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núm. 8

“Fragmentos de un diario de clase” ÁNGEL RAMÍREZ MARTÍNEZ

MATEMÁTICAS

“Fragmentos de un diario de clase”

ÁNGEL RAMÍREZ MARTÍNEZ

Para María Jesús.

Siempre se escribe para alguien.

Incluso un diario de clase.

Afortunadamente hay personas que nos incitan a escribir sólo con su recuerdo.

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ÍNDICE

Una excusa para pensar .................................................................................... 9 Escritos encontrados y soldados...................................................................... 11

FRAGMENTOS DE UN DIARIO DE CLASE Un reto ..............................................................................................................

Almudévar no es un nombre de tango..............................................................

Multiplicando....................................................................................................

El ángel de los números....................................................................................

La búsqueda de un lenguaje ............................................................................ ¡Qué problemas le ponen a Calvin!..................................................................

El miedo tiene raíces difíciles de arrancar ......................................................

Menos mal que andan estos tipos y tipas por el Instituto ................................ ¿Quién dijo que las cosas sólo pueden hacerse de una manera? ....................

El exquisito detalle de los dibujos de Asterix .................................................. ¿Qué matemáticas son coeducativas? ..............................................................

El irresistible encanto de la artesanía ..............................................................

Me llamo Bala Rastreadora ..............................................................................

La convincente fuerza de la imagen ................................................................ ¡Veo el sen2x! ..................................................................................................

Otra vez se oye hablar de victoria ..................................................................

Rombos cruzados..............................................................................................

Once años de variaciones sobre un vieja idea..................................................

Los datos sensibles y los silogismos de la razón ............................................

En el reino del ingenio......................................................................................

14 15 23 27 30 34 39 43 46 47 51 56 59 62 66 72 74 77 81 87

EPÍLOGO He puesto sobre la mesa las viejas banderas rotas .......................................... 94 Ejercicio de prospectiva.................................................................................... 97

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Una excusa para pensar Para pensar ... sobre los triángulos, los números, los objetos matemáticos en sí mismos ...

Desde luego, pero también sobre el maravilloso hecho de que esos objetos –mitad inventados mitad encontrados– se ajusten tan bien al mundo material en el que vivimos, sean tan fascinantes desde un punto de vista estético y tengan una capacidad tan grande de vida propia.

Para pensar, pues, sobre las matemáticas y sobre la vida, matematizando la vida y viviendo las matemáticas.

Para sorprendernos una y otra vez ante el maravilloso espectáculo de la mente humana creando ... entre el fragor de la realidad física y social, y en el contexto de su propia interioridad psicológica y afectiva.

Para comprender que la libertad de creación necesita de las sugerentes propiedades de lo particular y de la visión englobadora de lo general.

Para sentir pensando y pensar sintiendo.

Para comprender y sentir la necesidad de un pensamiento crítico: ante las inercias de la gran costumbre, ante los reduccionismos con que intenta trabarnos el Poder.

Para comprender y sentir las limitaciones del conocimiento científico y la necesidad de la poesía.

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ESCRITOS ENCONTRADOS Y SOLDADOS Escritos redactados en los últimos ocho años y que en un momento dado se me ocurrió soldar. Estos días, mientras los releía, les añadía o no modificaciones o ampliaciones, los ordenaba, he recordado aquellas esculturas que Pablo Serrano titulaba Hierros encontrados y soldados, o bien Ordenación del caos. Y pensaba que sí, que puede ser un buen símil.

Hierros encontrados y juntados Bóveda para el hombre

Hombre-Bóveda

Escritos-hierros encontrados –reencontrados en los archivos inmateriales de la memoria y en los archivos físicos del silicio o del papel– que en su momento fueron cada uno de ellos, a su vez, un escrito encontrado, una ordenación del caos que resultó funcional durante un cierto intervalo de tiempo.

He recordado también las Bóvedas para el hombre, del mismo Pablo Serrano, que me parecen ahora grupos de objetos encontrados –o quizás buscados, porque ya no son tan arbitrarios: el bronce toma muchas veces la forma del ladrillo– con una finalidad espiritual, casi mística. Ya no es el juego constructivista que explora variaciones; se construye no por el placer de jugar sino porque el ser humano tiene necesidad de recogimiento y de protección.

Escritos-hierros encontrados que han pasado a formar parte de mi Bóveda vital particular. Escritos-hierro cuyas motivaciones son muy diferentes: colaboraciones en el escolar del periódico local, textos para los alumnos, relatos de situaciones ocurridas en clases de Primaria y Secundaria o, simplemente, archivos personales de papel a los que se recurre cuando las ideas ocupan demasiado espacio en la mente. ¿Es armonioso el conjunto? Observad las fotografías. ¿Son armoniosos los Hierros soldados o las Bóvedas de Serrano? Lo vital tiene siempre imperfecciones, arrugas que contradicen las suaves texturas de lo planificado desde el platonismo. Y esto es así para todo. Es más probable que el mapa conceptual de un alumno o alumna que haya tenido posibilidad de ser artífice importante de su construcción se asemeje más a los hierros soldados que a una pieza tersa y sin salientes “inútiles” e “inexplica11

bles”. Tendrá, eso sí, y ésta es la clave, el corazón pulido y brillante, luminoso, de los Hombres puerta u Hombres bóveda (otra vez Serrano, claro), pero ese calor interno requiere de un exterior curtido en el contacto con el mundo. ¿La otra alternativa? Los prototipos oficiales: piezas frías, sin vida, que aparentan un acabado riguroso.

Cambiando algunas palabras, todo esto es válido para el camino personal del profesor o profesora que no ha renunciado al derecho de inventar cada año sus guiones. ¿Será armonioso el conjunto? Pretender que lo sea es seguramente falta de humildad, como atreverse a compararlo con las obras de Pablo Serrano. Pero lo he hecho sólo porque me gustaba el símil; mi atrevimiento no va más allá. Los amigos y amigas de Aula Libre decidieron que sí, que podría merecer la pena juntar mis escritoshierros, y a ellos tengo que agradecer la oportunidad de este ejercicio de recuperación y ordenación en mi memoria reciente.

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Fragmentos de un diario de clase

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UN RETO1 “Pensar es algo que marea”, opinaba un personaje de D. Hammet. En efecto: hay que vencer la pereza o el pánico ante la situación de problema planteada; en las bifurcaciones, no caer en la tentación de continuar sin más la primera idea que se encuentre; controlar los pasos que se van dando; si se intuye algo, no eludir el camino aunque esté a oscuras. Entre las características de una persona inteligente no está sólo ser capaz de pensar sino también atreverse a ello y querer hacerlo.

Establecer conexiones, elaborar y comprobar conjeturas, son las dos componentes básicas del hecho de pensar. El sistema educativo debería influir positivamente en ambas mediante un proceso de aprendizaje que convirtiera en algo familiar a la mente algunas técnicas sencillas para potenciarlas. Desde el punto de vista de las Matemáticas, la Resolución de Problemas ha aportado excelentes ideas en los últimos veinte años.

La Resolución de Problemas como contexto de trabajo. Todo un reto para nuestras clases. Y no porque en su momento lo dijeran la Eso o la Aquella –ya no dicen nada–, sino por aportar a nuestros alumnos y alumnas la afición al libre pensamiento.

Alguna vez habrá que romper con la situación descrita por Lakatos2, quien opinaba que “la educación matemática y científica es un semillero de autoritarismo, siendo el peor enemigo del pensamiento crítico e independiente”.

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1 Publicado en el Escolar del Diario del Altoaragón del 17 – X – 96.

2 Imre Lakatos: Pruebas y refutaciones. Alianza Universidad, 1978.

ALMUDÉVAR NO ES UN NOMBRE DE TANGO I Dos veces, en invierno y en primavera, he paseado lentamente las calles de Almudévar. En las dos encontré motivos para el recuerdo. Opinaba Tàpies que un cuadro, una pintura, puede ser lo que tú quieras que sea. Como un pueblo. Como una profesión (aunque no todas). Como una hora de clase.

Me quedo con dos imágenes. En invierno, la tierra desnuda, abstracta, combinada con Guara, los Pirineos y el Moncayo, blancos en la lejanía. En primavera, la explosión de amapolas a la entrada del pueblo, y de rosas y violetas en la calle central.

Perpendiculares a ella, las transversales tienen nombres tan sugerentes como Ramón y Cajal, Servet, Goya, o calle de Las Ciencias, que permite el acceso al colegio.

Matrículas Al desviarme para el pueblo retengo la matrícula del coche que me precede. El azar (¿?) aporta una idea para la clase de 8º (hoy diríamos 8º ESO).

- Buscad matrículas parecidas a ésta: HU - 5532 - L. Parecidas en los números.

Vamos a dejar de lado las letras.

- ¿Qué quiere decir parecidas?

- Elige tú mismo qué quiere decir. Sólo hay una condición: tienes que explicar tu opción.

Durante diez minutos, individualmente, piensan sobre la propuesta. Después comenzamos el diálogo, en el que recogemos siete criterios, aunque todavía quedaban más.

Patricia propone el 5539, “porque sólo he cambiado un número”.

Edurne, el 3255, “porque los números son los mismos y sólo los he cambiado de orden”.

Francisco sugiere el 5395 y argumenta también que sólo ha cambiado un número. ¡En realidad lleva razón!. Todos habíamos interpretado el criterio de Patricia con la suposición implícita de mantener el orden. Pero la justificación que dio admite el número de Francisco. Discutimos esto.

Cristina aporta un criterio más sofisticado: 5734, “porque 55-32=23 y 57-34=23”.

Paco, el profesor de Matemáticas indica el 9918, “porque las dos primeras cifras son iguales y la suma de las dos últimas es su valor”. Pero este mismo número es sugerido por un alumno a partir de una opción diferente: “porque 5 y 9 son impares, 1 y 3 son impares, y 8 y 2 son pares”.

Aparece también 9213, “porque la suma de las cifras es 15”, y todavía quedan 15

más en los tinteros, como 5533 ó 5632, justificados aparentemente por un criterio tan poco refinado como que “no se alejan mucho de 5532”. Pero incluso en este caso habría unas cuantas cosas que discutir.

- Para la próxima semana os propongo escribir un resumen de la discusión, aportando otros criterios de parecido si los tenéis. Después, elegid uno, y estudiad cuántas matrículas hay parecidas a 5322 según el que habéis elegido y según el de Patricia.

Mariposas, espejos y joteros ¿Contempla el temario (programación, secuenciación, último nivel de concreción o como se le quiera llamar) el estudio de la simetría en 4º de Primaria? ¿Es necesario que lo contemple para hacerlo? Hay que arriesgarse. Así que la palabra resonó en el aula produciendo una sorpresa que podía haber intuido.

Afortunadamente, Teresa ha conseguido llenar de mariposas y vencejos las paredes de su aula. De manera que, visto el desconcierto, una bonita mariposa se desprendió de la pared, sobrevoló las cabezas ante el general asombro, y se detuvo en varios puestos mostrando y juntando sus alas. Su intervención fue eficaz. No fue necesario dar más información. Voces anónimas empezaron a sugerir que ya sabían qué era la simetría.

- Vamos a ver si es verdad que sabéis lo que es. ¿Qué cosas hay en clase con simetría?.

- ¡Los joteros!.

La pared del fondo está adornada con una fila de “joteros” alternados con “joteras” que han ido pintando en las semanas anteriores. Se dirigen allí las miradas e inmediatamente discuten.

- ¡No!, porque al jotero la guitarra le sale por un lado.

- ¡Pues la jotera!.

- ¡No!, porque lleva la banda a la izquierda.

- Pues la jotera de amarillo no tiene banda. ¡Esa sí que vale!.

Intervengo en la conversación.

- Y yo, ¿tengo simetría?.

- No. Me sorprendo y pregunto por qué.

- Por el pelo. Tienes la raya en un lado.

- ¡Ah!, es por eso. Menos mal, me había asustado. ¿Hay algo más en clase con simetría?.

- La pizarra.

Pero alguien interviene negando este ejemplo, porque “los ganchos no están bien puestos”. Es cierto. En la parte superior de la pizarra hay unos ganchos para suje16

tar una pantalla que rompen la simetría. Me sorprende este predominio de lo concreto.

No hacen abstracción de los detalles, no separan la forma del objeto real. Tengo sin embargo la sensación de que son capaces de hacerlo, y de que se trata más de una cuestión psicológica o afectiva.

Yo buscaba que propusieran un objeto que tuviera dos simetrías, así que terminé por coger un folio (hubo que rechazar el primero porque se le detectaba una pequeña mancha en un lado) y pregunté por dónde tenía que doblar. Tenían claro que había dos posibilidades.

Bien. Pasamos a cada uno/a un alfabeto y una lista de números del 0 al 9, elegidos en el ordenador de forma que las simetrías quedaran respetadas. Propusimos que localizaran qué números y qué letras tenían simetría, y cuántas. Teresa les pasó espejos para se sirvieran de ellos en la búsqueda. Más adelante les dijimos que formaran números y palabras con simetría. Y aquí hubo que poner algún ejemplo para explicar qué queríamos decir: AMA es una palabra con simetría, pero no TETA, como había propuesto un grupo basándose en que todas sus letras la tenían.

Y volvió a quedar claro que, en situación de libertad para elegir caminos, los niños y niñas emplean sistemas parecidos a los de cualquier adulto que puede y quiere elegir el suyo. Y así, dos niñas encontraron una idea, 803, y decidieron buscar variantes: 308, 380, 883, 388,........ Esto nos lleva a un problema de combinatoria, aunque ellas no lo supieran, y vuelve a demostrar, una vez más (¿cuántas harán falta?), lo absurdo que es cualquier temario, programación, secuenciación, último nivel de concreción, o como puñeta quiera llamársele.

Un mes más tarde la clase mostró su correcto dominio del concepto de simetría en una animada sesión de diapositivas que, lamentablemente, no grabamos en vídeo. Álgebra a la hora del vermut En el bar “Almudévar la nuit” (abre por el día a pesar de su nombre), tomamos el vermut tres colegas. Al día siguiente preguntamos en la clase de 7º si eran capaces de decirnos el precio de las consumiciones sabiendo que nos habían cobrado 340 ptas. por tres tapas y dos vinos.

Como resultó haber muchas posibilidades, sugerimos que las ordenaran en una tabla y que eligieran la que les pareciera más razonable.

Pero siempre hay amantes de la exactitud, así que para ayudarles, al terminar la mañana, fuimos otra vez al bar. Esta vez tomamos dos tapas y tres vinos, que nos costaron 310 ptas.

Jorge presentó el informe que sigue. Él no lo sabía, pero había resuelto un sistema de ecuaciones.

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Una exploración con la calculadora - ¿Así que sabéis hacer cuentas con la calculadora?. ¡Bien! Mirad: pues ahora se trata de encontrar muchas maneras de que salga 30 en la pantalla. O sea: encontrar cuentas que den de resultado 30.

En niveles más altos, el respeto a la diversidad (es decir: el respeto a la forma que cada cual tenga de plantear un trabajo) es un derecho del alumnado, y una forma

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para el profesor o profesora de disfrutar y aprender con la variedad de situaciones que pueden plantearse. En 1º de Primaria es algo más elemental: es una necesidad. Porque cada personajillo de 6 años elegirá inconscientemente su propia línea de investigación.

Y así, Juan se empeña en obtener el 30 empleando sietes: 7+7+7+9, 7+7+7+7+2, 7+7+10+6, etc. Me divierte su empeño en conseguir cuantos más sietes mejor. Pero tiene problemas: se equivoca al trasladar los 7 a la calculadora. Si le comenta Esperanza, su profesora, que con 7+7+7+7+3 no funciona y que se ha debido equivocar, intenta comprobar y siempre introduce algún 7 de más o de menos. Se ayuda con los dedos, apunta los que lleva, pero le cuesta ajustar definitivamente. Su mente intuye con rapidez pero tiene dificultades para recorrer el camino que atraviesa el túnel hasta la luz intuida. Y además –y esto es importante– la calculadora es un instrumento atractivo pero muy peculiar: una vez introducidos, los sumandos desaparecen de su vista1.

Enfrente de él, una niña se ocupa justamente en todo lo contrario: obtener el 30 sin repetir números en las cuentas.

Y a Jerónimo no le gusta el 30. Prefiere obtener el 18. Pero el problema no es que se haya saltado las condiciones propuestas, sino el limitado número de posibilidades que obtiene. Y también, quizás, ¿por qué no ha sido capaz de retener el 30?

Geometría colectiva

El embaldosado de la foto fue realizado por alumnas de 2º del colegio Sancho Ramírez. La diapositiva del embaldosado dio lugar a una explosión de polígonos en el citado curso de 4º de Almudévar. Hexágonos, rombos, triángulos, romboides, fueron detectados por un curso que aceptó implícitamente, sin discusión, que la baldosa grande era asimilable a un punto. Este mismo grupo de alumnos y alumnas no había aceptado que el profesor tuviera simetría, porque tenía más pelo a un lado que a otro.

Aunque son detectables los motivos psicológicos, geométricos y técnicos que favorecieron el enfoque abstracto en un caso y no en el otro, no deja de ser un ejemplo más de lo sutil y complejo que es el funcionamiento de la mente humana.

1 Ahora hay modelos en los que esto no es así, pero son más caros

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También construido por alumnas del Sancho Ramírez. No llegó a discutirse en la clase de Almudévar, pero sí fue analizado por un pequeño grupo de profesores/as. Si se observa detenidamente es una mina geométrica. Como ejemplo, si se eligen adecuadamente piezas de las que forman el embaldosado, es posible encontrar hexágonos con 0, 1, 2, 3 y 6 ejes de simetría. Es decir, todas las variantes posibles para un hexágono.

Una bonita muestra de variaciones sobre un mismo tema. Su autora, un alumna de 3º de primaria de La Rioja, las obtuvo como respuesta a una propuesta de trabajo en la que se pedía llenar los cuadros con dos colores de manera que cada uno de ellos ocupara la mitad de la superficie disponible, y que cada uno de los resultados finales fuera diferente a los otros. En particular, los cuadros 1 y 4; 2, 3 y 6; 7, 8 y 10; 9 y 12, explotan un tema concreto en cada caso.

Cuando mostramos en diapositiva éste y otros trabajos similares a los alumnos y alumnas de 4º de Almudévar, nos sorprendió su habilidad para localizar los ejes de simetría en cada cuadro. Nos sorprendió el acierto general, la rapidez de las respuestas, la facilidad para corregir errores que había en los dibujos y, en algunos casos, la precisión de sus argumentos sobre si la recta elegida era o no eje de simetría. Como ejemplo, la explicación de Francisco a propósito del cuadro nº 4. La recta mediatriz a los dos lados horizontales del cuadrado no era eje de simetría, como alguien había propuesto, porque entonces el cuadrito de la esquina superior izquierda no debería ser como el de la figura A, sino como el de B.

A

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B

Epílogo Cuando se trabaja conjuntamente con personas, la creatividad final es una de las resultantes posibles al componer todas las creatividades individuales.

Mi creatividad como profesor se manifiesta en el trabajo de alumnos y alumnas.

Dependo de ellos, pero creo a través de ellos.

Mi creatividad como asesor del CEP depende de mis colegas, de mis compañeras y compañeros de zona. De conseguir algo, lo conseguiremos juntos.

Pero para que sea posible la creatividad es necesario compartir tareas libremente aceptadas. Si no, nos quedamos en el cuartel o en una cadena de montaje.

Gracias, por permitirme compartir sus tareas diarias, a Agustín y sus niñas y niños de 2º del colegio Sancho Ramírez. Y a Paco, Teresa y Esperanza, y sus alumnos y alumnas de 8º y 7º, 4º y 1º del colegio de Almudévar.

II El escrito de este apartado anterior fue pensado como aportación al I Seminario Provincial de Experiencias de Innovación en Educación Infantil y Primaria, organizado por los CPRs de la provincia de Huesca, en septiembre del 96. Trabajaba entonces como Asesor de matemáticas en el CPR de Huesca, e intenté con él cubrir varios objetivos.

1) Mostrar algunas experiencias de trabajo en el aula, en las que se habían utilizado materiales diferentes.

2) Agradecer su colaboración a los/as colegas en cuyas aulas se habían desarrollado esas experiencias.

3) Mostrar cuáles debían ser –en mi opinión– el método y los temas en los que tenía que basarse el trabajo de un asesor. Una propuesta inútil, puesto que en ese momento estaba ya avanzado el proceso de desmantelamiento de la Reforma mediante esterilizantes discusiones teóricas que pretendían –y consiguieron– apartar a docentes y asesores de la imprescindible reflexión sobre lo que realmente pasa en las aulas y sobre cómo se aprende.

4) Las conclusiones de las estériles discusiones teóricas citadas se presentaban en los papeles con su propio formato: interminable listado (¡¡aburridísimo listado!!, ¡¡chapapótico listado!!) de intenciones varias a las que era difícil oponerse. ¿Acaso se puede estar en desacuerdo con proclamas como “amaos los unos a los otros” o “proletarios de todos los países, ¡uníos!”? ¡Claro que no! El problema es cómo las han interpretado y aplicado las burocracias religiosas o partidistas. La burocracia educativa de la Reforma sólo estuvo interesada en los papeles y no en la práctica.

Así pues, huí adrede de los escolásticos listados e intenté introducir en el escrito la vida de las aulas. Inevitablemente matizada por mí, desde luego, pero de paso quedaría claro que yo, como cualquier colega, también vivía y sentía en el aula. Por eso también la entradilla literaria, para escapar más aún de los formatos oficiales y porque la escuela “ocurre” en un lugar concreto del globo.

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¿El título del escrito? ¡Nada! La última noche en que se proyectaba en Huesca la película “Malena es un nombre de tango” no pude ir a verla porque no lo tenía terminado. Nadie dijo nada ni preguntó después. Estas publicaciones se hacen para que no las lea nadie. Los Seminarios de Experiencias, o similares, ... ¿para qué se hacen? Si hubiera titulado “La sombra del ciprés es alargada” habría dado lo mismo.

Una última e importante observación: he pensado los objetivos de este escrito siete años después de haberlo redactado. [“El escritor que escribe lo que se propone no ha escrito nada”, decía Borges] Cuando escribía no se me ocurrió elaborar un listado de objetivos: me guió la intuición. ¿Sabía siempre Maradona lo que quería al dar un pase? ¿Lo sabía Saura al dar un brochazo? ¿Lo puede saber un profesor o profesora al empezar el curso, sin conocer siquiera a las alumnas y alumnos a su cargo? Lo único que se “sabe”, sin necesidad de explicitarlas, es “la variedad de experiencias que uno mismo selecciona para elegir la más conveniente”2 y a partir de las cuales elaborar otras nuevas en un proceso de crecimiento continuo.

Pero ellos, “los emperadores aztecas y los metales óxidos”3, ordenan y piden programaciones, criterios definidos y claros de evaluación, etc., etc. Para arreglar problemas –que los hay– no les importa correr el riesgo de violentar la vida.

2 Habla Felipe Alaiz. Lo he tomado de Francisco Carrasquer: Felipe Alaiz. Estudio y antología por Francisco Carrasquer del primer escritor anarquista español. Ed. Júcar. 1981.

3 Recurro a la terminología de Miguel Labordeta en su poema Aula nº 6: “Entierra tu amor bien hondo / alma

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de clarión y de orín / porque no se enteren los emperadores aztecas / y denunciándote a los metales óxidos / devoren tu seno de arcilla tierna”.

MULTIPLICANDO1 I Roger Garaudy, uno de los muchos y excelentes pensadores que ha tenido Francia en el siglo XX, en su precioso libro Palabra de hombre, escribió lo siguiente: “Yo era, ¡pobre de mí!, un buen alumno; es decir, que yo creía en lo que se me enseñaba”.

Os propongo dudar -como parece que hizo después el Garaudy adulto- y como este artículo tiene que tratar de matemáticas, podríamos plantearnos qué podemos no creernos de lo que nos dicen, o nos han dicho, en clase. Pero ... ¿qué acabo de escribir?

Porque se puede dudar de muchas cosas, pero, ¿cómo hacerlo de que dos y dos son cuatro?

Veamos. La mayor parte del tiempo de las clases de matemáticas se dedica a intentar conseguir que los chicos y chicas en edad escolar repitáis mecanismos o rutinas de cálculo (se llaman algoritmos), bien con números o con letras. Por ejemplo, el cálculo de 362 x 45 tal y como está hecho a la derecha. ¿Se puede dudar de esto? Os ayudaré un poco: ¿Sabéis por qué funciona este mecanismo de cálculo? Es decir: ¿por qué las multiplicaciones se hacen como se hacen?

Quizás sea difícil contestar a esta pregunta tal como está hecha. Vamos a traducirla a otras más concretas: ¿Por qué se escribe el 45 a la derecha y no a la izquierda? ¿Por qué hay un hueco encima del 1 del 1448 y otro debajo del cero de 1810?

- ¿Por qué no se escribe

ó

?

¿Se puede hacer la operación de otra manera?

Desde luego, a lo largo de la Historia no se ha seguido siempre este método. Por ejemplo, los árabes tomaron de la India y gracias a ellos se difundió por Europa, el “método de la rejilla”.

1 El apartado I de este escrito fue publicado en el Escolar del Diario del Altoaragón del 23 -V- 96.

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Y los antiguos egipcios, allá por el 1500 a.d.C., usaron este otro que sorprendentemente ¡funciona!

362 181 90 45 22 11 5 2 1

45 90 180 360 720 1440 2880 5760 11520

90 360 1440 2880 11520 --------16290

¿Funciona? Es decir, ¿sabrías aplicarlo a otros productos distintos? Es más difícil explicar por qué funciona, pero merece la pena intentarlo.

De todas formas, aunque busquemos métodos de cálculo en la Historia podemos seguir pensando que, a fin de cuentas, nuestro algoritmo de clase es, hoy en día, de uso general en todo el mundo. Sin salirnos del ámbito europeo y mediterráneo, quizás os sorprenda saber que en Italia organizan la multiplicación como se muestra a la derecha. ¿Por qué funciona el método italiano?

Pero ... ¿por qué copiar lo que hacen o han hecho en otro sitios? ¿Podéis inventar otras formas de multiplicar? ¿Se puede empezar una multiplicación por la izquierda? ¿Por qué multiplicar para multiplicar? ¿Se puede hacer usando otras operaciones? ¿O combinando la multiplicación con otras? ¿Cómo multiplicaríais con una calculadora que tenga estropeada la tecla “x”? ¿Y si el producto es tan complicado como 362 x 45?

II

362 xx 45 45 -------10 30 30 15 15 -------1810 1810 88 24 24 12 12 -------16290 16290

El método egipcio para la división es un algoritmo para quienes sólo usan la tabla del dos. Hay que tener en cuenta que en el sistema jeroglífico que se empleaba en Egipto para escribir los números –muy poco útil para efectuar cálculos de manera rápida– la duplicación y la reducción a la mitad quedaban muy bien visualizadas en muchos casos. Por ejemplo: 4= I I I I

2= I I

8=

IIII IIII

Esto ayudaría a explicar que las operaciones intermedias se hagan sólo con el 2 pero, ¿cómo pudieron llegar a esa forma de dividir? Los manuales de historia de las 24

matemáticas no aportan ideas. Collette2, por ejemplo, dice: “La multiplicación de dos enteros se hacía generalmente por operaciones sucesivas de desdoblamiento3, que dependen del hecho de que todo número puede expresarse como una suma de potencias de 2” Ciertamente, 362= 28+26+25+23+2 (o, si se quiere, 362=101101010(2 ) y se puede conectar esta descomposición de 362 con el hecho de que se escojan para la suma final los números de la columna derecha correspondiente a divisiones por 2 no exactas en la columna de la izquierda. Por ejemplo: 45*(2 + 23 + 25 + 26 + 28) = 90 + 90*22 + 90*24 + 90*25 + 90*27 = = 90 + 360 +360*22 + 360*23 + 360*25 = = 90 + 360 +1440 + 1440*2 + 1440*23 = = 90 + 360 +1440 + 2880 + 2880*22 = = 90 + 360 +1440 + 2880 + 11520 Pero no me imagino que los egipcios llegaran a su método por este camino. Me convence mucho más la explicación materialista (no teórica) que dio (inventó) José Peirón en un taller de matemáticas durante una EVA4. Su razonamiento vino a ser más o menos éste: Si yo tuviera que calcular cuántos kilos de cebada5 necesito para pagar a 362 trabajadores 45 kilos a cada uno, no sabiendo más que multiplicar y dividir por 2, haría lo siguiente: Si fueran la mitad, 181, a cada uno le corresponderían 90 kilos.

Si fueran 90, tocarían a 180 para cada uno. Pero como la mitad de 181 no es exacta, hay un bloque de 90 kilos que no he repartido.

Si fueran 45, cada uno se llevaría 360 kilos.

Si fueran 22, 720 kilos. Pero hay un bloque de 360 kilos que no he repartido.

Si fueran 11, 1440 kilos para cada uno.

Si fueran 5, 2880 kilos. Y he dejado sin repartir 1440 kilos.

Si fueran 2, 5760 kilos. Y no he repartido 2880 kilos.

Si sólo fuera 1, le tocarían 11520.

El objetivo de las sucesivas duplicaciones y divisiones es, por tanto, llegar a tener un producto equivalente al inicial con uno de sus factores de valor 1. El otro factor sería el producto inicial que se quería calcular ... si no hubiéramos perdido cantidades en el camino. Hay que añadirlas y, por tanto, 362 x 45 = 11520 + 2880 + 1440 + 360 + 90.

2 Jean Paul Collette: Historia de las matemáticas. Siglo XXI. Madrid, 1985.

3 ¿”Desdoblamiento”? Mejor “duplicación”, supongo. No sé qué escribió Collette. Quien tradujo empleó “desdoblamiento”.

4 Obviamente, Escuela de Verano del Altoaragón.

5 La referencia a la cebada está justificada por el “contexto egipcio”. Se pagaba en especie y la cebada era uno de los productos utilizados para ello.

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Está claro, pues, por qué se cogen las cantidades de la columna de la derecha cuyas correspondientes a la izquierda son impares. A partir de aquí, queda perfectamente mecanizado el proceso.

La vida práctica, antes que le reflexión teórica sobre las propiedades de los números, como generadora del algoritmo. Y, ciertamente, esta explicación materialista es hermosa. “Las ideas –escribió Trotsky– están socialmente condicionadas; antes de convertirse en causa de los hechos y de los acontecimientos, aparecen como su consecuencia”.

III Me contó un buen amigo que un día en que tuvo que hacer una sustitución en una clase de 5º de Primaria, les propuso hacer una multiplicación por tres métodos: el algoritmo habitual en nuestras aulas, el de la rejilla y el italiano. Después miraron a ver con cuál se habían producido más errores. Resultado: el más seguro era el italiano y después el de la rejilla.

Un resultado previsible, sin duda, pues la gran ventaja del método italiano es que evita memorizar las llevadas y hacer cálculos mentalmente con ellas. El alumnado gitano, en particular, salió especialmente contento: ¡por primera vez habían hecho bien todas las multiplicaciones! Mi amigo decidió entonces comunicar la experiencia a la profesora titular de la clase, quien sin embargo opinó que las cosas hay que hacerlas como hay que hacerlas (o alguna otra expresión similar) ¿Es necesario que explicite la moraleja de esta pequeña historia? ¿Para qué la escuela? ¿Cuál es el currículum oculto que realmente la guía y nos guía (consciente o inconscientemente)? ¿Por qué somos tan sumisos/as a él?

IV Supongo que es correcto llamar italiano al “método seguro” que gustó a los niños y niñas gitanos. Me contó Carlos Gallego que una alumna suya tenía un novio italiano que también estudiaba Magisterio. Una tarde, al efectuar una multiplicación, vieron que las organizaban de forma distinta. Así que he llamado “italiano” al algoritmo que a él le enseñó su alumna. En realidad es como el “nuestro”, pero más “desplegado”, menos sintético; hay que gastar más papel. ¡Por eso se reducen los errores!

Respecto a su posible patente italiana ... ... ¿qué más da? Si lo usan ¿por qué no dejarle ese nombre?, pero es casi clavado al que se utilizaba (según Ifrah6) para multiplicar con las fichas del llamado ábaco de Gerbert de Aurillac (s. X). No he podido preguntar sobre él a ningún italiano y, además, Carlos Gallego no ha retenido en su memoria la anécdota.

Por lo demás, si se quiere, es posible complicarse la vida. Así lo hicimos en un curso de 1º ESO en Sabiñánigo. Poneros a multiplicar “italianamente”, por ejemplo, 5413 x 6006; o 3400100 x 300´03. Las dificultades surgen, claro, de que no tenemos mecanizado el algoritmo.

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6 Georges Ifrah: Historia universal de las cifras. Espasa Calpe. 2000.

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EL ÁNGEL DE LOS NÚMEROS1

Vírgenes con escuadras y compases, velando las celestes pizarras.

Ni sol, luna, ni estrellas, ni el repentino verde del rayo y el relámpago, ni el aire. Sólo nieblas.

Y el ángel de los números, pensativo, volando del 1 al 2, del 2 al 3, del 3 al 4.

Vírgenes sin escuadras, sin compases, llorando.

Tizas frías y esponjas rayaban y borraban la luz de los espacios.

Y en las muertas pizarras, el ángel de los números, sin vida, amortajado sobre el 1 y el 2, sobre el 3, sobre el 4 ...

Rafael Alberti

I 6442 millones de cifras El mismo día en que se dio la noticia de la posible existencia de agua en la Luna, el informativo de la mañana de Iñaki Gabilondo comunicó que dos matemáticos japoneses habían logrado determinar el valor de π con 6.442 millones de cifras decimales exactas. Obviamente, lo que consiguieron fue programar una computadora para que suministre las cifras. Hace ya unos cuantos años que la obtención del primer millón de cifras de π se convirtió en un pequeño examen para valorar la capacidad calculadora de un ordenador.

La historia de los esfuerzos de la humanidad para controlar este número mítico está llena de anécdotas. Una de las más desgraciadas es la del inglés William Shanks que, tras un trabajo de veinte años, obtuvo las 707 primeras sin advertir el fallo en la número 528, lo que invalidaba las siguientes. Si la serie de cifras de π no responde a ningún criterio podemos considerarla un producto del azar, lo que nos permite esperar porcentajes aproximadamente iguales para 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 al analizar un número suficientemente amplio de decimales. Esta regularidad no existía en la lista del bueno de Shanks, pero apareció al efectuar las correcciones necesarias.

Lo más sorprendente de todo esto es su inutilidad. La conocida aproximación por exceso, 3´1416, es suficiente para cálculos técnicos con cierto grado de refinamiento. Queda muy lejos de mi intención el que se me interprete como un defensor de la inutilidad de las Matemáticas. Creo firmemente en lo contrario, y creo que ello debe estar presente en los enfoques didácticos. Pero también creo en el entusiasmo del ser humano por el juego; una muestra de inteligencia, como tuve ocasión de oírle a Jorge Wagensberg, el director del Museo de la Ciencia de Barcelona. Algo de juego tiene la

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1 El apartado I de este escrito fue publicado en el Escolar del Diario del Altoaragón del 27 – II – 97.

asunción por las sucesivas generaciones de la tarea de prolongar la lista de π. El ángel de los números, cuya agonía en las aulas lamenta Alberti en su poema, inspira, con toda seguridad, esta interminable búsqueda.

Todo un mundo Una mañana de noviembre en una clase de 6º del colegio de Sariñena. Se ha pedido a alumnas y alumnos que utilicen su calculadora para encontrar números que al multiplicarlos por sí mismos den resultados comprendidos entre 300 y 400. Al poco rato se cambian las condiciones: ahora el producto tiene que estar entre 30 y 40. Hay quienes empiezan a intuir que existen muchas posibilidades porque se pueden poner en juego los decimales. Cuando volvemos a cambiar el intervalo y lo acotamos con 3 y 4, se oyen afirmaciones que aseguran que da lo mismo, que existen infinitas respuestas.

Recogemos en la pizarra sus preferidas. Tardan en aparecer números decimales “complicados”, como 1´887888, pero finalmente se produce una avalancha. Pablo va más lejos que nadie. Su número recorre el borde del folio hasta alcanzar agotado una “meta”, pero nos advirtió que se podría haber llegado mucho más lejos.

Un mundo. De alguna manera, Pablo está intuyendo que hay todo un mundo entre 1´9 y 2. He tenido ocasión de observar cómo muchos alumnos y alumnas de Secundaria y Bachiller no han tenido esa vivencia. Sin duda andaban perdidos en el espeso bosque de cálculos algorítmicos en el que habían sido planificadamente extraviados.

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¿Jugamos?

Varones y mujeres, mujeres y varones, disfrutamos con el juego. Y entre nuestros juguetes siempre han estado los números. A pesar del empeño de todos los sistemas (supuestamente) educativos por impedirlo, pervirtiéndolos al convertirlos en una obligación o un castigo, siempre ha habido quienes han escapado a esas trampas y han reencontrado al ángel de los números. ¿Queréis jugar un rato? El número de Pablo no se ajusta estrictamente a un criterio –le falta muy poco; se percibe la voluntad de que sí se ajuste–, pero podemos emplear el que mantiene al principio. ¿Qué cifra ocuparía entonces la posición 89? ¿Y la posición 1.111? ¿Cuál estaría en el puesto 6.442.000.000? ¿Y si cambiamos el criterio, como hace Pablo, e introducimos ceros, qué cifras ocuparán esos lugares?

II ¡Los decimales de π! Me gusta especialmente la aproximación que obtuvo alKashi (Isfahán - Samarkanda; siglos XIV-XV), por dos motivos: En primer lugar, por el objetivo que perseguía con su cálculo: después de criticar la insuficiencia de los valores de π que habían manejado otros matemáticos árabes, decide que “la circunferencia de un círculo debe ser expresada en función del diámetro con una precisión tal que el error sobre la longitud de la circunferencia de un círculo cuyo diámetro sea igual a 600 000 veces el de la Tierra no sobrepase el espesor de un cabello”. Para ello, necesitó obtener 16 cifras decimales exactas.

El segundo es el hecho de que al-Kashi realizara sus cálculos en base 60 (en esta base efectuaban sus cálculos astronómicos tanto los matemáticos árabes como los occidentales). Él mismo realizó el paso a base 10.

π = 3´ 08 29 44 00 47 25 53 07 25 (60 = 3´ 14159265358979325 (10 Aquí, “08”, “47”, etc., son cifras en base 60. Es decir:

π = 3+

8 ___ 60

+

29 ____ 3600

+

44 ___ 60

3

+

47 ___ 60

5

+.........= 3+

1 ___ 10

+

4 ____ 100

+

1 ___ 10

3

+

5 ____

+...........

10

4

Aunque no con claridad, podemos pensar que al-Kashi, como Pablo, empezaba también a intuir un mundo: los decimales de π son infinitos y no se ajustan a ningún criterio de repetición periódica. Lo que técnicamente llamamos la “irracionalidad” de π. Así podemos interpretar el comentario del propio al-Kashi: “nadie puede conocer toda la verdad sobre esta cuestión excepto Allah”.

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LA BÚSQUEDA DE UN LENGUAJE I Todos conocéis la fórmula (a+b)2=a2+2ab+b2 , y quizás hayáis visto dos demostraciones de su validez: una geométrica y otra algebraica.

Geométricamente razonaríamos así: (a+b)2 es el área de un cuadrado de lado a+b. La figura de la izquierda prueba que esa área se obtiene sumando la de los dos cuadrados, uno de lado a y otro de lado b, y la de los dos rectángulos iguales, de lados a y b.

Algebraicamente razonaríamos así: Aplicando las propiedades distributiva, conmutativa y asociativa del producto y de la suma, se tiene: (a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 La primera demostración se encuentra en el segundo libro de una de las obras más editadas y estudiadas de la historia: los Elementos, de Euclides, un matemático alejandrino del siglo III antes de Cristo. La segunda demostración podría firmarla un matemático de siglo XVII (aunque no todos).

Las diferencias entre estas dos demostraciones ilustran muy bien el tremendo avance de la matemática moderna respecto de la antigua. En cierto modo, podríamos decir que la matemática griega era una matemática “gráfica”. Un número no era un ente abstracto desprovisto de conexión con la realidad concreta –salvo la que en un determinado problema queramos nosotros establecer–, como lo es para nosotros hoy día.

Para los griegos un número era inseparable de su representación mediante una longitud, un área o un volumen, y las operaciones aritméticas se efectuaban mediante construcciones gráficas. Así, por ejemplo, Euclides llama “lados” a los factores de un producto, que sería, a su vez, el área del rectángulo construido.

Todavía conservamos en nuestro lenguaje restos de esta forma de entender las matemáticas. Llamamos “cuadrado” o “cubo” a las potencias de orden 2 ó 3 de un número, en clara referencia a la construcción geométrica que representa la operación.

Ya desde el siglo XIII empieza a tomar cuerpo el ideal de una ciencia universal; de un método casi capaz de mecanizar el pensamiento. Por lo que a las matemáticas se refiere, ese ideal se plasmará en el desarrollo del cálculo algebraico o cálculo “literal” (cálculo con letras). Entonces, en el siglo XVI, se le llamó “logística speciosa” (logística = aritmética; species = forma, símbolo). En los cursos anteriores habéis peleado por asimilar sus reglas.

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El desconcierto que este cálculo con símbolos y letras (species), motivó en su época, queda bien reflejado en esta idea de Cavalieri, importante geómetra del XVII: “Los algebristas ..., suman, restan, multiplican y dividen las raíces de los números, aún siendo inefables, absurdas y desconocidas, y están convencidos de haber actuado correctamente ...”.

Es decir, nosotros sabemos que 3 + 5 3 = 6 3 , al margen de cuál sea la naturaleza de 3 –al margen de qué tipo de número sea 3 –, o que (a+b)2=a2+2ab+b2, independientemente de los valores de a y b, y de que sean o no el resultado de la medida de unas longitudes. En el cálculo algebraico, con unas pocas reglas generales –como las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva– aplicadas correctamente, obtenemos resultados de validez general. Y en esto radica su potencialidad. Veámoslo con otro ejemplo.

Haciendo uso del cálculo literal, obtenemos con rapidez que: (a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab-ba-b2=a2-2ab+b2 Mientras que para probar con un gráfico el mismo resultado, hemos de fijarnos en la siguiente figura:

El cuadrado construido sobre a-b es igual al total (a2), menos dos veces el rectángulo de lados a y b, más el cuadrado de lado b que hay que sumarlo porque lo hemos restado dos veces, una con cada rectángulo.

Para demostrar gráficamente otros resultados, como (a+b)(a-b)=a2-b2 o las fórmulas correspondientes a (a+b)3 y (a-b)3 , debemos inventar construcciones nuevas, a veces complicadas, mientras que el cálculo algebraico nos da la respuesta en una línea.

Pensemos incluso en la imposibilidad de obtener con gráficos resultados para exponentes mayores que 3. El cálculo algebraico nos proporciona un método, mecaniza el trabajo y permite avanzar más lejos y más deprisa. En palabras de Descartes, en su Discurso del método:

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“Por lo que hace al análisis de los antiguos (...), está siempre tan sujeto a la consideración de las figuras que no puede ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación”.

Descartes, matemático y filósofo francés del siglo XVII, propuso su geometría de las coordenadas –que el llamó geometría analítica– con la que ya habéis tenido contacto, que pudo ser desarrollada gracias a la existencia del cálculo algebraico. Con la geometría de Descartes, el proceso de simbolización –eliminación de gráficos– es llevado más lejos, los propios objetos geométricos son expresados por números (y no al revés, como hacían los antiguos) e incluso por símbolos (letras) o combinaciones de símbolos. Así, un punto es un par de números (o de letras) y una recta, o una curva, una ecuación, una igualdad algebraica. En consecuencia, no sólo no se harán ya las operaciones aritméticas con gráficos sino que las operaciones geométricas –determinación de cortes de figuras, trazado de rectas o curvas, ...– dejarán de hacerse con regla y compás (gráficamente) y pasarán a ser simples ejercicios de “logística speciosa”.

“No es nada exagerado decir que, para el progreso humano, la introducción y difusión del cálculo literal, en sustitución del álgebra geométrica, ha sido una revolución comparable a la adopción de la máquina en lugar del trabajo manual. La comparación es válida en todos los aspectos: también en el de que el trabajo manual es superior al trabajo a máquina.

La belleza, la fantasía, la originalidad y la individualidad de cada pieza es lo que le falta a la producción mecánica en serie. Así, por ejemplo, la demostración de Euclides que hemos expuesto antes, acerca del binomio a+b, nos parece incomparablemente más bonita, más viva, más sugestiva que la “vuelta de manivela” algebraica que nos permite llegar en diez segundos al mismo resultado. Aún así, lo mismo que no se nos ocurre destrozar los telares mecánicos para volver a la lanzadera y al huso, tampoco rechazaremos la “logística speciosa” por amor a la belleza del álgebra geométrica.

Trataremos, de todos modos, de conservar en nosotros, aunque usemos los nuevos instrumentos, el espíritu del viejo Euclides, la imaginación geométrica de los antiguos griegos, que será esencial para nosotros cuando no se trate de aplicar unas reglas sino de descubrir y crear otras nuevas”.

II Aunque con añadidos míos, lo anterior es casi una paráfrasis –en cuanto al guión de ideas; no en lo que al texto se refiere– de un apartado del libro de Lucio Lombardo Radice: La matemática de Pitágoras a Newton1, pensada para consumo de alumnos y alumnas en el entorno del final de la Secundaria.

Hace dieciséis años que entré en contacto con las ideas que allí expone, y con el párrafo citado del Discurso del método, y siguen siendo una referencia inevitable. La

1 Editorial Laia, 1983. La edición italiana es de 1971.

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historia debería ser un acompañante necesario en las clases de matemáticas, pero es complicada de usar porque si nuestros alumnos y alumnas no saben matemáticas es difícil que la entiendan. Radice elabora una mezcla muy instructiva y digerible de contenidos de las dos materias, cuyo interés no está solamente en ese logro sino, sobre todo, en las potentes conexiones que establece. Nos enseñaron en su momento el cálculo algebraico como algo intemporal, y hay un serio riesgo de que en muchas aulas de nuestros Institutos esté ocurriendo lo mismo. En contrapartida, la comparación de las dos demostraciones2 de un resultado tan sencillo como la fórmula de (a+b)2 advierte que las matemáticas son el resultado de una creación colectiva, que han ido variando con el tiempo y que lo han hecho –como sugiere la larga cita última– en conexión con los cambios que se han ido produciendo en otros campos de la actividad social. Ideas importantes para la visión de las matemáticas que irán construyendo alumnas y alumnos, pero también para que circulen como transversales en la mente de los profesores.

2 Es sorprendente que haya alumnos y alumnas que terminen el Bachiller sin haber visto nunca la demostración de Euclides ...

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¡QUÉ PROBLEMAS LE PONEN A CALVIN!

I Calvin transmutado en zombi para no atacar definitivamente el problema.

Quizás no le gustaría a Watterson, el dibujante, pero ya que Calvin no lo hace propongo que lo hagamos nosotros. He pasado esta tira a varias personas adultas y, quizás porque una historieta con un niño como protagonista les ha llevado a suponer el enunciado ingenuo, todas han pensado en las dos posibilidades de la figura 1. En la primera, d(A,C)=3’3; y en la segunda, d(A,C)=10.

Fig. 1

Fig. 2

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Fig. 3

Pero no hay por qué reducir el plano a una sola dirección. ¿Habrá otras soluciones, en las que los tres puntos formen un triángulo? El enunciado que lee Calvin obliga a que C se encuentre en el contorno de una circunferencia de centro B y radio 5. Las dos posiciones del punto A en la figura 1 se encuentran en el mismo diámetro (fig. 2). ¿Podemos colocarlo en otro sitio manteniendo la exigencia de que d(A,C)=2d(A,B)?

Es muy probable que las primeras conjeturas que elaboremos al intentar resolver un problema sean inciertas, pero pueden encerrar intuiciones válidas. Si giramos A hasta A´ (fig. 3) de forma que A´BC sea rectángulo, d(A´,C) > 2d(A´,B) , pero la idea de colocar A en esa perpendicular no es mala. Si A´ se aleja de B manteniendo la dirección, aumentan sus distancias a C y B al tiempo que disminuye la proporción entre ambas desde 10 hasta 2 , momento en el que A´ alcanzará la curva de la circunferencia. Será 2 cuando A´BC sea la mitad de un triángulo equilátero. Obtenemos así otras dos soluciones al problema (A´ y A´´ en fig. 4).

Fig. 4

Fig. 5

El caso es que tenemos ya cuatro puntos A y surge la tentación de imaginar que todos los posibles se encuentran en la misma circunferencia (fig. 5) que, puesto que lo que ocurra a un lado de AC tendrá su plasmación simétrica al otro, bien podría ser el lugar geométrico que resuelva el problema. Si así fuera, ¿cuál podría ser su centro? En realidad no tiene tanto mérito conjeturar en situaciones propuestas por enunciados de matemáticas. Nos movemos en un mundo platónico en el que la armonía viene incluida en el paquete que acompaña como consecuencia inevitable a las definiciones. Sí, desde luego que no es este un argumento muy serio, pero ¿dónde colocar el centro si no es en el otro punto situado en el diámetro AC a distancia 5/3 de B? CABRI permite comprobar que la intuición es acertada (figura 6; el dibujo está hecho con BC = 2´78 cm, pero es evidente que ello no modifica las características geométricas de la curva solución del problema)

Fig. 6

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Pero es difícil “ver” que la proporción 2 conduce a una circunferencia con ese centro y ese radio, así que se puede recurrir a los enfoques de Descartes –para poder “ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación”1– e introducir un sistema de coordenadas con origen en B (figura 7), de forma que C sea el punto (5,0).

Nuestro problema será entonces localizar los puntos A(x,y) tales que 2d(A,B)=d(A,C).

Fig. 7

Fig. 8

2

2

2

2

El cálculo nos guiará ciegamente desde 2 x + y = ( x − 5) + y hasta x2+y2+3’3x-8’3=0 , que es la ecuación de la circunferencia que habíamos intuido. Esto avala nuestra conjetura, pero sigue sin responder a la petición de una demostración empírica.

Se puede también probar a posteriori el resultado, aplicando el teorema del coseno a los triángulos ADC y ABC, buscando en el primero una expresión para 2x, y para x en el segundo. Combinando las dos se llega a que AD es siempre 10/3 (independientemente del valor de x), lo que valida de nuevo nuestra circunferencia. Pero sentimos otra vez la sensación de ir guiados por un lazarillo, sin comprender las razones de estructura geométrica que justifican la respuesta encontrada.

El proceso inductivo inicial da pistas pero no certezas; permite conjeturar y, por tanto, crea conocimiento. El proceso deductivo seguido al introducir el sistema de coordenadas crea conocimiento, porque tampoco conocíamos la respuesta al comenzarlo, y además aporta certeza. El razonamiento deductivo último –en el que hemos empleado el teorema del coseno– es de tipo euclídeo: se trataba en definitiva de demostrar una tesis previamente establecida; no crea conocimiento, sólo lo valida. Pero en ninguno de los tres casos hemos podido “ver” el porqué “físico” –si se puede decir de esta manera– del resultado. Para ello habríamos tenido que conjeturar deductivamente, al estilo de nuestra segunda argumentación, pero sin coordenadas, partiendo de las figuras 2, 4 ó 5 a que nos habían llevado las condiciones del problema.

En realidad, es fácil localizar la circunferencia solución con regla y compás, pues una vez determinados A´y A´´ (fig. 4), basta con trazar por uno de ellos una perpendicular al segmento A´C. El corte de este segmento con la prolongación de BC (fig.

9) es el centro de la circunferencia. O también, dibujando un triángulo equilátero de lado A´A. Todo esto, sin embargo, sigue sin aportar luz sobre la necesidad “física” de la misma.

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1 Ver el capítulo “La búsqueda de un lenguaje”. El fragmento de frase que he empleado está sacado de contexto y lo he utilizado con cierta ironía, pero no me parece que haya traicionado a Descartes.

Fig. 9

II Empezamos imaginando los tres puntos en una sola dirección para después colocarlos en el plano, pero las dos situaciones son reduccionistas. Somos seres de tres dimensiones en un espacio tridimensional, y en él es donde debería plantearse de forma natural el problema. La tentación inmediata es suponer que la respuesta, ahora, será la esfera de centro D y radio 10/3. Es muy fácil justificar esta suposición: las distancias AB y AC (fig. 10) no se van a ver modificadas porque giremos toda la figura respecto del diámetro ABAC, de manera que el triángulo ABC cambie su posición manteniendo fijo un lado. En la figura 11 están marcadas algunas de las posibles localizaciones del punto A. Dos ampliaciones de nuestra perspectiva de observadores nos han llevado de las dos únicas opciones de los extremos del segmento ABA, a los infinitos puntos de la circunferencia y de la esfera que tienen a ese segmento como diámetro.

Fig. 10

Fig. 11

Si colocamos un trípode coordenado en el punto B (fig. 12), de forma que el punto C sea (5,0,0), podremos comprobar la validez de nuestra esfera, cuyo centro estará situado en D(-5/3,0,0). Sin duda es un innecesario ejercicio de calculote pero –des41

pués de todo lo anterior– tiene cierto encanto comprobar que ⎛

distancia de un punto cualquiera del tipo A⎜⎜ x, y, ± ⎝

)

)

8´3 − 3´3x la 8’3-3’3x,

75 10 ⎞ 2 2 − x − y − x ⎟⎟ al punto B(0,0,0), 9 3 ⎠

es justamente la mitad de su distancia a C(5,0,0)

Fig. 12

¡Qué problemas le pone a Calvin su maestra! ¿De dónde los sacará Watterson?

Supongo que recurrirá a algún manual escolar, aunque intuyo que ni siquiera quien lo redactó pensó en tantas posibilidades. Incluso si lo planteamos en una sola dimensión parece una propuesta fuerte para una criatura como Calvin, pero no creo que debamos usar este hecho como un argumento en contra de que en las escuelas e institutos se trabaje en tres dimensiones. La experiencia demuestra que a niñas y niños pequeños les resulta más natural el espacio que el plano, y que si pueden escapan de la tiranía abstracta de este último. Todavía en Secundaria, cuando se les proporcionan piezas poligonales para confeccionar mosaicos, suelen intentar construir objetos de tres dimensiones a pesar de lo inadecuado del material. En realidad, a quienes nos da miedo el espacio es a los profesores y profesoras. Y es que estuvimos muchos años dentro de las aulas.

III Problema de selectividad de la convocatoria de junio del año 2002 en el distrito de Zaragoza: Sabemos que en el plano el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de dos dados es una recta. Pues bien, ocurre que si en lugar de pedir que el cociente de las distancias sea 1, elegimos otro valor fijo, el lugar geométrico pasa a ser una circunferencia. a) Comprueba esta afirmación tornando como puntos (-1, 0) y (1, 0) y un parámetro λ como cociente de las distancias. b) Da una expresión del centro y del radio de la circunferencia del apartado a) en función de λ. c) Representa la figura para 2 =λ.

Como se puede observar, el enunciado es una generalización en el plano del problema de Calvin. Lo dicho: ¡qué problemas le ponen a este chico!

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EL MIEDO TIENE RAÍCES DIFÍCILES DE ARRANCAR I -

¿Cuánto es 20?

1 ¿Por qué? ¿...? Nos dijeron que es así.

Otra respuesta habitual al “por qué” suele ser: - 20 es 1 por convenio.

Y así un año tras otro. Muy de vez en cuando aparece alguien que explica que es así porque al dividir potencias de igual base hay que restar los exponentes. Por supuesto, nadie da como razón la evolución paralela de estas dos series: ...... 23 ...... 8

22 4

21 2

20 1

2-1 0’5

2-2 ......

0’25 ......

Ese argumento se les suele ocurrir a ellos/as (es decir, a alguno o alguna de ellos/as), también de vez en cuando, cuando se les pide que busquen (no que recuerden) una justificación del famoso convenio. Porque los convenios se adoptan por algo, no son arbitrariedades. Responden a algo o se persigue algo con ellos. En matemáticas, me parece que, sobre todo, responden a algo. Y es increíblemente escandaloso que se les haga creer que los convenios se adoptan por convenio. ¿Así se fomenta el espíritu crítico que se supone que desarrollan las clases de ciencias? ¿O estamos más bien ante otra variante de un catecismo dogmático?

- Nos dijeron que es así.

- Los enemigos del hombre son tres: el mundo, el demonio y la carne1.

- Sí, bwana.

- ¿Por qué para estas integrales se usa este cambio?

- Mira, muchacho, no te plantees el porqué de las cosas que eso no lleva a nada bueno2.

- Sí, bwana.

Sin duda, el sistema educativo tiene en su currículum oculto el objetivo de la formación de mentalidades sumisas. Pero ocurre que tienen que tener conocimientos técnicos que permitan con el tiempo explotarlas laboralmente. Parece que se supone que

1 Parecía como si la mujer no tuviera enemigos, pero me temo que era mucho peor: era el enemigo mismo.

2 No son inventadas esta última pregunta y la respuesta del profesor. Me las transmitió un observador presencial. El diálogo tuvo lugar en un aula de COU en los años noventa, en algún lugar de la ibérica piel de toro.

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las matemáticas escolares son útiles en ese proceso posterior de explotación, así que tienen que haber visto –¡qué expresión, Dios mío: “haber visto”– muchas (muchas matemáticas). Hay, pues, que quemar etapas y, para ello, ¿qué mejor que la historia de los convenios? Son necesarios, no sólo porque permiten “ganar” tiempo, sino también porque si alumnas y alumnos no han alcanzado todavía la necesaria capacidad de abstracción y soportan mal “lo que tienen que ver”, la solución son los convenios.

II No trabajé con este grupo, en 4º ESO, las potencias de exponente fraccionario.

Ahora, en 1º de bachillerato, antes de entrar en los logaritmos –tampoco les dediqué tiempo cuando oficialmente tenía que haberlo hecho– empiezo una batería de preguntas sobre el significado y el valor de cosas como 2-3, 20’5, ó 0’60’6 . Explico en la pizarra un razonamiento tópico. Algo así como 3

) 0' 3

⋅3

) 0 '3

⋅3

) 0 '3

= 3⇒3

) 0' 3

=33

Y hacemos unas cuantas variantes. Hay en el aula alumnos y alumnas de procedencia variada y, puesto que algunos han seguido los cauces programáticos oficiales, se supone, también oficialmente, que dominan estas cosas. Pero en el camino, al hilo de la conversación, tengo que justificar incluso las propiedades más elementales de las operaciones con potencias. Me estoy refiriendo a esto: 34·33=37 porque 34·33=(3·3·3·3)·(3·3·3) Y a otras cuestiones que habitualmente se consideran triviales pero que parece que no lo son tanto. Por ejemplo: 33 = ( 3 )3 . Ocurre que la mente necesita tiempo.

Tiempo para hacer tanteos, para equivocarse, para redescubrir lo que le han mostrado.

Y ocurre que las justificaciones por convenio no producen conocimientos asentados.

A estas alturas no me fío de muchas expresiones de conformidad con lo que se ha hablado en el aula. Puede ser que las hagan para no tener que implicarse más a fondo. Así que unos días más tarde volví sobre el tema. Por eso y porque creo que es conveniente avanzar en espiral. Lo recomendaban los libros blancos aquellos. Me pregunto si se inspirarían en Lenin3: “El conocimiento del hombre (supongo yo que el de la mujer también) no es (no sigue) una línea recta, sino una línea curva que se aproxima infinitamente a una serie de círculos, a una espiral”. Y continúa: “Cualquier segmento, trozo, fragmento de esta línea curva puede ser transformado (transformado unilateralmente) en una línea recta, independiente, íntegra, que conduce (si los árboles no dejan ver el bosque) en tal caso a la charca, al oscurantismo clerical”. Una buena descripción de los procesos de aprendizaje de convenios indiscutidos.

3 Las dos citas están cogidas de unas breves notas de trabajo que se publicaron con el título de En torno a la dialéctica. Tengo la edición de la editorial Progreso (Moscú, 1983). Las notas a pie de página son tendenciosas.

Pero estaba en que volví sobre el tema. Tengo, por supuesto, ejemplos de lo complicadas que son las cosas, aunque siempre quedan sutilezas inesperadas. Pregunté si alguien podía explicar por qué 0'50 ' 5 = 0'5 . Finalmente accedió a salir a la pizarra C ... , pero su seguridad no llegaba al punto de utilizar 0’5 y advirtió que prefería 1/2.

Por supuesto –son buenos alumnos/as– sabía de qué iba la cosa, pero lo que escribió indicaba que no estaba todo claro: 1/2

0'5

11/2 2

⋅ 0'5

1 2

= 0'5 = (*) = 0'5

El asterisco lo he introducido ahora yo. Sus colegas advirtieron que la conclu1

1/2 sión final era 0'5 2 = 0'5 , pero yo seguí insistiendo y pregunté que por qué se daba este último paso. Desde luego que frases similares a ésta: “el número que multiplicado por sí mismo da 0’5 es la raíz cuadrada de 0’5, luego 0’50’5 tiene que ser 0'5 ”, habían sonado en el aula durante estos días, ¡pero no es una frase tan sencilla!, requiere pensar un poco, tener alguna idea clara, de manera que la mayoría –eso es lo que intuí en ese momento– había mecanizado el algoritmo para evitarse líos y evitar el pensamiento. No es tan difícil. Veamos: 1/4

algo

1 1/4 4

⋅ algo

1 1/4 4

⋅ algo

1 1/4 4

⋅ algo

1

4

1/4

= algo ⇒ algo

1

4

= 4 algo

¿Qué hay que observar para esto?

1) Si hay un 4 en el denominador, hay que poner cuatro factores iguales.

2) Una vez montado el escenario, se remata pasando el 4 al índice del radical.

Y, ciertamente, no hace falta entender nada para repetirlo adaptándolo a las condiciones que marque el exponente.

III ¿Por qué ocurre todo esto? Sin duda son situaciones naturales. No se nos meterán en la cabeza algunas cosas: - Utilizamos símbolos e ideas muy abstractos.

- Y, además, descontextualizados.

- Les importan un rábano. ¡Como es natural! Bien, puedo suavizar: les importan, en el mejor de los casos, pero dentro de un orden. Y, a su edad, hay desde luego órdenes más importantes y más interesantes. ¡También era así en mi caso!

- El conocimiento conceptual y procedimental oficializado en la pizarra paraliza los procesos abiertos de reflexión personal. Esto no quiere decir que no haya que oficializar nada, pero sí que hay que hacerlo con delicadeza, dejar tiempo para que las mentes se aclaren, y dialogar con sus dudas, sus métodos y sus soluciones.

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IV Al volver a casa hojeé a Erich Fromm: “Para Russell, en contraste con los pragmatistas, el pensamiento racional no es la búsqueda de la certeza, sino una aventura, un acto de autoliberación y de coraje, que cambia al pensador (y a la pensadora, supongo) al volverlo más alerta y darle más vida.” 4 El miedo tiene raíces profundas, y quizás diversificadas, a las que no puede acceder el profesor de matemáticas. El miedo está presente –no sólo la pereza– en las mecanizaciones formalistas y sin contenido del pensamiento. El miedo es quien guía la conversión de la espiral en línea recta hasta llegar al oscurantismo. El miedo es quien dificultó la elaboración de la frase que remataba la argumentación sobre 0’50’5. Lo sé porque lo sentí flotar en el aula, especialmente sobre la pizarra, mientras se desarrollaba la escena. Y en la escuela, en los institutos, en las universidades, hablar de aventura, de actos de autoliberación, no es ni siquiera subversivo. Pensarían que a quien plantea esas cosas le acecha la locura.

4 Erich Fromm: “Sobre la desobediencia”. Paidós, 2001.

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MENOS MAL QUE ANDAN ESTOS TIPOS Y TIPAS POR EL INSTITUTO Si no fuera así, hace unos meses que habría intentado reconvertirme a camionero. Cada vez más, la resistencia al pensamiento se acentúa en las aulas y me canso de violentar mentes todas las mañanas. Observo después al ciudadano que sirve cervezas en la barra del bar y no puedo evitar cierta envidia. Si no quieres una caña, no la pides: el resultado es que no sólo no riñe contigo sino que además conversamos amablemente. Hoy, sin ir más lejos, se han molestado en la clase de 3º porque hay demasiadas parejas de números cuyo producto es 2. Una vez superado el pequeño inconveniente de casos como 0’3x6 , advertido por alguien en el transcurso de la discusión, la información de que también sale 2 con 2 x 2 ha suscitado protestas, e incluso indignación en algunos casos. Las chicas lo han exteriorizado ruidosamente; los chicos, en apariencia no, pero sus caras dejaban ver la preocupación ante la pesadumbre mental que esta nueva variante podría producirles a medio plazo. Dado el rechazo al cuadrado de 2 , les he hecho ver que yo no tengo la culpa de que pasen estas cosas y que, si así lo prefieren, puedo ocultarles informaciones de este tipo. Ante una amenaza como esta, de imprevisibles consecuencias para su futuro, han cedido.

I ¿Habéis visto a un gato jugar, por ejemplo, con una hoja de lechuga? Posada en el suelo, la observa, le da la vuelta fijándose detenidamente en detalles que desde mi posición no puedo intuir, la desplaza con la pata, suavemente, con cuidado, como si temiera romperla, pero con el tiempo acontece una tremenda agitación: la hoja salta por el aire, el gato da volteretas asido a su enigmático objeto de observación. ¿Qué ocurre? ¿Es una hoja? ¿Será otra cosa? Parece lechuga ... pero quizás esta conjetura no sea la correcta ...

Debo a Mª Jesús la comparación entre este comportamiento de un gato y el de alguien que HACE matemáticas. ¿Es exagerada? Desde luego los gatos son curiosos y tienen iniciativa propia, aunque quizás, es cierto, no elaboran conjeturas sobre las hojas de lechuga. Me tildaréis de roussoniano ingenuo, pero creo imposible que la Naturaleza nos haya dotado de menos curiosidad que a los gatos, así que achaco a la sociedad (familia, escuela, TV, ...) el esfuerzo destructivo para eliminarla.

Pero ya digo que andan estos tipos/as por el Instituto.

II Dicen –los Temarios, el Departamento, etc.– que hay que “dar” trigonometría en 4º ESO B1, así que según subíamos para el aula después del recreo les he pedido que averigüen qué ángulo forma la escalera con el suelo. Llevamos mucho tiempo ocupándonos de la pendiente de una recta como si de una hoja de lechuga se tratara y ayer, cuando pedí por primera vez que dieran la abertura de los ángulos de un triángulo dibujado en la pizarra, como no encontraron un método de pasar de los cálculos derivados 1 ¿Alguna vez nos daremos cuenta de que esta clasificación de los alumnos y alumnas de 4º en función de las matemáticas fue uno de los comienzos del proceso de derribo de una Reforma anunciada pero nunca llevada a cabo?

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de sus medidas a los famosos grados2, les advertí al irme que Tráfico no necesita de ellos para informar sobre ángulos en sus señales de carretera.

Es verdad que fue una pista excesiva, porque al hilo de la pendiente de una recta habíamos dibujado perfiles de “carreteras” con un 100% de pendiente, un 200%, un 22%, un 0´25%, etc., de manera que bastantes han ido directamente a tomar las medidas necesarias para calcular la pendiente de la escalera. Con todo, Pilar y Alicia se han limitado a un cálculo a ojo: el ángulo era menor que los 45º de una escuadra y le han asignado la tercera parte de un recto3. La mayoría dividió sus medidas para obtener 0’53 de pendiente y me pedían ansiosamente cómo pasar de ahí a un valor en unidades de medida de ángulos. Pero siempre hay que preguntar, como con las hojas de lechuga, si queda alguna otra posibilidad. Leticia, entonces, nos cuenta el tortuoso camino de su grupo hacia la pendiente. Ellas no han medido el cateto vertical y el horizontal, sino este último dato y la hipotenusa, por lo que han tenido que recurrir a Pitágoras para saber la altura4: 1´6 metros.

Han colocado entonces un sistema de coordenadas en el rincón de la escalera (el dibujo está hecho tal y como han visto y sentido la escalera al medir, subiendo hacia su izquierda): la ecuación de la recta inclinada será del tipo y=mx + 1’6 y, como pasa por el punto A (3,0), 0=3m+1’6.

De ahí obtienen la pendiente ¡¡de la escalera!! Hay que discutir, claro, el que salga negativa. Por mi parte, nada que objetar, porque ya el resto de la clase advierte que se podía haber dividido 1´6:3 directamente, sin necesidad de buscar ecuaciones de rectas.

Los sistemas de coordenadas están para esto: para colocarlos allí donde hagan falta a alguien para resolver un problema. Sólo son fijos e inamovibles, como las ideas eternas, en los listados de ejercicios de los libros de texto. El camino de Leticia y sus colegas me indica que mis propuestas de cambiar de sistema de referencia en una misma situación, para observar las modificaciones que ello introduce en las ecuaciones de las rectas, han dado el resultado que buscaba: introducir un cierto materialismo epistemológico y filosófico. Los sistemas son herramientas, no objetos etéreos de naturaleza esotérica.

Hablamos de esto –de las herramientas, no de la epistemología, claro– y paso a dar información. Hay suerte, y al pedirles que pulsen la tecla tan-1 salen resultados distintos, lo que permite hablar de los modos DEG, GRAD y RAD. Y cuando me reclaman qué es tan-1, ¿por qué da la respuesta esa tecla?, avisan del cambio de clase. No puedo evitarlo, y me cisco en el timbre con cierta contundencia.

Ya digo que, afortunadamente, andan estos tipos/as por el Instituto.

2 A pesar de que se supone que conocen “el seno y el coseno” por las clases de Física. En matemáticas, ya se sabe, siempre vamos con retraso.

3 Y no han errado mucho: menos de 2 grados. Creo que es la primera vez en todo el curso que se dejan llevar por un empirismo tan tosco.

4 A pesar, de nuevo, del referente del coseno en las clases de Física.

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III Al volver a casa, releo a Paulo Freire5: “... la pedagogía radical nunca puede hacer concesión alguna a las artimañas del “pragmatismo” neoliberal que reduce la práctica educativa al entrenamiento técnico–científico de los educandos, al entrenamiento y no a la formación”.

5 “Pedagogía de la indignación”. Ed. Morata. Madrid, 2001. Freire emplea la palabra “formación” con el significado de “desafiar al educando a pensar críticamente en la realidad social, política e histórica en que está presente”. El uso que yo he hecho su frase, sacándola de su contexto, reduce el contenido de “formación”, que pasa a ser algo así como “desafiar al educando a pensar críticamente sobre los métodos de las matemáticas”. Aunque he recurrido a este reduccionismo, creo que no hay que olvidar el significado amplio –¡y difícil de practicar!– con que él la emplea.

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¿QUIÉN DIJO QUE LAS COSAS SÓLO PUEDEN HACERSE DE UNA MANERA? Hace algunos años que Ignacio Ramonet, el director de “Le Monde Diplomatique”, acuñó la afortunada expresión “pensamiento único” para referirse al dogma neoliberal que nos impone tiránicamente su propuesta política y económica.

Pero me temo que la afición a un pensamiento único, como forma de autodefensa de las distintas sociedades frente a posibles alternativas críticas que pudieran modificarlas desde dentro, tiene una larga tradición en la Historia. Me temo también que el sistema educativo ha sido, desde su aparición como institución oficial (retrocédase en el tiempo lo que se crea conveniente), uno de los habituales instrumentos para que las sucesivas generaciones acepten el pensamiento único del momento.

La vida es plural; los problemas que plantea admiten enfoques variados y la tensión entre ellos es la base de la creatividad colectiva. ¿Por qué sorprenderse de que se hayan inventado más de 250 formas de demostrar el Teorema de Pitágoras? ¿Qué se pretende (es decir: qué se consigue inconscientemente) cuando se propone, por ejemplo, una única forma (oficial) de efectuar una multiplicación?

Una clase es –debería serlo– un taller de creación colectiva en el que se buscan soluciones variadas a problemas variados. Os presento una sencilla pero bonita muestra de la inventiva de que han dado muestra hace unos días en 3º ESO y en 1º de bachillerato tecnológico. Se trataba de insertar signos de operación en la lista de números 1 2 3 4 5 6 7 8 9, sin cambiar su orden, para que el resultado fuera 1.

1-2+3+4-5+6-7-8+9=1 1+2-3+4-5-6+7-8+9=1 ( { [ (1 + 2) : 3 + 4 ] : 5 + 6 } : 7 + 8 ) : 9 = 1 1 (2 - 3) (4 - 5) (6 - 7) (8 - 9) = 1 1+2+3+4-5+6+7-8-9=1 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - √9 = 1 1 : [ (2 - 3) (4 - 5) + (6 - 7) - (8 - 9) ] = 1 (- 1 x 2) + (3 x 4) - [ ( - 5 + 6) - (- 7 + 8) ] - 9 = 1 1+2+3+4+5-6-7+8-9=1 1-2+3-4+5+6-7+8-9=1 (1 + 2 - 3) 4 + 5 + 6 + 7 - 8 - 9 = 1

(Saúl U.; Jorge R.; Ignacio) (Blanca) (Oihane; Marcos A.) (Jorge L.; Guillermo) (Jorge L.) (Pablo) (Roberto) (Javier) (Beatriz; José Miguel) (Nacho) (Susana)

Y, haciendo algo de trampa ...

(9 x 7) - (8 x 6) 1 - (2 + 3 + 4 + 5) = 1 1+2-3+4+5-7+8-9=1

(Saúl S.) (Juan)

Tres años más tarde, un alumno de 2º ESO (Javier) añadió tres soluciones más en la lista: [(1 + 2 + 3 + 4) : 5 + 6 – 7 + 8] : 9 = 1 [(1x2x3+4):5+6–7+8]:9=1 (1x2x3x4)–5+6–7–8–9=1 53

EL EXQUISITO DETALLE DE LOS DIBUJOS DE ASTERIX Siempre me ha gustado Asterix. Me refiero, claro, al Asterix de la época de Goscinny. Disfruto con los dibujos y ese humor refinado de presentación impresionista. Creo que fue en la aventura de “La cizaña” donde apareció por primera vez una vista aérea del pueblecito de los irreductibles galos (figura 1). Desde entonces, a los atractivos anteriores se unió el de comprobar si las distintas perspectivas de rincones del pueblo que se ven en las viñetas cuadraban con la vista general. Y cuadran, claro que lo hacen. Por lo general, cuadran con una precisión tal que se diría que es el ojo de una cámara, antes que el lápiz de un dibujante, quien selecciona los espacios por los que deambulan los galos.

Fig.1

La primera página de Asterix en Helvecia (figura 2) es un bonito ejemplo de esta precisión. La “cámara-dibujante” empieza con una vista cercana del centro del pueblo desde el aire; desciende a ras de suelo para centrarse en un pequeño rincón; enfoca hacia “le centre ville” que habíamos perdido, lo que nos permite observar que de la casa del jefe a la de Asterix el camino desciende; muestra las que ve Asterix desde la suya; y cruza el camino para captar la conversación del encuentro del jefe con Asterix y Obelix que, efectivamente, deben estar situados a su izquierda según viene andando.

Así pues, la primera hoja de esta aventura aporta información suficiente para conectar entre sí unos cuantos edificios del pueblo, y eso es lo que solicité a un grupo de 1º ESO en el texto que acompaña a la figura 2.

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Fig.2

Con la información que dan estas viñetas, dibuja un mapa sencillo del centro del pueblo de Asterix. Tienen que estar localizadas la casa del jefe, la herrería, la pescadería y la casa de Asterix. ¿Puedes añadir algo más? ¿Más casas o árboles?

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¿Funcionó bien? Sí. Los mapas que trajeron eran muy deslavazados –no es nada cómodo el dibujo; haced un intento ...–, pero la discusión en clase fue apasionada.

Preparé varias transparencias (figuras 1, 3, 4 y 5) que proporcionaran más información para ir utilizándola cuando algún grupo de discutidores/as no consiguiera llegar a acuerdos, y otras dos (6 y 7) que prueban que en los primeros números de la serie el pueblo no había tomado cuerpo en la mente de los autores.

Me ha quedado un bonito recuerdo. Como el tamaño de las transparencias resultó muy grande y se salían de la pantalla al proyectarlas, un grupo colocó unas sillas junto a la pared para poder llegar a la zona alta de la viñeta que en ese momento estaba proyectada, mientras yo atendía la discusión interna en otro grupo y allí –desde el suelo y señalando desde las sillas– continuaban su agitada discusión, ajenas y ajenos por completo a cualquier otra circunstancia. El mundo era en aquel momento un pueblo ficticio.

Fig.3

Fig.4

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Fig.5

Fig.6

Fig.7 58

¿QUÉ MATEMÁTICAS SON COEDUCATIVAS?1 Las dos menos cuarto del mediodía con un curso de 1º ESO. ¡Qué horarios! ¡Qué falta de respeto a estos 18 chicos y chicas! Seis horas fingiendo educadamente interés y atención ...

I Corto. Me iba del tema nada más empezar. Lo cierto es que ese día no fingían nada. Habían construido ya mosaicos semirregulares y estaban familiarizados por tanto con el fragmento que muestra la figura 1. Pregunté por el número de vértices y Jorge contestó 36. Es claro que no se dio cuenta de que contaba dos veces muchos de ellos, pero era Jorge, y su contrastada competencia matemática fue suficiente para que la mitad de la clase decidiera que ya no hacía falta seguir pensando. Natalia expresó con rotundidad esta convicción.

Afortunadamente Lidia, siempre peleando por aclararse, indicó desde el fondo del aula, ante la incredulidad del citado 50%, que sólo eran 28. Su estrategia de recuento no era muy especial – había ido vértice por vértice cuidando de no olvidar ninguno – pero alabé su búsqueda de un criterio propio más allá de las opiniones ajenas Fig. 1 previas. Ariana, con clarividente contundencia, explicó que sólo había que tener en cuenta cinco cuadrados y ocho vértices sueltos de los octógonos.

Afortunadamente también, la lucidez de Jorge le permite aceptar sin problemas sus errores. Mejor aún: le permite no creerse lo que se cree el 50%. Así que todo salió bien: para la coeducación y para lo que podríamos llamar la construcción democrática del conocimiento (individual y colectivo).

La siguiente propuesta fue pedirles que buscaran todos los cuadrados que pudieran de forma que sus vértices fueran cuatro de esos 28. Quería trabajar no sólo el orden y la exhaustividad al efectuar un recuento sino también luchar contra las limitaciones subliminales que se producen como consecuencia de esa tradición cultural que hace que un cuadrado aparezca casi siempre apoyado sobre uno de sus lados. Encontraron 31, y todos, chicas y chicos, tuvieron especial empeño en mostrar a los demás sus hallazgos desde la pantalla del retroproyector.

El siguiente problema fue más clásico en cuanto a su petición, aunque no en cuanto a la libertad de elección que permitía su enunciado. Tomando el lado de los octógonos (o de los cuadrados; fig. 1) como unidad de medida, se trataba de obtener el perí1 Publicado en el número 26 de la revista Ada Byron (2002), editada por la Organización para la Coeducación Matemática Ada Byron.

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metro y la superficie de tres de esos 31 cuadrados. Cada cual podía seleccionar los que quisiera. Hay que tener en cuenta que la gran mayoría no conoce todavía el llamado teorema de Pitágoras: la libertad de elección era obligada. Disponían sin embargo de técnicas que no Fig. 2 había explorado didácticamente hasta este año y que me parece que hacen camino hacia Pitágoras. Todo había empezado cuando, sin ningún problema, determinaron el área del cuadrado de la figura 2.

La trama permitió ver cinco cuadraditos unidad en su interior, y la comparación –mediante una tabla– entre los lados y las áreas de diversos cuadrados llevó a bastantes a concluir que el lado era 5 . ¿Hay que advertir que el que alguien concluya algo acertadamente –incluso si ese alguien es un adulto– no es motivo suficiente para que una semana después lo recuerde con claridad? Hay que dar ocasiones a la mente de revisar lo que va construyendo, y en esta dirección iba mi propuesta de medir tres cuadrados. Por ejemplo, ABCD y PQRS (fig. 1) proporcionan dos buenas ocasiones para profundizar en la idea utilizada en el cuadrado de área 5. Imagino que buscarán primero la longitud de los lados y después la superficie; para esta última, por supuesto, está la calculadora. Pero siempre espero alguna sorpresa de este curso. No puedo contaros el final, porque dos actividades inesperadas nos llevaron sin clase de matemáticas hasta el timbre de las vacaciones de Semana Santa.

II A pesar de su ingenuidad, una historieta como la anterior dista mucho de ser habitual. El centro de atención de la clase no estaba en la pizarra sino en el centro físico del aula, entre el grupo de alumnas y alumnos. La implicación en el análisis de las situaciones propuestas –casos difíciles al margen– era alta. Las preguntas preocupaban a todo el mundo.

Pero un clima como éste no surge de forma espontánea, entre otras cosas porque nueve años de permanencia en el sistema educativo son un lastre muy fuerte que condiciona hacia la receptividad pasiva. Un clima de trabajo y tolerancia sólo es posible si se intenta ganar desde el primer día como un objetivo fundamental, con el convencimiento de que es más importante que las propiedades de un cuadrado, la cantidad de divisores de un número o el teorema del coseno. Pero hay más: las buenas intenciones no bastan, hay que elegir adecuadamente las propuestas de trabajo. En la terna investigación – problema – ejercicio, la calidad desciende por ese orden. Un ejercicio, por definición, no deja de ser una actividad de amaestramiento. El pensamiento necesita espacios abiertos para crecer; el diálogo sobre temas menores producirá resultados menores (el adjetivo “menor”, por supuesto, está condicionado al nivel académico y particular de la clase). Afortunadamente hay muchas investigaciones y problemas posibles, y bastantes ejercicios pueden abrirse hasta convertirse en problemas. Afortunadamente también, casi todo puede ser un problema, por lo menos cuan60

do se empieza. Hay que rechazar la idea de que todo esto sólo es válido para contextos “alternativos” de trabajo pero no para los “serios”. Los “alternativos” no deberían tener este carácter ni la “seriedad” en sentido tradicional es un enfoque deseable. Los “serios” sólo son necesariamente “serios” por las penosas exigencias que introducen en los procesos de enseñanza-aprendizaje las ridículas imposiciones de los/as burócratas de turno.

III Las piezas poligonales con las que construimos los mosaicos nos permitieron obtener la medida de los ángulos de los polígonos regulares de 3, 4, 6, 8 y 12 lados mezclando observación y razonamiento. Un ejemplo: puesto que en cada vértice del embaldosado de la fig. 1 concurren un cuadrado y dos octógonos, el ángulo de éste deberá ser la mitad de 270º. Tuve que sugerir yo esta técnica porque el bloqueo llegó a hacerse general. Pero la explicación tuvo éxito, así que me animé a pedirles que completaran la siguiente tabla.

Número Ángulo del Total del de lados polígono polígono ---------------------------------------------------------------------------3 60 180 4 90 360 5 6 120 7 8 135 9 10 11 12 150 n La novedad no era por supuesto la actividad en sí misma, sino el hecho de que nunca la había lanzado en 1º ESO. Me preocupaba sobre todo el efecto que pudiera producir la “n”. Ya había hecho algún intento de trabajar con ella y sólo había sido aceptablemente interpretada por la mitad de la clase. Les advertí que podrían obtener resultados en la segunda columna, y pasar después a la tercera, o al revés.

Puesto que la observación de regularidades en tablas era ya una técnica habitual, la mayoría encontró cómodo conjeturar –apoyándose en el aval del hexágono y el octógono– que la tercera columna avanza de 180º en 180º. Sergio fue el primero y, como quería poner en cuestión su confianza en la inducción, le pedí garantías ... que no dieron ni él ni sus colegas porque su línea de trabajo no podía darlas y no fueron capaces de cambiarla. Realmente es difícil que comprendan la necesidad de hacerlo ... [Por cierto: las seguridades se obtienen fácilmente pensando en dónde van a para los 180º que 61

añade cada lado que se aumenta. ¡Pero no lo había pensado nunca!] ¿Y el resto? Un grupo de chicas eligió obtener conclusiones a partir de la segunda columna, y conjeturó deductivamente (en clase decimos “razonó al estilo de Sherlock Holmes”) para obtener los ángulos para 5, 7, etc. Como las explicaciones de Ariana indicaban claramente que comprendía la validez general del método que empleaban, le propuse que llegara directamente al resultado correspondiente a “n” lados. Lo consiguió, y al comparar con las obtenidas por los chicos nos encontramos con expresiones de aspecto muy dispar que sorprendentemente producían resultados análogos.

La sorpresa, claro, venía de la dificultad para establecer la igualdad entre ellas, dadas las limitaciones que todavía tienen al operar con el cálculo simbólico.

A la hora de la puesta en común quería atender a varias cosas. Había que comentar los dos métodos, reconocer el mérito a sus inventores1 y ocuparse de que tuvieran reconocimiento dos chicos que empezaban a subir la calidad de su trabajo. No podían salir todos y si hablaban Alejandro y Fernando me quedaba sin chica. Así que Alejandro explicó el método de Ariana y Fernando el de Sergio. Afortunadamente, otra vez, me parece que las cosas quedaron bien para la coeducación.

IV La mente no suele avanzar en línea recta. A estas alturas conozco la importancia de saber responder a las “preguntas tontas”. Los triángulos que habíamos empleado eran equiláteros, y puesto que se pueden juntar seis en un vértice, cada ángulo es de 60º y hacen 180º entre los tres. Pregunté qué habría ocurrido si no hubieran sido equiláteros. Contestaron que la suma es 180º porque “una vez les enseñaron una especie de puzzle”. Mostré el puzzle con el retroproyector, hecho con los triángulos regulares, y me dijeron, claro, que con triángulos no equiláteros no sería posible. Bien: hubo que hacer el puzzle con escalenos al día siguiente. Una vez dado este paso, pensé que era un buen momento para descender del nivel de investigación, en el que habíamos estado en la tabla anterior, al de problema. Propuse obtener el valor de los ángulos definidos por las líneas de la figura 3. Y más adelante, una vez que explicaron esto en clase, descendimos al de ejercicio en un trabajo individual, pidiendo lo mismo para el caso de la figura 4.

Fig. 3

Fig. 4

1 Las ideas circulan por el aire con rapidez cuando alguien las ha pensado, y es verdad que tiene que ser rein-

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terpretadas por cada uno y cada una, pero también que ha habido quien les ha dado rienda suelta por vez primera.

V No me parece que desde la preocupación coeducativa el problema sea la preferencia por la geometría frente a los números, o al revés. Estos y aquella son festejados o rechazados por alumnas y por alumnos, dependiendo en cada caso de circunstancias muy particulares. Las sutilezas anteriores son las que diferenciarán una clase coeducativa de matemáticas de otra que no lo sea. En realidad, fundamentalista como soy, me siento inclinado a pensar que diferenciarán a una clase de matemáticas –así, sin adjetivos– de cualquier simulacro más o menos burocratizado. Como sugirió Polya, y en su línea sugieren las historietas anteriores, el diálogo y la construcción democrática del conocimiento en una clase de matemáticas pasan por la recuperación de los procesos inductivos y por el convencimiento de que las matemáticas, en última instancia, se fundamentan en la experiencia.

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EL IRRESISTIBLE ENCANTO DE LA ARTESANÍA ¡Todo el curso sin decir nada! ¡Qué difícil arrancarle una palabra a Alberto! El caso es que parecía que pensaba, pero si lo hacía, nunca escribiendo algo. El 80% de los días su papel terminaba la clase en blanco. Imaginad mi desesperación porque, además, los intentos de diálogo no dieron nunca resultado. Estoy hablando de un tipo de 3º ESO. De vez en cuando generaba sorpresas. Como cuando propuse a la clase que sumara los cien primeros números y no di ninguna información. Las correctas y convencionales chicas del fondo me riñeron durante casi un cuarto de hora recriminándome que así no se hacen las cosas, que cómo iban a hacerlo si no sabían qué había que hacer. Me defendía –explicando la diferencia entre problema y ejercicio– pero aquí, aunque por motivos distintos, tampoco funcionaba el diálogo. Ya estaba dudando si merecía la pena prolongar la situación y, en caso de que decidiera que no, qué actitud adoptar, cuando al pasar por el puesto de Alberto vi escrito, así, escuetamente, el número mágico: 5050. Le pregunté cómo lo había hecho –esta vez sí acertó a explicármelo– y anuncié a toda la clase que alguien lo había resuelto. El acierto de Alberto resultó más convincente que mis alegatos sobre la necesidad de resolver problemas.

Y así todo el año: una parálisis externa que sin embargo dejaba entrever en algunas ocasiones –sólo en algunas– una cierta actividad interior no plasmada en el papel.

A principios de mayo decidí que me rendía, que se me escapaba Alberto.

Y llegamos al último examen del curso. En principio prefiero no hacer exámenes, pero no siempre es posible. Hay alumnos y alumnas que prefieren los exámenes porque así “tienen que trabajar menos”, hay quienes van a clase particular y los trabajos que entregan llevan la marca de una convencional (matemáticamente) persona adulta, etc., etc. Así que según como sean las características del grupo, hay que hacer exámenes; y las cosas van a peor desde este punto de vista. Los alumnos y alumnas funcionarios quieren exámenes y cada vez parece que aumenta su número ... En fin, siempre hay salida: si el examen se hace con los apuntes encima de la mesa, entonces aumentan las posibilidades de descargar de burocracia un actividad burocrática donde las haya. También mediante la corrección posterior, claro.

Me voy. Estábamos en que llegamos al último examen. ¿Qué hizo Alberto?

Inevitable: lo de siempre. Pero en su limpia hoja aparecía una breve explicación de uno de los problemas y la solución –¡¡sólo la solución!!– del que había resultado más difícil a toda la clase. De hecho, nadie lo terminó bien, y la mayoría prefirió centrarse en otros de aspecto más burocratizado. Veamos el problema: Zigzag vertical ¿Qué superficie tienen los “picos” rayados? ¿Cuál es la distancia entre A y B? [Trabaja sin calculadora, please. A ver qué se te ocurre hacer ...]

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Fig. 1

Habíamos dedicado tiempo a medir superficies contando cuadritos en la trama cuadrada y a calcular distancias construyendo un cuadrado sobre ellas y observando su superficie para después extraer la raíz cuadrada1. Pretendía con ello recuperar algo del sentido común que se pierde al aplicar burocrática y prematuramente las distintas fórmulas –por ejemplo, recordar en qué consiste medir una superficie– y preparar el camino para (en este caso) recordar el teorema de Pitágoras. De hecho, después de haber tenido ocasión de recurrir a él para resolver varios problemas, yo esperaba que aquí hubieran hecho algo parecido a aplicarlo en el triángulo ABC. Como AC=1’5 2

y

CB=0’5 2 , pedía yo irónicamente que no emplearan la calculadora, porque sabía de las resistencias que habían puesto a operar con radicales.

Pero mis previsiones se fueron abajo. Es cierto que cuando inventé el zigzag me preguntaba si no sería una situación muy complicada ... no por su resolución, sino porque no es el tipo de enunciados que les guste, –aunque hayan tenido ocasión de ver otros semejantes– a alumnas y alumnos funcionarizados. Sólo contestó Alberto, pero su respuesta –¡¡correcta!!– era un lacónico

Fig. 2

5.

Al día siguiente, mientras comentábamos en clase los distintos problemas, le pedí que fuera a otra aula. Allí, él solo, tenía

una hora para explicar por escrito cómo había llegado a su 5 .

Además, esta vez no tenía escapatoria: seguiría allí hasta que escribiera algo. Me gustó mucho su redacción, con esos dibujos y esas grafías que me resultaron muy delicados. Como quizás no se entienda su letra, expondré aquí los pasos de su razonamiento.

- “Si lo que indica la flecha” (fig. 1) “es 2 , cada lado del cuadrado será 1”. Se refiere, claro, a cada uno de los cuadrados (fig. 3) que ha construido a partir del zigzag.

- Como cada uno de esos cuadrados se puede descomponer en 8 partes iguales (fig. 3), cada una de las cuales es igual a un “pico” del zigzag, cada pico mide 0´125 de superficie.

- El cuadrado de la fig. 4, cuyo lado es la distancia AB, tiene de área 5, porque cada uno de los triángulos coloreados tiene de área 1. Por tanto la distancia entre A y B es 25 .

Fig. 5 Fig. 3

Fig. 4

1 Como en la figura 2 del artículo “¿Qué matemáticas son coeducativas?”.

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Entonces me enteré –él nunca había dado pista alguna– de que Alberto no parecía haberse quedado con el teorema de Pitágoras pero sí con los métodos artesanales que habíamos usado previamente. Creo que es un poco fuerte que no aplicara el teorema al triángulo de la figura 5, pero seguro que muchos alumnos y alumnas de cursos más altos son incapaces de “ver” la retícula de cuadrados que él encajó en el zigzag del problema.

Desde luego, Alberto aprobó el curso. Había hablado muy poco, es verdad, pero el encanto de la artesanía es irresistible.

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ME LLAMO BALA RASTREADORA I

¡Un caso difícil para Bala Rastreadora! Empecé a reírme en la séptima viñeta y ya no pude parar hasta el final. Este entrelazado temporal de la realidad ficticia del detective-alumno y la realidad-física de la cliente-profesora debería figurar en cualquier tratado de pedagogía. A lo largo de cuatro tiras más, el investigador privado rastreará un número que resuelva su caso y que finalmente encontrará en el archivo numérico de su despacho: 1000000.

Pero, ¿por qué la risa (mi risa, la tuya, si se ha producido)? Porque nos han mostrado el contraste de mundos en que se encuentran Calvin y “la dama persuasiva”. En un aula normal, una escena como la de viñeta siete sería valorada como un descaro intolerable por parte de un mal alumno. En la realidad de la escuela, éste no dispone de la ayuda que en la ficción del tebeo le proporciona un guión que, si no toma partido explícitamente por él, al menos explica que en ese momento se encuentra muy atareado. He cometido ya un desliz en el primer párrafo: llamar “realidad ficticia” a la que ocupa en un determinado momento la mente de Calvin. Desde la ideología cientista en la que estamos inmersos, lo que no es directamente tangible es despreciado.

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Calles mojadas, como sin duda lo son las que conducen a la respuesta de un problema de matemáticas. Y preguntas clave: “¿quiénes eran esos fulanos?”. No anda mal encaminado el dibujante: la psicología del aprendizaje hace tiempo que advierte que no es didácticamente eficaz plantear problemas descontextualizados. Recuerdo una significativa conversación con un curso de alumnos y alumnas del anterior 1º de bachiller (15 años). Les pedí algo así como que buscaran todos los puntos que están a igual distancia de dos puntos dados, A y B. Pues bien: como mucho, localizaban el intermedio entre ambos. Una feliz intuición me hizo cambiar la pregunta: Luisa ha hecho su casa en este sitio (marco un punto L en la pizarra) Antonio en este otro (marco un punto A). Ana quiere hacer la suya en un lugar desde el que le cueste lo mismo ir a casa de cualquiera de sus dos amigos.

Tenían quince años, sí, bastantes más que Calvin. ¡A los cinco minutos todo el mundo había dibujado la mediatriz! ¿Acaso los adultos no soñamos –en especial en conferencias o en cursos de formación que no nos interesan lo más mínimo– convirtiéndonos en cosas más ridículas que un detective de novela por más que estén socialmente más consideradas?

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No he forzado en absoluto mi defensa de Calvin. La aventura de Bala Rastreadora, en las condiciones en que está descrita, tiene que ver con el enorme e inmoral desdén de los sistemas educativos ante las realidades sociales, psicológicas y afectivas de alumnas y alumnos de todas las edades. Por eso su fuerza transgresora y reivindicativa.

II He pasado esta historieta en varios cursos de ESO (3º y 4º) y de 1º de bachillerato. Por lo general, no se reconocen en el personaje y me piden que se la explique. ¿Quizás la huida ensoñadora de los adolescentes no tiene tintes tan novelescos? Aceptémoslo.

Pero tengo conjeturas más inquietantes. Es posible que la preocupación por la nota haya llegado a un punto tal que ni siquiera les permita soñar en no hacer un problema ... aunque luego haya realmente quienes no son capaces de ello, ya sea por su dificultad o por la inercia paralizadora acumulada con los años, tanto respecto a las matemáticas como ante el trabajo en general. Es posible también que el aumento de las exigencias de sumisión al sistema para poder progresar en él reduzca la capacidad para captar la ironía.

Es posible que, más que alumnos y alumnas Calvin, sean necesarios con urgencia profesoras y profesores capaces de transmutarse en Bala Rastreadora.

70

LA CONVINCENTE FUERZA DE LA IMAGEN1 Abro uno de aquellos libros de tapas duras, texto apretado y de aspecto austero, y abstracto y atractivo diseño en su portada, de la editorial Mir. Encerraban mucha sabiduría matemática. En este caso se trata de V. Lidski y otros: Problemas de matemáticas elementales. Lo de “elementales” debe ser porque fueron propuestos a los “graduados de las escuelas secundarias” en los exámenes de ingreso al Instituto Físico – Técnico de Moscú . Leído esto, el título resulta casi ofensivo para lectores y lectoras –si se pueden emplear estas expresiones a propósito de un libro de problemas de matemáticas– españoles.

I 2

En el capítulo de trigonometría encuentro al azar un enunciado de aspecto tolerable. El problema número 551 dice: Demostrar que

cos

2π 1 π − cos = 5 5 2

¿A quién se le ocurrirán estas cosas? Pero el caso es que tanto el 1/2 como el π /5 resultan atractivos, así que pienso un poco: puesto que π /5 es 36º, estamos ante una relación entre los cosenos de 36º y 72º. Si dibujo un pentágono regular y otro estrellado con el mismo centro, tendré una abundante colección de ángulos con estos dos valores. Esto se anima.

Fig. 1

Fig. 2

En la figura 1, DBC=36º y ABC=72º. Están juntos y podría comparar sus cosenos en los triángulos que resultan al trazar la vertical AD (fig. 2), pero las hipotenusas son diferentes y perderé una demostración visual. ¿Será posible conseguir tanto? Para empezar, tengo que elegir una unidad. Me decido por el lado: BC = 1. Tiene la ventaja de que es un 1 que lo puedo colocar en muchas posiciones. EC y FE, por ejemplo, también valen 1 (fig. 3).

Se trata ahora de observar con cuidado. No creo que me sirva de mucho el 1 de 1 Publicado, junto con la primera parte del capítulo siguiente, en el número 45 de la revista SUMA (febrero 2004).

2 La edición en español es de 1978.

Fig. 4

Fig. 3

FE. Más interesante me parece que FA =1, porque AFE=36º. ¡Ya está!, ya tengo el primer sumando. En la figura 4 se puede ver que FG = cos π

.

5

Para cos

2π 5

cos

2π 5

puedo tener en cuenta que AFC=72º y FA =1, pero aparecerá

en el segmento FC. ¿Cómo compararlos? Ya veremos; de momento dibujo (fig.

5). ¡Están casi juntos!

FG = cos

π 5

y

FH = cos

2π 5

.

Fig. 6

Fig. 5

Bueno, no es tan difícil ponerlos sobre la misma recta. Lo puedo hacer mediante una circunferencia de centro F y radio FH (fig. 6). De manera que cos

2π π − cos = FG − FJ 5 5

. Quiere decir esto que el segmento JG deberá ser 1/2. ¡Y sí, ciertamente lo es! Está claro (fig. 7).

¿Está claro? ¡Alguna garantía habrá que buscar! Veamos: si el lado del pentágono regular es 1, su diagonal mide el valor del número áureo,

Φ =

1+ 5 2

. Como QP =1

(fig.8), entonces FQ = Φ -1 y su mitad (FQB es isósceles) es justamente cos 72º, como puede comprobarse con la calculadora.

II 72

Fig. 8

Fig. 7

Voy a las soluciones y miro a ver cómo demuestran los autores del libro y –supongo– los candidatos a estudiantes del Instituto Físico – Técnico de Moscú, que la diferencia entre los cosenos de 36º y 72º es justamente 0´5. No me resisto a incluir su argumentación.

Parten de la fórmula cos

2π π − cos 5 5

2 cos

π π sen 10 10

como

2 sen

cos x − cos y = − 2sen

3π π sen 10 10

x+ y x−y sen 2 2

, para expresar

. Multiplican esta expresión y la dividen por

, y emplean la fórmula de sen2α para llegar a 3π π sen sen 2π π 5 5 cos − cos = 3π π 5 5 2 cos cos 10 10

Como

cos

3π π π ⎞ ⎛π = sen⎜ + ⎟ = sen 10 2 10 5 ⎝ ⎠

,y

cos

3π 3π ⎞ π ⎛π = sen⎜ − ⎟ = sen 10 5 ⎝ 2 10 ⎠

, conclu-

yen que el resultado es 0´5. ¡Flipante! Un ejercicio de estilo que demuestra pero no convence de nada. Puro formalismo desprovisto de significado. Me temo que no habría sido admitido en el Instituto Físico – Técnico de Moscú.

III Al comienzo de este escrito he ironizado al preguntar a quién se le puede ocurrir que la diferencia entre los cosenos de 36º y 72º es justamente 0’5. La sorpresa, más que la ironía, me surge cada vez que abro un libro de problemas de matemáticas, motivada por esos infinitos listados de igualdades y ejercicios descontextualizados.

Pues bien: en este caso es posible saber que la igualdad en cuestión se re-monta, por lo menos, al siglo X. Probablemente figurara en alguna obra de Abu-l-Wafa, como una etapa en el camino hacia el valor de . En el apartado que G. Gheverghese Joseph 73

(“La cresta del pavo real”. Pirámide, 1996) dedica a la trigonometría árabe se puede ver otra construcción para llegar a ella (página 459). Gheverghese incluye el dibujo en su texto sin explicar cómo se obtiene el resultado. No sé si Abu-l-Wafa lo “vería” o recurrió a semejanzas de triángulos a partir de las cuales conseguir el 0’5 de la diferencia entre los cosenos, pero su triángulo permite “verlo”.

Si AB = 1, entonces AD = CD =1, y CA = 2 cos 36º . Además, BP = cos 72 º , luego CB = 1+ 2 cos 72º .

Así pues, 2 cos 36º = 2 cos 72 º+1 .

Si se gira la figura de manera que el triángulo se apoye en CA, se observa que es el mismo triángulo isósceles FAE de la figura 3; pero ahora hemos tomado como unidad su lado pequeño. Todo esto, en definitiva, no son más que variaciones sobre el hecho de que Φ = 2 cos 36º .

No creo que Abu-l-Wafa siguiera esta argumentación, pero me temo que tampoco la del Instituto Físico-Técnico de Moscú.

74

¡VEO EL SEN 2X! I

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 6

Figuras 1 y 2: Una tentación habitual, sen 2x = 2 senx , que se puede rechazar con un simple contraejemplo numérico pero que es instructivo visualizar. En la fig. 2 se ve que MS =

1 sen2 x < BT = senx .

2

75

Figura 2: sen2x=2senx cosx quiere decir que la proporción entre OA y OT = cosx es la misma que entre BT = senx y CT. Ciertamente, a simple vista, OT puede ser un 80% del radio en el ejemplo de la figura, y CT puede ser un 80% de BT. Al multiplicar senx por cosx lo estamos reduciendo en un 80%.

Figuras 3 y 4: Una intuición: si giro el triángulo OBT un ángulo x, el punto T coincidirá justamente con el punto R. ¡Cierto!

Figura 5: Pero es lógico que así sea.

Figura 6: En PMR se ve cómo el factor cosx proyecta senx a la dirección vertical, convirtiéndolo en

1 sen2 x . Por tanto, sen2x=2senx cosx.

2

Si, ya sé que no he descubierto nada nuevo. Pero hace tiempo que quería visualizar –ver con mis ojos, de la misma forma que Santo Tomás quiso sentir la llaga con sus manos– cómo el factor coseno evitaba la proporcionalidad 2 entre el seno de un ángulo y el de su doble. Había visto otras construcciones (por ejemplo, en Roger B. Nelsen3), pero quería una que lo probara con el cuadrante que habitualmente dibujamos en clase.

Sí, ya sé que no es más que un caso particular de la que se suele hacer para demostrar la fórmula de sen(x+y), pero me ocurre que ahora, después de este caso particular, entiendo mejor la otra que, además, no la había particularizado. ¿Qué por qué no lo hice? Porque cedí a las tentaciones de la deducción: no era más que un simple caso particular de sen(x+y) que se obtenía por aritmética elemental. ¿A quién le cuento que he tardado tanto tiempo en sentir experimentalmente la fórmula del seno del ángulo doble? ¿Rebajaréis por ello mi prestigio profesional? ¿Os acordáis de Dieudonné y sus diatribas contra la trigonometría? Los globalizadores1 actúan siempre así, despreciando la belleza de lo particular que queda anulada en sus construcciones teóricas. Pero “lo general no existe más que en lo particular, a través de lo particular” y “toda cosa particular es (de alguna manera) general” 2.

Nuestra creatividad didáctica, motivada por la ambición intelectual y el atrevimiento, necesita tanto de los esquemas generales en los que insertar nuestro trabajo como de la inesperada belleza de la artesanía. Es más: sin esta última, el riesgo de que aburramos es muy alto.

II El caso es que si se “ve” sen2x, seguro que se “ve” también cos2x. Lo supuse hace tres semanas, cuando escribí el apartado anterior, pero entonces no sentía –“sentía” es una palabra importante– que me fuera a resultar sencillo. Me paralizaba un poco el que en la igualdad para cos2x, senx y cosx figuren al cuadrado. Interpretaba ambos sumandos como áreas y, sin rechazar que fuera posible, no intuía cómo podría formar 1 Ya sea en matemáticas, en didáctica o en política.

2 Lenin (con perdón).

76 3 Roger B. Nelsen: “Demostraciones sin palabras”. Ed. Proyecto Sur. Granada, 2001.

un triángulo rectángulo cuya hipotenusa fuera cosx y uno de sus catetos cos2x. Tres semanas después, trabajando con un grupo de 1º de bachillerato sobre las figuras anteriores para sen2x, se me abrió la pista que ocultaba esta inconsciente y poco acertada interpretación: sen2x aparece como un segmento en el triángulo PMR de la figura 6.

Si cosx proyecta PR=senx sobre PM, entonces senx proyecta a senx sobre MR. Así pues, MR=sen2x. Lo que queda es fácil: OH (fig.7) tiene que ser cos2x para que cos2x=OS=OH-SH=cos2x-sen2x . Pero es claro, porque en el triángulo ORH se observa que cosx proyecta OR=cosx sobre OH=cos2x.

Fig. 7

Fig. 8

Cuando se la comento, mi amigo Carlos Usón me advierte que esta última construcción sí que aparece en algún libro de texto. Parece que todavía quedan irreductibles que se resisten a abandonar la realidad (la geometría) como referente último. Pero todavía hay más. En la figura 8 queda claro que SH=HA y, por tanto, 2 OS = cos 2 x = OA − 2SH = 1 − 2sen x. De la frialdad del intangible cálculo simbólico [ cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x = 1 − sen 2 x − sen 2 x ] a la calidez de lo evidente. Parece claro, sin embargo, que para “ver” la tercera opción [ cos 2x = 2 cos2 x − 1 ] habrá que añadir algunas líneas al dibujo ... pero no serán tantas, porque inesperadamente encuentro otra forma de visualizar aquello de sen2 x + cos 2 x = 1 como una suma de segmentos en vez de una relación pitagórica: ¡¡OH+HA=1!!. De manera que si marco el simétrico del punto O respecto del segmento RH, el punto Q de la figura 9, resulta: 2

2

2

2

cos 2 x = OS = OQ − SQ = 2 cos x − (SH + HQ ) = 2 cos x − ( sen x + cos x)

Fig. 9

Fig. 10

77

Llegado a este punto reviso mis entusiasmadas conclusiones del apartado anterior: quizás aburra en el aula si insisto en exceso por este camino. Pero ese ya no es el problema, la didáctica ha pasado a segundo plano. Necesito “ver” también tg2x .

Empecemos desde el principio (fig. 10): ciertamente, GA ≠ 2JA . Si duplicamos tgx (segmento AL de fig. 11), encontramos la primeras relaciones interesantes. PJ es perpendicular a OP , porque OJ es bisectriz de 2x. Así pues, PJ=tgx y el triángulo PJL es isósceles. Lo sorprendente es que su lado distinto, LP, parece paralelo a OJ. En efecto, PJˆA = 180º− 2 x , de manera que PJˆL = 2 x y, por tanto, PLˆ J = PJˆO = 90º− x .

Fig. 11

Me hace falta un segmento equivalente a tg2x, pero el caso anterior de cos2x ha servido para coger algo de práctica en la búsqueda de segmentos cuya longitud sea el cuadrado de una razón trigonométrica. La mediatriz de PL (fig. 12) me permite formar el triángulo JAV en el que tgx proyecta a JA=tgx sobre la horizontal, con lo que

Fig. 12

Fig. 13

AV=tg2x. Para construir 1-tg2x traslado AV al punto O (fig. 13): AW=1-tg2x.

Todo encaja ahora rápidamente. La prolongación de PL cae justamente en el

78

punto J´(fig. 14) y WL es paralela a OG (fig. 15). En el triángulo LWA queda claro que tg 2 x =

LA 2tgx 1 . En definitiva, es la razón de semejanza entre los trián= 2 WA 1 − tg x 1 − tg 2 x

Fig. 14

Fig. 15

gulos OGA y LWA [o entre G´WV y LWA (fig. 16)].

Pero el paralelismo entre WL y OG me resulta todavía una intuición certera y no una seguridad, así que (fig. 17) no está de más asegurarse de que cuadran los valores de los

Fig. 16

Fig. 17

ángulos. ¡Qué trama tan perfectamente montada subyace debajo de una fórmula un poco pasada de moda y que incluso en sus mejores recientes tiempos tampoco gozó del privilegio de una especial consideración! ¡Qué falta de respeto a la vida (sí, creo que no exagero, que se puede decir “a la vida”; ya haremos las matizaciones filosóficas pertinentes en el bar) si queda relacionada sólo con un desapasionado proceso aritmético!

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III Volvamos a nuestro eterno y profesional punto de partida. ¿Acaso esa “falta de respeto” es comprensible porque nuestros alumnos y alumnas encontrarían muy duro todo lo anterior? Quizás. En cada curso hay que elegir lo que se puede y no se puede proponer. Pero a poco que se intuya que pueden picar, ..., ¿por qué no echar el anzuelo?

Fig. 19

Fig. 18

Hasta puede que sigan por su cuenta ... π 2

Hasta ahora había justificado la igualdad tgxtg ( x + ) = − 1 [o, si se quiere, que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es –1] mediante la comparación de parejas de triángulos como OPP’ y OQQ’ de la figura 18. Mikel fue hace unos días mucho más contundente. Razonó (fig. 19) de la siguiente manera: π⎞ ⎛ TQ' ' = tg ⎜ x + ⎟ y RP´´´=ctgx. OTQ’’ y ORP’’’ son iguales. Por tanto, 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ tg ⎜ x + ⎟ = − ctgx . Explicó que, para verlo, bastaba con girar 90º el triángulo OQ’’T. 2⎠ ⎝

Bueno, en realidad no explicó nada. Simplemente mostró su dibujo, como si fuera un antiguo matemático indio. Él dice que lleva el laconismo en los genes, pero me temo que recurre a este supuesto condicionante como excusa para evitarse el esfuerzo de utilizar la palabra y el cálculo.

Me encantó su propuesta y, además, me permitió dar con otra forma de justificar el resultado, aplicando el teorema de la altura al triángulo rectángulo P’’OQ’’. ¡Qué bien trabada está la trama! Como en las novelas de Raymond Chandler.

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OTRA VEZ SE OYE HABLAR DE VICTORIA1

General, tu avión es poderoso, vuela como tormenta y destruye la ciudad.

General, pero tiene un defecto: necesita un hombre que lo pueda pilotar.

Bertolt Brech

I Febrero de 2003 Desde que tengo uso de razón política –la época del golpe de estado en Chile– todos los presidentes norteamericanos se han embarcado de forma directa en empresas militares sangrientas. Indirectamente, es decir, guardando con hipocresía las apariencias formales, han sostenido multitud de regímenes dictatoriales que han producido auténticas masacres entre su población. En los últimos años el grado de cinismo ha crecido exponencialmente; el de barbarie sigue constante, pero el hecho de que su justificación forme parte de la teoría hace que la situación sea mucho más dura.

Tomando como excusa el terror del 11 de septiembre, la invasión de Afganistán se desarrolló con el beneplácito de los creadores de opinión convenientemente tolerados y mantenidos por el Poder. Nuestras vidas, mientras tanto, siguieron su curso. Más agitadas, es cierto, con una fuerte sensación de que el mundo giraba a peor y de que las consecuencias serían imprevisibles a medio plazo, pero la rutina se mantuvo. Y así, seguimos ocupándonos de nuestros silenciosos intentos de microrrevoluciones didácticas.

Se suponía, se supone, que todo eso dejará un poso; que nuestras posibilidades de actuación no dan para más. Y es cierto: somos débiles y limitados. No podemos cortar por lo sano los ejercicios de barbarie del Poder. Pero la pregunta es si, ante tanta agresión a la vida, ante tanta cultura de la fuerza formando con el ejemplo, la publicidad y la propaganda, las mentalidades de nuestros alumnos y alumnas, los logros didácticos en el campo de la introducción al álgebra –es un decir– sirven para testimoniar la necesidad de un mundo más solidario. A fin de cuentas, las ciencias, el pensamiento y la historia forman también parte de las herramientas que utilizan ahora mismo los medios de adoctrinamiento –oficialmente de comunicación– para convencernos de la inevitabilidad del mundo real. ¿Por qué suponer que un/a adolescente asociará la belleza de la generalización que ha desarrollado por la mañana en un contexto numérico, o el disfrute de un poema de Cernuda –en el supuesto, claro está, de que tengan acceso a estas lindezas y no hayan sido absolutamente sometidos/as al chapapote didáctico habitual–, con la posibilidad de imaginar un mundo mejor? ¿Acaso era sana la ideología del ensalzado y exquisito Herbert von Karajan?

El conocimiento, por sí solo, no es suficiente para producir personas solidarias.

Necesita ir acompañado de la explicitación de unas intenciones. Desde este punto de vista, nuestro silencio exterior ante la barbarie, la potencia. La justifica, no porque la apoyemos directamente, sino porque al evitarla sin crítica le damos de alguna manera 82

1 La primera parte de este escrito se publicó en el número 78 de AULA LIBRE (marzo 2003).

el visto bueno. En Amén, la última película de Costa Gavras, un pastor protestante al que acude un SS alemán para testimoniar escandalizado sobre las barbaridades que ha tenido ocasión de observar, termina aconsejándole algo parecido a: “Dichoso quien no ve lo que ocurre, porque así no se ve en la obligación de actuar”.

Imagino una situación posible dentro de un mes. EEUU ataca Irak la misma semana en que planteo a mis alumnas/os de 4º ESO un atractivo problema: colocar en forma de cuadrado mágico multiplicativo los 16 divisores de 216. Supongamos además que la propuesta genera entusiasmo. ¿Es razonable que mi trabajo en el aula contribuya de esta manera a alejar la atención de un tema mucho más importante? ¿Es ético este encierro en la torre de cristal de los números? ¿No sacarían mayor provecho (humano) si optara por dar testimonio de mi oposición a la barbarie? Aprender/enseñar a pensar: de acuerdo. Pero, ¿para qué?

En cualquier caso, será difícil, muy difícil, dar testimonio. Cada vez lo es más.

El peso de la rutina diaria es demoledor; también lo es la soledad. La soledad del lector o lectora de fondo a quien el periódico informa del poder destructor de una cualquiera de las bombas termobáricas lanzadas sobre Afganistán. La soledad de quien escucha en la radio la sorprendente declaración de un alto cargo norteamericano en la que afirma que llegado el caso emplearán armamento nuclear. La soledad de quien se pregunta ¿hasta dónde haremos dejación de responsabilidades? ¿Hasta dónde les dejaremos? ¿Existirá algún tope? Probablemente no. Esa es una de las lecciones de la película de Costa Gavras, quizás por ello menos publicitada que otras que apelan más al sentimiento.

Cuesta mucho decir que NO en solitario.

II 27 – III – 03 Les preocupa la guerra. Les preocupa honradamente. Esta noche hemos hecho un encierro testimonial en el centro: por la mañana han asumido el compromiso adquirido y, tras la hora y media para ir a casa a lavarse y desayunar, han vuelto al Instituto y han soportado con dignidad el chapapote disciplinario de las seis horas de clase reglamentadas. En la segunda tengo tutoría con el curso de 4º. Les he fotocopiado –ayer fue el primer día en el que se nos informó del bombardeo de un mercado en Bagdad– el artículo de hoy de Robert Fisk en La Vanguardia. Quería que supieran que su encierro ha transcurrido alegremente durante media noche, pero que la barbarie continuaba mientras tanto. Quería decirles que desde que alguien da la orden de construir el bombardero, hasta que otra persona aprieta finalmente el botón, se crea una larga cadena –político, diseñador, matemático, técnico, general, piloto– ninguno de cuyos componentes termina viendo quiénes mueren. Quería decirles que las matemáticas sirven (se usan) también para esto.

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ROMBOS CRUZADOS La vieja polémica entre partidarios de la razón o de la experiencia como fundamento del conocimiento humano, siempre renovada en el tiempo con los ropajes propios de cada época, me parece fascinante. Creo en las síntesis, pero son posibles porque existen dos polos entre los que se produce la chispa. La clase de matemáticas es un buen observatorio para comprender la necesidad de ambas aportaciones y la debilidad de una práctica basada en el uso exclusivo de una de ellas. Pero para poder observar algo, claro, tiene que haber diálogo.

I Propuesta de trabajo para un grupo de 4º ESO: Los dos rombos de la figura se cortan formando un octógono. ¿Puedes dar su perímetro y su superficie?

- Describe el octógono. Di todo lo que se ocurra sobre él.

- En particular: ¿Cuántos ejes de simetría tiene?

- Calcula el radio de su circunferencia inscrita. [[[Pregunta tonta: ¿por qué no te pido el de la circunscrita?]]]

En los escritos que recogí, aparecieron varios métodos para obtener el lado y la apotema del octógono. Afortunadamente hubo variaciones. Digo afortunadamente porque me parece una muestra de que se sienten libres a la hora de resolver un problema. Esta libertad la ganan peleando contra sí mismos/as, desde luego, pero es cierto que no entran en la batalla si desconfían de ti, así que también la siento como una conquista mía. Selecciono algunas ideas.

Fig. 1

Fig. 2

Mikel Calle utiliza la semejanza entre los triángulos A´OT y A´OD (fig. 1): 3 OT OD OT = ⇒ = ⇒ OT = 0´3 10 1 OA´ A´D 10 85

Propone también (fig. 2) que el lado del octógono mide 10 4 porque “se ve” en la cuadrícula: A´S = 1 A´D = 1 10 . Para poder “verlo” hizo una ampliación de la 4

4

figura 1 hasta que el punto S coincidiera con un vértice de un cuadrado de la trama (en fig. 2, sin embargo, he reducido el dibujo).

Alejandro Escuer, por su parte, coloca un sistema de coordenadas en el punto O (fig. 1). Entonces la recta AS tiene de ecuación y=-3x+3 ; y la recta A´D, y=-1/3x+1 .

Su corte está en el punto (3/4, 3/4), lo que confirma la conjetura “visual” de Mikel.

Pilar Jarné dibuja un octógono regular (emplea compás) y hace un alarde de virtuosismo calculístico a partir de sucesivas aplicaciones del teorema de Pitágoras. En realidad, nadie ha dudado que el octógono sea regular, pero en los razonamientos anteriores no ha influido esta suposición. Es después, al utilizar los datos obtenidos para calcular el perímetro o la superficie cuando han echado mano de ella. Pilar lo ha hecho desde el principio.

Fotocopio los tres trabajos para que todos/as puedan compartirlos, y les aviso que queda un problema pendiente: el octógono no es regular. La mayoría sigue sin haberse convencido de ello al día siguiente. Por mi parte, preparo una transparencia con tres ampliaciones de la figura. Hay que tener en cuenta que si OA´ = 1, entonces ¡OS = 1´06066!, de manera que para dar opciones a la vista hay que agrandar el dibujo.

Diego Benedé y Alberto Pérez advierten (fig. 3) que A´PC´R está torcido respecto a la vertical común a A´P y C´R que, además, no es mediatriz. Mikel razona (fig.

4) que si D´N = 1, entonces SV = 2 , conclusión correcta a la que ha llegado observando su dibujo ampliado. Como no dispone de una transparencia, indica a sus colegas que rodeen una de las mesas y se lo explica sobre el papel.

Fig. 3

Fig. 4

Comenzamos entonces una interesante conversación sobre la diferencia entre polígono regular, equilátero y equiángulo. Pensamos qué ocurre en el campo de los cuadriláteros y de los triángulos, y observamos el octógono del problema para mirar cuántos ejes de simetría tiene. Terminan volviendo a sus pupitres para dibujar octógonos equiángulos con cuatro y dos ejes de simetría.

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II Todos pecaron de exceso de confianza en los sentidos y en sus propios modelos conceptuales previos. La “vista” les decía que el octógono era regular, pero se lo “decía” porque en sus archivos personales de polígonos no había ningún octógono no regular con propiedades significativas. Difícilmente podía haberlo tal y como se ocupa de estas cuestiones el sistema educativo. Recuerdo de hace años un interesante diálogo con una alumna: -

Dibuja un hexágono. ¿Regular?

Tú verás.

Pero son todos regulares, ¿no?

La discusión sobre el octógono fue un buen momento para comentar los riesgos de las conclusiones obtenidas “experimentalmente”, por observación, sin someterlos a prueba, y los de no recurrir a lo que ofrecen los sentidos para buscar convicciones que difícilmente se sustentan sólo en el cálculo, que demuestra pero no convence y que, además, funciona de forma ciega después de haber sido encauzado por nuestras inconscientes suposiciones iniciales.

“El pensamiento es una enfermedad sagrada y la vista un engaño”, afirmó Heráclito. Sí, pero si lo sagrado no se apoya en lo material no tiene consistencia.

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ONCE AÑOS DE VARIACIONES SOBRE UNA VIEJA IDEA “La creatividad (...) no consiste en la persecución de la ´gran idea´, sino más bien en dejar –como dice Hofstadter– que la mente siga su camino de mínima resistencia, porque es cuando se siente más relajada, menos forzada, cuando es más probable que sea más creativa. (...)

Ese camino de mínima resistencia suele ser el de hacer ´variaciones sobre un mismo tema´. Hay así una cierta naturalidad en el proceso creador: la percepción, los conceptos, las categorías se entremezclan inconscientemente y de cuando en cuando llegan a relaciones que no se habían establecido con anterioridad”.1 Hace once años que la que entonces llamé “figura interesante”2 –el motivo de la figura 1– ha sido uno de mis temas recurrentes, tanto en conversaciones con alumnos y alumnas como con colegas. ¡Es una mina para plantear problemas! El curso pasado decidí hacer los rombos más alargados, y la redacción del artículo anterior –en el que he comentado el juego que este “nuevo” diseño de la figura 2 dio en la clase de 4º ESO, con preguntas que iban en la misma dirección que las que había utilizado otras veces con la figura 1– fue una buena ocasión para, comparando los dos modelos, continuar la búsqueda de variaciones sobre este viejo tema.

Fig. 1

Fig. 2

Si nos dejamos llevar ingenuamente por curiosidades numéricas, hay algún cambio atractivo. En la figura 1, la parte rayada y el octógono son cada uno la tercera parte del cuadrado total, con lo que éste queda dividido en tres zonas de igual superficie. En fig. 2, el octógono es la sexta parte del cuadrado total y la parte rayada el doble del octógono, de manera que entre los dos rombos ocupan la mitad del cuadrado. Pero el octógono de fig. 2 tiene sólo 1/8 más de la superficie del octógono de fig. 1.

Al cambiar de la figura 1 a la figura 2, el lado del cuadrado que encierra los rom-

1 Francisco Hernán: “Variaciones sobre un cuadrado”. En “La Alhambra”, número monográfico que la revista EPSILON dedicó al palacio nazarí. La segunda edición (Granada, 1995) corrió a cargo de la S.A.E.M. Thales.

2 Angel Ramírez: “Una figura interesante”. En el número 11 (enero de 1992) de la revista SIGMA, editada por el Departamento de Educación del Gobierno Vasco.

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bos ha pasado de 2 2 a 3 2 , y dentro de este segundo cuadrado había dos posibilidades para construir los rombos. Podíamos haber elegido el punto B´´ (fig. 3) en lugar del punto B´: el nuevo modelo es el de la figura 4. ¿Qué ocurre con las superficies anteriores? Se complican: el octógono de fig. 4 es más de la mitad del cuadrado (16/30), y la parte rayada la mitad del octógono (8/30 del cuadrado). Al resto le queda sólo el 20% del cuadrado.

Fig. 3

Fig. 4

No es difícil medir estas áreas. Hay un método que, con las variantes necesarias, se puede adaptar para todos estos casos. Si el triángulo gris claro (fig. 5) tiene de superficie s, el triángulo blanco tiene 2s, porque su altura es la misma pero la base del blanco mide el doble. El triángulo gris oscuro ocupa lo mismo que el blanco, y entre los dos hacen un cuarto del octógono que será equivalente, por tanto, a 16s.

Además, los tres triángulos forman otro cuya área es 3.

Así pues, (s es el 60% de un cuadradito de la trama). Ahora podemos obtener con comodidad todos los datos anteriores.

Fig. 5

Pero, sobre todo, me atraen las flechas rayadas de la fig. 4. Son las más estilizadas de todas las que hemos dibujado hasta ahora. Eliminemos los puntos y coloreemos todo uniformemente. Incluso giremos el dibujo a ver qué resultado se obtiene.

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Me siguen maravillando los distintos efectos estéticos que se producen al modificar las condiciones de un diseño, aunque el nuevo mantenga las propiedades geométricas del primero; o, simplemente, al cambiar su posición. Volvamos a las puntas de flecha.

Eliminando el cuadrado y girándolas 45º resultan dos variaciones inesperadas.

El polígono central tiene 16 lados y seguro que es interesante. Además disponemos ya de una batería básica de preguntas. Pero ¿quién piensa en eso ahora? Nos domina en este momento el atractivo de la forma, superior –me parece– al de la medida. Hay juegos elementales que no por repetidos han perdido capacidad de divertir. Las cuatro flechas de la fig. 4 tienen, en conjunto, las propiedades de simetría de un cuadrado. En los dibujos siguientes aparecen coloreadas de forma que completemos todo el catálogo de posibilidades si las vamos eliminando paulatinamente.

I y II con dos ejes de simetría, como un rombo o un rectángulo. En términos técnicos, la estructura que les corresponde es el grupo diédrico D2.

III y IV con un eje de simetría, como una cometa o un trapecio isósceles.

V y VI con sólo el centro de la figura como centro de giro de orden 4 ó de orden 2 (grupos cíclicos C4 y C2 ), equiparables a un molinete de cuatro aspas o un romboide.

Queda, por supuesto, la situación de ausencia de regularidad: VII podría ser un ejemplo. ¡Atención! No podemos decir que corresponde a un trapezoide porque una cometa es un trapezoide (los hay interesantes, aunque su nombre tenga una cierta carga despectiva)

No hay por qué terminar aquí, claro. VIII abre nuevas posibilidades, tanto en lo relativo a la medida –la sugerente relación entre los dos octógonos concéntricos– como en cuanto a la forma. Y además, la sucesión de flechas y de octógonos es ilimitada, por lo que se puede atacar directamente la generalización de los cálculos de sus superficies para una “figura interesante cualquiera”.

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LOS DATOS SENSIBLES Y LOS SILOGISMOS DE LA RAZÓN “¿Cómo voy a confiar en los datos sensibles cuando el más seguro es el que procede del sentido de la vista y siendo así que esta (...) mira a una estrella y la ve pequeña, del tamaño de un dinar, pero las demostraciones geométricas prueban que es de un tamaño mayor que el de la Tierra? (...) ¿No me veo en sueños dando crédito a una serie de cosas e imaginando situaciones, creyéndolo todo firme y decididamente, sin dudar, y luego cuando despierto me doy cuenta de que todas aquellas cosas a las que daba crédito no tienen ningún fundamento ni valor? ¿Qué garantía tengo de que todo aquello a lo que doy crédito por medio del sentido o de la razón estando despierto, sea verdadero en relación al estado en el que estoy ...?”1.

I Ofrecen tantas ocasiones las matemáticas para dudar de “los datos sensibles” y “los silogismos de la razón”2 que, a riesgo de ser reiterativo –ya hemos visto el caso del octógono no regular en Rombos cruzados–, incluyo a continuación algunos ejemplos que me agradan especialmente y mezclados con otros que han aparecido en clase en los últimos días.

El triángulo de la figura 1 parece equilátero y si empleamos un compás o una regla para comprobarlo darán el visto bueno a esa intuición visual pero, en realidad, sus lados miden 8 y 65 = 8´062257748.... . Es equilátero en un taller de carpintería, pero no en el mundo de los objetos platónicos de las matemáticas. [Dicho esto último, reviso este párrafo: ¿qué quiere decir “en realidad”?]

Fig. 1

Ahora en trama triangular. El triángulo ABC de la figura 2 parece rectángulo, 1 Algazel: “Confesiones: el salvador del error”. Alianza, 1989. La apuesta por su libertad de pensamiento condujo paradójicamente a Algazel (1058 – 1111) –al no encontrar nada en que asegurar con certeza sus conclusiones– al camino de la mística. Pero el comienzo de este libro es un precioso canto a la indagación personal.

2 “Datos sensibles”; “silogismos de la razón”. Cojo de Algazel las dos expresiones.

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pero no lo es por muy poco: el ángulo en B mide 90´2º. Si fuera de 90º deberían ser iguales BH y HC, puesto que AB = BC, pero BH = 9´5 y HC = 5’5 3 =9’526279....

Nunca coincidirán dos distancias definidas por puntos de la trama si corresponden una al eje AC y otra al eje BH, porque en el primero la distancia entre puntos es múltiplo de 3 y en el segundo son números enteros. ABC es isósceles pero no rectángulo.

Fig. 2

Ni el cuadrado se lleva bien con la trama isométrica ni el triángulo equilátero con la trama cuadrada. El conflicto surge porque en la realidad física sí pueden hacerlo, y es necesario un ejercicio de voluntad para aceptar la posibilidad de que la apariencia material ofrezca algo engañoso. De hecho, los alumnos y alumnas de

Fig. 3

Secundaria no suelen entender en un primer momento por qué su profesor se empeña en llevar la contraria a la regla graduada.

El triángulo de lados 7, 11 y 13 no es rectángulo, por más que al dibujarlo con regla y compás quede como muestra la figura 3. El ángulo entre los lados de 11 y 13 unidades mide 89´6º, y 7 2 + 112 = 13´0384... Si en un primero de bachillerato tecnológico no recurren al teorema de Pitágoras y aceptan el engaño del dibujo, podemos limitarnos a lamentar el bajo nivel académico etc. etc. –en la misma dirección argumental que las ministras y las personas oficialmente de orden– pero quedarse ahí es una muestra de tosquedad similar a la de suponer que el triángulo es rectángulo. Es quedarse en lo superficial, en lo visible; empirismo burdo. Indudablemente conocen Pitágoras, y si no lo utilizan en este caso como prueba de lo que la vista sugiere, si ni siquiera se plantean esa elemental norma de prudencia, el problema no es solamente el bajo nivel académico sino sobre todo la falta de espíritu crítico y el desinterés que el 95

sistema escolar les ha inculcado. Forman parte del currículum oculto, ese que la burocracia educativa no detecta porque está de acuerdo con él aunque sus publicaciones digan lo contrario. Así se les ha acostumbrado a trabajar. Temas desconectados entre sí y separados de forma disjunta en capítulos distintos, desinterés por la calidad del resultado, etc., etc. ¡Diez años de adoctrinamiento metodológico no pasan en balde!

II Los típicos problemas de geometría analítica son un excelente contexto para este tipo de discusiones. Pero no sólo para dudar de los datos sensibles sino también para cargarlos de significado. Veamos un enunciado tópico: El punto A(2, -5) es el vértice de un cuadrado, uno de cuyos lados está en la recta r: x – 2y – 7 = 0. Calcular el área de este cuadrado.

Desde luego, se puede buscar la perpendicular a la recta r por el punto A, hallar el corte entre ambas y obtener el lado del cuadrado, o incluso aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta. Y todo ello sin dibujar nada en absoluto –“para no fatigar la imaginación” 3–, en un nítido papel en blanco, sin cuadricular. Es decir: méto-

Fig. 4

dos “serios” como corresponde a un enunciado “serio” recogido de un libro “serio”4.

Pero, ¿por qué no obtener la respuesta experimentalmente, dibujando? Entonces (figura 4), el 5 que se obtiene queda dotado de sentido.

Pero, ¿cómo interpretar ahora que se sorprendan –también en primero de bachillerato tecnológico– si, en el caso de que hayan actuado con “seriedad”, se les pide que busquen dónde está el 5? ¿Y de que se sorprendan más todavía al encontrarlo? Las explicaciones al uso no recurrirán esta vez al bajo nivel ... Es el pernicioso currículum

3 De nuevo el recuerdo de Descartes. La cita completa en el capítulo La búsqueda de un lenguaje.

4 Por cierto, un libro recomendable. D. Kletenik: Problemas de geometría analítica. Ed. Mir. Moscú, 1979.

La colección de problemas es excelente, y nada impide enfocarlos como a cada cual le parezca.

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oculto el que propicia, al ser sistemáticamente aplicado durante años y años, el descuido empirista de los ejemplos anteriores y el alejamiento idealista –en sentido filosófico– de la realidad en este último.

III En la novela “Los señores Golovliov” del escritor ruso Saltikov- Schedrin (1826 - 1889) aparece el siguiente fragmento: “Porfiri Vladírimovich está en su despacho escribiendo cantidades en hojas de papel. Trata de saber cuánto dinero tendría si los cien rublos que le regaló su abuelo al nacer, en lugar de ser gastados por su madre hubieran sido depositados en la Caja de Ahorros. Sin embargo, el resultado no es muy elevado: ochocientos rublos” Imagina a Porfiri Vladírimovich. Intenta encontrar una respuesta razonable a estas dos preguntas: ¿Cuántos años tiene Porfiri? ¿A qué interés habrían estado colocados los cien rublos en la Caja de Ahorros? (Ten en cuenta que las entidades bancarias son más bien rácanas) Una idea de Perelman6 a la que quité su último dato: los 50 años que propone en su enunciado para Porfiri en el momento del cálculo. Pretendía abrir el problema para que llegaran a una función exponencial, y que realizaran una valoración de las posibles soluciones para elegir la que a su juicio era la más razonable (de ahí mi advertencia sobre la falta de altruismo de los bancos, para que no emplearan tasas de interés altas).

Siempre me ha ocurrido lo mismo con este problema en 1º de bachillerato.

Aparecen tres desconciertos: ante una fórmula exponencial como representación de la variación de dos magnitudes; ante la propia idea de función; y ante la petición de elegir la respuesta porque no viene determinada de forma unívoca por las condiciones del enunciado. Diego aportó un interesante trabajo en el que falló esta vez por no haber reflexionado sobre los “silogismos de la razón”.

Empieza buscando la sucesión de capitales al acabar cada año, suponiendo que la tasa de interés hubiera sido del 10 %: 100, 110, 121, 133’1, 146’41............ El problema entonces es determinar entre qué posiciones se encuentra en esa serie el número 800. Pero introduce aquí una simplificación: “Espero que se me perdonará por despreciar los decimales. De todos modos, una moneda no se puede dividir en partes para que adquieran un valor más pequeño.”

Más allá del sorprendente alejamiento de la realidad que supone la consideración de las monedas como algo que se divide materialmente en trozos para fraccionarlas, Diego tenía sin duda un motivo para su propuesta. Reconoció en las partes enteras de los primeros capitales anuales una progresión aritmética de segundas diferencias constantes,

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6 Y. Perelman: Algebra recreativa. Ed. Mir. Moscú, 1978. Se sigue editando en España por varias editoriales. Otro excelente libro.

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1

un tema en el que se sentía fuerte. Si hubiera seguido hasta el sexto término, habría advertido que esa regularidad se rompe, pero olvidó la obligada prudencia ante las decisiones que se van tomando al investigar un problema y buscó –en un proceso de agradable lectura– el término general de su sucesión: 100+9’5n+0’5n2 . Lo igualó a 800 y obtuvo dos soluciones: 29´1 y –48´1. Por tanto, la edad de Porfiri si el dinero hubiera estado colocado al 10% sería 29´1 años. En realidad, la ecuación 100·1’1n=800 da una edad de 21´8 años.

Por más que la divulgación oficial sobre la ciencia presente la elaboración de conjeturas y los silogismos como procesos asépticos, están muy influenciados por nuestra ideología, nuestra forma de pensar y nuestra afectividad. Supongo que en el caso de Diego, entre otras cosas, por el deseo de controlar el problema. Por mucho que nos empeñemos, no es lo mismo la libre investigación que la que se efectúa para aprobar una asignatura.

IV

Un caso extremo de desvarío por alejamiento de la experiencia, por dejar sola a la razón. Ni siquiera la llamada al orden del tigre parece conseguir efecto alguno.

Ciertamente, ¿qué se puede esperar de un tipo que puede creerse el capitán Spiff?

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Después de comentar el trabajo de Diego –un escrito interesante a pesar de todo– les pasé estas dos tiras de Calvin. Sus risas fueron risas inteligentes: un buen dato para valorar aquella hora de clase.

V Tienen que aprender a dudar. Después de tantos cursos de reclusión en el sistema educativo, con su servidumbre de obediencia ciega, tienen que practicar la duda.

Decidir por cuenta propia –sin el apoyo de la autoridad del profesor o profesora– y responsabilizarse de las conclusiones obtenidas, condición necesaria –aunque no suficiente, es cierto– para que se interesen por ellas. Tienen que aprender a dudar supone, claro, que tenemos que proporcionarles ocasiones para ello y considerar un objetivo fundamental de nuestras clases el que lo hagan.

“Pienso en mis alumnos de quinto grado, enseñándome sus ejercicios de Aritmética y preguntando con ansiedad: “¿Están bien?”. Me miran como si estuviese loco cuando les replico: “¿Tú qué crees?”. Porque, ¿qué importa lo que ellos piensen?

Lo correcto no tiene nada que ver con lo real, con la coherencia ni con el sentido común; lo correcto es lo que el profesor dice que es correcto; y la única forma de averiguar si algo está bien consiste en preguntárselo al profesor. Quizás el mayor de todos los daños que infligimos a los niños en la escuela es el de arrebatarles la posibilidad de juzgar la validez de su propio trabajo, privándoles así de la capacidad de emitir tales juicios o incluso de la creencia de que pueden emitirlos” 7. ¡Tienen que aprender a dudar! ¡Imaginad que, en lugar de una inofensiva apariencia en una trama cuadrada, dan por buena una tramposa apariencia en el terreno moral o político!

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7 John Holt: El fracaso de la escuela. Alianza Editorial. Madrid, 1977.

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EN EL REINO DEL INGENIO

“No se empeñen en enseñarles a niños o jóvenes el estudio de distintas “tablas” de sumar, restar, multiplicar; en la memorización mecánica de diferentes “reglas” y fórmulas, sino que, ante todo, acostúmbrenles a pensar con placer y conciencia. Lo demás se añadirá con el tiempo. No molesten a nadie con cálculos y ejercicios mecánicos muy largos y aburridos.

Cuando a alguien le sean necesarios en la vida, los hará por sí solo. Además ahora hay para ello distintas máquinas calculadoras, tablas y otros dispositivos.”

Este es el final del prólogo que E. I. Ignátiev escribió para la edición de 1911 de su libro En el reino del ingenio1. Hacía dos semanas que en el grupo de 4º ESO habíamos discutido dos de sus problemas, pero el destello deslumbrante del ingenio se produjo en relación con varias preguntas “normales” convertidas en problemas abiertos por las condiciones en que las plantée (entre otras cosas, no conocían la fórmula para la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón mayor que -1 y menor que 1).

Sumas de infinitos sumandos Quizás te parezca sorprendente, pero la suma de infinitos números puede no dar 1

1

1

infinito. Empecemos por una pregunta fácil: 10 + 100 + 1000 + ......... = ?

Busca ahora otras sumas parecidas. ¿Puedes dar una fórmula general?

Justificarla es más difícil. ¿Se te ocurre algo? ¿Cómo debe ser la serie para que tenga suma?

Esta fue la propuesta para una investigación individual en el aula (45 minutos).

A pesar de que teníamos ya práctica en elaborar conjeturas mediante procesos inductivos, no resultó fácil la pregunta. Puesto que la suma del enunciado da 0’1 y la conexión con 1/9 sí que la tenían clara, esperaba que pasaran a igualdades como 1 1 1 1 1 + + 3 + 4 + ......... = 4 16 4 4 3

(*). De hecho, Lorenzo llegó incluso a construir

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ......... = , pero ya digo que fue una investigación complicada. Y x x x x x−1

es que se pueden cruzar muchas cosas en el camino. Por ejemplo, hubo quienes recurrieron a la calculadora y no pasaron a fracción los resultados de las sumas que obtenían, con lo que quedaba casi imposibilitado el proceso de generalización. Seis meses es poco tiempo para que todas las personas de una clase adquieran una experiencia solvente como elaboradoras de conjeturas.

Aclarada la fórmula de Lorenzo al día siguiente, quedaba el problema de su 101

1 Editorial Mir – Rubiños 1860. Ávila, 1995.

demostración. Podía haber recurrido directamente a un razonamiento del tipo 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ...........

4 4 4 4 (**) 1 1 1 1 1 S = 2 + 3 + 4 + 5 + ...........

4 4 4 4 4 S=

restando luego término a término2, pero preferí seguir dando vueltas al agujero, con el siguiente problema3: Espirales

a) Explica cómo se construiría el siguiente triángulo de la primera espiral. b)Si el lado del triángulo inicial es 1, escribe el valor de los lados y las áreas de los triángulos construidos en los pasos siguientes. c)¿Qué parte del triángulo cubre la espiral “completa”? Este resultado se puede expresar mediante una curiosa fórmula ... ... d)¿Qué fórmulas corresponden a las otras dos espirales?

La fórmula que se busca en c) es, claro, la de (*), pero la segunda pregunta molesta a la tercera, porque para que aparezca (*) hay que hacer un cambio de unidades. La unidad de superficie debe ser ahora el área del primer triángulo que se divide en cuatro partes. Entonces el área del primer triángulo rayado mide 1/4; la del segundo será la cuarta parte de este 1/4 (es decir, 1/42); y así sucesivamente. Como el triángulo inicial contiene tres espirales, se llega a la igualdad (*). Sólo Mikel intuyó esto con claridad, después de alguna indicación mía.

Pablo, por su parte, prefirió aprovechar otras ideas que habían ido apareciendo en clase. No habíamos visto ninguna definición de límite, pero sí habíamos expresado con notación correcta la tendencia de algunas sucesiones. En realidad, no hace falta ninguna indicación previa para dar el visto bueno a igualdades como

lim (3n + 2) = ∞ n →∞

1

lim n + 2 = 0 n →∞

lim n →∞

n +1 =1 n

2 ¿Se deben escribir estas cosas? Es igual, lo digo: si se hace directamente con fracciones 1/x, la probabilidad de que sólo la entienda una sola persona de la clase es muy alta. Cierto, cada curso es cada curso, pero se consiguen mejores resultados si se empieza con 1/4 y se pide después que generalicen la demostración.

3 Pensado a partir de los dibujos de Adrian Pinel en “Progresiones geométricas”, un pequeño pero sugerente artículo incluído en Geometría. Matemáticas 8, (MEC. 1988) de la colección Centros de Profesores.

Documentos y propuestas de trabajo.

y habían estudiado por su cuenta el límite de an, con n→∞, según los valores de a.

También estaba disponible la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. A partir de estos ingredientes, Pablo razonó (empleo su notación y no incluyo todos los casos particulares con los que trabajó) de esta manera: -

lim 0 ´ 1∞ = 0

∞ ) 1 1 1 1 0´1 − 1 0 − 1 1 ......... + + + = ⋅ = = = 0´1 10 100 1000 10 0´1 − 1 −9 9 ∞ 1 1 1 1 1 0´5 − 1 0 − 1 + + + + .............. = ⋅ = =1 2 4 8 16 2 0´5 − 1 −1 3 3 3 33 3 3 3 3 0´5∞ − 1 3 −0´35∞ − 1 − 3 + +- + + + .......... ........ = ⋅ = =3 2 4 8 216 4 + 8 + 16 + ..........

2 ........

0´5 − 1= 2 ⋅−01´5 − 1 = − 1 = 3

Es posible que haya quien considere que calcular doce resultados particulares es un atraso, evitable por el camino directo del cálculo con letras, pero este atajo requiere seguridad experimental y eso es lo que estaba adquiriendo Pablo. Además, los decimales le produjeron algunas incomodidades: 0´25, ó 0’1 se asocian sin problemas con su quebrado correspondiente, pero si la respuesta tiene que dar 1/7, esa conexión se hace más complicada. Finalmente expuso sus conclusiones: “Tengo ya suficientes ejemplos para ver que la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la cual el numerador no varía y el denominador es una serie de potencias es

x r∞ −1 x ⋅ = n r −1 n −1

”.

De nuevo es posible que los/as amantes del rigor se molesten por las imprecisiones de la fórmula de Pablo: no conectó n con r y, por tanto, es evidente que, en lugar de hacer el cálculo último, indujo

x n −1

de los casos particulares. Cierto, pero ello no

reduce para nada el interés y el atractivo de su búsqueda.

Oficialicé su método en la pizarra, corrigiendo las imprecisiones y empleando correctamente la notación de límites, y probablemente desarrollé mi argumento de (**), pero no escribí algo así como S = a1 . De manera que cuando, unos días más tarde, 1− r

volvimos a explorar el mismo terreno cada cual volvió a buscarse la vida como pudo.

Salvo Pablo, que para algo había elaborado por su cuenta un método que había sido transmitido a sus compañeros y compañeras pero que éstos no habían hecho suyo. El enunciado –olvidado entre otros tres más desde hacía dos meses– decía lo siguiente: Expresar 0’16 como suma de todos los términos de una progresión geométrica. ¿Qué razón tiene?

Entonces yo había imaginado que alguien podría sugerir una respuesta que no se 103

1

6

6

6

ajustaba exactamente a la pregunta: 10 + 100 + 1000 + 10000 + ..... . Como ahora disponían de otra posibilidad:

1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ...... = 7 7 7 7 6

, creí que había propuesto sen-

cillamente un ejercicio. Afortunadamente mis caminos no coinciden del todo con los suyos, y ello permitió que aparecieran variantes.

Leticia debió decidir que ya estaba bien de no disponer de información fiable (léase “oficial”), y buscó en un libro el S = a1 . Sin duda es una buena capacidad esta 1− r

de conseguir localizar la información que se necesita en un determinado momento, pero hubiera preferido que hubiese intentado contruir algo con los materiales de que disponía. En cualquier caso, interpretó con acierto, a partir de la fórmula, que hay infinitas maneras de escribir 1/6 como suma de una progresión geométrica infinita. Eligió a1=0’1, con lo que r = 0´38125 [ella trabajó con 0’16=16/99 en lugar de 1/6 =0’16 ].

Mikel, por su parte, estableció una conexión inesperada y muy hermosa.

“Consideró” que 1/6 es la tercera parte del área del triángulo inicial del problema de las espirales. Entonces, el área de este triángulo debería ser 0´5. A partir de ahí, escribió: ) ) 1 1 0´5 0´5 0´5 0´5 1 2 0´5 + + + + ............ = = = 0´5 ⋅ 0´3 = 0´16 = ⋅ 4 16 64 256 3 3 2 3

Y propuso a continuación, como una variante más, el camino natural si se quería recurrir a la idea de las espirales, de las que yo ya había desconectado porque sólo habíamos comentado en clase la del triángulo. En la del hexágono, si la superficie del hexágono inicial es 1, sale la fórmula 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ...... = 7 7 7 7 6

104

Ya sé. Ya sé que hay partidarios y partidarias –tanto entre alumnas/os y profesores/as– de un orden rígido en la programación y desarrollo de los temas. A mí me gusta más que muchas ideas circulen a la vez por el aire del aula para que cada cual elija y use las que prefiera. Para que cada cual, si quiere –y hay quienes no quieren– practique aquello que Miguel Pardeza4 llamó “la anarquía entendida como responsabilidad”, condición imprescindible para llegar a lo que Ignatiev entendió como “el reino del ingenio”.

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4 En un comentario en la sección deportiva de Heraldo de Aragón.

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EpĂ­logo

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HE PUESTO SOBRE LA MESA LAS VIEJAS BANDERAS ROTAS I Conjetura lanzada al aire de una clase de tutoría de 1º de bachillerato: Me parece que la mayoría estáis aquí por uno de estos tres motivos: - Queréis conscientemente disfrutar de un cierto nivel de comodidad material en el futuro.

- En casa os han mandado. Es decir: en casa quieren que disfrutéis de ese nivel futuro de comodidad material.

- Pasabais por aquí. Es decir: os habéis encontrado ante una bifurcación y, sin tener las ideas nada claras habéis elegido este camino.

Una mayoría casi absoluta dio el visto bueno a mi conjetura.

Las tres posibilidades tienen el mismo origen: una fuerte presión social que define ese currículum oculto que marca a hierro a las actuales generaciones, según el cual se aprende –mejor dicho, se aprueba– con un objetivo exclusivamente pragmático.

Sin curiosidad intelectual, ¿es posible desarrollar un proceso de enseñanza – aprendizaje efectivo? ¿Es posible con esa presión social sobre los afectos, la psicología y el origen social de adolescentes y jóvenes?

Una utopía posible –me parece– es que quien no quiera estudiar matemáticas, no las estudie. La finalidad de la enseñanza no es producir personas con la mente llena sino con capacidad para pensar críticamente y para ser felices y solidarias. Y para conseguir esto no solamente no son necesarias tantas matemáticas, sino que incluso pueden ser contraproducentes. Freudenthal, el excelente matemático holandés preocupado –rara avis– por la enseñanza secundaria, opinaba que la cantidad de matemáticas que un adolescente debe estudiar es aquella que le sea útil para desarrollarse como persona. Es decir: las matemáticas al servicio de la persona y no al revés. Como esta ley básica no se respeta, el sistema educativo, para poder funcionar, reparte un pienso mediocre y amorfo que se supone puede ser comestible por todos los estómagos. Que proporcione una buena digestión es otra cuestión.

Quien no quiera, que no estudie matemáticas, sí, pero recordando que a pesar de ello tiene derecho a la educación. En Summerhill se atendía a todo el mundo. Eso es caro, por supuesto, pero el principal problema es que choca con el objetivo fundamental de la organización social: suministrar mano de obra no pensante para alimento del Molloch empresarial.

La única utopía posible es cara, sí, pero quizás nunca hayamos tenido a mano tantos medios para poder intentarla.

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II ¿A quién puede interesarle que adolescentes y jóvenes se ejerciten en la anarquía entendida como responsabilidad? Al Poder, desde luego, no. ¿A quiénes incluye la palabra el “Poder”? En primer lugar, al poder económico, y luego, en cascada, al poder militar y al poder político. Probablemente, también a las familias, al menos si no se les explica qué significa eso de la anarquía y la responsabilidad. Es cierto que las familias son el último eslabón de control social de adolescentes y jóvenes, pero podrían estar de acuerdo con planteamientos que en principio se les escapaban porque, a fin de cuentas, les quieren. Los otros eslabones, el poder económico, militar y político, no les tienen ningún afecto y los/as contemplan como futuros componentes de la cadena social del trabajo: tú para aquí, tú para allá, en un proceso al que se intenta dar tintes de apariencia demócratica y de bienestar social.

Como profesoras/es, nuestro contacto con el Poder se establece a través del eslabón político, así que volveré a repetir, adaptada a este nivel de concreción, la frase del principio: A las administraciones educativas –centrales o autonómicas– no les interesa que adolescentes y jóvenes se ejerciten en la anarquía entendida como responsabilidad.

Con los tiempos que corren, de un conformismo por lo visto irresistible, quizás parezca esta afirmación un exabrupto por mi parte. Sería ya una suerte, pues supondría que se ha interpretado como positivo lo de anarquía entendida como responsabilidad. ¿Qué otra cosa van a querer ministras/os y consejeros/as que lo mejor para los/as adolescentes? Pero si desconfiáis de mí podéis leer a Bertrand Russell1.

Claro, habréis mirado la nota a pie de página y habréis pensado: - Pero hombre de Dios, ¡ese está en el museo! Allí se le contempla y se le rinde homenaje. ¿Por qué?, ... eso da igual, ¡no vamos a andar ahora haciendo caso a todos esos tipos! ¿Quién me ha contestado? ¿La ministra, el consejero, la delegada, el padre ...? ¡Espero que no haya sido la colega! ¡Qué triste sería!

Porque no hay que perder de vista que otro contacto del Poder con los/as adolescentes somos nosotros, los profesores y profesoras. Y que si de forma burocratizada asumimos Su programa, odiaremos también que nuestros alumnos y alumnas ejerzan la anarquía entendida como responsabilidad. Y entonces nos parecerán bien todas las trabas que sibilinamente pone Su Poderío a que las aulas puedan intentar acercarse al reino del ingenio: programaciones, libros de texto, exámenes, leyes de calidad, .... y aumento de las ratios en las aulas.

1 Bertrand Russell: Principios de reconstrucción social. Espasa – Calpe. 1975 (primera edición en español,

111 1921)

Sus servidores incansables, planifican medidas destructoras de aprendizajes comprensivos y creativos. Son medidas inmorales, pero las han convertido en legales y pretenden con ello dormir la preocupación social. El ejercicio de la anarquía entendida como responsabilidad es caro, y prefieren desviar el dinero hacia otros asuntos. Lo demás, ..., ¡no les importa! No les importamos ni tú, ni yo, ni los adolescentes

112

EJERCICIO DE PROSPECTIVA Se acabó. Sí, esta vez se ha acabado. No sé dónde me encuentro, y no controlo bien la extraña geometría del espacio en que me muevo. ¿Tendrá algo que ver con Lobachevsky? ¿Será posible que la curvatura sea realmente negativa? Claro que, ¿para qué me intereso ahora por esto?

Sin duda es un intento de mantener la calma. Es un mecanismo muy natural.

Es San Pedro. Lleva razón, y sabía que terminaría encontrándolo, pero me ha sorprendido mucho que haya interrumpido de esta manera mis inútiles pensamientos.

Va derecho al grano.

-Ya sabes lo que te voy a preguntar.

-Sí. Pero supongo que a pesar de ello tienes que hacer el interrogatorio.

-Así es. Vamos a ver: ¿por qué llevaste a tu hija primero a la Escuela y luego al Instituto?

-Sabes lo que voy a responder. Porque no me atreví a no hacerlo.

-A pesar de que sabías lo que pasa dentro de esos sitios. A pesar de que sabías que allí se atentaba contra la obra de la Naturaleza intentando eliminar la curiosidad y el libre pensamiento.

-Sí, a pesar de eso. Ya te digo que no me atreví.

-Bien. No tienes coartada. Si hubieras sido, por ejemplo, notario, o hubieras trabajado en una gasolinera, no estabas obligado a conocer las interioridades del sistema educativo. De momento, irás al Infierno.

-Ya me lo había imaginado. Pero, ¿por qué has dicho “de momento”?

-Te queda una pequeña oportunidad. Parece que alguna vez escribiste un cuadernillo para Aula Libre. Lo revisaremos. Quizás contenga algún atisbo de coherencia.

-¿...?

-¿Por qué te sorprendes?

-¿Sabes lo que iba a contestar, pero no el contenido de lo que he escrito?

-Nos interesan más las personas que lo que escriben. Ya sabes: “por sus hechos los conoceréis”. Pero es verdad que tienes derecho a esta última posibilidad. De todos modos, esperarás en el Infierno.

No contesto nada. Doy la vuelta y me pierdo de nuevo en el vacío. El Infierno es probablemente esto, la condena a la soledad, al vacío estudio de curvaturas desconocidas. Además, ¿qué podría decirle? ¿Acaso no había escrito yo el guión de la entrevista?

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Título:

Fragmentos de un diario de clase.

Autor:

Ángel Ramírez Martínez

Edita:

Movimiento de Renovación Pedagógica AULA LIBRE Apartado de correos, nº 88 - 22520 FRAGA (Huesca)

Diseño portada:

María Jesús Buil Salas

Imprime: Imprenta Coso, s.c.

Depósito Legal: HU-72-2004 I.S.B.N.: 84 -923123-9-4

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Los “Cuadernos de Aula Libre” nacen como vía de expresión para quienes, con sus experiencias e investigaciones, tengan algo que aportar en la mejora de las condiciones de aprendizaje de los alumnos y alumnas en la escuela.

“Cuadernos” se edita con la vocación inequívoca de ser útil al colectivo de profesionales que trabaja día a día en su centro y se esfuerza por poner en prática metodologías alternativas.

En este octavo número se recogen experiencias y reflexiones de un profesor de matemáticas sobre su trabajo diario.

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