×nh vÏ. Cho c¸c gi¸ trÞ: F1=10kN, F2=12kN, M=25kNm, q=2kN/m, α=600. C¸c kÝch th−íc trªn h×nh vÏ ®o b»ng m, bá qua träng l−îng hai thanh. T×m ph¶n lùc liªn kÕt t¹i A, C, D (H×nh 1 - 12)? Bµi gi¶i: 25

Chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ, hÖ kh¶o s¸t gåm hai thanh ABC vµ CD, ho¸ r¾n hÖ ta ®−îc mét vËt c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc: r r r r r r r r F1 , F2 ,Q, X A , YA , X O , YO , M ≡ 0

(

)

(a)

Trong ®ã: Q=4q. Tõ (a), ta thiÕt lËp c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cho hÖ:

∑ X = X − F cos α + X + Q = 0 ∑ Y = Y − F sin α − F + Y = 0 ∑ m = −2Q + 4F cos α + 3F sin α − M − 5F A

(b)

+ 7YD = 0

C α

B F1

M F2

D 2

C α

B Q

M XD

A XA

H×nh 1-12

Ba ph−¬ng tr×nh lËp ®−îc ch−a ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh 4 Èn. Ta ph¶i sö dông thªm ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt: Gi¶i phãng liªn kÕt cho thanh CD, lóc nµy ph¶n lùc t¹i C xuÊt hiÖn vµ cã hai thµnh phÇn. ViÕt c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cho thanh CD, ta cã:

∑X = X + X = 0 ∑Y = Y − F + Y = 0 ∑ m = 2F − M − 4X − 4Y C

Tõ (b) vµ (c) ta sÏ t×m ®−îc 6 Èn nªu trªn: 26

(c)

XA=-3.39kN; XC=-4.39kN; XD=4.39kN YA=11.8kN; YC=4.14kN; YD=7.86kN.

Bµi to¸n giµn: Kh¸i niÖm giµn: Giµn lµ cÊu tróc cøng ®−îc cÊu t¹o tõ çc thanh th¼ng liªn kÕt víi nhau b»ng çc khíp ë hai ®Çu, çc vÞ trÝ nµy ®−îc gäi lµ çc nót. Trong bµi to¸n giµn chÊp nhËn çc gi¶ thiÕt sau: -

TÊt c¶ c¸c t¶i träng ngoµi ®Æt lªn giµn t¹i c¸c nót.

Bá qua ma s¸t t¹i çc nót vµ träng l−îng cña çc thanh (hoÆc träng l−îng cña çc thanh ®−îc ph©n bè ra çc nót), v× vËy çc thanh giµn ®−îc coi lµ chØ chÞu kÐo hoÆc nÐn. CÊu t¹o cña giµn: Sè l−îng thanh (k) vµ sè nót (n) liªn hÖ víi nhau theo hÖ

thøc:k=2n-3. NÕu sè thanh Ýt h¬n, giµn sÏ kh«ng cøng; ng−îc l¹i nÕu sè thanh nhiÒu h¬n, giµn sÏ siªu tÜnh. Bµi to¸n giµn: lµ bµi to¸n x¸c ®Þnh ph¶n lùc ë çc gèi tùa vµ øng lùc ë çc thanh giµn. Bµi to¸n x¸c ®Þnh ph¶n lùc: Xem giµn nh− mét vËt r¾n, viÕt çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng th«ng th−êng vµ gi¶i. Bµi to¸n x¸c ®Þnh øng lùc: Cã hai ph−¬ng ph¸p: -

Ph−¬ng ph¸p t¸ch nót:§¸nh sè nót vµ thanh (dïng sè La m· ®Ó ®¸nh sè nót), ký hiÖu çc øng lùc t−¬ng øng víi çc thanh lµ Sk. LÇn l−ît xÐt çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña çc lùc ®ång quy t¹i tõng nót cña giµn. Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc sö dông khi cÇn x¸c ®Þnh øng lùc ë tÊt c¶ çc thanh. Khi cã øng lùc nµo b»ng kh«ng th× thanh ®ã ®−îc gäi lµ thanh “kh«ng”.

Ph−¬ng ph¸p mÆt c¾t: C¾t giµn qua mét sè thanh, viÐt ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cho tõng phÇn giµn. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng ®−îc sö dông khi cÇn

x¸c ®Þnh çc øng lùc trong çc thanh riªng rÏ cÇn kiÓm tra ®é bÒn, hoÆc khi gÆp nót cã sè Èn lín h¬n 2. VÝ dô 1-11: Cho giµn nh− h×nh vÏ, giµn chÞu çc lùc t¸c ®éng sau: F1=F2=F3=F. X¸c ®Þnh çc ph¶n lùc t¹i çc gèi vµ øng lùc trong çc thanh (H×nh 1-13)? Bµi gi¶i: §Çu tiªn, ta xÐt tÝnh tÜnh ®Þnh cña bµi to¸n: ®¸nh sè nót vµ thanh nh− trªn h×nh vÏ, ta cã: k=9 vµ n=6, nh− vËy sè thanh vµ sè nót tho¶ m·n hÖ thøc k=2n-3, vËy giµn lµ tÜnh ®Þnh. y F3

III

4 II

3 VI

B N

H×nh 1-13

X¸c ®Þnh ph¶n lùc: Coi giµn nh− mét vËt r¾n c©n b»ng, chÞu t¸c ®éng cña hÖ lùc bao gåm çc lùc ho¹t ®éng F1, F2, F3 vµ çc ph¶n lùc liªn kÕt t¹i A vµ B. Ta lËp çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cho hÖ lùc nªu trªn, nhËn ®−îc: X A = 3F; YA = N =

3 F . 2

X¸c ®Þnh øng lùc trong çc thanh: Ký hiÖu øng lùc Sk t−¬ng øng víi øng lùc t¹i thanh thø k, chiÒu cña çc øng lùc nh− trªn h×nh vÏ vµ çc thanh coi nh− bÞ kÐo, nÕu nh− kÕt qu¶ tÝnh to¸n lµ ©m, khi ®ã thanh sÏ bÞ nÐn. 28

Ph−¬ng ph¸p t¸ch nót: T¹i mçi nót ta nhËn ®−îc mét hÖ lùc ®ång quy vµ t−¬ng øng ta thiÕt lËp ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng:

∑F

= 0,

∑F

= 0.

B¾t ®Çu tõ nót I, t¹i ®©y cã hai thanh vµ t−¬ng øng víi hai ph−¬ng tr×nh ta F x¸c ®Þnh ®−îc: S1 = − , S2 = − F 2 . TiÕp theo, t¹i nót II cã ba thanh nh−ng ta 2

®· biÕt gi¸ trÞ cña S1 v× vËy ta còng sÏ x¸c ®Þnh ®−îc hai gi¸ trÞ cßn l¹i. LÇn l−ît nh− vËy, ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc toµn bé øng lùc trong c¸c thanh. Ph−¬ng ph¸p mÆt c¾t: Gi¶ sö ®ßi hái x¸c ®Þnh øng lùc trong thanh sè 6, ta dïng mÆt c¾t ab qua c¸c thanh 2, 3, 5, 6. §Ó x¸c ®Þnh S6, ta lËp ph−¬ng tr×nh c©n b»ng m« men ®èi víi nót VI, ta nhËn ®−îc:

∑m

= −S6a + YA a − X A a = 0 .

3 Thay gi¸ trÞ cña XA vµ YA vµo ph−¬ng tr×nh trªn, ta nhËn ®−îc S6 = − F . S6 2

cã gi¸ trÞ ©m, nh− vËy thanh sè 6 chÞu nÐn. 1.4. Bµi tËp 1-1.

Dïng lùc kÐo Q n»m ngang ®Ó kÐo b¸nh xe ®ång chÊt b¸n kÝnh R träng

l−îng P tõ mÆt ®−êng A v−ît lªn mÆt ®−êng B; bËc AB=h=R/2. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i A vµ B víi trÞ sè Q nµo b¸nh xe sÏ v−ît qua bËc? Tr¶ lêi: N A = P − Q

3 ; 3

NB =

2 3 Q 3 ; Xe v−ît qua bËc khi Q ≥ P 3 3

H−íng dÉn: Gãc AOB=600, xe v−ît qua bËc khi b¾t ®Çu rêi mÆt A (ph¶n lùc NA=0). F 300

O A

P α

H×nh bµi 1-1

H×nh bµi 1-2

1-2.

Trôc cña rßng räc O ®−îc ®ì bëi hai thanhOA vµ OB, träng l−îng kh«ng

®¸ng kÓ, nghiªng ®Òu 600 víi ®−êng n»m ngang. Vßng qua rßng räc lµ sîi d©y, ®Çu treo vËt n¨ng P, ®Çu kia nghiªng 300 víi ®−êng n»m ngang vµ chÞu lùc F(=P) ®Ó gi÷ vËt c©n b»ng. X¸c ®Þnh øng lùc cña hai thanh? Tr¶ lêi: S A = P 1-3.

3 ; 3

S B = −2 P

3 3

Thanh AB ®−îc m¾c vµo t−êng nhê b¶n lÒ A vµ ®−îc gi÷ n»m ngang nhê

thanh CD; thanh sau cã hai ®Çu lµ b¶n lÒ nèi vµo thanh ®Çu vµ trÇn. Gãc nghiªng gi÷a hai thanh lµ 600, träng l−îng 2 thanh ®Òu kh«ng ®¸ng kÓ. Cho AC=2m, CB=1m. T×m ph¶n lùc t¹i b¶n lÒ A vµ C khi ®Çu B chÞu lùc th¼ng ®øng P=10kN. Tr¶ lêi: X A = 10

3 kN; 2

YA = 5kN;

S C = 10 3kN

H−íng dÉn: CD lµ thanh g©y liªn kÕt. 1-4.

CÇu (xem nh− ®ång chÊt) AB=2a, träng l−îng P, n»m gèi cè ®Þnh A vµ gèi

di ®éng B. ë tÇm cao h cã lùc giã n»m ngang Q. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i A vµ B trong hai tr−êng hîp sau: a) Gèi di ®éng B di chuyÓn trªn mÆt ph¼ng ngang. b) Gèi di ®éng B di chuyÓn trªn mÆt ph¼ng nghiªng gãc 300 víi mÆt n»m ngang. Q

h D

A P Q

600 A

H×nh bµi 1-3

B A

b) H×nh bµi 1-4

Tr¶ lêi: a) X A = −Q; 30

YA =

P h P h − Q ; NB = + Q 2 2a 2 2a

b) X A = 1-5.

P 3 h 3 P h h 3 + Q( − 1); YA = − Q ; N B = ( P + Q ) 6 6a 2 2a a 3

X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i ngµm cña dÇm n»m ngang, träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ,

chÞu lùc nh− h×nh vÏ. Tr¶ lêi: X0 = 2,8kN, Y0 = 1,7kN, m0 = -5,35kNm. q=1,5kN/m

q=2kN/m

q=4kN/m

4kNm 2kNm A

O 2m

450

A 4kN

5kN 3m

4,5m 300

H×nh bµi 1-5

1-6.

H×nh bµi 1-6

X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i ngµm cña dÇm n»m ngang, träng l−îng kh«ng ®¸ng

kÓ, chÞu lùc nh− h×nh vÏ. Tr¶ lêi: X0=12,5kN, Y0=13,7kN, m0=-27kNm. 1-7.

Lùc kÐo n»m ngang Q ®Æt ë ®Çu E cña mãc

ABCDE bÞ ngµm ë ®Çu A vµ cã d¹ng nh− h×nh vÏ (AB=DE vµ b»ng b¸n kÝnh R cña nöa ®−êng trßn

BCD). T×m ph¶n lùc ngµm A néi lùc ë c¸c thiÕt

diÖn B, C vµ D .

Tr¶ lêi:

H×nh bµi 1-7

XA= -Q; YA= 0; mA= QR; YC = 0; XC = ± Q MC = ± 2QR; XD = ± Q; YD = 0; mD = ± QR 1-8.

NhÉn A lång ngoµi ®−êng trßn A (n»m trong

mÆt th¼ng ®øng). Treo vµo nhÉn vËt nÆng P. MÆt kh¸c buéc vµo nhÉn sîi d©y ABC, ®Çu C (sau khi

C Q

v¾t qua rßng räc B ®Æt ë vÞ trÝ cao nhÊt cña ®−êng trßn) treo vËt nÆng Q. X¸c ®Þnh gãc ϕ t−¬ng øng vÞ trÝ c©n b»ng?

H×nh bµi 1-8

Tr¶ lêi: ϕ = 2 arccos 1-9.

Q 2P B

Thanh ®ång chÊt AB träng l−îng P=20N

cã trôc quay n»m ngang A, ®Çu B treo vËt nÆng P=200N. Còng t¹i ®Çu B, buéc sîi d©y, ®Çu d©y kia treo vËt nÆng Q = 200N sau khi v¾t qua rßng

räc nhá D. BiÕt AD n»m ngang, AD=AB. T×m gãc nghiªng α cña thanh khi c©n b»ng.

H×nh bµi 1-9

Tr¶ lêi: sin

α ≈ 0,5080 2

1-10. §ßn ABC träng l−îng 80N gåm hai

tay ®ßn AB = 0,4m vµ BC = 1m vu«ng gãc

1350

víi nhau t¹i trôc n»m ngang B cña ®ßn. T¹i hai ®Çu A vµ C buéc hai sîi d©y, ®Çu treo

G E

F B

hai vËt nÆng P1= 310N, P2= 100N, sau khi vßng qua hai rßng räc nhá E vµ F. biÕt ë vÞ

H×nh bµi 1-10

trÝ c©n b»ng gãc EAB = 1350, träng t©m G cña ®ßn çch ®−êng th¼ng ®øng BD mét ®o¹n 0,212m. X¸c ®Þnh gãc ϕ = BCF. Tr¶ lêi: ϕ1 = 450; ϕ 2 = 1350. 1-11. Khi l−în trßn, mÆt ®−êng nghiªng gãc α víi mÆt n»m ngang (t©m l−în ë phÝa thÊp). BiÕt kho¶ng çch hai b¸nh xe AB = 2a, träng l−îng xe lµ P (träng l−îng t©m C n»m trªn trung trùc cña AB vµ çch mÆt ®−êng mét ®o¹n h). X¸c ®Þnh vËn tèc tèi ®a v ®Ó xe kh«ng bÞ lËt biÕt r»ng lùc qu¸n tÝnh li t©m ®Æt t¹i C, n»m ngang vµ cã trÞ sè: Q=

P v2 . g R

H×nh 1-11

(g – gia tèc träng tr−êng, R – b¸n kÝnh l−în). 32

H×nh bµi 1-11

Tr¶ lêi: v 2 ≤ gR.

a + htgα h − atgα

1-12. Lùc n»m ngang Q ®Æt vµo ®Çu A cña cÇn OA, cÇn nµy quay ®−îc quanh trôc O vµ Ðp ë B vµo khèi trô c n»m trong gãc vu«ng gi÷a nÒn ngang vµ t−êng ®øng. Bá qua träng l−îng cña cÇn, biÕt träng A

l−îng khèi trô ®ång chÊt lµ P vµ OB = BA, ¤=600;

A n»m trªn ®−êng th¼ng ®øng qua C. B

T×m c¸c ph¶n lùc ë trôc O, ph¶n lùc cña

nÒn vµ t−êng, lùc Ðp t¹i B. 3 Q Tr¶ lêi: N B = Q 3; X o = ; Yo = −Q 2 2

600 D

H×nh bµi 1-12

3 3Q ND = P + Q ; NE = 2 2

1-13. Thanh AB ®ång chÊt träng l−îng P g¾n víi nÒn b»ng b¶n lÒ A vµ tùa lªn qu¶ cÇu C, qu¶ cÇu nµy ®ång chÊt, träng l−îng Q, tùa lªn nÒn vµ ®−îc gi÷a bëi d©y AC (nèi t©m C víi chèt b¶n lÒ A). BiÕt thanh

nghiªng 60 víi nÒn. T×m c¸c ph¶n lùc t¹i A, D vµ søc c¨ng cña d©y . Tr¶ lêi: ND =

P + Q; 2

P 3 3P ; XA = P ; YA = 2 4 4

600 D

H×nh bµi 1-13

1-14. Mét ®−êng dèc nghiªng gãc 300 gåm hai ®o¹n AB = 60m vµ BC = 30m nèi víi nhau b»ng b¶n lÒ B vµ ®−îc gi÷ bëi gèi cè ®Þnh A (b¶n lÒ) vµ hai cét CC vµ §. Bá qua träng l−îng cña dÇm vµ c¸c cét. Trªn ®−êng cã ®oµn tÇu AE, träng l−îng (th¼ng ®øng) mçi mÐt dµi lµ 20kN. T×m ph¶n lùc t¹i A, øng lùc c¸c cét vµ lùc t¸c dông t−¬ng hç t¹i b.

33 H×nh bµi 1-14

Cho AD = 40m, AE = 70m, chiÒu cao cña ®oµn tÇu kh«ng ®¸ng kÓ. Tr¶ lêi: SC = 50KN; YA = 225KN; YE = 150KN; SD = 1125KN. 1-15. Trªn ®−êng n»m ngang cã xe AB träng l−îng Q mang cÇn BC träng l−îng P, quay ®−îc quanh trôc B vµ ®−îc gi÷ bëi d©y ED, vßng qua ®Çu mót C lµ d©y mang vËt nÆng P cã ®Çu d©y kia buéc vµo A. Cho AE=EB=BD=DC vµ cÇn BC nghiªng 600 víi mÆt ®−êng. T×m ph¶n lùc hai b¸nh xe A, B søc c¨ng cña d©y ED vµ lùc t¸c dông t−¬ng hç t¹i b¶n lÒ B. H×nh 1-15

Tr¶ lêi: NA =

Q−P 1 Q + 3P 5 − p; N B = + p; 2 4 2 4

T = P; X B =

3 3 ( P + p ); XB = ( P + p). 2 2

1-16. Trªn nÒn n»m ngang ®Æt thang hai ch©n nèi víi nhau nhê b¶n lÒ C vµ d©y EF. Träng l−îng mçi ch©n thang (®ång chÊt) lµ 120N. T¹i D cã ng−êi nÆng 720N, kÝch th−íc ghi trªn h×nh vÏ. T×m ph¶n lùc t¹i A, B vµ søc c¨ng cña d©y.

H×nh bµi 1-16 Tr¶ lêi: NA=408N; NB=552N; T=522N. ϖ

1-17. Lùc th¼ng ®øng P ®Æt vµo ®ßn OBA truyÒn t¸c dông qua thanh BC xuèng cÇn CK, cÇn nµy tr−ît theo m¸ng th¼ng ®øng DE ®Ó Ðp vËt K. Cho OB=BA, BC⊥OA, CD=DE=EK=a; gãc nghiªng cña OBA víi ®−êng n»m ngang OC lµ α. T×m lùc nÐn t¹i K vµ ph¶n lùc cña m¸ng DE (qui vÒ hai liªn kÕt tùa D vµ E) 34

Tr¶ lêi: NK=2Pcos2α; ND=4Psinαcosα; NE=2Psinαcosα. A

C a D a E a K

H×nh bµi 1-18

H×nh bµi 1-17

1-18. Lùc th¼ng ®øng P ®Æt vµo ®ßn bÈy truyÒn t¸c dông xuèng cÇn BD th«ng qua con tr−ît B. CÇn BD tr−ît theo m¸ng tr−ît C th¼ng ®øng. BiÕt ®ßn OA nghiªng 300 víi ®−êng n»m ngang, OB=BA, CD=CB=a. T×m lùc nÐn t¹i D vµ ph¶n lùc m¸ng tr−ît (xem nh− lo¹i ngµm). 3 2

Tr¶ lêi: N D = P; N C = P.

3 3 ; m C = aP . 2 2

1-19. VËt nÆng P ®−îc treo vµo nót (1, 2) cña dµn

gåm 5 thanh (1, 2, 3, 4, 5) bè trÝ nh− h×nh vÏ vµ ®−îc

600

gi÷ cè ®Þnh nhê 3 thanh 6, 7, 8.

600 2

T×m øng lùc c¸c thanh (bá qua träng l−îng xem 5

nh− c¸c thanh nèi víi nhau vµ víi nÒn vµ t−êng b»ng

300

b¶n lÒ). Tr¶ lêi: S1 =

3 2 3 P; S2 = S4 = P; 2 3

S5 = 0; S6 =

3 P = −S7 ; S8 = − P. 2

7 8 H×nh bµi 1-19

1-20. Ba dÇm ®ång chÊt AB, BC, CD träng l−îng 2P, P, P nèi víi nhau b»ng b¶n lÒ B, C vµ ®−îc ®ì n»m ngang nhê gèi ®ì cè ®Þnh A vµ c¸c gèi ®ì di ®éng E, G, D. KÝnh th−íc cho trªn h×nh vÏ. T×m ph¶n lùc c¸c gèi vµ lùc t¸c dông t−¬ng hç t¹i B vµ C. Tr¶ lêi: P P ; N C = ± ; N G = 2P 2 2 P −5 2 N B = ± ; N E = P; N A = P 2 3 6 ND =

H×nh bµi 1-20

1-21. Cho c¬ cÊu nh− h×nh vÏ, ngÉu lùc m ®Æt vµo tay quay OA, th«ng qua con ch¹y A, cÇn BC, con ch¹y C vµ cÇn ED, truyÒn t¸c dông ®Õn vËt G. BiÕt OB th¼ng ®øng OA=OB=r: OBC=300; BA=AC, cÇn ED n»m ngang vµ ®o¹n CC th¼ng ®øng. T×m lùc ®Æt vµo vËt G khi c©n b»ng, T×m ph¶n lùc ë trôc O, B vµ ë con ch¹y A, C.

H×nh bµi 1-21

Tr¶ lêi: N A = XB =

m m 3 2m 3 2m ; X 0 = − ; Yo = ; NC = = NG 3r 3r 3r r

m m 2 ; YB = − 3r 3r

1-22. Hai khèi trô ®ång chÊt C1, C2, träng l−îng P1=10N, P2=30N, n»m tùa lªn nhau trong mét gãc vu«ng t¹o nªn bëi hai mÆt OA vµ OB nghiªng 300 vµ 600 víi mÆt n»m ngang. T×m gãc nghiªng ϕ cña ®o¹n nèi hai t©m C1, C2 khi c©n b»ng, t×m lùc Ðp t−¬ng hç gi÷a hai qu¶ cÇu. Tr¶ lêi: ϕ=0; N=17,3N

H×nh bµi 1-22

H×nh bµi 1-23

1-23. Thanh ®ång chÊt OA, träng l−îng P quay ®−îc quanh trôc O vµ tùa t¹i ®iÓm B cña nã lªn qu¶ cÇu ®ång chÊt C. Qu¶ cÇu nµy cã träng l−îng Q, b¸n kÝnh R, ®−îc treo vµo trôc nhê d©y OD=R. BiÕt OD nghiªng 300 víi OA, t×m gãc nghiªng ϕ (víi ®−êng th¼ng ®øng) cña d©y OD khi c©n b»ng. Tr¶ lêi: tgϕ =

P 3 4Q + 3P

1-24. NgÉu m ®Æt vµo tay quay OA quay ®−îc quanh trôc O. Nhê con ch¹y A cã thÓ tr−ît däc CB mµ lùc truyÒn t¸c dông sang cÇn CB. BiÕt OC th¼ng ®øng, OA=R n»m ngang ϖ ) C = 30 0 , CB=3R. T×m lùc Q n»m ngang cÇn ®Æt vµo B ®Ó

hÖ c©n b»ng. Tr¶ lêi: Q =

8m 3 9R

H×nh bµi 1-24

1-25. Cam A lµ mét khèi l¨ng trô thiÕt diÖn tam gi¸c vu«ng tr−ît ®−îc theo mÆt nh½n n»m ngang d−íi t¸c dông cña lùc d©y n»m ngang P, cam cã mÆt nghiªng, gãc nghiªng α nhê ®ã ®Èy ®−îc cÇn tr−ît BC, tr−ît theo m¸ng tr−ît th¼ng ®øng. X¸c ®Þnh lùc th¼ng ®øng Q ph¶i ®Æt vµo m¸ng tr−ît ®Ó cã c©n b»ng.

Tr¶ lêi: Q=Pctgα.

H×nh bµi 1-25

1-26. Qu¶ cÇu ®ång chÊt cã träng l−îng P ®−îc treo trªn t−êng nh½n th¼ng ®øng nhê sîi d©yAC. D©y lËp víi t−êng gãc α. X¸c ®Þnh lùc c¨ng T vµ ¸p lùc cña qu¶ cÇu lªn t−êng. Tr¶ lêi: T =

P ; cos α

N = P.tgα

B A

α C D

O C

H×nh bµi 1-26

H×nh bµi 1-27

1-27. Gi¸ ABC ®Ó n©ng, h¹ t¶i träng P=20kN qua rßng räc A vµ têi D. Têi D ®−îc g¾n vµo t−êng cã gãc DCA=300. Gãc gi÷a c¸c thanh cña cÇn trôc lµ ABC=60o, ACB=300. H·y x¸c ®Þnh lùc däc trong c¸c thanh AB vµ AC. Tr¶ lêi: NAB= 0; NAC= +34,6 kN. 1-28. Bªn trong mÆt b¸n cÇu lâm nh½n chÊt ®iÓm M träng l−îng P gi÷ c©n b»ng nhê d©y v¾t qua rßng räc A, ®Çu cuèi d©y treo vËt nÆng cã träng l−îng Q nh− h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ¸p lùc N cña chÊt ®iÓm M lªn mÆt cÇu vµ gãc α lËp bëi b¸n kÝnh OM víi ph−¬ng ngang. Cho biÕt OA=R

α 2 Tr¶ lêi: N = cos α Qsin

; sin

α Q + Q 2 + 8P 2 = 2 4P B

O α

C M

H×nh bµi 1-29

H×nh bµi 1- 28

1-29. DÇm AB chiÒu dµi l, ®Çu B treo vËt M träng l−îng P, ®Çu A tùa vµo t−êng nh½n th¼ng ®øng, t¹i C tùa vµo gê nh− h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ph¶n lùc tùa t¹i A vµ C, kho¶ng c¸ch AC khi hÖ c©n b»ng. Bá qua ma s¸t vµ träng l−îng cña dÇm. Cho biÕt dÇm lËp víi ph−¬ng ngang gãc α. Tr¶ lêi: N=P.tgα; N c =

P ; AC=lcos2α cos α

1-30. TÊm v¸n AB dµi 2l träng l−îng P1 treo trªn hai d©y AC vµ BC cã ®é dµi b»ng nhau, d©y lËp víi tÊm v¸n gãc β. Mét ng−êi träng l−îng P2 ®øng t¹i ®iÓm D víi AD=a. X¸c ®Þnh gãc nghiªng α cña tÊm v¸n víi ph−¬ng n»m ngang t¹i vÞ trÝ c©n b»ng vµ lùc c¨ng TA, TB cña hai d©y. Tr¶ lêi: tgα = TB =

(l − a)P2 cos(α − β) Ctg β ; TA = (P1 + P2 ) ; l(P1 + P2 ) sin 2β P

cos(α + β) (P1 + P2 ) . sin 2β C a

β A

A B

H×nh bµi 1-31a P

A a

H×nh bµi 1-30

H×nh bµi 1-31b

1-31. DÇm AB c©n b»ng d−íi t¸c dông cña lùc P nh− h×nh vÏ. Cho biÕt c¸c kÝch th−íc a, b, vµ c¸c gãc α, β. X¸c ®Þnh ph¶n lùc liªn kÕt t¹i A, B trong hai tr−êng hîp. Bá qua träng l−îng cña dÇm. Tr¶ lêi: a, XA=P.cosα; YA =

P.bsin α ; a+b

NB =

P.a sin α . a+b

b, X A = P cos α +

P.a sin α.tgβ Pbsin α Pa sin α ; YA = ; NB = . a+b a+b (a + b) cos β

1-32. DÇm c«ng x«n c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc nh− h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i ngµm A. Bá qua träng l−îng cña dÇm. Tr¶ lêi: XA=Pcosα; YA=Psinα+q.a; M A = α

5qa 2 + P.a sin α − M . 2 C

M P2

P M

a 3

H×nh bµi 1-32

B 3

H×nh bµi 1-33

1-33. Cho kÕt cÊu c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc nh− h×nh vÏ (kÝch th−íc cho b»ng mÐt). X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i A, C vµ B. BiÕt P1=10kN, P2=12kN, M=25kNm, q=2kN/m, α=600. Tr¶ lêi: XA=-7,39kN; YA=12,8kN; XB=4,39kN; YB=7,86kN;

XC=-4,39kN; YC=4,14kN.

1-34. Hai dÇm AB, BC liªn kÕt khíp t¹i B c©n b»ng d−íi t¸c dông cña çc lùc nh− h×nh vÏ. BiÕt çc kÝch th−íc: a, b, d, vµ çc gi¸ trÞ F1, F2, M1, M2, q, α, β . Bá qua träng l−îng cña çc dÇm. T×m çc ph¶n lùc liªn kÕt t¹i A, D, B, C. 1-35. DÇm liªn hîp gåm hai thanh AB, BC c©n b»ng d−íi t¸c dông cña çc lùc nh− h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i A, B, C.

d β

α B

α M2

F2 c

F1 A

b H×nh bµi 1-34

H×nh bµi 1-35

1-36. Khung gåm hai thanh AB, BC nèi b¶n lÒ t¹i B c©n b»ng d−íi t¸c dông cña çc lùc nh− h×nh vÏ. T×m ph¶n lùc t¹i A, B vµ C. 1-37. DÇm liªn hîp gåm ba thanh AB, BC, CD c©n b»ng d−íi t¸c dông cña çc lùc nh− h×nh vÏ. Bá qua träng l−îng cña çc dÇm. T×m çc thµnh phÇn ph¶n lùc t¹i A, B, E, D, C. F2

B a

α F2

A M1

H×nh bµi 1-37

H×nh bµi 1-36

1-38. C¬ hÖ gåm ba thanh AB, BC vµ CD c©n b»ng d−íi t¸c dông cña c¸c lùc nh− h×nh vÏ. Lùc F2 song song víi mÆt ph¼ng nghiªng. Bá qua träng l−îng cña c¸c thanh. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i A, B, E, C, D.

F1 β

E a

b D

c α

H×nh bµi 1-38

H×nh bµi 1-39

1-39. Khung 3 nhÞp cã çc kÝch th−íc nh− h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i çc gèi A, B, C, D nÕu lùc t¸c dông vµo khung theo ph−¬ng n»m ngang. Bá qua träng l−îng cña çc thanh trong khung. Tr¶ lêi: R A =

P 2 P 2 . ; R B = P; R C = P; R D = 2 2

1-40. X¸c ®Þnh ph¶n lùc liªn kÕt ë çc gèi tùa vµ lùc däc trong çc thanh cña dµn ph¼ng gåm 7 thanh g¾n víi nhau, chÞu t¸c dông çc lùc P; vµ Q t¹i çc nót C vµ E nh− h×nh vÏ. Bá qua träng l−îng çc thanh. Cho biÕt gãc ACF = DEF = α, CAF = 900 . Tr¶ lêi: T1=-(P+Q); T2=T5=0. P P B

C c A

i a j

k a

a g

e a

d a

c a

H×nh bµi 1-40

H×nh bµi 1-41

1-41. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i c¸c gèi A, B, vµ lùc däc trong tÊt c¶ c¸c thanh cña dµn ph¼ng, chÞu t¸c dông cña hÖ lùc nh− h×nh vÏ.

Tr¶ lêi: XA=-1kN; YA=3kN; NB=1kN ChØ sè thanh

øng lùc (kN)

-2

-1

1,41

4,24

-4

1,41

-1

1-42. Têi hai bËc B treo vËt D träng l−îng Q vµ nèi víi trôc C cña con l¨n A träng l−îng P nh− h×nh vÏ. NÕu hÖ c©n b»ng, t×m ¸p lùc do A t¸c dông vµo t−êng vµ gãc α t¹o bëi nh¸nh d©y nèi gi÷a hai vËt A, B víi ph−¬ng n»m ngang. Bá qua ma s¸t t¹i O vµ I. Tr¶ lêi: N =

Q.r.cos α ; R

sin α =

PR Qr a

A r

M1 A

α C

M B α

H×nh bµi 1-43

H×nh bµi 1-42

1-43. Cho c¬ cÊu tay quay culÝt nh− h×nh vÏ. X¸c ®Þnh m« men M1 cña ngÉu lùc ®Æt vµo AB ®Ó c©n b»ng víi m«men cña ngÉu lùc M ®Æt trªn CD vµ ph¶n lùc t¹i A, C khi AC⊥AB. Bá qua ma s¸t vµ träng l−îng c¸c thanh. Tr¶ lêi: R A = R C =

M sin α ; M1 = M sin 2 α a

1-44. Cho mét sè tÊm gç cã cïng träng l−îng vµ cïng chiÒu dµi 2l. Çc tÊm gç ®−îc xÕp chång lªn nhau trªn mÆt ph¼ng ngang nh− h×nh vÏ. H·y x¸c ®Þnh ®é dµi giíi h¹n cña çc phÇn nh« ra, ®Ó çc tÊm cã thÓ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng. Tr¶ lêi: l; l/2; l/3; l/4; ... Chó ý: Khi gi¶i bµi to¸n, céng liªn tiÕp träng l−îng cña çc tÊm b¾t ®Çu tõ tÊm trªn cïng. C

H×nh bµi 1-44

F α

H×nh bµi 1-45

1-45. Thang xÕp ch÷ A ®Æt trªn sµn nh½n n»m ngang gåm hai phÇn AC vµ BC, mçi phÇn dµi 3m nÆng 120N, nèi víi nhau b»ng khíp b¶n lÒ C vµ d©y EF. Kho¶ng c¸ch BF=AF=1m, träng t©m mçi phÇn AC vµ BC ë ®iÓm gi÷a. Mét ng−êi nÆng 720N ®øng t¹i ®iÓm D víi kho¶ng c¸ch CD=0,6m. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i A vµ B vµ lùc c¨ng cña d©y, nÕu gãc α=450. Tr¶ lêi: RA=408N; RB=552N; T=522N.

Ch−¬ng 2. Bµi to¸n kh«ng gian Bµi to¸n kh«ng gian lµ bµi to¸n ®−a tíi viÖc kh¶o s¸t hÖ lùc kh«ng gian t¸c dông lªn vËt r¾n hay hÖ vËt r¾n. Trong qu¸ tr×nh kh¶o s¸t, bµi to¸n nµy ®−a ®Õn hai vÊn ®Ò chÝnh sau: thu gän hÖ lùc kh«ng gian vÒ d¹ng tèi gi¶n; t×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian. Ph−¬ng ph¸p vµ tr×nh tù gi¶i quyÕt bµi to¸n kh«ng gian còng t−¬ng tù nh− bµi to¸n ph¼ng. 2.1.

C¬ së lý thuyÕt

2.1.1. Thu gän hÖ lùc kh«ng gian Khi thu gän mét hÖ lùc kh«ng gian vÒ mét t©m O bÊt kú, ta nhËn ®−îc mét lùc b»ng vÐc t¬ chÝnh cña hÖ lùc vµ mét ngÉu lùc b»ng vÐc t¬ m« men chÝnh cña hÖ lùc, x¶y ra c¸c tr−êng hîp sau:

•

ρ ρ R' = 0 ; M o = 0 , hÖ lùc t−¬ng ®−¬ng kh«ng hay hÖ lùc kh«ng gian c©n b»ng. ρ ρ ρ ρ R' ≠ 0 ; M o = 0 , hÖ lùc t−¬ng ®−¬ng víi mét lùc R = ∑ Fk .

•

ρ ρ ρ ρ ρ ρ R' = 0 ; M o ≠ 0 , hÖ lùc t−¬ng ®−¬ng víi mét ngÉu M = M O = ∑ mO Fk .

•

( )

•

ρ ρ R' ≠ 0 ; M o ≠ 0 , trong tr−êng hîp nµy, tuú theo quan hÖ gi÷a lùc thu gän vµ

ngÉu lùc thu gän ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: ρ ρ - Khi: R' xM o = 0 , lùc thu gän n»m trong mÆt ph¼ng cña ngÉu, hÖ lùc sÏ

(

)

t−¬ng ®−¬ng víi mét lùc R = ∑ Fk víi t©m thu gän ®Æt t¹i ®iÓm O’ c¸ch k

ρ Mo O mét ®o¹n d = ρ . R'

ρ ρ Khi: R' xM o ≠ 0 , lùc thu gän kh«ng n»m trong mÆt ph¼ng cña ngÉu, hÖ

(

)

lùc kh«ng gian t−¬ng ®−¬ng víi mét hÖ xo¾n.

2.1.2. §iÒu kiÖn vµ c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian 1. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian:

§Þnh lý: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ lùc kh«ng gian Fk (k = 1..n) ) ρ

c©n b»ng lµ vÐc t¬ chÝnh ( R' ) vµ vÐc t¬ m« men chÝnh ( M o ) ®èi víi mét t©m bÊt kú cña hÖ lùc ®ã ®Òu triÖt tiªu.

ρ ρ R ' = 0 ; M O = 0.

(2.1)

2. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc kh«ng gian bÊt kú: Tõ ®Þnh lý nªu trªn, ta cã hÖ 6 ph−¬ng tr×nh sau: n n ⎧ ⎧ = = = R ' F 0 ; M mx ∑ ∑ x kx Ox ⎪ ⎪ k =1 k =1 ⎪ ⎪ n n ρ ⎪ ρ ⎪ R ' = 0⎨ R' y = ∑ Fky = 0; ; M O = 0⎨M Oy = ∑ m y k =1 k =1 ⎪ ⎪ n n ⎪ ⎪ = = = R ' F 0 ; M ⎪ z ∑ kz ⎪ Oz ∑ m z k =1 k =1 ⎩ ⎩

(F ) = 0; k

(2.2)

(F ) = 0; k

3. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña c¸c hÖ lùc ®Æc biÖt:

• HÖ lùc ®ång quy: lÊy ®iÓm ®ång quy cña hÖ lùc lµm t©m m« men, ®iÒu ρ

kiÖn M O = 0 sÏ tù ®éng ®−îc ®¸p øng, ta cßn l¹i ba ph−¬ng tr×nh: n

∑F

k =1

= 0;

∑F k =1

= 0;

∑F k =1

= 0.

(2.3)

• HÖ lùc song song (gi¶ thiÕt song song víi trôc z): còng cßn l¹i ba ph−¬ng tr×nh: n

∑F k =1

= 0;

∑ m (F ) = 0; ∑ m (F ) = 0. n

k =1

(2.4)

ρ • Tr−êng hîp hÖ ngÉu lùc: §iÒu kiÖn R' = 0 tù ®éng ®−îc ®¸p øng, ta

cßn l¹i ba ph−¬ng tr×nh tæng h×nh chiÕu cña c¸c ngÉu lùc lªn ba trôc to¹ ®é lÇn l−ît triÖt tiªu. n n n ρ ρ ρ M x = ∑ m x Fk = 0; M y = ∑ m y Fk = 0; M z = ∑ m z Fk = 0 . k =1

( )

k =1

( )

k =1

( )

(2.5)

4. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña vËt r¾n kh«ng tù do: §èi víi vËt r¾n kh«ng tù do (vËt r¾n chÞu liªn kÕt), ®Ó ¸p dông çc ph−¬ng tr×nh nªu trªn, ta cÇn gi¶i phãng çc liªn kÕt, thay vµo ®ã çc ph¶n lùc liªn kÕt t−¬ng øng sau ®ã tiÕn hµnh thiÕt lËp çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nªu trªn. CÇn chó ý r»ng, trong nhiÒu bµi to¸n, ®Æc biÖt lµ çc bµi to¸n t×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña vËt r¾n hay hÖ vËt r¾n, nÕu ta chó ý tíi çc liªn kÕt vµ kh¶ n¨ng chuyÓn dÞch cña vËt r¾n th× cã thÓ gi¶i bµi to¸n mét çch nhanh gän h¬n. D−íi ®©y lµ mét sè d¹ng th−êng gÆp:

• §iÒu kiÖn c©n b»ng cña vËt r¾n quay ®−îc quanh mét trôc cè ®Þnh: n ρ M z = ∑ m z Fk = 0 .

( )

k =1

(2.6)

• §iÒu kiÖn c©n b»ng cña vËt r¾n quay ®−îc quanh mét t©m cè ®Þnh: ρ ρ ρ M O = ∑ mO Fk = 0,

( )

Hay: M x = ∑ mx (Fk ) = 0; M y = ∑ m y (Fk ) = 0; M z = ∑ mz (Fk ) = 0 n

k =1

(2.7)

k =1

2.1.3. Çc phÐp biÕn ®æi vµ x¸c ®Þnh lùc: 1. Çc liªn kÕt kh«ng gian: Çc liªn kÕt tùa, d©y vµ thanh t−¬ng tù nh− trong bµi to¸n ph¼ng, çc liªn kÕt kh¸c cã thªm ph−¬ng z. B¶ng d−íi ®©y ghi ®Æc ®iÓm mét sè liªn kÕt ®ã. B¶ng 3-1 Liªn

§Æc ®iÓm

CÊu t¹o vµ biÓu diÔn

ph¶n lùc

kÕt 2

3 VÐc t¬ R vu«ng gãc víi

(ng¾n)

B¶n lÒ trô

Y X

trôc quay, ph©n thµnh hai thµnh phÇn X vµ Y.

(vµ cèi)

Gèi cÇu

Ba thµnh phÇn ph¶n lùc

X, Y vµ Z.

Ba thµnh phÇn ph¶n lùc X,

Ngµm

Y, Z vµ ba ngÉu lùc MX,

èng trô dµi

MY, MZ.

Hai thµnh phÇn ph¶n lùc

Y X

X, Y vµ hai ngÉu lùc MX, MY, MZ.

2. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh lùc vµ vect¬ chÝnh: Trong bµi to¸n kh«ng gian chñ yÕu sö dông ph−¬ng ph¸p chiÕu ®Ó x¸c ®Þnh c¸c lùc.

• H×nh chiÕu cña lùc F lªn c¸c trôc to¹ ®é ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c c«ng thøc sau: Fx = ± F cos α ; Fy = ± F cos β ; Fz = ± F cos γ ,

Trong ®ã: - α, β, γ lµ c¸c c« sin chØ ph−¬ng cña lùc F víi c¸c trôc to¹ ®é. - DÊu + (-) t−¬ng øng khi lùc thuËn (ng−îc) chiÒu trôc.

• §èi víi hÖ lùc, vÐct¬ chÝnh cña hÖ, kÝ hiÖu R’, lµ tæng h×nh häc c¸c vect¬ lùc ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: 48

ρ n ρ R' = ∑ Fk k =1

Tõ ®ã ta tÝnh ®−îc trÞ sè vµ cosin chØ ph−¬ng cña vect¬ chÝnh: n

k =1

R' x = ∑ Fkx ; R' y = ∑ Fky ; R' z = ∑ Fkz ρ R' ρ R' ρ R' y ; cos z, R' = z . R' = R' 2x + R'2y + R' 2z , cos x, R' = x ; cos y, R' = R' R' R'

( )

2.1.4. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh m«men lùc vµ m«men chÝnh: ρ

1. M« men lùc: Cho lùc F vµ ®iÓm O, gäi r lµ vÐc t¬ ®Þnh vÞ ®iÓm ®Æt lùc tÝnh tõ t©m O.

M«men lùc F ®èi víi O lµ mét vÐc t¬, ký hiÖu mO (F ) ®−îc x¸c ®Þnh theo ρ

c«ng thøc:

ρ ρ ρ ρ mO F = r ∧ F

( )

Trong ®ã :

- Gi¸ trÞ m« men: mo (F ) = ± Fh F - trÞ sè cña lùc; h - trÞ sè cña çnh tay ®ßn. - ChiÒu cña vÐc t¬ m« men h−íng vÒ phÝa tõ ®ã ta thÊy lùc F quay quanh O ng−îc chiÒu kim ®ång hå. §Ó x¸c ®Þnh m« men cña lùc ®èi víi çc trôc qua ®iÓm O, tõ O, ta kÎ çc trôc to¹ ®é Ox, Oy, Oz, ta cã m« men cña lùc F víi çc trôc nh− sau:

ρ ρ ρ ρ ρ ρ m z F = mO Fxy , m x F = mO Fyz , m y F = mO Fzx ρ ρ ρ Trong ®ã Fxy , Fyz , Fzx lµ h×nh chiÕu cña vÐc t¬ lùc F xuèng c¸c mÆt ph¼ng

( )

( ) ( )

( )

xOy, yOz, zOx t−¬ng øng. C¸c biÓu thøc trªn cho phÐp ta ®−a bµi to¸n x¸c ®Þnh m« men cña mét lùc ®èi víi mét t©m trë vÒ x¸c ®Þnh m« men cña mét lùc víi c¸c trôc to¹ ®é.

§Ó x¸c ®Þnh m« men cña mét lùc víi mét trôc, ngoµi c¸ch ¸p dông trùc tiÕp ®Þnh nghÜa, cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p ph©n lùc vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch nh− trong phÇn hÖ lùc ph¼ng:

ρ ρ ρ m x F = yFz − zFy ; m y F = zFx − xFz ; m z F = xFy − yFx

( )

x, y, z to¹ ®é ®iÓm ®Æt lùc,

Trong ®ã:

Fx , Fy , Fz – h×nh chiÕu cña lùc lªn c¸c trôc to¹ ®é. 2. M« men chÝnh cña hÖ lùc: VÐc t¬ m« men chÝnh cña hÖ lùc kh«ng gian ρ

®èi víi t©m O (m«men chÝnh cña hÖ lùc) kÝ hiÖu M o lµ tæng m«men c¸c lùc ®èi víi ®iÓm O: n ρ ρ ρ M o = ∑ mo Fk k =1

( )

H×nh chiÕu cña vÐc t¬ m« men chÝnh cña hÖ lùc trªn çc trôc to¹ ®é (víi O lµ gèc to¹ ®é) b»ng tæng m« men cña çc lùc ®èi víi çc trôc: n n n ρ ρ ρ M x = ∑ m x Fk ; M y = ∑ m y Fk ; M z = ∑ m z Fk k =1

( )

k =1

( )

k =1

( )

Víi hÖ ngÉu lùc, vÐc t¬ m«men chÝnh kh«ng phô thuéc t©m O vµ b»ng tæng h×nh häc c¸c vÐc t¬ m«men ngÉu lùc. 2.2.

H−íng dÉn ¸p dông §Ó gi¶i bµi to¸n kh«ng gian, ta tiÕn hµnh c¸c b−íc t−¬ng tù nh− trong bµi

to¸n ph¼ng nh− sau:

• B−íc 1: Chän vËt kh¶o s¸t; ®Æt lùc t¸c dông lªn vËt kh¶o s¸t (nÕu vËt r¾n chÞu liªn kÕt, tr−íc tiªn, ta gi¶i phãng c¸c liªn kÕt vµ ®Æt thay vµo ®ã c¸c ph¶n lùc liªn kÕt t−¬ng øng).

• B−íc 2: Ph©n tÝch ®Æc ®iÓm hÖ lùc kh¶o s¸t: (®ång quy, song song hay bÊt kú), tõ ®ã x¸c ®Þnh sè ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®éc lËp cã thÓ lËp ®−îc (3 hoÆc 6) theo c¸c ®iÒu kiÖn trong môc 2.1.2, sau ®ã tiÕn hµnh gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh nhËn ®−îc. 50

2.3.

Bµi gi¶i mÉu Trong phÇn nµy chóng ta chØ giíi h¹n xem xÐt d¹ng c¸c bµi to¸n x¸c ®Þnh

ph¶n lùc liªn kÕt cho bµi to¸n mét vËt kh«ng gian vµ hÖ vËt kh«ng gian. 2.3.1. Bµi to¸n mét vËt VÝ dô 2-1: Treo mét vËt nÆng cã träng l−îng P vµo ®Çu O cña thanh OA, thanh ®−îc g¾n vµo t−êng b»ng b¶n lÒ t¹i A vµ ®−îc gi÷ c©n b»ng nhê hai d©y n»m ngang OB vµ OC. Cho biÕt c¸c gãc t¹i ®Ønh A, B, C b»ng nhau vµ b»ng 450 (xem h×nh vÏ). Bá qua ma s¸t vµ träng l−îng riªng cña thanh, x¸c ®Þnh øng lùc trong thanh vµ søc c¨ng cña c¸c d©y? z

Bµi gi¶i:

Chän hÖ trôc to¹ ®é nh− h×nh vÏ, ®Ó x¸c ®Þnh øng lùc trong thanh OA vµ søc c¨ng c¸c d©y, ta

kh¶o s¸t ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña nót O. Nót chÞu t¸c dông cña c¸c lùc: träng lùc P; øng lùc S; c¸c

O y P

x A

lùc c¨ng d©y T1, T2. Ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng cho hÖ lùc trªn nh− H×nh 2-1

(Pρ,Sρ,Tρ ,Tρ ) ≡ 0ρ 1

(a)

V× hÖ lùc ®ång quy t¹i O, nªn tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng (a), ta lËp ®−îc ba ph−¬ng tr×nh sau:

∑ Fkx = 0 ,⇒ T1 cos 450 − T2 cos 450 = 0 ∑ Fky = 0 ,⇒ −T1 cos 450 − T2 cos 450 − S cos 450 = 0 ∑ Fkz = 0 ,⇒ − S cos 450 − P = 0

(b)

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ta nhËn ®−îc: S = − P 2 ; T1 = T2 =

P 2 2

Tõ kÕt qu¶ nhËn ®−îc, ta thÊy S nhËn gi¸ trÞ ©m vËy chiÒu gi¶ ®Þnh trªn h×nh vÏ lµ kh«ng ®óng, trªn thùc tÕ thanh OA chÞu nÐn. VÝ dô 2-2: TÊm h×nh vu«ng ABCD träng l−îng P ®−îc gi÷ c©n b»ng ë tr¹ng th¸i n»m ngang nhê liªn kÕt b¶n lÒ t¹i A, khíp cÇu t¹i B vµ d©y DE. D©y t¹o víi mÆt ph¼ng tÊm mét gãc 300 vµ BE vu«ng gãc víi AB. X¸c ®Þnh çc ph¶n lùc t¹i A, B vµ søc c¨ng d©y? Bµi gi¶i: §Ó x¸c ®Þnh çc ph¶n lùc, ta kh¶o s¸t ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña tÊm ABCD chÞu t¸c dông cña träng lùc P t¹i ®iÓm O, chän hÖ trôc to¹ ®é nh− h×nh vÏ. Sö dông tiªn ®Ò gi¶i phãng liªn kÕt, thay thÕ t¸c dông cña çc liªn kÕt b»ng çc ph¶n lùc liªn kÕt: t¹i D cã søc c¨ng d©y T, t¹i A cã çc ph¶n lùc RAx, RAz, t¹i B cã RBx, RBy, RBz víi chiÒu cña çc lùc ®−îc gi¶ thiÕt nh− trªn h×nh vÏ. z

RAz O

RAx

Tz D

RBz

RBx

RBy B

Txy D

H×nh 2-2.

Nh− vËy, tÊm ABCD c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc kh«ng gian bÊt kú, ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng sau:

ρ ρ ρ

(P ,T , R

Ax , R Az , R Bx , RBy , RBz

)≡ 0

(a)

Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng trªn ta cã thÓ lËp ®−îc 6 ph−¬ng tr×nh víi 6 Èn ph¶i t×m, vËy bµi to¸n lµ tÜnh ®Þnh. §Ó ®¬n gi¶n, ta ph©n lùc T thµnh hai thµnh phÇn: Tz vµ Txy. Ta cã c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

∑ Fkx = R Ax + RBx − Txy ⋅ cos 45 0 = 0 , ∑ Fky = RBy + Txy sin 45 0 = 0 , ∑ Fkz = R Az + RBz + Tz − P = 0 ,

(b)

∑ mx (Fk ) = − P ⋅ 2 + RBz ⋅ a = 0 , a

∑ m y (Fk ) = P ⋅ 2 − Tz ⋅ a = 0 , a

∑ mz (Fk ) = Txy ⋅

(c)

a 2 − RBx ⋅ a = 0 , 2

Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh trªn víi chó ý r»ng: Txy = T ⋅ cos 30 0 ; Tz = T ⋅ sin 30 0

Ta x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gi¸ trÞ nh− sau: T = P; R Ax = 0 ; R Az = 0 ; RBx = 0.61P ; RBy = −0.61P ; RBz = P / 2.

VÝ dô 2.3 Çnh cöa h×nh ch÷ nhËt träng l−îng P=0.1kN, n»m ë tr¹ng th¸i c©n b»ng d−íi t¸c dông cña çc lùc: lùc kÐo T=0.04kN ®Æt t¹i ®iÓm D vµ t¹o víi ph−¬ng ngang mét gãc QDN b»ng 450; m«men c¶n m. Cöa ®−îc gi÷ bëi çc liªn kÕt: liªn kÕt cèi t¹i A; liªn kÕt b¶n lÒ t¹i B. X¸c ®Þnh çc ph¶n lùc liªn kÕt vµ gi¸ trÞ cña m«men m? Cho biÕt KD//AE, gãc KDN b»ng 450, ED=0.8m, AB=2m, AE=1m. Bµi gi¶i: Kh¶o s¸t sù c©n b»ng cña cöa d−íi t¸c dông cña çc lùc ho¹t ®éng: träng l−îng P; lùc kÐo T; m«men c¶n m. Cöa ®−îc g¾n bëi hai liªn kÕt: liªn kÕt t¹i A t−¬ng ®−¬ng nh− liªn kÕt gèi cÇu; liªn kÕt t¹i B lµ liªn kÕt b¶n lÒ. Gi¶i phãng çc liªn kÕt vµ thay chóng b»ng çc ph¶n lùc liªn kÕt t−¬ng øng (h×nh vÏ), ph©n tÝch lùc T thµnh çc lùc thµnh phÇn theo çc ph−¬ng cña hÖ trôc to¹ ®é. Nh− vËy cöa c©n b»ng víi ®iÒu kiÖn sau: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ x y ,Tz , R Ax , R Ay , R Az , RBx , R By , m ≡ 0

(P ,T ,T

)

(a)

z F

RBy

RBx m

m C

A x

RAz

RAy A RAx M

D Tx E

H×nh 2-3.

Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng (a), ta lËp ®−îc 6 ph−¬ng tr×nh c©n b»ng, víi 6 Èn cÇn t×m, vËy bµi to¸n lµ x¸c ®Þnh tÜnh, ta cã:

∑F ∑F ∑F

= R Ax + RBx + Tx = 0,

= R Ay + RBy − Ty = 0,

= R Az − P + Tz = 0,

(b)

∑ mx (Fk ) = Ty ⋅ AK + Tz ⋅ AE − P ⋅ AM − RBy ⋅ AB = 0 , ρ ∑ m y (Fk ) = Tx ⋅ DE + RBx ⋅ AB = 0 , ρ ∑ mz (Fk ) = −Tx ⋅ KD + m = 0.

(c)

Thay c¸c gi¸ trÞ vµ gi¶i hÖ trªn ta nhËn ®−îc: R Ax = −0.12 kN , R Ay = 0.0229 kN , R Az = 0.0718 kN , RBx = −0.008 kN , RBy = −0.0029 kN ,m = 0.02 kNm.

Çc gi¸ trÞ RAx, RBx, RBy nhËn gi¸ trÞ ©m, vËy chiÒu cña çc lùc nµy ng−îc víi chiÒu quy −íc trªn h×nh vÏ. Chó ý: Trong bµi to¸n trªn, nÕu gi¶ thiÕt m« men c¶n m ®· biÕt vµ liªn kÕt t¹i B t−¬ng ®−¬ng víi liªn kÕt khíp cÇu, nh− vËy çnh cöa ®−îc m« h×nh ho¸ nh− mét vËt r¾n bÞ gi÷ t¹i hai ®iÓm A vµ B. Khi ®ã sè l−îng Èn vÉn lµ 6 v× thay cho gi¸ trÞ 54

m ®· biÕt ta cã thªm thµnh phÇn ph¶n lùc RBz, h−íng däc theo trôc z. MÆc dï sè ph−¬ng tr×nh c©n b»ng lËp ®−îc vµ sè Èn b»ng nhau nh−ng bµi to¸n vÉn lµ bµi to¸n ch−a x¸c ®Þnh v× c¸c thµnh phÇn theo trôc z chØ xuÊt hiÖn trong ph−¬ng tr×nh:

∑ Fkz = R Az + RBz − P + Tz = 0. Tõ ph−¬ng tr×nh nµy ta chØ x¸c ®Þnh ®−îc tæng çc gi¸ trÞ ph¶n lùc theo trôc z: R Az + RBz = P − Tz = 0 , chø kh«ng x¸c ®Þnh ®−îc riªng çc gi¸ trÞ trªn. VÝ dô 2.4: R«to cña m¸y ®iÖn lµ mét khèi trô trßn ®ång chÊt quay quanh trôc ®èi xøng n»m ngang AB. R«to cã träng l−îng P chÞu t¸c dông cña mét ngÉu lùc M n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi trôc quay. L¾p ®ång trôc víi r«to mét puli träng l−îng Q vµ cã b¸n kÝnh r. Hai nh¸nh ®ai truyÒn m¾c lªn puli song song víi nhau, nghiªng víi ph−¬ng ngang mét gãc α, chÞu hai lùc kÐo lµ T1 vµ T2, cã c−êng ®é T1 = 2T2. Cho OA=10cm, AB=2AC=50cm. T×m m« men M cña ngÉu ®Ó r«to c©n b»ng vµ t×m çc ph¶n lùc cña hai æ ®ì A vµ B. Bá qua ma s¸t. Bµi gi¶i: Chän hÖ trôc to¹ ®é nh− trªn h×nh vÏ, hÖ kh¶o s¸t bao gåm c¶ r«to vµ puli n»m c©n b»ng. Çc lùc ho¹t ®éng t¸c dông lªn hÖ gåm: çc träng lùc P vµ Q, çc lùc kÐo T1 vµ T2 vµ ngÉu M. Çc ph¶n lùc liªn kÕt gåm: RA (XA, YA) vµ RB (XB, YB). ZB

y α

α ZA

P XA

x T2

H×nh 2-4 Ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ nh− sau:

(Pρ,Qρ,Mρ ,Tρ ,Tρ , Rρ , Rρ ) ≡ 0ρ. 1

(a)

Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng (a), ta lËp ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh sau:

∑ Fx = T1 cos α + T2 cos α + X A + X B = 0 , ∑ Fy = −T1 sin α − T2 sinα − P − Q + Z A + Z B = 0 , ∑ mx = 10 ⋅ Q − 25 ⋅ P + 50 ⋅ Z B + 10 ⋅ T1 sin α + 10 ⋅ T2 sin α = 0 , ∑ Fx = (T1 − T2 )⋅ r − M = 0 , ∑ Fx = −50 ⋅ X B + 10 ⋅ T1 cos α + 10 ⋅ T2 cos α = 0.

(b)

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, víi chó ý r»ng: T1x = T1 cosα ; T1z = −T1 sin α ; T2 x = T2 cosα ; T2 z = −T2 sin α ,

ta cã kÕt qu¶: M = 10(T1 − T2 ); X A = −1.2(T1 + T2 )cos α ; X B = 0.2(T1 + T2 )cos α ;

Z A = −1.5Q − 0.8 P − 0.8(T1 + T2 ) sin α ; Z B = −0.2Q + 0.5 P − 0.2(T1 + T2 ) sin α .

2.3.1. Bµi to¸n hÖ vËt VÝ dô 2.5 Cho hai b¸nh r¨ng I vµ II cã b¸n kÝnh r1 vµ r2 g¾n ®óng t©m vµ th¼ng gãc víi hai trôc quay AB vµ CD, çc b¸nh r¨ng ¨n khíp víi nhau vµ gãc ¨n khíp lµ α. Trªn trôc cña b¸nh r¨ng I ®−îc g¾n mét tang têi cã b¸n kÝnh R, trªn tang quÊn d©y mÒm vµ nhÑ ®Ó treo vËt G träng l−îng P. Trôc CD chÞu t¸c dông cña ngÉu lùc M ®Ó gi÷ cho hÖ c©n b»ng.. Bá qua ma s¸t. 1. T×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ? 2. Cho CD=a, bá qua träng l−îng b¶n th©n cña b¸nh r¨ng II vµ trôc CD, t×m ph¶n lùc cña æ ®ì D. Bµi gi¶i Kh¶o s¸t hÖ gåm hai vËt r¾n: trôc AB mang tang têi vµ b¸nh r¨ng I; trôc CD mang b¸nh r¨ng II. Çc lùc chñ ®éng t¸c dông lªn hÖ lµ träng lùc P, ngÉu M. Çc ph¶n lùc liªn kÕt t¸c dông lªn hÖ: RA, RB, RD vµ ngÉu lùc MD. Çc lùc liªn kÕt trong lµ çc lùc ¨n khíp S, S’ t¹i tiÕp ®iÓm K.

RB B y1

α RA

K A

D C

RD M

S’

G P

H×nh 2.5 1. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ: Hai vËt kh¶o s¸t ®Òu quay ®−îc quanh nh÷ng trôc cè ®Þnh AB vµ CD, chän hÖ to¹ ®é nh− h×nh vÏ, ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña tõng vËt cã thÓ viÕt nh− sau: VËt AB: PR − Sr1 sin α = 0

(a)

VËt CD: M − S ' r2 sin α = 0

(b)

Do S vµ S’ lµ c¸c lùc ¨n khíp cã gi¸ trÞ b»ng nhau nªn ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lµ: M=

r2 PR r1

2. T×m ph¶n lùc æ ®ì D: Do trôc CD cã mét ®ì, v× vËy ta coi æ D ®ãng vai trß nh− mét liªn kÕt ngµm ®Æc biÖt. HÖ ph¶n lùc cña nã t¸c dông lªn trôc CD bao gåm ph¶n lùc RD vµ ngÉu MD, c¶ hai lùc nµy ®Òu vu«ng gãc víi trôc CD. Ta ph©n tÝch chóng thµnh c¸c thµnh phÇn nh− sau (h×nh vÏ): RD ↔ (XD, ZD); MD↔ (MZ, MX). Kh¶o s¸t sù c©n b»ng cña trôc CD mang b¸nh r¨ng II, ta cã ®iÒu kiÖn ®èi víi hÖ lùc t¸c dông:

(Sρ , Mρ , Rρ , Mρ ) ≡ 0 '

(c)

z α

MZ ZD

y2 MX x

S’ II

Tõ ®iÒu kiÖn (c), ta lËp ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh sau: ⎧∑ FX = X D − S ' sin α = 0 ⎪ ' ⎪∑ FZ = Z D − S cos α = 0 ⎨ ' ⎪∑ m X = M X + aS cos α = 0 ⎪ ' ⎩∑ mZ = M Z − aS sin α = 0

(d)

Tõ hÖ ph−¬ng tr×nh (d), ta nhËn ®−îc: X D = S ' sin α ; Z D = S ' cos α ; M X = −aS ' cos α ; M Z = aS ' sin α .

Lùc S’ ®−îc tÝnh tõ ph−¬ng tr×nh (a) vµ (b): S'= S =

PR . r1 sin α

VÝ dô 2.6 Cho c¬ hÖ nh− h×nh vÏ (h×nh vÝ dô 2-6), b¸nh ®ai 1 cã ®−êng kÝnh lµ d1, vËt 3 cã träng l−îng G, b¸nh r¨ng 4 (b¸nh vÝt) cã ®−êng kÝnh d4 ¨n khíp víi trôc vÝt 5, ®−êng kÝnh d5. Coi d©y ®ai, b¸nh ®ai, b¸nh r¨ng, trôc vÝt cã träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ. C¸c kÝch th−íc ®−îc cho trªn h×nh vÏ: l1 = l2 = 3a; l3 = l4 = 4a; l5 = 7a . H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ m« men cÇn ®Æt vµo trôc vÝt 5 ®Ó hÖ c©n b»ng, ®ång thêi x¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i c¸c æ ®ì B, D, A, C. Chó ý: Lùc t¸c dông t−¬ng hç gi÷a trôc vÝt vµ b¸nh vÝt nªn ph©n thµnh ba thµnh phÇn vu«ng gãc víi nhau, bao gåm: P=

2M ; T = Ptgα ; Q = Ptgγ , d4

Trong ®ã: - M: M«men quay t¸c ®éng lªn b¸nh vÝt; - P: Thµnh phÇn lùc theo ph−¬ng trôc cña trôc vÝt; - T: Thµnh phÇn lùc h−íng t©m cña b¸nh vÝt; - Q: Thµnh phÇn lùc theo ph−¬ng trôc cña b¸nh vÝt; - α: gãc ¨n khíp gi÷a b¸nh vÝt vµ trôc vÝt, - γ: gãc nghiªng cña trôc vÝt. L2 L1

A 2

4 L3

L5 H×nh 2-6 (a).

Bµi gi¶i Tr−íc tiªn ta nhËn thÊy r»ng, do d©y ®ai kh«ng gi·n vµ kh«ng cã ma s¸t nªn nh¸nh d©y bªn b¸nh ®ai 1 cã lùc c¨ng ®óng b»ng träng l−îng cña vËt nÆng 3 vµ nghiªng víi ph−¬ng ngang mét gãc β. Kh¶o s¸t hÖ cßn l¹i, gåm trôc mang b¸nh vÝt 4, b¸nh ®ai 1 vµ trôc vÝt 5. Çc gi¸ trÞ cÇn t×m ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña b¸nh vÝt vµ trôc vÝt. §Ó gi¶i bµi to¸n, ta gi¶i phãng hÖ khái çc liªn kÕt vµ t¸ch hÖ thµnh hai vËt r¾n nh− trªn h×nh 2-6 (b), sau khi ®Æt vµo hÖ çc ph¶n lùc liªn kÕt vµ çc lùc t−¬ng hç, ta thÊy r»ng c¶ hÖ cã 12 gi¸ trÞ ch−a biÕt: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ P, X C , YC , Z C , X D , YD , X A , Y¢ , Z A , X B , YB , M Z .

XÐt riªng trôc mang b¸nh vÝt, hÖ lùc t¸c dông bao gåm: C¸c lùc t−¬ng hç gi÷a b¸nh vÝt vµ trôc vÝt P, T, Q, c¸c ph¶n lùc liªn kÕt XC, YC, ZC, XD, YD, lùc c¨ng ®ai G. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ nµy nh− sau:

(Pρ,Tρ, Qρ, Xρ ,Yρ , Zρ , Xρ C

ρ ρ , YD , G ≡ 0

)

(a)

Tõ ®iÒu kiÖn (a), ta thiÕt lËp ®−îc 6 ph−¬ng tr×nh c©n b»ng sau: ρ

d ∑ M (F ) = P 2 Z

−G

d1 =0 2

(1)

ρ M F ∑ Y K = − Pl3 + X D (l3 + l4 ) + G cos β (l3 + l4 + l5 ) = 0

( )

∑ M (F ) = −Y (l X

+ l4 ) + Q

∑F kY

∑F

d4 + Tl3 − G sin β (l3 + l 4 + l5 ) = 0 2

(3)

= ZC − Q = 0

(4)

= YC + YD − T + G sin β = 0

(5)

= X C + X D − P + G cos β = 0

(6)

∑F

(2)

y YC XC C

Q P

x K T

YB XD

K’

P’ Q’

H×nh 2-6 (b).

z ZA

T’

x XB

T−¬ng tù ®èi víi trôc vÝt, hÖ lùc t¸c dông bao gåm: M« men MZ, c¸c lùc t−¬ng hç gi÷a b¸nh vÝt vµ trôc vÝt P’, T’, Q’, c¸c ph¶n lùc liªn kÕt XA, YA, ZA, XB, YB. Ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng ®èi víi hÖ lùc nµy lµ: ρ

(Pρ',Tρ', Q', Xρ ,Yρ , Zρ , Xρ ,Yρ , Mρ ) ≡ 0 A

(b)

Tõ ®iÒu kiÖn (b), ta lËp ®−îc 6 ph−¬ng tr×nh c©n b»ng sau: ρ

∑ M (F ) = M Z

∑ M (F ) = X (l Y

∑ M (F ) = −Y (l X

∑F kY

∑F

d5 =0 2

+ l2 )Ql2 = 0

+ l 2 ) − Tl 2 − P

d5 =0 2

(7) (8) (9)

= ZA + P = 0

(10)

= YA + YB + T = 0

(11)

= X A + XB −Q = 0

(12)

∑F

−Q

Nh− vËy tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña c¸c vËt, ta lËp ®−îc 12 ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ®éc lËp. Gi¶i hÖ 12 ph−¬ng tr×nh trªn víi 12 Èn t−¬ng øng, ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m, nh− sau: d ⎛ ⎞ P⎜ 4tgα − 4 tgγ ⎟ − 15G sin β d1 4 P − 15G cos β 2 a ⎠ ;YD = ⎝ P =G ;XD = ; 8 d4 8 Z C = Ptgγ ;YC = Ptgα − G sin β − YD ; X C = P − G cos β − X D ; M Z = Ptgα

d5 Ptgγ ⎛ tgα d 5 ⎞ ;XA = ; Y A = − P⎜ + ⎟; 2 2 ⎝ 2 12a ⎠

tgα ⎞ Ptgγ ⎛ d . Z A = − P; YB = P⎜ 5 − ⎟; X B = 2 ⎠ 2 ⎝ 12a

2-4.

Bµi tËp

2-1. VËt nÆng P ®−îc treo vµo ®Çu O cña gi¸ treo t¹o bëi 3 thanh träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ, g¾n víi nhau vµ víi t−êng b»ng c¸c b¶n lÒ nh− h×nh vÏ. T×m øng lùc cña c¸c thanh. 61

Tr¶ lêi: S A = − P 2 ; S B = S C = P 2 z

B D

450 O

300 A A

H×nh bµi 2-1 2-2.

H×nh bµi 2-2

VËt nÆng P=100N ®−îc treo vµo ®Çu O cña gi¸ treo t¹o bëi 3 thanh, träng

l−îng kh«ng ®¸ng kÓ, g¾n víi nhau vµ víi t−êng b»ng c¸c b¶n lÒ nh− h×nh vÏ. T×m øng lùc cña c¸c thanh. Tr¶ lêi: S A = −200

3 2 N; S C = S D = 50 N 3 3

H×nh bµi 2-3 2-3.

H×nh bµi 2-4

Bµn ba ch©n A, B, C t¹o thanh tam gi¸c ®Òu c¹nh a. Träng l−îng bµn lµ P

vµ träng t©m n»n trªn ®−êng th¼ng ®øng zOO1 qua t©m O1 cña tam gi¸c ABC. Trªn mÆt bµn cã vËt M träng l−îng p ®Æt ë ®iÓm cã to¹ ®é x, y; trôc èng song víi AB. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i c¸c ch©n.

lêi: N A =

Tr¶ NC =

2-4.

⎞P P + p ⎛⎜ 3 +⎜ x − y ⎟⎟ ; 3 ⎝ 3 ⎠a

NB =

3 ⎞⎟ p P + p ⎛⎜ + ⎜y + x ; 3 3 ⎟⎠ a ⎝

3 x P+p −2 . p 3 3 a

Cho cÇn cÈu nh− h×nh vÏ (H. 2-4). BiÕt AD = DB=1m; CD = 1,5m; CM =

1m; KL=4m; träng l−îng cÇn cÈu (kÓ c¶ ®èi träng) lµ P =100 kN, träng t©m G cña c¬ cÊu n»m trong mÆt LMFN vµ c¸ch MN mét ®o¹n 0,5m träng l−îng vËt ®−îc cÇu lµ Q=30kN. T×m ph¶n lùc t¹i 3 b¸nh xe khi mÆt th¼ng ®øng LMFN song song víi AB. Tr¶ lêi: NA=8,3kN; NB78,3kN; NC=43,4kN. 2-5.

TÊm trßn, träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ, n»m ngang trªn mòi nhän ë t©m O

cña tÊm. Trªn chu vi tÊm trßn ®Æt ba ®iÓm nÆng träng l−îng P1=1,5N, P2= 1N vµ P3=2N sao cho tÊm trªn vÉn c©n b»ng. X¸c ®Þnh c¸c gãc α =AOB, β= AOC. Tr¶ lêi: α = 750 30’ ,β= 1510. 2-6.

TÊm gç ®ång chÊt h×nh vu«ng träng l−îng P ®−îc ®ì ë vÞ trÝ n»m ngang

nhê 6 thanh (kh«ng träng l−îng) nh− h×nh vÏ. Toµn h×nh cã d¹ng khèi lËp ph−¬ng. T×m øng lùc c¸c thanh. Tr¶ lêi: S1 = S3 = S4 = S5 = 0; S2 = S3 =

H×nh bµi 2-5 2-7.

−P 2

H×nh bµi 2-6

TÊm gç kh«ng träng l−îng chÞu lùc P vµ ®−îc ®ì ë vÞ trÝ n»m ngang nhê 6

thanh (kh«ng träng l−îng) nh− h×nh vÏ. Toµn h×nh cã d¹ng khèi lËp ph−¬ng, t×m øng lùc c¸c thanh.

Tr¶ lêi: S1=P1; S 2 = − P 2 ; S 4 = P 2 ; S 5 = P 2 . S6 = -P. 2-8.

XÐt tÊm gç nh− trong h×nh vÏ, bá qua träng l−îng vµ gi¶ thiÕt chÞu t¸c

dông cña ngÉu lùc m n»m trong mÆt ph¼ng t¸c dông cña tÊm gç. T×m øng lùc c¸c thanh, cho biÕt tÊm gç cã c¹nh a. Tr¶ lêi: S1 = S 4 = 0; S 2 = − S 6 = 2

m m ; S3 = −S5 = − ; a a

H×nh bµi 2-7 2-9.

H×nh bµi 2-8

C¸nh cöa ®ång chÊt h×nh ch÷ nhËt, träng l−îng 200 N l¾p vµo t−êng nhê

gèi cÇu A vµ b¶n lÒ B vµ ®−îc gi÷ c©n b»ng ë vÞ trÝ n»m ngang nhê d©y cung CE nghiªng 600 víi ®−êng th¼ng ®øng AE. BiÕt ®−êng chÐo AC nghiªng 300víi c¹nh AB, t×m ph¶n lùc ë A, B vµ søc c¨ng cña d©y. Tr¶ lêi: T= 200N; XA = 86,6N; YA= 150; ZA=100N; XB= ZB = 0 2-10. C¸nh cöa ch÷ nhËt ABCD ®ång chÊt träng l−îng 120N g¾n víi nÒn nhê hai b¶n lÒ A, B vµ ®−îc ®o c©n b»ngë vÞ trÝ nghiªng 600 víi mÆt n»m ngang nhê thanh (kh«ng träng l−îng) ED(=DA) n»m trong mÆt th¼ng ®øng qua AD. T×m c¸c ph¶n lùc b¶n lÒ vµ øng lùc cña thanh. Tr¶ lêi: S = 34,5N; XA=17,3N; ZA=30N; XB=0; XB=60N.

H×nh bµi 2-9

H×nh bµi 2-10

2-11. C¸nh cöa ®ång chÊt h×nh ch÷ nhËt ABCD, träng l−îng P, chiÒu dµi AB = a 3 , chiÒu réng AD=a, cã trôc quay th¼ng ®øng AB víi hai gèi ®ì cÇu A vµ

b¶n lÒ B. Cöa ®−îc më réng gãc 1200 víi khu«n cöa, ®Çu D chÞu lùc Q n»m song song víi c¹nh d−íi EA cña khu«n, ®Çu C ®−îc gi÷ bëi d©y CE. T×m søc c¨ng cña d©y vµ ph¶n lùc c¸c æ ®ì. P 4

Tr¶ lêi: T = Q 6 ; X A = − + YA = P

3 Q − ; ZA = P + Q 3 12 2

H×nh bµi 2-11

Q 3 (2 − 2) ; 2 XB = −

P Q 3 P 3 ( 2 − 1) ; YD = Q − − 4 2 12

H×nh bµi 2-12

2-12. Trôc AB n»m ngang trªn hai æ ®ì b¶n lÒ A, B, mang theo b¸nh xe C vµ thanh DE ®Òu cã träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ. Trôc c©n b»ng d−íi t¸c dông cña 2 vËt nÆng Q= 250 N treo ë ®Çu d©y cuèn quanh vµnh b¸nh xe vµ P= 1kN g¾n vµo ®Çu E. BiÕt DE nghiªng 300 víi ®−êng th¼ng ®øng, b¸n kÝnh xe lµ 20 m, c¸c kÝch th−íc kh¸c ghi trªn h×nh vÏ. T×m chiÒu dµi DE = l vµ ph¶n lùc c¸c æ ®ì. 65

Tr¶ lêi: l = 10cm; ZA = 300N; ZB = 950N; XA = XB = 0. 2-13. Hai æ A, B (b¶n lÒ) ®ì trôc n»m ngang AB mang theo b¸nh xe C vµ khèi trô AB; b¸n kÝnh b¸nh xe còng cuèn d©y ®Çu tù do treo vËt P = 60N, sau khi vßng qua rßng räc nhá D. KÝch th−íc cho trªn h×nh vÏ, nh¸nh d©y gi÷a b¸nh xe vµ rßng räc n»m trong mÆt ph¼ng cña b¸nh xe vµ nghiªng víi ®−êng kÝnh n»m ngang cña b¸nh xe mét gãc α = 300. T×m Q vµ ph¶n lùc æ ®ì khi c©n b»ng. Tr¶ lêi: Q = 3600, ZA = 160N; ZB = 230N; XA =-69,3N; XB =17,3N. Z T1 C

10cm

50cm P D

Y X

H×nh bµi 2-13

H×nh bµi 2-14

2-14. Trôc th¼ng AB ®−îc ®ì bëi æ b¶n lÒ A vµ æ cèi B, mang theo b¸nh xe C vµ r«to D. Tæng träng l−îng b¸nh xe vµ r«to D lµ Q = 200N. B¸nh xe C cã b¸n kÝnh 10 cm víi 2 nh¸nh ®ai truyÒn song song søc c¨ng T= 100 N vµ T2 = 50 N. T×m ρρ

m« men ngÉu lùc ( P, P * ) cÇn t¸c dông vµo r«to ®Ó cã vÞ trÝ c©n b»ng, c¸c ph¶n lùc ë æ ®ì. KÝch th−íc kh¸c cho trªn h×nh vÏ. Tr¶ lêi: m= 5Nm; ZB = 200N; XA = XB = 0; YB= 10N; YA= -180N. 2-15. DÇm n»m ngang OC ®ång chÊt, träng l−îng P = 1000N dµi 2m, chÞu t¸c ρ ρ

dông cña ngÉu lùc (Q, Q ' ) trong mÆt n»m ngang trÞ sè Q = 100N tay ®ßn EF=20cm. DÇm liªn kÕt víi t−êng nh¬ gèi cÇu O vµ hai d©y AB vµ CD bè trÝ nh− h×nh vÏ. Cho OB = 0,5 m. T×m ph¶n lùc t¹i O vµ søc c¨ng c¸c d©y. Tr¶ lêi: T1 = 1000N; T2 = 80 N; X0= 40N; Y0 = 540 3 N; Z0 = 500N.

E 30o

30o A

y F

Q A

H×nh bµi 2-15

H×nh bµi 2-16

2-16. Thanh ®ång chÊt AA1 = 2r, träng l−îng P bÞ treo bëi hai d©y th¼ng ®øng AB = A1B1 = l. T¸c dông vµo thanh mét m«men ngÉu lùc M trong mÆt n»m ngang lµm thanh bÞ quay mét gãc α quanh trôc trung trùc th¶ng ®øng cña nã (thanh ®−îc n©ng cao nh−ng vÉn n»m ngang ). X¸c ®Þnh m«men M theo gãc α vµ t×m søc c¨ng cña d©y. Tr¶ lêi: m =

Pr 2 sin α l 2 − 4r 2 sin 2

α 2

; T=

2 l 2 − 4r 2 sin 2

α 2

2-17. T¹i bèn ®Ønh A, H, B vµ D cña h×nh lËp ph−¬ng ®Æt 4 lùc b»ng nhau P1=P2=P3=P4=P cã chiÒu nh− h×nh vÏ. H·y thu gän hÖ lùc ®ã vÒ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt, trong ®ã P1 h−íng theo AC, P2 h−íng theo HF, P3 h−íng theo BE, P4 h−íng theo DG. Tr¶ lêi: Hîp lùc b»ng 2P h−íng theo ®−êng chÐo DG. 2-18. TÊm h×nh ch÷ nhËt ®ång chÊt ABCD träng l−îng Q=10N, ®−îc gi÷ c©n b»ng ë vÞ trÝ n»m ngang nhê gèi b¶n lÒ cÇu t¹i B, b¶n lÒ trô t¹i C vµ d©y EF nh− h×nh vÏ. Trªn tÊm t¸c dông lùc P=5N theo ph−¬ng th¼ng ®øng vµ ngÉu lùccã m« men M=20Nm. X¸c ®Þnh lùc c¨ng T cña d©y vµ ph¶n lùc t¹i B vµ C. Cho biÕt DE=BC=0,5m, BC=2m, gãc FEH=300, α = 60 0 . Tr¶ lêi: T=40N; XB=-5,68N; YB=17,3N ZB=7,5N; XC=35,68N; ZC=-10N.

2-19. TÊm h×nh ch÷ nhËt ABCD ®ång chÊt, träng l−îng P, ®−îc gi÷ ë vÞ trÝ n»m ngang nhê sau thanh nh− h×nh vÏ, bá qua träng l−îng c¸c thanh. TÊm chÞu t¸c dông cña lùc Q h−íng däc theo CD vµ cña ngÉu lùc (F, F’). Cho biÕt AD=a, AB=b, chiÒu cao DG=c, gãc BCA=α. LËp c¸c ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh øng lùc trong 6 thanh.

H×nh bµi 2-17

H×nh bµi 2-18

H×nh bµi 2-19

2-20. HÖ hai trôc song song n»m ngang AB vµ CD mang hai b¸nh r¨ng O vµ O’ ¨n khíp víi nhau t¹i I. Cho AB=1m, BO=CO’=O’D=0.5m, b¸n kÝnh hai b¸nh r¨ng b»ng 0.4m, ph¸p tuyÕn chung In cña hai mÆt r¨ng t¹i I nghiªng gãc α víi OO’. TÇng trong cña b¸nh r¨ng O’ cã b¸n kÝnh b»ng 0.2m ®−îc quÊn d©y cã mét ®Çu treo vËt nÆng P=1kN. Bá qua träng l−îng c¸c b¸nh r¨ng vµ r« to, t×m ngÉu lùc cÇn thiÕt M ®Æt vµo r« to trªn trôc AB ®Ó gi÷ cho hÖ c©n b»ng, x¸c ®Þnh ph¶n lùc ë c¸c æ ®ì (b¶n lÒ) A, B, C, D vµ lùc t¸c dông t−¬ng hç t¹i I. P 4

Tr¶ lêi: YC = YD = − cotgα ; Z C = Z D = M = 0.2 P;YA = −

3P P ; NI = ; 4 2 sin α

P P cotgα ; Z A = ; YB = 0.75 Pcotgα ; Z B = −0.75 P. 4 4 n D

O α

O’ I

C P

M H×nh bµi 2-20

Ch−¬ng 3. Bµi to¸n ma s¸t Tr−íc ®©y, khi xÐt liªn kÕt, chóng ta ®· bá qua ma s¸t. §Ó hoµn chØnh b©y giê chóng ta chó ý ®Õn ma s¸t trong çc bµi to¸n c©n b»ng. Trong ch−¬ng nµy chóng ta tiÕp cËn d¹ng bµi to¸n tÜnh mµ liªn kÕt ®Æt lªn vËt lµ liªn kÕt cã ma s¸t. §©y lµ d¹ng bµi to¸n khã, phøc t¹p h¬n nhiÒu so víi bµi to¸n khi bá qua ma s¸t, trong giíi h¹n cã thÓ chóng ta chØ tiÕp cËn bµi to¸n nµy víi çc kÕt qu¶ thùc nghiÖm vÒ ma s¸t vµ çc ®Þnh luËt ma s¸t cña Cu l«ng. Trong qu¸ tr×nh xem xÐt çc bµi to¸n cã lùc ma s¸t, chóng ta sÏ lµm râ mét phÇn ý nghÜa vµ vai trß cña lùc ma s¸t trong çc bµi to¸n c©n b»ng trong phÇn tÜnh häc vµ nã sÏ gióp ta hiÓu thÊu ®¸o h¬n trong çc bµi to¸n cña phÇn ®éng lùc häc sau nµy. 3.1. C¬ së lý thuyÕt 3.1.1. M« h×nh ph¶n lùc liªn kÕt Cho vËt r¾n A tùa lªn vËt r¾n B, gi¶ sö mÆt tùa kh« vµ kh«ng nh½n. Lóc ®ã, ngoµi thµnh phÇn ph¶n lùc liªn kÕt N cã ph−¬ng ph¸p tuyÕn nh− ®· biÕt, vËt A cßn chÞu lùc ma s¸t tr−ît Fms vµ ngÉu lùc ma s¸t l¨n Mms khi vËt A chuyÓn ®éng hoÆc cã khuynh h−íng chuyÓn ®éng ®èi víi vËt B (h×nh 3.1). A N

Mms Fms

§−êng tiÕp xóc

H×nh 3.1

H×nh 3.2

Ph©n tÝch c¸c lùc ma s¸t: Thùc tÕ, khi hai vËt tiÕp xóc, bÒ mÆt tiÕp xóc kh«ng ph¶i lµ mét ®iÓm mµ lµ mét diÖn tÝch nµo ®ã, c¸c lùc liªn kÕt xuÊt hiÖn vµ t¹o thµnh mét hÖ lùc {Ni} (h×nh 3.2), khi thu gän hÖ lùc nµy vÒ mét t©m ta nhËn ®−îc mét thµnh phÇn lùc R b»ng vÐc t¬ chÝnh cña hÖ lùc trªn vµ mét m« men M b»ng m« men chÝnh cña hÖ lùc trªn. VÐc t¬ R kh«ng vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn cña 69

mÆt tiÕp xóc vµ ®−îc ph©n thµnh hai thµnh phÇn N vµ F. Nh− vËy hÖ lùc nªu trªn t−¬ng ®−¬ng víi 2 lùc N, F vµ ngÉu M, lùc N chÝnh lµ ph¶n lùc liªn kÕt khi kh«ng cã ma s¸t, lùc F lµ thµnh phÇn lùc sinh ra khi tÝnh ®Õn ma s¸t vµ ngÉu M chÝnh lµ ngÉu lùc ma s¸t l¨n. 3.1.2. §Þnh luËt ma s¸t tr−ît 1. §Þnh luËt ma s¸t tr−ît tÜnh §Þnh nghÜa ma s¸t tr−ît: Lµ søc c¶n khi cã hiÖn t−îng tr−ît cña mét vËt nµy trªn bÒ mÆt cña mét vËt kh¸c. Ký hiÖu Fms. §Þnh luËt 1: Khi dÞch chuyÓn mét vËt trªn bÒ mÆt mét vËt kh¸c sÏ xuÊt hiÖn lùc ma s¸t ë mÆt ph¼ng tiÕp xóc gi÷a c¸c vËt, lùc nµy cã thÓ cã trÞ sè tõ "0" ®Õn Fgh (lùc ma s¸t giíi h¹n). Lùc ma s¸t cã xu h−íng ng−îc víi chiÒu chuyÓn ®éng cña vËt mµ lùc chñ ®éng t¸c dông cã xu h−íng g©y ra. Fms ≤ Fgh

(3.1)

§Þnh luËt 2: TrÞ sè cña lùc ma s¸t giíi h¹n b»ng tÝch hÖ sè ma s¸t tÜnh víi ¸p lùc ph¸p tuyÕn (hay ph¶n lùc ph¸p tuyÕn). Fms ≤ f 0 N

(3.2)

Trong ®ã f0 - hÖ sè ma s¸t tr−ît tÜnh (®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm), trÞ sè cña hÖ sè ma s¸t tr−ît tÜnh kh«ng phô thuéc vµo diÖn tÝch bÒ mÆt tiÕp xóc mµ phô thuéc vµo vËt liÖu cña c¸c mÆt tiÕp xóc. 2. §Þnh luËt ma s¸t tr−ît ®éng §Þnh luËt: Khi chuyÓn ®éng, lùc ma s¸t tr−ît h−íng ng−îc víi chiÒu cña vËn tèc t−¬ng ®èi cña vËt so víi vËt g©y liªn kÕt vµ cã trÞ sè: Fms ≤ fN

(3.3)

Trong ®ã f - hÖ sè ma s¸t tr−ît ®éng (®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm), trÞ sè cña hÖ sè ma s¸t tr−ît ®éng phô thuéc vµo bÒ mÆt tiÕp xóc, tr¹ng th¸i m«i tr−êng, vËt liÖu cña c¸c mÆt tiÕp xóc vµ vËn tèc chuyÓn ®éng. Trªn h×nh 3.3 chØ ra sù biÕn ®æi cña ma s¸t tr−ît, khi vËt ®øng yªn (V=0), hÖ sè ma s¸t cã gi¸ trÞ b»ng gi¸ trÞ hÖ sè ma s¸t tr−ît tÜnh f0, khi vËt b¾t ®Çu chuyÓn 70

®éng hÖ sè ma s¸t thay ®æi dÇn theo sù biÕn ®æi cña vËn tèc chuyÓn ®éng, lóc nµy nã cã gi¸ trÞ cña hÖ sè ma s¸t tr−ît ®éng f. f

f0 f 0

H×nh 3.3 3. Gãc ma s¸t vµ nãn ma s¸t Gãc nghiªng lín nhÊt cña ph¶n lùc toµn phÇn R khi lùc ma s¸t b»ng lùc ma s¸t tíi h¹n ®−îc gäi lµ gãc ma s¸t ϕ (h×nh 3.4a). R R

ϕ A

A B

Fgh

b) H×nh 3.4

Trong bµi to¸n kh«ng gian, vËt A cã thÓ chuyÓn ®éng theo mäi h−íng trªn bÒ mÆt vËt B, v× vËy ph¶n lùc liªn kÕt cã thÓ n»m tuú ý trong mÆt nãn giíi h¹n bëi gãc ϕ vµ ®−îc gäi lµ nãn ma s¸t (h×nh 3.4b). ¸p dông gãc ma s¸t vµ nãn ma s¸t, ta cã ®iÒu kiÖn c©n b»ng: §iÒu kiÖn c©n b»ng khi cã ma s¸t tr−ît: §iÒu kiÖn ®Ó vËt c©n b»ng lµ ph¶n lùc toµn phÇn cña c¸c liªn kÕt tùa cã ma s¸t tr−ît ph¶i n»m trong nãn ma s¸t. 4. Bµi to¸n c©n b»ng khi cã ma s¸t tr−ît Trong bµi to¸n x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn c©n b»ng khi cã ma s¸t, ta th−êng gÆp hai d¹ng bµi to¸n sau: • D¹ng 1: Kh¶o s¸t tr¹ng th¸i c©n b»ng tíi h¹n vµ lùc ma s¸t cã gi¸ trÞ b»ng lùc ma s¸t tíi h¹n, Fms = Fgh = f 0 N . 71

• D¹ng 2: Kh¶o s¸t tÊt c¶ c¸c vÞ trÝ c©n b»ng cã thÓ ®−îc cña vËt, lóc nµy gi¸ trÞ cña lùc ma s¸t ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: Fms ≤ Fgh = f 0 N . 3.1.3. §Þnh luËt ma s¸t l¨n 1. §Þnh nghÜa ma s¸t l¨n: lµ søc c¶n xuÊt hiÖn khi mét vËt nµy l¨n trªn bÒ mÆt mét vËt kh¸c. Ký hiÖu Ml. N

N C

C Fms

Fms

b) H×nh 3.5

XÐt con l¨n b¸n kÝnh R, träng l−îng P n»m trªn mÆt ph¼ng ngang nh¸m. T¸c dông vµo trôc con l¨n lùc Q ≤ Fgh. T¹i A xuÊt hiÖn lùc Fms = Q, ng¨n kh«ng cho con l¨n tr−ît trªn mÆt ph¼ng, gi¶ thiÕt ph¶n lùc ph¸p N còng ®Æt t¹i A, ta cã N = P (h×nh 3.5a). Nh− vËy Q vµ Fms t¹o thµnh mét ngÉu vµ cho dï Q cã nhá ®Õn mÊy th× con l¨n vÉn cã thÓ l¨n trªn mÆt ph¼ng. Thùc tÕ, chØ khi lùc Q ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nhÊt ®Þnh nµo ®ã (Qgh) th× con l¨n míi b¾t ®Çu l¨n. §iÒu nµy cã thÓ gi¶i thÝch nh− sau: hai vËt tiÕp xóc víi nhau trªn mét diÖn tÝch AB, khi t¸c ®éng lùc Q, vËt sÏ bÞ biÕn d¹ng ¸p lùc t¹i A gi¶m, t¹i B t¨ng lªn vµ diÖn tÝch tiÕp xóc còng t¨ng dÇn lªn, ph¶n lùc N lóc nµy ®Æt t¹i ®iÓm B, ngÉu (N, P) c©n b»ng víi ngÉu (Q, Fms) c¶n l¹i xu h−íng l¨n (h×nh 3.5b). Khi lùc Q ®¹t gi¸ trÞ giíi h¹n, kho¶ng c¸ch AB = k, khi ®ã ta cã: Qgh R = Nk

hay: Qgh =

k N. R

(3.4) (3.5)

§¹i l−îng k trong c«ng thøc trªn ®−îc gäi lµ hÖ sè ma s¸t l¨n, cã thø nguyªn ®é dµi (trong ®a sè tr−êng hîp, tû sè k/R nhá h¬n nhiÒu so víi hÖ sè ma s¸t tÜnh f0). 72

2. §Þnh luËt ma s¸t l¨n: NgÉu lùc ma s¸t l¨n xuÊt hiÖn khi cã xu h−íng l¨n t−¬ng ®èi cña mét vËt trªn bÒ mÆt mét vËt kh¸c, cã chiÒu ng−îc víi chiÒu cña xu h−íng l¨n vµ cã gi¸ trÞ: M l ≤ kN . 3. M« h×nh ph¶n lùc khi cã ma s¸t l¨n: Khi gi¶i c¸c bµi to¸n cã ma s¸t l¨n, ta ¸p dông hai d¹ng m« h×nh sau ®©y: D¹ng 1: Ngoµi c¸c lùc vµ ph¶n lùc th«ng th−êng, ta thªm vµo ®¹i l−îng ma s¸t l¨n (h×nh 3.6a). HÖ lùc t¸c dông lªn vËt lóc nµy lµ (P, Q, N, Fms, Ml) vµ coi M l ≤ kN . N C Fms

C Fms

Ml A

b) H×nh 3.6

D¹ng 2: Coi ph¶n lùc N bÞ dêi mét ®o¹n h vÒ phÝa cã xu h−íng l¨n cña vËt (h×nh 3.6b), hÖ lùc t¸c dông lóc nµy lµ ((P, Q, N, Fms) vµ h≤ k. 3.2. H−íng dÉn ¸p dông 3.2.1. Ph©n lo¹i çc bµi to¸n ma s¸t Çc bµi to¸n cã ma s¸t ®−îc ph©n lo¹i nh− sau: 1. Bµi to¸n mét vËt vµ hÖ vËt. 2. Bµi to¸n ma s¸t tr−ît vµ ma s¸t l¨n. 3. Bµi to¸n thuËn: x¸c ®Þnh ph¶n lùc ®Ó hÖ c©n b»ng. 4. Bµi to¸n ng−îc: t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ c©n b»ng. Trong bµi to¸n nµy ta chia ra çc d¹ng sau: • Bµi to¸n t×m vÞ trÝ c©n b»ng. • Bµi to¸n t×m ®iÒu kiÖn lùc ho¹t ®éng ph¶i tho¶ m·n ®Ó cã c©n b»ng. • Bµi to¸n tù h·m: t×m ®iÒu kiÖn (çc th«ng sè h×nh häc) ®Ó cã c©n b»ng, dï lùc ho¹t ®éng rÊt lín. 73

3.2.2. Tr×nh tù vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i Tr×nh tù gi¶i: Bµi to¸n ma s¸t ®−îc gi¶i theo hai b−íc nh−ng cã nhiÒu ®Æc ®iÓm cÇn chó ý. B−íc 1: §Æt lùc: ngoµi lùc ho¹t ®éng vµ çc ph¶n lùc th«ng th−êng ta ph¶i thªm lùc ma s¸t tr−ît vµ ngÉu lùc ma s¸t l¨n. §Ó vÏ ®óng chiÒu cña lùc ma s¸t, ph¶i x¸c ®Þnh xu h−íng tr−ît vµ l¨n cña çc vËt. B−íc 2: LËp çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng: lËp çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng ®èi víi hÖ lùc nh− ®· biÕt; ®−a vµo ®iÒu kiÖn ®èi víi çc lùc ma s¸t. Nh− vËy, çc ®iÒu kiÖn c©n b»ng ë bµi to¸n cã ma s¸t t¨ng lªn, do ®ã viÖc gi¶i còng sÏ phøc t¹p h¬n. Ph−¬ng ph¸p gi¶i 1. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch: VÏ lùc vµ ngÉu lùc ma s¸t, lËp çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng vµ viÕt çc ®iÒu kiÖn ma s¸t, cã thÓ theo mét trong ba d¹ng sau: • D¹ng 1: Gi÷ nguyªn bÊt ®¼ng thøc ma s¸t vµ gi¶i hÖ thèng hçn hîp gåm çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng vµ çc bÊt ph−¬ng tr×nh ma s¸t. Ph−¬ng ph¸p nµy rÊt thuËn lîi khi chØ cã mét bÊt ®¼ng thøc ma s¸t. • D¹ng 2: XÐt hÖ ë tr¹ng th¸i tíi h¹n (hÖ s¾p tr−ît hoÆc l¨n). Khi ®ã thay cho bÊt ®¼ng thøc ma s¸t, chóng ta cã ®¼ng thøc Fms = Fgh = f 0 N vµ M l = kN , hÖ hçn hîp nãi trªn trë thµnh hÖ thuÇn ph−¬ng tr×nh vµ cho phÐp t×m Èn lµ hµm cña çc hÖ sè ma s¸t. ChiÒu cña bÊt ®¼ng thøc ®−îc x¸c ®Þnh nhê kinh nghiÖm hoÆc dùa vµo chiÒu biÕn thiªn cña çc hµm nhËn ®−îc. • D¹ng 3: XÐt hÖ ë tr¹ng th¸i ch−a tíi h¹n nh−ng viÕt ®iÒu kiÖn ma s¸t d−íi d¹ng ®¼ng thøc víi çc hÖ sè ma s¸t (f' hay h) nhá h¬n hÖ sè ma s¸t thùc. Chóng ta còng ®−îc hÖ thuÇn ph−¬ng tr×nh vµ cho Èn lµ hµm cña f' (h). Thay f' (h) b»ng f0 (k) vµ viÕt l¹i ®iÒu kiÖn c©n b»ng d−íi d¹ng bÊt ®¼ng. 2. Ph−¬ng ph¸p h×nh häc: ¸p dông cho bµi to¸n cã ma s¸t tr−ît, theo ph−¬ng ph¸p nµy chóng ta vÏ nãn ma s¸t (kh«ng vÏ ph¶n lùc ph¸p vµ lùc ma s¸t), x¶y ra hai tr−êng hîp sau: 74

• Tr−êng hîp cã mét nãn ma s¸t: Khi c©n b»ng ph¶n lùc toµn phÇn c©n b»ng víi lùc ho¹t ®éng. Nh−ng ph¶n lùc toµn phÇn n»m trong nãn ma s¸t nªn lùc ho¹t ®éng còng ph¶i cã tÝnh chÊt ®ã. VËy ®iÒu kiÖn c©n b»ng lµ lùc ho¹t ®éng n»m trong nãn ma s¸t. • Tr−êng hîp cã hai nãn ma s¸t: X¸c ®Þnh phÇn giao cña hai nãn ma s¸t. §iÒu kiÖn c©n b»ng lµ lùc ho¹t ®éng ph¶i c¾t phÇn giao nªu trªn (v× ph¶i ®ång quy vÒ giao ®iÓm cña hai ph¶n lùc toµn phÇn lµ ®iÓm ch¾c ch¾n n»m trong phÇn giao cña hai nãn ma s¸t). 3.3. Bµi gi¶i mÉu VÝ dô 3-1 H·y x¸c ®Þnh gãc nghiªng α cña mÆt ph¼ng nghiªng ®Ó vËt n»m trªn nã c©n b»ng, nÕu hÖ sè ma s¸t cña vËt víi mÆt ph¼ng lµ f0? Bµi gi¶i Ta ¸p dông gi¶i bµi to¸n nµy b»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch, theo ®Çu bµi yªu cÇu ph¶i x¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c vÞ trÝ c©n b»ng cña vËt. V× vËy, tr−íc tiªn ta x¸c ®Þnh vÞ trÝ c©n b»ng tíi h¹n cña vËt, lóc ®ã gãc α = αgh . HÖ lùc t¸c dông lªn vËt (P, N, Fgh) c©n b»ng

Fgh

(h×nh 3-7), v× vËy ta cã quan hÖ: Fgh = N tgα gh

(a)

MÆt kh¸c theo ®Þnh luËt cña ma s¸t tr−ît, t¹i thêi ®iÓm tíi h¹n gi¸ trÞ lùc ma s¸t b»ng: Fgh = f 0 N

(b)

KÕt hîp (a) vµ (b) ta cã: tgα gh = f 0

α P

H×nh 3-7

(c)

XÐt biÓu thøc (c), nÕu gi¶m f0 th× αgh còng gi¶m theo, v× vËy ta kÕt luËn r»ng sù c©n b»ng còng cã thÓ x¶y ra khi α < αgh. VËy tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña gãc α mµ vËt sÏ c©n b»ng ®−îc x¸c ®Þnh theo bÊt ®¼ng thøc sau: tgα ≤ f 0

(d) 75

VÝ dô 3-2 Thang AB tùa trªn t−êng vµ sµn nhµ, cho biÕt hÖ sè ma s¸t cña thang víi t−êng vµ sµn lµ f0 . H·y x¸c ®Þnh gãc nghiªng cña thang víi t−êng ®Ó cã thÓ trÌo tíi ®Ønh thang. Bá qua träng l−îng cña thang. Bµi gi¶i Ta ¸p dông ph−¬ng ph¸p h×nh häc ®Ó gi¶i bµi to¸n nµy. Gi¶ sö thang n»m t¹i vÞ trÝ c©n b»ng tíi h¹n (h×nh 3-8), thang chÞu t¸c dông cña çc ph¶n lùc RA vµ RB, çc lùc nµy n»m lÖch víi çc ph¸p tuyÕn mét gãc b»ng gãc ma s¸t ϕ. §−êng t¸c dông cña çc ph¶n lùc c¾t nhau t¹i K. Do ®ã, khi c©n b»ng th× lùc thø ba P t¸c dông lªn

K ϕ

thang còng ph¶i ®i qua ®iÓm nµy. Bëi vËy, theo h×nh

C RA

vÏ ng−êi chØ lªn ®−îc cao nhÊt ®Õn ®iÓm C. Muèn trÌo lªn ®Õn ®iÓm B th× b¾t buéc ®iÓm giao cña hai ph¶n lùc ph¶i n»m trªn ®−êng BO hoÆc bªn tr¸i ®−êng nµy, ®iÒu nµy chØ x¶y ra khi ®−êng t¸c dông cña ph¶n lùc

P O

ϕ A

H×nh 3-8

RA c¾t ®iÓm B hoÆc n»m d−íi ®iÓm ®ã. VËy, ®Ó lªn hÕt thang, gãc nghiªng cña thang ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: α ≤ϕ

VÝ dô 3-3 Thanh AD träng l−îng kh«ng ®¸ng kÓ, n»m ngang trªn hai gèi ®ì B vµ C, hÖ sè ma s¸t tr−ît gi÷a thanh vµ c¸c gèi lµ f. T¹i D thanh chÞu lùc kÐo Q nghiªng víi thanh mét gãc α. Cho biÕt BC=2CD=2a. X¸c ®Þnh gãc α ®Ó xuÊt hiÖn hiÖn t−îng tù h·m cho dï lùc Q rÊt lín. Bµi gi¶i Ta lÇn l−ît ¸p dông c¶ hai ph−¬ng ph¸p ®Ó gi¶i. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch: HÖ lùc t¸c dông lªn thanh bao gåm: (Q, N1, N2, F1, F2), thanh ë tr¹ng th¸i c©n b»ng, ta cã c¸c ph−¬ng tr×nh sau (h×nh 3-9a):

∑F

= Q cos α − F1 − F2 = 0;

(a)

∑F

= Q sin α + N1 − N 2 = 0;

(b)

( Fk ) = aQ cos α − 2aN1 = 0.

(c)

∑m

C¸c ®iÒu kiÖn ¸p ®Æt lªn c¸c lùc ma s¸t ®−îc sö dông ë d¹ng sau: F1 = f1 N1; F2 = f 2 N 2 ,

trong ®ã: f1 ≤ f ; f 2 ≤ f . Thay gi¸ trÞ cña F1 vµ F2 vµo c¸c ph−¬ng tr×nh (a, b, c), ta nhËn ®−îc: tgα =

2 . f1 + 3 f 2

(d)

Q F2

F1 N2

H×nh 3-9a Khi t¨ng c¸c gi¸ trÞ f1, f2 lªn trÞ sè f, vÕ ph¶i cña (d) sÏ gi¶m tgα ≥

⎛ 1 2 1 = hay α ≥ arctg ⎜⎜ f +3f 2f ⎝2f

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(e)

Trong biÓu thøc (e), ®iÒu kiÖn c©n b»ng kh«ng phô thuéc lùc Q, v× vËy khi gãc α tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn th× lu«n x¶y ra hiÖn t−îng tù h·m. Ph−¬ng ph¸p h×nh häc: T¹i hai ®iÓm B vµ C ta vÏ hai nãn ma s¸t, hai nãn cã phÇn giao lµ phÇn g¹ch chÐo, ®Ønh E. §Ó hÖ c©n b»ng, lùc Q ph¶i cã ®−êng t¸c dông c¾t phÇn giao nµy (h×nh 3-9b). Q B

H×nh 3-9b 77

Gãc nghiªng cña ®−êng ED víi ph−¬ng ngang chÝnh lµ gãc tíi h¹n cña lùc Q, ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: tgα =

1 EH actgϕ = = HD 2a 2f

(f)

VËy, hÖ lu«n c©n b»ng khi gãc nghiªng cña lùc Q lu«n lín h¬n gi¸ trÞ trong biÓu thøc (f). Tù h·m lu«n x¶y ra v× dï t¨ng trÞ sè Q, ®−êng t¸c dông cña lùc Q vÉn c¾t phÇn giao. VÝ dô 3-4 (Ma s¸t cña d©y ®èi víi mÆt trô) Cho lùc P t¸c dông vµo ®Çu mét sîi d©y v¾t qua mét trô trßn b¸n kÝnh R. H·y x¸c ®Þnh lùc Q nhá nhÊt cÇn ph¶i t¸c dông vµo ®Çu d©y kia ®Ó d©y c©n b»ng, biÕt gãc «m cña d©y quanh trô lµ α (h×nh 3-10). Bµi gi¶i

XÐt d©y ë tr¹ng th¸i c©n b»ng tíi h¹n, tr−íc

(T+dT)

tiªn, ta xÐt c©n b»ng cña ®o¹n d©y DE cã chiÒu dµi dl=Rdθ, víi R lµ bµn kÝnh cña trô. HiÖu søc

c¨ng cña d©y t¹i c¸c ®iÓm D vµ E lµ dT ®−îc c©n b»ng bëi lùc ma s¸t dF=f0N. VËy ta cã:

dθ/2

dθ

T A

O P Q

DT= f0N §Ó x¸c ®Þnh dN, ta chiÕu c¸c lùc lªn trôc y: dN = T sin

dθ/2

H×nh 3-10

dθ dθ dθ + (T + dT ) sin = 2T + Tdθ (a) 2 2 2

Thay gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc cña dT, ta cã: dT = f 0Tdθ

(b)

Chia hai vÕ cho T råi lÊy tÝch ph©n vÕ tr¸i tõ 0 ®Õn α, vÕ ph¶i tõ P ®Õn Q, ta nhËn ®−îc: P

dT P ∫Q T = f 0 ∫0 dθ ⇒ ln Q = f 0α

Tõ ®ã ta cã: 78

(c)

P = e f 0α hay Q = Pe − f 0α Q

(d)

Theo (d) ta nhËn thÊy lùc Q cÇn t×m chØ phô thuéc vµo hÖ sè ma s¸t f0 vµ gãc «m α, kh«ng phô thuéc vµo b¸n kÝnh cña trô. Khi kh«ng cã ma s¸t, ta cã: P=Q ®óng nh− trong liªn kÕt d©y th«ng th−êng. Mét ®iÓm quan träng trong øng dông thùc tÕ lµ cµng t¨ng gãc α (cµng cuèn d©y nhiÒu vßng) th× cµng gi¶m ®−îc lùc Q ®Ó gi÷ cho hÖ c©n b»ng. C«ng thøc (d) ®−îc gäi lµ c«ng thøc ¥le dïng ®Ó x¸c ®Þnh tû sè gi÷a søc c¨ng P vµ Q ë çc phÇn d©y curoa truyÒn ®éng ®Õn puli nÕu nh− kh«ng cã hiÖn t−îng tr−ît. VÝ dô 3-5 Cho c¬ cÊu h·m dïng d©y ®ai nh− h×nh vÏ. R« to chÞu mét ngÉu cã gi¸ trÞ M, b¸n kÝnh cña r« to lµ R. T×m ®iÒu kiÖn cña lùc F t¸c dông vµo ®Çu ®ßn B vµ vu«ng gãc víi ®ßn ®Ó c¬ cÊu c©n b»ng, cho biÕt hÖ sè ma s¸t tr−ît gi÷a ®ai vµ mÆt r« to lµ f0. Bµi gi¶i Kh¶o s¸t c¬ cÊu h·m c©n b»ng ë tr¹ng th¸i tíi h¹n. Coi c¬ cÊu gåm hai vËt r¾n n»m c©n b»ng: ®ßn AB vµ r«to cïng ®ai da. Sö dông ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt, çc lùc t¸c dông lªn çc vËt ®−îc chØ ra trªn h×nh vÏ (h×nh 3-11). XÐt sù c©n b»ng cña r« to, ¸p dông ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña ®ßn, ta cã: ρ

= M − R(T2 − T1 ) = 0 .

∑m

(a)

XÐt ®ßn AB, ®iÒu kiÖn c©n b»ng cã d¹ng: ρ

∑m

= RT2' − 2 RF = 0 .

(b)

R1 R

2R O1

T2’

T1’

M O

H×nh 3-11 Ngoµi ra, ta cã c¸c hÖ thøc sau: T2 = T2'

(c)

T2 = T1e f0α (c«ng thøc ¥le)

(d)

KÕt hîp c¸c c«ng thøc trªn, ta nhËn ®−îc ®iÒu kiÖn c©n b»ng tíi h¹n:

(

)

M = 2 RF 1 − e − f0α .

§Ó t×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng tæng qu¸t, ta thay thÕ f0 b»ng gi¸ trÞ k≤f0, ta nhËn ®−îc kÕt qu¶:

(

)

M ' = 2 RF (1 − e − kα ) ≤ 2 RF 1 − e − f 0α .

VËy ®iÒu kiÖn c©n b»ng tæng qu¸t lµ: F≥

M . 2 R 1 − e − f0α

(

)

VÝ dô 3-6 (bµi to¸n ma s¸t l¨n) §Æt mét khèi trô trßn ®ång chÊt träng l−îng P, b¸n kÝnh R trªn mÆt ph¼ng nghiªng víi ph−¬ng ngang mét gãc α, sao cho ®−êng sinh cña khèi trô vu«ng gãc víi ®−êng dèc chÝnh cña mÆt ph¼ng nghiªng. T¸c dông lªn trôc cña khèi trô ®ã lùc Q song song víi mÆt ph¼ng nghiªng. Cho biÕt hÖ sè ma s¸t tr−ît lµ f vµ hÖ sè ma s¸t l¨n lµ k. 1. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô ®ã kh«ng l¨n xuèng? 2. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô l¨n kh«ng tr−ît ®i lªn theo mÆt ph¼ng nghiªng? 80

Gi¶i Kh¶o s¸t khèi trô ë tr¹ng th¸i c©n b»ng, tuú tõng tr−êng hîp, ta cã c¸c m« h×nh lùc t¸c dông nh− h×nh vÏ, ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña khèi trô d−íi t¸c dông cña hÖ lùc:

(Pρ, Qρ, Nρ, Fρ, Mρ ) ≡ 0

(a)

trong ®ã: N - ph¶n lùc ph¸p tuyÕn, F - lùc ma s¸t tr−ît, M - ngÉu lùc ma s¸t l¨n. LÇn l−ît kh¶o s¸t c¸c tr−êng hîp: 1. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô kh«ng l¨n xuèng (h×nh 3-12 a): y

Q O

F M

H×nh 3-12 a

P F

H×nh 3-12 b

Tõ ®iÒu kiÖn (a), ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau: ⎧∑ FX = Q − P sin α + F = 0 ⎪ ⎪∑ FY = − P cos α + N = 0 ⎨ ⎪∑ m A = −QR + PR sin α − M = 0 ⎪ ⎩ F ≤ fN , M ≤ kN

(b)

Tõ ba ph−¬ng tr×nh ®Çu cña (b), ta x¸c ®Þnh ®−îc: N = P cos α , F = P sin α − Q, M = R(P sin α − Q )

Thay thÕ c¸c gi¸ trÞ trªn vµo ®iÒu kiÖn cuèi cña (b), ta x¸c ®Þnh ®−îc ®iÒu kiÖn ®èi víi lùc Q:

Q ≥ P(sin α − f cos α ), k ⎛ ⎞ Q ≥ P⎜ sin α − cos α ⎟. R ⎝ ⎠

Th«ng th−êng ta cã

k < f , nªn ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô kh«ng tr−ît vµ kh«ng R

l¨n xuèng lµ: k ⎞ ⎛ Q ≥ P⎜ sin α − cos α ⎟. R ⎠ ⎝

2. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô l¨n kh«ng tr−ît ®i lªn (h×nh 3-12b): Ta còng kh¶o s¸t khèi trô c©n b»ng d−íi t¸c dông cña hÖ lùc c©n b»ng nh− ®iÒu kiÖn (a). Dùa vµo h×nh vÏ, ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau: ⎧∑ FX = Q − P sin α − F = 0 ⎪ ⎪∑ FY = − P cos α + N = 0 ⎨ ⎪∑ m A = −QR + PR sin α + M = 0 ⎪ ⎩ F ≤ fN , M ≥ kN

(c)

Tõ ba ph−¬ng tr×nh ®Çu ta x¸c ®Þnh ®−îc: N = P cos α , F = Q − P sin α , M = R(Q − P sin α )

Thay thÕ vµo ®iÒu kiÖn thø 4 cña (c), ta ®−îc kÕt qu¶ sau: Q − P sin α ≤ fP cos α , R(Q − P sin α ) ≥ kP cos α .

KÕt hîp hai ®iÒu kiÖn trªn, ta cã ®iÒu kiÖn chung ®Ó h×nh trô l¨n kh«ng tr−ît lªn phÝa trªn lµ: sin α +

NhËn xÐt: v×

k Q cos α ≤ ≤ sin α + f cos α . R P

k < f , nªn ta lu«n t×m ®−îc gi¸ trÞ cña Q tho¶ m·n ®iÒu kiÖn R

trªn. VÝ dô 3-7 Xe goßng chÞu t¸c dông cña lùc kÐo F, ch¹y trªn ®−êng ray th¼ng n»m ngang (H×nh 3-13). Th©n xe cã träng l−îng P, mçi cÆp b¸nh xe cã träng l−îng Q vµ b¸n kÝnh r. HÖ sè ma s¸t l¨n gi÷a b¸nh xe vµ ®−êng ray lµ k. Bá qua ma s¸t t¹i 82

c¸c trôc b¸nh xe, coi c¸c b¸nh xe lµ ®Üa trßn ®ång chÊt. T×m trÞ sè cña lùc F ®Ó xe chuyÓn ®éng ®Òu. F P O

Q H

H×nh 3-13 Bµi gi¶i Khi xe chuyÓn ®éng ®Òu trªn ®−êng th¼ng, th× tÊt c¶ çc lùc t¸c dông lªn hÖ ph¶i tho· m·n ®iÒu kiÖn c©n b»ng tÜnh häc, nh− vËy ta cã thÓ coi xe nh− ®ang ®øng yªn. Sö dông ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt, ®Æt çc lùc t¸c dông vµo tõng vËt nh− h×nh vÏ 3-14, víi chó ý r»ng çc ngÉu lùc ma s¸t l¨n t¸c dông vµo çc cÆp b¸nh xe ®Òu cã gi¸ trÞ m« men ®¹t gi¸ trÞ tíi h¹n: M = kN ; M 1 = kN1 . Chän hÖ trôc to¹ ®é nh− h×nh vÏ, lÇn l−ît thiÕt lËp çc ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cho tõng vËt.

YO’ F

YO1

Fms

Q M

XO1’

XO1 YO

XO’

P XO

YO1’

Fms1

M1 N1

H×nh 3-14

§èi víi th©n xe:

⎧⎪∑ FX = F − ( X O + X O1 ) = 0 ⎨ ⎪⎩∑ FY = − P + (YO + YO1 ) = 0

(a)

§èi víi b¸nh xe thø nhÊt ⎧⎪∑ Fy = N − Q − YO = 0 ⎨ ⎪⎩∑ mK = kN − X O r = 0

(b)

§èi víi b¸nh xe thø nhÊt

⎧⎪∑ Fy = N1 − Q − YO1 = 0 ⎨ ⎪⎩∑ mH = kN1 − X O1r = 0

(c)

Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ta t×m ®−îc: YO + YO1 = P N + N1 = 2Q + YO + YO1 = 2Q + P k (N + N1 ) = k (2Q + P ) r r k F = X O + X O1 = (2Q + P ) r X O + X O1 =

NhËn xÐt: trong chuyÓn ®éng l¨n cña b¸nh xe, ngÉu lùc ma s¸t l¨n sÏ ®¹t gi¸ trÞ tíi h¹n tr−íc, v× vËy trong nh÷ng bµi to¸n d¹ng nµy ta sö dông ®iÒu kiÖn tíi h¹n ®èi víi ma s¸t l¨n. 3.4. Bµi tËp 3-1. GhÐp hai tÊm kim lo¹i b»ng bul«ng. Gi¶ thiÕt cã khe hë gi÷a bul«ng vµ c¸c tÊm thÐp. T×m lùc bul«ng cÇn Ðp vµo hai tÊm thÐp ®Ó lùc ma s¸t gi÷a chóng ®ñ møcchèng l¹i hai lùc kÐo P = 2kN, cã t¸c dông kh«ng cho hai tÊm thÐp tr−ît ®èi víi nhau. Cho hÖ sè ma s¸t tr−ît f = 0,2. Tr¶ lêi: ≥ 10kN. Q A A

P B

H×nh bµi 3-1

H×nh bµi 3-2

3-2. Trôc A, träng l−îng Q, ®Æt trªn m¸ng tr−ît n»m ngang B t¹o bëi hai mÆt nghiªng hîp víi nhau mét gãc θ nh− h×nh vÏ. Cho hÖ sè ma s¸t tr−ît f. T×m lùc n»m ngang P cã thÓ kÐo tr−ît trô A. Tr¶ lêi: P ≥ fQ / sin 84

θ 2

3-3. VËt B cã träng l−îng P n»m trªn mét mÆt kh«ng nh½n cã d¹ng mét phÇn t− cung trßn vµ ®−îc gi÷ c©n bµng nhê lùc kÐo T ®Æt vµo d©y BAD. Cho hÖ sè ma s¸t tr−ît f = tgϕ. T×m lùc kÐo T. Tr¶ lêi: P

sin(α + ϕ) sin(α − ϕ) ≤T≤ π + 2α π + 2α sin( − ϕ) sin( + ϕ) 4 4

3-4. Thanh ®ång chÊt AB cã träng l−îng B , tùa trªn nÒn kh«ng nh½n ë ®Çu A vµ ®−îc gi÷ c©n b»ng ë tr¹ng th¸i nghiªng 450 nhê d©y BC. T×m gãc nghiªng ϕcña d©y khi thanh ë tr¹ng th¸i s¾p tr−ît. Tr¶ lêi: tgϕ = 2 +

1 f

H×nh bµi 3-3

45o

H×nh bµi 3-4

3-5. Thanh nÆng ®ång chÊt AB, hai ®Çu tùa nªn vßng trßn kh«ng nh½n b¸n kÝnh a. BiÕt hÖ sè ma s¸t tr−ît lµ f , kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn thanh lµ OC = b, x¸c ®Þnh gãc nghiªng cña OC víi ®−êng kÝnh th¼ng ®øng cña ®−êng trßn. Tr¶ lêi: ctgϕ ≥

b 2 (1 + f 2 ) −f a 2f

B O

a b

30 o B

H×nh bµi 3-5

H×nh bµi 3-6

3-6. Trªn mÆt ph¼ng nghiªng 300 víi mÆt ph¼ng n»m ngang cña hai vËt A vµ B, träng l−îng 200 N vµ 400 N nèi víi nhau b»ng mét sîi d©y. BiÕt hÖ sè ma s¸t gi÷a A vµ B víi mÆt ph¼ng nghiªng lµ fA = 0,5 vµ fB = 2/3. HÖ hai vËt c©n b»ng kh«ng? T×m søc c¨ng T cña sîi d©y vµ trÞ sè c¸c lùc ma s¸t. Tr¶ lêi: HÖ c©n b»ng; FA = 86,6 N; FB = 213,4 N; T = 13,4N. 3-7. Lùc n»m ngang P ®Æt vµo nªm A lµm cho nã cã xu h−íng tr−ît sang ph¶i vµ ®Èy cÇn BCD tr−ît th¼ng ®øng lªn cao; cÇn nµy ®−îc ®Þnh h−íng b»ng hai gi¸ ®ì C vµ D. BiÕt gãc nghiªng cña nªm lµ α, ®o¹n BC = CD, t×m lùc Q ph¶i nÐn xuèng cÇn ®Ó cã c©n b»ng. 1- Khi bá qua ma s¸t. 2- Khi ma s¸t cã hÖ sè f t¹i C vµ D vµ cÇn BD ë tr¹ng th¸i s¾p tr−ît lªn cao. Trong ®iÒu kiÖn nµo x¶y ra tù h·m (c©n b»ng dï Q = 0 mµ P rÊt lín). Tr¶ lêi: 1. Q = Pctg α. 2. Q = P(ctgα - 3f); cotgα≤3f hay α ≥ arctg3f. Q

C B P A

H×nh bµi 3-7 86

3-8. B¸nh xe O cã xu h−íng ®Þnh quay d−íi t¸c dông cña ngÉu m. §Ó gi÷ c©n b»ng, dïng lùc Q th¼ng ®øng ®Æt t¹i ®Çu C cña ®ßn n»m ngang AC quay ®−îc quanh trôc A ®Ó ¸p m¸ h·m B vµo vµnh b¸nh xe. BiÕt hÖ sè ma s¸t f = 0,1, tû sè AB = 0,2 , b¸n kÝnh b¸nh xe R = 0.4m, m«men m = 10 kNm. X¸c ®Þnh lùc Q. AC

Tr¶ lêi: Q ≥ 5kN.

O r

H×nh bµi 3-8

H×nh bµi 3-9

3-9. M¸y d¸t kim lo¹i dïng hai trôc çn O vµ O’ quay ng−îc chiÒu nhau. BiÕt b¸n kÝnh mçi trôc çn lµ r, kho¶ng çch OO’ = 2d, hÖ sè ma s¸t gi÷a trôc çn vµ tÊm kim lo¹i lµ f = tgϕ. T×m bÒ dµy lín nhÊt 2a cña nh÷ng tÊm kim lo¹i mµ m¸y cã thÓ d¸t ®−îc. Tr¶ lêi: a = 2(d -rcosϕ) 3-10. Trªn mÆt n»m ngang cã b¸nh xe ®ång chÊt t©m O, b¸n kÝnh R1 träng l−îng P, chÞu lùc kÐo Q nghiªng gãc α víi mÆt n»m ngang vµ h−íng xuèng d−íi, ®Æt t¹i ®iÓm A trªn ®−êng th¼ng ®øng qua O. BiÕt OA = a, hÖ sè ma s¸t tr−ît f, hÖ sè ma s¸t l¨n k,t×m gãc nghiªng α ®Ó cã c©n b»ng. ⎛ ⎝

Tr¶ lêi: ctgα ≤ min⎜ f

k ⎞ ⎟ R+a⎠

3-11. Trªn mÆt n»m ngang cã b¸nh xe ®ång chÊt t©m O, b¸n kÝnh R, träng l−îng P, chÞu ngÉu lùc m vµ lùc Q. BiÕt hÖ sè ma s¸t tr−ît f, hÖ sè ma s¸t l¨n k. X¸c ®Þnh trÞ sè m«men m vµ trÞ sè Q ®Ó b¸nh xe c©n b»ng. Tr¶ lêi: Q ≤ fP; m ≤ kP+QR ≤ (k+fR)P

H×nh bµi 3-10

H×nh bµi 3-11

3-12. Sµn träng l−îng P n»m trªn hai b¸nh xe A vµ B. Hai b¸nh xe nµy ®ång chÊt cïng b¸n kÝnh R, träng l−îng P, l¨n kh«ng tr−ît trªn mÆt ®−êng n»m ngang. BiÕt gi÷a b¸nh xe víi sµn vµ víi mÆt ®−êng cã ma s¸t tr−ît hÖ sè f vµ ma s¸t l¨n hÖ sè k. VÞ trÝ träng t©m sµn cho trªn h×nh vÏ. X¸c ®Þnh lùc kÐo n»m ngang Q cÇn ®Æt vµo sµn ®Ó xe ë tr¹ng th¸i s¾p l¨n kh«ng tr−ît. Tr¶ lêi: Q =

k ( P + p ) ≤ fP R

b G Q P

H×nh bµi 3-12 3-13. Xe « t« A träng l−îng P ®ç trªn mÆt ph¼ng nghiªng. ChiÒu cao träng t©m C cña xe so víi mÆt ®−êng b»ng h, hÖ sè ma s¸t gi÷a çc b¸nh víi mÆt ®−êng f. Kho¶ng çch gi÷a çc b¸nh xe b»ng 2b. T×m gi¸ trÞ cña gãc nghiªng α t¹o bëi mÆt ®−êng víi ph−¬ng n»m ngang sao cho xe A tr−ît vµ lËt ®æ. Tr¶ lêi: Xe bÞ lËt ®æ : f > tgα >

b b ; Xe bÞ tr−ît bªn: > tgα > f 2h 2h

H×nh bµi 3-13

H×nh bµi 3-14

3-14. Con l¨n A ®ång chÊt b¸n kÝnh R, träng l−îng P ®−îc ®Æt trªn mÆt

ph¼ng ngang vµ tùa vµo gê ch¾n cã ®é cao h so víi mÆt ®Êt. HÖ sè ma s¸t tr−ît gi÷a vËt A víi mÆt ®Êt vµ gê ch¾n ®Òu b»ng f. T×m gi¸ trÞ m«men lín nhÊt cña ngÉu lùc t¸c dông lªn vËt A, ®Ó vËt c©n b»ng. Tr¶ lêi: M =

RfP ( f + cos α − f sin α ) R−h ; sin α = 2 R (1 + f ) cos α

3-15. Tay quay OA chiÒu dµi λ nèi b¶n lÒ víi con tr−ît A n»m bªn trong cu – lis. Cu – lis cã thÓ chuyÓn ®éng theo ph−¬ng ngang, kho¶ng c¸ch gi÷a hai r½nh tr−ît CB = λ . HÖ sè ma s¸t tr−ît gi÷a cu-lis vµ r·nh lµ f. T¸c dông lùc P vµo cu-lis. X¸c ®Þnh m« men M cña ngÉu lùc cÇn ®Æt vµo tay quay ®Ó c¬ hÖ ë c©n b»ng. Bá qua träng l−îng c¬ cÊu. Tr¶ lêi:

Pλsin ϕ Pλsin ϕ ≤M ≤ 1 + 2 f sin ϕ 1 − 2 f sin ϕ

H×nh bµi 3-15

H×nh bµi 3-16 89

3-16. H·y x¸c ®Þnh dé lín cña gãc α sao cho con l¨n b¸n kÝnh R kh«ng l¨n trªn mÆt ph¼ng nghiªng kh«ng nh½n, cho biÕt hÖ sè ma s¸t l¨n b»ng k, con l¨n cã träng l−îng P. Tr¶ lêi:

k ≥ tgα R

H×nh bµi 3-17

H×nh bµi 3-18

3-17. Thanh ®ång chÊt OA=l cã träng l−îng lµ P, tùa trªn con l¨n ®ång chÊt B cã b¸n kÝnh r träng l−îng Q. Bá qua ma s¸t gi÷a OA vµ B. VËt B ®−îc ®Æt trªn mÆt ph¼ng ngang kh«ng nh½n. Khi hÖ c©n b»ng ë vÞ trÝ nh− h×nh vÏ, thanh OA t¹o gãc α víi ph−¬ng th¼ng ®øng, kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®−êng t¸c dôngcña lùc Q lµ a. H·y t×m ph¶n lùc t¹i O vµ gi¸ trÞ lín nhÊt Pmax ®Ó B b¾t ®Çu l¨n nÕu biÕt hÖ sè ma s¸t l¨n lµ k. Tr¶ lêi: X D = Pmax =

Pl sin 2 α cos α Pl sin 3 α ; Yo = P − ; 2(a + r cos α ) 2(a + r cos α )

2kQ(a + r cos α ) . l sin 2 α (r cos α − k sin α )

3-18. Xe « t« t¶i träng l−îng P ®ç trªn ®−êng th¼ng ngang. Çc b¸nh xe cã b¸n kÝnh r vµ hÖ sè ma s¸t l¨n víi mÆt ®−êng lµ k. CÆp b¸nh chñ ®éng chÞu t¸c dông cña ngÉu lùc cã m« men M. Th©n xe chÞu t¸c dông cña lùc c¶n R n»m ngang çch mÆt ®Êt lµ h. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M ®Ó xe cã thÓ chuyÓn ®éng ®−îc. X¸c ®Þnh ¸p lùc cña çc cÆp b¸nh tr−íc vµ sau lªn mÆt ®−êng øng víi gi¸ trÞ Mmin ®ã. Tr¶ lêi: M min = Rr + kP ; N A = 90

P (b − k ) − Rh P (k + a ) + Rh ; NB = . a+b a+b

Ch−¬ng 4. Bµi to¸n träng t©m Träng t©m lµ ®iÓm ®Æt träng lùc, tõ c¸c tÝnh chÊt, ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi vµ t×m t©m cña hÖ lùc song song ta cã thÓ ¸p dông cho bµi to¸n t×m träng t©m. Th«ng th−êng, c¸c vËt kh¶o s¸t ®Òu n»m trong träng tr−êng, v× vËy bµi to¸n t×m träng t©m cã ý nghÜa thùc tÕ quan träng, nhÊt lµ trong phÇn ®éng lùc häc. 4.1. C¬ së lý thuyÕt 4.1.1. C«ng thøc träng t©m hÖ chÊt ®iÓm ⎧ 1 n x = ⎪ G p ∑ pk xk k =1 ⎪ ρ 1 n ρ⎪ 1 n rG = ∑ p k rk ⎨ yG = ∑ p k y k P k =1 p k =1 ⎪ ⎪ 1 n ⎪ zG = ∑ pk z k p k =1 ⎩

( P = ∑ pk )

(4.1)

k =1

Trong ®ã: n - lµ sè chÊt ®iÓm; ρ rk ( x k , y k , z k ) - b¸n kÝnh vÐct¬ (to¹ ®é); pk – träng l−îng chÊt ®iÓm thø k; P – träng l−îng hÖ; ρ rG ( x G , y G , z G ) - b¸n kÝnh vÐct¬ (to¹ ®é) träng t©m. 4.1.2. C«ng thøc träng t©m vËt r¾n 1 ⎧ ⎪ xG = P ∫ xdp, ⎪ ρ 1 ρ ⎪ 1 rG = ∫ r dp ⎨ yG = ∫ ydp, P P ⎪ 1 ⎪ ⎪ zG = P ∫ zdp, ⎩

( P = ∫ dp )

(4.2)

Trong ®ã:

ρ r , dp - b¸n kÝnh vÐc t¬ vµ träng l−îng phÇn tö nguyªn tè;

∫ - dÊu tÝch ph©n d¶i trªn vËt r¾n (1, 2 hay 3 líp tuú thuéc d¹ng vËt r¾n vµ tuú c¸ch lËp phÇn tö nguyªn tè) 4.1.3. C«ng thøc Guyn®anh - C«ng thøc 1: DiÖn tÝch S sinh ra bëi mét ®−êng cong ph¼ng (AB) khi quay quanh trôc ®ång ph¼ng Oy kh«ng c¾t nã ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (H. 4-1): S = 2πxG L ,

Trong ®ã: L – lµ ®é dµi ®−êng th¼ng AB; xG – lµ kho¶ng c¸ch tõ träng t©m G cña ®−êng ph¼ng ®Õn trôc Oy. y A

G G B xG

H×nh 4-2

H×nh 4-1

- C«ng thøc 2: ThÓ tÝch cña mét vËt trßn xoay sinh ra bëi mét h×nh ph¼ng khi quay

quanh trôc ®ång ph¼ng Oy kh«ng c¾t nã ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (H. 4-2): V = 2πxG S ,

Trong ®ã: S - diÖn tÝch tÊm ph¼ng; xG - kho¶ng c¸ch tõ träng t©m G cña tÊm ph¼ng ®Õn trôc Oy. 4.1.4. Mét sè tÝnh chÊt vµ ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh träng t©m 1. C¸c tÝnh chÊt: - Cã thÓ thay mét phÇn hÖ (mét sè chÊt ®iÓm, mét phÇn vËt thÓ) b»ng mét chÊt ®iÓm ®Æt t¹i träng t©m vµ cã cïng träng l−îng víi phÇn ®ã.

- Víi vËt ®ång chÊt, trong çc c«ng thøc, cã thÓ thay träng l−îng b»ng ®é dµi, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tuú theo vËt ®−îc xÐt lµ mét ®−êng, mét mÆt hoÆc mét khèi. - Träng t©m vËt ®ång chÊt cã t©m (trôc, mÆt ph¼ng) ®èi xøng trïng víi (n»m trªn) t©m (trôc, mÆt ph¼ng) ®èi xøng. - TÊm (khung) ®ång chÊt h×nh vu«ng, ch÷ nhËt, b×nh hµnh, trßn... cã träng t©m trïng víi tÊm h×nh häc. 2. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh träng t©m: a. Ph−¬ng ph¸p ®èi xøng: Tõ çc tÝnh chÊt nªu trªn, ta cã thÓ dÔ dµng x¸c ®Þnh träng t©m mét sè vËt ®ång chÊt sau: - Träng t©m tam gi¸c ®ång chÊt: lµ giao ®iÓm çc ®−êng trung tuyÕn (H. 4-3a). - Träng t©m tø diÖn ®ång chÊt: lµ giao ®iÓm çc ®o¹n nèi ®Ønh vµ träng t©m ®¸y ®èi diÖn (H.4-3b). A

A B1

G B

H×nh 4-3a.

G A 1

D C

H×nh 4-3b.

b. Ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt (ghÐp vËt): Ph−¬ng ph¸p nµy dùa trùc tiÕp vµo c«ng thøc x¸c ®Þnh träng t©m. Nã ®−îc ¸p dông khi vËt r¾n cã thÓ coi ®−îc ghÐp tõ nhiÒu vËt cã vÞ trÝ träng t©m ®· x¸c ®Þnh (cã thÓ tõ çc ®iÒu kiÖn ®èi xøng), sau ®ã sö dông c«ng thøc (4-1) ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ träng t©m cña toµn hÖ. c. Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n: Khi vËt kh¶o s¸t kh«ng thÓ t¸ch ra thµnh çc phÇn h÷u h¹n cã träng t©m x¸c ®Þnh, ta ph¶i sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n theo c«ng thøc (3-2). §Çu tiªn ta chia vËt thµnh çc thÓ tÝch bÐ ∆vk nµo ®ã. §èi víi çc thÓ tÝch nµy ta cã c«ng thøc x¸c ®Þnh çc to¹ ®é träng t©m theo çc trôc: 93

xG =

∑ x ∆v k

, t−¬ng tù ®èi víi c¸c trôc y vµ z, sau ®ã ta lÊy giíi h¹n cña biÓu

thøc trªn víi ∆vk tiÕn tíi kh«ng vµ ta nhËn ®−îc c«ng thøc: xG =

1 1 1 xdv; yG = ∫ ydv; z G = ∫ zdv. ∫ VV VV VV

Ta còng lµm t−¬ng tù nh− vËy ®èi víi to¹ ®é träng t©m cña diÖn tÝch vµ cña ®−êng.

4.2. H−íng dÉn ¸p dông – bµi to¸n gi¶i mÉu Trong phÇn nµy ta xÐt c¸c bµi to¸n x¸c ®Þnh träng t©m sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p nªu trªn. 4.2.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch vËt. Ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc ¸p dông khi cã thÓ chia vËt r¾n thµnh mét sè h÷u h¹n phÇn ®· biÕt träng t©m vµ träng l−îng. Tr×nh tù: - Chia vËt. - Thay mçi vËt b»ng mét chÊt ®iÓm. - ¸p dông c«ng thøc (4.1). Chó ý: - Th−êng vËt lµ ®ång chÊt nªn ta cã thÓ thay träng l−îng b»ng ®é dµi, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch. - NÕu vËt khuyÕt, ta xem nã nh− do vËt nguyªn (ch−a khuyÕt) ghÐp víi phÇn khuyÕt cã träng l−îng ©m. VÝ dô 4.1 T×m träng t©m hÖ ba thanh ®ång chÊt, cïng thiÕt diÖn, cïng vËt liÖu bè trÝ nh− trªn h×nh vÏ (H×nh 4-4). Bµi gi¶i Thay ba thanh bëi ba chÊt ®iÓm G1, G2, G3 cã träng l−îng tû lÖ víi ®é dµi p1=a; p2=b; p3=2c vµ cã to¹ ®é:

x1 =

a ; y1 = b; z1 = 0; 2

x 2 = a; y 2 =

z c

b ; z 2 = 0; 2

600

a b c x3 = ; y 3 = ; z 3 = . 2 2 2

G3 G2

a x

b G1

H×nh 4-4

To¹ ®é träng t©m G cña hÖ lµ:

a 2 + 2ab + 2ac 1 ( p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 ) = ; p 2( a + b + 2c )

xG =

yG =

2a + b 2 + 2bc c2 ; zG = . 2(a + b + 2c) a + b + 2c

VÝ dô 4.2 T×m träng t©m cña tÊm ®ång chÊt cã kÝch th−íc tÝnh b»ng cm cho trªn h×nh vÏ (H×nh 4-5). x

C3 2 6

C2 2

2 y

C1 H×nh 4-5

Bµi gi¶i Dùng c¸c trôc to¹ ®é vµ chia tÊm thµnh ba h×nh ch÷ nhËt nh− h×nh vÏ. TÝnh to¹ ®é träng t©m cña mçi h×nh ch÷ nhËt vµ diÖn tÝch cña chóng: To¹ ®é: x1=-1; y1=1; x2=1; y2=5; x3=5; y3=7. 95

DiÖn tÝch: S1 = 4; S2 = 20; S3 = 12. To¹ ®é träng t©m C: xC =

( S x + S 2 x2 + S 3 x3 ) − 4 + 20 + 60 19 1 ( p1 x1 + p 2 x2 + p3 x3 ) = 1 1 = = cm 4 + 20 + 12 9 P S1 + S 2 + S 3

yC =

( S y + S 2 y 2 + S 3 y3 ) 4 + 100 + 108 53 1 = = cm ( p1 y1 + p 2 y 2 + p3 y3 ) = 1 1 P S1 + S 2 + S 3 4 + 20 + 12 9

VÝ dô 4-3 T×m träng t©m cña tÊm trßn ®ång chÊt O, b¸n kÝnh R,bÞ khuyÕt lç trßn A, b¸n kÝnh r. BiÕt OA = a, a+r<R (H×nh 4-6). Bµi gi¶i TÊm khuyÕt do tÊm nguyªn t©m O ghÐp víi phÇn khuyÕt t©m A mang träng l−îng ©m. V× ®ång chÊt nªn träng l−îng tû lÖ víi diÖn

G A

tÝch, tøc lµ: S0=πR2; SA=-πr2. V× ®èi xøng nªn träng t©m G n»m trªn trôc x

H×nh 4-6

(qua O, A). Chóng ta cã: x0=0, xA=a vµ xG =

ar 2 πR 2 0 − πr 2 a 1 ( S 0 x0 + S A x A ) = = − . S πR 2 − πr 2 R2 − r 2

VÝ dô 4-4

T×m träng t©m cña khèi hép ch÷ nhËt ®ång chÊt cã kÝch th−íc vµ bÞ khuyÕt mét b¸n cÇu nh− trªn h×nh a 2

b 2

vÏ (H×nh 4-7). BiÕt r < ; r < ; r < c Bµi gi¶i Xem khèi khuyÕt do khèi hép nguyªn O ghÐp víi khèi b¸n cÇu A mang träng l−îng ©m. 96

A r

O G b H×nh 4-7

V× ®ång chÊt nªn träng l−îng tû lÖ víi thÓ tÝch: 2 V0 = abc; V A = − πr 3 . 3

V× ®èi xøng, träng t©m n»m trªn trôc OZ qua t©m O cña khèi hép nguyªn vµ song song víi c¹nh c. Chó ý r»ng träng t©m C cña b¸n cÊu n»m thÊp h¬n A 3 mét ®o¹n AC = r. 8

Ta cã: z 0 = 0; zC =

c 3 − r. 2 8

Träng t©m G cña khèi khuyÕt cã cao ®é: 2 ⎛c 3 ⎞ abc.0 − πr 3 ⎜ − r ⎟ 1 3 ⎝2 8 ⎠; zG = (V0 z0 + V A zC ) = 2 V abc − πr 3 3 zG = −

πr 3 (4c − 3r ) . 4(3abc − 2πr 2 )

4.2.2. Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n Khi kh«ng thÓ chia vËt ra mét sè h÷u h¹n phÇn ®¬n gi¶n, nh−ng cã thÓ biÓu diÔn h×nh d¹ng vËt d−íi d¹ng gi¶i tÝch thuËn lîi, chóng ta cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n. VÝ dô 4-5 T×m träng t©m cung trßn ®ång chÊt AB trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R, gãc R

t¹i t©m 2α (H×nh 4-8). Bµi gi¶i

dϕ ϕ

V× ®ång chÊt, träng l−îng ®−îc thay b»ng ®é α

dµi; v× ®èi xøng, träng t©m n»m trªn trôc Ox. Chia cung trßn ra v« h¹n cung v« cïng nhá, vÞ trÝ ®−îc x¸c ®Þnh bëi gãc ϕ.

R B H×nh 4-8

Cung nguyªn tè t−¬ng øng gãc dϕ cã ®é dµi b»ng: dl=Rdϕ , vµ cã hoµnh ®é: x=Rcosϕ. Chó ý r»ng ®é dµi cung AB lµ L=R2α. Hoµnh ®é träng t©m cña cung cho bëi c«ng thøc: xG =

+α +α +α 1 1 R sin α xdl R cos ϕRdϕ = sin ϕ =R = ∫ ∫ −α L −α 2αR −α 2α α

Víi nöa cung trßn: α =

π 2

; xG =

VÝ dô 4-6 T×m träng t©m cña qu¹t trßn ®ång chÊt AOB cña tÊm trßn t©m O b¸n kÝnh R cã gãc t¹i t©m AOB=2α. Bµi gi¶i T−¬ng tù trªn, v× ®ång chÊt, träng l−îng ®−îc thay b»ng diÖn tÝch vµ ®èi xøng, träng t©m n»m trªn trôc Ox. Chia qo¹t trßn thµnh v« h¹n qo¹t trßn v« cïng nhá cã vÞ trÝ x¸c ®Þnh bëi gãc ϕ vµ cã gãc më dϕ. DiÖn tÝch mçi qo¹t trßn nguyªn tè lµ dS =

1 2 2 R dϕ , träng t©m cña nã cã hoµnh ®é x = R cos ϕ (nh− tam gi¸c). 2 3

Chó ý r»ng diÖn tÝch qo¹t trßn lµ S=R2α. Träng t©m qo¹t cho bëi c«ng thøc: xG =

1 1 xds = 2 ∫ S Rα

+α

∫α 3 R cos ϕ 2 R dϕ = 3 R 2

sin α

−

Víi nöa tÊm trßn: π 2

; xG =

4R . 3π

VÝ dô 4-7

z dz

α=

kÝnh R (H×nh 4-9). Bµi gi¶i

T×m träng t©m b¸n cÇu ®ång chÊt t©m O b¸n G O H×nh 4-9

Chóng ta sÏ thay träng l−îng b»ng thÓ tÝch vµ chØ cÇn tÝnh cao ®é. Chia b¸n kÝnh cÊu thµnh v« h¹n l¸t máng song song víi ®¸y cao ®é z, bÒ dµy dz, b¸n kÝnh r = R 2 − z 2 , thÓ tÝch: dV=πr2dz=π(R2-z2)dz. 2 3

Chó ý r»ng thÓ tÝch b¸n cÇu V = πR 3 , träng t©m cña b¸n cÇu cã cao ®é: R

zG =

1 3 3 zdV = zπ ( R 2 − z 2 )dz = R 3 ∫ ∫ V 2πR 0 8

4.2.3. Ph−¬ng ph¸p Guyn®anh Ta cã thÓ ¸p dông çc c«ng thøc Guyn®anh ®Ó t×m träng t©m ®−êng cong ph¼ng vµ tÊm ph¼ng ®ång chÊt b»ng çch x¸c ®Þnh diÖn tÝch (hay thÓ tÝch) do ®−êng cong ph¼ng (hay h×nh ph¼ng) sinh ra, sau ®ã ¸p dông c«ng thøc Guyn®anh ®Ó x¸c ®Þnh träng t©m cña ®−êng cong ph¼ng (h×nh ph¼ng) ®· sinh ra diÖn tÝch (thÓ tÝch) trªn. VÝ dô 4-8 T×m thÓ tÝch cña khèi xuyÕn sinh ra bëi mÆt trßn t©m A b¸n kÝnh r khi quay quanh trôc ∆ ®ång ph¼ng vµ çch A ®o¹n R (H×nh 4-10). Bµi gi¶i DiÖn tÝch mÆt trßn lµ S=πr2, träng t©m lµ A çch ∆ mét ®o¹n R. Theo c«ng thøc Guyn®anh thø hai, thÓ tÝch khèi xuyÕn lµ: V=2πd.S=2πR.πr2=2π2Rr2. ∆ r A

H×nh 4-10

VÝ dô 4-9 T×m träng t©m nöa mÆt trßn b¸n kÝnh R (H×nh 4-11). Bµi gi¶i d

Gäi d lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn träng t©m G.

DiÖn tÝch nöa mÆt trßn lµ πR2/2. Cho nöa mÆt trßn quay 4 3

quanh ®−êng kÝnh, nã quÐt ra khèi cÇu thÓ tÝch V = πR 3 . H×nh 4-11

C«ng thøc Guyn®anh thø hai cho: V=2πd.S

Hay:

4 3 πR V 4R d= = 3 = 2 πR 2πS 3π 2π 2

4.3. Bµi tËp 4-1. X¸c ®Þnh träng t©m hÖ thanh ®ång chÊt, cïng vËt liÖu, cïng thiÕt diÖn, cã kÝch th−íc cho trªn h×nh bµi 4-1. Tr¶ lêi: a) x = y=

b) x = y=

c) x =

7 ; 4(4 + 3 ) (5 + 2 3 ) 3 4(4 + 3 ) 7+4 2 ; 10 + 4 2

2+ 2 . 5+2 2 c2 ; 2( a + b + c )

b 2 + 2bc y= ; 2( a + b + c )

100

a2 . 2(a + b + c)

H×nh bµi 4-1

5 3 d) x = ; y = 1; z = . 8 4

4-2. X¸c ®Þnh träng t©m c¸c tÊm ®ång chÊt cã h×nh d¹ng vµ kÝch th−íc nh− h×nh bµi 4-2. Tr¶ lêi: a) x =

a 2 + bd − d 2 ; 2(a + b − d)

b 2 + ad − d 2 y= 2(a + b − d)

b) y =

ad 2 + bh 2 − bd 2 . 2(ad + bh − bd )

c) y=11 cm. d) x ≈ 6,7 cm; y ≈ 2,5 cm.

H×nh bµi 4-2

4-3. X¸c ®Þnh träng t©m c¸c tÊm ®ång chÊt cã h×nh d¹ng vµ kÝch th−íc nh− h×nh bµi 4-3. Tr¶ lêi: 3a 2( 4 + 3)

b) x = −

10a 3(8 + π)

a 3(π + 2 3 )

d) x = −

3a 3 8π + 3 3

a) x = − c) x =

H×nh bµi 4-3

4-4. X¸c ®Þnh träng t©m c¸c tÊm ®ång chÊt cã h×nh d¹ng vµ kÝch th−íc nh− h×nh bµi 4-4. Tr¶ lêi: a) x = − c) x =

a 9

b) x =

3π − 4 a 6(8 − π)

14R R 2R 3 ; y= d) y = 6 9π 4π − 3 3

101

H×nh bµi 4-4

4-5. X¸c ®Þnh träng t©m c¸c khèi ®ång chÊt cã h×nh d¹ng vµ kÝch th−íc nh− h×nh bµi 4-5. Tr¶ lêi: a) x = y = c) z =

3h 2 − 9R 2 12(h + 2R )

H×nh bµi 4-5

102

9 7 a; z = a ; 10 10

b) x = y = z = d) z =

13 a 14

3 2h 2 − R 2 4 3h − 2R

H×nh bµi 4-6

4-6. X¸c ®Þnh träng t©m cña c¸c tÊm ®ång chÊt giíi h¹n bëi c¸c ®å thÞ cho trªn h×nh bµi 4-6. Tr¶ lêi: a) x = c) x =

3a 3a ; y= 4 10

π 2

; y=

π 8

b) x =

3a 3 a ; y= 5 8

d) x = y =

9 20

4-7. Dïng c«ng thøc Guyn®anh, x¸c ®Þnh träng t©m cña cung trßn, qo¹t trßn thuéc vßng trßn b¸n kÝnh R vµ cã gãc t¹i t©m 2α. 4-8. TÝnh thÓ tÝch cña khèi xuyÕn t¹o nªn bëi thiÕt diÖn: a) Tam gi¸c ®Òu c¹nh a. b) Nöa mÆt trßn b¸n kÝnh r, khi quay quanh trôc z song song vµ c¸ch ®¸y (tam gi¸c, nöa mÆt trßn) mét ®o¹n R. Tr¶ lêi: a) V =

4 ⎞ a 6⎞ 2 ⎟a 3 ; b) V = π 2 R 3 ⎛⎜1 + R+ ⎟. ⎟ ⎜ 2⎝ 6 ⎠ ⎝ 3π ⎠

π ⎛⎜

103

Ch−¬ng 5.

ChuyÓn ®éng cña ®iÓm

5.1. C¬ së lý thuyÕt Gi¶i bµi to¸n chuyÓn ®éng cña ®iÓm, ta t×m çc yÕu tè sau: - Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm - VËn tèc, gia tèc cña ®iÓm - TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng §Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n, ta cã thÓ dïng çc ph−¬ng ph¸p: vÐc t¬, to¹ ®é §Ò çc, to¹ ®é tù nhiªn, to¹ ®éc cùc. Çc c«ng thøc x¸c ®Þnh trong tõng ph−¬ng ph¸p cho ë b¶ng sau: Th«ng sè ®Þnh vÞ

Ph−¬ng tr×nh

VËn tèc

Gia tèc

r r v = r&

r r r& w = v&= & r

chuyÓn ®éng VÐc t¬

r r r = r (t)

To¹ ®é

⎧x = x ( t ) ⎪ ⎨ y = y ( t ) (1) ⎪z = z (t) ⎩

⎧ v x = x& r⎪ v ⎨ v y = y&(2) ⎪ v = z& ⎩ z

⎧w x = & x& r⎪ w ⎨w y = & y&(3)

⎧⎪ r = f1 ( t ) (4) ⎨ ⎪⎩ϕ = f2 ( t )

r ⎧ v r = r& vr ⎨ (5) ⎩ v ϕ = rϕ&

r& − rϕ&2 ⎪w r = & r⎧ w⎨ (6) & &+ 2r&ϕ& ⎪⎩ w ϕ = rϕ

s = s ( t ) (7)

v = s&(8)

s& ⎧w τ = v& = & r⎪ w⎨ v 2 (9) ⎪w n = ρ ⎩

§Ò c¸c

To¹ ®é cùc To¹ ®é tù nhiªn

⎪w = & ⎩ z z&

Trong thùc hµnh ta th−êng chØ sö dông c¸c ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c vµ to¹ ®é tù nhiªn. * DÊu hiÖu cña chuyÓn ®éng nhanh dÇn: r r && &+ yy && &+ zz && &> 0 v.w = xx

(10)

ChuyÓn ®éng chËm dÇn : r r && &+ yy && &+ zz && &> 0 v.w = xx

* C¸c chuyÓn ®éng ®Æc biÖt: 104

(11)

- ChuyÓn ®éng ®Òu:

v = const;w τ = 0;s = vt

(12)

- ChuyÓn ®éng biÕn ®æi ®Òu: 1 w τ = const ; v = v 0 + w τ t ; s = v 0 t + w τ t 2 2

(13)

(wτ > 0 nhanh dÇn ®Òu,wτ < 0 chËm dÇn ®Òu) 5.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i

Çc lo¹i bµi to¸n: cã ba lo¹i sau: I. BiÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, t×m çc ®Æc tr−ng cña chuyÓn ®éng nh− quü ®¹o, vËn tèc, gia tèc, tÝnh chÊt chuyÓn ®éng. II. BiÕt mét sè ®iÒu kiÖn cña chuyÓn ®éng, t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ çc ®Æc tr−ng chuyÓn ®éng. III. Bµi to¸n tæng hîp: trong mét bµi to¸n dïng c¶ hai ph−¬ng ph¸p: to¹

®é §Ò c¸c vµ to¹ ®é tù nhiªn. Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n: 1. Chän ph−¬ng ph¸p: Tuú ®Çu bµi mµ ta chän ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c

hay to¹ ®é tù nhiªn. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é tù nhiªn ®−îc dïng khi ®· biÕt quü ®¹o cña ®iÓm. 2. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng:

- XÐt ®iÓm ë vÞ trÝ bÊt kú. T×m quan hÖ to¹ ®é cña ®iÓm theo thêi gian, nhËn ®−îc (1) hoÆc (7). - NÕu biÕt gia tèc th× tÝch ph©n, nhËn ®−îc vËn tèc, tÝch ph©n lÇn n÷a sÏ t×m ®−îc ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng. - NÕu biÕt chuyÓn ®éng lµ ®Òu hoÆc biÕn ®æi ®Òu, ta viÕt ngay ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng d¹ng (12) hoÆc (13). 3. T×m quü ®¹o: Khö thêi gian t khái ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng. Tõ ®ã t×m

®−îc liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é, kh«ng cßn chøa t n÷a. 4. T×m vËn tèc vµ gia tèc: 105

¸p dông (2) vµ (3) khi dïng to¹ ®é §Ò c¸c. ¸p dông (8), (9) khi dïng to¹ ®é tù nhiªn. 5. T×m tÝnh chÊt chuyÓn ®éng: ¸p dông (10) vµ (11) 6. T×m b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o

- ¸p dông (9) 5.3. Bµi gi¶i mÉu I. BiÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, t×m c¸c ®Æc tr−ng cña chuyÓn ®éng VÝ dô 5.1.

ChuyÓn ®éng cña ®iÓm ®−îc cho bëi c¸c ph−¬ng tr×nh: x = 8t - 4t2;y = 6t - 3t2

(x, y tÝnh b»ng m, t tÝnh b»ng s) X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm. XÐt tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng. Bµi gi¶i:

1. Chän ph−¬ng ph¸p: dïng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c (®Ò bµi cho ë d¹ng §Ò c¸c, ch−a biÕt quü ®¹o). 2. Quü ®¹o: Khö t khái ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng. Muèn vËy nh©n hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh ®Çu víi 3, ph−¬ng tr×nh thø hai víi 4 råi trõ vÕ víi vÕ, ta ®−îc: 3x - 4y = 0 hay y =

3 x 4

H×nh 5.1

Nh− vËy, quü ®¹o lµ ®−êng th¼ng, nghiªng víi trôc Ox mét gãc α víi tg α =

3 (H.5.1). 4

3. VËn tèc, gia tèc: theo (5-2) vµ (5.3), ta cã: vËn tèc: 106

vx = x& = 8(1-t); vy = y& = 6(1 - t); v =

v 2x + v 2y = 10(1 - t)m/s

x&= - 8; w y = & y&= -6; w = w 2x + w 2y = 10m/s2 wx = & r r r 4. TÝnh chÊt chuyÓn ®éng: XÐt tÝch v. w theo (5.10 vµ 5.11). C¸c vÐc t¬ v vµ r r w h−íng theo quü ®¹o, tøc lµ theo ®−êng th¼ng AB. C¸c h×nh chiÕu cña w lu«n r r lu«n ©m, nªn w chiÒu kh«ng ®æi, h−íng tõ B vÒ A, cßn chiÒu cña v phô thuéc t:

gia tèc:

Lóc t = 0; x = 0, vo = 10m/s. §iÓm ë gèc to¹ ®é 0. r r v.w = vxwx + vywy = - 64(1 - t) - 36(1 - t) r r r Khi 0 < t < 1s : v.w < 0. §iÓm chuyÓn ®éng chËm dÇn ( v h−íng tõ A ®Õn

Lóc t = 1s th× x = 4, y = 3: ®iÓm ë vÞ trÝ B vµ v = 0. Khi t = 2s, x = 0, y = 0. §iÓm ®i qua 0. Nh− vËy ®iÓm b¾t ®Çu chuyÓn ®éng tõ ®iÓm 0 víi vËn tèc ®Çu v0 = 10m/s däc AB. Trªn ®o¹n OB ®iÓm chuyÓn ®éng chËm dÇn vµ sau 1s ®iÓm tíi B, t¹i ®ã vËn tèc b»ng kh«ng. B¾t ®Çu tõ B ®iÓm chuyÓn ®éng nhanh dÇn tõ B vÒ A vµ lóc t = 2s ®iÓm qua gèc to¹ ®é vµ tiÕp tôc chuyÓn ®éng theo OA. Gia tèc cña ®iÓm lu«n lu«n b»ng 10m/s2. VÝ dô 5.2.

ChuyÓn ®éng cña ®iÓm cho

bëi c¸c ph−¬ng tr×nh: x = asinωt, y = acosωt, z = ut, trong ®ã a, ω vµ u lµ c¸c h»ng sè. H·y x¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm. Bµi gi¶i:

B×nh ph−¬ng tõng vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ®Çu råi céng l¹i (v× sin2ωt + cos2ωt = 1), ta ®−îc: x2 + y2 = a2

H×nh 5.2

Do ®ã, quü ®¹o n»m trªn mÆt trô trßn b¸n kÝnh a cã trôc h−íng theo trôc Oz (h×nh 5.2). NÕu x¸c ®Þnh t tõ ph−¬ng tr×nh cuèi cïng råi thay vµo ph−¬ng tr×nh thø nhÊt, ⎛ω ⎞ ta ®−îc: x = asin ⎜ z ⎟ ⎝u ⎠

107

Bëi vËy, quü ®¹o cña ®iÓm sÏ lµ giao tuyÕn cña mÆt cong h×nh sin cã c¸c ®−êng sinh song song víi trôc Oy víi mÆt trô b¸n kÝnh a. §−êng cong ®ã gäi lµ ®−êng xo¾n èc. Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, ta thÊy r»ng ®iÓm thùc hiÖn ®−îc mét vßng xo¾n èc trong thêi gian t1 x¸c ®Þnh tõ ®¼ng thøc ωt1 = 2π. Nh− vËy trong thêi gian nµy, ®iÓm chuyÓn ®éng däc theo trôc z ®−îc mét ®o¹n b»ng h = ut1 =

2 πu gäi lµ b−íc xo¾n. §Ó x¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm, ω

ta lÊy vi ph©n c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng theo thêi gian t. Ta ®−îc: vx = aωcosωt, vy = - aωsinωt, vz = u Tõ ®ã, ta cã: v =

(

)

a 2 ω2 cos2 ωt + sin 2 ωt + u 2 =

a 2 ω2 + u 2

Gi¸ trÞ cña biÓu thøc d−íi dÊu c¨n lµ h»ng sè, nªn chuyÓn ®éng xÈy ra víi vËn tèc cã trÞ sè kh«ng ®æi vµ h−íng theo tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o. Theo c¸c c«ng thøc (5.3) ta tÝnh ®−îc c¸c h×nh chiÕu cña gia tèc b»ng wx = - aω2sinωt, wy = - aω2cosωt, wz = 0. Tõ ®ã

w 2x + w 2y = aω2

VËy, chuyÓn ®éng x¶y ra víi gia tèc cã trÞ sè kh«ng ®æi. §Ó x¸c ®Þnh chiÒu cña gia tèc, ta cã c¸c c«ng thøc: cos α1 =

w wx x y w = - sinωt = - ;cosβ1 = y = - cosωt = - , cosγ1 = z = 0 w w a w a

Nh−ng v×

x y = cosα, cosβ, a a

trong ®ã α vµ β lµ çc gãc lËp bëi b¸n kÝnh a kÎ tõ trôc cña mÆt trô tíi ®éng ®iÓm víi çc trôc Ox vµ Oy. V× c«sin cña çc gãc α1 vµ β1 chØ kh¸c dÊu víi c«sin cña çc gãc α vµ β, nªn ta cã thÓ kÕt luËn r»ng gia tèc cña ®iÓm lu«n lu«n h−íng theo b¸n kÝnh cña mÆt trô vÒ phÝa trôc cña mÆt trô nµy. Ta thÊy r»ng mÆc dï trong tr−êng hîp nµy chuyÓn ®éng cã vËn tèc kh«ng ®æi vÒ gi¸ trÞ, nh−ng gia tèc cña ®iÓm vÉn kh«ng b»ng kh«ng v× vËn tèc thay ®æi chiÒu. 108

VÝ dô 5.3.

Mét ng−êi cã chiÒu cao h ®ang rêi khái ngän ®Ìn theo mét ®−êng

th¼ng víi vËn tèc u. §Ìn treo ë ®é cao H. H·y x¸c ®Þnh vËn tèc cña ®Çu bãng ng−êi ®ã. Bµi gi¶i: §Ó gi¶i bµi to¸n, tr−íc hÕt ta h·y

x¸c ®Þnh quy luËt chuyÓn ®éng cña ®Çu bãng ng−êi. Chän ®iÓm O n»m trªn ®−êng th¼ng ®øng víi ngän ®Ìn lµm gèc to¹ ®é, lÊy ®−êng th¼ng quü ®¹o cña ®Çu bãng ng−êi lµm trôc to¹ ®é ox (h×nh 5.3). Gi¶ sö ng−êi ®ã ®ang ë mét vÞ trÝ nµo ®ã çch ®iÓm O mét ®o¹n x1. Khi ®ã, ®Çu bãng sÏ ë çch gèc O mét ®o¹n x2. Tõ ®iÒu kiÖn ®ång d¹ng cña çc tam gi¸c

H×nh 5.3

OAM vµ DAB, ta cã: x2 =

H x1 H−h

Ph−¬ng tr×nh nµy thÓ hiÖn quy luËt chuyÓn ®éng cña ®iÓm M lµ ®Çu bãng ng−êi, nÕu ®· biÕt quy luËt chuyÓn ®éng cña ng−êi ®ã, tøc lµ biÕt x1 = f(t). TÝnh ®¹o hµm cña c¶ hai vÒ ®¼ng thøc nµy theo thêi gian, råi thay x&1 = ux = u, x&2 = vx = v (theo c«ng thøc (5.2), trong ®ã v lµ vËn tèc cÇn t×m, ta cã: v =

H u. H−h

NÕu ng−êi ®ã chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh«ng ®æi (u = const), th× vËn tèc v cña ®Ønh bãng còng kh«ng ®æi, nh−ng cã gi¸ trÞ lín h¬n vËn tèc cña ng−êi H lÇn. (H − h)

109

VÝ dô 5.4.

Víi c¸c gãc lÖch nhá,

con l¾c sÏ chuyÓn ®éng theo vßng trßn b¸n kÝnh λ theo quy luËt s = asin kt, trong ®ã O lµ gèc quü ®¹o, a vµ k lµ çc h»ng sè (h×nh 5.4). H·y x¸c ®Þnh vËn tèc, gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña con l¾c vµ çc vÞ trÝ t¹i ®ã çc ®¹i l−îng nµy

H×nh 5.4

b»ng kh«ng. Bµi gi¶i: ¸p dông c¸c c«ng thøc t−¬ng øng (5.8) vµ (5.9) ta tÝnh ®−îc: v=

ds dv v2 a2 k 2 = akcoskt; wτ = = - ak2sinkt; wn = = cos2kt. l l dt dt

Tõ quy luËt chuyÓn ®éng, ta thÊy r»ng con l¾c dao ®éng ®iÒu hßa theo quü ®¹o víi biªn ®é cong a. ë çc vÞ trÝ ngoµi cïng (tøc lµ t¹i çc ®iÓm A vµ B) sin kt = ±1, do ®ã cos kt = 0. V× vËy t¹i çc ®iÓm A vµ B vËn tèc vµ gia tèc ph¸p tuyÓn cã gi¸ trÞ b»ng kh«ng, cßn gia tèc tiÕp tuyÕn ®¹t tíi gi¸ trÞ cùc ®¹i wτmax = ak2. Ng−îc l¹i, khi con l¾c ®Õn gèc täa ®é O, th× s = 0, nªn sin kt = 0, cos kt = 1. T¹i vÞ trÝ nµy wτ = 0, cßn v vµ wn cã çc gi¸ trÞ cùc ®¹i b»ng: vmax = ak, wnmax =

a2k2 l

Tõ vÝ dô nµy ta thÊy çc gia tèc wτ hay wn cã thÓ b»ng kh«ng t¹i mét sè ®iÓm trªn quü ®¹o cña chuyÓn ®éng cong kh«ng ®Òu. Cô thÓ, wτ = 0 t¹i çc ®iÓm khi: dv = 0, tøc lµ t¹i ®iÓm khi v cã gi¸ trÞ cùc ®¹i hoÆc cùc tiÓu, cßn wn = 0 t¹i çc dt ®iÓm khi v = 0 (nh− trong tr−êng hîp võa xÐt) hay khi ρ = ∞ (çc ®iÓm uèn cña quü ®¹o). VÝ dô 5.5.

§Çu m¸y xe löa chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu theo cung trßn b¸n

kÝnh R = 800 m. Cho biÕt sau khi ch¹y ®−îc mét qu·ng ®−êng b»ng s1 = 600 m 110

®Çu m¸y cã vËn tèc 36 km/giê. H·y x¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc cña ®Çu m¸y ë ®iÓm gi÷a qu·ng ®−êng ®ã. Bµi gi¶i: V× ®Çu m¸y chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu víi v0 = 0, nªn víi gi¶ thiÕt

s0 = 0, quy luËt chuyÓn ®éng cña ®Çu m¸y sÏ lµ s =

1 2 wτt , cßn vËn tèc b»ng 2

v=wτt. Khö t khái c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã, ta ®−îc: v2 = 2 wτs. v12 Theo ®iÒu kiÖn bµi to¸n, khi s = s1 th× v = v1. Tõ ®ã, ta t×m ®−îc: wτ = 2s1

ë ®iÓm gi÷a qu·ng ®−êng khi s2 =

s1 , vËn tèc v2 b»ng: 2

2w τs2 = w τs1 =

v2 =

v1 2

v 22 v12 = Gia tèc ph¸p tuyÕn t¹i vÞ trÝ nµy b»ng: wn2 = R 2R

BiÕt wτ vµ wn2, ta x¸c ®Þnh ®−îc gia tèc toµn phÇn cña ®Çu m¸y t¹i ®iÓm gi÷a qu·ng ®−êng lµ: w2 =

w +w 2 τ

2 n2

v12 = 2

1 1 + 2 2 s1 R

Thay gi¸ trÞ b»ng sè vµo ph−¬ng tr×nh, ta ®−îc: v2 ≈ 7,1 m/s; w2 =

5 ≈ 0,1 m/s2. 48

II. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ c¸c ®Æc tr−ng cña chuyÓn ®éng VÝ dô 5.6.

X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc cña trung ®iÓm M cña thanh

truyÒn AB cña c¬ cÊu thanh truyÒn tay quay (h×nh 5.5.). Cho biÕt OA = AB = 2a, gãc quay ϕ cña tay quay t¨ng tû lÖ thuËn víi thêi gian ϕ = ωt. Bµi gi¶i: Ta b¾t ®Çu tõ viÖc x¸c ®Þnh c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm

M. Dùng c¸c trôc vµ gäi x vµ y lµ c¸c to¹ ®é cña ®iÓm M ë t¹i vÞ trÝ bÊt kú, ta cã:

111

x = 2acosϕ + acosϕ, y = asin ϕ Thay ϕ b»ng gi¸ trÞ cña nã, ta ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M: x = 3acos ωt, y = asinωt. §Ó x¸c ®Þnh quü ®¹o cña ®iÓm M, ta viÕt c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn H×nh 5.5

®éng d−íi d¹ng: x y = cosωt, = sinωt 3a a

råi b×nh ph−¬ng tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc nµy, sau ®ã céng l¹i, ta ®−îc x2 y2 + = 1. 9a 2 a2

VËy, quü ®¹o cña ®iÓm M lµ ®−êng elÝp víi çc b¸n trôc 3a vµ a. VËn tèc cña ®iÓm M x¸c ®Þnh theo çc c«ng thøc (5.2) b»ng: vx = - 3aωsinωt , vy = aωcosωt; v = aω 9sin 2 ωt + cos2 ωt Ta thÊy vËn tèc lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi theo thêi gian trong giíi h¹n tõ vmin = aω ®Õn vmax = 3aω. Theo çc c«ng thøc (5.3) ta x¸c ®Þnh ®−îc çc h×nh chiÕu cña gia tèc ®iÓm B b»ng: wx = - 3aω2cosωt = - ω2x ; wy = - aω2sinωt = - ω2y.

112

VÝ dô 5.7.

Mét ®iÓm chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng xOy, gia tèc cña nã cã

h×nh chiÕu wx = 4cm/s2. wy = 2tcm/s2. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm, biÕt lóc t = 2s th× vËn tèc cña ®iÓm v = 12 2 cm/s vµ lµm víi c¸c trôc Ox vµ Oy nh÷ng gãc b»ng nhau. Bµi gi¶i:

- X¸c ®Þnh vËn tèc: dv dv x , wy = y dt dt

V×

wx =

Suy ra:

dvx = wxdt = 4dt; dvy = wydt = 2tdt

Lóc t = 2s th× vx = vy = 12 2 cos450 = 12 cm/s, do ®ã: vx

∫ dv

ta ®−îc: vx = 4t + 4;

= ∫ 4dt;

∫ dv = ∫ 2tdt y

vy = t2 + 8

X¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng: V×:

vx =

dx dy ; vy = dt dt

Suy ra dx = vxdt = (4t + 4)dt; dy = vydt = (t2 + 8)dt x

Lóc t = 0 : x = y = 0, ta cã: ∫ dx = ∫ (4t + 4)dt; 0

∫ dy = ∫ (t 0

+ 8)dt

ta ®−îc ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm: x = 2(t2 + 2t); y = VÝ dô 5.8.

t3 +8t 3

Mét tµu thuû chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu. VËn tèc lóc ë A vµ v1 vµ

ë B lµ v2, víi v2 > v1, kho¶ng c¸ch AB = λ. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ kho¶ng thêi gian T tµu ®i tõ A ®Õn B. TÝnh vËn tèc, gia tèc cña tµu lóc t = 2T. Bµi gi¶i: 1. Chän ph−¬ng ph¸p: Tµu thuû chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu nªn ta viÕt ngay

®−îc biÓu thøc vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng d−íi d¹ng to¹ ®é tù nhiªn.

113

2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, vËn tèc: chän thêi ®iÓm vµ vÞ trÝ cña tµu ë A

lµm thêi ®iÓm ®Çu vµ gèc to¹ ®é. Theo (5.13) khi chän chiÒu d−¬ng cña quü ®¹o thuËn chiÒu chuyÓn ®éng, ta cã: v = v1 + wτt; s = v1t +

1 wτt2. 2

Thêi ®iÓm t = T th× tµu ®Õn B, lóc ®ã v = v2 vµ s = λ. v2 = v1 + wτt; λ = v1T + Gi¶i hai ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc: T =

1 wτT2 2

2l v − v1 vµ w1 = 2 v1 + v 2 T

VËy ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña tµu lµ: s = v1t + VËn tèc cña tµu khi t = 2T b»ng: v = v1 +

v 2 − v1 2 t 2T

v 2 − v1 . 2T = 2v2 - v1 T

Gia tèc cña tµu lóc nµo còng nh− nhau v× chuyÓn ®éng th¼ng biÕn ®æi ®Òu. VËy:

w = wτ =

v 2 − v1 T

III. Bµi to¸n tæng hîp VÝ dô 5.9.

§iÓm chuyÓn ®éng víi vËn tèc ban ®Çu n»m ngang theo luËt: x = v0t; y =

1 2 gt 2

trong ®ã v0 vµ g lµ nh÷ng h»ng sè. T×m quü ®ao, vËn tèc, gia tèc tiÕp, gia tèc ph¸p cña ®iÓm vµ b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o (biÓu diÔn chóng qua vËn tèc cña ®iÓm t¹i vÞ trÝ ®ã).

Bµi gi¶i: 1. Chän ph−¬ng ph¸p: Bµi to¸n cho ë d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c nh−ng khi t×m gia tèc tiÕp, gia tèc ph¸p vµ b¸n kÝnh cong ta ph¶i chuyÓn sang d¹ng to¹ ®é tù nhiªn.

2. Quü ®¹o: Rót t tõ ph−¬ng tr×nh ®Çu,

114

thay vµo ph−¬ng tr×nh thø hai, ta ®−îc y=

g 2 x 2v 20

Quü ®¹o cña ®iÓm lµ ®−êng parab«n (h×nh 5.6).

H×nh 5.6 3. VËn tèc, gia tèc: Ta dïng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Òc¸c: ¸p dông (5.2) vµ (5.3). - VËn tèc: vx = x& = v0; vy = y& = gt;

v 20 + g2 t 2

Nh− vËy, lóc t = 0 ®iÓm cã vËn tèc v0, sau ®ã t¨ng liªn tôc theo thêi gian. x&= 0; wy = & y&= g; w = g = const - Gia tèc wx = & Ta thÊy ®iÓm chuyÓn ®éng víi gia tèc cã trÞ sè kh«ng ®æi vµ lu«n song song víi trôc Oy. Chó ý: ®©y kh«ng ph¶i lµ chuyÓn ®éng biÕn ®æi ®Òu (chuyÓn ®éng biÕn ®æi ®Òu khi wτ = const, chø kh«ng ph¶i w = const. D−íi ®©y sÏ thÊy wτ = const).

4. Gia tèc tiÕp, gia tèc ph¸p, b¸n kÝnh cong: Ta dïng ph−¬ng ph¸p to¹ ®é tù nhiªn: ¸p dông (5.14) dv = - Gia tèc tiÕp : wτ = dt

V×

g2 t

g2 t = v v 20 + g2 t 2

v2 = v 20 + g 2 t 2 nªn t =

1 2 v − v 20 g

thay t vµo wτ sÏ ®−îc biÓu thøc cña wτ phô thuéc vµo v: wτ =

g 2 v − v0 v

Tõ ®ã ta thÊy, t¹i thêi ®iÓm ®Çu v = v0 th× wτ = 0, sau ®ã wτ sÏ t¨ng theo v, khi v → ∞ th× wτ → g. Bëi vËy, ë giíi h¹n th× wτ = w. - Gia tèc ph¸p: w2 = w 2τ + w 2n

115

Do ®ã

w = w −w =g 2 n

2 τ

− g

− v 20

) =g

gv v 20 ; wn = 0 2 v v

Nh− vËy lóc ®Çu v = v0 th× wn = g, sau ®ã wn gi¶m khi v t¨ng vµ wn → 0. - B¸n kÝnh cong cña quü ®¹o: wn =

v2 v2 v3 = tõ ®ã: ρ = ρ wn v 0g v 20 sau ®ã sÏ t¨ng g

Ta thÊy lóc ®Çu b¸n kÝnh cong cã gi¸ trÞ cùc tiÓu ρmin = theo v, khi v → ∞ th× ρ → ∞.

5.4. Bµi tËp 5.4.1. BiÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, t×m c¸c ®Æc tr−ng chuyÓn ®éng 5.1. T¶i träng ®−îc n©ng lªn b»ng d©y c¸p ®µn håi dao ®éng theo ph−¬ng tr×nh x 3π ⎞ ⎛ = asin ⎜ kt + ⎟ trong ®ã a tÝnh theo cm, k theo 1/gi©y. H·y x¸c ®Þnh biªn ®é vµ 2 ⎠ ⎝

tÇn sè vßng dao ®éng cña t¶i träng, nÕu biÕt tr−íc chu kú dao ®éng lµ 0,4 gi©y vµ t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu x0 = - 4 cm, ®ång thêi vÏ ®−êng cong kho¶ng c¸ch.

Tr¶ lêi

1 : a = 4 cm, k = 4π . s

5.2. Theo c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®iÓm cho tr−íc, h·y x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh quü ®¹o cña ®iÓm. 1) x = 20t2 + 5

Tr¶ lêi

y = 15t2 + 3 2) x = 4t - 2t2

: nöa ®−êng th¼ng 3x - 4y = 3 víi ®iÓm gèc t¹i x = 5; y = 3.

Tr¶ lêi

: nöa ®−êng th¼ng 3x - 4y = 0, trong ®ã - ∞ < x ≤ 2,

y = 3t - 1,5t2

- ∞ < y ≤ 1,5. 3) x = 5 + 3cost y = 4 sint 116

Tr¶ lêi

: ellip

( x − 5) 9

y2 + = 1 16

4) x = at2

Tr¶ lêi

: parab«n ay2 - b2x = 0

Tr¶ lêi

: ellip 16x2 + 25 y2 - 400 = 0

Tr¶ lêi

: ®−êng trßn x2 + (y - 3)2 = 25

y = bt 5) x = 5sin

π t 2

y = 4cos

π t 2

6) x = 5cost y = 3 - 5sint 7) x = 3 + 4 cost

Tr¶ lêi

: ellip

( x − 3)

(y − 2) 25

y = 2 + 5 sint ⎛π ⎞ 8) x = 2cos ⎜ + πt ⎟ ⎝8 ⎠

Tr¶ lêi

: ellip

π π x 2 y 2 xy + sin = cos2 8 6 16 6 8

⎛π ⎞ y = 4sin ⎜ + πt ⎟ ⎝4 ⎠

5.3. Theo c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®iÓm cho tr−íc, h·y t×m quü ®¹o cña ®iÓm vµ chØ ra quy luËt chuyÓn ®éng cña ®iÓm theo quü ®¹o, trong ®ã kho¶ng c¸ch tÝnh tõ ®iÓm ban ®Çu. 1) x = 3t2

Tr¶ lêi

y = 4t2 2) x = 3 sint

s = 5t2.

Tr¶ lêi

y = 3 cos t 3) x = acos2t

y = 5 sin5t2

: ®−êng trßn x2 + y2 = 9; s = 3t.

Tr¶ lêi

: ®o¹n th¼ng x + y - a = 0; víi 0 ≤ x ≤ a; s = a 2 sin2t.

y = asin2t 4) x = 5cos5t2

: nöa ®−êng th¼ng 4x - 3y =0;

Tr¶ lêi

: ®−êng trßn x2 + y2 = 25; s = 25 t2.

5.4. CÇu trôc chuyÓn ®éng däc theo ph©n x−ëng theo ph−¬ng tr×nh x = t, mét xe têi tr−ît ngang trªn cÇu theo ph−¬ng tr×nh y = 1,5 t(x vµ y tÝnh theo m, t theo gi©y). D©y xÝch thu ng¾n l¹i víi vËn tèc v = 0,5 m/s. H·y x¸c ®Þnh quü ®¹o träng 117

t©m cña t¶i träng; biÕt r»ng t¹i vÞ trÝ ban ®Çu träng t©m nµy ë trong mÆt ph¼ng n»m ngang Oxy; trôc Oz h−íng th¼ng lªn trªn.

Tr¶ lêi : quü ®¹o lµ ®−êng th¼ng y = 1,5 x; z = 0,5 x. 5.5. ChuyÓn ®éng cña ®iÓm vÏ lªn h×nh Litxagi¬ cho bëi ph−¬ng tr×nh x=3sint, y=2cos2t (t tÝnh theo gi©y). H·y t×m ph−¬ng tr×nh quü ®¹o, vÏ nã vµ chØ ra h−íng chuyÓn ®éng cña ®iÓm t¹i c¸c thêi ®iÓm kh¸c nhau. §ång thêi h·y chØ ra thêi ®iÓm t 1 ®Çu tiªn quü ®¹o c¾t trôc Ox.

Tr¶ lêi : Mét phÇn parab«n 4x2 + 9y = 18, däc theo nã x ≤ 3, y ≤ 2 ; t1 =

π gi©y. 4

5.6. H·y x¸c ®Þnh quü ®¹o cña ®iÓm thùc hiÖn ®ång thêi hai dao ®éng ®iÒu hoµ cïng tÇn sè, nh−ng biªn ®é vµ pha kh¸c nhau, ngoµi ra hai dao ®éng nµy x¶y ra theo hai h−íng trùc giao : x = asin(kt + α) ; y = bsin(kt + β2)

Tr¶ lêi

x 2 y 2 2xy : ellip 2 + 2 − cos(α - β) = sin2(α - β). a b ab

5.7. Cho ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm (x, y, z tÝnh b»ng cm, t tÝnh b»ng s); t×m quü ®¹o, vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm: a) x = t3 + 2 y = 3 - t3

Tr¶ lêi

b) x = 10cos y = 10sin

2π t 5

y = - 4t - 4

: a) x + y = 5; (2 ≤ x ≤ ∞); v = 3 2 t2cm/s w = 6 2 tcm/s2

b) vßng trßn b¸n kÝnh 10 cm; v = 4 cm/s w = 1,6π2cm/s2 c) xy = - 16; y = - 2z (mÆt trô hypecbolic) v=

118

(

2 1 + t2

)

4 + 5 (1 + t ) cm/s; 4

c) x =

4 1+ t

z = 2t + 2

(1 + t )

cm/s2

5.8. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng theo luËt: x = t; y = sint2(x, y: cm, t : s) T×m: a) TrÞ sè vËn tèc cña ®iÓm lóc nã c¾t trôc Ox lÇn thø nhÊt kÓ tõ lóc b¾t ®Çu chuyÓn ®éng. b) TrÞ sè gia tèc ë thêi ®iÓm nµy. c) TrÞ sè vËn tèc cña ®iÓm t¹i vÞ trÝ cao nhÊt cña nã trªn quü ®¹o

Tr¶ lêi

: v = 3,68 cm/s; w = 2 cm/s2; v = 1 cm/s.

3π ⎞ ⎛ 5.9. Mét ®iÓm dao ®éng theo luËt x = asin ⎜ kt + ⎟ , ë ®©y biªn ®é a tÝnh b»ng 2 ⎠ ⎝ cm, tÇn sè k tÝnh b»ng rad/s. T×m a vµ k nÕu chu kú dao ®éng b»ng 0,4s vµ vÞ trÝ lóc ®Çu x0 = - 4m.

Tr¶ lêi

: a = 4 cm; k = 5rad/s.

5.10. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R theo luËt s = v0t -

1 2 at . 2

T×m: a) TrÞ sè gia tèc cña ®iÓm b) Thêi ®iÓm t vµ sè vßng N khi ®iÓm chuyÓn ®éng nhËn ®−îc gia tèc b»ng a.

Tr¶ lêi

: a) w =

1 4 aR 2 + ( v 0 − at ) R

v0 v 20 ;N= b) w = a, lóc t = 4πaR a

5.11. H·y t×m quü ®¹o cña chuyÓn ®éng ®iÓm nhËn ®−îc b»ng c¸ch hîp hai dao ®éng trùc giao kh¸c tÇn sè: 1. x = asin2ωt, y = asinωt. 2. x = acos2ωt, y = acosωt.

Tr¶ lêi

: 1) x2a2 = 4y2(a2 - y2) 2) 2y2 - ax - a2 = 0, trong ®ã x ≤ a, y ≤ a . 119

5.12. Tay quay (maniven) OA quay víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω = 10s-1. §é dµi OA = AB = 80 cm. H·y t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ quü ®¹o cña ®iÓm gi÷a M cña thanh biªn, còng nh− ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña con tr−ît B, biÕt r»ng t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu con tr−ît ë vÞ trÝ cùc ph¶i, hÖ trôc to¹ ®é nh− trong h×nh vÏ.

Tr¶ lêi ellip

: 1) Quü ®¹o ®iÓm M lµ: x2 y2 + = 1 120 2 402

2) Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña con tr−ît B: x = 160 cos10t.

H×nh bµi 5.12

5.13. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm trªn vµnh b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît theo ®−êng ray th¼ng cã d¹ng: x = a(kt - sinkt), y = a(1 - coskt), H·y x¸c ®Þnh nh÷ng thêi ®iÓm, khi ®iÓm nµy ë vÞ trÝ thÊp nhÊt, trung b×nh vµ cao nhÊt trªn quü ®¹o; xem r»ng trôc y h−íng lªn trªn.

Tr¶ lêi

2π λ gi©y; k

⎛ π 2π ⎞ + λ ⎟ gi©y; 2) ⎜ ⎝ 2k k ⎠ ⎛ π 2π ⎞ 3) ⎜ + λ ⎟ gi©y; λ = 0, 1, 2, 3, ... ⎝k k ⎠

5.14. H·y t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ quü ®¹o cña ®iÓm trªn vµnh b¸nh xe b¸n kÝnh R = 1 m cña ®Çu m¸y h¬i n−íc, nÕu ®Çu m¸y nµy chuyÓn ®éng theo ®−êng th¼ng víi vËn tèc kh«ng ®æi 20 m/s. Gi¶ thiÕt r»ng b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît, vÞ trÝ ban ®Çu cña ®iÓm trªn ®−êng ®ã lÊy lµm gèc to¹ ®é vµ chän trôc Ox däc theo ®−êng.

Tr¶ lêi

: Xicl«it x = 20t - sin 20t; y = 1 - cos20t.

5.15. Bom r¬i tõ m¸y bay chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh: x = 40 t, y = 4,9 t2 (x, y tÝnh theo m, t theo gi©y); chän gèc to¹ ®é t¹i ®iÓm bom b¾t ®Çu r¬i, trôc Ox n»m ngang, trôc Oy h−íng xuèng d−íi. H·y t×m ph−¬ng tr×nh quü ®¹o bom vµ x¸c 120

®Þnh thêi gian r¬i vµ tÇm bay xa cña bom theo ph−¬ng n»m ngang, biÕt r»ng m¸y bay bay ë ®é cao h = 3000 m.

Tr¶ lêi

: y = 0,00306 x2; t = 24,74 gi©y; L = 989,6 m.

5.16. Con l¾c chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh λ theo luËt s = asinkt, trong ®ã a vµ k lµ çc h»ng sè. T×m vËn tèc, gia tèc tiÕp, gia tèc ph¸p cña con l¾c vµ çc vÞ trÝ t¹i ®ã çc ®¹i l−îng nµy b»ng kh«ng.

H×nh bµi 5.16 Tr¶ lêi

: v = akcoskt; wτ = - ak2sinkt;wn = -

a2k2 cos2kt. l2

wn = 0 t¹i 2 vÞ trÝ biªn; wτ = 0 t¹i vÞ trÝ c©n b»ng.

5.17. Hai ®iÓm cïng b¾t ®Çu chuyÓn ®éng tõ mét ®iÓm trªn vßng trßn b¸n kÝnh R = 16 m theo hai chiÒu ng−îc nhau. §iÓm thø nhÊt chuyÓn ®éng theo luËt s = at + π 2sin t, trong ®ã a = const, cßn ®iÓm thø hai cã gia tèc ph¸p wn = 4t2. Khi hai 2

®iÓm gÆp nhau th× gia tèc cña ®iÓm thø hai b»ng 4 5 m/s2. T×m a vµ thêi ®iÓm gÆp nhau.

Tr¶ lêi

: a = 32π - 6; t = 1s.

5.4.2. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ c¸c ®Æc tr−ng chuyÓn ®éng 5.18. C¬ cÊu cam nh− h×nh vÏ. Cam lµ ®Üa trßn cã b¸n kÝnh r, trôc quay O c¸ch t©m C mét ®o¹n OC = a. Cam quay quanh O theo luËt ϕ = ωt. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ vËn tèc cña thanh AB.

H×nh bµi 5.18 121

: y=acosϕ +r 1 − λ 2 sin 2 ϕ ;

Tr¶ lêi

⎛ ⎞ λ a (λ= ,ϕ=ωt);v = ⎜ 1 − ⎟ a sin ωt 2 r 1 − λ sin ωt ⎠ ⎝

π 5.19. Con ch¹y chuyÓn ®éng th¼ng víi gia tèc wx = - π2sin t m/s2. T×m ph−¬ng 2

tr×nh chuyÓn ®éng, biÕt vËn tèc ®Çu cña con ch¹y lµ vox = 2π m/s vµ vÞ trÝ ®Çu cña nã trïng víi gèc to¹ ®é.

Tr¶ lêi

: x = 4sin

π t m. 2

5.20. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng tõ gèc to¹ ®é, cã h×nh chiÕu lµ wx = - a; wy = a. VËn tèc ®Çu cã h×nh chiÕu v0x = v0; voy = 0. T×m quü ®¹o vµ trÞ sè nhá nhÊt cña vËn tèc. 2v 20 v : (x + y) = y ; vmin = 0 . a 2 2

Tr¶ lêi

5.21. §é dµi cña th−íc vÏ ellip AB = 40 cm, ®é dµi cña tay quay OC = 20 cm, AC = BC. Tay quay quay ®Òu xung quanh trôc O víi vËn tèc gãc ω. H·y t×m ph−¬ng tr×nh quü ®¹o vµ tèc ®é cña ®iÓm M n»m c¸ch ®Çu th−íc A mét kho¶ng AM = 10 cm.

Tr¶ lêi

x2 y2 + =1; 900 100

H×nh bµi 5.21

x12 y12 + =1 900ω2 100ω2

5.22. VËn tèc cña tµu ho¶ v0 = 72 km/h, b¸n kÝnh cña b¸nh tµu R = 1m; b¸nh tµu l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng ray th¼ng.

122

1) H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ vµ h−íng vËn tèc v cña ®iÓm M n»m trªn vµnh b¸nh, khi b¸n kÝnh ®iÓm M hîp víi h−íng vËn tèc v0 mét gãc

π + α. 2

2) X©y dùng tèc ®å ®iÓm M vµ x¸c ®Þnh vËn

H×nh bµi 5.22

tèc v1 cña ®iÓm vÏ nªn tèc ®å.

Tr¶ lêi

: 1) VËn tèc v = 40 cos

α m/s vµ h−íng theo ®−êng th¼ng MA. 2

2) §−êng trßn ρ = 2v0cosθ, trong ®ã θ = (xem h×nh vÏ); v1 =

α , b¸n kÝnh r = v0 2

v 20 = 400 m/s2. R

5.23. H·y x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vµ quü ®¹o ®iÓm M cña b¸nh xe toa tµu b¸n kÝnh R = 0,5 m; ®iÓm nµy c¸ch trôc mét kho¶ng a = 0,6 m vµ t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu n»m thÊp h¬n ®−êng ray 0,1 m; cho biÕt toa tµu chuyÓn ®éng theo ®−êng th¼ng víi vËn tèc v = 10 m/s. §ång thêi h·y x¸c ®Þnh nh÷ng thêi ®iÓm, khi ®iÓm M qua vÞ trÝ thÊp nhÊt, cao nhÊt, vµ h×nh chiÕu vËn tèc cña nã lªn trôc Ox, Oy t¹i nh÷ng thêi ®iÓm ®ã. Trôc Ox trïng víi ®−êng ray, trôc Oy ®i qua vÞ trÝ thÊp nhÊt ban ®Çu.

Tr¶ lêi

: Xicl«it kÐo dµi: x = 10t - 0,6 sin 20t, y = 0,5 - 0,6 cos 20t; Víi t =

πk gi©y, cã vÞ trÝ thÊp nhÊt 10

vx = - 2m/s; vy = 0; víi t =

π (2k + 1) gi©y, cã vÞ trÝ cao nhÊt, 20

vx = 22 m/s, vy = 0; (k = 0, 1, 2, 3, ...) 123

5.24. §Çu bóa m¸y r¬i xuèng tõ ®é cao 2,5 m, thêi gian ®Ó bóa ®¹t tíi ®é cao ®ã gÊp ®«i thêi gian r¬i xuèng. T×m sè lÇn ®Ëp cña bóa trong mét phót, nÕu coi lµ bóa r¬i tù do víi gia tèc 9,8 m/s2.

Tr¶ lêi

: 28 lÇn.

5.25. Mét xe chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R = 400 m víi vËn tèc v0 = 18 km/h. Xe chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu vµ 1 phót sau ®¹t ®−îc vËn tèc 72 km/h. T×m gia tèc tiÕp, ph¸p, toµn phÇn cña xe vµ ®o¹n ®−êng mµ xe ®i ®−îc sau 20s kÓ tõ lóc b¾t ®Çu chuyÓn ®éng.

Tr¶ lêi

: Wt = wn = w=

1 m/s2; 4

1 m/s2; 4 2 m/s2. 4

H×nh bµi 5.26

s = 150 m. 5.26. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu trªn mÆt nghiªng AB sau ®ã chËm dÇn ®Òu trªn mÆt ngang vµ cuèi cïng dõng l¹i ë C. BiÕt AB = S1; BC = S2 vµ thêi gian ®iÓm chuyÓn ®éng tõ A ®Õn C lµ T. T×m trÞ sè c¸c gia tèc a1 vµ a2 khi ®iÓm chuyÓn ®éng trªn AB vµ BC. Lóc ®Çu ë A vËn tèc cña ®iÓm b»ng kh«ng.

Tr¶ lêi

: a1 =

2 ( S1 + S 2 ) S 1T 2

;

a2 =

2 ( S1 + S 2 )

S2T 2

5.4.3. Bµi to¸n tæng hîp 5.27. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh R = 8 m víi t©m C cã to¹ ®é (8, 0). VÞ trÝ cña ®iÓm trªn vßng trßn ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gãc hîp gi÷a b¸n kÝnh vÐct¬ cña ®iÓm vµ trôc x: ϕ =

π π sin t 2 2

a) LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm d−íi d¹ng to¹ ®é tù nhiªn. X¸c ®Þnh vËn tèc, gia tèc toµn phÇn cña ®iÓm lóc ®Çu vµ lóc h−íng cña chuyÓn ®éng thay ®æi. 124

b) LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm d−íi d¹ng to¹ ®é §Òc¸c.

Tr¶ lêi

π π4 : a) a = 4πsin t m; t = 0; v = 2πm/s; w = m/s2 2 2

t = 1; v = 0; w = π3 m/s2. b) x = 8 + 8 cos(

π π π π sin t)m; y = 8sin( sin t)m. 2 2 2 2

5.28. T×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng däc quü ®¹o cña ®iÓm, nÕu biÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña nã d−íi d¹ng §Òc¸c: a) x = 3t2 + 5;

y = 4t2 + 3

b) x = acost;

y = asint ; z = ct

c) x = etcost;

y = etsint; z = et

d) x = 4acos2ωt;

Tr¶ lêi

: a) s = 5t2; c) s =

y = asin2ωt. b) = s =

a 2 + c2 t

3 (et - 1); d) s = 5asin2ωt

5.29. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng theo luËt: x = 300t, y = 400t - 5t2 (t : s; x vµ y:m). T×m: a) VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm ë thêi ®iÓm ®Çu. b) §é cao vµ tÇm xa cña ®iÓm. c) B¸n kÝnh cong cña quü ®¹o ë ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cao nhÊt.

Tr¶ lêi

: v0 = 500 m/s; W0 = 10 m/s2; h = 8km; s = 24 km ρ0 = 41,67 km; ρ = 9 km.

5.30. Mét ®iÓm chuyÓn ®éng theo ®−êng ®inh èc cã ph−¬ng tr×nh s = 2cos4t, y = 2sin4t, z = 2t(x, y, z:m). T×m b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o.

Tr¶ lêi

1 : ρ = 2 m. 8

5.31. H·y x¸c ®Þnh vËn tèc ®iÓm gi÷a M cña thanh biªn c¬ cÊu tay quay vµ vËn tèc cña con tr−ît; cho tr−íc r = λ = a, ϕ = ωt, trong ®ã ω = const.

H×nh bµi 5.31 125

Tr¶ lêi

: 1) v =

a ω 9sin 2 ωt + 1 . 2

2) v = 2aωsinωt.

5.32. Bom nÐm tõ m¸y bay chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh x = v0t, y = h -

gt 2 ; 2

trôc Ox n»m ngang, trôc Oy h−íng lªn trªn. H·y x¸c ®Þnh: 1) ph−¬ng tr×nh quü ®¹o; 2) vËn tèc cña bom (gi¸ trÞ vµ h−íng) t¹i thêi ®iÓm bom c¾t trôc Ox; 3) ®é bay xa; 4) ph−¬ng tr×nh tèc ®å cña bom vµ vËn tèc v1 cña ®iÓm vÏ nªn tèc ®å.

Tr¶ lêi

: 1) y = h - g

2) v = 3) x = v0

x2 . 2v 20

v 20 + 2gh ; cos(v, x) =

v0 ; cos(v, y) = v

2gh . v

2h . g

4) §−êng th¼ng ®øng tÝnh tõ ®iÓm c¸ch gèc to¹ ®é mét kho¶ng v0; v1y = - g.

126

Ch−¬ng 6. ChuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n quanh mét trôc cè ®Þnh ViÖc nghiªn cøu chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cña vËt r¾n ®−îc ®−a vÒ viÖc nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña ®iÓm nªn bµi to¸n nµy trë vÒ bµi to¸n trong ch−¬ng 5. 6.1. C¬ së lý thuyÕt 6.1.1. ChuyÓn ®éng cña vËt 1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt ϕ = ϕ(t)

(6.1)

trong ®ã ϕ ®−îc tÝnh b»ng rad lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng g¾n vµo vËt vµ mÆt ph¼ng cè ®Þnh (hai mÆt ph¼ng nµy ®Òu chøa trôc quay) víi chiÒu quay d−¬ng ®−îc ®Þnh tr−íc. 2. VËn tèc gãc cña vËt ω (rad/s) vËt quay theo chiÒu d−¬ng dϕ ⎧ω > 0 : ω= (6.2) ⎨ dt ⎩ω < 0 : vËt quay theo chiÒu ©m ω=

πn 30

(6.2)

(6.3)

trong ®ã n lµ sè vßng quay trong mét phót.

H×nh 6.1.

127

3. Gia tèc gãc cña vËt ε (rad/s2) dω d 2 ϕ ε= = dt dt 2

(6.4)

4. TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng vËt quay nhanh dÇn ⎧> 0 : ϖ. ε ⎨ ⎩< 0 : vËt quay chËm dÇn

(6.5)

5. C¸c chuyÓn ®éng quay ®Æc biÖt: Chän vÞ trÝ ®Çu lµm gèc vµ chiÒu d−¬ng thuËn chiÒu quay a) Quay ®Òu ε = 0; ω = ω0 = const; ϕ = ω0t

(6.6)

b) Quay biÕn ®æi ®Òu: ε = ε0 = const; ω = ε0t + ω0 ; ϕ=

1 2 ε0t + ω0t: 2

(6.7)

trong ®ã: ε0 > 0 chuyÓn ®éng nhanh dÇn ®Òu, ε0 < 0 chËm dÇn ®Òu cho tíi khi dõng l¹i (ω = 0); ω0 - vËn tèc gãc cña vËt t¹i thêi ®iÓm ®Çu.

6.1.2. ChuyÓn ®éng cña c¸c ®iÓm thuéc vËt 1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm: ¼ = R.ϕ(t) S = DM

(6.8)

trong ®ã R lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm kh¶o s¸t M ®Õn trôc quay.

H×nh 6.2. 2. VËn tèc cña ®iÓm

128

⎧ Ph−ong : th¼ng gãc víi b¸n kÝnh OM r⎪ v ⎨ChiÒu : thuËn chiÒu quay cña vËt ⎪Gi¸ trÞ : v = Rω ⎩

(6.9)

3. Gia tèc cña ®iÓm r r r w =w +w τ n ⎧ Ph−ong : th¼ng gãc víi b¸n kÝnh OM r ⎪ w ⎨ChiÒu : thuËn chiÒu ε τ ⎪Gi¸ trÞ : w = Rε τ ⎩

(6.10)

⎧ Ph−¬ng: däc theo b¸n kÝnh OM r ⎪ w n ⎨ ChiÒu: H−íng vµo trôc quay ⎪ ⎩ Gi¸ trÞ: w = Rω2

w = w 2τ + w 2n = R ε 2 + ω4

tgα =

ε ω2

(6.11) (6.12)

trong ®ã α lµ gãc nghiªng gi÷a gia tèc toµn phÇn víi b¸n kÝnh OM 6.1.3. Bµi to¸n truyÒn ®éng 1. TruyÒn chuyÓn ®éng quay nhê b¸nh r¨ng, b¸nh ma s¸t, ®ai truyÒn, xÝch:

i12 =

⎞ ω1 r ⎛ z = ± 2 ⎜ = ± 2 cho tr−êng hîp b¸nh r¨ng ⎟ r1 ⎝ z1 ω2 ⎠

(6.13)

r - b¸n kÝnh b¸nh, Z - sè r¨ng cña b¸nh r¨ng; DÊu +: ¨n khíp trong, ®ai th¼ng (H 6.3, a1, b1) DÊu -: ¨n khíp ngoµi, ®ai chÐo (H6.3, a2, b2) 2. TruyÒn ®éng gi÷a vËt quay quanh trôc cè ®Þnh vµ vËt tÞnh tiÕn b»ng thanh r¨ng hay b»ng ma s¸t (H.6.3c):

v = R.ω

(6.14)

v - vËn tèc vËt tÞnh tiÕn, ω - vËn tèc gãc vËt quay. 129

H×nh 6.3.a1 H×nh 6.3.b1

H×nh 6.3.a2

H×nh 6.3.b2

H×nh 6.3.c 6.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i I. C¸c lo¹i bµi to¸n 1. Bµi to¸n mét vËt

- BiÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, çc yÕu tè ®Æc tr−ng ®éng häc cña vËt, t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, çc yÕu tè ®Æc tr−ng ®éng häc cña mét ®iÓm trªn vËt. - BiÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, çc yÕu tè ®Æc tr−ng ®éng häc cña ®iÓm trªn vËt, t×m ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng, çc yÕu tè ®Æc tr−ng ®éng häc cña vËt. 130

2. Bµi to¸n truyÒn ®éng. II. Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n

+ T×m ω, ε: ¸p dông (6.2), (6.3), (6.4) hoÆc suy tõ (6.9), (6.10), (6.11). Tr−êng hîp vËt quay biÕn ®æi ®Òu th× dïng (6.7). + T×m tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng: ¸p dông (6.5) + T×m vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm thuéc vËt: ¸p dông (6.9), (6.10), (6.11), (6.12). + T×m sù liªn hÖ vÒ truyÒn chuyÓn ®éng: ¸p dông (6.13), (6.14). 6.3. Bµi gi¶i mÉu 6.3.1. BiÕt chuyÓn ®éng cña vËt hoÆc ®iÓm thuéc vËt t×m c¸c ®Æc tr−ng chuyÓn ®éng VÝ dô 6.1.

Mét trôc quay ®−îc n = 90 v/ph. Sau khi ng¾t ®éng c¬, trôc b¾t ®Çu

quay chËm dÇn ®Òu vµ sau t1 = 40 s th× dõng h¼n. H·y x¸c ®Þnh sè vßng mµ trôc quay ®−îc trong thêi gian ®ã. Bµi gi¶i: V× trôc quay chËm dÇn ®Òu, nªn ta cã:

ϕ = ω0t + ε

t2 2

ω = ω0 + εt

(a) (b)

VËn tèc gãc ban ®Çu khi trôc quay chËm dÇn chÝnh lµ vËn tèc cña trôc tr−íc khi ng¾t ®éng c¬. Do ®ã: ω0 =

πn 30

T¹i thêi ®iÓm t = t1, vËn tèc gãc cña trôc lµ ω1 = 0. Thay c¸c gi¸ trÞ ®ã vµo ph−¬ng tr×nh (b), ta ®−îc: 0 =

πn πn + εt1 vµ ε = 30 30t1

NÕu gäi sè vßng mµ trôc quay ®−îc trong thêi gian t1 lµ N (kh«ng nhÇm lÉn víi n lµ vËn tèc gãc !), th× gãc quay trong thêi gian ®ã sÏ b»ng ϕ1 = 2πN. Thay c¸c gi¸ trÞ võa t×m ®−îc cña ε vµ ϕ1 vµo ph−¬ng tr×nh (a), ta ®−îc:

131

2πN = Tõ ®©y suy ra VÝ dô 6.2.

πn πn πn t1 t1 = t1 30 60 60

nt1 = 30 vßng 120

Thanh OA quay quanh trôc O theo luËt ϕ =

π 3 t 6

T×m tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña thanh vµ vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm A lóc thanh quay ®−îc 18 vßng. BiÕt OA = λ = 20 cm (h×nh.6.4) Bµi gi¶i: a) tr−íc hÕt ta cÇn t×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña thanh. Theo

(6.2) vµ (6.4):

ω = ϕ&=

π 2 & &= πt t ;ε = ϕ 2

Gäi t1 lµ thêi ®iÓm mµ thanh quay ®−îc 18 vßng, øng víi ϕ1 = 18.2π = 36 π. Tõ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta cã: 36π =

π 3 t 6

Rót ra: t1 = 6s. øng víi t1: ω1 =

π 2 6 = 18 π rad/s. 2

ε1 = 6π rad/s2

Lóc ®ã ω1 . ε1 > 0: VËt ®ang quay nhanh dÇn.

H×nh 6.4

b) VËn tèc, gia tèc ®iÓm A: theo (6.9), (6.10), (6.11): v = λω1 = 0,2 . 18π = 11,3 m/s wτ = λε1 = 0,2 . 6 π = 3,8 m/s2;

wn = λ ω12 = 0,2 . (18π)2 = 648 m/s2

C¸c vect¬ vÏ ë h×nh 6.4. VÝ dô 6.3.

Mét vËt quay quanh trôc cè ®Þnh. ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t, ®iÓm A

c¸ch trôc quay kho¶ng R = 0,5 cm cã vËn tèc v = 2m/s vµ gia tèc (toµn phÇn) lµ 8 3 m/s2. a) T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña vËt

132

b) T×m vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm B c¸ch trôc quay mét kho¶ng r = 0,2 m (H.6.5) Bµi gi¶i: a) VËn tèc ®iÓm A ®· biÕt, vËy vËn tèc gãc cña vËt lµ:

ω=

vA 2 = = 4rad / s. R 0,5

§Ó t×m gia tèc gãc cña vËt, ph¶i biÕt gia tèc tiÕp cña ®iÓm A. Theo (6-11), (6-12): w nA = Rω2 = 0,5.42 = 8m/s2.

w τA = w A2 − ( w An ) = 2

(8 3 )

− 82 = 8 2 m/s2

Tõ (6-10) ta cã gia tèc gãc cña vËt lµ: ε=

w τA 8 2 = = 16 2 rad/s2 R 0,5

H×nh 6.5

r C¨n cø w A ®· cho, ta thÊy ε cã chiÒu ng−îc ω. Nh− vËy lóc kh¶o s¸t vËt

quay chËm dÇn (ω, ε <0). b) BiÕt ω vµ ε cña vËt, ta dÔ dµng tÝnh ®−îc vËn tèc, gia tèc ®iÓm B nh− VÝ dô 6.2 nh−ng còng cã thÓ suy trùc tiÕp theo tû lÖ: v B w B r 0, 2 2 = = = = v A w A R 0,5 5

VËy vB = VÝ dô 6.4.

2 2 16 3 vA = 0,8 m/s; wB = wA = m/s2 5 5 5

Mét b¸nh ®µ b¸n kÝnh R = 1,2 m quay ®Òu víi n = 90 v/ph. H·y x¸c

®Þnh vËn tèc tuyÕn tÝnh vµ gia tèc cña mét ®iÓm n»m trªn vµnh cña b¸nh ®µ. Bµi gi¶i: VËn tèc tuyÕn tÝnh cña ®iÓm b»ng v = Rω, trong ®ã ω lµ vËn tèc

gãc biÓu diÔn b»ng rad/s. Trong tr−êng hîp nµy: ω =

πn 1 = 3π 30 s

133

Nªn

πn R≈ 11,3 m/s 30

V× ω = connt, nªn ε = 0 vµ do ®ã: w = wn = Rω2 =

π2 n 2 R ≈ = 106,6 m/s2 900

Gia tèc cña ®iÓm trong tr−êng hîp nµy cã chiÒu h−íng vÒ trôc quay. VÝ dô 6.5.

Trong giai ®o¹n lÊy ®µ, b¸nh ®µ quay theo quy luËt ϕ=

9 3 t 32

H·y x¸c ®Þnh vËn tèc tuyÕn tÝnh vµ gia tèc cña ®iÓm ë c¸ch trôc quay mét kho¶ng h = 0,8 m khi gia tèc tiÕp tuyÕn cña ®iÓm ®ã b»ng gia tèc ph¸p tuyÕn cña nã. Bµi gi¶i. Ta x¸c ®Þnh vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña b¸nh ®µ ω=

dϕ 27 2 dω 27 = t , ε= = t dt 32 dt 16

§èi víi gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña ®iÓm, ta cã c¸c c«ng thøc wτ = hε, wn = hω2. Gäi thêi ®iÓm lóc wτ = wn lµ t1. DÜ nhiªn lµ ë thêi ®iÓm ®ã ε1 = ω12 hay 2

27 ⎛ 27 ⎞ t1 = ⎜ ⎟ t14 , 16 ⎝ 32 ⎠

Tõ ®ã ta cã t13 =

64 4 vµ t1 = s. Thay gi¸ trÞ cña t1 vµo biÓu thøc cña ω vµ ε, 27 3

ta t×m ®−îc ë thêi ®iÓm t1; ω1 =

3 9 1/s , ε1 = 1/s2 2 4

Tõ ®©y ta x¸c ®Þnh ®−îc c¸c ®¹i l−îng cÇn t×m b»ng v1 = hω1 = 1,2 m/s; w1 = h ε12 + ω4 = 1,8 2 ≈ 2,54m / s 2 Vect¬ w1 lËp víi vect¬ vËn tèc cña ®iÓm ®ã mét gãc b»ng 450. 6.3.2. TruyÒn chuyÓn ®éng quay quanh c¸c trôc cè ®Þnh VÝ dô 6.6.

Mét hép biÕn tèc nh− h×nh 6.6. Sè r¨ng cña c¸c b¸nh t−¬ng øng lµ

Z1 = 10; Z2 = 60; Z3 = 12; Z4 = 70. T×m tØ sè truyÒn cña 2 trôc A vµ B. 134

Bµi gi¶i: B¸nh 1 vµ 2 ¨n khíp ngoµi, nªn tØ sè truyÒn lµ:

i12 =

ω1 Z =− 2 Z1 ω2

(a)

B¸nh 2 vµ 3 g¾n cøng trªn mét trôc, nªn ω2 = ω3 B¸nh 3 vµ 4 ¨n khíp ngoµi, nªn: ω3 Z =− 4 ω4 Z3

(b)

Nh©n (a) vµ (b)

ω1 ω3 ZZ = 2 4 (a) . ω2 ω4 Z1Z3

i34 =

V× ω1 = ωA; ω4 = ωB nªn : H×nh 6.6

i14 =

ωA ZZ 60.70 = 2 4 = = 35 Z1Z3 10.12 ωB

VËy trôc B quay cïng chiÒu víi trôc A nh−ng chËm h¬n 35 lÇn. VÝ dô 6.7.

C¬ cÊu têi nh− h×nh 6.7. Do h·m bÞ háng nªn vËt M r¬i xuèng

theo ph−¬ng tr×nh x = 3t2 (x : cm; t: s). T×m vËn tèc vµ gia tèc cña ®Çu mót A cña tay quay t¹i t = 2s. BiÕt ®−êng kÝnh cña trèng lµ d = 40 cm, ®é dµi tay quay λ = 40 cm, sè r¨ng cña b¸nh Z1 = 72; Z2 = 24. Bµi gi¶i:

1. XÐt ®iÓm M x&= 6 vM = x&= 6t cm/s; wM = &

cm/s2 2.

Gäi N lµ ®iÓm trªn vµnh

trèng ta cã: 135

H×nh 6.7

vN = vM = 6t cm/s; w τN = wM = 6 cm/s. Suy ra ω1 =

ε1 =

v N 6t = = 0,3t rad/s; d 20 2

w τN 6 = = 0,3 rad/s2 . chiÒu cña ω1 vµ ε1 nh− h×nh vÏ. d 20 2

3. B¸nh 1 vµ 2 ¨n khíp ngoµi TrÞ sè vËn tèc gãc b¸nh 2 ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: VËy: ω2 =

ω2 Z1 = ω1 Z2

Z1 72 ω1 = ⋅ 0,3t = 0,9t rad/s. Suy ra: ω2 = 0,9 rad/s Z2 24

Lóc t = 2s th× ω2 = 1,8 rad/s; ε2 = 0,9 rad/s2. 4. XÐt chuyÓn ®éng ®iÓm A: vA = λω2 = 40. 1,8 = 72 cm/s; wA = λ ω22 = 40. (1,8)2 = 130 cm/s2 w τN = λε2 = 40 . 0,9 = 36 cm/s2 ; w =

VÝ dô 6.8.

362 + 1302 = 135 cm/s2.

T¶i träng B lµm quay trôc b¸n kÝnh r vµ b¸nh r¨ng 1 cã b¸n kÝnh r1

®−îc g¾n chÆt vµo trôc. Cho r»ng t¶i träng b¾t ®Çu chuyÓn ®éng tõ tr¹ng th¸i ®øng yªn víi gia tèc a kh«ng ®æi. H·y x¸c ®Þnh quy luËt quay cña b¸nh r¨ng 2 b¸n kÝnh r2 liªn kÕt khíp víi b¸nh r¨ng 1 (h×nh 6.8). Bµi gi¶i:

136

V× t¶i träng B b¾t ®Çu chuyÓn ®éng víi vËn tèc ban ®Çu b»ng kh«ng, nªn vËn tèc vn cña nã t¹i mçi thêi ®iÓm t b»ng vn = at. §Êy còng lµ vËn tèc cña c¸c ®iÓm trªn vµnh ngoµi cña trôc. Nh−ng mÆt kh¸c vËn tèc cña c¸c ®iÓm nµy l¹i b»ng ω1r, trong ®ã ω1 lµ vËn tèc gãc chung cña c¶ trôc lÉn b¸nh

H×nh 6.8

r¨ng 1. Do ®ã: ω1r = at, ω1 =

at r

B©y giê ta t×m ω2. V× ë ®iÓm khíp C hai b¸nh r¨ng ph¶i cã cïng vËn tèc tuyÕn tÝnh, nªn v1 = ω1r1 = ω2r2. Tõ ®©y suy ra:

ω2 =

r1 ra ω1 = 1 t r2 r2 r

VËy, vËn tèc gãc cña b¸nh r¨ng 2 t¨ng tØ lÖ víi thêi gian. BiÕt r»ng ω2 = dϕ2 ra , trong ®ã ϕ2 lµ gãc quay cña b¸nh r¨ng, ta ®−îc: dϕ2 = 1 tdt dt r2 r

LÊy tÝch ph©n c¶ hai vÕ vµ gi¶ thiÕt r»ng khi t = 0, th× ϕ2 = 0, cuèi cïng ta t×m ®−îc quy luËt chuyÓn ®éng quay nhanh dÇn ®Òu cña b¸nh r¨ng 2 d−íi d¹ng: ϕ2 =

r1a 2 t 2rr2

6.4. Bµi tËp 6.4.1. BiÕt chuyÓn ®éng cña vËt hoÆc ®iÓm thuéc vËt, t×m c¸c ®Æc tr−ng cña chuyÓn ®éng 6.1. R« to cña tuabin quay nhanh dÇn ®Òu, ë thêi ®iÓm t1 vµ t2 cã tèc ®é t−¬ng

øng lµ n1 = 1300 vßng/phót vµ n2 = 4000 vßng/phót. T×m gia tèc gãc ε vµ sè vßng quay N mµ r«to quay ®−îc trong thêi gian t = t2 - t1 = 30 s. 137

Tr¶ lêi: ε = 3π rad/s2; N = 1325 vßng. 6.2. H·y x¸c ®Þnh vËn tèc gãc cña: 1) kim gi©y ®ång hå, 2) kim phót, 3 kim giê,

4) tr¸i ®Êt quay quanh trôc cña nã, 5) tuèc bin h¬i Lavan quay 15.000 vßng/phót. Tr¶ lêi: 1) ω =

π −1 s = 0,1047 s-1 30

2) ω =

π −1 s = 0,001745 s-1 1800

3) ω =

π s −1 = 0,0001455 s-1 21600

4) ω =

π s −1 = 0,0000727 s-1 43200

5) ω = 1571 s-1. 6.3. H·y viÕt ph−¬ng tr×nh quay cña ®Üa cña tuèc bin h¬i khi ®ang vËn hµnh, biÕt

r»ng gãc quay tØ lÖ bËc ba víi thêi gian vµ t¹i t = 3 gi©y vËn tèc gãc cña ®Üa t−¬ng øng b»ng n = 180vßng/phót Tr¶ lêi: ϕ = πt3 ra®ian 6.4. Mét trôc m¸y ®ang quay víi tèc ®é n = 1200 vßng/phót th× h·m l¹i. Sau ®ã

trôc quay chËm dÇn ®Òu vµ quay ®−îc 80 vßng th× dõng h¼n. T×m thêi gian h·m. Tr¶ lêi: 8s. 6.5. Mét r«to quay nhanh dÇn ®Òu tõ tr¹ng th¸i nghØ, khi ®¹t mét vËn tèc gãc nµo

®ã th× quay chËm dÇn víi cïng trÞ sè gia tèc gãc råi ngõng l¹i. BiÕt thêi gian tæng céng lµ T gi©y vµ sè vßng quay t−¬ng øng lµ N vßng. T×m vËn tèc gãc cùc ®¹i cña r«to. Tr¶ lêi: ωmax =

4πN T

6.6. Qu¶ cÇu A treo ë ®Çu sîi d©y dµi λ = 398 cm, dao ®éng trong mÆt ph¼ng

th¼ng ®øng theo luËt: 138

ϕ=

π π sin t (ϕ: rad; t:s) 8 2

T×m: a) Thêi ®iÓm ®Çu tiªn tõ khi b¾t ®Çu chuyÓn ®éng ®Ó gia tèc ph¸p cña qu¶ cÇu b»ng kh«ng. b) Thêi ®iÓm ®Çu tiªn ®Ó gia tèc tiÕp b»ng kh«ng. c) Gia tèc toµn phÇn lóc t = 2s. Tr¶ lêi: t = 1s; t = 2s; w = 282,95 cm/s2 6.7. Mét vËt quay quanh trôc cè ®Þnh theo luËt: ϕ = σt +

σ − γt ( e − 1) γ

trong ®ã σ vµ γ lµ nh÷ng hÖ sè kh«ng ®æi. T×m a) vËn tèc gãc, gia tèc gãc cña vËt vµ tÝnh chÊt chuyÓn ®éng. b) Giíi h¹n cña vËn tèc gãc, gia tèc gãc cña vËt vµ vËn tèc, gia tèc ®iÓm M c¸ch trôc quay mét kho¶ng r. a) ω = σ - e-γt; ε = γe-γt: chuyÓn ®éng quay lµ nhanh dÇn cho ®Õn

Tr¶ lêi:

lóc σ ≤ e-γt ω = σ; lim ε = 0 = 0 . Lóc ®ã vM = σr; b) lim t →∞ t →∞

wM = σ2r;

w τM = 0.

6.8. Mét vËt quay nhanh dÇn ®Òu tõ tr¹ng th¸i nghØ. Lóc t = 1 s ®iÓm c¸ch trôc

quay mét qu·ng R1 = 2m cã gia tèc w = 2 2 m/s2. T×m gia tèc cña ®iÓm c¸ch trôc quay mét kho¶ng R = 4m lóc t = 2s. Tr¶ lêi wτ = 4m/s2; wn = 16 m/s2; w = 4 17 m/s2. 6.9. Vect¬ gia tèc cña mét ®iÓm trªn vµnh v« l¨ng lµm víi b¸n kÝnh mét gãc 600,

gia tèc tiÕp cña ®iÓm ®ã ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t lµ wt = 10 3 cm/s2. T×m gia tèc ph¸p cña ®iÓm c¸ch trôc quay mét kho¶ng r = 0,5 m. B¸n kÝnh v« l¨ng lµ R = 1m. Tr¶ lêi: wn = 5m/s2

139

6.10. Trôc b¸n kÝnh R = 10cm chuyÓn ®éng ®−îc lµ do vËt P r¬i xuèng theo luËt:

x = 100t2, (x: cm; t:s) T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc cña trôc vµ gia tèc toµn phÇn cña 1 ®iÓm n»m trªn vµnh trôc. Tr¶ lêi:

ω = 20 t rad/s ε = 20 rad/s2

w = 200 1 + 100t 4 cm/s2

H×nh bµi 6.9

H×nh bµi 6.10

6.4.2. TruyÒn chuyÓn ®éng quay quanh c¸c trôc cè ®Þnh 6.11. Ba b¸nh r¨ng ¨n khíp nhau

(h×nh vÏ). B¸n kÝnh c¸c b¸nh r1 = 20 cm; r2 = 12 cm; r3 = 15 cm. B¸nh ®Çu quay víi vËn tèc gãc n1 = 90 vßng/phót. T×m vËn tèc gãc b¸nh thø ba. Tr¶ lêi: n3 = 120 vßng/phót

H×nh bµi 6.11

cïng chiÒu víi b¸nh thø nhÊt. 6.12. §Ó nhËn ®−îc sù thay ®æi vËn tèc mét c¸ch chu kú, ng−êi ta dïng 2 b¸nh

r¨ng ªlip b»ng nhau ®Ó truyÒn chuyÓn ®éng. C¸c trôc ®i qua tiªu cù cña 140

elÝp. Trôc O1 quay ®Òu víi tèc ®é 270 vßng/phót. Kho¶ng c¸ch O1O2 = 50 cm, c¸c b¸n trôc cña ªlip lµ 25 cm vµ 15 cm. T×m vËn tèc gãc cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña trôc O. Tr¶ lêi:

ωmax = 81π rad/s ωmin = π rad/s

6.13. B¸nh r¨ng c«n O1 cã b¸n kÝnh r1 = 10 cm ®−îc dÉn ®éng tõ tr¹ng th¸i tÜnh

nhê b¸nh r¨ng c«n O2 cã b¸n kÝnh r2 = 15 cm. Hái sau bao l©u b¸nh O1 ®¹t vËn tèc gãc 144 rad/s, nÕu b¸nh O2 quay nhanh dÇn ®Òu víi gia tèc gãc 4π rad/s2. Tr¶ lêi: t = 24 s

H×nh bµi 6.12

H×nh bµi 6.13

6.14. C¬ cÊu truyÒn ®éng b»ng ma s¸t. B¸n kÝnh b¸nh B lµ ρ, b¸n kÝnh h×nh nãn

côt A lµ r lµ R, tiÕp ®iÓm M c¸ch ®¸y nhá cña nãn côt mét kho¶ng s, chiÒu cao cña nãn côt lµ λ. Hai trôc quay trong cïng mÆt ph¼ng. T×m tØ sè truyÒn gi÷a 2 trôc. Tr¶ lêi: i12 =

ω1 rt + s ( R − r ) = ω2 ρl

6.15. C¬ cÊu nh− h×nh vÏ. Thanh 1 chuyÓn ®éng theo luËt x = asinkt, b¸n kÝnh c¸c

b¸nh lµ r2, r3 vµ r4. B¸nh 2 g¾n cøng víi b¸nh 3. Kim g¾n cøng víi b¸nh 4. T×m vËn tèc gãc cña kim. 141

Tr¶ lêi: ω4 =

r3 akcoskt. r2 r4

H×nh bµi 6.14

H×nh bµi 6.15

6.16. C¬ cÊu nh− h×nh vÏ. VËt 1 chuyÓn ®éng theo luËt x = 2 + 70t2(x: cm; t : s).

C¸c b¸nh cã b¸n kÝnh: r2 = 30 cm; R2 = 50 cm; R3 = 60 cm. T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc cña b¸nh 3 vµ vËn tèc, gia tèc ®iÓm (M c¸ch trôc quay 1 kho¶ng r3 = 40 cm lóc vËt 1 di chuyÓn ®−îc 1 ®o¹n b»ng 40 cm). Tr¶ lêi:

ω3 = 2,94 rad/s; ε3 = 3,84 rad/s2

v = 118 cm/s; w = 379 cm/s2

H×nh bµi 6.16

142

Ch−¬ng 7.

Hîp chuyÓn ®éng cña ®iÓm

7.1. C¬ së lý thuyÕt XÐt ®iÓm M chuyÓn ®éng ®èi víi hÖ quy chiÕu ®éng Oxyz g¾n víi vËt V, vËt V chuyÓn ®éng ®èi víi hÖ quy chiÕu cè ®Þnh O1x1y1z1 . Khi ®ã : ChuyÓn ®éng tuyÖt ®èi lµ chuyÓn ®éng cña ®iÓm M ®èi víi hÖ quy chiÕu r cè ®Þnh O1x1y1z1 . VËn tèc tuyÖt ®èi kÝ hiÖu lµ Va . Gia tèc tuyÖt ®èi kÝ hiÖu lµ r Wa . ChuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ chuyÓn ®éng cña ®iÓm M ®èi víi hÖ quy chiÕu r r ®éng Oxyz. VËn tèc t−¬ng ®èi kÝ hiÖu lµ Vr . Gia tèc tuyÖt ®èi kÝ hiÖu lµ Wr §iÓm M* thuéc hÖ ®éng, cã vÞ trÝ trïng víi M ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t gäi lµ trïng ®iÓm cña M. Trïng ®iÓm kh«ng chuyÓn ®éng trªn hÖ ®éng (H×nh 7.1). ChuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng cña vËt V (g¾n víi hÖ ®éng Oxyz) ®èi víi hÖ quy chiÕu cè ®Þnh. VËn tèc theo lµ vËn tèc cña trïng ®iÓm M* ®èi víi hÖ r cè ®Þnh O1x1y1z1 , kÝ hiÖu lµ Ve . Gia tèc theo lµ gia tèc cña trïng ®iÓm M* ®èi r víi hÖ cè ®Þnh O1x1y1z1 , kÝ hiÖu lµ We .

H×nh 7.1

H×nh 7.2

§Þnh lý hîp vËn tèc : r r r Va = Ve + Vr

(1)

143

§Þnh lý hîp gia tèc : r r r r Wa = We + Wr + Wc

(2)

r trong ®ã Wc lµ gia tèc C«ri«lit, ®−îc tÝnh theo c«ng thøc : r r r Wc = 2ωe ∧ Vr (3) r ωe lµ vËn tèc gãc trong chuyÓn ®éng quay cña vËt V (hÖ quy chiÕu ®éng) ®èi víi

hÖ cè ®Þnh. Gia tèc C«ri«lit cã thÓ b»ng 0 trong c¸c tr−êng hîp sau :

• •

ωe = 0 , tøc lµ khi chuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. r r r r ωe ∧ Vr = 0 hay ωe vµ Vr ®ång ph−¬ng, ch¼ng h¹n : chuyÓn ®éng cña

®iÓm M däc theo ®−êng sinh cña h×nh trô (chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi), h×nh trô chuyÓn ®éng quay quanh trôc cña nã (chuyÓn ®éng theo). Khi chuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn th× (2) trë thµnh : r r r Wa = We + Wr

(4)

Khi chuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng quay quanh trôc th× vect¬ vËn tèc gãc quay r theo ωe h−íng theo trôc quay, gia tèc C«ri«lit ®−îc thÓ hiÖn trªn h×nh 7.2, cã ph−¬ng vu«ng gãc víi trôc quay vµ gi¸ trÞ cña nã ®−îc tÝnh theo c«ng thøc : Wc = 2ωe Vr sin ϕ (5) r r r r trong ®ã ϕ lµ gãc gi÷a 2 vÐct¬ ωe vµ Vr . NÕu ωe ⊥ Vr th× tÊt nhiªn lµ : Wc = 2ωe Vr

(6)

NÕu c¸c quü ®¹o chuyÓn ®éng (tuyÖt ®èi, t−¬ng ®èi, theo) ®Òu lµ ®−êng cong th× ®Þnh lý hîp gia tèc ®−îc viÕt trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn d−íi d¹ng : r r r r r r r Wan + Waτ = Wen + Weτ + Wrn + Wrτ + Wc

(7)

7.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i Cã thÓ ph©n c¸c bµi to¸n th−êng gÆp thµnh c¸c lo¹i sau :

Bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng : BiÕt c¸c yÕu tè ®éng häc cña chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ theo, t×m c¸c yÕu tè ®éng häc cña chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi.

144

Bµi to¸n ph©n tÝch chuyÓn ®éng : BiÕt c¸c yÕu tè ®éng häc cña chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi vµ chuyÓn ®éng theo (hoÆc t−¬ng ®èi), t×m c¸c yÕu tè ®éng häc cña chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi (hoÆc theo).

Bµi to¸n hçn hîp : BiÕt mét sè yÕu tè ®éng häc cña çc lo¹i chuyÓn ®éng (tuyÖt ®èi, t−¬ng ®èi hoÆc theo), t×m çc yÕu tè ®éng häc cßn l¹i cña ®iÓm. Tuy nhiªn, ta còng kh«ng cÇn quan t©m nhiÒu ®Õn viÖc nhËn d¹ng bµi to¸n, bëi dï lo¹i nµo th× còng sö dông chung ph−¬ng tr×nh cña çc ®Þnh lý hîp vËn tèc vµ hîp gia tèc. Do vËy, ph−¬ng ph¸p gi¶i chung ®Ó gi¶i c¶ 3 lo¹i bµi to¸n trªn gåm 3 b−íc : Ph©n tÝch chuyÓn ®éng, t×m vËn tèc, t×m gia tèc.

7.2.1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng Tr−íc hÕt cÇn chØ râ xÐt chuyÓn ®éng hîp cña ®iÓm (M) nµo ? §iÓm M cã thÓ lµ mét ®iÓm h×nh häc thùc sù, cã thÓ lµ ®iÓm nµo ®ã thuéc mét vËt chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn mµ vËt nµy chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi so víi vËt kh¸c. TiÕp theo cÇn x¸c ®Þnh râ : ChuyÓn ®éng theo : Lµ chuyÓn ®éng cña vËt (V), trªn vËt ®ã ph¶i cã ®iÓm

M chuyÓn ®éng (bëi nÕu kh«ng th× kh«ng cã trïng ®iÓm). D¹ng chuyÓn ®éng theo lµ tÞnh tiÕn hoÆc quay quanh trôc. Quü ®¹o chuyÓn ®éng theo lµ quü ®¹o chuyÓn

®éng cña ®iÓm (M*) ®èi víi hÖ quy chiÕu cè ®Þnh. ChuyÓn ®éng t−¬ng ®èi : Lµ chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn vËt (V). Quü ®¹o chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ th¼ng hoÆc cong, trong mÆt ph¼ng (nÕu vËt V lµ h×nh ph¼ng) hoÆc trong kh«ng gian (nÕu vËt V cã d¹ng khèi). ChuyÓn ®éng tuyÖt ®èi : Lµ chuyÓn ®éng cña ®iÓm M ®èi víi hÖ quy chiÕu

cè ®Þnh. Quü ®¹o chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi lµ th¼ng hoÆc cong, trong mÆt ph¼ng hoÆc trong kh«ng gian.

7.2.2. T×m vËn tèc - ViÕt biÓu thøc vËn tèc (1). X¸c ®Þnh ph−¬ng chiÒu, trÞ sè çc vËn tèc. - VÏ çc vect¬ vËn tèc. §èi víi çc vect¬ chØ biÕt ph−¬ng ch−a biÕt chiÒu th× chiÒu cã thÓ gi¶ ®Þnh, nÕu kÕt qu¶ gi¶i lµ d−¬ng th× chiÒu cña nã ®óng chiÒu gi¶ 145

®Þnh, nÕu kÕt qu¶ gi¶i ra ©m th× lÊy chiÒu ng−îc l¹i chiÒu gi¶ ®Þnh. X¸c ®Þnh Èn sè cña ph−¬ng tr×nh (1). - Gi¶i ph−¬ng tr×nh vect¬ (1) ®Ó t×m trÞ sè cña c¸c thµnh phÇn vËn tèc ch−a biÕt. Cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p vÏ (quy t¾c tam gi¸c vect¬) hoÆc chiÕu hai vÕ cña (1) lªn hai trôc vu«ng gãc nhau (trong bµi to¸n ph©n tÝch chuyÓn ®éng cã thÓ chiÕu lªn hai trôc bÊt kú nµo thÝch hîp nhÊt).

7.2.3. T×m gia tèc - ViÕt biÓu thøc gia tèc d¹ng (2) nÕu chuyÓn ®éng theo kh«ng ph¶i lµ tÞnh tiÕn d¹ng (4) nÕu chuyÓn ®éng theo lµ tÞnh tiÕn;. Sau dã x¸c ®Þnh ph−¬ng chiÒu vµ trÞ sè çc gia tèc. X¸c ®Þnh Èn cña ph−¬ng tr×nh vect¬ (7.2) hoÆc (7.3). - VÏ çc vect¬ gia tèc. §èi víi çc vect¬ Èn chØ biÕt ph−¬ng, ch−a biÕt chiÒu, th× chiÒu cña chóng ®−îc gi¶ ®Þnh vµ ®−îc xö lý nh− trong bµi to¸n vËn tèc. - Gi¶i ph−¬ng tr×nh vect¬ (2) hoÆc (4). NÕu trong çc ph−¬ng tr×nh vect¬ cã mét vect¬ ch−a biÕt ph−¬ng tr×nh (tøc çc Èn tËp trung vµo mét vect¬) th× vect¬ ®ã ®−îc x¸c ®Þnh qua çc h×nh chiÕu cña nã trªn çc trôc cña hÖ trôc vu«ng gãc b»ng çch chiÕu ®¼ng thøc vect¬ lªn hai trôc vu«ng gãc nhau nÕu çc vect¬ ®ã ®ång ph¼ng vµ lªn ba trôc vu«ng gãc nhau nÕu çc vect¬ ®ã kh«ng ®ång ph¼ng. Tr−êng hîp ®ã x¶y ra ®èi víi bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng. §èi víi tr−êng hîp trong ph−¬ng tr×nh vect¬ cã çc vect¬ ®· biÕt ph−¬ng, nh−ng ch−a biÕt chiÒu vµ gi¸ trÞ (tøc lµ çc Èn thuéc çc vect¬ kh¸c nhau) th× cã thÓ chiÕu ®¼ng thøc vect¬ lªn çc trôc thÝch hîp sao cho sè Èn trong ph−¬ng tr×nh nhËn ®−îc lµ Ýt nhÊt. CÇn chó ý r»ng çc thµnh phÇn gia tèc ph¸p tuyÕn, gia tèc C«ri«lit kh«ng ph¶i lµ nh÷ng Èn ®èi víi bµi to¸n gia tèc, bëi v× sau khi gi¶i bµi to¸n vËn tèc nh÷ng thµnh phÇn gia tèc ®ã ®· ®−îc x¸c ®Þnh.

7.3. Bµi gi¶i mÉu 7.3.1. Bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng 146

VÝ dô 7.1.

§iÓm M chuyÓn ®éng r theo ®−êng th¼ng OA víi vËn tèc U . §−êng th¼ng nµy quay trong mÆt ph¼ng Ox1y1 víi vËn tèc gãc ω quanh t©m O. H·y x¸c ®Þnh vËn tèc cña ®iÓm M ®èi víi hÖ trôc Ox1y1 nÕu kho¶ng c¸ch OM = r.

H×nh 7.3

Bµi gi¶i: Ta xem chuyÓn ®éng cña ®iÓm M lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi ®èi víi hÖ Ox1y1 gåm chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi theo ®−êng th¼ng OA vµ chuyÓn ®éng theo cïng víi r ®−êng th¼ng ®ã. Khi ®ã vËn tèc U h−íng theo OA sÏ lµ vËn tèc t−¬ng ®èi cña ®iÓm. ChuyÓn ®éng quay cña ®−êng th¼ng OA quanh t©m O lµ chuyÓn ®éng theo cña M, cßn vËn tèc cña ®iÓm ë trªn ®−êng th¼ng OA cña ®iÓm M lóc ®ã trïng víi r nã lµ vËn tèc theo Ve cña M. V× ®iÓm nµy cña ®−êng th¼ng chuyÓn ®éng theo r vßng trßn b¸n kÝnh OM = r cña vËn tèc Ve cã trÞ sè lµ ωr vµ vu«ng gãc víi OM r r tõ ®ã ta cã Ve vu«ng gãc víi Vr nªn: r r r Va = Ve + Vr ⇒ Va = Ve2 + Vr2 = ω2 r 2 + u 2

VÝ dô 7.2.

Nöa ®Üa trßn b¸n kÝnh R = 40 cm quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 = 0,5

rad/s quanh ®−êng kÝnh AB. §iÓm M chuyÓn ®éng theo vµnh ®Üa víi vËn tèc kh«ng ®æi u = 10cm/s. T×m gia tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm M lóc nã ë vÞ trÝ C. BiÕt AOC = 450. Bµi gi¶i:

147

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: §iÓm M chuyÓn ®éng ®èi víi vµnh, vµnh quay quanh trôc cè ®Þnh. Ta cã bµi to¸n chuyÓn ®éng ®èi víi ®iÓm M. Chän vµnh lµm hÖ ®éng. - ChuyÓn ®éng cña vµnh lµ chuyÓn ®éng theo. §ã lµ chuyÓn ®éng quay ®Òu quanh trôc cè ®Þnh víi vËn tèc ω0 = 0,5 rad/s.

H×nh 7.4

- ChuyÓn ®éng cña cña ®iÓm M theo vµnh lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng trßn ®Òu víi vËn tèc u trªn ®−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm M ®èi víi gi¸ cè ®Þnh lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi; cã ®Æc tr−ng ®éng häc cña nã ch−a biÕt. 2. VËn tèc: - Sö dông ®Þnh lý hîp vËn tèc trong hîp chuyÓn ®éng, ta cã r r r v M = vc + v r r r r trong ®ã v c = v M* = v C v× M* lµ trïng ®iÓm cña M thuéc vµnh tøc lµ ®iÓm C. r VËy v c cã ph−¬ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ cã chiÒu h−íng vµo trong (®−îc ký hiÖu ⊗, vµ cã trÞ sè: ve = ω0Rsin450 = 10 2 cm/s.

H×nh 7.5

r r v r = u cã ph−¬ng tiÕp tuyÕn ®−êng trßn t¹i C; vr = u = 10m/s.

- C¸c vect¬ ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh (7.4)

148

r - Vect¬ v M cã thÓ t×m ®−îc nhê ph−¬ng ph¸p vÏ hoÆc qua ba h×nh chiÕu cña nã

trªn hÖ trôc to¹ ®é §ªc¸c Oxyz ⎧ v Mx = − ve = −10 2cm / s r ⎪⎪ v M ⎨ v My = u cos 450 = 5 2cm / s ⎪ 0 ⎪⎩ v Mz = u sin 45 = 5 2cm / s

Tõ ®ã: vM =

ve2 + u 2 cos 2 450 + u 2 sin 2 450 =

v e2 + u 2 = 10 3

v v 2 6 v 6 r r r ; cos ( v M ,Oz ) = Mz = cos ( v M ,Ox ) = Mx = − ; cos ( v M ,Oy ) = My = v 3 v 6 v 6

3. Gia tèc - ChuyÓn ®éng theo lµ quay ®Òu vµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ trßn ®Òu, nªn dùa vµo ®Þnh lý hîp gia tèc trong hîp chuyÓn ®éng ®iÓm ®èi víi ®iÓm M ta cã: r r r r wM = we + wr + wc r w en h−íng vµo trôc quay vµ cã gi¸ trÞ: w en = ω0Rsin450 = 5 2 cm/s2 r u2 w nr h−íng däc b¸n kÝnh MO; wn = 2,5 cm/s2 R r r w C x¸c ®Þnh theo quy t¾c ®· nªu trªn (ph−¬ng chiÒu w C cã ®−îc b»ng c¸ch quay r r v mét gãc 900 quanh ωo theo chiÒu ω0 ) vµ cã gi¸ trÞ:

r r 2 w C = 2ω0v'r = 2 = 5 2 cm/s2 2

149

⎧ ⎪ w Mx = − w e = −5 2cm / s 2 ⎪ 5 ⎪ w M ⎨ w My = − w en = w en cos 450 = − 2cm / s 2 4 ⎪ ⎪ 2 n 0 cm / s 2 ⎪ w Mx = − w r sin 45 = −5 4 ⎩ r Tõ ®ã: w M =

(5 2 )

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2 + ⎜15 ⎟ + ⎜5 ⎟ ≈ 9 cm/s 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝

2 −15 2 2 r r r cos ( w M ,Ox ) = −5 ;cos ( w M ,Oy ) = − ;cos ( w M ,Oz ) = 5 9 36 36

2. VËn tèc: - Sö dông ®Þnh lý hîp vËn tèc trong hîp chuyÓn ®éng, ta cã r r r v M = vc + v r r r r trong ®ã v c = v M* = v C v× M* lµ trïng ®iÓm cña M thuéc vµnh tøc lµ ®iÓm C. r VËy v c cã ph−¬ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ cã chiÒu h−íng vµo trong (®−îc ký hiÖu ⊗, vµ cã trÞ sè: ve = ω0Rsin450 = 10 2 cm/s. H×nh 7.5 r r v r = u cã ph−¬ng tiÕp tuyÕn ®−êng trßn t¹i C; vr = u = 10m/s.

- C¸c vect¬ ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh (7.4) r - Vect¬ v M cã thÓ t×m ®−îc nhê ph−¬ng ph¸p vÏ hoÆc qua ba h×nh chiÕu cña nã trªn hÖ trôc to¹ ®é §ªc¸c Oxyz

150

⎧ v Mx = − ve = −10 2cm / s r ⎪⎪ v M ⎨ v My = u cos 450 = 5 2cm / s ⎪ 0 ⎪⎩ v Mz = u sin 45 = 5 2cm / s

Tõ ®ã: vM =

v e2 + u 2 cos 2 450 + u 2 sin 2 450 =

v e2 + u 2 = 10 3

v v 2 6 v 6 r r r ; cos ( v M ,Oz ) = Mz = cos ( v M ,Ox ) = Mx = − ; cos ( v M ,Oy ) = My = v 3 v 6 v 6

r 2 r w C = 2ω0v'r = 2 = 5 2 cm/s2 2

- C¸c vect¬ gia tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh (7.5). - Trong ph−¬ng tr×nh vect¬ (b), vect¬ vËn tèc cña ®iÓm M ch−a ®−îc x¸c ®Þnh c? ph−¬ng chiÒu vµ gi¸ trÞ, nã cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh qua c¸c h×nh chiÕu cña nã lªn hÖ trôc to¹ ®é §Òcac Oxyz. ⎧ ⎪ w Mx = − w e = −5 2cm / s 2 ⎪ 5 ⎪ w M ⎨ w My = − w en = w en cos 450 = − 2cm / s 2 4 ⎪ ⎪ 2 n 0 cm / s 2 ⎪ w Mx = − w r sin 45 = −5 4 ⎩

151

r Tõ ®ã: w M =

(5 2 )

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2 + ⎜15 ⎟ + ⎜5 ⎟ ≈ 9 cm/s 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 −15 2 2 r r r cos ( w M ,Ox ) = −5 ;cos ( w M ,Oy ) = − ;cos ( w M ,Oz ) = 5 9 36 36

Tay quay OA cã chiÒu dµi ℓ quay quanh trôc cè ®Þnh qua O víi vËn

tèc gãc ω0 = const lµm cho cÇn K tr−ît t heo ph−¬ng ngang. T×m vËn tèc vµ gia tèc cña cÇn K còng nh− vËn tèc vµ gia tèc cña con tr−ît A ®èi víi cÇn K. Cho biÕt t¹i vÞ trÝ ®ang xa ϕ = 300 (H.7.6).

Bµi gi¶i : 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: §iÓm A chuyÓn ®éng ®èi víi K, cÇn K chuyÓn ®éng ®èi víi gi¸ cè ®Þnh. Do ®ã cã bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng ®èi víi ®iÓm A. Chän cÇn K lµm hÖ ®éng. - ChuyÓn ®éng cña m¸ng K ®èi víi gi¸ lµ chuyÓn ®éng theo. §ã lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn, çc yÕu tè ®éng häc cña nã ch−a ®−îc x¸c ®Þnh (hoµn toµn). - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm A ®èi víi cÇn K lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng, cã çc yÕu tè ®éng häc ch−a ®−îc x¸c ®Þnh (hoµn toµn). - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm A ®èi víi gi¸ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng trßn ®Òu trªn ®−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh OA. Çc yÕu tè ®éng häc cña nã hoµn toµn x¸c ®Þnh do chuyÓn ®éng cña tay quay OA ®−îc x¸c ®Þnh. 2. VËn tèc - Khi sö dông ®Þnh lý hîp vËn tèc trong hîp chuyÓn ®éng ®èi víi ®iÓm A, ta cã: r r r v A = ve + v r (a) r trong ®ã v A cã ph−¬ng th¼ng gãc víi OA, thuËn chiÒu ω0 vµ cã gi¸ trÞ vA = ℓω0. r §Ó tÝnh vËn tèc ve ta lÊy ®iÓm A* thuéc cÇn K lµ trïng ®iÓm cña A. Do cÇn K r tÞnh tiÕn theo ph−¬ng ngang nªn ve h−íng theo ph−¬ng ngang.

152

V× chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña A däc theo ®−êng th¼ng ®øng ®èi víi cÇn K r nªn v r cã ph−¬ng th¼ng ®øng. - C¸c vect¬ vËn tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh 7.6. H×nh 7.6 r - Trong ph−¬ng tr×nh vect¬ (a) vect¬ v A ®· ®−îc hoµn toµn x¸c ®Þnh c¶ ph−¬ng r r chiÒu vµ gi¸ trÞ; c¸c vect¬ v r vµ v e chØ biÕt ®−îc ph−¬ng, cßn chiÒu vµ gi¸ trÞ ch−a ®−îc x¸c ®Þnh. §Ó t×m gi¸ trÞ ve vµ vr cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p vÏ. DÔ dµng tÝnh ®−îc: vr = vAcosϕ =

1 3 ℓω0; ve = vAsinϕ = ℓω0 2 2

r r v r lµ vËn tèc cña con tr−ît A ®èi víi cÇn K, cßn v e chÝnh lµ vËn tèc cña cÇn K

(t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t). 3. Gia tèc - ¸p dông ®Þnh lý hîp gia tèc tæng hîp chuyÓn ®éng cho ®iÓm A trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng theo lµ tÞnh tiÕn, ta cã: r r r wA = we + wr

(b)

v× A n»m trªn tay quay OA quay ®Òu, nªn cã ph−¬ng däc OA, chiÒu h−íng tõ A vÒ O vµ cã gi¸ trÞ: wA = ω02 ℓ r r V× chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ chuyÓn ®éng th¼ng nªn w r cã cïng ph−¬ng víi v r , r r cßn chiÒu vµ gi¸ trÞ ch−a ®−îc x¸c ®Þnh cßn w e = w A* trong ®ã A* lµ ®iÓm thuéc r cÇn K trïng víi A. V× cÇn tÞnh tiÕn ngang nªn w e cã ph−¬ng ngang, chiÒu vµ gi¸

trÞ ch−a ®−îc x¸c ®Þnh. - C¸c vect¬ gia tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh 7.7.

153

r r - Ph−¬ng tr×nh vect¬ (b) chøa hai Èn: ®ã lµ gi¸ trÞ cña c¸c vect¬ gia tèc w e , w r .

§Ó x¸c ®Þnh chóng cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p vÏ theo quy t¾c b×nh hµnh. DÔ dµng 1 2 3 ω0 l ; wr = wAsin600 = ω02l 2 2 r r ChiÒu cña c¸c vect¬ w e , w r ®−îc chØ

t×m ®−îc: we = wAcos600 =

ra trªn h×nh 7.7. T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t con tr−ît chuyÓn ®éng chËm dÇn vµ cÇn K tÞnh tiÕn nhanh dÇn vÒ phÝa ph¶i. H×nh 7.7

VÝ dô 7.4.

Tay quay OA cã chiÒu dµi ℓ = 10 cm quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 =

6rad/s lµm cho con tr−ît A tr−ît däc cÇn l¾c O1B. Lóc OA n»m ngang ϕ = 300. 1. T×m vËn tèc tr−ît cña A däc cÇn l¾c, vËn tèc gãc ω1 cña cÇn l¾c. 2. T×m gia tèc cña con tr−ît A vµ gia tèc gãc ε1 cña cÇn l¾c. Bµi gi¶i 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: §iÓm A chuyÓn ®éng däc thanh O1B thanh O1B quay quanh trôc cè ®Þnh qua O1. Ta cã bµi to¸n hîp chuyÓn ®éng ®iÓm ®èi víi ®iªm A. Chän O1B lµm hÖ ®éng. - ChuyÓn ®éng cña thanh O1B ®èi víi gi¸ cè ®Þnh lµ chuyÓn ®éng theo, ®ã lµ chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh, c¸c yÕu tè ®éng häc cña nã ch−a ®−îc x¸c ®Þnh (hoµn toµn). - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm A däc O1B lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng, cã c¸c yÕu tè ®éng häc ch−a ®−îc x¸c ®Þnh (hoµn toµn). 154

H×nh 7.8

ch−a ®−îc x¸c ®Þnh (hoµn toµn). - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm A ®èi víi gi¸ cè ®Þnh lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng trßn ®Òu däc ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA. C¸c yÕu tè ®éng häc cña chuyÓn ®éng nµy ®−îc hoµn toµn x¸c ®Þnh v× tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ®· cho ω0 = 6 rad/s. 2. vËn tèc - ViÕt biÓu thøc hîp vËn tèc cho ®iÓm A r r r v A = ve + v r

(a)

trong ®ã: r v A cã ph−¬ng th¼ng gãc víi OA, chiÒu phï hîp víi chiÒu cña ω0 vµ cã gi¸ trÞ vA r = ℓω0 ( v A h−íng th¼ng ®øng lªn). r r v r = v A* , ë ®ã A* thuéc thanh O1B trïng víi ®iÓm A t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t. Do ®ã r ve cã ph−¬ng th¼ng gãc víi thanh O1B t¹i A, chiÒu vµ gi¸ trÞ ch−a ®−îc x¸c ®Þnh: - Çc vect¬ vËn tèc ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh (7.8). r - Trong ph−¬ng tr×nh vect¬ (a), vect¬ v A hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh c¶ ph−¬ng r r chiÒu vµ gi¸ trÞ, çc vect¬ ve vµ v r chØ ®−îc x¸c ®Þnh vÒ ph−¬ng. Hai Èn cña ph−¬ng tr×nh vect¬ (a) lµ çc gi¸ trÞ ve vµ vr. Çc Èn nµy thuéc hai vect¬ kh¸c nhau. §ã chÝnh lµ ®Æc ®iÓm cña bµi to¸n ph©n tÝch chuyÓn ®éng. §Ó x¸c ®Þnh çc r Èn cña bµi to¸n cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p vÏ b»ng çch ph©n tÝch v A theo hai r r ph−¬ng ®· biÕt cña v e vµ v r , còng cã thÓ chiÕu hai vÕ cña ®¼ng thøc vect¬ (a) lªn hai trôc thÝch hîp. Cô thÓ ®Ó t×m gi¸ trÞ vr chóng ta chiÕu hai cña (a) lªn trôc O1B r r (chiÒu cña çc vect¬ ve vµ v r ®−îc gi¶ ®Þnh nh− trªn h×nh (7.8). Ta cã: vAcosϕ = vr r VËy v r cã gi¸ trÞ vr = ℓω0cos300 = 30 3 cm/s, cã chiÒu nh− chiÒu gi¶ ®Þnh: r §Ó t×m gi¸ trÞ ve chiÕu hai vÕ cña (a) lªn trôc th¼ng gãc víi ph−¬ng cña v r : 155

r Do ®ã vµ ve cã gi¸ trÞ: ve = ℓω0sin30 = 30cm/s'

v A* O1A

ve 30 = 1,5 rad/s. = * O1A 20

T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t thanh O1B quay ng−îc chiÒu kim ®ång hå. 3. Gia tèc V× chuyÓn ®éng theo lµ quay quanh mét trôc cè ®Þnh nªn dùa vµo ®Þnh lý hîp gia tèc trong hîp chuyÓn ®éng: r r r r wA = we + wr + wC Thanh OA quay ®Òu quanh O víi vËn tèc ω0 r nªn w A h−íng däc AO tõ A ®Õn O vµ cã gi¸ trÞ : wA = ℓ ω02 = 360 cm/s2; r r r r r w C =2 ω0 ∧ v1 = 2ω1 ∧ v r r w C ph−¬ng chiÒu ®−îc x¸c ®Þnh theo quy π r theo chiÒu t¾c ®· nªu ë trªn (quay v r gãc 2

H×nh 7.9

ω1) vµ cã gi¸ trÞ: wC = 2ω1vr = 90 3 cm/s2 r r r r w e = w A* = w An * + w rA

r r r w nA h−íng däc BO1 tõ A ®Õn O1 vµ w nA = O1A. ω12 = 45 cm/s2, w rA cã ph−¬ng th¼ng gãc OB1 t¹i A cã chiÒu vµ gi¸ trÞ ch−a x¸c ®Þnh. r w rA h−íng däc O1B, gi¸ trÞ ch−a ®−îc x¸c ®Þnh, chiÒu ®−îc gi¶ ®Þnh nh− trªn h×nh 7.9. BiÓu thøc gia tèc cã thÓ viÕt l¹i: 156

r r r r r w A = w en + w eτ + w r + w C

(b)

- C¸c vect¬ gia tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh (7.9) - Trong ph−¬ng tr×nh vect¬ (b) chøa hai Èn lµ c¸c gi¸ trÞ wr vµ w eτ §Ó t×m chóng, chiÕu hai vÕ cña (b) lªn hai trôc ∆1 vµ ∆2 ta ®−îc hai ph−¬ng tr×nh: - wAsinϕ = - w en + wr; wAcosϕ = w eτ + wC Gi¶i chóng ta nhËn ®−îc: wr = w en - wAsinϕ = - 135 cm/s2 ; w eτ = wAcosϕ = - wC = 90 3 cm/s2 r r KÕt qu¶ nhËn ®−îc chøng tá w r cã chiÒu ng−îc víi chiÒu gi¶ ®Þnh, cßn w c cã r r chiÒu ?? ®Þnh. V× w eτ = w τA* nªn:

w τA*

w eτ 90 3 = = 4,5 3 rad/s2 * * O1A O1A 20 r ChiÒu ε1 hîp víi chiÒu w τA* t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t ng−îc chiÒu kim ®ång hå, tøc? ε1 =

l¾c quay nhanh dÇn. Con tr−ît A chuyÓn ®éng chËm dÇn.

VÝ dô 7.5.

qua O víi vËn tèc gãc ω0 lµm cho cÇn AB chuyÓn ®éng däc theo r·nh K. T×m vËn tèc vµ gia tèc cña cÇn ®Èy t¹i thêi ®iÓm øng víi α = 300; ϕ = 450. Bµi gi¶i 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: §èi víi cam, ®iÓm A cña cÇn chuyÓn ®éng trªn biªn trßn cña cam, cßn cam quay quanh trôc cè ®Þnh qua O. Ta cã bµi to¸n hîp chuyÓn ®éng víi ®iÓm. Chän cam lµm hÖ quy chiÕu ®éng.

157

ChuyÓn ®éng cña cam lµ chuyÓn ®éng

theo. §ã lµ chuyÓn ®éng quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 ®· biÕt. - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm A ®èi víi cam lµ chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng trßn theo biªn trßn cña cam. C¸c yÕu tè ®éng häc ch−a x¸c ®Þnh, nh−ng biÕt ®−îc quü ®¹o chuyÓn ®éng. H×nh 7.10 - ChuyÓn ®éng cña ®iÓm A ®èi víi gi¸ cè ®Þnh lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi. §ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng däc AB víi vËn tèc vµ gia tèc ch−a x¸c ®Þnh vÒ gi¸ trÞ. 2. VËn tèc - §Þnh lý hîp vËn tèc cña ®iÓm trong hîp chuyÓn ®éng ®iÓm cho ta: r r r υA = v e + υr (a) r r trong ®ã υA h−íng däc OB ch−a biÕt ®−îc trÞ sè: υr h−íng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o t−¬ng ®èi cña ®iÓm, tøc tiÕp tuyÕn víi biªn trßn cña cam (th¼ng gãc víi CA) ch−a r r x¸c ®Þnh ®−îc gi¸ trÞ; cßn υc = υA* , ë ®ã A* lµ ®iÓm thuéc cam vµ trïng víi A t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t. r Vect¬ vËn tèc v A cã ph−¬ng th¼ng gãc víi OA* (tøc OA), cã chiÒu thuËn ω0 vµ cã gi¸ trÞ vA = ω0.OA* = ω0.OA = ℓω0 trong ®ã ℓ = 0A =

(

)

R 1+ 3 . 2

- C¸c vect¬ vËn tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh 7.10. - Ph−¬ng tr×nh vect¬ (a) chøa hai Èn lµ c¸c gi¸ trÞ vr vµ vA. §Ó gi¶i chóng cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p vÏ hoÆc chiÕu hai vÕ cña (a) lªn hai trôc thÝch hîp. DÔ dµng t×m ®−îc: vA = vetg300 = 158

l 3 vc 2 3 ω0 ; v r = = ω0 0 3 cos30 3

r v A chÝnh lµ vËn tèc cña cÇn AB.

3. Gia tèc - Sö dông ®Þnh lý hîp gia tèc trong hîp chuyÓn ®éng ®iÓm cho ®iÓm A chuyÓn ®éng theo kh«ng ph¶i lµ tÞnh tiÕn (quay ®Òu víi vËn tèc ω0) nªn; r r r v wA = we + wr + wC r r v trong w A h−íng däc OB, ch−a biÕt ®−îc trÞ sè cña nã, w e = w A , ë ®ã A* lµ ®iÓm r r thuéc vÒ cam, trïng víi ®iÓm A t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t, w A = w BA* cã ph−¬ng däc AO, chiÒu h−íng tõ A ®Õn O vµ cã gi¸ trÞ w nA* = ℓ ω02 . ChuyÓn ®éng trßn theo biªn cña cam, nªn r r r w r = w rτ + w nr

v 2 4λ2 2 r w nr h−íng däc AC tõ A ®Õn C vµ cã gi¸ trÞ w nr = r = ω0 R

w τr tiÕp tuyÕn víi biªn cña cam (th¼ng gãc víi b¸n kÝnh CA), cã gi¸ trÞ cha x¸c

®Þnh.

r r π w C ®−îc x¸c ®Þnh theo quy t¾c ®−îc nªu: quay w r , mét gãc theo chiÒu quay 2 r 4l 3 2 cña cam nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh cña w C vµ wC = 2ω0vr = ω0 . 3

H×nh 7.11 BiÓu thøc gia tèc cña ®iÓm A cã thÓ viÕt l¹i nh− sau: 159

r r r r r w A = w en + w nr + w τr + w C

(b)

- C¸c vect¬ gia tèc ®−îc biÓu diÔn nh− h×nh 7.11) r r - Ph−¬ng tr×nh vect¬ (b) chøa hai Èn: ®ã lµ gi¸ trÞ cña vect¬ w A vµ w τr . §Ó x¸c

®Þnh chóng, ta chiÕu hai vÕ cña ®¼ng thøc (b) lªn hai trôc thÝch hîp. §Ó t×m gi¸ trÞ r w τr chiÕu hai vÕ cña (b) lªn ph−¬ng ngang, ta nhËn ®−îc mét ph−¬ng tr×nh ®¹i sè chØ chøa w τr ; cßn ®Ó t×m gi¸ trÞ wA chiÕu (b) lªn trôc Cta ®−îc mét ph−¬ng tr×nh ®¹i sè kh¸c chØ chøa wA. Khi thùc hiÖn c¸c phÐp chiÕu ta nhËn ®−îc: r O = w nr sinα + w τr cosα - wCsinα wAcosα = w en cosα + w nr - wC r 2l ω02 l ω02 4 3 −3 3 − 1 > 0; wA = VËy: w τr = (wC - w nr )tgα = 9 3 r r ChiÒu gi¶ ®Þnh cña w τr vµ w A lµ ®óng. T¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t cÇn AB chuyÓn

(

)

(

)

®éng nhanh dÇn xuèng phÝa díi.

7.4. Bµi tËp 7.4.1. LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 7.1. Mét ®iÓm M chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh«ng ®æi vr däc theo d−êng kÝnh AB cña mét ®Üa trßn. §Üa quay víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω quanh trôc vu«ng gãc víi h×nh vµ ®i qua t©m cña ®Üa. ë thêi ®iÓm ®Çu, d−êng kÝnh AB trïng víi trôc Ox vµ M n»m ë t©m cña ®Üa (xem h×nh vÏ). X¸c ®Þnh quü ®¹o tuyÖt ®èi cña M. H×nh bµi 7.1

Tr¶ lêi : Quü ®¹o lµ mét d−êng xo¾n Acsimet, ph−¬ng tr×nh cña nã trong to¹ ®é ®éc cùc lµ : r = 160

Vr ϕ ω

7.2. Mét b¨ng dïng ®Ó ghi, chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn song song víi trôc x víi vËn tèc kh«ng ®æi V1. Thanh OM = r quay quanh O lµm ®Çu bót ch× M chuyÓn ®éng trßn víi vËn tèc kh«ng ®æi V. X¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®Çu bót ch× so víi b¨ng.

Tr¶ lêi

: Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

cña ®Çu bót ch× so víi b¨ng lµ: ⎧ ⎛V ⎞ ⎪ x1 = r cos ⎜ r t ⎟ − V1t, ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ y = r sin ⎛ V t ⎞ . ⎜ ⎟ ⎪⎩ 1 ⎝ r ⎠

H×nh bµi 7.2

7.4.2. Bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng: 7.3. Trªn chiÕc xe chuyÓn ®éng nhanh dÇn víi gia tèc 49,2 cm/s2 cã ®Æt mét ®éng c¬ ®iÖn. R«to cña ®éng c¬ quay víi ph−¬ng tr×nh ϕ = t2. B¸n kÝnh r«to lµ 20 cm.X¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm A n»m trªn vµnh r«to lóc t=1 gi©y, cho biÕt lóc ®ã A cã vÞ trÝ nh− h×nh vÏ.

Tr¶ lêi : VA = 78 cm/s, WA = 74,6 cm/s2.

H×nh bµi 7.3

7.4. Mét mÆt ph¼ng nghiªng AB hîp víi ph−¬ng ngang mét gãc 450 chuyÓn ®éng th¼ng theo trôc Ox víi gia tèc kh«ng ®æi 1 dm/s2. Trªn mÆt nghiªng cã mét vËt P tr−ît xuèng víi gia tèc t¬ng ®èi kh«ng ®æi 2 dm/s2. VËn tèc ®Çu cña mÆt ph¼ng vµ cña vËt ®Òu b»ng kh«ng, vÞ trÝ ban ®Çu cña vËt ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c to¹ ®é x = 0, y = h

H×nh bµi 7.4 161

(xem h×nh vÏ). X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña vËt.

Tr¶ lêi : y = h -

x ;V = 2

5 t dm/s; W =

5 dm/s2,

7.5. Mét « t« chuyÓn ®éng trªn ®o¹n d−êng th¼ng víi gia tèc W0 = 2m/s2. Trªn trôc däc cã m¾c mét v« l¨ng b¸n kÝnh R = 0,25 m, ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t cã vËn tèc gãc ω = 4s-1 vµ H×nh bµi 7.5

gia tèc gãc ε = 4s-2. T×m gia tèc tuyÖt ®èi cña mét ®iÓm trªn vµnh v« l¨ng.

Tr¶ lêi : W = 4,58 m/s2. 7.6. Cho mét m¸y ®iÒu tiÕt ly t©m nh− h×nh vÏ. Hai qu¶ cÇu cña m¸y quay quanh trôc th¼ng ®øng z víi vËn tèc gãc ω = 10 rad/s. Do t¶i träng ngoµi thay ®æi nªn çc qu¶ cÇu t¸ch ra khái trôc quay z vµ çc thanh treo chóng cã vËn tèc gãc ω1 = 1,2 rad/s. T×m vËn tèc tuyÖt ®èi cña çc qu¶ cÇu ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t nÕu chiÒu dµi cña çc thanh ℓ = 50 cm, kho¶ng çch gi÷a çc trôc treo 2e = 10 cm, gãc hîp gi÷a çc thanh vµ trôc cña m¸y ®iÒu tiÕt

α1 = α2 = α = 30 .

H×nh bµi 7.6

Tr¶ lêi : V = 306 cm/s. 7.7. Còng ®Çu bµi 7.6. T×m gia tèc cña c¸c qu¶ cÇu biÕt r»ng lóc kh¶o s¸t vËn tèc gãc cña trôc lµ ω = thanh treo lµ ω1 = 2α = 900. 162

π rad/s, gia tèc gãc cña trôc lµ ε = 1 rad/s2, vËn tèc gãc c¸c 2

π rad/s, gia tèc gãc cña chóng lµ ε1 = 0,4 rad/s2. Lóc kh¶o s¸t 2

Tr¶ lêi : W = 293,7 cm/s2. 7.8. Mét èng trßn b¸n kÝnh R = 1m quay quanh trôc n»m ngang O theo chiÒu kim ®ång hå víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω = 1 rad/s. ë trong èng cã mét qu¶ cÇu nhá M dao ®«ng quanh ®iÓm A theo luËt ϕ = sinπt. X¸c ®Þnh gia tèc tuyÖt ®èi cña qu¶ cÇu (gia tèc tiÕp, 1 ph¸p) ë thêi ®iÓm t = 2 gi©y. 6

H×nh bµi 7.8

Tr¶ lêi : Wτ = - 4,93 m/s2 ; Wn = 13,84 m/s2. 7.9. Tam gi¸c vu«ng OAB quay quanh trôc O vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña h×nh víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω = 1rad/s. Mét ®iÓm M chuyÓn ®éng víi gia tèc kh«ng ®æi b»ng 2 cm/s2 däc theo c¹nh AB tõ A ®Õn B víi vËn tèc ®Çu b»ng kh«ng. T×m vËn tèc vµ gia tèc tuyÖt ®èi cña M ë thêi ®iÓm t =

1 s. Cho biÕt lóc nµy 2

OB = BM = 4 cm.

Tr¶ lêi: V=

41 cm/s, W = 6 2 cm/s2.

H×nh bµi 7.9

7.10. Mét m¸y nÐn khÝ cã çc èng dÉn khÝ cong, quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω quanh trôc O vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña h×nh. Kh«ng khÝ ch¹y däc theo çc èng víi vËn tèc t¬ng ®èi kh«ng ®æi Vr. T×m h×nh chiÕu cña vËn tèc vµ gia tè cña mét phÇn tö khÝ n»m ë ®iÓm C cña èng AB lªn çc trôc Oξ vµ Oη. Cho biÕt b¸n kÝnh cong cña èng ë ®iÓm C b»ng ρ, gãc gi÷a ph¸p tuyÕn cña èng ë ®iÓm C vµ b¸n kÝnh CO b»ng ϕ. B¸n kÝnh CO b»ng r. 163

Tr¶ lêi : Vξ = Vrcosϕ + rω, Vη = Vrsinϕ;

⎛ V2 ⎞ Wξ = ⎜ 2Vr ω − r ⎟ sinϕ ρ ⎠ ⎝ ⎡ ⎤ ⎛ V2 ⎞ Wη = - ⎢ω2 + ⎜ 2Vr ω − r ⎟ cos ϕ ⎥ ρ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

H×nh bµi 7.10

7.11. H×nh ch÷ nhËt ABCD quay quanh c¹nh CD víi vËn tèc gãc ω =

π -1 s = h»ng 2

π sè. Däc theo c¹nh AB ®iÓm M chuyÓn ®éng theo quy luËt ξ = asin tcm. 2

Tr¶ lêi : ωa =

aπ2 2 cm/s2. 4

H×nh bµi 7.11

164

7.12. H×nh vu«ng ABCD c¹nh 2a (cm) quay quanh c¹nh AB víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω = π 2 rad/s.Mét ®iÓm M dao ®éng däc theo d−êng chÐo AC theo π luËt ξ = acos t (cm ). 2

Tr¶ lêi : Wa1 = aπ2 5 cm/s2,

H×nh 7.12

Wa2 = 0,44aπ2cm/s2.

7.13. Trong m¸y ®iÒu tiÕt quay quanh trôc th¼ng ®øng víi tèc ®é n = 180 vßng/phót, qu¶ nÆng A g¾n víi ®Çu mót çc lß xo thùc hiÖn dao ®éng ®iÒu hoµ däc theo m¸ng MN, theo luËt x = (10 + 5 sin8πt) cm, x lµ kho¶ng çch tõ träng t©m cña nã ®Õn trôc quay. X¸c ®Þnh gia tèc cña träng t©m cña qu¶ nÆng khi gia tèc c«ri«lit cña nã ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ t×m gia tèc c«ri«lit cña qu¶ nÆng khi chóng ë çc vÞ trÝ biªn

Tr¶ lêi : Wa = 600 π2cm/s2 Wc = 0.

H×nh bµi 7.13

7.14. Trong khi ®Üa trßn quay quanh trôc O1O2 víi vËn tèc gãc

ω = 2ts-1, ®iÓm M chuyÓn ®éng däc b¸n kÝnh cña nã tõ t©m ra vµnh theo quy luËt OM = 4t2 cm. B¸n kÝnh OM t¹o víi trôc O1O2 mét gãc 600

H×nh bµi 7.14 165

Tr¶ lêi : wM = 35,56 cm/s2. 7.15. Mét èng trßn b¸n kÝnh r quay quanh trôc O vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng cña èng víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi theo chiÒu mòi tªn trªn h×nh vÏ. Trong èng chøa ®Çy chÊt láng chuyÓn ®éng víi vËn tèc t¬ng ®èi kh«ng ®æi u. X¸c ®Þnh gia tèc cña c¸c ph©n tö chÊt láng n»m ë c¸c ®iÓm 1,2,3 vµ 4 trªn h×nh trong hai tr−êng hîp chuyÓn ®éng t¬ng ®èi cïng chiÒu vµ ngîc chiÒu víi chuyÓn ®éng theo. H×nh bµi 7.15

Tr¶ lêi : 1) W1 = rω2 -

u2 u2 − 2uω , W3 = 3rω2 + + 2uω , r r 2

W2 = W4 =

⎛ u2 2 ⎞ 4 2 ⎜ + 2uω + ω r ⎟ + 4ω r . r ⎝ ⎠

2) W1 = rω2 -

u2 u2 − 2uω , + 2uω , W3 = 3rω2 + r r 2

W2 = W4 =

166

⎛ 2 u2 ⎞ 2 4 ⎜ ω r + − 2uω ⎟ + 4r ω . r ⎝ ⎠

7.16. Mét nöa vßng trßn b¸n kÝnh R quay quanh trôc song song víi d−êng kÝnh AB vµ c¸ch d−êng kÝnh ®ã mét kho¶ng 2R víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω. Trªn vßng trßn cã mét ®iÓm chuyÓn ®éng tõ A ®Õn B víi vËn tèc kh«ng ®æi u. X¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm ë thêi ®iÓm ®Çu vµ ë thêi ®iÓm mµ nã ®· ®i ®−îc 1/4 vßng trßn (xem h×nh vÏ).

Tr¶ lêi : 1) V = W=

H×nh bµi 7.16

u 2 + 4ω2 R 2

4ω2 R 2 +

u4 + 4ω2 u 2 R2

u 2 + ω2 R 2 , W =

u2 − ω2 R R

7.4.3. Bµi to¸n ph©n tÝch chuyÓn ®éng. 7.17. Cho mét c¬ cÊu tay quay m¸ng tr−ît nh− h×nh vÏ, tay quay OA quay quanh trôc cè ®Þnh O víi vËn tèc ®é kh«ng ®æi n = 90 vßng/phót, m¸ng BC chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn theo ph−¬ng x. §Çu A cña tay quay nèi víi con ch¹y A, con ch¹y nµy tr−ît däc m¸ng BC vµ lµm

H×nh bµi 7.17

cho m¸ng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn lªn xuèng. X¸c ®Þnh vËn tèc V cña m¸ng ë thêi ®iÓm mµ tay quay hîp víi trôc x gãc 30o ChiÒu dµi tay quay ℓ = 200 mm.

Tr¶ lêi : V = 0,942 m/s.

167

7.18. T×m gia tèc cña cam nÕu cÇn cam chuyÓn ®éng th¼ng nhanh dÇn ®Òu, sau 4 gi©y nã tr−ît tõ vÞ trÝ cao nhÊt xuèng ®o¹n h = 4 cm (h×nh vÏ). B¸n kÝnh cña cam lµ r = 10 cm.

H×nh bµi 7.18

Tr¶ lêi : W = 1 cm/s2. 7.19. Hai bê mét con s«ng song song víi nhau, mét con thuyÒn ®i tõ ®iÓm A vµ lu«n lu«n gi÷ cho mòi cña nã cã ph−¬ng vu«ng gãc víi bê, nh− thÕ th× nã sÏ tíi bê bªn kia ë ®iÓm C n»m phÝa díi 120 m so víi ®iÓm A, sau thêi gian 10 phót (h×nh vÏ).

H×nh bµi 7.19

Muèn cho thuyÒn tíi bê bªn kia vµo ®óng ®iÓm B cïng ngang víi A th× cÇn lu«n lu«n gi÷ cho mòi thuyÒn hîp mét gãc nµo ®Êy víi d−êng AB. Trong tr−êng hîp nµy thuyÒn ®i qua s«ng mÊt 12,5 phót. X¸c ®Þnh chiÒu réng ℓ cña s«ng, vËn tèc t¬ng ®èi u cña thuyÒn, vËn tèc v cña dßng níc. Gi¶ thiÕt trong c¶ hai tr−êng hîp vËn tèc t¬ng ®èi u cã gi¸ trÞ nh− nhau.

Tr¶ lêi : ℓ = 200 m, u = 20m/s, v = 12 m/s. 7.20. Tay quay OC cña c¬ cÊu culit quay quanh O víi vËn tèc gãc ω lµm thanh AB chuyÓn ®éng theo r·nh K th¼ng ®øng nhê con ch¹y A (h×nh vÏ). X¸c ®Þnh vËn tèc tr−ît cña con ch¹y A däc OC. Cho biÕt OK = ℓ, ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t OC lµm víi OK gãc ϕ. 168

H×nh bµi 7.20

Tr¶ lêi : Vr =

l ωtgϕ cos ϕ

7.21. Con ch¹y A cña c¬ cÊu culit cña m¸y bµo cã chèt trªn b¸nh E ®−îc truyÒn chuyÓn ®éng nhê hÖ thèng b¸nh r¨ng D vµ E. B¸n kÝnh c¸c b¸nh r¨ng lµ R = 100 mm, R1 = 350 mm, O1A = 300 mm, kho¶ng c¸ch O1B = 700 mm.

H×nh bµi 7.21 Cho vËn tèc gãc cña b¸nh D lµ ω = 7 s-1. T×m vËn tèc gãc cña cÇn l¾c BA lóc O1A ë vÞ trÝ th¼ng ®øng (vÞ trÝ trªn vµ díi) vµ lóc nã th¼ng gãc víi cÇn l¾c BA (bªn tr¸i, bªn ph¶i).

Tr¶ lêi : ω1 = 0,6 s-1; ωII = ωIV = 0, ωIII = 1,5 s-1. 7.22. §Ó phãng mét vÖ tinh nh©n t¹o cña qu¶ ®Êt, ngêi ta ph¶i t¹o cho nã mét vËn tèc n»m ngang b»ng 8 km/s ë gÇn mÆt ®Êt. X¸c ®Þnh vËn tèc t¬ng ®èi lín nhÊt vµ bÐ nhÊt mµ ngêi ta cÇn ph¶i truyÒn cho vÖ tinh ®Ó nã ®¹t ®−îc vËn tèc cÇn thiÕt ë trªn. TÝnh to¸n trong hai tr−êng hîp: vÖ tinh ®−îc phãng lªn ë xÝch ®¹o vµ ®−îc phãng ë vÜ ®é 600. B¸n kÝnh cña qu¶ ®Êt tÝnh trung b×nh lµ R = 6400 km.

Tr¶ lêi : a) Vmax = 8,565 km/s,

Vmin = 7,535 km/s.

b) Vmax = 8,233 km/s,

Vmin = 7,767 km/s.

169

7.23. Hai ®Üa A vµ B cïng quay víi vËn tèc gãc ω quanh c¸c trôc cè ®Þnh O1 vµ O2 (h×nh vÏ). Trªn ®Üa B lÊy ®iÓm M vµ kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña nã khi lÊy ®Üa A lµm hÖ quy chiÕu ®éng. X¸c ®Þnh trÞ sè gia tèc t¬ng ®èi vµ c«ri«lit cña M nÕu ω = 10 rad/s vµ

H×nh bµi 7.23

O1O2 = 15 cm.

Tr¶ lêi : Wr = 15 m/s2, Wk = 30 m/s2. 7.24. §Ó truyÒn quay gi÷a hai trôc O vµ O1 song song víi nhau ngêi ta dïng mét c¬ cÊu nh− h×nh vÏ. Tay quay AB quay quanh trôc O1 víi vËn tèc gãc ω1 kh«ng ®æi lµm cho m¸ng ch÷ thËp quay quanh trôc O. X¸c ®Þnh vËn tèc gãc cña m¸ng, vËn tèc t¬ng ®èi, theo vµ gia tèc t¬ng ®èi, theo

H×nh bµi 7.24

vµ c«ri«lit cña con ch¹y A nÕu lÊy m¸ng lµm hÖ quy chiÕu ®éng. Cho biÕt OO1 = AO1 = O1B = a.

Tr¶ lêi : ω = Vr = aω1cos

170

ω ω1 , Ve = aω1sin 1 t2 2 2

ω ω1 aω2 ω t, We = Wr = - 1 sin 1 t , Wk = a ω12 cos 1 t. 2 2 2 2

7.25. Cho mét c¬ cÊu culit nh− h×nh vÏ. Tay quay OA quay víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω0. X¸c ®Þnh vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña O1D, gia tèc cña thanh BC ë thêi ®iÓm mµ tay quay cã vÞ trÝ n»m ngang vÒ bªn ph¶i. Cho biÕt OA = r, OO1 = r 3 , h = 2r 3 .

Tr¶ lêi : ω =

ω0 ω2 3 2 ;ε= 0 , W = r ω02 . 8 3 4 H×nh bµi 7.25

7.26. Dßng s«ng cã chiÒu réng 1 km, ch¶y tõ nam lªn b¾c víi vËn tèc 5km/h. H·y x¸c ®Þnh gia tèc c«ri«lit cña c¸c h¹t níc ë vÜ tuyÕn 600 b¾c. Sau ®ã x¸c ®Þnh mùc níc ë bê bªn nµo cao h¬n vµ cao h¬n bao nhiªu, biÕt r»ng mÆt níc ph¶i trùc giao víi vect¬ tæng cña vect¬ gia tèc träng tr−êng vµ vect¬ b»ng vÒ ®é lín nhng ngîc h−íng víi gia tèc C«ri«lit.

H×nh bµi 7.26

7.27. ChÆng d−êng s¾t ë ®o¹n phÝa b¾c thµnh phè Mªlit«p«n cã h−íng theo kinh tuyÕn. Tµu ho¶ ch¹y víi vËn tèc v = 90 km/h vÒ h−íng b¾c. H·y t×m gia tèc C«ri«lit cña tµu ho¶ t¹i vÜ tuyÕn 470.

Tr¶ lêi : wc = 0,266 cm/s2. 7.28. Trªn con d−êng s¾t n»m däc theo vÜ tuyÕn trªn b¾c b¸n cÇu, mét chiÕc tµu ho¶ ch¹y víi vËn tèc vr = 20 m/s tõ t©y sang ®«ng. H·y t×m gia tèc C«ri«lit wc cña tµu ho¶. 171

Tr¶ lêi : wc = 0,291 cm/s2; 7.29. S«ng Nªva ch¶y tõ ®«ng sang t©y däc theo vÜ tuyÕn 600 b¾c víi vËn tèc vr = 4km/h. H·y x¸c ®Þnh tæng c¸c h×nh chiÕu lªn tiÕp tuyÕn BC víi kinh tuyÕn t¬ng øng cña c¸c thµnh phÇn gia tèc cña nh÷ng h¹t níc phô thuéc vµo vËn tèc ch¶y. B¸n kÝnh tr¸i ®Êt R = 64.105m.

Tr¶ lêi : wBC = 1396 . 10-5cm/s2.

172

H×nh bµi 7.29

Ch−¬ng 8. ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n 8.1. C¬ së lý thuyÕt ChuyÓn ®éng song ph¼ng cña vËt r¾n lµ chuyÓn ®éng mµ mçi ®iÓm thuéc vËt chuyÓn ®éng trªn mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng cè ®Þnh. 8.1.1. ChuyÓn ®éng cña vËt

1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt: B

Chän ®iÓm A tuú ý lµm cùc, dùng hÖ trôc Axy chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh Ox1y1. VÞ trÝ cña h×nh ph¼ng cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh nhê xA, yA, vµ

α A

ϕ, trong ®ã (xA, yA) lµ c¸c to¹ ®é cña cùc A; ϕ lµ gãc O ®Þnh vÞ cña mét ®o¹n th¼ng AB thuéc h×nh ph¼ng ®èi

x x1

H×nh 8.1

víi hÖ trôc ®éng Axy. ⎧ x A = f1 ( t ) ⎪ ⎨ yA = f2 ( t ) ⎪ ⎩ϕ = f 3 ( t )

(8.1)

®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt song ph¼ng. ChuyÓn ®éng song ph¼ng cã thÓ ®−îc ph©n tÝch thµnh hai chuyÓn ®éng: chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn cïng víi hÖ trôc Axy vµ chuyÓn ®éng quay ®èi víi hÖ trôc Axy (H×nh 8.1). 2. Çc yÕu tè ®éng häc ®Æc trng cho chuyÓn ®éng h×nh ph¼ng: r r v A , w A , ω, ε Trong ®ã ω, ε lµ vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña h×nh ph¼ng trong chuyÓn r r ®éng quay ®èi víi hÖ trôc Axy; v A , w A - vËn tèc vµ gia tèc cùc A. 8.1.2. ChuyÓn ®éng çc ®iÓm thuéc vËt 1. VËn tèc çc ®iÓm thuéc vËt a. §Þnh lý hîp vËn tèc

173

VËn tèc cña mét ®iÓm thuéc h×nh ph¼ng b»ng tæng h×nh häc cña vËn tèc cùc vµ vËn tèc cña ®iÓm trong chuyÓn ®éng cña h×nh ph¼ng quay ®èi víi hÖ trôc tÞnh tiÕn cïng víi cùc r r r v M = v A + v MA

(8.2)

Trong ®ã (H×nh 8.3). ⎧ Ph−¬ng ⊥ MA ρ ⎪ vMA ⎨ ChiÒu thuËn chiÒu ω ⎪ Gi¸ trÞ v = MAω. MA ⎩

b. §Þnh lý h×nh chiÕu vËn tèc H×nh chiÕu vËn tèc hai ®iÓm lªn ph−¬ng nèi liÒn hai ®iÓm lu«n lu«n b»ng nhau (H×nh 8.2). hcMA vr M = hcAM vr A

H×nh 8.2

H×nh 8.3

(8.3)

H×nh 8.4

c. §Þnh lý vÒ sù ph©n bè vËn tèc c¸c ®iÓm thuéc h×nh ph¼ng T¹i mçi thêi ®iÓm, tån t¹i mét ®iÓm P thuéc h×nh ph¼ng mµ vËn tèc cña nã b»ng kh«ng (P ®−îc gäi lµ t©m vËn tèc tøc thêi). - NÕu P giíi néi th× vËn tèc mäi ®iÓm cña h×nh ph¼ng ®−îc ph©n bè gièng nh− tr−êng hîp h×nh ph¼ng quay (tøc thêi) quanh P (H×nh 8.4), lóc ®ã: vB = PB.ω; vA = PA.ω; vM = PM.ω

(8.4)

- NÕu P ë v« cïng th× vËn tèc mäi ®iÓm cña h×nh ph¼ng ®−îc ph©n bè gièng nh− tr−êng hîp h×nh ph¼ng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (tøc thêi): Quy t¾c t×m t©m vËn tèc (H×nh 8.5). Cô thÓ nh− sau : 174

H×nh 8.5

• Tr−êng hîp h×nh ph¼ng S (th−êng lµ ®Üa, trô trßn) chuyÓn ®éng l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng th¼ng hoÆc ®−êng cong cè ®Þnh, ®iÓm tiÕp xóc P lµ t©m vËn tèc (H×nh 8.5a).

• C¸c tr−êng hîp trªn h×nh 8.5a – 8.5d cÇn biÕt th«ng tin vÒ vËn tèc cña 2 ®iÓm A, B thuéc vËt : r r • NÕu v A , v B kh«ng song song (kh«ng cÇn biÕt gi¸ trÞ), P lµ giao ®iÓm cña 2 r r ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi v A , v B (H×nh 8.5b). r r r r • NÕu v A , v B song song, ®ång thêi v A , v B vu«ng gãc víi AB, cÇn biÕt gi¸ trÞ r r v A , v B , P lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng nèi ®Çu mót cña v A , v B víi ®−êng

th¼ng AB (H×nh 8.5c,d). r r r r • NÕu v A , v B song song, ®ång thêi v A , v B kh«ng vu«ng gãc víi AB, th× P ë xa v« cïng, vËt chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn tøc thêi (H×nh 8.5e). Khi ®ã, vËn tèc mäi ®iÓm thuéc vËt nh− nhau, nh−ng gia tèc nãi chung kh¸c nhau. 2. Gia tèc c¸c ®iÓm thuéc vËt t WMA

1. §Þnh lý hîp gia tèc

Gia tèc cña mét ®iÓm thuéc h×nh ph¼ng b»ng ω

tæng h×nh häc cña gia tèc cùc vµ gia tèc cña ®iÓm trong chuyÓn ®éng cña h×nh ph¼ng quay ®èi víi hÖ trôc tÞnh tiÕn cïng víi cùc (H×nh 8.6).

ε n WMA

A WA

VÝ dô 8.1. 175

r r rn rτ w M = w A + w MA + w MA

(8.5)

Trong ®ã:

⎧ ph−¬ng: däc MA, ρn ⎪ wMA⎨ chiÒu: h−íng tõ M ®Õn A, n ⎪ ⎩ gi¸ trÞ: w MA = MA. ω2 ⎧ ph−¬ng: th¼ng gãc víi AM, ρτ ⎪ w MA ⎨ chiÒu: thuËn chiÒu ε , ⎪ τ ⎩ gi¸ trÞ: w MA = MAε.

H×nh 8.7

2. §Þnh lý vÒ sù ph©n bè gia tèc c¸c ®iÓm thuéc h×nh ph¼ng: T¹i mçi thêi ®iÓm, tån t¹i mét ®iÓm Q thuéc h×nh ph¼ng, gia tèc cña nã b»ng kh«ng (Q ®−îc gäi lµ t©m gia tèc tøc thêi) vµ gia tèc mäi ®iÓm trªn h×nh ph¼ng ®−îc ph©n bè gièng nh− tr−êng hîp h×nh ph¼ng quay (tøc thêi) quanh Q lóc ®ã (H×nh 8.7) r r rn rτ w M = w MQ = w MQ + w MQ

(8.6)

Trong ®ã: r w nMQ h−íng tõ M ®Õn Q vµ cã gi¸ trÞ w nMQ = MQω2 r w τMQ h−íng th¼ng gãc MQ, thuËn chiÒu ε vµ cã gi¸ trÞ w τMQ = MQ.ε ε r w M lµm víi MQ gãc α, cã tg α = 2 ω

NÕu vËn tèc gãc cña h×nh ph¼ng t×m ®−îc lµ hµm cña thêi gian t: ω = ω ( t ) th× gia tèc gãc ε cña h×nh ph¼ng ®−îc tÝnh theo biÓu thøc 176

ε=

dω dt

(8.7)

dω 1 τ = wA dt R

(8.8)

r 2. Trong tr−êng hîp biÕt gia tèc mét ®iÓm ( w A ), vËn tèc gãc vµ gia tèc

gãc (ω,ε) cña h×nh ph¼ng, th× t©m gia tèc tøc thêi Q sÏ n»m trªn nöa d−êng th¼ng r AQ cã ®−îc b»ng c¸ch quay vect¬ w A theo chiÒu ω mét gãc α, víi (H×nh 8.9). tgα =

ε ω2

vµ c¸ch A mét ®o¹n AQ =

wA ε 2 + ω4

H×nh 8.8

H×nh 8.9

3. Trong tr−êng hîp biÕt vect¬ gia tèc cña hai ®iÓm A vµ B, cã thÓ tÝnh dÔ dµng c¸c ®¹i lîng ω2 vµ ε , do ®ã tÝnh ®−îc gãc α.

§Ó t×m t©m gia tèc tøc thêi Q ta quay c¸c r r vect¬ gia tèc w A , w B t¬ng øng quanh c¸c ®iÓm A vµ B cïng gãc α. Giao ®iÓm cña hai d−êng

H×nh 8.10

4. Trong tr−êng hîp viÖc x¸c ®Þnh gia tèc gãc ε vµ do ®ã viÖc x¸c ®Þnh t©m gia tèc tøc thêi Q cña h×nh ph¼ng kh«ng ®−îc thuËn tiÖn th× ®Ó gi¶i bµi to¸n vÒ gia tèc ngêi ta th−êng sö dông ®Þnh lý hîp gia tèc. 8.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i 8.2.1. Ph©n lo¹i bµi to¸n:

Ta cã thÓ ph©n çc bµi to¸n th−êng gÆp thµnh nh÷ng lo¹i sau: I. LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt vµ cña çc ®iÓm thuéc vËt II. X¸c ®Þnh çc yÕu tè chuyÓn ®éng : Tr−êng hîp biÕt vËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm A vµ t©m vËn tèc tøc thêi cña vËt P trong ®ã kho¶ng çch AP lµ hµm ®· biÕt cña thêi gian, ®Æc biÖt AP = const (H×nh 8.11) III. X¸c ®Þnh çc yÕu tè chuyÓn ®éng : Tr−êng hîp biÕt vËn tèc vµ gia tèc cña mét ®iÓm A vµ quü ®¹o cña mét ®iÓm kh¸c (B) cña vËt (H.8.12).

H×nh 8.11

H×nh 8.12

H×nh 8.14

IV. C¸c bµi to¸n hçn hîp vµ ®Æc biÖt 8.2.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n

TiÕn hµnh theo c¸c b−íc sau. 178

H×nh 8.13

H×nh 8.15

quanh mét trôc cè ®Þnh, song ph¼ng) vµ x¸c ®Þnh çc yÕu tè ®éng häc cña chóng (yÕu tè nµo ®· biÕt vµ nh÷ng yÕu tè nµo ch−a biÕt). §èi víi kh©u chuyÓn ®éng song ph¼ng cÇn ®Æc biÖt chó ý ®Õn nh÷ng ®iÓm nèi cña chóng víi çc kh©u l©n cËn. B−íc hai: Gi¶i çc bµi to¸n.

1. §èi víi bµi to¸n thµnh lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt cÇn viÕt çc biÓu thøc (8.1) thùc chÊt lµ x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña mét ®o¹n AB nµo ®ã trªn vËt (vÞ trÝ cña AB ®−îc x¸c ®Þnh bëi xA, yA vµ gãc ϕ). §Ó thµnh lËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm M cÇn tÝnh çc to¹ ®é cña ®iÓm M lµ hµm theo thêi gian. 2. §èi víi bµi to¸n x¸c ®Þnh çc yÕu tè ®éng häc 1. Bµi to¸n vËn tèc

- Chän mét ®iÓm biÕt vËn tèc lµm cùc (A) - X¸c ®Þnh t©m vËn tèc theo c¸c quy t¾c ®· nªu. - X¸c ®Þnh vËn tèc gãc ω cña h×nh ph¼ng: cã chiÒu thuËn chiÒu quay cña ®o¹n AP quanh P vµ cã gi¸ trÞ: ω=

vA AP

- VËn tèc mét ®iÓm M bÊt kú thuéc h×nh ph¼ng: vM = ωMP (cã chiÒu thuËn chiÒu quay cña ®o¹n MP quanh P) b. §Þnh lý hîp vËn tèc:

- Chän mét ®iÓm biÕt vËn tèc lµm cùc (A) - ViÕt biÓu thøc (8.2): ®èi víi bµi to¸n II, M lµ mét ®iÓm bÊt kú thuéc h×nh ph¼ng, cßn ®èi víi bµi to¸n lo¹i III ®iÓm M ®−îc thay b»ng ®iÓm ®· biÕt quü ®¹o (®iÓm B). 179

- VÏ vµ tÝnh çc vect¬ vËn tèc trong biÓu thøc (8.2) (çc vect¬ vËn tèc biÕt ph−¬ng nhng ch−a biÕt chiÒu th× chiÒu cña chóng ®−îc gi¶ ®Þnh, nÕu kÕt qu¶ khi gi¶i ra lµ d¬ng th× chiÒu gi¶ ®Þnh ®óng, cßn ©m, th× chiÒu ®óng ngîc víi chiÒu gi¶ ®Þnh). X¸c ®Þnh çc Èn cña ph−¬ng tr×nh vect¬ (8.2), nã t¬ng ®¬ng víi hai ph−¬ng tr×nh ®¹i sè nhê chiÕu hai vÕ cña (8.2) lªn hai trôc to¹ ®é. §èi víi bµi to¸n II çc Èn lµ gi¸ trÞ, ph−¬ng chiÒu cña vect¬ vËn tèc ®iÓm M, cßn ®èi víi bµi to¸n III Èn r r lµ gi¸ trÞ vect¬ v B vµ v B1 . - Gi¶i ph−¬ng tr×nh vect¬ (8.2): §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (8.2) cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p vÏ hoÆc ph−¬ng ph¸p chiÕu hai vÕ cña ®¼ng thøc vect¬ (8.2) lªn hai trôc vu«ng gãc víi nhau. §èi víi bµi to¸n lo¹i III cã thÓ chiÕu lªn hai trôc bÊt kú thÝch hîp ®Ó nhËn ®−îc hai ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, trong mçi ph−¬ng tr×nh chØ ®−îc mét Èn (chän trôc chiÕu th¼ng gãc víi ph−¬ng cña Èn). c. Cã thÓ sö dông ®Þnh lý h×nh chiÕu vËn tèc, tøc (8.3) 2. Bµi to¸n gia tèc

§Ó gi¶i bµi to¸n vÒ gia tèc, th«ng th−êng ngêi ta sö dông ®Þnh lý hîp gia tèc, ®−îc tiÕn hµnh theo çc b−íc sau: - Chän mét ®iÓm biÕt gia tèc lµm cùc - ViÕt biÓu thøc (8.5): + §èi víi bµi to¸n lo¹i II, M lµ mét ®iÓm bÊt kú thuéc h×nh ph¼ng vµ gia tèc ε ®−îc tÝnh nhê (8.7) hoÆc (8.8). + §èi víi bµi to¸n lo¹i III, ®iÓm M ®−îc thay b»ng ®iÓm ®· biÕt quü ®¹o (®iÓm B). - VÏ vµ tÝnh çc vect¬ trong (8.5): (çc vect¬ gia tèc ch−a biÕt chiÒu th× chiÒu cña chóng ®−îc gi¶ ®Þnh vµ xö lý kÕt qu¶ nh− trong tr−êng hîp cña bµi to¸n vËn tèc). X¸c ®Þnh Èn trong ph−¬ng tr×nh vect¬ (8.5) nã t¬ng ®¬ng víi hai ph−¬ng tr×nh ®¹i sè nhê chiÕu ®¼ng thøc (8.5) lªn hai trôc to¹ ®é. §èi víi bµi to¸n lo¹i III, r r çc Èn lµ gi¸ trÞ, ph−¬ng chiÒu cña vect¬ w B vµ w τBA (trong ®ã chøa gia tèc gãc cña h×nh ph¼ng ε ). Trong tr−êng hîp quü ®¹o cña B lµ d−êng cong th× cÇn ph©n tÝch. 180

r r r w B = w nB + w τB

Trong ®ã dÔ dµng tÝnh ®−îc: w nB =

v 2B ρ

ρ - lµ b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o ®iÓm B. Do ®ã, Èn cña bµi to¸n lµ gi¸ trÞ r r cña w τB vµ w τBA (trong ®ã chøa ε). - Gi¶i ph−¬ng tr×nh vect¬ (8.5): §èi víi bµi to¸n lo¹i II cÇn chiÕu ®¼ng thøc r vect¬ (8.5) lªn hai trôc th¼ng gãc nhau ®Ó t×m hai thµnh phÇn w M lªn hai trôc ®ã vµ nh− vËy gia tèc cña ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh hoµn toµn. §èi víi bµi to¸n lo¹i III, r r chiÕu ®¼ng thøc vect¬ (8.5) lÇn lît lªn hai trôc th¼ng gãc víi w B (hoÆc w τB ) vµ ph−¬ng AB. B»ng c¸ch nh− vËy ta nhËn ®−îc hai ph−¬ng tr×nh ®¹i sè chøa riªng r r r rÏ gi¸ trÞ cña w B (hoÆc w τB ) vµ w τBA . Lóc ®ã gia tèc gãc ε cña h×nh ph¼ng cã r chiÒu thuËn chiÒu w τBA quanh A vµ cã gi¸ trÞ ε =

w τBA

B©y giê cã thÓ x¸c ®Þnh gia tèc mét ®iÓm bÊt kú theo nh− bµi to¸n II. Còng cã thÓ x¸c ®Þnh gia tèc nhê ph−¬ng ph¸p t©m gia tèc. Ph−¬ng ph¸p nµy thuËn lîi chØ ®èi víi bµi to¸n II (gia tèc ε tÝnh ®−îc nhê (8.7) vµ (8.8).

8.3. Bµi gi¶i mÉu 8.3.1. LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng VÝ dô 8.1.

C¬ cÊu tay quay thanh truyÒn

nh− h×nh 8.16. Tay quay OA quay theo luËt ϕ = ωt. LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña thanh truyÒn AB. BiÕt OA = r; AB = λ, kho¶ng c¸ch tõ trôc quay O ®Õn r·nh tr−ît b»ng a.

H×nh 8.16

Bµi gi¶i:

181

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: Thanh OA quay quanh trôc cè ®Þnh qua O. Thanh AB chuyÓn ®éng song ph¼ng. 2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña thanh AB. Chän hÖ trôc cè ®Þnh Ox1y1 nh− h×nh vÏ. Chän A trªn thanh AB lµm cùc vµ gäi ψ lµ gãc gi÷a ®o¹n AB vµ ph−¬ng ngang X1. xA = OAcosϕ = rcosωt; sin ψ =

yA = OAsinϕ = rsinωt

AI r sin ϕ + a r a = = sin ωt + AB l l l

Nh vËy theo (8.1) ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña thanh AB lµ: xA = rcosωt; yA = rsinωt a⎞ ⎛r ϕ = arcsin ⎜ sin ωt + ⎟ l⎠ ⎝l

VÝ dô 8.2.

Tay quay OA quay ®Òu quanh trôc cè

®Þnh qua O lµm cho b¸nh cã b¸n kÝnh r l¨n kh«ng tr−ît theo vµnh trong cña b¸nh cè ®Þnh R. LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña b¸nh vµ cña ®iÓm M thuéc b¸nh ®éng, chobiÕt t¹i thêi ®iÓm ®Çu khi α = 0, ®iÓm M trïng víi ®iÓm M0 vµ lµ tiÕp ®iÓm gi÷a hai b¸nh.

H×nh 8.17

Bµi gi¶i:

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng. Thanh OA quay quanh trôc cè ®Þnh qua O, b¸nh xe chuyÓn ®éng song ph¼ng. 2. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña b¸nh ®éng. Chän hÖ trôc cè ®Þnh Ox1y1 nh− h×nh vÏ. Chän ®iÓm A, t©m cña b¸nh ®éng lµm cùc vµ gäi ϕ lµ gãc gi÷a b¸n kÝnh AM cña b¸nh ®éng lµm víi ph−¬ng ngang. DÔ dµng ta tÝnh ®−îc: xA = OAcosα = (R- r)cosωt; yA = OAsinα = (R- r)sinωt 182

V× t¹i thêi ®iÓm ®Çu ®iÓm M trïng víi ®iÓm M0 vµ do ®iÒu kiÖn l¨n kh«ng ∩

∩

tr−ît cña b¸nh ®éng trªn b¸nh cè ®Þnh nªn CM = CM 0 . Do ®ã: ¼ CM ¼ CM Rα 0 · CAM = ϕ+α = = = r r r ⎛R ⎞ ⎛R ⎞ Tõ ®ã suy ra: ϕ = ⎜ − 1⎟ α = ⎜ − 1⎟ ωt ⎝r ⎠ ⎝r ⎠

VËy ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña b¸nh ®éng lµ: xA = (R - r) cosωt; yA = (R - r)sinωt;

⎛R ⎞ ϕ = ⎜ − 1⎟ ωt ⎝r ⎠

3. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M. §Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M ta tÝnh: ⎛R ⎞ xM = xA + AMcosϕ = (R - r)cosωt + rcos ⎜ − 1⎟ ωt ⎝r ⎠ ⎛R ⎞ yM = yA - AMsinϕ = (R - r)sinωt - rsin ⎜ − 1⎟ ωt. ⎝r ⎠

8.3.2. BiÕt vËn tèc, gia tèc ®iÓm A vµ t©m vËn tèc tøc thêi P víi AP = const. T×m c¸c ®Æc trng chuyÓn ®éng (c¬ cÊu ®Üa ph¼ng) VÝ dô 8.3.

Tay quay OA quay xung quanh trôc O lµm b¸nh 2 l¨n kh«ng tr−ît

theo vµnh b¸nh 1 cè ®Þnh (H×nh 8.18). BiÕt r2 = 0,2 m; r1 = 0,3 m. Lóc tay quay cã vËn tèc gãc ω = 1rad/s vµ gia tèc gãc ε = 4rad/s2, t×m: - VËn tèc gãc b¸nh 2, vËn tèc ®iÓm B trªn vµnh b¸nh 2; AB ⊥ OA. - Gia tèc gãc b¸nh 2, gia tèc ®iÓm B. Bµi gi¶i:

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: Tay quay OA chuyÓn ®éng quay quanh O cè ®Þnh: b¸nh 2 chuyÓn ®éng song ph¼ng, ®iÓm tiÕp xóc lµ t©m vËn tèc tøc thêi P. r r §èi víi b¸nh 2, ta biÕt v A , w A vµ P víi AP = const. 183

2. VËn tèc: Dïng ph−¬ng ph¸p t©m vËn tèc tøc thêi. - T×m vËn tèc: §iÓm tiÕp xóc lµ t©m vËn tèc P - T×m vËn tèc gãc b¸nh 2 vµ vËn tèc ®iÓm B. VËn tèc gãc b¸nh 2: ω2 =

v A OA r +r = ω = 1 2 ω = 2,5 rad/s. PA r2 r2

ω2 ngîc chiÒu kim ®ång hå.

VËn tèc ®iÓm B: vB = PB.ω2 = r2 2 . ω2 =

2 m/s 2

r v B cã chiÒu nh− h×nh vÏ (H.8.18a)

a. Gia tèc: - V× b¸nh 2 l¨n kh«ng tr−ît víi AP = const nªn theo (8.8): ε2 =

w Aτ OA.ε ( r1 + r2 ) .ε = 10rad/s2 = = AP AP r2

ε 2 thuËn chiÒu kim ®ång hå.

- Chän A lµm cùc, ta cã:

r r r rn rτ w B = w nA + w Aτ + w BA + w BA

H×nh 8-18 r w nA h−íng vµo O; w nA = OA . ω2 = 0,5 m/s2 r w τA ⊥OA, chiÒu phï hîp víi ε ; w τ = OA. ε = 2 m/s2 A r w nBA h−íng tõ B ®Õn A; w nBA = BA. ω22 =1,25 m/s2

184

r w τBA ⊥ BA: chiÒu phï hîp ε; w τBA = BA . ε2 = 2m/s2

- VÏ c¸c vect¬ gia tèc (H×nh 8.18b) r - TÝnh wB: w B ch−a biÕt ph−¬ng chiÒu, do ®ã ph©n tÝch thµnh hai phÇn vu«ng gãc. ChiÕu hai vÕ cña (a) lªn hai trôc vu«ng gãc: n τ wBx = w τA + w BA = 3,25 m/s2; wBy = - w nA + w BA = 1,5 m/s2 2 w 2Bx + w By = 3,58 m/s2 r Ph−¬ng chiÒu cña w B ®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c c«sin chØ ph−¬ng cña nã.

VËy: wB =

Cã thÓ t×m gia tèc cña ®iÓm B nhê ph−¬ng ph¸p t©m gia tèc. 8.3.3. BiÕt vËn tèc, gia tèc mét ®iÓm vµ quü ®¹o ®iÓm kh¸c. T×m c¸c ®Æc tr−ng chuyÓn ®éng (c¬ cÊu thanh) VÝ dô 8.4.

Lóc thanh OA th¼ng ®øng, c¸c ®iÓm O, B, O1 cïng n»m trªn d−êng ngang, khi ®ã thanh OA cã vËn tèc gãc ωo vµ gia tèc gãc εo = ωo2 3 . T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña thanh AB. Bµi gi¶i:

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: Çc thanh OA vµ O1B quay xung quanh çc trôc r r cè ®Þnh. Thanh AB chuyÓn ®éng song ph¼ng. §èi víi thanh nµy ta ®· biÕt v A , w A vµ quü ®¹o ®iÓm B. 2. VËn tèc: Cã thÓ dïng çc ph−¬ng ph¸p kh¸c nhau a. Dïng t©m vËn tèc tøc thêi r r - T×m P: BiÕt v A ⊥ OA; v B ⊥ O1B, do ®ã tõ A vµ B kÎ çc d−êng t¬ng øng r r vu«ng gãc víi v A vµ v B , giao ®iÓm cña 2 d−êng nµy lµ P. ë ®©y P trïng víi O (H.8.19a). - T×m vËn tèc gãc çc thanh vµ vËn tèc çc ®iÓm.

185

H×nh 8.19

§iÓm A thuéc OA nªn:vA = rω0 MÆt kh¸c, A thuéc AB nªn: vA = PA.ωAB Do ®ã:

ωAB =

v A rω0 = = ω0 PA r

vµ thanh AB quay ngîc chiÒu kim ®ång hå. §iÓm B thuéc thanh AB nªn: vB = PB.ωAB = r 3 ω0 MÆt kh¸c, B thuéc thanh BO1: vB = BO1 . ωBO1 Trong ®ã ωBO lµ gi¸ trÞ vËn tèc gãc kh©u BO1, quay quanh trôc O1. VËy ωBO1 =

vB r 3ωo ωo = = BO1 2r 3 2

Vµ thanh BO1 quay quanh trôc qua O1 theo chiÒu kim ®ång hå. b. Dïng ®Þnh lý hîp vËn tèc: - Chän ®iÓm A cã chuyÓn ®éng ®· biÕt lµm cùc - §Þnh lý hîp vËn tèc cho ta: r r r v B = v A + v BA (a) r Trong ®ã v A ⊥OA; vA = rωo r r v BA ⊥ AB; vBA = AB.ωAB; v B ⊥ O1B; vB = BO1 . ωBO1 r - VÏ c¸c vect¬ vËn tèc trong ®¼ng thøc vect¬ (a), trong ®ã c¸c vect¬ v BA vµ r v B chØ biÕt ®−îc ph−¬ng, ch−a x¸c ®Þnh ®−îc chiÒu vµ gi¸ trÞ. Cã thÓ gi¶i ph−¬ng

tr×nh vect¬ (a) b»ng ph−¬ng ph¸p h×nh häc. Dùa vµo h×nh vÏ, ta cã: 186

vBA =

vA v = 2rωo; vB = A = r 3 ωo tgα sin α

Suy ra: ωAB =

v AB = ωo; AB

ωBO1 =

vB ω = o BO1 2

Thanh AB quay ngîc chiÒu kim ®ång hå, cßn thanh BO1 quay thuËn chiÒu kim ®ång hå. c. Dïng ®Þnh lý h×nh chiÕu vËn tèc. DÔ dµng nhËn ®−îc: vB cos600 = vAcos300 Suy ra vB = r 3ωo 3. Gia tèc: Chän ®iÓm A lµm cùc, ®Þnh lý hîp gia tèc cho ta r r rn rτ w B = w A + w BA + w BA Do quü ®¹o cña A vµ B lµ d−êng trßn nªn biÓu thøc trªn ®−îc viÕt díi d¹ng: r r r r rn r w Bτ + w nB = w τA + w An + w BA + w τBA (b) r r r Trong ®ã w nB vµ w nA h−íng t¬ng øng vÒ O1 vµ O: w nBA h−íng tõ B ®Õn A,

chóng cã gi¸ trÞ: w nB = BO1.ω2BO1 =

r 3 2 n ωo ; w A = OAωo = rωo2 2

2 w nBA = ωAB .AB = 2rωo2

r w τA thuËn chiÒu εo vµ cã gi¸ trÞ: w τA

= εo. OA = r

3.ωo2

V× ch−a x¸c ®Þnh ®−îc çc gia tèc gãc çc thanh BO1 vµ BA ( ε BO1 vµ ε AB ) r r nªn chØ biÕt ph−¬ng çc vÐct¬ w τB ⊥ BO1 vµ w τBA ⊥ BA, cßn chiÒu cña chóng

ch−a x¸c ®Þnh ®−îc. Gi¶ ®Þnh chiÒu cña chóng nh− trªn h×nh 8.191b. Ngoµi ra: r w τB = BO1 .εBO ; w τBA =BA. εAB

TÊt c¶ c¸c vÐct¬ gia tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh 8.19b.

187

r r Nh vËy ph−¬ng tr×nh vÐct¬ (b) chøa hai Èn: gi¸ trÞ cña w τB vµ w τBA , sau khi

x¸c ®Þnh chóng dÔ dµng x¸c ®Þnh εBO1 vµ εAB . uuuur r §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña w τ , chiÕu hai vÕ cña (b) lªn trôc OO1 , ta nhËn ®−îc n w nB = − w Aτ − w BA cos300 + w τBA cos600

Tõ ®ã: w τBA = 5 3rωo2 > 0 r ChiÒu cña w τBA ®óng víi chiÒu gi¶ ®Þnh DÔ dµng tÝnh ®−îc: εAB =

w AB 5 3 2 = ωo BA 2

vµ thanh AB t¹i vÞ trÝ kh¶o s¸t quay nhanh dÇn. uuur B©y giê chiÕu 2 vÕ cña (b) lªn trôc AB , ta ®−îc: w nB cos300 + w τB sin300 = w nB sin300 - w τB cos300 - w nBA

Sau khi tÝnh to¸n ta nhËn ®−îc w τB = −

15 2 rωo 4

Nh vËy w τB cã chiÒu ngîc l¹i víi chiÒu gi¶ ®Þnh trªn h×nh 8.19b. DÔ dµng tÝnh ®−îc ε BO1 =

w τB 5 3 = ωo BO1 8

8.3.4. Bµi to¸n hçn hîp VÝ dô 8.5.

Tay quay OA quay ®Òu quanh trôc O víi vËn tèc gãc ωo lµm b¸nh 1

l¨n kh«ng tr−ît theo vµnh b¸nh 2 cè ®Þnh. Hai b¸nh cïng b¸n kÝnh r. Thanh truyÒn BD vµ cÇn l¾c DC cïng ®é dµi λ (H×nh 8.20). T¹i thêi ®iÓm BD ⊥ OA, ∧

BCD = 450 . T×m:

C¸c vËn tèc gãc: ω1 , ωBD , ωDC Gia tèc ®iÓm B. Bµi gi¶i:

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: C¸c thanh OA vµ CD chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh. B¸nh 1 vµ thanh DB chuyÓn ®éng song ph¼ng. 188

2. VËn tèc: Dïng ph−¬ng ph¸p t©m vËn tèc tøc thêi. a. XÐt b¸nh 1 (b¸nh l¨n kh«ng tr−ît). - T©m vËn tèc: §iÓm tiÕp xóc gi÷a 2 b¸nh lµ t©m vËn tèc tøc thêi P cña b¸nh 1. r - VËn tèc gãc b¸nh 1 (ω1) vµ vËn tèc ®iÓm B ( v B ) :

ω1 =

v A 2rωo = = 2. ωo; ω1 thuËn chiÒu kim ®ång hå. P1A r

r vB = P1B.ω1 = 2 r 2 .ω2; v B ⊥ P1B1 chiÒu phï hîp ω1 . r b. XÐt thanh BD: BiÕt v B vµ quü ®¹o D (vßng trßn t©m C) r r - T©m vËn tèc: tõ B vµ D kÎ c¸c d−êng t¬ng øng vu«ng gãc víi v B vµ v D ,

2 l 2

r VËn tèc gãc cña BD ( ωBD ) vµ vËn tèc ®iÓm D ( v D ) :

H×nh 8.20

ωBD =

vB 4r = . ωo; ωBD ngîc chiÒu kim ®ång hå. P2 B l

¸p dông ®Þnh lý h×nh chiÒu vËn tèc:

HchBD vr B = HchBD vr D 189

Hay: vBcos450 = vDcos450 r VD = vB = 2r 2 ω0; v D cã chiÒu nh− h×nh 8-20a. Tõ ®ã suy ra vËn tèc gãc thanh DC ( ωDC ) : ωDC =

vD r 2 = . ω0; ωDC ngîc chiÒu kim ®ång hå DC l

3. Gia tèc (t¬ng tù VÝ dô 8.3). XÐt b¸nh 1: - B¸nh 1 l¨n kh«ng tr−ît víi AP1 = const, nªn theo (8.8) w τA Gia tèc ε1 = = 0 (v× OA quay ®Òu) r r r r rτ - Chän A lµm cùc, xÐt gia tèc ®iÓm B: w B = w nB + w nBA + w BA r w nB h−íng tõ A ®Õn 0; w nA = OA. ωo2 =2r ωo2 r w nBA h−íng tõ B ®Õn A; w nBA = BA. ω12 = 4r ωo2 r w τBA ⊥ BA; w τBA = BA. ε1 = 0.

- VÏ c¸c vect¬ gia tèc: H×nh 8.20b r rn - TÝnh wB: v× w nA ⊥ w BA nªn: WB =

(w ) + (w ) n 2 A

2 n BA

= 2 5rωo2

Trong ®ã: w τDB =DB.εDB; w τD = DC . εDC Chó ý: Muèn t×m ε BD vµ εDC ta xÐt thµnh DB vµ chän B lµm cùc: r r r rn rτ w nD + w Dτ = w B + w DB + w DB VÝ dô 8.6. HÖ rßng räc nh− h×nh 8.21. ë thêi ®iÓm vËt I ®−îc n©ng lªn víi vËn r r r r tèc v1 gia tèc w1 . VËt II h¹ xuèng víi vËn tèc v 2 , gia tèc w 2 . Rßng räc ®éng cã

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: vËt I vµ II chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn. Hai rßng räc nhá quay xung quanh trôc cè ®Þnh. Rßng räc ®éng chuyÓn ®éng song ph¼ng. Khi kh«ng cã tr−ît gi÷a d©y vµ rßng räc th×: 190

H×nh 8.21 v1 = vA; w1 = w τA ; v2 = vB ; w2 = w τB r r r r Nh vËy trªn rßng räc ®éng ta biÕt v A , w τA vµ v B , w τB 2. VËn tèc - Trªn rßng räc ®éng, ta biÕt vËn tèc hai ®iÓm, do ®ã t×m ®−îc vËn tèc tøc thêi P (H.8.21a). - VËn tèc gãc cña rßng räc: ω=

vB vA v + VA v + v2 = = B = 1 PB PA PB+ PA 2R

(a)

VC =

v B − VA v 2 − v1 = 2 2

(b)

NÕu v2 > v1: t©m C ®ang chuyÓn ®éng lªn; nÕu v2 < v1 t©m C h¹ xuèng; nÕu v2 = v1 th× vC = 0. 3. Gia tèc: BiÓu thøc (a) ®óng víi mäi thêi ®iÓm, nªn theo (8.7) ta cã gia tèc gãc cña rßng räc: ε=

dω 1 d w +w = ( v1 + v 2 ) = 1 2 dt 2R dt 2R

ε thuËn chiÒu kim ®ång hå.

V× C chuyÓn ®éng th¼ng, nªn gia tèc cïng ph−¬ng víi vËn tèc, tõ (b) ta cã wC =

d ⎛ v 2 − v1 ⎞ d ⎛ v 2 − v1 ⎞ w 2 − w1 ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= dt ⎝ 2 ⎠ dt ⎝ 2 ⎠ 2

191

r NÕu w2 > w1 th× w C h−íng lªn.

- chän C lµm cùc, ta cã: r r r rτ w B = w C + w nBC + w BC

( v + v2 ) r w nBC h−íng tõ B ®Õn C: w nBC = BC . ω2 = 1 4R r w τBC ⊥ BC, chiÒu phï hîp víi ε ; w τBC - BC . ε =

w1 + w 2 2

- VÏ c¸c vect¬ gia tèc: h×nh 8.21b. - TÝnh wB: chiÕu 2 vÕ cña (c) lªn hai trôc vu«ng gãc, ta ®−îc

wBx = w

n BC

( v1 + v 2 ) 4R

τ wBy = wC + w BC =

VÝ dô 8.7.

w 2 − w1 w1 − w 2 + = w2 2 2

Cho c¬ cÊu nh− h×nh 8.22. Thanh I

chuyÓn ®éng nhanh dÇn lªn phÝa trªn truyÒn chuyÓn ®éng qua thanh AC vµ con tr−ît B lµm cho thanh II chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn ngang. T×m gia tèc gãc cña thanh AC vµ gia tèc cña con tr−ît B ®èi víi thanh AC khi c¬ cÊu ë vÞ trÝ øng víi gãc α = 300, BO = 3 cm, thanh I cã vËn tèc v1 = 3 cm/s, gia tèc w1 = 3 cm/s2 cßn thanh II cã vËn

tèc v2 = 5 cm/s, gia tèc w2 = 1 cm/s2. Bµi gi¶i:

H×nh 8.22

1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: Con tr−ît B chuyÓn ®éng ®èi víi thanh AC, thanh AC l¹i chuyÓn ®éng. Ta cã bµi to¸n hîp chuyÓn ®éng ®èi víi ®iÓm B. Chän hÖ quy chiÕu ®éng lµ thanh AC.

192

- ChuyÓn ®éng cña thanh AC ®èi víi gi¸ cè ®Þnh lµ chuyÓn ®éng theo. §ã lµ

chuyÓn ®éng song ph¼ng, ®èi víi nã chØ biÕt ®−îc vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm A thuéc vËt. - ChuyÓn ®éng cña con tr−ît B ®èi víi thanh AC lµ chuyÓn ®éng t¬ng ®èi.

§ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng däc thanh AC. §èi víi chuyÓn ®éng nµy chØ biÕt ®−îc ph−¬ng cña vËn tèc vµ gia tèc. - ChuyÓn ®éng cña B ®èi víi gi¸ cè ®Þnh lµ chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi. §ã lµ

chuyÓn ®éng th¼ng theo ph−¬ng ngang, t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t vËn tèc vµ gia tèc cña nã ®· cho. 2. VËn tèc - Dùa vµo ®Þnh lý hîp vËn tèc trong hîp chuyÓn ®éng ®iÓm ta cã: r r r v B = ve + v r r r r r r trong ®ã v B = v 2 cßn v r h−íng däc theo AC; v e = v B* , ë ®ã B* lµ trïng ®iÓm

cña B thuéc thanh AC. Dùa vµo ®Þnh lý hîp vËn tèc trong chuyÓn ®éng song ph¼ng ®èi víi hai ®iÓm A vµ B* ®Òu thuéc kh©u song ph¼ng AC, ta cã: r r r v B* = v A + v B*A B©y giê biÓu thøc vËn tèc tuyÖt ®èi cña ®iÓm B cã thÓ viÕt díi d¹ng: r r r r v B = v A + v B*A + v r (a) r r r trong ®ã v A = v1 cßn v B*A lµ vËn tèc cña ®iÓm B* trong chuyÓn ®éng cña thanh quay quanh cùc A, chóng ta chØ biÕt ph−¬ng cña nã th¼ng gãc víi thanh AC, nhng ch−a biÕt chiÒu (ph¶i gi¶ ®Þnh) vµ trÞ sè ( v B*A = ωAC. B*A, trong ®ã ωAC lµ vËn tèc gãc thanh AC ch−a x¸c ®Þnh). - C¸c vect¬ vËn tèc ®−îc biÓu diÔn nh− trªn h×nh 8.22. r r - Ph−¬ng tr×nh vect¬ (a) chøa hai Èn: gi¸ trÞ cña vect¬ v r vµ v B*A . §Ó x¸c

®Þnh chóng, chiÕu hai vÕ cña (a) lªn hai trôc ∆2 (H.8.22), ta nhËn ®−îc: vBcosα = - vAsinα + v B*A vBsinα = vAcosα - vr 193

khi thay vA = v1 =

3 cm/s, vB = v2 = 5cm/s; α = 300 vµ gi¶i, ta cã:

vr = -1 cm/s < 0; v B*A = 3 3 cm/s > 0. r KÕt qu¶ cho thÊy chiÒu cña v r ngîc l¹i chiÒu gi¶ ®Þnh, tøc t¹i thêi ®iÓm nµy r cã tr−ît chuyÓn ®éng h−íng vÒ A, cßn v B*A cã chiÒu ®óng nh− chiÒu gi¶ ®Þnh. Ngoµi ra dÔ dµng t×m ®−îc: ωAC =

v B*A *

3 3 rad/s = 6 2

r Dùa vµo chiÒu cña v B*A ta thÊy r»ng t¹i thêi

®iÓm kh¶o s¸t thanh AC quay ngîc chiÒu kim ®ång hå. - Sö dông ®Þnh lý hîp gia tèc trong hîp chuyÓn

®éng ®èi víi ®iÓm B. V× chuyÓn ®éng theo kh«ng ph¶i lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (kh©u AC chuyÓn ®éng r r r r song ph¼ng) nªn: w B = w e + w r + w C r r r Trong ®ã w B = w 2 ; w C cã ph−¬ng chiÒu nhê r quy t¾c quay vect¬ vËn tèc v r theo chiÒu quay cña

H×nh 8.23

π quanh trôc qua B (H.8.23). 2 r r r wC = 2ωe.vrsin ( ωC .v r ) = 2ωAC.vr = 3 cm/s2 ( ωAC cã ph−¬ng th¼ng gãc mÆt r ph¼ng h×nh vÏ vµ h−íng ra) w r h−íng däc thanh AC, gi¸ trÞ vµ chiÒu ch−a biÕt. r Gi¶ sö w r cã chiÒu nh− trªn h×nh 8.23. r w e = w B* , ë ®ã B* thuéc thanh AC, t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t trïng víi B. V×

ωAC gãc

thanh AB chuyÓn ®éng song ph¼ng ®èi víi hai ®iÓm B* vµ A, ta cã: r r r r w B* = w A + w nB*A + w Bτ *A r r r ë ®ã w A = w1 ; w nB*A h−íng tõ B ®Õn A; w nB*A = ω2AC . BA = 4,5 cm/s2;

194

r w τB*A cã ph−¬ng vu«ng gãc víi BA, chiÒu ch−a biÕt (gi¶ ®Þnh nh− trªn h×nh r 8.23) cã gi¸ trÞ w τB*A = εAC. BA ch−a biÕt v× gia tèc gãc εAC cña thanh AC ch−a

x¸c ®Þnh. BiÓu thøc gia tèc tuyÖt ®èi cña B b©y giê cã thÓ viÕt díi d¹ng: r r r r r r w B = w A + w nB*A + w Bτ *A + w r + w C (b) C¸c vect¬ gia tèc ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 8.23. - Ph−¬ng tr×nh vect¬ (b) chøa hai Èn: gi¸ trÞ wr vµ w τB*A ®Ó t×m chóng, chiÕu

hai vÕ cña (b) lÇn lît lªn c¸c trôc ∆1 vµ ∆2 ta nhËn ®−îc: wBcosα = - wAsinα + w τB*A - wC wBsinα = wAcosα + w nB*A - wr Gi¶i ra ta cã: Wr = w nB*A + wAcosα + wBsinα = 7,6 cm/s2 > 0 w nB*A = wAsinα - wBcosα + wC = 2,4 cm/s2 > 0 r r Nh vËy c¸c vÐc t¬ w r , w Bτ *A cã chiÒu nh− ®· gi¶ ®Þnh

r w τB*A

2, 4 = 0,4 rad/s2 6

BA rτ ChiÒu cña ε AC phï hîp víi chiÒu w B*A . nh− vËy t¹i thêi ®iÓm kh¶o s¸t thanh

AC chuyÓn ®éng nhanh dÇn.

8.4. Bµi tËp LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 8.1. Cho c¬ cÊu tay quay thanh truyÒn

cña m¸y h¬i n−íc. Tay quay quay ®Òu víi vËn tèc gãc ωo. LÊy A lµm cùc, viÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña thanh H×nh bµi 8.1 195

truyÒn AB. BiÕt r»ng AB = l , OA = r vµ khi t = 0 th× α = 0. ⎛r ⎞ Tr¶ lêi: x = cosωot, y = rsinωot, α = − arcsin ⎜ sin ω0 t ⎟ ⎝l ⎠

8.2. Tay quay OA quay nhanh dÇn ®Òu quanh O víi

gia tèc gãc ε0 lµm b¸nh 2 l¨n kh«ng tr−ît theo vµnh b¸nh 1 cè ®Þnh. B¸n kÝnh c¸c b¸nh lµ r vµ R, khi t = 0 th× ωo= 0 vµ α = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña b¸nh 2 vµ cña ®iÓm M thuéc b¸nh 2. Cho biÕt khi t = 0 th× M ë t¹i M0. Tr¶ lêi : Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña b¸nh 2. x A = (R + r) cos

ϕ=(

ε0 t 2 ε t2 ; y A = (R + r)sin 0 2 2

H×nh bµi 8.2

R ε t2 + 1) cos 0 r 2

Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M x M = (R + r) cos

ε0 t 2 R ε t2 ε t2 R ε t2 − R cos(1 + ) 0 ; y M = (R + r)sin 0 + R sin(1 + ) 0 2 r 2 2 r 2

8.3. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0. ViÕt ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng

cña thanh AB vµ cña trung ®iÓm M cña nã. Cho biÕt OA = O1B = a, OO1 = AB = b (a < b), khi t = 0 th× α = 0 (H×nh 8.3). Tr¶ lêi: Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña AB

xA = acosω0t;yA = asinω0t; ϕ = 2arctg

a sin ω0 t b − a cos ω0 t

Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M : b x M = a cos ω0 t + cos ϕ ; 2

H×nh bµi 8.3

196

b y M = a sin ω0 t − sin ϕ 2 8.4.1. BiÕt vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm A vµ t©m vËn tèc tøc thêi P víi AP = const (c¬ cÊu ®Üa ph¼ng) 8.4. HÖ rßng räc (h×nh vÏ). C¸c rßng räc 1 vµ 4 cïng b¸n

kÝnh R, çc rßng räc 2 vµ 3 cïng b¸n kÝnh r. Lóc kh¶o s¸t, vËt M ®ang chuyÓn ®éng lªn víi vËn tèc v vµ gia tèc w. T×m: - VËn tèc ®Çu d©y A - Gia tèc gãc cña çc rßng räc 3 vµ 4 (coi çc d©y tiÕp xóc víi rßng räc ë hai ®Çu cña ®−êng kÝnh ngang). Tr¶ lêi: v A = 4v; ε3 =

w 3w ; ε4 = r R

8.5. VËt M r¬i xuèng theo luËt x = 2t2m lµm chuyÓn ®éng

rßng räc cè ®Þnh 2 rßng räc ®éng 1. Rßng räc 1 cã cã b¸n kÝnh b»ng 0,2m. T×m gia tèc c¸c ®iÓm C, B vµ D ë trªn vµnh

H×nh bµi 8.4

cña räc

rßng 1

lóc t =

0,5s;

H×nh bµi 8.5

H×nh bµi 8.6

OB⊥CD. Tr¶ lêi: wC = 5m/s2; wB =7,29m/s2; wD = 6,4m/s2 8.6. Tay quay OA quay víi gia tèc gãc ε0 = 8rad/s2, lóc kh¶o s¸t cã vËn tèc gãc

ω0 = 2rad/s. B¸nh II l¨n kh«ng tr−ît theo vµnh cña b¸nh I cè ®Þnh. Hai b¸nh cã

197

cïng b¸n kÝnh R =12cm. T×m gia tèc ®iÓm M vµ ®iÓm N cña b¸nh II; M lµ ®iÓm tiÕp xóc, N lµ ®iÓm ®Çu cña ®−êng kÝnh MN. Tr¶ lêi: wN = 480cm/s2 ; wM = 96m/s2 8.7. C¬ cÊu dïng ®Ó quay nhanh b¸nh 1 nh− (h×nh vÏ),

khi tay quay quay víi vËn tèc gãc ω0 th× b¸nh 2 l¨n kh«ng tr−ît trong b¸nh 3 cè ®Þnh lµm cho b¸nh I quay quay xung quanh trôc O. T×m: - Quan hÖ vÒ vËn tèc gãc vµ quan hÖ vÒ gia tèc gãc gi÷a b¸nh I vµ tay quay. - B¸n kÝnh r1 theo r3 ®Ó cho r Tr¶ lêi: ω1 = (1 + 3 )ω0 ; r1

r1 =

ω1 = 12 ω2

H×nh bµi 8.7

r3 11

8.4.2. BiÕt vËn tèc, gia tèc mét ®iÓm vµ quü ®¹o ®iÓm kh¸c (c¬ cÊu thanh) 8.8. Tay quay OA dµi 20cm, quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 = 10 rad/s, thanh

truyÒn AB dµi 100cm, con ch¹y B chuyÓn ®éng theo ph−¬ng th¼ng ®øng. T×m vËn tèc gãc, gia tèc cña thanh truyÒn vµ gia tèc con ch¹y B t¹i thêi ®iÓm tay quay vµ thanh truyÒn vu«ng gãc víi nhau, gãc α = 450. Tr¶ lêi: ωAB = 2rad/s; ε AB = 16rad / s 2 ; wB = 565,6cm/s2 8.9. C¬ cÊu 3 kh©u nh− h×nh vÏ 8-38. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 · = 90o , = 4rad/s; OA = r = 0,5m; AB = 2r; BC = r 2 . T¹i thêi ®iÓm OAB · ABC = 45o , h·y t×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc thanh AB vµ BC.

Tr¶ lêi: ωAB = 2rad/s; ωBC = 4rad/s; ε BC = 20rad / s 2 ; ε BC = 8rad / s 2 ;

198

H×nh bµi 8.8

H×nh bµi 8.9

H×nh bµi 8.10

Thanh BC dµi 20cm, kho¶ng c¸ch AD b»ng 20cm. Tay quay AB quay ®Òu víi vËn tèc ω0. T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña thanh BC lóc gãc ADC = 900 8 20 Tr¶ lêi: ωBC = ω0 ; ε BC = ω02 ; 3 9

8.11. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc

ω0 lµm chuyÓn ®éng thanh truyÒn AB g¾n

cøng víi b¸nh L b¸n kÝnh r. B¸nh L lµm chuyÓn ®éng b¸nh K còng cã b¸n kÝnh r vµ l¾p tr¬n trªn trôc O. T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña b¸nh K t¹i vÞ trÝ OA th¼ng ®øng vµ n»m ngang. Cho AB = l. Tr¶ lêi: Khi OA th¼ng ®øng ω = 2ω0; ε =

H×nh bµi 8.11 4rω02 l 2 − 4r 2

r khi OA n»m ngang: ω = 2(1 ± )ωo ; ε = 0 l 8.12. Tay quay OA quay víi gia tèc gãc kh«ng ®æi ε 0 = 5rad / s 2 vµ t¹i thêi ®iÓm

kh¶o s¸t cã vËn tèc gãc ω0 =10rad/s. BiÕt OA = r = 20cm; O1B = R = 100cm; AB = l =120cm. T×m vËn tèc ®iÓm B, ®iÓm C vµ gia tèc (tiÕp vµ ph¸p) cña ®iÓm B khi OA vµ O1B th¼ng ®øng. Tr¶ lêi: vB = vC = 200cm/s; w nB = 400cm / s 2 w rB = 370, 45cm / s 2

199

H×nh bµi 8.12

H×nh bµi 8.13

8.13. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 = 1rad/s. BiÕt OA = 20cm; AB =

50cm; BC = 24cm. Khi c¬ cÊu cã vÞ trÝ nh− h×nh vÏ. T×m : VËn tèc con ch¹y B, con ch¹y C, vËn tèc gãc thanh BC, gia tèc con ch¹y B. Tr¶ lêi: vB = 20 3 cm/s;vC = 30 cm/s;ωBC = 5

3 rad/s; wB = 44cm/s2 12

8.14. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc

ω0 = 8rad/s. BiÕt OA = 25cm; CA = CB = 50

cm; DE = 100 cm. ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t · · CDE = 90o ; BED = 30o . OA vµ AB th¼ng

hµng vu«ng gãc víi BE. T×m:

H×nh bµi 8.14

-VËn tèc gãc c¸c thanh AB vµ DE. - Gia tèc c¸c ®iÓm B vµ C. Tr¶ lêi: ωAB = 2rad/s; ωDE = 0,5rad/s; wB = 2000cm/s2; wC = 1800cm/s2. 8.15. C¬ cÊu h×nh vÏ AB = EF = KD = 10cm; BC = 25cm; DC = CE. Thanh AB

cã vËn tèc gãc ωAB =10rad/s. Lóc ϕ = 900; α = 300; β = 900, h·y t×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc thanh EF. Tr¶ lêi: ωEF = 20rad/s; εEF = 932cm/s2. 8.16. Thanh OA dao ®éng theo luËt ϕ =

π π sin t(rad) lµm cho ®Üa K quay quanh 6 2

trôc O1. Cho biÕt OA = 2O1B = 24cm vµ lóc t = 4s thanh OA vµ O1B n»m ngang; α = 600.

T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña ®Üa. VËn tèc vµ gia tèc cña trung ®iÓm M cña thanh AB.

200

H×nh bµi 8.15

H×nh bµi 8.16

H×nh bµi 8.17

⎧ π4 = − w cm / s 2 2 4 Mx ⎪ π π 3 r r r ⎪ 12 Tr¶ lêi: ω = rad / s; ε = rad / s 2 ; v M = v A ; w M ⎨ 6 72 ⎪ w = π4 3 cm / s 2 ⎪⎩ My 12

Trôc x h−íng n»m ngang tõ tr¸i sang ph¶i. Trôc y h−íng th¼ng ®øng lªn. 8.17. PÝt t«ng D cña m¸y Ðp thuû lùc ®−îc truyÒn chuyÓn ®éng tõ ®ßn OL. Lóc c¬

cÊu cã vÞ trÝ nh− h×nh vÏ, ®ßn OL cã vËn tèc gãc ω = 2rad/s vµ gia tèc gãc ε = 4rad/s2. T×m: -VËn tèc pÝt t«ng D, vËn tèc gãc thanh AB - Gia tèc pÝt t«ng, gia tèc gãc thanh AB Tr¶ lêi: vD = 34,6cm/s; ωAB = 2rad/s;wD = 29,4sm/s2; εAB = 5,2rad/s2.

8.4.3. Bµi to¸n hçn hîp (C¬ cÊu thanh vµ ®Üa l¨n kh«ng tr−ît. H×nh ph¼ng bÊt kú). 8.18. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0 = 3 rad/s lµm cho ®Üa l¨n kh«ng

tr−ît trªn ®−êng ngang. Cho OA = 3m ; R =1m. Lóc ϕ = 600; OAB = 900. 201

T×m vËn tèc c¸c ®iÓm B, M vµ gia tèc cña chóng. Tr¶ lêi: vB = 6m/s; vM = 6 2 m/s

wB = 18m/s2; wM = 18 2 m/s2

H×nh bµi Error! Reference source not found.

§Üa b¸n kÝnh R l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng ngang lµm cho con ch¹y B tr−ît trong r·nh ngang. Thanh AB dµi l , khi ®Çu A ë vÞ trÝ cao r v nhÊt t©m O cã vËn tèc v 0 vµ gia tèc w 0 . T×m

H×nh bµi 0

gia tèc ®iÓm A, ®iÓm B vµ gia tèc gãc cña thanh AB lóc ®ã, biÕt OA =

R . 2

Tr¶ lêi : w Ax

3 v 02 3 3v 02 v 02 wB = w0 − ; ε AB = − = − w 0 ; w Ay = − 2 2R 2 2 4l 2 − 9R 2 R 4l 2 − 9R 2

8.19. Tay quay OA quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω0

lµm cho b¸nh II b¸nh r l¨n kh«ng tr−ît lªn vµnh b¸nh I cè ®Þnh b¸n kÝnh R = 2r. Thanh BD dµi r g¾n cøng víi b¸nh II, thanh BC nèi víi con ch¹y C. T×m gia tèc ®iÓm B, ®iÓm C vµ gia tèc gãc cña thanh BC lóc α = 300 , lóc ®ã OA vµ DB n»m ngang. Tr¶ lêi:wB =24r ω02 ;

202

w C = 7 3rω02 ; ε BC =

7 3 2 ω0 5

H×nh bµi 8.20

H×nh bµi 8.19

H×nh bµi 8.21

8.20. B¸nh r¨ng b¸n kÝnh r kÑp gi÷a hai thanh khÝa song song chuyÓn ®éng nhanh r r dÇn vÒ cïng mét phÝa (H.8-21). Lóc kh¶o s¸t c¸c thanh cã vËn tèc v1 , v 2 vµ gia r r tèc w1 , w 2 . T×m vËn tèc, gia tèc t©m O vµ gia tèc ®iÓm A cña b¸nh r¨ng tiÕp xóc

víi thanh khÝa 1. Tr¶ lêi: v 0 =

v1 + v 2 w + w2 (v − v 2 ) 2 ; w0 = 1 ; w A X = w1 ; w AY 1 2 2 4r

8.21. C¬ cÊu vi sai, tay quay OA cã vËn tèc gãc ω0, gia tèc gãc ε0; b¸nh 1 quay

cïng chiÒu víi tay quay víi vËn tèc gãc ω1 = 3ω0; gia tèc gãc ε1 = 3ε0. BiÕt R1 = 2R2 = 2r. T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc b¸nh 2 vµ gia tèc ®iÓm M trªn vµnh b¸nh 2; AM⊥OA. r ⎧⎪ w Mx = 3r(ω2 − ε 0 ) Tr¶ lêi: ω2 = 3ω0; gia tèc gãc ε2 = 3ε0; w M ⎨ 2 ⎪⎩ w My = 3r(3ω0 + ε0 )

8.22. C¬ cÊu vi sai, b¸nh dÉn 1 quay

ng−îc chiÒu kim ®ång hå víi vËn tèc gãc ω0 gia tèc gãc ε0. Tay quay OA =3R quay thuËn chiÒu kim ®ång hå víi cïng vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc trªn. T×m vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm M 203

trªn. T×m vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm M

H×nh bµi 8.22

trªn vµnh b¸nh bÞ dÉn 3 cã b¸n kÝnh R , AM⊥OA. Tr¶ lêi: v = Rω0 10;

2 r ⎪⎧ w Mx = 3Rω0 − Rε0 ) wM ⎨ 2 ⎪⎩ w My = 3Rε 0 − Rω

8.23. §Üa l¨n kh«ng tr−ît theo mÆt ph¼ng

nghiªng, gãc nghiªng 300. T©m O cña ®Üa chuyÓn ®éng theo luËt x = 10t2cm. ë t©m O cã treo thanh OA = 36cm, chuyÓn ®éng theo luËt ϕ =

π π sin t (rad). T×m vËn tèc 3 6

vµ gia tèc ®Çu mót A lóc t = 1s.

H×nh bµi 8.23

Tr¶ lêi: v = 2,8cm/s; 2 v ⎧⎪ w x = 25, 2cm / s w⎨ 2 ⎪⎩ w y = −8, 25cm / s

8.24. Cho hép biÕn tèc gåm mét b¸nh xe cè

®Þnh b¸n kÝnh r1 = 40cm, hai cÆp b¸nh xe chuyÓn ®éng m¾c cøng víi nhau cã b¸n kÝnh r2 = 20cm, r3 = 30cm vµ m¾c nèi tiÕp víi b¸nh xe cã b¸n kÝnh r4 = 90cm, b¸nh xe nµy l¾p vµo trôc bÞ dÉn (h×nh vÏ). Trôc dÉn vµ tay quay mang trôc cña cÆp b¸nh xe 2-3 quay víi vËn tèc n1 = 1800 vßng/phót. T×m tèc ®é trôc bÞ dÉn. Tr¶ lêi: nII = 3000vßng/phót

204

H×nh bµi 8.24

8.25. Trôc dÉn I cña mét hép biÕn tèc quay

víi n1 =1200 vßng/phót. T×m tèc ®é cña trôc bÞ dÉn II nÕu b¸nh cè ®Þnh m¾c nèi tiÕp cã sè r¨ng lµ z1 =180, cÆp b¸nh xe ch¹y cã sè r¨ng t−¬ng øng z2 = 60, z3 = 40, cßn b¸nh m¾c víi trôc bÞ dÉn cã z4 = 80 (h×nh vÏ). Tr¶ lêi: nII = 3000 vßng/phót

H×nh bµi 8.25 8.26. Cho hép biÕn tèc vi sai nh− h×nh vÏ.

B¸nh thø nhÊt ¨n khíp trong, quay víi tèc ®é 160 vßng/phót, c¸c b¸nh thø 2 vµ thø 3 g¾n cøng víi nhau vµ l¾p vµo khung g¾n liÒn víi trôc dÉn. Trôc dÉn I thùc hiÖn n1 = 1200vßng/phót. T×m tèc ®é trôc bÞ dÉn, nÕu trôc I vµ b¸nh xe 1 quay ng−îc chiÒu nhau. Cho biÕt sè r¨ng c¸c b¸nh xe t−¬ng øng lµ: z1=70, z2 = 20; z3 = 30; z4 = 80.

H×nh bµi 8.26

Tr¶ lêi: nII = 585 vßng/phót, cïng chiÒu

víi b¸nh xe 1. 8.27. Thanh AB dµi 0,2m chuyÓn ®éng

trong mÆt ph¼ng h×nh vÏ (H.8-28). VÐc t¬ gia tèc ®Çu A vµ ®Çu B t¹o víi ph−¬ng BA gãc 450 vµ 600, trÞ sè wA = 2m/s2; wB = 4,2m/s2. T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc cña

H×nh bµi 8.27

thanh vµ gia tèc ®iÓm gi÷a C cña AB. 205

Tr¶ lêi: ω = 2rad/s; ε =12,05rad/s2; wC =

3,18m/s2. 8.28. H×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a = 2cm

chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng cña h×nh vÏ. Lóc kh¶o s¸t, ®iÓm A vµ ®iÓm B cã vÐc t¬ vµ gia tèc nh− trªn h×nh vÏ (H.8-29), trÞ sè wA = 2cm/s2; w B = 4 2cm / s 2 . T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc vµ gia tèc ®iÓm C lóc ®ã.

H×nh bµi 8.28

r Tr¶ lêi: ω = 2 rad/s; ε =1rad/s2; wc = 6cm/s2; w C h−íng tõ C ®Õn D.

8.29. Hai con ch¹y A vµ B chuyÓn ®éng cã

gia tèc däc theo hai ph−¬ng vu«ng gãc, cïng h−íng vµo O (H.8-30). T×m vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm C lóc hai thanh AC vµ BC vu«ng gãc víi hai ph−¬ng chuyÓn ®éng cña con ch−aþ. BiÕt r»ng lóc ®ã c¸c con ch¹y cã vËn tèc t−¬ng øng lµ vA vµ vB;

H×nh bµi 8.29

OA = a, CB = b. Tr¶ lêi vC = 0; w C =

v 4A v B4 + a 2 b2

8.30. Thanh AB lu«n lu«n tùa lªn ®iÓm C

cã ®Çu B tr−ît trªn nöa ®−êng trßn víi vËn

tèc kh«ng ®æi vB = 1m/s (h×nh vÏ). T×m vËn tèc, gia tèc ®iÓm C lóc gãc α=300 (α

I C

lµ gãc gi÷a thanh víi ®−êng n»m ngang). B

BiÕt b¸n kÝnh cña ®−êng trßn R =1m. Tr¶ lêi:

vc =

206

1 1 m / s; Wc = 7m / s 2 2 4

H×nh bµi 8.30

8.31. Cho mét c¬ cÊu tæng hîp cã hai tay

M E

quay OA1 vµ OA2 cïng chiÒu dµi vµ b»ng A1

nöa kho¶ng c¸ch gi÷a hai m¸ng ®Þnh h−íng M vµ N. ë thêi ®iÓm kh¶o s¸t c¸c gãc α1 = α2 = β = 300, hai tay quay quay cïng chiÒu víi vËn tèc gãc ω0 vµ gia tèc

α1

α2 A2

H×nh bµi 8.31

vÏ). H−íng dÉn: Thanh EK chuyÓn ®éng song ph¼ng. 3 Tr¶ lêi: ω = ω0 ; 8

ε=

3 3 2 .ω0 32

207

Ch−¬ng 9.

ChuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh

Ch−¬ng nµy ta gi¶i bµi to¸n vÒ mét d¹ng chuyÓn ®éng phøc t¹p cña vËt r¾n: VËt chuyÓn ®éng quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh. Víi chuyÓn ®éng nµy, mäi ®iÓm trªn vËt sÏ chuyÓn ®éng trªn nh÷ng mÆt cÇu mµ t©m lµ ®iÓm cè ®Þnh, nªn chuyÓn ®éng nµy cßn cã tªn lµ chuyÓn ®éng cÇu. 9.1. C¬ së lý thuyÕt 9.1.1. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt 1. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt XÐt chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh ®iÓm cè ®Þnh O. Ta dùng hÖ trôc cè ®Þnh Ox1y1z1 vµ hÖ trôc Oxyz g¾n liÒn vµ chuyÓn ®éng cïng víi vËt thÓ (H×nh 9.1). §−êng giao tuyÕn OK gi÷a mÆt ph¼ng Oxy vµ Ox1y1 gäi lµ ®−êng nót, khi ®ã vÞ trÝ cña oxyz (tøc lµ cña vËt r¾n) trong hÖ trôc Ox1y1z1 cã thÓ ®−îc x¸c dÞnh b»ng 3 gãc ¥le: · · OK; θ = Z · OZ ϕ = KOX; ψ=X 1 1

ϕ gäi lµ gãc quay riªng ψ gäi lµ gãc quay tiÕn ®éng θ gäi lµ gãc kªnh (hay tr−¬ng ®éng) ChiÒu d−¬ng cña c¸c gãc ®−îc chØ trªn h×nh vÏ. Khi ϕ thay ®æi, vËt sÏ quay quanh OZ Khi ψ thay ®æi, vËt sÏ quay quanh OZ1 Khi θ thay ®æi vËt quay quanh ®−êng nót OK

H×nh 9.1

§Ó x¸c ®Þnh ®−îc chuyÓn ®éng cña vËt r¾n, cÇn biÕt vÞ trÝ cña nã trong hÖ trôc Ox1y1z1 ë mäi thêi ®iÓm t tøc cÇn biÕt c¸c hÖ thøc: ϕ = ϕ( t ) ⎫ ⎪ ψ = ψ ( t )⎬ ⎪ θ = θ(t) ⎭

208

(9.1)

Çc ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh çc quy luËt chuyÓn ®éng ®−îc gäi lµ çc ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt r¾n quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh. 2. VËn tèc gãc quay cña vËt Theo ph©n tÝch chuyÓn ®éng ë trªn, çc chuyÓn ®éng quay x¸c ®Þnh çc vÐc r r r t¬ vËn tèc gãc ω1 , ω2 , ω3 n»m däc theo çc trôc quay (H×nh 9.1) ω1 = ϕ&⎫ ⎪ ω2 = ψ&⎬ ⎪ ω3 = θ&⎭

Víi

(9.2)

r r r r VÐc t¬ vËn tèc gãc tøc thêi ω = ω1 + ω2 + ω3 (9.3) r H×nh chiÕu cña ω lªn c¸c trôc cña hÖ trôc cè ®Þnh Ox1y1z1:

ωx1 = ϕ&sin θ sin ψ + θ&cos ψ ωy1 = −ϕ&sin θ cos ψ + θ&sin ψ

(9.4)

ωz1 = ϕ&cos θ + ψ& r H×nh chiÕu cña ω lªn c¸c trôc cña hÖ trôc ®éng Oxyz: ωx = ψ&sin θ sin ϕ + θ&cos ϕ

ωy = ψ&sin θ cos ϕ − θ&sin ϕ

(9.5)

ωz = ψ&cos θ + ϕ& r Gi¸ trÞ cña vÐc t¬ ω b»ng

ω=

&&cos θ ϕ&2 + ψ&2 + θ&2 + 2ϕψ (9.6) r Trôc OP mang vÐct¬ ω ®−îc gäi lµ trôc quay tøc thêi, ph−¬ng tr×nh cña nã

®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh cã d¹ng: x1 y z = 1 = 1 ωx1 ωy1 ωz1

(9.7)

trong ®ã ωx1 , ωy1 , ωz1 cã biÓu thøc (9.4) Ph−¬ng tr×nh cña trôc quay tøc thêi OP ®èi víi hÖ trôc ®éng sÏ lµ:

209

x y z = = ωx ωy ωz

(9.8)

trong ®ã ωx, ωy, ωz lÊy c¸c biÓu thøc (9.5). VÒ mÆt thùc hµnh, trôc quay tøc thêi ®−îc x¸c ®Þnh dùa trªn hai quy t¾c sau: - T×m mét ®iÓm trªn vËt ngoµi ®iÓm O cã vËn tèc b»ng kh«ng. Trôc quay tøc thêi ®i qua ®iÓm ®ã vµ O.

- T×m vect¬ ω , ph−¬ng cña ω lµ trôc quay tøc thêi. Khi vËt chuyÓn ®éng, trôc quay tøc thêi vÏ nªn mét mÆt nãn ®èi víi hÖ trôc ®éng ®−îc gäi lµ mÆt l¨n, cßn ®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh ®−îc gäi lµ mÆt c¨n cø. Trong qu¸ tr×nh vËt chuyÓn ®éng mÆt l¨n sÏ l¨n kh«ng tr−ît trªn mÆt c¨n cø. 3. Gia tèc gãc cña vËt r r dω ε= dt

(9.9)

H×nh 9.2 H×nh 9.3 vµ quy −íc cã gèc t¹i O. Kh¸c víi chuyÓn ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh r trong tr−êng hîp nµy vect¬ gia tèc gãc ε kh«ng cïng ph−¬ng víi vect¬ vËn tèc ρ r gãc ω (H.9.2). Vect¬ gia tèc gãc ε chÝnh lµ vect¬ vËn tèc ®iÓm ®Çu mót cña

vect¬ vËn tèc gãc ω . Tr−êng hîp vËt quay tiÕn ®éng ®Òu, khi ®ã chuyÓn ®éng quay riªng vµ quay tiÕn ®éng lµ ®Òu (ω1 = const; ω2 = const) cßn chuyÓn ®éng quay tr−¬ng ®éng kh«ng cã (ω3 = 0; θ = const). §èi víi tr−êng hîp nµy (H.9.3) ta cã: 210

r r r ω = ω1 + ω2 r r r ε = ω2 Λω1 r r r ε = ωe ∧ ωr

(9.10) (9.11)

Khi ®ã:

ω=

ω12 + ω22 + 2ω1ω2 cos θ = const

ε = ω1 . ω2 sinθ = const α = arcsin

(9.12)

r r r ω1 sinθ = const; ε ⊥ mp ( ω1 , ω2 ) ; ω

9.1.2. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng c¸c ®iÓm thuéc vËt 1. VËn tèc c¸c ®iÓm thuéc vËt

H×nh 9.4 r r r v = ω× r (9.13) r r r trong ®ã r = OM , cßn ω ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.3).

VËy ⎧ r⎪ v⎨ ⎪ ⎩

r r ph−¬ng: th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng OP, r .

(

)

chiÒu: thuËn chiÒu quay cña vËt quanh OP gi¸ trÞ: v = hω; h lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn trôc OP.

Nh− vËy viÖc tÝnh vect¬ vËn tèc cña mét ®iÓm M thuéc vËt gièng nh− tÝnh r vËn tèc cña ®iÓm khi vËt quay trôc OP víi vËn tèc ω (H.9.4). 2. Gia tèc cña ®iÓm thuéc vËt 211

r r r w = wω + wε

(9.14)

trong ®ã: ⎧ Ph−¬ng: däc ®−êng th¼ng gãc vÏ tõ M ®Õn OP. r r⎪ r w ω = ωΛv ⎨ ChiÒu: h−íng tõ M ®Õn OP ⎪ Gi¸ trÞ: wω = h2ω; h lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn OP. ⎩ r uuuur Ph−¬ng: th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng ε ,OM ⎧ ⎪ r r r ChiÒu: nh×n tõ ®Çu mót w r thÊy ε quay ®Õn r ng−îc ⎪ r r⎪ r w ε = εΛ r ⎨ ⎪ chiÒu kim ®ång hå theo gãc nhá ⎪ Gi¸ trÞ: w = h ε; h lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn trôc mang ε 1 1 ⎪⎩ r vect¬ ε .

(

Quy t¾c thùc hµnh: r r VÐc t¬ w ω ®−îc x¸c ®Þnh gièng nh− w n trong

)

chuyÓn ®éng quay quanh trôc cè ®Þnh khi lÊy trôc r quay lµ trôc mang vect¬ ω (tøc trôc OP) (H.9.5). r r Vect¬ w ε ®−îc x¸c ®Þnh gièng nh− w τ trong chuyÓn ®éng quay quanh trôc cè ®Þnh khi lÊy trôc r quay lµ trôc mang vect¬ ε (H.9.5)

O H×nh 9.5

9.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i 1. Ph©n lo¹i bµi to¸n Trong çc bµi to¸n th−êng gÆp cã thÓ ph©n thµnh çc lo¹i: Lo¹i I: BiÕt trôc quay tøc thêi (vËt l¨n kh«ng tr−ît trªn vËt kh¸c cè ®Þnh) vµ biÕt chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm A thuéc vËt. Lo¹i II: BiÕt çc chuyÓn ®éng thµnh phÇn. 2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n. Theo çc b−íc sau: 1) Ph©n tÝch chuyÓn ®éng cña c¬ hÖ, d¹ng chuyÓn ®éng cña tõng vËt thuéc hÖ, çc yÕu tè ®éng häc cña tõng vËt (çc ®¹i l−îng ®· biÕt, ch−a biÕt), ph¸t hiÖn vËt quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh vµ x¸c ®Þnh lo¹i bµi to¸n. 2) X¸c ®Þnh çc yÕu tè ®éng häc cña vËt 212

r r - Vect¬ vËn tèc gãc ω . §èi víi bµi to¸n lo¹i I vect¬ ω n»m däc trôc quay tøc r thêi vµ cã chiÒu phï hîp víi vect¬ v A cã trÞ sè b»ng:

ω=

vA h

h - lµ kho¶ng çch tõ A ®Õn trôc quay tøc thêi. r §èi víi bµi to¸n lo¹i II vect¬ vËn tèc gãc ω ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.3) vµ (9.2) hoÆc (9.10) khi vËt quay tiÕn ®éng ®Òu. r - Vect¬ gia tèc gãc ε ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (9.9) tøc lµ t×m vect¬ vËn tèc cña ®iÓm ®Çu mót cña vect¬ vËn tèc gãc. Trong tr−êng hîp vËt quay tiÕn ®éng ®Òu, vect¬ gia tèc gãc ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (9.11). 3) X¸c ®Þnh çc yÕu tè ®éng häc cña çc ®iÓm thuéc vËt. VËn tèc mét ®iÓm thuéc vËt ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.13): cßn gia tèc cña nã ®−îc x¸c ®Þnh theo (9.14). 9.3. Bµi gi¶i mÉu VÝ dô 9.1.

Trôc OA quay quanh trôc OB víi

vËn tèc gãc ω0 = const, lµm cho b¸nh r¨ng nãn I l¨n kh«ng tr−ît trªn b¸nh r¨ng nãn II cè ®Þnh (H.9.6). Cho OA = a, OB = b. T×m: - VËn tèc gãc cña b¸nh I, vËn tèc ®iÓm cao nhÊt M. - Gia tèc gãc cña b¸nh I, gia tèc cña ®iÓm M.

H×nh 9.6

Bµi gi¶i 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng. HÖ kh¶o s¸t gåm cã tay quay OA quay ®Òu quanh trôc cè ®Þnh th¼ng ®øng víi vËn tèc gãc ω0, vµ b¸nh r¨ng I l¨n kh«ng tr−ît trªn b¸nh r¨ng II cè ®Þnh. ChuyÓn ®éng cña b¸nh r¨ng I lµ chuyÓn ®éng quay quanh ®iÓm cè ®Þnh O (cã thÓ ph©n tÝch chuyÓn ®éng b¸nh r¨ng I gåm cã chuyÓn ®éng quay riªng quanh trôc OA vµ quay tiÕn ®éng quanh trôc OB). r r 2. X¸c ®Þnh vËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc ε cña b¸nh r¨ng I: 213

B¸nh I l¨n kh«ng tr−ît trªn b¸nh II cè ®Þnh, ®iÓm tiÕp xóc P gi÷a hai b¸nh r¨ng cã vËn tèc b»ng kh«ng nªn OP lµ trôc quay tøc thêi cña b¸nh r¨ng I, do ®ã r nã chøa ph−¬ng cña vect¬ vËn tèc gãc ω . Trªn b¸nh I cã ®iÓm A ta biÕt vËn tèc v× nã lµ ®iÓm nèi gi÷a b¸nh I vµ tay r quay O, nªn gi¸ trÞ cña ω ®−îc tÝnh theo H×nh 9.7, trong ®ã M

vA = OA.ω0 = aω0; h = asinα. VËy: ω =

aωo ω = o = const a sin α sin α

r Vect¬ ω cã chiÒu nh− trªn h×nh 9.6 r V× vect¬ ω cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi,

lµm víi trôc th¼ng ®øng gãc kh«ng ®æi vµ quay quanh trôc ®ã víi vËn tèc gãc r ωo nªn vËn tèc ®iÓm ®Çu mót cña nã

H×nh 9.7

®−îc tÝnh theo c«ng thøc. r r dω r r ε= = vk = ωo Λ ω dt r r r Vect¬ ε cã ph−¬ng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng ( ωo , ω ) h−íng tõ trong ra ngoµi, ký hiÖu ⊕ vµ cã gi¸ trÞ:

ωo2 a 2 ε = ω0.ωcosα = = ωo tgα b

3. X¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M (H×nh 9.7) r r r VËn tèc cña ®iÓm M ®−îc tÝnh theo v = ω ∧ r cã ph−¬ng th¼ng gãc víi mÆt r uuuur ph¼ng ( ω , OM ) cã chiÒu h−íng vµo trong (ký hiÖu ⊗) vµ cã gi¸ trÞ: vM = MD.ω = 2hω = 2asinα.ω = 2aωo = 2vA r r r Gia tèc cña ®iÓm M ®−îc tÝnh theo w = w ω + w ε : r r r trong ®ã w ω = ωΛv h−íng th¼ng gãc víi trôc OP, cã chiÒu tõ M ®Õn D vµ cã gi¸ trÞ : 214

wω = MD.ω2 = 2aω2sinα = 2

a 2 a + b 2ωo b

uuuur r r uuuur r w g = εΛ OM cã ph−¬ng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng ( OM , ω ) cã chiÒu h−íng

nh− h×nh vÏ, cã gi¸ trÞ:

wε = OM. ε =

a a 2 .ε = a + b 2ωo2 cos α b

r r Hai vect¬ w ω vµ w ε t¹o víi nhau mét gãc (π - 2α) nªn

w ω2 + w ε2 − 2w ω w ε cos 2α =

VÝ dô 9.2.

a 2 a + 9b 2ωo2 b

Mét ®Üa b¸n kÝnh R quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω1, quanh trôc O1O2,

trôc nµy quay ®Òu víi vËn tèc gãc ω2 quanh trôc th¼ng ®øng. T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc cña ®Üa, vËn tèc vµ gia tèc cña hai ®iÓm mót ®−êng kÝnh AB ë vÞ trÝ th¼ng ®øng (H.9.8).

H×nh 9.8 Bµi gi¶i 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: HÖ gåm khung quay quanh trôc th¼ng ®øng cè ®Þnh víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω2 vµ ®Üa quay ®èi víi khung quanh trôc O1O2 víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω1 vµ cïng víi khung quay quanh trôc th¼ng ®øng víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω2. VËy ®Üa cã chuyÓn ®éng quay quanh ®iÓm cè ®Þnh O, h¬n n÷a ®ã lµ chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng ®Òu ( ω1 = const; ω2 = const; θ =

π ) 2

r r r 2. X¸c ®Þnh vect¬ vËn tèc gãc ω vµ gia tèc gãc ε . Vect¬ vËn tèc gãc ω ®−îc r r x¸c ®Þnh theo (9.10) trong ®ã ω1 ⊥ ω2 . VËy: ω = ω12 + ω22 215

r r Vect¬ ω cã chiÒu nh− h×nh 9.8. Trôc quay tøc thêi lµ trôc mang vect¬ ω1 . r r r r Vect¬ gia tèc gãc ε ®−îc x¸c ®Þnh theo : ε = ω2 Λω1

π VËy ε = ω1ω2sin = ω1ω2 2 r Vect¬ ε cã gèc t¹i O, vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ vµ h−íng vµo trong. 3. X¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc c¸c ®iÓm A, B (H×nh 9.8 vµ H×nh 9.9). T¹i thêi r ®iÓm kh¶o s¸t, ®Üa quay tøc thêi quanh OP víi vËn tèc gãc ω do ®ã:

H×nh 9.9 vB = vA = hω = Rcosα.ω = ωR

ω1 = Rω1. ω

r r C¸c vect¬ v B , v A h−íng ng−îc chiÒu nhau vµ cïng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng r h×nh vÏ, ë ®ã v A h−íng tõ trong ra ngoµi. r r r r r r Theo (9.14) ta cã: w A = w ω + w C , trong ®ã w ω = ωΛv cã ph−¬ng th¼ng gãc víi trôc OP, h−íng tõ A ®Õn trôc CP vµ cã gi¸ trÞ. w ωA = hω2 = Rcosα.ω2 = R

ω1 2 ω = Rω1ω ω

r uuur r w ε = εΛ OA cã ph−¬ng vµ chiÒu song song víi trôc O1O2 (H.9.9) vµ cã gi¸ trÞ wε = OA.ε = Rω1ω2 π r r DÔ dµng thÊy r»ng w ω vµ w ε lµm víi nhau gãc - α. Do ®ã 2

216

wA = w ω2 + w ε2 + 2w ω w ε sin α = Rω1 ω12 + 4ω22 r r Vect¬ w B cïng ph−¬ng ng−îc chiÒu vµ cïng gi¸ trÞ víi w A . VÝ dô 9.3.

Mét vËt r¾n quay quanh ®iÓm cè ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh:

ϕ = 30t; ψ = 2t; θ =

π 6

T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc vµ trôc quay tøc thêi cña vËt ®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh vµ hÖ trôc ®éng. Bµi gi¶i: Gäi hÖ trôc cè ®Þnh lµ Ox1y1z1 vµ hÖ trôc ®éng g¾n liÒn víi vËt lµ Oxyz (H.9.1).

r §Ó t×m vect¬ vËn tèc gãc ω ta cãthÓ t×m h×nh chiÕu cña nã ®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh theo biÓu thøc (9.4): π ωx1 = ϕ&sinθsinψ + θ&cosψ = 30sin sin2t = 15sin2t 6 π ωy1 = −ϕ&sinθcosψ + θ&sinψ = -30sin cos2t = -15cos2t 6 ωz1 = ϕ&cosθ+ ψ& = 30cos

π + 2 = 15 3 + 2 = const 6

DÔ dµng tÝnh ®−îc gi¸ trÞ cña vect¬ vËn tèc gãc ω ω=

(15sin 2t ) + ( −15cos 2t ) 2

(

+ 15 3 + 2

)

(

= 152 + 15 3 + 2

)

= 31,7 rad/s

r Còng cã thÓ t×m gi¸ trÞcña ω theo c«ng thøc (9.6) r Ph−¬ng chiÒu cña vect¬ vËn tèc gãc ω ®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c c«sin chØ

ph−¬ng cña chóng. ωy ωz ωx r r r cos ( ω,Ox1 ) = 1 ; cos ( ω,Oy1 ) = 1 ;cos ( ω,Oz1 ) = 1 = const. ω ω ω

DÔ dµng thÊy r»ng trong tr−êng hîp nµy vËt cã chuyÓn ®éng quay tiÕn ®éng π ®Òu ( ω1 = ϕ&= 30 = const; ω2 = ψ&= 2 = const; ω2 = θ&= 0; θ = ) 6 r r r VËy cã thÓ t×m vect¬ vËn tèc gãc theo(9.10) : ω = ω1 + ω2

217

ω=

ω12 + ω22 + 2ω1ω2 cos

π 3 = 302 + 22 + 2.2.30 = 31,7 rad/s 6 2

r ω sin ( ω.Oz1 ) = 1 sin θ = const. ω

B»ng c¸ch nh− vËy ta nhËn ®−îc kÕt qu¶ t×m ®−îc ë trªn. r Vect¬ gia tèc gãc ε1 dùa vµo (9.11), cã ph−¬ng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng r r r r ( ω1 , ω2 ) tøc mÆt ph¼ng (Oz1, Oz) cã chiÒu khi nh×n tõ ®Çu mót ε1 thÊy ω2 quay r gãc bÐ nhÊt ng−îc chiÒu kim ®ång hå gÆp ω1 vµ cã gi¸ trÞ tÝnh theo (9.12): π ε = ω1.ω2sinθ = 30.2sin = 30rad/s2 = const 6

Ph−¬ng tr×nh cña trôc quay tøc thêi ®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh theo (9.7) x1 y1 z = = 1 15sin 2t −15cos 2t 28

§Ó viÕt ph−¬ng tr×nh cña trôc quay tøc thêi ®èi víi hÖ trôc ®éng g¾n liÒn víi r vËt, chóng ta sö dông (9.8), trong ®ã c¸c h×nh chiÕu cña vect¬ vËn tèc gãc ω lªn c¸c trôc cña hÖ ®éng cã d¹ng (9.5): π ωx = ψ&sinθsinϕ + θ&cosϕ = 2sin sin30t = sin30t 6

π ωy = ψ&sinθcosψ - θ&sinϕ = 2sin cos30t = cos30t 6 π ωz = ψ&cosθ+ ϕ& = 2cos + 30 = 30+ 3 = const 6

Ph−¬ng tr×nh cña trôc quay tøc thêi ®èi víi hÖ trôc ®éng cã d¹ng: x y z = = sin 30t cos30t 30 + 3

Ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ xem lµ ph−¬ng tr×nh cña mÆt l¨n viÕt trong d¹ng tham sè t. B»ng c¸ch khö t chóng ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh cña mÆt l¨n.

218

2 y2 1 ⎛x y⎞ x F⎜ , ⎟ = 2 + 2 − z ⎝z z⎠ z 30 + 3

(

)

T−¬ng tù, chóng ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh cña mÆt c¨n cø ⎛ x y ⎞ x 2 y2 1 =0 G ⎜ 1 , 1 ⎟ = 12 + 12 − 2 ⎝ z1 z1 ⎠ z1 z1 ⎛ 28 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 15 ⎠

9.4. Bµi tËp 9.1. Mét h×nh nãn l¨n kh«ng tr−ît theo mÆt ngang ®Ønh O cè ®Þnh. T©m C cña ®¸y nãn chuyÓn ®éng ®Òu, trë vÒ vÞ trÝ cò sau mét gi©y. T×m vËn tèc mót B cña ®−êng kÝnh AB, gia tèc gãc cña h×nh nãn vµ gia tèc c¸c ®iÓm A vµ B (h×nh vÏ). · = 900 Cho chiÒu cao CO = 18 cm; gãc AOB r Tr¶ lêi : vB = 36π 2 cm/s.ε = 39,5; ε h−íng th¼ng gãc víi OA vµ OB r wA = 1000 cm/s2; w A song sãng víi OB.

r wB = 1000 2 cm/s2; w B trong mÆt ph¼ng AOB vµ t¹o víi OB gãc 450.

9.2. H×nh nãn II chuyÓn ®éng trªn mÆt h×nh nãn cè ®Þnh I, ®−êng cao OO1 = 10 cm cã vËn tèc 120 vßng/phót. Gãc ph¼ng nãn I lµ 1200, nãn II lµ 600 (h×nh vÏ). T×m vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm C vµ ®iÓm B cña h×nh nãn II. Tr¶ lêi: vA = 0;vB = 80πcm/s ; wA = 320π2 cm/s2; w ωB = 610π2 cm/s2; w εB = 320 π2 cm/s2.

9.3. Hai con l¨n h×nh nãn côt l¨n kh«ng tr−ît trªn mét ®Õ cè ®Þnh. B¸n kÝnh ®¸y cña con l¨n lµ R = 10 2 cm, gãc ë ®Ønh 2α = 900, vËn tèc t©m A lµ vA = 20 cm/s (h×nh vÏ ). T×m vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm C vµ ®iÓm B cña con l¨n. Tr¶ lêi: vC = 0;vB = 40 cm/s; wC = 40 cm/s2 ;wB = 40 5 cm/s2.

219

H×nh bµi 9.1

H×nh bµi 9.2

H×nh bµi 9.3

9.4. Mét m¸y nghiÒn cã s¬ ®å cÊu tróc nh− h×nh vÏ. Qu¶ cÇu rçng II chøa bi vµ vËt liÖu nghiÒn ®−îc l¾p tr¬n trªn khung I quay ®−îc quanh trôc n»m ngang nhê tay quay G. Khi tay quay tay quay G, khung I quay quanh trôc AB lµm cho trôc CD chuyÓn ®éng, do ®ã b¸nh r¨ng nãn E g¾n cøng víi trôc CD - chuyÓn ®éng ¨n khíp víi b¸nh F cè ®Þnh. B¸n kÝnh cña b¸nh E lµ r, cña b¸nh F lµ R. T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña qu¶ cÇu II, nÕu tay quay cã vËn tèc gãc ω0 = const, gãc gi÷a trôc AB vµ CD lµ α. (H×nh vÏ). Rωo2 ωo 2 2 Tr¶ lêi: ω = R + r + 2Rr cos α ; ε = sin α . r r

9.5. Khung vu«ng ABCD quay quanh c¹nh AB víi vËn tèc 2 vßng/phót. Mét ®Üa quay quanh ®−êng chÐo BD cña khung víi vËn tèc 2 vßng/phót. T×m vËn tèc gãc, gia tèc gãc cña ®Üa. (H.9.5)

H×nh bµi 9.4 220

Tr¶ lêi:ω = 0,39rad/s; ε = 0,031 rad/s2. 9.6. §Üa A vµ ®Üa B quay ®éc lËp ®èi víi nhau quanh trôc th¼ng ®øng lµm cho ®Üa C chuyÓn ®éng, do ®ã trôc DI cña nã quay quanh trôc th¼ng ®øng. B¸n kÝnh cña ®Üa C lµ r = 0,05 m, trôc DI =

1 m, c¸c ®iÓm tiÕp xóc cã vËn tèc v1 = 3m/s vµ 14

949 rad/s; ε = 490 rad/s2

9.7. Con quay quay riªng quanh trôc OB víi vËn tèc gãc kh«ng ®æi ω1 rad/s, ®ång thêi trôc OB t¹o nªn h×nh nãn ®Òu. Sau mét phót ®Ønh B t¹o ®−îc n vßng, gãc BOS = α. T×m vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña con quay. (H 9.7) πn πn ⎛ πn ⎞ Tr¶ lêi: ω = ω + ⎜ ⎟ + 2ω1 cos α ; ω1 = ω sin α 30 130 ⎝ 30 ⎠ 2

1 2

H×nh bµi 9.5

H×nh bµi 9.6

H×nh bµi 9.7

9.8. H·y t×m ph−¬ng tr×nh cña trôc quay tøc thêi vµ ®é lín cña vËn tèc gãc ω cña cè thÓ; biÕt r»ng h×nh chiÕu cña vËn tèc ®iÓm M1(0, 0, 2) lªn c¸c trôc to¹ ®é g¾n liÒn víi cè thÓ b»ng vx1 = 1m/s; vy1 = 2m/s; vz1 = 0 vµ h−íng vËn tèc cña ®iÓm M2 2 2 1 (0, 1, 2) x¸c ®Þnh bëi c¸c c«sin chØ ph−¬ng sau ®©y: − , + , − 3 3 3

221

Tr¶ lêi: x + 2y = 0; 3x + z = 0; ω = 3,2s-1 9.9. ChuyÓn ®éng cña cè thÓ quanh ®iÓm cè ®Þnh cho bëi c¸c gãc ¥le nh− sau: ϕ = nt, ψ =

π π + ant, θ = , trong ®ã a vµ n lµ h»ng sè. H·y x¸c ®Þnh h×nh chiÕu 2 3

cña vËn tèc gãc vµ gia tèc gãc cña cè thÓ lªn c¸c trôc to¹ ®é cè ®Þnh. §ång thêi còng x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè a ®Ó cho ¨cx«it cè ®Þnh cña cè thÓ lµ mÆt ph¼ng Oxy. Tr¶ lêi: ωx = εx = -

1⎞ n 3 n 3 ⎛ cos ant, ωy = sin ant, ωz = n ⎜ a + ⎟ ; 2⎠ 2 2 ⎝

an 2 3 an 2 3 1 sin ant, εy = cos ant, εz = 0; a = - . 2 2 2

9.10. H·y t×m vËn tèc vµ gia tèc ®iÓm C vµ B cña trôc l¨n h×nh nãn l¨n kh«ng tr−ît theo bÖ ®ì ph¼ng h×nh nãn vµnh kh¨n, biÕt r»ng b¸n kÝnh ®¸y cña trôc l¨n R = 10 2 cm vµ gãc t¹i ®Ønh 2α = 900; vËn tèc cña t©m trôc l¨n A chuyÓn ®éng theo quü ®¹o cña nã b»ng vA = 20 cm/s.

H×nh bµi 9.10 Tr¶ lêi: vc = 0; wC = 40 cm/s2; vB = 40 cm/s; wB = 40 5 cm/s2. 9.11. VËn tèc gãc cña cè thÓ ω = 7s-1; trôc quay tøc thêi cña nã t¹i thêi ®iÓm ®ang xÐt hîp víi c¸c trôc to¹ ®é cè ®Þnh lµ nh÷ng gãc nhän α, β vµ γ. H·y x¸c ®Þnh ®é lín v vµ h×nh chiÕu lªn c¸c trôc to¹ ®é vx, vy, vz cña vËn tèc cña ®iÓm cã to¹ ®é t¹i thêi ®iÓm ®ang xÐt lµ: 0, 2, 0 (tÝnh b»ng mÐt); ®ång thêi

222

x¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch d tõ ®iÓm ®ã ®Õn trôc quay tøc thêi; cho biÕt cosα = cosγ =

2 ; 7

6 . 7

Tr¶ lêi: vx = - 12 m/s; vy = 0, vz = 4m/s; v = 12,65 m/s; d = 1,82 m.

223

Ch−¬ng 10.

Hîp chuyÓn ®éng cña vËt r¾n

10.1. C¬ së lý thuyÕt 10.1.1.Hîp c¸c chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc song song XÐt tr−êng hîp chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña vËt lµ chuyÓn ®éng quay quanh trôc aa' g¾n trªn tay quay ba víi vËn tèc gãc ω1, cßn chuyÓn ®éng kÐo theo lµ chuyÓn ®éng quay cña tay quay ba quay quanh trôc bb' song song víi aa' vµ cã vËn tèc gãc ω2 ⎧ω1 = ωr ⎨ ⎩ω2 = ωe

H×nh 10-1

H×nh 10.2 T×m vËn tèc gãc tuyÖt ®èi ωa cña vËt . §Þnh lý: Hîp hai chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc song song cña vËt r¾n, ta ®−îc chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi lµ chuyÓn ®éng song ph¼ng cã mÆt ph¼ng qui chiÕu vu«ng gãc víi trôc quay. VËn tèc gãc tuyÖt ®èi b»ng tæng ®¹i sè vËn tèc gãc t−¬ng ®èi vµ vËn tèc gãc theo 224

ωa = ωe + ωr

(10.1)

Trong tr−êng hîp chuyÓn ®éng theo vµ t−¬ng ®èi cã chiÒu ng−îc nhau vµ cã vËn tèc gãc cïng gi¸ trÞ th× chuyÓn ®éng tuyÖt ®èi lµ chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn (ωa ≡ 0). 10.1.2.Hîp c¸c chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau XÐt tr−êng hîp chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña vËt 1 (h×nh 10.2) lµ chuyÓn ®éng r quay víi vËn tèc gãc ω1 quay quanh trôc aa1 g¾n trªn tay quay 2, cßn chuyÓn r ®éng kÐo theo lµ chuyÓn ®éng quay víi vËn tèc gãc ω2 xung quanh trôc b1b c¾t aa1. r r ⎧ω1 = ωr r ⎨r ⎩ω2 = ωe

§Þnh lý: Hîp hai chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau t¹i O ta ®−îc chuyÓn ®éng cÇu quanh O víi vËn tèc gãc tuyÖt ®èi b»ng tæng h×nh häc cña vËn tèc gãc theo vµ t−¬ng ®èi r r r ωa = ωe + ωr

(10.2)

10.1.3.TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng vµ truyÒn ®éng hµnh tinh vi sai nãn. 1.

TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng

H×nh 10.3 - TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng lµ truyÒn ®éng b¸nh r¨ng trô trong hÖ ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh song song víi c¸c trôc quay cña b¸nh r¨ng (H×nh 10.3). NÕu cã mét b¸nh r¨ng cè ®Þnh ta cã truyÒn ®éng hµnh tinh (h×nh 225

10.3 cã b¸nh r¨ng 1 cè ®Þnh). Nh− vËy trong truyÒn ®éng hµnh tinh chØ cã mét kh©u dÉn ®éng (cã mét vËn tèc gãc ®éc lËp) vµ c¬ cÊu cã mét bËc tù do. NÕu cã hai kh©u dÉn ®éng (cã hai vËn tèc gãc ®éc lËp) ta cã truyÒn ®éng vi sai, c¬ cÊu cã hai bËc tù do (trong h×nh 10.3, b¸nh r¨ng 1 kh«ng cè ®Þnh mµ cã thÓ quay quanh trôc A kh«ng phô thuéc vµo tay quay AB). §Ó gi¶i bµi to¸n truyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng, ®Çu tiªn chän hÖ ®éng (tay quay hoÆc khung quay) vµ viÕt c«ng thøc ¨n khíp cña tõng cÆp b¸nh r¨ng ®èi víi hÖ ®éng (c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi). VÝ dô, ®èi víi cÆp b¸nh r¨ng 2.3 chän tay quay AB lµm hÖ ®éng vµ vËn tèc gãc cña c¸c b¸nh 2 vµ 3 ®èi víi tay quay ®−îc ký hiÖu qua ω2tq vµ ω3tq. ω2tq ω3tq

=±

r3 z =± 3 r2 z2

(10.3)

trong ®ã lÊy dÊu + hoÆc - tuú thuéc cÆp b¸nh r¨ng ¨n khíp trong hay ngoµi. Cßn r2, r3 lµ b¸n kÝnh; z2, z3 lµ sè r¨ng cña b¸nh 2 vµ b¸nh 3. Dùa vµo (10.1) dÔ dµng tÝnh ®−îc vËn tèc gãc tuyÖt ®èi cña c¸c b¸nh r¨ng: ωi = ωtq + ωitq

(10.4)

C«ng thøc (10.3) kÕt hîp víi (10.4) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng: ω2 − ωtq ω3 − ωtq

=±

r3 z =± 3 r2 z2

(10.5)

nã ®−îc gäi lµ c«ng thøc Vilit. 2. TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai nãn Lµ truyÒn ®éng b¸nh r¨ng nãn trong hÖ ®éng quay quanh mét trôc cè ®Þnh c¾t mét trong çc trôc quay riªng cña çc b¸nh r¨ng nãn. NÕu cã mét kh©u dÉn ®éng (cã mét vËn tèc gãc ®éc lËp) ta cã truyÒn ®éng hµnh tinh vµ hÖ cã mét bËc tù do. NÕu cã hai kh©u dÉn ®éng (cã hai vËn tèc gãc ®éc lËp) ta cã truyÒn ®éng vi sai vµ c¬ cÊu cã hai bËc tù do. Sau khi chän chiÒu quay d−¬ng ®èi víi çc trôc quay c¾t nhau ta viÕt c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi cho tõng cÆp b¸nh r¨ng nãn: 226

ω1tq ω2tq

=±

r2 z =± 2 r1 z1

(10.6)

LÊy dÊu + nÕu ®èi víi hÖ ®éng c¸c b¸nh r¨ng quay cïng chiÒu nhau ®èi víi trôc quay riªng cña chóng (hoÆc cïng chiÒu d−¬ng hoÆc cïng chiÒu ©m) vµ lÊy dÊu - trong tr−êng hîp ng−îc l¹i (H.10.4).

H×nh 10.4 CÇn chó ý r»ng khi ®æi chiÒu cña mét trong çc trôc th× dÊu trong (10.6) sÏ thay ®æi. Nãi kh¸c ®i, trong (10.6) lÊy dÊu + hoÆc - tuú thuéc viÖc chän chiÒu quay d−¬ng ®èi víi çc trôc quay riªng c¾t nhau. V× chuyÓn ®éng theo vµ t−¬ng ®èi cña b¸nh r¨ng 1 x¶y ra quanh çc trôc song song nªn dùa vµo (10.1) ta cã ω1tq = ω1 - ωtq

(10.7)

cßn chuyÓn ®éng theo vµ t−¬ng ®èi cña b¸nh 2 x¶y ra quanh çc trôc c¾t nhau nªn kh«ng cã quan hÖ (10.1) mµ chØ cã quan hÖ (10.2), do ®ã: r r r ω2tq = ω2 − ωtq (10.8) 10.2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i 1. Ph©n lo¹i çc bµi to¸n Çc bµi to¸n th−êng gÆp ®−îc ph©n thµnh hai lo¹i sau: 1. TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng (bµi to¸n hîp chuyÓn ®éng quay quanh çc trôc song song). 227

2. TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai nãn (bµi to¸n hîp chuyÓn ®éng quay quanh çc trôc c¾t nhau). 2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n Çc b−íc gi¶i bµi to¸n: 1) Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: Ph©n tÝch chuyÓn ®éng çc vËt thuéc hÖ, ph¸t hiÖn hÖ trôc ®éng ®Ó h×nh thµnh bµi to¸n chuyÓn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng (chuyÓn ®éng theo vµ t−¬ng ®èi x¶y ra quanh çc trôc song song) hay bµi to¸n hµnh tinh, vi sai nãn (chuyÓn ®éng theo t−¬ng ®èi x¶y ra quanh çc trôc c¾t nhau). 2) Gi¶i a. Bµi to¸n hµnh tinh, vi sai ph¼ng: - Chän chiÒu quay d−¬ng ®èi víi trôc quay. - ViÕt c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi (10.3) cho çc cÆp b¸nh r¨ng trô. - Trong (10.3) chuyÓn çc vËn tèc gãc t−¬ng ®èi qua vËn tèc gãc tuyÖt ®èi theo (10.4) vµ nhËn ®−îc (10.5). - Gi¶i (10.5), x¸c ®Þnh Èn vµ gi¶i b. Bµi to¸n hµnh tinh, vi sai nãn. - Chän chiÒu quay d−¬ng ®èi víi çc trôc c¾t nhau. - ViÕt c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi (10.6) cho çc cÆp b¸nh r¨ng nãn. - T×m vËn tèc gãc tuyÖt ®èi. §èi víi çc b¸nh r¨ng cã chuyÓn ®éng theo, vµ t−¬ng ®èi x¶y ra quanh çc trôc song song th× sö dông c«ng thøc (10.7), cßn ®èi víi çc b¸nh r¨ng chuyÓn ®éng theo vµ t−¬ng ®èi x¶y ra quanh çc trôc c¾t nhau th× sö dông c«ng thøc (10.8). - Gi¶i (10.6), (10.7), (10.8) - x¸c ®Þnh Èn vµ gi¶i. 10.3. Bµi gi¶i mÉu 10.3.1.ChuyÓn ®éng hµnh tinh, vi sai ph¼ng VÝ dô 10.1. Hép biÕn tèc (H.10.5) gåm trôc dÉn I quay víi vËn tèc n1 = 1500 vßng/phót vµ truyÒn chuyÓn ®éng cho trôc II qua hÖ thèng b¸nh r¨ng 2 - 3, nhê b¸nh r¨ng 2 l¨n kh«ng tr−ît trªn b¸nh 1 cè ®Þnh, lµm cho b¸nh r¨ng 4 g¾n

228

liÒn vµo trôc II quay. T×m tèc ®é cña trôc bÞ dÉn II. Cho Z 1 = 120; Z 2 = 40; Z 3 = 30; Z 4 = 50. Bµi gi¶i: 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng. HÖ gåm cã b¸nh r¨ng 1 cè ®Þnh, b¸nh r¨ng 4 vµ tay quay OA quay quanh trôc n»m ngang víi vËn tèc gãc ωtq ®· biÕt (øng víi n1 = 1500 vßng/phót) vµ cÆp b¸nh r¨ng 2 - 3 võa quay quanh trôc quay riªng cña m×nh ®èi víi tay quay vµ cïng víi tay quay OA quay quanh trôc n»m ngang cè ®Þnh. Chän tay quay

H×nh 10-5 lµm

hÖ

®éng, ta cã bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng quay quanh çc trôc song song ®èi víi cÆp b¸nh r¨ng 2 -3 (chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ chuyÓn ®éng quay quanh trôc riªng OO') cña cÆp b¸nh r¨ng 2 - 3, cßn chuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng cña tay quay OA). 2. VËn tèc - ViÕt c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi. §èi víi hÖ ®éng lµ tay quay OA. Ta cã çc cÆp b¸nh r¨ng ¨n khíp 1 - 2 vµ 3 - 4. Gäi vËn tèc gãc cña b¸nh r¨ng 1, 2, 3, 4 ®èi víi tay quay OA lÇn l−ît lµ ω1tq, ω2tq, ω3tq, ω4tq. Sö dông c«ng thøc (10.3) cho çc b¸nh r¨ng 1 - 2 (¨n khíp trong) vµ 3 -

4 (¨n khíp ngoµi) ta ®−îc: ω1tq ω2tq ω3tq ω4tq

z2 z1

=−

z4 z3

(a)

(b)

229

ω1tq ω4tq

=−

z2z4 z1z 3

(c)

Dùa vµo (10.4) ta cã : ω1tq = ω1 - ωtq; ω4tq = ω4 - ωtq VËy:

ω1 − ωtq ω4 − ωtq

=−

z2 ⋅ z4 z1 ⋅ z3

(d)

⎛ z ⋅z ⎞ z ⋅z Gi¶i ph−¬ng tr×nh (d) ta nhËn ®−îc : ω4 = ⎜1 + 1 3 ⎟ . ωtq - ω1. 1 3 z2 ⋅ z4 ⎝ z2 ⋅ z4 ⎠ B¸nh r¨ng 1 ®øng yªn nªn ω1 = 0; cßn ωtq = ω1; ω4 = ωII ⎛ z ⋅z ⎞ Do ®ã: ωII = ⎜1 + 1 3 ⎟ . ωI. VËy trôc I vµ II quay cïng chiÒu. Khi thay sè ⎝ z2 ⋅ z4 ⎠

⎛ 120.30 ⎞ vµo ta cã : nII = 1500 ⎜1 + ⎟ = 420 vßng/phót 40.50 ⎠ ⎝

VËn tèc gãc t−¬ng ®èi cña cÆp b¸nh r¨ng 2 - 3 ®èi víi tay quay b»ng: ω2tq =

z1 z z ω1tq = 1 ( ω1 − ωtq ) = − 1 ωtq z2 z2 z2

Tøc cÆp b¸nh r¨ng 2-3 quay quanh trôc riªng ng−îc chiÒu víi tay quay OA vµ cã tèc ®é b»ng: n2tq =

z1 120 ntq = .1500 = 4500 vßng/phót 40 z2

⎛ z ⎞ ω2 = ωtq + ω2tq = ⎜1 − 1 ⎟ ωtq = - 2ωtq ⎝ z2 ⎠

VËy b¸nh song ph¼ng quay nhanh gÊp ®«i vµ ng−îc chiÒu tay quay. Chó thÝch: 1) DÔ dµng tÝnh ®−îc : ε2 = - 2εtq 2) ViÖc t×m vËn tèc vµ gia tèc c¸c ®iÓm thuéc b¸nh r¨ng 2 dùa vµo c«ng thøc ®· tr×nh bµy ë ch−¬ng chuyÓn ®éng song ph¼ng. 230

H×nh 10-6

VÝ dô 10.2. Cho hép truyÒn ®éng nh− h×nh 10.6. Trôc dÉn I g¾n víi tay quay OA quay víi vËn tèc ω1 = 120 rad/s. Tay quay OA mang trôc cña hai b¸nh r¨ng 2 vµ 3 ®−îc g¾n cøng víi nhau. B¸nh r¨ng 1 quay cïng chiÒu trôc dÉn víi vËn tèc gãc ω1 = 180 rad/s. T×m vËn tèc gãc tuyÖt ®èi cña cÆp b¸nh r¨ng 2 - 3 vµ vËn tèc gãc cña trôc bÞ dÉn II. BiÕt sè r¨ng cña c¸c b¸nh r¨ng Z1 = 80; Z2 = 20; Z3 = 40; Z4 = 60. Bµi gi¶i 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng B¸nh r¨ng 1, b¸nh r¨ng 4 vµ trôc I (cïng víi tay quay OA) quay quanh trôc n»m ngang cè ®Þnh. CÆp b¸nh r¨ng 2 - 3 quay quanh trôc quay riªng cña m×nh ®èi víi tay quay vµ cïng tay quay quay quanh trôc n»m ngang cè ®Þnh. Chän tay quay lµm hÖ ®éng ta cã bµi to¸n tæng hîp chuyÓn ®éng quay quanh nh÷ng trôc song song ®èi víi cÆp b¸nh r¨ng 2 - 3 (chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ chuyÓn ®éng cña b¸nh r¨ng 2 - 3 ®èi víi tay quay OA quanh trôc quay riªng vµ chuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng cña tay quay OA). V× b¸nh xe 1 vµ trôc I quay ®éc lËp nhau (hai kh©u dÉn) nªu ta cã c¬ cÊu vi sai. 2. VËn tèc - ViÕt c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi. §èi víi hÖ ®éng lµ tay quay OA. Ta cã c¸c cÆp b¸nh r¨ng ¨n khíp (ngoµi) 1 - 2 vµ 3 - 4. Gäi vËn tèc gãc cña b¸nh r¨ng ®ã ®èi víi tay quay OA lÇn l−ît lµ ω1tq ω2tq, ω3tq', ω4tq. Ta cã: ω1tq ω2tq ω3tq ω4tq

=−

z2 z1

=−

z4 z3

(a)

(b)

V× cÆp b¸nh r¨ng 2 - 3 g¾n chÆt nhau nªn: ω2tq = ω3tq. Khi nh©n vÕ víi vÕ cña c¸c ®¼ng thøc ¨n khíp (a) vµ (b) ë trªn ta cã:

231

ω1tq ω4tq

z2 ⋅ z4 z1 ⋅ z3

(c)

Dùa vµo (10.4) : ω1tq = ω1 - ωtq; ω4tq = ω4 - ωtq VËy:

ω1 − ωtq ω4 − ωtq

Tõ ®ã: ω4 =

=−

z2z4 z1z 3

(d)

⎛ z ⋅z ⎞ z1 ⋅ z 3 ω1 + ⎜1 − 1 3 ⎟ ωtq z2 ⋅ z4 ⎝ z2 ⋅ z4 ⎠

V× ω4 = ωII ; ωtq = ωI, ta cã: ωII =

z1 ⋅ z 3 . ω1 + z2 ⋅ z4

⎛ z1 ⋅ z 3 ⎞ ⎜1 − ⎟ . ωI ⎝ z2 ⋅ z4 ⎠

Khi thay c¸c sè liÖu vµo ta ®−îc (gi¶ sö ωI > 0; ωI > 0 ): ωII =

80.40 ⎛ 80.40 ⎞ ⋅180 + ⎜1 − ⎟ ⋅120 = 280 rad/s > 0 80.60 ⎝ 80.60 ⎠

Trôc II quay cïng chiÒu víi b¸nh 1 vµ trôc I. Tõ (a) ta cã: ω2tq = −

z1 z z .ω1tq = − 1 ( ω1 − ωtq ) = − 1 ( ω1 − ωI ) z2 z2 z2

VËy: ω2 = ωtq + ω2tq = ωI -

z1 (ω1 - ωI) = z2

⎛ z1 ⎞ z1 .ω1 ⎜1 + ⎟ ω1 z2 ⎝ z2 ⎠

80 ⎛ 80 ⎞ = ⎜1 + ⎟120 − . 180 = 240 rad/s > 0. 20 ⎝ 20 ⎠

tøc b¸nh song ph¼ng quay cïng chiÒu víi trôc dÉn vµ b¸nh r¨ng 1. Chó thÝch: 1) Cã thÓ t×m gia tèc gãc ε2 cña b¸nh r¨ng 1. ⎛ z ⎞ z ε2 = ⎜ 1 + 1 ⎟ . ε1 - 1 ε1 z2 ⎝ z2 ⎠

trong ®ã: ε1 , ε 2 lÇn l−ît lµ gia tèc cña trôc dÉn I vµ b¸nh 1. 2) ViÖc t×m vËn tèc vµ gia tèc c¸c ®iÓm thuéc b¸nh 2 (hoÆc 3) dùa vµo c¸c c«ng thøc ë ch−¬ng chuyÓn ®éng song ph¼ng. 232

10.3.2.TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai nãn VÝ dô 10.3. Cho c¬ cÊu vi sai nh− h×nh 10.7. Trôc I g¾n víi tay quay vµ quay ®éc lËp ®èi víi b¸nh r¨ng nãn 1 quanh trôc th¼ng ®øng. Trªn tay quay l¾p khèi b¸nh r¨ng 2 vµ 3 ®−îc g¾n cøng víi nhau vµ cã thÓ quay quanh trôc n»m ngang ®èi víi tay quay, trong ®ã b¸nh r¨ng 2 ¨n khíp víi b¸nh r¨ng 1, b¸nh r¨ng 3 ¨n khíp víi b¸nh r¨ng 4 nã ®−îc l¾p cøng trªn trôc II. Cho biÕt b¸nh 1 quay ®Òu thuËn chiÒu d−¬ng víi ω1 = 10 πrad/s vµ trôc II quay ®Òu ng−îc chiÒu d−¬ng víi ωII = 20 πrad/s quanh trôc th¼ng ®øng; b¸n kÝnh c¸c b¸nh r¨ng t−¬ng øng lµ r1 = 12 cm; r2 = 12 cm; r3 = 3 cm; r4 = 6 cm. - T×m vËn tèc gãc cña trôc I. - VËn tèc gãc cña khèi b¸nh r¨ng 2 - 3 ®èi víi tay quay vµ ®èi víi hÖ trôc cè ®Þnh. Bµi gi¶i: 1. Ph©n tÝch chuyÓn ®éng: C¸c b¸nh r¨ng 1 vµ 4 cïng tay quay quay quanh trôc th¼ng ®øng. Khèi b¸nh r¨ng 2 - 3 quay quanh trôc quay riªng n»m ngang ®èi víi tay quay vµ cïng tay quay quay quanh trôc th¼ng ®øng. Chän tay quay lµm hÖ ®éng ta cã bµi to¸n tæng hîp hai chuyÓn ®éng quay quanh hai trôc c¾t nhau ®èi víi b¸nh r¨ng (2 vµ 3), trong ®ã chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi lµ chuyÓn ®éng quay

H×nh10-7

riªng cña khèi b¸nh xe 2 - 3 quanh c¸c trôc n»m ngang, cßn chuyÓn ®éng theo lµ chuyÓn ®éng cña tay quay. C¬ cÊu cã hai kh©u dÉn ®éng ®éc lËp, nªn ta cã c¬ cÊu vi sai nãn. 2. VËn tèc - Chän chiÒu quay d−¬ng quanh c¸c trôc ∆1 vµ ∆2 nh− h×nh 10.7. - ViÕt c«ng thøc ¨n khíp t−¬ng ®èi 233

§èi víi hÖ ®éng lµ tay quay cã c¸c cÆp b¸nh r¨ng nãn ¨n khíp 1 - 2 vµ 3-4. Gäi vËn tèc gãc cña b¸nh r¨ng 1 vµ 4 ®èi víi tay quay quanh trôc ∆1 lµ ω1tq , ω4tq, cßn vËn tèc gãc cña b¸nh r¨ng 2 vµ 3 ®èi víi tay quay quanh trôc ∆2 lµ ω2tq vµ ω3tq (ω2tq = ω3tq). Ta cã: ω1tq ω2tq ω3tq ω4tq

r2 r1

=−

(a) r4 r3

(b)

Trong (a) lÊy dÊu + v× ®èi víi tay quay chuyÓn ®éng cña b¸nh 1 vµ b¸nh 2 vµ x¶y ra quanh c¸c trôc ∆1 vµ ∆2 cïng chiÒu d−¬ng hoÆc cïng chiÒu ©m, cßn trong (b) lÊy dÊu - ®èi víi tay quay nÕu b¸nh 3 quay quanh trôc ∆2 theo chiÒu d−¬ng th× b¸nh 4 quay quanh trôc ∆1 theo chiÒu ©m vµ ng−îc l¹i: Khi nh©n vÕ víi vÕ cña (a) vµ (b) ta cã (ω2tq = ω3tq): ω1tq ω4tq

= −

r2 r4 . r1 r3

(c)

V× c¸c chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi vµ theo cña c¸c b¸nh 1 vµ 4 ®Òu x¶y ra quanh trôc th¼ng ®øng nªn: ω1tq = ω1 - ωtq; ω4tq = ω4 - ωtq Do ®ã (c) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng: ω1 − ωtq ω4 − ωtq

=−

r2 r4 . = -1 r1 r3

H×nh10-8

ω1 + ω4 ω + ωII = - 5π rad/s < 0 = 1 2 2 r VËy trôc 1 quay quanh trôc ∆1 theo chiÒu ©m, vect¬ ω1 ng−îc chiÒu trôc ∆1. Tõ ®ã: ωtq = ωI =

§Ó t×m vËn tèc gãc cña b¸nh 2 ®èi víi trôc quay ∆2 ta chó ý ®Õn (a).

ω2tq =

234

r1 r ω1tq = 1 (ω1 - ωtq) = r2 r2

12 (10π + 5π) = 30 π rad/s > 0 6

VËy chuyÓn ®éng cña b¸nh 2 ®èi víi tay quay x¶y ra quanh trôc ∆2 theo r r r r =ω chiÒu d−¬ng vµ ω 2tq h−íng thuËn chiÒu d−¬ng cña trôc ∆2. VËy: ω 2 1 + ω 2tq r r C¸c vect¬ ω 1 vµ ω 2tq cã ph−¬ng vu«ng gãc nhau nªn (H.10.8):

ω2 =

ω2I + ω2tq =

( −5π ) + ( 30π ) 2

= 30,5π rad/s; α = arctg6.

Chó thÝch: 1) DÔ dµng nhËn thÊy r»ng b¸nh r¨ng 2 quay tiÕn ®éng ®Òu quanh ®iÓm cè r r ®Þnh O víi vËn tèc gãc quay riªng ω 2tq, vËn tèc gãc tiÕn ®éng ω tq vµ gãc tiÕn ®éng θ =

π . 2

r r r VËy gia tèc gãc b¸nh 2 sÏ b»ng : ε2 = ω tqΛ ω 2tq cã ph−¬ng th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ, h−íng ra vµ cã gi¸ trÞ

ε2 = ωtq . ω2tq = 5π . 30π = 150π2 rad/s2 2) VËn tèc vµ gia tèc c¸c ®iÓm thuéc b¸nh 2 ®−îc tÝnh dùa vµo c¸c c«ng thøc trong ch−¬ng vËt quay quanh mét ®iÓm cè ®Þnh. 10.4. Bµi tËp 10.4.1.TruyÒn ®éng hµnh tinh vi sai ph¼ng 10.1. Hép truyÒn ®éng gåm b¸nh r¨ng 1 cè ®Þnh, b¸nh r¨ng 4 g¾n chÆt vµo trôc II cßn tay quay g¾n chÆt vµo trôc I quay quanh trôc ngang víi vËn tèc gãc n1 = 1800 vßng/phót: Cho : r1 = 40 cm; r2 = 20 cm; r3 = 30 cm; r4 = 90 cm. T×m vËn tèc cña trôc bÞ dÉn II. Tr¶ lêi: nII = 3000 vßng/phót.

235

H×nh bµi 10.1

H×nh bµi 10.2

10.2. C¬ cÊu ®Ó quay nhanh b¸nh 1 nh− h×nh vÏ. Khi tay quay quay víi vËn tèc gãc ωo lµm b¸nh 2 l¨n kh«ng tr−ît trong b¸nh 3 cè ®Þnh vµ truyÒn chuyÓn ®éng cho b¸nh 1 quay quanh trôc O. T×m b¸n kÝnh r1 theo b¸n kÝnh3 ®Ó cho b¸nh 1

⎛ω ⎞ quay nhanh h¬n tay quay 12 lÇn ⎜ 1 = 12 ⎟ ⎝ ωo ⎠ Tr¶ lêi: r1 =

r3 11

10.3. Tay quay OA quay quanh trôc O víi vËn tèc no = 30 vßng/phót. Trªn tay quay cã l¾p çc trôc cña çc b¸nh r¨ng, trong ®ã b¸nh 2 vµ b¸nh 3 g¾n cøng víi nhau (h×nhvÏ). B¸nh 1 cè ®Þnh. Sè r¨ng çc b¸nh Z1 = 60; Z2 = 40; Z3 = 50; Z4 = 25. T×m vËn tèc gãc cña b¸nh 3. Tr¶ lêi n3 = no ⎛⎜1 − Z1Z3 ⎞⎟ = - 60 vßng/phót ⎝ Z2 Z4 ⎠

H×nh bµi 10.3 236

H×nh bµi 10.4

10.4. C¬ cÊu vi sai ph¼ng nh− h×nh vÏ. Tay quay cã vËn tèc gãc ωo = 3 rad/s. B¸nh 1 quay cïng chiÒu víi tay quay víi vËn tèc gãc ω1 = 3ωo. BiÕt R1 = 2R2. T×m vËn tèc gãc tuyÖt ®èi cña b¸nh 2 vµ vËn tèc gãc t−¬ng ®èi cña b¸nh 2 ®èi víi tay quay. Tr¶ lêi: ω2 = −3ω1; ω2tq = − 4ωo 10.5. Trôc dÉn A cña hép vËn tèc, quay víi vËn tèc nA = 1200 vßng/phót. B¸nh 1 l¾p tr¬n trªn trôc dÉn vµ quay ng−îc chiÒu trôc A víi vËn tèc n1 = 160 vßng/phót. T×m vËn tèc trôc bÞ dÉn, biÕt sè r¨ng cña c¸c b¸nh lµ Z1 = 70; Z2 = 20;Z3 = 30; Z4 = 80. Tr¶ lêi: nB = 585 vßng/phót, cïng chiÒu víi b¸nh 1.

H×nh bµi 10.5

H×nh bµi 10.6

10.6. Hép truyÒn ®éng nh− h×nh vÏ. B¸nh r¨ng b¸n kÝnh R l¾p tù do trªn trôc I-I, b¸nh nµy mang cÆp b¸nh r¨ng b¸n kÝnh r2 vµ r3 ghÐp cøng víi nhau. B¸nh r¨ng R ®−îc dÉn ®éng tõ b¸nh r¨ng b¸n kÝnh r0. CÆp b¸nh r¨ng r2 vµ r3 ¨n khíp víi cÆp b¸nh r¨ng b¸n kÝnh r1 vµ r4, trong ®ã b¸nh r1 l¾p cøng, cßn b¸nh r4 l¾p tr¬n trªn trôc I-I. T×m vËn tèc gãc cña b¸nh r¨ng r4, nÕu biÕt trôc I - I vµ trôc O - O quay cïng chiÒu víi vËn tèc gãc t−¬ng øng lµ n1 vµ no. r ⎞ r .r r ⎛ Tr¶ lêi: n4= ⎜ n1 + n o o ⎟ . 1 3 − n o o R⎠ r2 .r4 R ⎝

237

10.4.2.TruyÒn ®éng hµnh tinh, vi sai nãn 10.7. C¬ cÊu truyÒn ®éng b¸nh r¨ng nãn nh− h×nh vÏ. Trôc dÉn A g¾n cøng víi b¸nh 1. Trôc bÞ dÉn B mang trôc cña cÆp b¸nh 2-2. B¸nh 3 cè ®Þnh; c¸c b¸nh r¨ng cã cïng b¸n kÝnh. T×m tØ sè vËn tèc gãc cña trôc A vµ trôc B. (H×nh vÏ) Tr¶ lêi:

ωA = 2. ωB

10.8. Hép truyÒn ®éng nh− h×nh vÏ. BiÕt b¸n kÝnh c¸c b¸nh r¨ng lµ r1 = 24 cm; r2 = 30 cm; r3 = 40 cm; r4 = 44 cm. VËn tèc gãc trôc A vµ b¸nh 1 lµ ωA = 60 rad/s;

ω1 = - 40 rad/s. T×m vËn tèc gãc cña trôc B vµ cña cÆp b¸nh 2 - 3 (H×nh vÏ). Tr¶ lêi: ωB = 133 rad/s; ω2 = 100 rad/s.

H×nh bµi 10.7

H×nh bµi 10.8

10.9. C¬ cÊu truyÒn ®éng nh− h×nh vÏ. B¸nh 1 vµ b¸nh 2 quay cïng chiÒu víi vËn tèc gãc ω1 = 3 rad/s vµ ω2 = 5 rad/s. T×m vËn tèc gãc cña trôc A vµ vËn tèc gãc t−¬ng ®èi cña b¸nh 3 ®èi víi tay quay. (H×nh vÏ). Tr¶ lêi: ωA = 4 rad/s; ω3tq = 3,5 rad/s.

238

H×nh bµi 10.9

H×nh bµi 10.10

10.10. Hép truyÒn ®éng vi sai cña « t«. Hai b¸nh r¨ng 1 vµ 2 cïng b¸n kÝnh R = 6 cm, mçi b¸nh g¾n cøng víi mét nöa trôc sau cña xe trªn ®ã l¾p b¸nh xe. CÆp b¸nh r¨ng trung gian 3 - 3 cã b¸n kÝnh r = 3 cm cã trôc g¾n cøng vµo hép, hép l¾p tr¬n vµo trôc sau cña xe. (H×nh vÏ).Khi chuyÓn ®éng trªn ®−êng vßng, 2 b¸nh chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh¸c nhau:ω1 = 6 rad/s; ω2 = 4 rad/s. T×m - VËn tèc gãc cña hép. - VËn tèc gãc t−¬ng ®èi cña b¸nh 3 ®èi víi hép. - VËn tèc gãc tuyÖt ®èi cña b¸nh 3. Tr¶ lêi: ωe = 5rad/s; ω3r = 2 rad/s; ω3 = 5,4 rad/s. 10.11. Hép truyÒn ®éng nh− h×nh vÏ. B¸nh 1 l¾p tr¬n trªn trôc A, ®Çu cuèi cña trôc nµy mang trôc cña cÆp b¸nh 2 - 2. B¸nh 3 g¾n cøng víi trôc B. T×m vËn tèc gãc cña trôc B trong c¸c tr−êng hîp: 1. Trôc A cã vËn tèc gãc ωA, b¸nh 1 ®øng yªn. 2. Trôc A cã vËn tèc gãc ωA, b¸nh 1 quay cïng chiÒu víi vËn tèc gãc ω1. 3. Trôc A vµ b¸nh 1 quay cïng chiÒu víi ωA = ω1. 4. Trôc A vµ b¸nh 1 quay cïng chiÒu víi ω1 = 2 ωA. 239

5. Trôc A cã vËn tèc gãc ωA, b¸nh 1 quay ng−îc chiÒu víi vËn tèc ω1. Tr¶ lêi: 1) ωB = 2 ωA ; 2) ωB = 2 ωA - ω1; 4) ωB = 0 ;

3) 1) ωB = ωA

5) ωB = 2 ωA + ω1.

H×nh bµi 10.11

H×nh bµi 10.12

10.12. Hép truyÒn ®éng nh− h×nh vÏ. B¸nh r¨ng nãn 1 g¾n cøng víi b¸nh r¨ng 1’, b¸nh r¨ng nãn 2 g¾n cøng víi b¸nh r¨ng 2'. C¸c b¸nh 2 vµ b¸nh 2' l¾p tr¬n trªn trôc MN. Hai b¸nh 1' vµ 2' ¨n khíp víi hai b¸nh 4 vµ 5 l¾p cøng trªn trôc AB. T×m tû sè vËn tèc gãc ω0 vµ ω cña trôc AB vµ trôc MN nÕu biÕt b¸nh 1 vµ b¸nh 2 cïng b¸n kÝnh; sè r¨ng cña c¸c b¸nh 1', 2', 4 vµ 5 lµ Z1′ , Z′2 , Z4 vµ Z5. Tr¶ lêi:

240

ω 1 ⎛ Z 4 Z5 ⎞ = ⎜ + ⎟ ωo 2 ⎝ Z1′ Z′2 ⎠

Tµi liÖu tham kh¶o [1].

§µo Huy BÝch - C¬ häc lý thuyÕt - NXB KHKT- Hµ Néi, 1999.

[2].

NguyÔn V¨n §¹o - C¬ häc lý thuyÕt - NXB §H & THCN - Hµ Néi, 1969.

[3].

[4].

§ç Sanh - C¬ häc, TËp 1 - NXB Gi¸o dôc - Hµ Néi, 1995.

[5].

§ç Sanh - Bµi tËp c¬ häc, TËp 1 - NXB Gi¸o dôc - Hµ Néi, 1995.

[6].

I. V. Mesevxki - TuyÓn tËp bµi tËp c¬ häc lý thuyÕt - TËp 1 - NXB §H & THCN - Hµ Néi, 1970.

[7].

X.M. Targ - Gi¸o tr×nh gi¶n yÕu c¬ häc lý thuyÕt - NXB §H & THCN - Hµ Néi, 1968.

[8].

Бать .Теоретическая Механика в примерах и задачах. М. Высшая школа. 1985.

[9].

Добронравов В. В. Никитин Н. Н. Дворников. А. Л. Курс Теоретической Механики. М. Высшая школа. 1990.

[10].

Мещерский И. В. Сборник задач по Теоретической Механики. М. Наука. 1986.

[11].

Сборник задач по Теоретической Механики. Под ред. К. С. Колесникова. -М. Наука. 1985.

241