Φάση – Αρχική φάση – Διαφορά φάσης στην ταλάντωση Α. Προκαταρκτικά 1) Οι κινήσεις στις οποίες θα αναφερθούµε είναι ευθύγραµµες και άρα µονοδιάστατες. Πραγµατοποιούνται στον άξονα x και για την περιγραφή τους επιλέγουµε ως µέγεθος την αποµάκρυνση x(t) (ή πιο απλά x) του κινητού από τη θέση x=0. 2) Σε όλες τις κινήσεις τις οποίες αφορά αυτό το κείµενο, ΑΑΤ, φθίνουσα, εξαναγκασµένη, πάνω στο κινητό ενεργεί δύναµη επαναφοράς F=−Dx, η οποία στη θέση x=0 προφανώς µηδενίζεται. Τούτο θα αναγκάσει τις κινήσεις να εξελίσσονται γύρω από τη θέση x=0 καθιστώντας τη, θέση αναφοράς ή όπως αλλιώς λέµε, ελκτικό κέντρο. Η επιλογή λοιπόν της θέσης x=0 ως θέση αναφοράς δεν οφείλεται στο ότι είναι απαραίτητα θέση ισορροπίας του κινητού, αλλά στο γεγονός ότι στη x=0 η δύναµη επαναφοράς F=−Dx µηδενίζεται.
3)
Επειδή συνήθως ασχολούµαστε ή µε ένα µόνο κινητό ή µε κινητά που αρχίζουν την κίνησή τους ταυτόχρονα, ως αρχική χρονική στιγµή θεωρούµε την t=0. Άρα σε όλα τα παρακάτω υπονοείται ότι ισχύει ο περιορισµός t≥0. 4) Για ευκολία στο συµβολισµό, τα διανυσµατικά µεγέθη π.χ. x , υ , F κ.λ.π. θα αναγράφονται ως x, υ, F κ.λ.π. και θα λογίζονται µε τις αλγεβρικές τους τιµές.
5) Ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων που υπεισέρχονται στο σύστηµα που εξετάζουµε, το κινητό µπορεί να εκτελεί όχι µόνο ταλάντωση, αλλά και άλλες κινήσεις που δεν είναι καν ταλαντώσεις και συνεπώς δεν έχουν νόηµα έννοιες όπως πλάτος και φάση. 6) Η περίοδος των ταλαντώσεων που εξετάζουµε παρακάτω, δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος (αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού), αλλά από τις παραµέτρους του συγκεκριµένου συστήµατος, δηλαδή τη µάζα του ταλαντωτή και τα χαρακτηριστικά των δυνάµεων που δρουν πάνω του (σταθερά επαναφοράς, σταθερά απόσβεσης, συχνότητα διεγείρουσας δύναµης κ.λ.π.). Η ιδιότητα αυτή των ταλαντώσεων που εξετάζουµε, οφείλεται κατά κύριο λόγο στο γεγονός ότι η δυναµική ενέργεια του κινητού είναι συνάρτηση 2ου βαθµού ως προς τη συντεταγµένη θέσης x και άρα στο ότι η µόνη συντηρητική δύναµη, η δύναµη επαναφοράς, έχει τη µορφή F=−Dx.
Β. Η απλή αρµονική ταλάντωση εξελίσσεται γύρω από τη θέση x=0 καθιστώντας τη θέση αναφοράς Αν η δύναµη επαναφοράς δεν µηδενιζόταν στη θέση x=0 αλλά, π.χ. στη x=5, τότε δε θα είχε τη µορφή F=−Dx, αλλά τη µορφή F=−D(x−5), µε αποτέλεσµα ο 2ος νόµος του Νεύτωνα να οδηγεί στη διαφορική εξίσωση : m
d 2x + D ( x − 5) = 0 dt 2
1
Κατά
συνέπεια
η εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή δε θα ήταν η x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ), αλλά η x(t)=5+Α·ηµ(ω0t+φ) γεγονός που θα είχε ως αποτέλεσµα η κίνηση να εξελίσσεται γύρω από τη θέση x=5 και όχι γύρω από την x=0. Με άλλα λόγια, αν η δύναµη επαναφοράς είχε π.χ. τη µορφή F=−D(x−5), αναφοράς ή αλλιώς ελκτικό κέντρο θα ήταν η θέση x=5 και όχι η x=0.
θέση
Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για τις κινήσεις ΑΑΤ, φθίνουσα, εξαναγκασµένη. Οι κινήσεις εξελίσσονται γύρω από τη x=0, λόγω του ότι στη θέση x=0 µηδενίζεται η δύναµη επαναφοράς και όχι γιατί η θέση x=0 είναι απαραίτητα θέση ισορροπίας.
Γ. Ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή Αν x0 η αρχική θέση του κινητού στον άξονα x και υ0 η αρχική ταχύτητά του κατά τη διεύθυνση του άξονα x, τότε η εξίσωση κίνησης x(t) του απλού αρµονικού ταλαντωτή µπορεί να δοθεί µε τις παρακάτω µορφές, όπου φαίνονται οι τιµές και οι περιορισµοί των διαφόρων σταθερών, οι οποίες έχουν υπολογιστεί συναρτήσει των αρχικών συνθηκών:
1η µορφή:
x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ) t≥0,
ω0
ηµϕ =
x0 A
2
D = , m
,
υ0 2 A = x0 + 2 > 0 ω0 2
συνϕ =
υ0 ω0 ⋅ A
και άρα
και
0≤φ<2π
εϕϕ =
(1)
x0 ⋅ ω 0
υ0
2η µορφή:
x(t)=A ·συν(ω0t+θ) t ≥0, ω0
ηµθ = −
2
D = , m
υ0 2 A = x0 + 2 > 0 ω0 2
υ0 x , συνθ = 0 ω0 ⋅ A A
και άρα
2
και
0≤θ<2π
εϕθ = −
υ0 x0 ⋅ ω 0
(2)
3η µορφή:
x(t)=C1·συνω0t+C2·ηµω0t t ≥0,
ω0 2 =
µε
D , m
C1 και C2 πραγµατικοί αριθµοί
C1 = x 0
C2 =
και
(3)
υ0 ω0
Αξίζει να σηµειώσουµε ότι 1) Οι εξισώσεις κίνησης (1), (2), (3) είναι ισοδύναµες. Εποµένως για δεδοµένες αρχικές συνθήκες, όποια από τις τρεις και να επιλέξουµε θα περιγράψει την κίνηση µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Αυτό φαίνεται «πρακτικά» και από το γεγονός ότι για τις ίδιες αρχικές συνθήκες οι εξισώσεις κίνησης έχουν την ίδια ακριβώς γραφική παράσταση. (Σχήµα 1.1)
Σχ. 1: Οι ισοδύναµες µορφές της εξίσωσης κίνησης του α.α.τ.
3
2)
Ο περιορισµός Α>0 δεν αποδεικνύεται αλλά επιλέγεται. Το γεγονός δηλαδή ότι η ποσότητα A πάρθηκε ως θετικό ριζικό και όχι ως αρνητικό, είναι καθαρά επιλογή µας και όχι απαίτηση κάποιων ιδιαίτερων µαθηµατικών περιορισµών (αναγκών). Ο λόγος είναι ότι αυτή η επιλογή διευκολύνει πάρα πολύ την παρουσίαση της απλής αρµονικής ταλάντωσης, κάνοντάς τη πιο ανάγλυφη, αφού αν το Α παρθεί θετικό ταυτίζεται µε τη µέγιστη απόσταση του κινητού από τη θέση x=0. Οριοθετεί έτσι το χώρο µέσα στον οποίο κινείται ο ταλαντωτής, δίνοντας εύκολα τις αποστάσεις του (θετικά νούµερα) από τη θέση x=0. Τέλος οι εξισώσεις έχουν µπροστά τους θετικό πρόσηµο κάτι που έχουµε συνηθίσει.
3) Η κυκλική ιδιοσυχνότητα ω0 =
D επιλέγεται θετική, αν και θα µπορούσε να m
D m Οι λόγοι της «θετικής» µας αυτής επιλογής είναι αρκετοί και νοµίζω προφανείς. Πρωτίστως συνδέονται µε τη συνήθεια και την ευκολία µας όταν έχουµε θετικές ποσότητες. εκληφθεί αρνητική. Δηλαδή θα µπορούσαµε να ορίσουµε ω0 = −
4) Ο περιορισµός των ˝γωνιών˝ φ και θ µέσα σε ένα τριγωνοµετρικό κύκλο αποδεικνύεται. Εκείνα όµως που επιλέγουµε όσον αφορά τις αρχικές φάσεις είναι: Να ακολουθήσουµε τη βασική φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να την παρουσιάζουµε µε τον πιο οικονοµικό τρόπο. Έτσι περιορίσαµε τις τιµές των φ και θ µέσα σε ένα τριγωνοµετρικό κύκλο και όχι σε περισσότερους, µια και η επέκταση σε περισσότερους κύκλους δεν προσφέρει τίποτε περισσότερο στη φυσική των φαινοµένων που εξετάζουµε. Να πάρουµε για την κάλυψη του ενός τριγωνοµετρικού κύκλου που χρειαζόµαστε και άρα ως πεδίο ορισµού των αρχικών φάσεων, το διάστηµα [0,2π). Δηλαδή επιλέξαµε 0≤φ<2π και 0≤θ<2π. Θα µπορούσαµε για παράδειγµα να δεχτούµε ως διάστηµα το [-π,π) κ.λ.π. 5) Ο προσδιορισµός των αρχικών φάσεων φ και θ που υπεισέρχονται στις σχέσεις (1) και (2) πρέπει να γίνεται ή από την εξίσωση κίνησης και την αντίστοιχή της εξίσωση της ταχύτητας, θέτοντας όπου t=0 και παίρνοντας υπ’ όψη τις αρχικές συνθήκες ή απευθείας από τον υπολογισµό των τιµών του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου συγχρόνως.
4
Η χρησιµοποίηση µόνης της εφαπτοµένης οδηγεί σε δύο τιµές του φ (ή του θ). Και θα πρέπει να καταφύγουµε σε επί πλέον επιχειρήµατα για να επιλέξουµε
Δ. Η φράση «πλάτος ταλάντωσης» έχει και νόηµα και αξία... Έστω x0 και υ0 η αρχική αποµάκρυνση και η αρχική ταχύτητα αντίστοιχα του απλού αρµονικού ταλαντωτή. Με βάση την προηγούµενη παρατήρηση • Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η αποµάκρυνση από τη θέση x=0 είναι η σταθερά
A=
x0
x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ) τότε η µέγιστη
υ0 2 + 2 ω0
2
• Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=A·συν(ω0t+θ) τότε η µέγιστη αποµάκρυνση από τη θέση x=0 είναι πάλι η σταθερά A=
2
x0 +
υ0 2 ω0 2
• Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=C1·συνω0t+C2·ηµω0t όπου
και
C1= x0
C2 =
υ0 ω0
αποδεικνύεται ότι η µέγιστη αποµάκρυνση του κινητού από τη θέση x=0 είναι 2
C1 + C 2
2
υ0 2 = x0 + 2 ω0 2
(4)
Κατά συνέπεια: Η µέγιστη αποµάκρυνση (µέγιστη απόσταση) του απλού αρµονικού ταλαντωτή από τη θέση αναφοράς x=0 ανεξάρτητα από την εξίσωση κίνησης που θα χρησιµοποιήσουµε είναι
υ0 2 υ0 2 ⋅ m 2 Α= x0 + 2 = x0 + D ω0 2
(5)
Η ποσότητα αυτή την οποία εµείς επιλέξαµε θετική ονοµάζεται πλάτος της απλής αρµονικής ταλάντωσης. Αν µετασχηµατίσουµε την παραπάνω σχέση (5) που δίνει την τιµή του πλάτους θα έχουµε 2
Α= x0 +
υ0 2 ⋅ m D
2
2
⇒ DA2 = Dx0 + mυ 0 ⇒
5
1 1 1 2 2 DA2 = Dx0 + mυ 0 2 2 2
Στην τελευταία όµως σχέση το δεύτερο µέλος είναι το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας του κινητού δηλαδή η ολική του ενέργεια. Άρα και το πρώτο µέλος είναι η ολική του ενέργεια Ε.
E=
1 DA 2 2
(6)
Για συγκεκριµένο λοιπόν απλό αρµονικό ταλαντωτή, η τιµή της αρχικής του ενέργειας
και µόνο αυτή καθορίζει την τιµή του πλάτους του. Για το πλάτος της ταλάντωσης, έχουµε λοιπόν να παρατηρήσουµε τα εξής: • Το πλάτος συνολικά καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά m και D της ταλάντωσης και από τις αρχικές συνθήκες x0 και υ0 του προβλήµατος. Για συγκεκριµένο όµως
ταλαντωτή εξαρτάται αποκλειστικά από τις αρχικές συνθήκες και πιο συγκεκριµένα από ένα ορισµένο συνδυασµό τους, την αρχική ενέργεια. • Εκφράζει τη µέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας στην οποία µπορεί να βρεθεί ο απλός αρµονικός ταλαντωτής. • Αν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ) ή x(t)=Α·συν(ω0t+θ) το πλάτος βρίσκεται άµεσα από τη θετική ποσότητα Α που υπάρχει µπροστά από τον τριγωνοµετρικό αριθµό. Αν όµως χρησιµοποιηθεί η x(t)=C1·συνω0t+C2·ηµω0t τότε υπολογίζεται έµµεσα από τη σχέση
2
C1 + C 2
2
• Το τετράγωνό του συνδέεται άµεσα µε την ενέργεια Ε της ταλάντωσης δίνοντας ένα µέτρο της ενέργειας του κινητού
E =
1 DA 2 = σταθερή 2
• Η τιµή του δίνεται από τη σχέση (2) και δεν εξαρτάται από την εξίσωση κίνησης που θα επιλέξουµε για να περιγράψουµε την ταλάντωση. Αφορά συνεπώς την ταλάντωση αυτή καθεαυτή.
Το αποτέλεσµα είναι αναµενόµενο, αφού η µέγιστη απόσταση από τη x=0 στην οποία µπορεί να βρεθεί ο ταλαντωτής είναι κάτι το αντικειµενικό. Εξαρτάται αποκλειστικά από την αρχική ενέργεια του και δεν είναι δυνατό να εξαρτάται από την επιλογή εξίσωσης κίνησης που κάνουµε για να περιγράψουµε το φαινόµενο.
Ε. Οι φράσεις ˝φάση ταλάντωσης˝ και ˝αρχική φάση ταλάντωσης˝ δεν έχουν νόηµα Στις διάφορες µορφές που µπορεί να πάρει η εξίσωση κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή παρατηρούµε ότι, όχι µόνο ο χρησιµοποιούµενος τριγωνοµετρικός αριθµός είναι διαφορετικός, αλλά και η ποσότητα που υπεισέρχεται σ’ αυτούς τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς είναι κάθε φορά τελείως διαφορετική: Αν επιλεγεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ) ο τριγωνοµετρικός αριθµός είναι ηµίτονο και υπεισέρχεται η ποσότητα ω0t+φ 6
µε
ηµϕ =
x0 A
και συνϕ =
υ0 ω0 ⋅ A
Αν επιλεγεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=Α·συν(ω0t+θ) ο τριγωνοµετρικός αριθµός είναι συνηµίτονο και υπεισέρχεται η ποσότητα ω0t+θ µε
ηµθ = −
υ0 x και συνθ = 0 Aω0 A
Αν επιλεγεί η x(t)=C1·συνω0t+C2·ηµω0t υπεισέρχεται η ποσότητα ω0t. Κατά συνέπεια η ποσότητα που υπεισέρχεται στους τριγωνοµετρικούς αριθµούς δεν είναι κάτι που αφορά την ταλάντωση, αλλά τη συγκεκριµένη εξίσωση κίνησης που χρησιµοποιείται για να περιγράψει την ταλάντωση. Ονόµατα λοιπόν του τύπου ˝φάση ταλάντωσης˝ για ποσότητες της µορφής ω0t+φ και ˝αρχική φάση ταλάντωσης˝ για το φ, δεν είναι αποδεκτές. Μόνο συγχύσεις µπορούν να δηµιουργήσουν. Ίσως γι’ αυτό δεν υπάρχει κοινά αποδεκτό όνοµα για τις παραπάνω ποσότητες ούτε στην ελληνική ούτε στην ξένη βιβλιογραφία.
Για παράδειγµα η ποσότητα ω0t+φ είναι λάθος να ονοµάζεται φάση της ταλάντωσης. Όµοια η φ είναι λάθος να ονοµάζεται αρχική φάση της ταλάντωσης. Οι παραπάνω ποσότητες είναι η φάση και η αρχική φάση αντίστοιχα της αποµάκρυνσης, όταν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ). Καλό λοιπόν είναι, αν δεν µπορούµε να αποφύγουµε τα ονόµατα, να χρησιµοποιούµε φράσεις του τύπου ˝στην εξίσωση κίνησης x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ)
η φάση της αποµάκρυνσης είναι ω0t+φ, ενώ η αρχική φάση της αποµάκρυνσης είναι φ˝
Στ. Η αρχική φάση Μιλώντας καθαρά φορµαλιστικά, η αρχική φάση φ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ), δείχνει τη διαφορά φάσης µεταξύ των εξισώσεων x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ) και x(t)=Α·ηµω0t. ∆ηλαδή δείχνει κατά πόσο προηγείται χρονικά η συγκεκριµένη απλή αρµονική ταλάντωση από την ταλάντωση που θα εκτελούσε ο εν λόγω ταλαντωτής αν για t=0 βρισκόταν στη θέση ισορροπίας x=0 και κινιόταν προς τα θετικά. Έτσι λοιπόν η αρχική φάση φ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ) έχει σχέση µε τη θέση στην οποία βρισκόταν το κινητό και τη φορά προς την οποία κινιόταν όταν αρχίσαµε να το εξετάζουµε, όταν δηλαδή αρχίσαµε να µετράµε το χρόνο. ∆ηλαδή η αρχική φάση φ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=Α·ηµ(ω0t+φ)
έχει να κάνει και µε τη στιγµή που επιλέξαµε για αρχή του χρόνου και µε τη φορά του άξονα x που επιλέξαµε ως θετική.
7
Το ίδιο συµβαίνει και µε την αρχική φάση θ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=Α·συν(ω0t+θ). ∆είχνει τη διαφορά φάσης µεταξύ των εξισώσεων x(t)=Α·συν(ω0t+θ) και x(t)=Α·συνω0t . ∆ηλαδή δείχνει κατά πόσο προηγείται χρονικά η συγκεκριµένη απλή αρµονική ταλάντωση από την ταλάντωση που θα εκτελούσε ο εν λόγω ταλαντωτής αν για t=0 βρισκόταν στη θέση x=+Α χωρίς ταχύτητα. ∆ηλαδή η αρχική φάση θ της αποµάκρυνσης στην εξίσωση x(t)=Α·συν(ω0t+θ)
έχει να κάνει και µε τη στιγµή που επιλέξαµε για αρχή του χρόνου και µε τη φορά του άξονα x που επιλέξαµε ως θετική.
Ζ. Πλάτος, αρχική φάση και διαφορική εξίσωση Το πλάτος της α.α.τ. και η αρχική φάση της αποµάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης που θα χρησιµοποιηθεί, δεν αφορούν τις ιδιότητες του συγκεκριµένου ταλαντούµενου συστήµατος και άρα δεν είναι δυνατό να προσδιοριστούν από τη διαφορική εξίσωση.
Καθορίζονται αποκλειστικά από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού. Εποµένως ο ίδιος απλός αρµονικός ταλαντωτής (ίδια m και D) µπορεί να έχει διάφορα πλάτη ταλάντωσης και διάφορες αρχικές φάσεις ανάλογα µε τις αρχικές συνθήκες. Μιλώντας µε περισσότερη Φυσική θα λέγαµε ότι:
Το πλάτος της ταλάντωσης το καθορίζει αποκλειστικά η αρχική ενέργεια µε την οποία τροφοδοτήσαµε τον ταλαντωτή. Δηλαδή το καθορίζει µια τελείως φυσική πραγµατικότητα. Άρα είναι κάτι ουσιαστικό. Κάτι που αφορά την ίδια την δοµή της συγκεκριµένης ταλάντωσης. Η αρχική φάση της αποµάκρυνσης είναι καθαρά θέµα επιλογής αφού εξαρτάται • από την εξίσωση κίνησης που επιλέξαµε • από τη στιγµή που επιλέξαµε για αρχή χρόνου • από τη φορά που επιλέξαµε ως θετική και ως αρνητική • από το πεδίο ορισµού της αρχικής φάσης που επιλέξαµε. Αν δηλαδή επιλέξαµε [0,2π) ή [-π,π) κ.λ.π. Ακολουθεί: Ποιο µέγεθος προηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη που παρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Επιµέλεια κειµένου:
Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com
8