.
Ελεύθερη Πτώση Ένα αντικείμενο που αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί κοντά στην επιφάνεια της Γης, επιταχύνεται προς τα κάτω υπό την επίδραση της βαρύτητας. Η επιτάχυνση αυτή, συμβολίζεται με g (=gravity) και έχει φορά πάντα προς τα κάτω (πιο σωστά προς το κέντρο της Γης). Θεωρώντας αμελητέα την αντίσταση του αέρα, η κίνηση που εκτελεί το σώμα ονομάζεται ελεύθερη πτώση. Αν το ύψος απ’ το οποίο αφήνεται το σώμα είναι μικρό συγκριτικά με την ακτίνα της Γης, η επιτάχυνση της βαρύτητας g μπορεί να θεωρηθεί σταθερή, με μέτρο ίσο με 9,8m/s2. Αν και η τιμή του g εξαρτάται από παράγοντες όπως το υψόμετρο, το γεωγραφικό πλάτος, ακόμη και από τη μάζα του πλανήτη στον οποίο γίνεται η μέτρηση, για τις ανάγκες της ύλης μας θα τους αγνοήσουμε και θα θεωρούμε ότι g = 10m/s2, εκτός αν αναφέρεται κάτι διαφορετικό. Άρα
Ελεύθερη Πτώση Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση με α = g = 10m/s2 Έστω ένα σώμα το οποίο αφήνεται από ύψος H να πέσει O (t0 = 0) ελεύθερα. Το διπλανό σχήμα είναι ενδεικτικό. y1 (t1) Το σώμα λοιπόν αφήνεται από τη θέση Ο του άξονα y υ 1 (προσέξτε τον προσανατολισμό του). Διέρχεται διαδοχικά (t2) από τις τυχαίες θέσεις y1, y2 και κάποια στιγμή φτάνει στο y2 h1 έδαφος, έχοντας διανύσει συνολικά yολ. Ισοδύναμα, μπου2 h2 ρούμε να θεωρήσουμε ότι το σώμα ξεκινά από αρχικό ύ(tολ) ψος Η (μετρημένο από το έδαφος) και σταδιακά το μειώyολ νει μέχρι να μηδενιστεί. y Προσέξτε ακόμη ότι διερχόμενο από τη θέση y1 απέχει από υτελ το έδαφος h1, από τη θέση y2 απέχει από το έδαφος h2, ενώ στη θέση yολ απέχει από το έδαφος μηδέν. Αναζητούμε τις εξισώσεις που περιγράφουν την κίνησή του, δηλαδή την εξίσωση ταχύτητας και την εξίσωση θέσης του. Θεωρώντας την αντίσταση του αέρα αμελητέα, η κίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση g . Αν επιπλέον δεχτούμε ότι η κίνηση ξεκίνησε τη χρονική στιγμή t0 = 0 από τη θέση y0 = 0 με υ0 = 0, θα έχουμε:
Σελίδα 1 από 5
Εξίσωση ταχύτητας:
υ gt
(1)
Εξίσωση θέσης:
1 y gt 2 2
(2)
Ύψος (απόσταση από το έδαφος):
1 h H y H gt 2 2
(3)
Υπολογίζουμε το χρόνο πτώσης (tπτ) και την τελική ταχύτητα του σώματος (υτελ) τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος:
2y y H 1 2H y gt 2 t t ολ 2 g g 2H g
g 2 2Η 2Η υτελ 2gΗ g g Οι τρεις αυτές σχέσεις παριστάνονται γραφικά παρακάτω: tολ
υ gt υτελ g
υ
y
h
Η
Η
υ0
υ0
0
0
0 Σχήμα (α)
Σχήμα (β)
Σχήμα (γ)
Ιστορικά (και άλλα) στοιχεία Ως και την εποχή του Γαλιλαίου, ήταν αποδεκτό αφενός ότι τα σώματα μεγαλύτερης μάζας έπεφταν πιο γρήγορα στην επιφάνεια της Γης σε σχέση με αυτά μικρότερης μάζας, αφετέρου ότι κατά την πτώση ενός σώματος η ταχύτητα την οποία αποκτά το σώμα που πέφτει προς τα κάτω είναι ανάλογη της μάζας του. Ο Γαλιλαίος υποστήριξε ότι κατά την ελεύθερη πτώση ενός σώματος – όταν δηλαδή το σώμα αφήνεται να πέσει από ορισμένο ύψος και κινείται υπό την επίδραση του βάρους του και μόνο – το σώμα κινείται προς τα κάτω επιταχυνόμενο με σταθερή επιτάχυνση (όταν δεν υπάρχει αντίσταση του αέρα). Ο Γαλιλαίος μάλιστα ήταν ο πρώτος που απέδειξε ότι η απόσταση στην οποία βρίσκεται ένα σώμα κατά την κίνησή του προς τα κάτω είναι ανάλογο του τετραγώνου του χρόνου (που απαιτείται για να φθάσει από το αρχικό ύψος ως το σημείο αυτό). Με όρους μαθηματικών ισχύει: d t2 . Είναι βασικό να θυμάστε ότι στη θεωρία αυτή του Γαλιλαίου υπάρχει μία βασική προϋπόθεση: η κίνηση του σώματος πραγματοποιείται χωρίς την παρουσία αέρα (ώστε τελικά η αντίσταση που δέχεται το κινούμενο σώμα να μην υπάρχει). Ένα απλό πείραμα το οποίο μπορείτε να πραγματοποιήσετε και εσείς, ώστε να δείτε την επίδραση του αέρα στην κίνηση του σώματος είναι το ακόλουθο: αφήστε ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος ένα μικρό νόμισμα και ένα φύλλο χαρτιού. Είναι σαφές ότι το νόμισμα θα φθάσει πρώτο στο δάπεδο. Αν τώρα, επαναλάβετε το πείραμα έχοντας τυλίξει το χαρτί – ώστε να μειωθεί η Σελίδα 2 από 5
επιφάνειά του και άρα η αντίσταση του αέρα – θα διαπιστώσετε ότι το τα δύο σώματα θα φτάσουν στο έδαφος με μικρότερη χρονική διαφορά σε σχέση με πριν.
Προκύπτει λοιπόν ότι: Ένα βαρύ και ένα ελαφρύτερο σώμα, αν αφεθούν από το ίδιο ύψος, φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος. Δείτε τα παρακάτω videos: το 1ο δείχνει το κλασσικό πια πείραμα που πραγματοποιήθηκε στη σελήνη από τον David Scott (Apollo 15). Ένα σφυρί και ένα φτερό «προσεληνώνονται» ταυτόχρονα, εφόσον αφεθούν από το ίδιο ύψος. To 2o προέρχεται από τα εργαστήρια του ΜΙΤ στις Ηνωμένες Πολιτείες. 1. http://www.youtube.com/watch?v=KDp1tiUsZw8 2. http://www.youtube.com/watch?v=AV-qyDnZx0A
Ασκήσεις - Ερωτήσεις Να θεωρήσετε ότι g = 10m/s2, εκτός αν προσδιορίζεται διαφορετικά
ΟΜΑΔΑ Α 1. Ένα αντικείμενο αφήνεται να πέσει από την κορυφή του κτιρίου ύψους 80m. α. Να προσδιορισθεί το ύψος από το έδαφος, τη χρονική στιγμή 2s. β. Να προσδιορισθεί η ταχύτητα του σώματος, τη χρονική στιγμή 2s. 2. Ένα σώμα πέφτει ελεύθερα από ύψος H = 100m. Να βρείτε σε πόσο ύψος από το έδαφος και μετά από πόσο χρόνο το μέτρο της ταχύτητάς του θα είναι ίσο με το μισό του μέτρου της ταχύτητας που έχει τη στιγμή που θα αγγίζει το έδαφος. 3. Μια πέτρα αφήνεται να πέσει χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος Η από το έδαφος. Η πέτρα φθάνει στο έδαφος μετά από 4s από την στιγμή που την αφήσαμε. Αν δεν υπάρχει αντίσταση από τον αέρα: α. Να βρεθεί το ύψος από το οποίο την αφήσαμε και η ταχύτητα που είχε η πέτρα όταν έφθασε στο έδαφος. β. Πόσο απείχε η πέτρα από το έδαφος τη χρονική στιγμή 3s; 4. Μικρό σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος H = 125m πάνω από το έδαφος, αρχίζοντας τη χρονική στιγμή t0 = 0. α. Να βρείτε το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα πάνω από το έδαφος, τη στιγμή που η ταχύτητά του είναι η μισή από αυτή με την οποία φτάνει στο έδαφος. β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του ύψους h στο οποίο βρίσκεται το σώμα πάνω από το έδαφος, σε συνάρτηση με το χρόνο. 5. Πέτρα αφήνεται από ύψος 180m. Ύστερα από 2s αφήνεται και δεύτερη πέτρα από το ίδιο ύψος. Πού θα βρίσκεται η δεύτερη πέτρα όταν η πρώτη θα φθάσει στο έδαφος; Τι ταχύτητα θα έχει τότε η κάθε σφαίρα; 6. Μικρό σώμα αφήνεται τη χρονική στιγμή t0 = 0 να εκτελέσει ελεύθερη πτώση, από κάποιο ύψος πάνω από το έδαφος. Κατά τη διάρκεια του δεύτερου δευτερολέπτου της κίνησής του, να υπολογίσετε: α. Τη μεταβολή της ταχύτητας του σώματος. Σελίδα 3 από 5
β.
Τη μετατόπιση του σώματος. Δίνεται g = 10m/s2 και ότι ο χρόνος πτώσης είναι μεγαλύτερος των δύο δευτερολέπτων.
7. Από ένα παράθυρο ενός ψηλού κτιρίου αφήνουμε διαδοχικά να πέφτουν μπίλιες, με συχνότητα μια κάθε δευτερόλεπτο. α. Πόσο διάστημα έχει διανύσει η πρώτη μπίλια, όταν ξεκινάει η δεύτερη; β. Πόση είναι η απόσταση της πρώτης μπίλιας από τη δεύτερη μπίλια, όταν ξεκινάει η τρίτη μπίλια;
ΟΜΑΔΑ Β ( και Συνδυαστικά προβλήματα με κατακόρυφες βολές) 8. Ένα σώμα εκτελεί τη χρονική στιγμή t0 = 0 κατακόρυφη βολή προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 = 20m/s, κατά μήκος του άξονα y΄y. Θεωρώντας ως αρχή του άξονα y΄y το σημείο βολής και θετική φορά την προς τα πάνω να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας υ και της θέσης y του σώματος από τη στιγμή t0 = 0 μέχρι τη στιγμή που επιστρέφει στο έδαφος. Να κάνετε επίσης τις γραφικές παραστάσεις υ = f(t) για το παραπάνω χρονικό διάστημα. Δίνεται g = 10m/s2. 9. Σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος 80m από το έδαφος και ταυτόχρονα ένα άλλο σώμα που βρίσκεται στο έδαφος και στην ίδια ευθεία με το πρώτο σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου 40m/s. α. Πότε και που θα συναντηθούν τα δυο σώματα; β. Τι μέτρα θα έχουν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης; 10. Σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος 45m από το έδαφος και ταυτόχρονα ένα άλλο σώμα που βρίσκεται στο έδαφος και στην ίδια ευθεία με το πρώτο σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου 15m/s. α. Πότε και που θα συναντηθούν τα δυο σώματα; β. Τι μέτρα θα έχουν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης; 11. Σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος 40m από το έδαφος και ταυτόχρονα ένα άλλο σώμα που βρίσκεται στο έδαφος και στην ίδια ευθεία με το πρώτο σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου 20m/s. α. Πότε και που θα συναντηθούν τα δυο σώματα; β. Τι μέτρα θα έχουν οι ταχύτητες των δύο σωμάτων τη στιγμή της συνάντησης; 12. Σώμα που βρίσκεται στο έδαφος ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου 50m/s. Να βρεθεί: α. ο χρόνος ανόδου του σώματος, β. το μέγιστο ύψος που θα φθάσει το σώμα γ. ο χρόνος καθόδου καθώς και δ. η ταχύτητα που θα έχει το σώμα τη χρονική στιγμή 8s. 13. Από αερόστατο το οποίο κατεβαίνει με ταχύτητα προς τη Γη αφήνεται να πέσει σακίδιο άμμου, ως λύση απελπισίας, τη στιγμή που το αερόστατο απέχει 200m από το έδαφος. Το σακίδιο φθάνει στο έδαφος σε χρόνο 4s. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του αεροστάτου τη στιγμή που αφήνεται το σακίδιο. 14. Από σημείο που απέχει 120m από το έδαφος ρίχνεται προς τα επάνω σώμα με αρχική ταχύτητα μέτρου 50 m/s. Να υπολογισθούν: α. Ο χρόνος ανόδου του σώματος. β. Το μέγιστο ύψος από το σημείο βολής. Σελίδα 4 από 5
γ. δ. ε. στ.
Ο χρόνος που χρειάζεται για να φθάσει το σώμα στο έδαφος. Η ταχύτητα με την οποία θα φθάσει το σώμα στο έδαφος. Η θέση και η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή 7s. Η μετατόπιση και το διάστημα που έχει διανύσει το σώμα από 0s έως 7s
15. Μια μικρή πέτρα αφήνεται ελεύθερη στο χείλος ενός πηγαδιού και σε βάθος h = 44,235m συναντάει την επιφάνεια του νερού. Ο ήχος που παράγεται διαδίδεται με ταχύτητα υnx = 340m/s και φτάνει στο χείλος του πηγαδιού όπου έχει τοποθετήσει το αυτί του ένας κάτοικος της περιοχής. Ο συνολικός χρόνος που πέρασε από τη στιγμή που αφέθηκε η πέτρα μέχρι τη στιγμή που ο κάτοικος άκουσε τον ήχο είναι περίπου tολ = 3,13s. Βρείτε αν ο κάτοικος της περιοχής χρησιμοποιεί έλκηθρο. Δίνονται: η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, η βαρυτική επιτάχυνση έχει τιμή, στον Ισημερινό gΙ = 9,78m/s2 και στους πόλους gΠ = 9,83m/s2. 16. Δύο μικρές σφαίρες (1) και (2) βρίσκονται σε ύψη h και
h αντίστοιχα, έτοιμες να εκτελέσουν 4
ελεύθερη πτώση. Τη στιγμή t0 = 0 αφήνεται η σφαίρα (1). Σε ποιο ύψος πάνω από το έδαφος θα βρίσκεται η σφαίρα (1) τη στιγμή που θα πρέπει να αφεθεί και η σφαίρα (2) ώστε οι δύο σφαίρες να φτάσουν ταυτόχρονα στο έδαφος; Δίνεται h = 100m αλλά ΔΕΝ δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας. 17. Μια μικρή σφαίρα (1) αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση σε ύψος h = 80m πάνω από το έδαφος. Η σφαίρα (1) αφού χτυπήσει στο έδαφος ανακλάται με ταχύτητα αντίθετη από την ταχύτητα πρόσπτωσης. Από το ίδιο σημείο μια δεύτερη σφαίρα (2) αφήνεται αργότερα να εκτελέσει επίσης ελεύθερη πτώση και συναντάει την πρώτη σφαίρα (1) σ’ ένα σημείο που βρίσκεται σε ύψος Η = 35m πάνω από το έδαφος, καθώς η σφαίρα (1) ανεβαίνει. Αν δίνεται ότι η σφαίρα (1) αφέθηκε τη χρονική στιγμή t0 = 0 και είναι g = 10m/s2, βρείτε: α. Τη χρονική στιγμή t1 που οι δύο σφαίρες συναντιούνται β. Τη χρονική στιγμή t2 που η σφαίρα (2) αφέθηκε ελεύθερη γ. Τα μέτρα υ1 και υ2 των ταχυτήτων των δύο σφαιρών (1) και (2) τη στιγμή της συνάντησης 18. Δύο μικρά σώματα (1) και (2) εκτελούν κατακόρυφη βολή προς τα πάνω από δύο σημεία του εδάφους με την ίδια αρχική ταχύτητα υ0 = 40m/s αλλά όχι την ίδια χρονική στιγμή. Το πρώτο σώμα βάλλεται τη χρονική στιγμή t01 = 0 και το δεύτερο τη χρονική στιγμή t02. Τα δύο σώματα διασταυρώνονται έχοντας αντίθετες ταχύτητες. Αν g = 10m/s2, βρείτε: α. Τη χρονική στιγμή t02 της εκτόξευσης του σώματος (2). β. Το ύψος Η πάνω από το έδαφος στο οποίο διασταυρώνονται τα δύο σώματα γ. Το μέτρο υ1 της ταχύτητας του σώματος (1) τη στιγμή που διασταυρώνονται τα δύο σώματα. 19. Σώμα εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα ψ΄ψ με αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 = 10m/s σε ύψος h = 175m πάνω από το έδαφος. Θεωρώντας ως αρχή του άξονα y΄y το σημείο βολής και θετική φορά την προς τα πάνω να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας υ και της θέσης y του σώματος μέχρι να φτάσει στο έδαφος. Σε ποιο χρονικό διάστημα θα αναφέρονται αυτές οι εξισώσεις; Δίνεται ότι το σώμα βλήθηκε τη χρονική στιγμή t0 = 0 και ότι g = 10m/s2.
Σελίδα 5 από 5